Реферат: Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)

Беловский Филиал Кемеровского Государственного Университета

Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)

Дипломная работа

Выполнила: студентка VI курса математического факультета

Денисюк Надежда

Научный руководитель:

Сафонова В.Ю.

Белово

2001

Оглавление.

|Наименование |Стр. |
|Введение |3 |
|Глава 1. Самостоятельная работа, их виды и формы |5 |
|Глава 2. Построение графика функции, приёмы и методы |17 |
|§1. Анализ программ и учебников |17 |
|§2. Построение графика функции с помощью преобразования |23 |
|§3. Применение производной к построению графика функции |31 |
|Глава 3. Формирование умений самостоятельной работы при |37 |
|изучении функций в школьном курсе математики | |
|Литература |45 |

ВВЕДЕНИЕ.

«Школа должна дать учащимся не только определенную сумму знаний, но и привить умение самостоятельно пополнять свой запас знаний, чтобы ориенти- роваться в стремительном потоке современной научно – технической информации»

Академик А. Александров.

В условиях высокого уровня развития науки и техники особые требования предъявляются к подготовке учащихся в школе. Задача образования не может сводиться только к вооружению учащихся определённой суммой знаний.
Необходимо сформировать у них умение оперировать приобретенными знаниями, применять их в новых ситуациях, делать самостоятельные выводы и обобщения, находить решения в нестандартных условиях. В настоящий период, когда развитие науки и техники происходит чрезвычайно быстро, когда делаются всё новые и новые научные открытия, когда появляются неизвестные ранее отрасли науки, техники, экономики, исключительную значимость приобретает проблема подготовки учащихся к самостоятельному овладеванию новыми знаниями, к изучению научной и технической литературы.

Одним из условий успешной трудовой деятельности и самостоятельного овладевания новыми знаниями является достаточно высокий уровень развития мышления и речи. Достижению этого уровня способствует обучение всему циклу школьных предметов, составляющих содержание среднего образования. Изучая гуманитарные и естественно-математические дисциплины, ученик не только расширяет имеющийся запас знаний, но и овладевает определёнными интеллектуальными умениями, обогащает свою речь, т.е. поднимается на новую ступень своего развития. Роль математике в этом процессе исключительно велика. Изучение математике создает предпосылки для развития логического мышления, овладения навыками дедуктивных рассуждений, формирование точности и лаконичности речи. Однако успешность реализации этих предпосылок во многом зависит от того, насколько эффективно организован в этом направлении учебный процесс. Поэтому одно из требований подготовки учащихся к творческому труду и самостоятельному расширению и углублению имеющихся знаний состоит в такой организации учебной деятельности учащихся на уроках и при выполнении домашних заданий, которая обеспечивает осуществление целенаправленной и систематической работы по формированию интеллектуальных умений учащихся и развитию их речи.

Другую сторону вопроса составляет формирование у учащихся некоторых общих учебных умений. Для того чтобы самостоятельно изучать научную и техническую литературу, необходимы определённые навыки работы с текстом.
Сюда относится умение читать текст, насыщенный информацией, вычленять из него главное, ставить перед собой вопросы и находить в тексте ответы на них, определять, что осталось не выясненным до конца, четко формулировать, что именно надо выяснить, обращаться за справкой к другому разделу книги или другой литературе и т.п. Вместе с тем, для того чтобы подготовить учащихся к применению знаний в конкретных условиях, к решению сложных вопросов, выбору из имеющегося набора решений оптимального варианта и т.д., необходимо сформировать определенные умения в решении задач. Их компонентами являются умения вычленять некоторые взаимосвязи, вытекающие из условия задачи, составлять план решения, осуществлять решение, привлекая в случае необходимости справочный материал, оценивать результат, проверять правильность решения.

Несмотря на то, что вопрос о самостоятельной работе стоит перед школой давно, этот метод обучения не находит и сегодня должного применения,
Анализ школьной практики показал, что на самостоятельную работу учащихся отводится не более 13% всего времени урока, причем и это время на уроке мало эффективно.

Проводя ту или иную самостоятельную работу учащихся, учителя рассматривают её как самоцель, не обращая внимания на то, способствует ли она активной мыслительной деятельности ученика или нет.

Часто большое число самостоятельных работ направленно лишь на выполнение заданий по образцу, среди которых мало заданий творческого характера.

Один из недостатков в методике проведения самостоятельных работ состоит в однообразии их видов, используемых учителем.

Абсолютное большинство самостоятельных работ на уроках математике приходится на закрепление изложенного учителем материала непосредственно после его изучения и на проверку знаний учащихся.

Значительно меньшее число их используется при изучении нового материала.

Самостоятельная деятельность учащихся повышает эффективность обучения лишь в том случае, когда учителем проведена рациональная её организация.

Глава 1. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

ИХ ВИДЫ И ФОРМЫ

Под самостоятельной работой понимают работу выполняемую «извне» без активной помощи. Провести более четкую границу между самостоятельными работами и работами, выполняющими под руководством учителя довольно трудно.
Но для практике знание этого вопроса не имеет существенного значения. Более важным представляется знание смысла использования самостоятельной работы при обучении математике. Самостоятельная работа в обучении математике не самоцель, она необходима для перевода знаний «извне», во внутреннее достояние учащегося, необходима для овладения этими знаниями, а также для осуществления контроля со стороны учителя за их усвоением.

При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта передаваемой ему извне информации, такой постановкой образовательного процесса учитель искусственно задерживает развитие познавательной активности ученика, наносит ему большой вред в интеллектуальном и нравственном отношении.

Самостоятельная деятельность учащихся можно и нужно организовывать на различных уровнях, от воспроизведения действий по образцу и узнавание объектов путем их сравнения с известным образцом до составления модели и алгоритма действий в нестандартных ситуациях.

