Андреев А.А., Савин А.Н.

Антье и ее свойства

Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Обозначается целая часть x символом "[x]". Далее целую часть x будем также называть "антье" (от франц. entire-целый). Например: [3,5]=3, [-3,5]=-4, [3]=3, [-5]=-5.

Наряду с целой частью числа существует понятие дробной части числа, которая обозначается "{x}" и определяется следующим образом: {x} = x-[x]. Так {3,5}=0.5, {-3,5}=-0.5, {5}=0, {-5}=0. Очевидно, что для любого действительного числа x выполняется двойное неравенство:0 Ј {x} < 1.

Антье обладает различными свойствами. Перечислим некоторые из них.

1. Если x і 0, то [x] і 0. Если x < 0, то [x] < 0.

2. Если p- целое число, то [x+p] = [x]+p.

Так как дробная часть числа x равна дробной части числа x+p, то из равенства {x+p} = {x} следует x+p-[x+p] = x-[x], откуда получаем [x+p] = [x]+p.

3. Для любых двух действительных чисел a и b справедливо [a+b] і [a]+[b].

Действительно, a = [a]+{a}, b = [b]+{b}. Следовательно, a+b = [a]+[b]+{a}+ {b}. Так как[a] и [b]- целые числа, то по свойству 2

[a+b] = [[a]+ [b]+{a}+{b}] = [a]+[b]+[{a}+ {b}] і [a]+ [b],

потому что {a},{b} і 0 и по свойству 1 [{a}+ {b}] і 0.

Свойство 3 распространяется также на любое конечное число действительных чисел:

[a+b+...+w] і [a]+[b]+...+ [w].

4. Если [x] = [y], то |x-y| < 1.

Так как x = [x]+{x}, y = [y]+{y}, то |x-y| = |[x]+{x}-[y]-{y}| = |{x}-{y}| <1. Последнее неравенство следует из того, что дробная часть числа больше или равна нулю и меньше единицы. Следовательно, разность дробных частей двух чисел больше -1 и меньше 1, а модуль этой разности меньше 1. Отсюда |x-y| < 1.

5. Если n- натуральное число, то для любого действительного x выполняется

é ê ë [x] n ù ú û = é ê ë x n ù ú û .

Так как x = nq+r+a, 0 Ј r < n, a = {x}, то

é ê ë

[x] n

ù ú û

=

é ê ë

nq+r n

ù ú û

=

é ê ë

q+

r n

ù ú û

= q

é ê ë

x n

ù ú û

=

é ê ë

nq+r+a n

ù ú û

=

é ê ë

q+

r+a n

ù ú û

= q.

Теперь, познакомившись с целой и дробной частью, можно рассмотреть следующий

Пример 1. Доказать, что для всех вещественных a и b выполняется неравенство

[a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b].

Решение.

Пусть [a+b] = [a]+[b]+e3; [2a] = 2[a]+e1; [2b] = 2[b]+e2; где ei- целое. Покажем, что e3 равно 0 или 1. Имеет место неравенство

-1 = a+b-1-a-b < [a+b]-[a]-[b] < a+b-a+1-b+1 = 2.

Отсюда получаем, что -1 < e3 < 2, откуда e3 = 0 или e3 = 1, то же верно для e1, e2. Рассмотрим разность

[2a]+[2b]-[a]-[b]-[a+b] = [a+a]+[b+b]-[a]-[a+b]-[b] = = [a]+[a]+e1+[b]+[b]+e2-[a]-[a]-[b]-e3-[b] = e1+e2-e3.

Осталось показать, что e1+e2-e3 і 0, ei = 0 или 1. Это неравенство может быть нарушено только при e1 = e2 = 0 и e3 = 1. Покажем, что это невозможно. Если e1 = 0 то [2a] = 2[a], т.е. a = N+d, где N- целое, а 0 Ј d < 0,5, аналогично, b = K+l, где K- целое, а 0 Ј l < 0,5, но тогда [a+b] = N+K = [a]+[b], т.е.e3 = 0. Мы пришли к противоречию, следовательно [a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b], что и требовалось доказать.

Пример 2. Найдите

lim n®Ґ {(2+Ц2)n}.

