Рефетека.ру / Математика

Статья: Интеграл помогает доказать неравенство Коши

С. Берколайко

Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]

Пусть a1, a2, ..., an – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:

 a1 + a2 + ... + an

n

> n a1 a2 ... an .
(1)

Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме:

(Sn ) n > a1 a2 ... an . (2)

Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ Sn ≤ ak+1 ≤ ... ≤ an–1 ≤ an. (3)

Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство

b

 b – a

b

<

 dt

t

= ln

 b

a

<

 b – a

a

,
a
(4)

где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем

 b – a

b

= ln

 b

a

=

 b – a

a

.

Интеграл помогает доказать неравенство Коши

Из (3) и (4)

 Sn – a1

Sn

+

 Sn – a2

Sn

+ ... +

 Sn – ak

Sn

≤ ln

 Sn

a1

+ ln

 Sn

a1

+ ... + ln

 Sn

ak

,
(5)

или

 kSn – (a1 + a2 + ... + ak)

Sn

≤ ln

 (Sn)k

a1 a2 ... ak

.
(6)

Опять-таки из (3) и (4)

ln

 ak+1

Sn

+ ln

 ak+2

Sn

+ ... + ln

 an

Sn

 ak+1 – Sn

Sn

+

 ak+2 – Sn

Sn

+ ... +

 an – Sn

Sn

,
(7)

или

ln

 ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

 (ak+1 + ... + an) – (n – k)Sn

Sn

.
(8)

Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)

ln

 ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

≤ ln

 (Sn)k

a1 a2 ... ak

.
(9)

Поскольку среди чисел a1, a2, ..., an есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать

ln

 ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

< ln

 (Sn)k

a1 a2 ... ak

,

или

 ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

<

 (Sn)k

a1 a2 ... ak

,

откуда вытекает (2).

Если же a1 = a2 = ... = an, то, очевидно,

 a1 + a2 + ... + an

n

= n a1 a2 ... an .

Похожие работы:

  1. • Интеграл помогает доказать неравенство Коши
  2. • Интеграл помогает доказать неравенство Коши
  3. • Применение неравенств при решении олимпиадных задач
  4. • Математический обзор
  5. • Нестандартные методы решения задач по математике
  6. • Обобщение классических средних величин
  7. • Интеграл по комплексной переменной
  8. • Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и ...
  9. • Применение производной и интеграла для решения ...
  10. • Организация познавательной деятельности учащихся на ...
  11. • Задачи Пятого Турнира Юных Математиков
  12. • Применение производной и интеграла для решения уравнений и ...
  13. • Интеграл по комплексной переменной
  14. • Розв"язання задачі Коші для звичайного ...
  15. • Основы математического анализа
  16. • Многомерная геометрия
  17. • Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление
  18. • Комплексный анализ
  19. • Применение графиков в решении уравнений
Рефетека ру refoteka@gmail.com