Переходом с одного уровня на другой должен осуществляться полностью, только когда учитель будет убежден, что учащийся справится со следующим уровнем самостоятельности, иначе в атмосфере спешки и нервозности у ученика возникают пробелы в знаниях. Очень важно, чтобы содержание самостоятельной работы, форма и время её выполнения отвечали основным целям обучения данной теме на данном.

В то же время учителю нужно знать, что злоупотребление самостоятельной работой в учебном процессе также вредно как и её недооценка.

Бывает так ,что учитель включает в урок самостоятельную работу без особой необходимости, просто ради разнообразия, не продумав её содержание и форму организации. Результаты бывают плачевны: или дети не готовы выполнить задание, или не хватило времени и т.п. Но, если учитель, составляя план урока, продумал место и время самостоятельной работы четко, определил ею общее содержание, разбил задания по разным уровням сложности то она сыграет свою положительную роль.

Поэтому учителю важно знать формы и виды самостоятельных работ, их место в процессе обучения.

В зависимости от целей от целей, которые ставятся перед самостоятельны ми работами, они могут быть:

1) Обучающими;
2) Тренировочными,
3) Закрепляющими,
4) Повторительными;
5) Развивающими
6) Творческими,
7) Контрольные.

1. Смысл обучающих самостоятельных работ заключается в самостоятельном выполнении школьниками данных учителем заданий в ходе объяснения нового материала. Цель таких работ развитие интереса к изучаемому материалу привлечение каждого ученика к тому что объясняет учитель. Здесь сразу выясняется непонятное, выявляются сложные моменты дают себе знать пробелы в знаниях, которые мешают прочно усвоить изучаемый материал. Самостоятельные работы по формированию знаний проводятся на этапе подготовки к введению нового содержания, также при непосредственном введении нового содержания, при первичном закреплении знаний, т.е. сразу после объяснения нового, когда знания учащихся еще не прочны.

Учителю необходимо знать следующие особенности обучающих самостоятельных работ: их надо составлять в основном из заданий непродуктивного характера, проверять немедленно и не ставить за них плохих оценок.

Так как самостоятельные обучающие работы проводятся во время объяснения нового материала или сразу после объяснения, то их немедленная проверка дает учителю четкую картину того, что происходит на уроке, какова степень понимания учащимися нового материала, на самом раннем этапе его обучения.
Цель этих работ -не контроль, а обучение, поэтому им следует отводить много времени на уроке. К самостоятельным обучающим работам можно также отнести составление примеров на изученные свойства и правила.

2. К тренировочным самостоятельным работам относятся задания на рас познавание различных объектов и свойств.

В тренировочных заданиях часто требуется воспроизвести или непосредственно применить теоремы, свойства тех или иных математических объектов и др.

Тренировочные самостоятельные работы состоят из однотипных заданий, содержащих существенные признаки и свойства данного определения, правила.
Конечно эта работа мало способствует умственному развитию детей, но она необходима, т.к. позволяет выработать основные умения и навыки тем самым создать базу для дальнейшего изучения математики. При выполнении тренировочных самостоятельных работ еще необходима помощь учителя. можно разрешить пользоваться и учебником и записями в тетрадях, таблицами и т.п..
Все это создает благоприятный климат для слабых учащихся. В таких условиях они легко включаются в работу и выполняют её. К таким работам можно отнести выполнение заданий по разно уровневым карточкам. Сейчас такие дидактические материалы выпущены по алгебре и геометрии для всех классов.

По этим карточкам учащиеся привыкают работать самостоятельно. Учителю удобнее ими пользоваться, если он соберет комплот карточек по темам. Каждый комплект может состоять из 8-10 вариантов разного уровня.

3. К закрепляющим можно отнести самостоятельные работы, которые способствуют развитию логического мышления и требуют комбинированного применения различных правил и теорем. Они показывают, насколько прочно усвоен учебный материал. По результатам проверки заданий данного типа учитель определяет нужно ли еще заниматься данной темой. Примеры таких работ в изобилии встречаются в дидактическом материале.

4. Очень важны так называемые повторительные (обзорные или тематические) работы. Перед изучением новой темы учитель должен знать, познавательны ли школьники, есть ли у них необходимые знания, какие проблемы смогут затруднить изучение нового материала.

5. самостоятельными работами развивающего характера могут быть д./з. по составлению докладов на определенные темы, подготовка к олимпиадам, научно творческим конференциям, проведение в школе дней математики и др. На уроках- то самостоятельные работы, требующие умения решать исследовательские задачи.

6. Большой интерес вызывают у учащихся творческие самостоятельные работы, которые предполагают высокий уровень самостоятельности. Здесь учащиеся открывают для себя новые стороны уже имеющихся у них знаний, учатся применять эти знания в новых неожиданных ситуациях. Это задания на нахождение второго, третьего и т.д. способа решения задачи.

7. Контрольные работы являются необходимым условием достижения планируемых результатов обучения.

По существу разработка текстов контрольных работ должна быть одной из основных форм фиксирования целей обучения, в том числе и минимальных.
Поэтому, во-первых, контрольные задания должны быть равноценными по содержанию и объему работы; во-вторых, они должны быть направлены на отработку основных навыков, в-третьих, обеспечивать достоверную проверку уровня знаний; в-четвертых, они должны стимулировать учащихся позволять им продемонстрировать прогресс в своей общей подготовке.