Решение

Число Nn = (2+Ц2)n+(2-Ц2)n является целым при любом натуральном n. Поэтому

lim n®Ґ {(2+Ц2)n} = lim n®Ґ {Nn-(2-Ц2)n} = lim n®Ґ {-(2-Ц2)n} = lim n®Ґ (1-{(2-Ц2)n}) = 1,

так как {-z} = 1-{z}, если z- не целое число, и |2-Ц2| < 1.

Пример 3. Найдите [x], если x=1+(1/2)2+(1/3)2+...+(1/1997)2.

Решение

Для любого натурального числа n і 2 справедлива оценка

1 N2 < 1 n(n-1) = 1 n-1 - 1 n .

Применим эту оценку ко всем слагаемым числа x, начиная со второго:

x < 1+ æ ç è 1- 1 2 ö ÷ ø + æ ç è 1 2 - 1 3 ö ÷ ø +...+ æ ç è 1 1996 - 1 1997 ö ÷ ø = 2- 1 1997 < 2.

Так как 1 < x < 2, то [x] = 1.

Графики антье

Наверно вы уже где-нибудь встречали графики функции y=[x], так называемые "ступени", и y={x}- "забор"; оба графика приведены на рисунках ниже.

<>

<>

Рассмотрим общий метод построения графиков функций y=[f(x)], y=f([x]), y={f(x)}, y=f({x}).

Построение графика функции y=[f(x)].

Итак, пусть график функции y=f(x) построен (рисунок ниже слева черным цветом). Построение графика функции y=[f(x)] выполняют в следующем порядке:

<>

<>

1) проводят прямые y= n (n ОZ) и рассматривают одну из полос, образованных прямыми y=n и y=n+1;

2) точки пересечения прямых y=n, y=n+1 с графиком функции y=f(x) будут принадлежать графику функции y=[f(x)], поскольку их ординаты- целые числа; другие точки графика y=[f(x)] в рассматриваемой полосе получим как проекцию части графика y=f(x) на прямую y=n, поскольку любая точка этой части графика функции y=f(x) имеет такую ординату y1, что n Ј y1 < n+1, т.е. [y1] = n;

3) в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y=f(x), построение проводится аналогично.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График функции y=[arcsinx] выделен красным цветом).

Построение графика фунции y=f([x]).

Пусть график функции y=f(x) построен (рисунок слева ниже черным цветом). Построение графика функции y=f([x]) выполняют в следующем порядке:

<>

<>

1) проводят прямые x=n (n ОZ) и рассматривают одну из полос, образованную линиями x=n, x=n+1;

2) точки пересечения графика функции y=f(x) с прямыми y=n принадлежат графику функции y=f([x]), поскольку их абсциссы- целые числа; другие точки графика функции y=f([x]) в рассматриваемой полосе получим как проекцию части графика функции y=f(x), которая находится в этой полосе, на прямую y=f(n), поскольку любая точка этой части графика имеет такую абсциссу x1, что n Ј x1 < n+1, т.е. [x1]=n;

3) в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y=f(x), построение производится аналогично.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График функции y=[ax]2 выделен красным цветом).

Построение графика фунции y={f(x)}.

Теперь рассмотрим метод построения графика функции y={f(x)}, а так как {f(x)}=f(x)-[f(x)], то вместо графика функции {f(x)} строят разность графиков функций y = f(x) и y = [f(x)]. График на левом рисунке выделен красным цветом.

<>

Практически это построение выполняют так: 1) строят график функции y=f(x) и проводят прямые y=n (n ОZ);

2) в точках пересечения этих прямых с графиком функции y=f(x) проводят прямые, параллельные оси ординат. Значения функции y={f(x)} попадают в образованные прямоугольники. Части графика функции y = f(x), которые попали в эти прямоугольники и располагаются в верхней полуплоскости, опускают вниз на расстояние n. Части графика функции, попавшие в нижнюю полуплоскость переносят вверх на расстояние |n|+1.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа. (График функции y={ax} выделен красным цветом).

Построение графика фунции y=f({x}).

Проще всего строятся графики функции y=f({x}). Легко заметить, что такие функции периодичны с периодом T=1, и на отрезке [0;1] f({x})=f(x). Отсюда следует способ построения графика функции y=f({x}):

1) строят график функции y=f(x) на [0;1);

2) продолжают этот график, учитывая свойство периодичности функции y=f({x}) и y=1/x2.

<>