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

1. Работа с книгой
2. Упражнения
3. Выполнение практических и лабораторных работ
4. Проверочные самостоятельные, контрольные работы, диктанты, сочинения
5. Подготовка докладов, рефератов
6. Домашние опыты, наблюдения
7. Техническое моделирование и конструирование

ТИПЫ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

(в соответствии с уровнями самостоятельной деятельности)

|Воспроизводящие |

|Реконструктивно-вариат|
|ивные |

|Эвристические |

|творческие |

|ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ |
|САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ |

|ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ |ФРОНТАЛЬНЫЕ |ГРУППОВЫЕ |

Самостоятельная работа может рассматриваться как дидактическое родство, с помощью которого учитель организует деятельность ученика на уроке и при выполнении домашнего задания, активная самостоятельная деятельность предлагает наличие у учащихся многих умений.

Основными из них являются:

1.работа с книгой (учебником, математическим текстом, справочниками, таблицами и.др.), работа по плану, алгоритму, предписанию.

Навыки работы учащихся по плану особенно успешно развиваются на уроках геометрии. Работа по образцу, решение задачи стандартного вида. Умение работать по образцу не приходит само собой, а требует специальных приемов работы учителя, на уроках математики можно применить карточки с пропусками для многократного использования карточки удобно вложить в полиэтиленовый пакет. Тогда учащиеся заполняя пропуски, пишут на пленке, после проверки работы карточка вынимается из пакета и может быть использована повторно, написанное на пленке легко стирается. Классификация. систематизация учебного материала —успех самостоятельной работы нередко зависит от умения систематизировать учебный материал.

Одна из сторон самостоятельного мышления - сформированность привычки к самоконтролю и умение его проведения. Здесь учащемуся могут быть предложены различные рекомендации, они учат давать рецензию на ответ товарища, другие учат на уроке проверять решение задач по такой памятке:

а) Проверьте, правильно ли выписано условие задачи?

б) Верно ли сделан чертеж?

в) Просматривается ли логический план решения задачи?

г) Достаточно ли обоснованно решение, рационально ли оно?

д) Что вам мешало при проверке, есть ли замечании: при проверке?

е) Ваша оценка работы

ж) Работа по собственной инициативе.

Для того, чтобы самостоятельную работу приблизить к практической деятельности, полезно проводить лабораторные работы. Их можно дифференцировать как по содержанию, так по методам выполнения- от простейших задач практического характера на .непосредственное применение знаний до серьезных исследовательских работ, связанных с конструированием и математическим моделированием. Лабораторно- практические работы развивают учащихся навык приближенных вычислении, учат пользоваться таблицами и микрокалькуляторами, справочной литературой, проводить различные измерения и построения геометрических фигур, а тем самым демонстрируют прикладной характер математики.

Однако проведение лабораторных работ сложнее в методическом отношении, чем организация других видов самостоятельных работ. Они требуют от преподавателя большей подготовки, их проводят 2-3 раза в год.

Математика как никакой другой предмет позволяет формировать нужный для самостоятельной работы навык самоконтроля за своей работой.

Остановимся на специфике формирования навыков самоконтроля при проведении математических диктантов, которые желательно проводить после изучения соответствующего материал каждого пункта задачи учителю большей частью приходится составлять самому ,т.к. число задач с установкой на самоконтроль составляет менее 20% от общего числа заданий, имеющихся в учебниках и учебных пособиях по математике для средней школы.

Ответы к заданиям заготавливаются заранее и по окончанию диктанта представляют их для пользования учащимся.

При проведении диктантов учитель должен четко представлять себе результативность следующих видов работ: а) проверка диктантов только учителем; б) взаимопроверка работ соседями по парте; в) взаимопроверка работ соседями по варианту; г) самопроверка;

Наиболее высокий % объективных оценок, как правило бывает при взаимопроверке соседей по варианту. Самый низкий- соседей по парте, т.к. обмен работами в этом случае приводит к перемене варианта задания.
Продуктивность самостоятельной работы зависит во многом от общих умений познавательной деятельности, поэтому учащихся нужно ориентировать на развитие умений обобщать, классифицировать, систематизировать и строить различные схемы изучаемого материала.

При этом целесообразно подчеркивать, что например построение таблиц, схем графиков в ходе изучения материала позволяет увеличивать объем запоминаемой информации(по сравнению с запоминаем на слух на 15-20%).

Организация самостоятельной работы на уроке вызывает большие трудности, здесь нельзя ограничится фронтальными воздействиями: учителю необходимо дифференцировать работу учащихся, 'организовывать управление ею, приблизить самостоятельную работу к реальной практической деятельности.
Решение каждой их этих задач достигается с помощью учебного оборудования.
Уже давно и прочно в практику школы вошли дидактические материалы," составленные по вариантам с различным уровнем трудности заданий.

Управление самостоятельной работой учащихся в значительной мере можно поручить ТПО (таблицы программного обеспечения).

При этой работе облегчается управление классом со стороны учителя.
Доказательство теоремы можно провести в виде структированного текста, содержащего блоки. Обращение к таким таблицам не только способствует непроизвольному и прочному запоминанию, но и учит самостоятельному изучению нужных сведений, работе со справочной информацией.

Хочется отменить организацию уроков- зачетов, которые называются математическими рингами, где ярко выражена самостоятельная работа при подготовке.

За неделю до зачета предлагаются учащимся теоретические вопросы по определенной теме, которые он должен подготовить. К зачету учащиеся переписывают вопросы, а слева оставляют место для оценок за ответы на них.
До зачета договорится, что на своих карточках с тыльной стороны учащиеся проведут красную или желтую, или зеленую полосу, красная полоса обозначает, что обладатель такой карточки уверен в своих знаниях и хочет выйти на ринг одним из первых, желтая полоса свидетельствует о томи, что ученик не слишком уверен в своих знаниях, а зеленая говорит еще о меньшей уверенности.

1-ый вопрос по теории ученики берут из предложенного заранее им списка, а дополнительные вопросы могут быть какими угодно по данной теме.
Ребята могут их записывать из учебника или придумывать сами. Можно предложить и занимательную задачу и чем она оригинальна, тем больше баллов получит тот, кто её предложил, ребята должны быть настолько хорошо подготовлены, чтобы отвечать с "ходу". При ответах разрешается делать на доске схематические чертежи, краткие записи. Если ответ надо подтвердить доказательством, отвечающий получает несколько минут для подготовки. Пока один ученик готовится, вопросы задают другому. За правильностью ответов учитель следит вместе с классом. Каждому ученику разрешается дополнить или i поправить отвечающего. Его активность также оценивается баллами, заработанные баллы выставляются в специальную ведомость. Её. ведет ученик-
"' контролер. В ведомости несколько граф, в которых проставляются баллы за' работу заранее установленного типа. Опрос сильных учащихся продолжается г целый урок.

На втором этапе математического ринга учащиеся экзаменаторы . рассаживаются ,по одному за пронумерованные столы. Этот номер вопроса в списке вопросов, предложенных перед зачетом. Учащиеся, переходя от стола к столу должны побеседовать с каждым экзаменатором, но последовательности бесед они устанавливают сами.

Тот из учащихся, кто почувствовал затруднение, может обратится к учебнику. Ребята с желтой полосой могут воспользоваться учебником дважды, ас зеленой трижды. Штрафные очки им при этом не присуждаются.

На третьем этапе математического ринга происходит подведение итогов, подсчет полученных баллов и выставление каждому участнику определенной оценки.

Условия выставления баллов следующие:

1)3а ответ на каждый их обязательных вопросов - по 10 баллов,

2)3а решение коллективной задачи-10 баллов

3)3а сообщение по теме - 20 баллов
4)3а активное участие в опросе - 3 балла
5)3а оперативность - 5 баллов
6)3а дополнительную задачу-20 баллов.

После подведения итогов учащимся выставляются оценки. Если ученик получит от 110-140 баллов-"5", от 90-100 баллов –«4», от 70-90 баллов-"3", от 60 и меньше.

Решение учеником домашней задачи считается самостоятельной работой, но степень самостоятельности здесь установить трудно. Однако выполнение учащимися различных практических заданий связанных с построениями, измерениями при условии, что они индивидуализированы можно всегда считать самостоятельной работой.

Эффективность самостоятельной работы, формирование навыков самостоятельной деятельности во многом зависит от своевременного анализа результатов работы, когда у ученика еще не окончен процесс корректировки собственных знаний, когда образно говоря, он еще не успел "поспать" быть может ошибочную информацию в память, очевидно, что анализ самостоятельной работы должен носить обучающий характер, т.е. не просто констатировать количество ошибок, а производить их разбор, с тем, чтобы учащиеся смогли до конца понять вопросов котором сделали ошибки.

В управлении самостоятельной работой школьников у учителя наблюдаются такие ошибки:

а) Учителя нередко совершенно избегают единых для всех учащихся учебных заданий из-за боязни списывания, но без этого вообще невозможно организовать учебно-познавательную деятельность, работу всего класса, б) Другая ошибка - когда учебная работа задается фронтально, но учитель не следует за тем, чтобы она сразу протекала в индивидуальной фазе, когда все ученики самостоятельно независимо друг от друга пытаются выполнить упражнение, решить задачу.

Устная работа в таких случаях ведется лишь с активом класса, ведь ответы первых опрошенных учеников дают подсказку остальным. Учебные задания, предназначенные для устной работы должны быть не громоздкими, своего рода учебными заданиями на сообразительность, различных вычислительных расчетов, а ответ имел лаконичную, не громоздкую форму. Если при проведении самостоятельной работы учитель сталкивается и с такими трудностями:

а)учащиеся заканчивают работу не одновременно, поэтому целесообразно включать дополнительные задания для тех, кто работает быстрее. б)трудно подобрать задание, однако посильное для всех учащихся. Если выполняется ряд однотипных упражнений, то здесь его посильность реализуется его объемом; трудно организовать проверку самостоятельной работы. Можно использовать вращающуюся доску или кодоскоп для проверки самостоятельной работы.

Самостоятельная работа как прием обучения может входить почти во все методы обучения, воспитывать в учениках потребность самостоятельно добывать знания, умение творчески пользоваться объяснениями учителя, помощью товарищей, книгами, конспектами одна из важнейших целей нашей работы.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИЙ

ПРИЁМЫ И МЕТОДЫ

§1. Анализ программ и учебников

“Алгебра, 7”, “Алгебра, 8”, “Алгебра, 9”, авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк,
К.И. Нешков, С.Б. Суворова.

”Алгебра, 7”, ”Алгебра, 8”, ”Алгебра, 9”, Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В.
Сидоров и др.

|График функции. Функция|Вводится понятие график функции. начинается работа по|
|y=kx и его график |формированию у учащихся умений находить значение |
| |функции, заданной графиком, по известному значению |
| |аргумента, а также определять по графику функции |
| |значение аргумента, если значение функции задано. |
| |Изучение линейной функции предшествует изучение |
| |функции y=kx и ее график. Рассматривается |
| |зависимость расположения графика функции от значения|
| |коэффициента k. Учащиеся должны понимать, как влияет|
| |знак k на расположение графика. |
|Функции y=x , y=ax , |Научит строить график квадротичной функции. |
|y=ax +bx+c и их графики|Последоательно знакомить с графиками и свойствами |
| |этих функций. Построение этих графиков на конкретных |
| |примерах осушествляется по точкам. Основное внимание |
| |уделяется построению графика с использованием |
| |координат вершины параболы, нулей функции (если они |
| |имеются) и нескольких дополнительных точек. |
| |Преобразования же графиков являются вспомогательным |
| |материалом. Формируются умения определять по графику |
| |промежутки возростания и убывания функции, промежутки|
| |знакопостоянства, нули функции |
|Функция y=k/x |Выработать умение устанавливать основные свойства |
| |(читать график), по заданному графику функции y=x , |
| |y=x , y=1/x, y= x, y=k/x, y=ax +bx+c и изображать |
| |эскизы графиков этих функций. |

“Математика 7: Арифметика. Алгебра. Анализ данных”, “Математика 8: Алгебра функции. Анализ данных”, Математика 9: Алгебра функции. Анализ данных”, авт. Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.

Старшая школа

«Алгебра и начала анализа, 10 – 11 класс», авт. М.И Башмаков.

Программа для школы с углубленным изучением математики.

«Алгебра, 8», авт. Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло и др.
«Алгебра, 9», авт. Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И.
Кудрявцев.

|Тема |
|График функции. Простейшие преобразования графиков (параллельные переносы |
|вдоль координатных осей). График функции y=k/x. График дробно – линейной |
|функции. График функции вида y=?x, y=?((x-m)+n. Отражение свойств функции на |
|графике. Преобразование графиков функций: симметрия относительно осей |
|координат и относительно прямой y=x. Построение графиков кусочно-заданных |
|функций. Построение графиков функций связанных с модулем. Примеры построения |
|графиков рациональных функций. Графики функций y=[x], y={x}. Графики функций |
|y=xn, y=?x. |

«Алгебра, 8», «Алгебра, 9», авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нелеков,
С.Б. Суворова, «Учебные пособия, Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 (9) класса», авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.

|Тема |
|Построение преобразование графиков функций. График функции y=k/x. График |
|дробно – линейной функции. График функции вида y=?x, y=?((x-m)+n. График |
|квадратичной функции. Построение графиков функций. График функций y=-f(x), |
|y=f(-x), y=-f(-x), y=|f(x)|, y=f(|x|)). [Графики функций y=|x| и y={x}.].) |

«Алгебра и математический анализ, 10», «Алгебра и математический анализ,
11», авт. Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.

|Тема |
|Построение графиков функций элементарными методами. Преобразование графиков. |
|Графики дробно – линейных функций. Графики функций, связанных с модулем. |
|Графики взаимно обратных функций. Построение графиков функций с помощю |
|производной. Графики тригонометрических функций. Графики показательной и |
|логарифмической функции |
§2. Построение графика функций с помощью преобразования

Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида.
График функций вида: y=Af(?x+b)+B может быть получен из графика функций y=f(x) при помощи следующих геометрических преобразований:
1. а) Осевой симметрии относительно оси 0X; б) осевой симметрии относительно оси 0Y; в) центральной симметрии относительно начала координат точки 0;
2. а) Параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0X; б) параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0Y;
3. а) Растяжения (или сжатия) по направлению оси 0X; б) растяжения (или сжатия) по направлению оси 0Y;

Отметим, что:

1. а) При осевой симметрии относительно оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x; -y); б) При осевой симметрии относительно оси 0Y точка (x; y) переходит в точку
(-x; y); в) При центральной симметрии относительно начала координат (x; y) переходит в точку (-x; -y);

2. а) При параллельном переносе вдоль оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x+a; y), где а – некоторое число при этом перенос происходит

«вправо», если а>0, и «влево», если а0, и «вниз», если b0, p?1) вдоль оси 0X относительно 0Y точка (x; y) переходит в точку (px; y); б) При растяжении (сжатии) в q раз (q>0, q?1) вдоль оси 0Y относительно 0X точка (x; y) переходит в точку (x; qy);
Применительно к графикам функций эти свойства дают те конкретные геометрические преобразования (табл. 1), использование которых позволяет из известного графика функции y=f(x) строить графики других функций (рис. 1 -
11).

Таблица №1

[pic]

Рассмотрим несколько примеров построения графиков функций:

Пример 1. График функции y=2x-3 получается из графика y=2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0Y вниз на отрезок длины 3.
Переписав 2x-3 в виде 2(x-3/2), замечаем, что график функции y=2(x-
3/2) можно получить из графика функции y=2x при помощи

параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3/2 (рис.
12).

Пример 2. График функции y=4x2 получается из графика функции y= x2 растяжением последнего в 4 раза вдоль оси 0Y относительно оси 0X. Переписав
4x2 в виде (2x)2 , замечаем, что график функции y= x2 можно получить из графика функции y= x2 сжатием последнего в 2 раза вдоль оси 0X относительно оси 0Y (рис. 13).

Пример 3. График функции y= 2x-3 получается из графика y= 2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3.
Переписав 2x-3 в виде(1/8)*2x , замечаем, что график функции y=(1/8)*2x можно получить из графика функции y=2x сжатием последнего в 8 раз вдоль оси 0X (рис. 14).

Пример 4. Построить график функции: y=1/2arctg(i/4-x)
Решение: построение графика данной функции может быть проведено по следующей схеме (рис. 13): arctg > arctg(-x) > 1/2arctg(-x) > 1/2arctg(-(x-1/4)).

Пример 5. Построить график функции: y=ax2 +bx+c, a?0.
Решение: квадратный трехчлен ax2+bx+c можно записать в виде a(x+(b/2a))2+(4ac-b2)/4a. Отсюда видно, что график функции y=ax2
+bx+c, получается из параболы y=x2 по следующей схеме: x2> ax2> ax2+(4ac- b2 )/4a > a(x+b/(2a))2 +(4ac-b2 )/4a т.е. для построения графика y=a x2+bx+c надо:
1. Растянуть в |а | раз, если |а | >1 (сжать |1/а | раз, если |а | (x-5/2)2 -1/4= x2 -5x+6

На рисунке изображен график функций y=| x2-5x+6|

Иногда функция, график которой должен быть построен, представляется как сумма двух простейших функций, графики которых нам знакомы или легко могут быть построены. В этом случае можно применить приём графического сложения ординат этих графиков (для краткости говорят просто о сложении графиков.) покажем этот приём на примерах.

Пример 1. Построить график функций y=x3 +2x+2.
Решение: можно представить данную функцию как сумму функций y=x3 и y=-2x+2, графики которых нам хорошо знакомы. Они изображены на рис. 16 тонкими линиями: это прямая y=-2x+2 и кубическая парабола y=x3. Далее производится суммирование ординат: к ординатам точек кубической параболы прибавляются (с учетом знака!) ординаты точек прямой. При выполнении этой операции удобно пользоваться мерительным циркулем; следует использовать наиболее важные и характерные точки каждого из графиков (в нашем примере – вершину O(0; 0) параболы, точки пересечения прямой с осями и т.д.). Итогом построения служит график, показанный жирной линией. Мы можем много сказать о функции: она имеет максимум и минимум, обращается в нуль в одной точке и т.д.
Положение этих характерных точек её графика мы могли бы найти приближенно по чертежу.

Пример 2. Построить график функций y=2ч-2x.
Решение: график данной функции можно получить сложением графиков показательной функции y=2x и линейной функции y=-2x. Это сделано на рис.
17. График пересекает ось OX в точках x=1, x=2, являющихся нулями функции y=2ч-2x.

Обратим ещё внимание на то, что прямая y=-2x является асимптотой графика
(т.к. при x, стремящимся к минус бесконечности, разность между значениями функций y=2ч-2x и y=-2x стремится к нулю). Из построения видно, что функция имеет точку минимума, найти её точное положение для нас затруднительно.

Пример 3. Построить график функций y=x2-x4.
Решение: график может быть построен вычитанием ординат графика y=x4 из ординат графика y=x2 (рис. 18). В данном случае полезно дополнить это построение некоторым общим исследованием свойств функции y=x2-x4. Ясно, что функция определена для всех значений x и является четной. Она обращается в нуль при x=0, x= ±1. Как видно из построения графика методом вычитания, следует ожидать у функции наличия двух точек максимума. В данном случае их нетрудно найти; преобразуем выражение функции: y=x2-x4=1/4-(1/4- x2+x4)=1/4-( x2-1/2) 2 .
Теперь видно, что наибольшее значение y=1/4 функция имеет при х=±1/(2.
Точка x=0 является точкой минимума данной функции (но значение функции в этой точке, равное нулю, не есть её наименьшее значение).
(книга 2)

Используя геометрические преобразования, рассмотренные выше, в их различных комбинациях, можно построить и графики более сложных функций.

Пример1. Построить график функций y= |||x |- - 1| -2|
Решение: график данной функции можно построить по графику функции y=|| x|
-1| , если последний параллельно перенести вдоль оси 0Y вниз на отрезок длины 2, а затем эту часть полученного графика функции y= ||x |- - 1| -2, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отобразить относительно оси 0X. График функции y= ||x |- - 1| можно построить по графику функции y= |x|- если последний параллельно перенести вдоль оси 0Y вниз на отрезок длинны 1, а затем ту часть полученного графика функции y=
|x|- - 1, которая расположена в нижней плоскости, симметрично отобразить относительно оси 0X.

Таким образом, график заданной функции может быть построен согласно схеме: x>|x|>|x|--1>||x|--1|> ||x|--1|--2>|||x|--1|-2|

§3. Применение производной к построению графика функции

Графики функций строятся по точкам. Обычно из уравнения y=f(x) находят несколько точек графика функций y=f(x) и соединяют эти точки плавной кривой. Однако при таком методе легко пропустить какие-то особенности графика и допустить ошибку в построении.

Для построения графика функции нужно исследовать её свойства. Прежде всего надо найти область определения функции, а потом исследовать функцию на честность и периодичность. Т.к. график четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной - относительно начала координат, то для четных и нечетных функций можно ограничится исследованием их свойств лишь при х?0. Если периодическая и Т – её основной период, то можно ограничится исследованием свойств функции на промежутке длинны Т.

Далее полезно найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции. Дело в том , что если, скажем, на интервале (a; b) функция y=f(x) принимает только положительные значения, то график её на этом интервале лежит выше оси Ох. Значит, часть плоскости, лежащею под указанным интервалом, можно заштриховать – там графика нет. Эта часть исследования позволяет указать области, где может лежать график функции. После этого можно изучить поведения функции на границах области определения, установить характер точек разрыва (если они есть), найти асимптоты. Наконец следует найти промежутки возрастания и убывания функции и исследовать её на экстремум.

Подводя итог всему сказанному выше, получаем следующую схему исследования свойств функции и построения ее графика.

1. Найти область определения функции,

2. Исследовать функцию на четность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат.

5. Определить промежутки знакопостоянства.

6. Исследовать функцию на границах области. Найти асимптоты.

7. Исследовать функцию на экстремум.

8. Составить таблицу значений функции для некоторых значений аргумента.

9. Используя все полученные результаты ,построить график функции.

Пример 1. Построить график функции y= x4-2 x2-8.
Решение. 1.Функция определена при любом значении x,т.е. D=(f)=R.
2. Так как область определения функции - симметричное множество и f(- x)=f(x),то функция четна .Следовательно график функции симметричен относительно оси Оy и для дальнейшего исследования можно ограничится промежутком [0,+ ]. Но в данном примере мы этого делать не будем.
3Функция непериодическая.

4. Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Для этого решим уравнение x4- x2-8=0. Пологая u= x2,получим квадратное уравнение u2- u-8=0. Пологая u= x2, получим квадратное уравнение u2- u-8=0, имеющее корни 4 и –2. Из уравнения x2=4 находим х=2, х=-2, уравнение x2=-2 не имеет решений. Мы нашли две точки пересечения с осью Ох:(2;0) и (-

2;0).

С осью Оу график функции пересекается в точке(0;-8).

5. Найдем интервалы знакопостоянства функции.

Заданная функция не прерывна на всей числовой прямой обращается в 0 в точках 2 и –2. Значит, в промежутках (- ,-2). (-2;2) и (2; ) она сохраняет постоянный знак Чтобы определить знак функции на каждом из указанных промежутков, достаточно взять по одной “пробной” точке из каждого промежутка.
Имеем –100 (- ,2), f(-100)=(-100)4-2(-100)2-8>0. Значит, f(x)>0 в промежутке (- ; -2). Далее, 0?(-2; 2), f(0)=-80, а потом f(x)>0 в промежутке
(2; + ).

На рисунке представлена геометрическая иллюстрация тех сведений о графике, которыми мы располагаем к настоящему моменту. Заштрихованы те участки координатной плоскости, где графика нет, отмечены известные точки(0; -8), (2; 0), (-2; 0). Это – ответ на вопрос, где расположен график. Дальнейшее исследование позволяет ответить на вопрос, как строить график.

6) Изучим поведение функции вблизи границ области определения.
Поскольку D(f)=(- ; + ), такими «границами»можно считать - и + . преобразовав выражение x4-2x2-8 к виду x2-( x2-2-8/ x2), замечаем, что если х>- или х>+ , то у>+ .

Асимптот график не имеет.

7) Исследуем функцию на экстремум; имеем y’=4 x3-4x=4x(x-1)(x+1)
Прировняв производную нулю, находим три корня: 0, 1, -1. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки (- ; -1), (-1;0), (0;1), (1; + ).
Если х>1, то у'>0, а в остальных промежутках знаки чередуются справа на лево, смотри рисунок.

Составим таблицу:
|x |- 0при любых х. Значит на луче (0; + ) функция возрастает и экстремумов не имеет.

8. Составим таблицу значения функции:
|x |1 |0.5 |0.25 |2 |3 |4 |
|y |0 |-1.5 |-3.75 |1.5 |2.67 |3.75 |

9. отметив найденные точки на координатной плоскости и учитывая результаты исследования, строим ветвь графика при х>0, смотри рисунок.

Т.к. график функции y=(x2-1)/x, симметричен относительно начала координат, то добавив к построенной ветви симметричную ей относительно начала координат, получим искомый график.

10. Глава 3. ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИЯ

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ФУНКЦИЙ В

ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

В настоящее время каждый учитель математики ставит перед собой задачу не только сообщить школьникам определенную сумму знаний, наполнить их память некоторым набором фактов и теорем, но и научить учащихся думать, развить их мысль, творческую инициативу, самостоятельность. Привитие ученикам навыков самостоятельной работы, умения ориентироваться в поступающей информации, умения самостоятельно пополнять свои знания — это сложный и длительный процесс, требующий специально организованной и целенаправленной работы учителя, в которой, так же как и в любой другой работе. выделяются определенные этапы.

Среди совокупности умений и способов деятельности, которыми овладевают учащиеся при изучении математики, существуют такие, которыми должен прочно овладеть каждый ученик, для того чтобы учебный процесс протекал нормально.

Изучению функций и их свойств посвящена значительная часть курса алгебры. И это не случайно. Понятие функции имеет огромное прикладное значение. Умения, приобретаемые школьниками при изучении функций, имеют прикладной и практический характер. Они широко используются при изучении, как курса математики, так и других школьных предметов — физики, химии, географии, биологии, находят широкое применение в практической деятельности человека. От того, как усвоены учащимися соответствующие умения, зависит успешность усвоения многих разделов школьного курса математики.

При выделении обязательных задач по теме «Функции», следует ориентироваться на то, что обучение в VI—VIII классах представляет собой не завершающий, а промежуточный этап в системе математического образования каждого школьника:
На базе полученной им математической подготовки строится его дальнейшее обучение. Поэтому для определения реально необходимого уровня сформированности умений по каждому вопросу, в первую очередь, следует проанализировать характер и уровень использования этих умений на следующих ступенях обучения. Кроме того, важное значение имеет характер применения математических знаний учащихся в смежных школьных предметах.

Применительно к функциональному материалу естественным представляется проанализировать характер его применения в курсе алгебры и начал анализа, геометрии, а также школьного курса физики. Анализ теоретического и задачного материала этих курсов позволяет выделить две группы умений, за формированием которых следует тщательно следить при изучении всех видов конкретных функций,— умения работать с формулой, задающей функцию, и умения работать с графиком этой функции.

К умениям работать с формулами относятся "следующие.
Если функции вида y=kx+b, у=k/x, y=ax2+bx+c, у=х3, y=(x заданы формулами с конкретными значениями параметров, то учащиеся должны уметь:

— указать область определения функции;

— вычислить значение функции, соответствующее заданному значению аргумента;

—вычислить значение аргумента, при котором функция принимает заданное значение;

— определить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции,

Все эти умения широко используются в разной деятельности учащихся, входят в качестве составных в большое число других умений. Так, например, умение найти значение функции при заданном значении аргумента используется при построении графиков функций, нахождении наибольшего и наименьшего значений функции, вычислении пределов функций, интегралов и др. В курсе физики оно используется практически при изучении всех вопросов. Это так называемые вычисления по формулам: длины пройденного пути при равномерном прямолинейном движении, силы тока в проводнике, координаты тела при равномерном и равноускоренном движении и т.. д. Умение записать нужное равенство, зная, что заданная точка принадлежит графику функции (а также графику уравнения), требуется учащимся, например, в курсе геометрии при выводе уравнений прямой, окружности, плоскости.

Важнейшее значение в функциональной подготовке учащихся - имеет формирование графических умений. График — это средство наглядности, широко используемое при изучении многих вопросов в школе.

График функции выступает основным опорным образом при формировании целого ряда понятий — возрастания и убывания функции, четности и нечетности, обратимости функции, понятия экстремума. Без четких и сознательных представлений учащихся о графике невозможно привлечение геометрической наглядности при формировании таких центральных понятий курса алгебры и начал анализа, как непрерывность, производная, интеграл. Поэтому заниматься формированием графических представлений в старших классах уже поздно. К этому времени у учащихся должны быть выработаны прочные умения как в построении, так и в чтении графиков функций. Прежде всего учащиеся должны уметь свободно строить графики основных функций: y=kx+b, у=k/x, y=ax2+bx+c, (при конкретных значениях параметров), у=х3, y=(x

Необходимой базой последующего применения функционального материала являются прочные самостоятельные умения учащихся в чтении графиков функций.
Они должны уметь уверенно и свободно отвечать с помощью графика на целый ряд вопросов: ,

— по заданному значению одной из переменных х или у определить значение другой;

— определять промежутки возрастания и убывания функции;

— определять промежутки знакопостоянства;

— для квадратичной функции указывать значение аргумента, при котором функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, а также определять это значение.

Ученики должны хорошо представлять себе вид графиков некоторых функций, а именно: у=х, у=—х, у=х2, и уметь без специального построения по точкам показать их расположение в координатной плоскости.

И наконец, учащиеся должны применять графики изученных перечисленных выше функций для графического решения уравнений, систем уравнений, неравенств вида f(x)?0.

Достижение„всеми учащимися выделенных результатов обучения требует специальной ориентации процесса обучения, серьезной и тщательной работы учителя по обеспечению такого усвоения. При этом правильно организованная работа по обучению учащихся решать основные типы задач не только не противоречит тезису о развитии самостоятельности учащихся в учебной деятельности, но и способствует такому развитию, закладывает основы обучения школьников обще учебным умениям, умениям самостоятельной работы.
Остановимся на некоторых из этих вопросов.

Прежде всего, одним из условий эффективности этой работы является своевременное ознакомление учащихся с основными требованиями к их знаниям и умениям. Это может делаться в различной форме. Приступая к изучению какой- либо функции, целесообразно сообщить учащимся в самом общем виде, какими умениями они должны овладеть в обязательном порядке. Например, начав изучать функцию вида y=ax2+bx+c, можно указать учащимся, что усвоение этого материала будет оценено положительно только в том случае, если они научатся строить график квадратичной функции и по графику отвечать на некоторые вопросы. В ходе изучения материала следует уточнить требования, конкретизировав их вторую часть. При этом, если имеется такая возможность, полезно указать номера упражнений, отражающих основные требования.

Сформировать прочные умения в построении и чтении графиков функций, добиться, чтобы каждый ученик мог выполнять основные виды заданий самостоятельно, можно только при условии выполнения учащимися достаточного числа тренировочных упражнений. Но было бы большой ошибкой, если бы эта работа ограничивалась только тренировкой. Обоснованность действий, сознательность при их выполнении, внимание к формированию умений обще учебного характера — непременное условие прочности в овладении умениями.
Рассмотрим это на примере отработки умения строить графики функций.

Часто приходится наблюдать, особенно в практике работы неопытных учителей, что при формировании этого умения они ограничиваются исключительно тренировочными упражнениями, не уделяя должного внимания овладению понятиями, изучению свойств функций. Результатом является то, что при затрате больших сил и времени учащиеся так и не приобретает умения свободно и уверенно строить графики. Проанализируем один пример. В итоговой контрольной работе по алгебре за курс VI класса учащимся было предложено построить график функции, заданной формулой у=2х—1. Многие учащиеся справились с заданием. Однако среди ошибок были такие, которые свидетельствовали о несформированности не только умения строить график линейной функции, но и строить график вообще. В некоторых работах на рисунке вместо прямой можно было видеть некое подобие параболы или гиперболы. Иногда это была и прямая, но проходящая через другие координатные углы. Ученики, таким образом выполнившие задание, усвоили только одно: для того чтобы построить график функции, надо находить координаты точек, принадлежащих графику. Допущенные в вычислениях ошибки не
Позволили им верно выполнить задание, однако проконтролировать себя в ходе его решения они не смогли. Это свидетельствуемо том, что в ходе обучения построению графиков функций акцент делался на механическое повторение способов построения графиков отдельных функций и недооценивалось значение теоретических знаний.

При обучении учащихся построению графиков функций следует ориентироваться не на формальное повторение школьниками отдельных приемов построения графиков, а на сознательное усвоение материала. Необходимо уделять серьезное внимание усвоению соответствующих понятий, изучению свойств функций и формированию на этой основе способов построения графиков.

При изучении всех видов функций построение графика полезно проводить по одному и тому же общему плану, добиваясь от учащихся его непременного соблюдения:
1. по формуле распознать вид функции (линейная, квадратичная и т. д.)
2. вспомнить, что является графиком функции такого вида (прямая, парабола и т. д.)
3. выяснить, исходя из формулы, некоторые характерные особенности этого графика (так как k>0, то угол наклона прямой к оси х острый; так как а

Реферат: Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)

Похожие работы: