Рефетека.ру / Математика

Учебное пособие: Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова

(технический университет)


А.П. Господариков, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Учебно-методическое пособие


САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2005

УДК 512 + 517.2 (075.80)

ББК 22.161.5

Г723


Учебно-методическое пособие дает возможность получить практические навыки анализа функций с помощью разложения в ряд Фурье или представления интегралом Фурье и предназначено для самостоятельной работы студентов дневной и заочной форм обучения специальностей.

В пособии рассмотрены основные вопросы операционного исчисления и широкий класс технических задач с применением основ операционного исчисления.


Научный редактор проф. А.П. Господариков


Рецензенты: кафедра высшей математики № 1 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета; доктор физ.-мат. наук В.М. Чистяков (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет).


Господариков А.П.

Г723. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление: Учебно-методическое пособие / А.П. Господариков, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян; Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет). СПб, 2005. 102 с.


ISBN 5-94211-104-9

УДК 512 + 517.2 (075.80)

ББК 22.161.5

Введение


Из теории Фурье известно, что при некотором воздействии на физические, технические и другие системы, его результат повторяет форму начального входного сигнала, отличаясь только масштабным коэффициентом. Понятно, что на такие сигналы (их называют собственными) система реагирует наиболее простым образом. Если произвольный входной сигнал есть линейная комбинация собственных сигналов, а система линейна, то реакция системы на этот произвольный сигнал есть сумма реакций на собственные сигналы. И поэтому полную информацию о системе можно получить по «кирпичикам» – откликам системы на собственные входные сигналы. Так поступают, например, в электротехнике, когда вводят частотную характеристику системы (передаточную функцию). Для наиболее простых линейных, инвариантных во времени систем (например, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами) в некоторых случаях собственными функциями являются гармоники вида Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Таким образом можно получить и результат произвольного воздействия на систему, если последний будет представлен в виде линейной комбинации гармоник (в общем случае, в виде ряда Фурье или интеграла Фурье). Вот одна из причин, по которой в теории и приложениях возникает потребность применения понятия тригонометрического ряда (ряда Фурье) или интеграла Фурье.

Глава 1. Ряды Фурье


§ 1. Векторные пространства


Здесь приведены краткие сведения из векторной алгебры, необходимые для лучшего понимания основных положений теории рядов Фурье.

Рассмотрим множество W геометрических векторов (векторное пространство), для которого обычным образом введены понятие равенства векторов, линейные операции (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и операции скалярного умножения векторов.

Введем в пространстве W ортогональный базис, состоящий из трех попарно ортогональных векторов Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Произвольный вектор Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление является линейной комбинацией векторов базиса:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (1.1)


Коэффициенты li (i = 1, 2, 3), называемые координатами вектора Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление относительно базиса Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, могут быть определены следующим образом. Скалярное произведение вектора Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и одного из векторов базиса Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


В силу ортогональности базиса скалярные произведения Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, следовательно, в правой части последнего равенства отлично от нуля лишь одно слагаемое, соответствующее Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, поэтому Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, откуда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (1.2)

где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Если векторы Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление заданы своими координатами Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то их скалярное произведение


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Так как при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениескалярное произведение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то в двойной сумме отличны от нуля лишь слагаемые с равными индексами, поэтому


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (1.3)


В частности при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление из (1.3) следует

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (1.4)


§ 2. Скалярное произведение и норма функций


Обозначим символом Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление множество функций, кусочно-непрерывных на промежутке [a, b], т.е. функций, имеющих на промежутке [a, b] конечное число точек разрыва первого рода и непрерывных во всех остальных точках этого промежутка.

Скалярным произведением функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называется число


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Свойства скалярного произведения функций полностью совпадают со свойствами скалярного произведения векторов:


1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

2. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

3. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Таким образом, скалярное произведение линейно зависит от своих компонентов. Это свойство называется билинейностью скалярного произведения.

Функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называются ортогональными Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на [a, b], если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Нормой функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на промежутке [a, b] называется неотрицательное число Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, квадрат которого равен скалярному произведению функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на себя:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Свойства нормы функции во многом совпадают со свойствами модуля вектора:

1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

2. Если функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление непрерывна на [a, b] и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Так как Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


откуда Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Дифференцируя последнее соотно- шение по Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и применяя теорему Барроу, получим Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и, сле-довательно, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

3. теорема косинусов


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Следствие. Если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (теорема Пифагора).


4. Обобщенная теорема Пифагора. Если функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление(k = = 1, 2, …, n) попарно ортогональны на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Используя свойство билинейности скалярного произведения, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


В силу ортогональности функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление скалярные произведения Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, поэтому

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


5. неравенство Коши – Буняковского Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, или, что то же самое,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


При любых вещественных Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Таким образом, квадратный трехчлен в левой части последнего неравенства сохраняет знак на всей вещественной оси, следовательно, его дискриминант Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Упражнение 1. Доказать свойства скалярного произведения функций 1-3.

Упражнение 2. Показать справедливость следующих утверждений:

а) функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ортогональна функциям Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при любых целых k и m;

б) при любых целых k и m функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеортогональны на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;

в) функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, а также Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ортогональны на промежутках Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;

г) функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление не ортогональны на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Упражнение 3. Используя свойство нормы 5, доказать неравенство треугольника

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


§ 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье


Счетное множество непрерывных на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление образуют на этом промежутке ортогональную систему, если


1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, 2. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Пусть Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – ортогональная система функций на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. По аналогии с (1.2) образуем величины


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (3.1)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Числа Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называются коэффициентами Фурье функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление относительно ортогональной системы Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Ряд

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (3.2)


называется рядом Фурье для функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

В отличие от того, что имеет место в векторной алгебре [см. (1.1)], здесь нельзя утверждать ни того, что суммой ряда Фурье (3.2) является заданная функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, ни даже того, что ряд (3.2) вообще сходится. Тем не менее, частичные суммы ряда (3.2), называемые полиномами Фурье, играют важную роль в задаче аппроксимации функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление линейными комбинациями функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Термином аппроксимация будем обозначать замену заданной функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление другой, близкой к Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, функцией Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, более простой или более удобной для исследования. При этом, естественно, возникает вопрос о величине погрешности, связанной с такой заменой. Погрешность аппроксимации обычно оценивается с помощью среднего квадратического отклонения


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


или более простой величины


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Ясно, что чем меньше величина δ, тем ближе располагаются друг к другу графики функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, тем лучше функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление аппроксимирует функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Определим, при каком наборе коэффициентов Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление линейная комбинация


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


первых п функций ортогональной системы Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление наилучшим образом аппроксимирует функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, или, иначе говоря, при каких Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление величина Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление принимает наименьшее значение.

Преобразуем выражение для dп, используя последовательно теорему косинусов, свойство билинейности скалярного произведения, обобщенную теорему Пифагора и формулу (3.1) для коэффициентов Фурье:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Применив тождество Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Из последнего выражения сразу следует, что Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление принимает наименьшее значение


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (3.3)


при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Таким образом, именно частичная суммаРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ряда Фурье является наилучшей аппроксимацией функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление по сравнению с другими линейными комбинациями функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Упражнение. Показать, что, во-первых, система функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ортогональна на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, и, во-вторых, системы функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ортогональны на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Указание. Воспользоваться свойствами скалярного произведения функций.


§ 4. Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля


Из формулы (3.3) с учетом того, что величина Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление по определению не отрицательна, следует


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (4.1)


Левая часть неравенства (4.1) представляет собой частичную сумму положительного числового ряда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (4.2)


Положительный ряд с ограниченными в совокупности частичными суммами сходится, следовательно, сходится и ряд (4.2). Переходя в (4.1) к пределу при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим неравенство Бесселя

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (4.3)


Возвращаясь к формуле (3.3), заметим, что с увеличением п величина Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление уменьшается, оставаясь неотрицательной. Следовательно, монотонно убывающая неотрицательная последовательность Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление сходится. из (3.3) получим ее предел


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (4.4)


Если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – частичная сумма ряда Фурье (3.2), то говорят, что ряд (3.2) сходится в среднем к функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. В этом случае из (4.4) следует


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (4.5)


Соотношение (4.5) называется равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.4) для квадрата модуля вектора.

Замечание. Из сходимости ряда в среднем, вообще говоря, не следует его сходимость в обычном смысле слова.

Если равенство Парсеваля выполняется для всех функций из множества Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, или, что то же самое, для любой функции из Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ряд Фурье сходится в среднем к этой функции, то ортогональная система Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называется замкнутой, а соотношение (4.5) – уравнением замкнутости. Замкнутыми системами, например, являются системы функций из упражнения в § 3. Доказательство этого факта выходит за рамки настоящего пособия.

Свойства замкнутых систем следующие:

1. Если непрерывная функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ортогональна всем функциям замкнутой системы, то она тождественно равна нулю. Действительно, в этом случае все коэффициенты Фурье равны нулю. Из (4.5) следует, что Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, и тогда (см. § 2, свойство нормы 2) Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Таким образом, к замкнутой системе функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениенельзя присоединить никакой новой функции, отличной от тождественного нуля, которая была бы ортогональна ко всем Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Это свойство замкнутой системы функций называют ее полнотой.

Следствие. Если две непрерывные функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление имеют одни и те же коэффициенты Фурье, то они тождественно совпадают. Доказательство этого утверждения следует найти самостоятельно.

2. Пусть Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – коэффициенты Фурье функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление относительно замкнутой ортогональной системы Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (4.6)


где, как и ранее, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Соотношение (4.6) называется обобщенным равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.3) для скалярного произведения векторов.

Так как для функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление коэффициенты Фурье, очевидно, равны Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, в силу замкнутости системы из (4.5) следует


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Вычитая почленно эти равенства и используя тождества


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


получим равенство (4.6).

3. Если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – замкнутая ортогональная система функций, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (4.7)


т.е. интеграл от функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление можно получить почленным интегрированием ее ряда Фурье. Для доказательства достаточно применить формулу (4.6) к функциям Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


и учесть, что в этом случае Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Отметим, что справедливость формулы (4.7) установлена даже без предположения о сходимости ряда Фурье.

Упражнение. Доказать, что если ряд Фурье сходится равномерно на промежутке [а, b] к функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то он сходится в среднем к этой функции.

§ 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке [–L, L]


Система функций


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (5.1)


ортогональна на промежутке [–L, L] (см. упражнение в § 3).

Показать, что Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление следует самостоятельно.

Каждой функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, кусочно-непрерывной на промежутке [–L, L], сопоставим ее ряд Фурье:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (5.2)


Коэффициенты Фурье Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, в соответствии с (3.1), определятся формулами


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (5.3)


Ряд (5.2) называется тригонометрическим рядом Фурье.

Как отмечалось в § 4, система функций (5.1) является замкнутой. Поэтому для любой кусочно-непрерывной функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ее ряд Фурье (5.2) сходится в среднем к этой функции. Равенство Парсеваля (4.5) в принятых теперь обозначениях примет вид


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (5.4)


Левая часть последнего равенства, как легко видеть, представляет собой удвоенное среднее значение квадрата функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на промежутке [–L, L].

Частичные суммы


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


тригонометрического ряда (5.2) называются тригонометрическими полиномами Фурье. Из формулы (3.3) следует, что средняя квадратическая погрешность, возникающая при замене функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ее тригонометрическим полиномом Фурье,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (5.5)


§ 6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле


Функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называется кусочно-монотонной на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, если этот промежуток можно разделить на конечное число частей, на каждой из которых функция монотонна.

Если функция кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то говорят, что на этом промежутке она удовлетворяет условиям Дирихле. Для таких функций справедлива принимаемая нами без доказательства следующая теорема.

Теорема Дирихле. Если функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L], то ее ряд Фурье (5.2) сходится во всех точках этого промежутка. При этом во внутренних точках промежутка сумма ряда Фурье Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, если в точке х функция непрерывна; в точках разрыва Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; на концах промежутка Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – односторонние пределы в точке а.

Если доопределить (или переопределить) функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, полагая Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление в точках разрыва и f (–L) = =Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на концах промежутка, то в соответствии с теоремой Дирихле


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (6.1)


где коэффициенты Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление по-прежнему определяются формулами (5.3).

Соотношение (6.1) обычно называется разложением функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление в тригонометрический ряд Фурье. Члены ряда (6.1)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (6.2)


называются гармониками. Введем в рассмотрение величины Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, связанные с коэффициентами Фурье Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление соотношениями Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда гармоника (6.2) запишется в виде Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – амплитуда гармоники; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – ее частота; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – начальная фаза. Множество частот Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление образует дискретный частотный спектр функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на промежутке [–L, L]. Формула (6.1) примет вид


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (6.3)


т.е. функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, представляет собой результат сложения бесконечного числа гармоник. При этом амплитуды и начальные фазы слагаемых гармоник зависят от разлагаемой функции, а частотный спектр одинаков для всех функций, заданных на одном и том же промежутке.

Из равенства Парсеваля (5.4) следует


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (6.4)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Таким образом, сумма квадратов амплитуд гармоник равна удвоенному среднему значению квадрата функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на промежутке [–L, L]. Соотношение (6.4) часто называют энергетическим равенством.

В силу периодичности гармоник из сходимости ряда (6.3) на промежутке [–L, L] следует его сходимость всюду, т.е. на всей числовой оси. Суммой этого ряда, очевидно, будет 2L-периодическая функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, которая на промежутке [–L, L] совпадает с заданной функцией Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, определенная указанным образом, называется периодическим продолжениемРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Теорема Дирихле (другая формулировка). Если функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L], то тригонометрический ряд Фурье (6.1) сходится всюду к ее периодическому продолжению.

Замечание. Если функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, заданная для всех Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, является 2L-периодической, то ее периодическое продолжение совпадает с самой функцией, и, следовательно, ряд Фурье (6.1) представляет функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на всей числовой оси. В этом случае можно

получить другие, иногда более удобные по сравнению с (5.3), формулы для коэффициентов Фурье:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (6.5)


где с – любое число.

Вместо того, чтобы устанавливать справедливость формул (6.5), докажем более общее утверждение: если функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление имеет период Т, то интеграл Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление не зависит от а. Действительно,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Выполнив в среднем интеграле замену переменной Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и воспользовавшись периодичностью подынтегральной функции, получим

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Последний интеграл не зависит от а, что, собственно, и требовалось доказать.

Таким образом, интегралы в (6.5) не зависят от с. Полагая в этих формулах Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, убеждаемся в тождественности выражений (5.3) и (6.5).

Если функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление не является периодической, то в формулах (6.5) в подынтегральные выражения вместо функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление должно входить ее периодическое продолжение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Упражнение. Доказать, что гармоники (6.2) являются периодическими функциями с периодом 2L, т.е. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


§ 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций


Функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, область определения Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление которой симметрична относительно начала координат, называется четной (нечетной), если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление или [Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление]. Так, например, функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление нечетны, а Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление четны. Легко видеть, что произведение двух четных или двух нечетных функций – четная функция, а произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Предлагаем доказать самостоятельно следующие свойства определенного интеграла:

а) если функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление четна, то

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; (7.1)


б) если функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление нечетна, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (7.2)


Указание. Представить интеграл Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление в виде суммы интегралов: Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и в первом из них выполнить замену Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Пусть четная функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L]. Произведение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление будет нечетной функцией, и, поэтому, в силу (7.2)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (7.3)


Так как Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – четная функция, то вследствие (7.1)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (7.4)

Подобным же образом получим, что ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (7.5)


где


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (7.6)


§ 8. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке [0, L]


Пусть функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеудовлетворяет на промежутке [0, L] условиям Дирихле. Построим четное продолжение данной функции на промежуток [–L, 0], полагая Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление для Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Полученную четную функцию разложим в тригонометрический ряд Фурье (7.3), содержащий только косинусы:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (8.1)


Коэффициенты разложения можно вычислять по формулам (7.4), в которые входят только значения первоначально заданной функции:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (8.2)


Аналогично, если функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление продолжить на промежуток [–L, 0] нечетным образом, полагая Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление для Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, и разложить полученную функцию в ряд Фурье на промежутке [–L, L], то в этом разложении будут содержаться только синусы:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (8.3)


где


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (8.4)


На промежутке [0, L] ряды (8.1) и (8.3) представляют одну и ту же функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, но вне этого промежутка эти ряды ведут себя по-разному. Так на промежутке [–L, 0] ряд (8.1) сходится к четному, а ряд (8.3) к нечетному продолжению функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Функции


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; (8.5)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (8.6)


участвующие в разложениях (8.1) и (8.3), образуют ортогональные системы на промежутке [0, L]. Кроме того, как нетрудно проверить, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Поэтому величины Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, определяемые формулами (8.2) и (8.4), представляют собой коэффициенты Фурье функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление относительно ортогональных систем (8.5) и (8.6) соответственно, и, следовательно, ряды (8.1) и (8.3) являются рядами Фурье на промежутке [0, L] для этой функции.

Замечание. Если функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, заданную на [0, L], продолжить произвольным образом на промежуток [0, L], например, просто положив Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление для Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то ее разложение в тригонометрический ряд будет содержать и синусы, и косинусы:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (8.7)


На промежутке [0, L] этот ряд будет представлять заданную функцию, но, в отличие от рядов (8.1) и (8.3), ряд (8.7), вообще говоря, не является рядом Фурье для функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на указанном промежутке, так как система функций


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


участвующая в разложении (8.7), не ортогональна на [0, L] (см § 2, упражнение 2, д).


§ 9. Ряды Фурье для комплексных функций


Рассмотрим элементы теории рядов Фурье для комплексных функций, т.е. функций вида Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где i – мнимая единица, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – вещественные функции вещественного аргумента. Обозначим символом Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление множество комплексных кусочно-непрерывных функций, определенных на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Скалярным произведением функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление назовем комплексное число


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – функция, комплексно сопряженная с функцией Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.свойства скалярного произведения комплексных функций следующие:

1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

2. билинейность


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Доказать свойства 1 и 2 предлагаем самостоятельно.

Как и ранее, функции f и g будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение нормы функции оставим прежним, так что


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Свойства нормы, претерпевшие изменения при переходе от вещественных функций к комплексным, следующие:

1. теорема косинусов. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

или в более общем виде


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (9.1)

2. Обобщенная теорема Пифагора. Если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Доказать свойства 1 и 2 следует самостоятельно.

3. Неравенство Коши – Буняковского. Если функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление непрерывны, то Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

В самом деле, если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, и доказываемое неравенство выполняется. Пусть Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Число Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление очевидно, не отрицательно. С другой стороны, по формуле (9.1), где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, имеем


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Таким образом, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, а так как Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, что и требовалось доказать.

Пусть теперь система комплексных функций


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (9.2)


ортогональна на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Сопоставим функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ее ряд Фурье

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (9.3)


где коэффициенты Фурье


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Введем обозначения: Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – частичная сумма ряда Фурье; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – произвольная линейная комбинация функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Тогда, так же, как для вещественных функций (см. § 3), выполняется неравенство


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (9.4)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, т.е. среди всех функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление дает наилучшее среднеквадратическое приближение к функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Сходимость ряда в среднем и замкнутость системы функций определяются точно так же, как в § 3:

а) если для некоторой функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление выполняется равенство Парсеваля


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (9.5)

то ряд (9.3) сходится в среднем к Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, т.е. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;

б) ортогональная система функций (9.2) называется замкнутой на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, если равенство Парсеваля выполняется для каждой функции из Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Введем в рассмотрение систему комплексных функций


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (9.6)


Свойства системы функции (9.6) следующие:


1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


2. Функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление являются 2L-периодичными: Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

3. Система функций (9.6) ортогональна на промежутке [–L, L]. Действительно, при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Здесь использована формула Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Ряд Фурье для функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление по системе функций (9.6) имеет вид

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (9.7)


где коэффициенты Фурье


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (9.8)


Система функций (9.6) замкнута на [–L, L] (принимаем без доказательства), поэтому для нее справедливы следующие утверждения:

а) ряд (9.7) сходится в среднем к Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,

б) для любой функции из Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление выполняется равенство Парсеваля Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,

в) среднеквадратическая погрешность, возникающая при замене функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление частичной суммой Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ее ряда Фурье,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Теорема Дирихле. Если вещественная и мнимая части функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление удовлетворяют на промежутке [–L, L] условиям Дирихле, то функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление является суммой своего ряда Фурье:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (9.9)


При этом предполагается, что действуют прежние соглашения относительно значений функции в точках разрыва и на концах промежутка (см. § 3).

Упражнение 1. Доказать справедливость формулы (9.4). Доказать, что из (9.4) следует неравенство Бесселя Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Упражнение 2. Доказать справедливость утверждений 1, 2 и 4.


§ 10. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье


Пусть вещественная функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L]. Запишем ее разложение в тригонометрический ряд Фурье:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (10.1)


где


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (10.2)


Если в (10.1) выразить Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление через показательную функцию от мнимого аргумента:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

то получим ряд


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (10.3)


где в силу (10.2)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

=Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Последние три формулы можно объединить:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (10.4)


Ряд (10.3) с коэффициентами (10.4) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.

Пример 1. Разложить функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – комплексное число, в ряд Фурье на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Решение. Найдем коэффициенты Фурье:

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Поскольку Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

=Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Искомое разложение будет иметь вид


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (10.5)


где учтено, что


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Применяя к ряду (10.5) равенство Парсеваля


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (10.6)


можно найти сумму еще одного числового ряда. Действительно, в нашем случае

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Тогда из (10.6) следует


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Упражнение 1. Доказать, что


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Указание. Положить в (10.5) х = 0 и х = p.

Упражнение 2. Доказать, что при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Глава 2. Интеграл Фурье


§ 11. Сходимость интеграла Фурье


Пусть функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление определена на всей числовой оси. Считая, что на произвольном конечном промежутке [–L, L] заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, представим ее тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (11.1)


где


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; (11.2)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – частота k-й гармоники; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Введя в (11.1) выражения (11.2), получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (11.3)


При Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление величина Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Правая часть формулы (11.3) аналогична интегральной сумме для функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление по переменной w в промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Поэтому можно ожидать, что после перехода в (11.3) к пределу при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление вместо ряда получим интеграл

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (11.4)


Формула (11.4) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть – интегралом Фурье.

Рассуждения, с помощью которых получена формула (11.4), не являются строгими и имеют лишь наводящий характер. Условия, при которых справедлива интегральная формула Фурье, устанавливает теорема, принимаемая нами без доказательства.

Теорема. Пусть функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, во-первых, абсолютно интегрируема на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, т.е. интеграл Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление сходится, и, во-вторых, удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке (–L, L). Тогда интеграл Фурье сходится (в смысле главного значения) всюду к Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, т.е. равенство (11.4) выполняется при всех х из промежутка Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Здесь, по-прежнему, предполагается, что в точке разрыва значение функции равно полусумме ее односторонних пределов в этой точке.


§ 12. Преобразование Фурье


Интегральную формулу Фурье (11.4) преобразуем следующим образом. Положим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (12.1)


Если функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси, то функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениенепрерывна на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Действительно, так как Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (12.2)


и, поскольку интеграл справа сходится, то сходится интеграл слева. следовательно, интеграл в (12.1) сходится абсолютно. Равенство (12.2) выполняется одновременно для всех Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, поэтому интеграл (12.1) сходится равномерно относительно w. Отсюда и следует, что функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление непрерывна (точно так же, как из равномерной сходимости ряда, составленного из непрерывных функций, следует непрерывность его суммы).

Из (11.4) получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (12.3)


Комплексная функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, определяемая формулой (12.1), называется преобразованием Фурье или Фурье-образом функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. В свою очередь, формула (12.3) определяет Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление как обратное преобразование Фурье, или прообраз функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Равенство (12.3) при заданной функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление можно рассматривать, как интегральное уравнение относительно функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, решение которого дается формулой (12.1). И, наоборот, решение интегрального уравнения (12.1) относительно функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при заданной Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление дает формула (12.3).

В формуле (12.3) выражение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление задает, условно говоря, пакет комплексных гармоник с частотами, непрерывно распределенными на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и суммарной комплексной амплитудой Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называется спектральной плотностью. Формулу (12.2), записанную в виде

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


можно трактовать, как разложение функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление в сумму пакетов гармоник, частоты которых образуют сплошной спектр, распределенный на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Равенства Парсеваля. Пусть Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеи Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – Фурье-образы вещественных функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление соответственно. Тогда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; (12.4)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (12.5)


т.е. скалярные произведения и нормы функций являются инвариантами преобразования Фурье. Докажем это утверждение. по определению скалярного произведения имеем Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Заменив функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ее выражением (12.3) через Фурье-образ Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


В силу (12.1)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Поэтому Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, т.е. формула (12.4) доказана. Формула (12.5) получается из (12.4) при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Косинус- и синус-преобразования Фурье. Если вещественная функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление четна, то ее Фурье-образ, который здесь будем обозначать Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, также является вещественной четной функцией. Действительно,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Последний интеграл, вследствие нечетности подынтегральной функции, обращается в нуль. Таким образом,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (12.6)


Здесь использовано свойство (7.1) четных функций.

Из (12.6) следует, что функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление вещественна и четным образом зависит от w, так как w входит в (12.6) только через косинус.

Формула (12.3) обратного преобразования Фурье в этом случае дает


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

=Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Так какРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – соответственно четная и нечетная функции переменной w, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (12.7)


Формулы (12.6) и (12.7) определяют косинус-преобразование Фурье.

Аналогично, если вещественная функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление нечетна, то ее преобразование Фурье Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – вещественная нечетная функция от w. При этом


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; (12.8)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (12.9)


Равенства (12.8), (12.9) задают синус-преобразование Фурье.

Заметим, что в формулы (12.6) и (12.8) входят значения функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление только для Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Поэтому косинус- и синус-преобразования Фурье можно применять и к функции, определенной на полубесконечном промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. В этом случае при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление интегралы в формулах (12.7) и (12.9) сходятся к заданной функции, а при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление к ее четному и нечетному продолжениям соответственно.

Покажем, как с помощью преобразования Фурье вычисляются некоторые несобственные «неберущиеся» интегралы.

Пример 1. Вычислить интеграл Лапласа Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Решение. Найдем Фурье-образ функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление:

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


С помощью формулы обратного преобразования Фурье


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


или


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Здесь первое слагаемое представляет собой удвоенный интеграл Лапласа, а второе равно нулю вследствие нечетности подынтегральной функции. Поэтому


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Пример 2. Вычислить разрывной множитель Дирихле Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Решение. Применив косинус-преобразование Фурье к четной функции


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Таким образом,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


В частности интеграл Дирихле


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Пример 3. Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Решение. Сначала вычислим интеграл Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, применив к функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, преобразование Фурье и введя замену Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

=Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Отсюда Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, и, следовательно, с заменой Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление можно записать


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Упражнение 1. Используя равенство Парсеваля, вычислить интегралы


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Упражнение 2. Доказать, что


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


используя равенство Парсеваля.


§ 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье


Тот факт, что функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление является Фурье-образом функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, будем обозначать в дальнейшем одним из следующих способов: Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Свойства преобразования Фурье:

1. Теорема линейности. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Это свойство сразу следует из определения (12.1) и линейности операции интегрирования.

2. Теорема подобия. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Обозначив Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


3. Теорема смещения. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Введя замену Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Следствие.

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (13.1)

где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Действительно,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


4. Теорема о свертке. Напомним, что сверткой абсолютно интегрируемых функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называется функция


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Фурье-образ свертки функций f и g равен произведению их Фурье-образов, умноженному на Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление: Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Так как по определению


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


то, выполнив во внутреннем интеграле замену Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление=

=Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление=Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,

что и требовалось доказать.

5. Теорема об образе производной. Пусть функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и ее производная Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление абсолютно интегрируемы на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. По формуле Ньютона – Лейбница


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Так как производная Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление интегрируема на всей оси, интеграл в правой части последнего равенства имеет конечный предел при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Следовательно, существует конечный предел Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. При этом Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, ибо в противном случае функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление была бы неинтегрируемой на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Точно также доказывается, что Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Введем в рассмотрение Фурье-образ производной


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Выполнив интегрирование по частям, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Так как внеинтегральный член равен нулю, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Таким образом, операции дифференцирования функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление соответствует операция умножения ее Фурье-образа на множитель Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Аналогично, если функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление имеет абсолютно интегрируемые производные до n-го порядка включительно, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Следствия. 1. Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами преобразованием Фурье переводится в линейное алгебраическое уравнение.

2. Линейное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными преобразованием Фурье по одной из переменных переводится в обыкновенное линейное дифференциальное уравнение.

Пример 1. Доказать, что


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (13.2)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Решение. Положим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Тогда

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Таким образом,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


и по теореме о свертке


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Пример 2. Найти решение уравнения


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (13.3)


при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, удовлетворяющее начальному условию

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (13.4)

Замечание. Уравнение (13.3) называется уравнением теплопроводности. Уравнениями такого вида описываются одномерные процессы диффузии, переноса тепла и т.п.

Решение. Применим к уравнению (13.3) преобразование Фурье. Для этого, умножив обе части уравнения на Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, проинтегрируем его по х от Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление до Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


или


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (13.5)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – Фурье-образ функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Здесь использовалась формула для Фурье-образа производной второго порядка:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Равенство (13.5) – это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление переменной t, где w – параметр.

Переходя к Фурье-образам в равенстве (13.4), получим начальное условие для уравнения (13.5):


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (13.6)

Решением задачи Коши (13.5), (13.6) является функция


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


С помощью (12.3) находим Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – прообраз функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление:

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (13.7)


Последний интеграл в (13.7) равен Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Поэтому


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


По теореме о свертке


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


или


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (13.8)


Решение уравнения теплопроводности, записанное в виде (13.8), называется интегралом Пуассона.

Пример 3. Найти решение волнового уравнения


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (13.9)


удовлетворяющее начальным условиям


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (13.10)

Замечание. Задача Коши (13.9),(13.10) является математической моделью одномерных волновых процессов в сплошных безграничных средах. Поле возмущений в среде, выведенной из равновесного состояния, описывается функцией Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, физический смысл которой определяется спецификой рассматриваемой задачи. В задаче о малых поперечных колебаниях струны Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – это отклонение струны от ее равновесного положения, функции j(х) и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление задают соответственно форму струны и распределение скоростей ее точек в начальный момент времени. Константа Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеи r – натяжение и плотность струны в положении равновесия. В задачах акустики Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – скорость возмущенного движения в точке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление в момент времени Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – скорость звука в невозмущенной среде и т.д.

Решение. Преобразуя по Фурье уравнение (13.9) и начальные условия (13.10), получим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


где w – параметр.

Решение задачи имеет вид


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Используя (13.1) и (13.2), получим формулу Эйлера – Даламбера


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (13.11)

Для выяснения физического смысла полученного решения преобразуем формулу (13.11). Положим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Тогда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (13.12)


При Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление возмущение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление сохраняет постоянное значение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, если переменные Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление связаны зависимостью: Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Иными словами, возмущенное состояние Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление переносится в положительном направлении оси абсцисс со скоростью Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Поэтому говорят, что функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление определяет бегущую волну, перемещающуюся вправо со скоростью а. Аналогично, функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление задает волну, распространяющуюся влево с той же скоростью а. Таким образом, выяснен физический смысл постоянной величины а в уравнении (13.9): а – это скорость распространения возмущений в среде.

Из формулы (13.12) следует, что возмущение в точке х в момент времени Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление есть результат сложения волн Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, вышедших в момент времени Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление из точек с координатами Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление соответственно.

Итак, при весьма общих предположениях установлено следующее:

1. Произвольную функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление можно представить в виде «суммы» гармоник; если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление задана на конечном интервале (или периодическая), то эта сумма представляет собой ряд Фурье; если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление задана на всей числовой оси (но непериодическая), то эта сумма – интеграл Фурье. С точки зрения приложений, это означает, что самые разнообразные физические зависимости, скажем, давления, тока, напряжения и т.д. от времени можно представить в виде линейной суперпозиции гармонических колебаний.

2. В представлении формулы Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление в виде ряда или интеграла Фурье естественно возникает ее спектр, который однозначно определяется по функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и который, в свою очередь, однозначно определяет саму функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

3. Результаты спектрального анализа, т.е. процесса нахождения спектра той или иной зависимости, используются при исследовании линейных систем, так как в этом случае достаточно изучить поведение системы при воздействии на нее гармонических колебаний, а затем просуммировать результаты этих воздействий с учетом спектра рассматриваемого (уже произвольного) воздействия.

Упражнение. Доказать, что, если на всей оси функция y(х) дифференцируема, а j(х) – дважды дифференцируема, то функция (13.11) действительно удовлетворяет уравнению (13.9) и начальным условиям (13.10).

Глава 3. Операционное исчисление


§ 14. Преобразование Лапласа


Понятие оригинала. Кусочно-непрерывная функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называется оригиналом, если выполняются следующие условия:

1) Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление для всех отрицательных t;

2) при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениерастет не быстрее экспоненты, т.е. существуют такие постоянные M > 0 и c > 0, что Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление для всех t.

Число с называется показателем роста Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. очевидно, что для ограниченных оригиналов показатель роста можно считать равным нулю.

Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Если функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то произведениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление будет удовлетворять и условию 1, т.е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H (t) опускать, считая, что все рассматриваемые в этой главе функции равны нулю при отрицательных значениях t.

Легко видеть, что оригиналами являются такие функции, как Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и т.п.

Можно доказать, что сумма, разность и произведение оригиналов являются оригиналами и что оригиналом является функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (доказательства следует найти самостоятельно).

Замечание. Из этих утверждений следует, что многочлены произвольной степени Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, а также функции вида Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление являются оригиналами.

Интеграл Лапласа. Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется несобственный интеграл вида


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (14.1)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – комплексный параметр.

Теорема. Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости Пс: Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где с – показатель роста f (t). В самом деле, по определению оригинала имеем Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Таким образом, интеграл (14.1) мажорируется сходящимся интегралом Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, и, следовательно, сходится абсолютно в Пс.

Замечание. При доказательстве теоремы получено используемое в дальнейшем неравенство:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (14.2)


Преобразование Лапласа. Интеграл Лапласа


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (14.3)


представляет собой функцию параметра p, определенную в полуплоскости Пс:Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называется Лаплас-образом (изображением по Лапласу) оригинала Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тот факт, что Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление есть Лаплас-образ Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, обозначается Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление или Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Соотношение (14.3), устанавливающее связь между оригиналом и его Лаплас-образом, называется преобразованием Лапласа.

Свойства преобразования Лапласа следующие:

1. Теорема линейности. При любых постоянных Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Это утверждение вытекает из определения (14.3) и свойств интегралов.

2. Имеет место Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, что непосредственно следует из неравенства (14.2).

3. Теорема подобия. Для любого Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Действительно, полагая Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


4. теорема смещения. Для любого а Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Действительно,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


5. теорема запаздывания. Для любого Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. По определению преобразования Лапласа имеем

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Здесь учтено, что Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Выполнив в последнем интеграле замену Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Обратное преобразование Лапласа. Установим связь между преобразованиями Лапласа и Фурье. Так как при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление оригинал Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – показатель роста Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Интеграл в правой части последней формулы есть интеграл Фурье для Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Таким образом, Лаплас-образ функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление является Фурье-образом функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Из формулы обратного преобразования Фурье получим, что в точках непрерывности Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Отсюда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (14.4)

Если в точке t функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление терпит разрыв, то значение интеграла в (14.4) равно полусумме односторонних пределов Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление в этой точке.

Формула (14.4) определяет обратное преобразование Лапласа, с помощью которого оригинал однозначно восстанавливается по своему изображению с точностью до значений в точках разрыва.


§ 15. Изображения простейших функций


Единичная функция Хевисайда. Имеем:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Так как при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениепо теореме запаздывания получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Экспонента. По теореме смещения


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Гиперболические и тригонометрические функции. В силу линейности преобразования Лапласа имеем

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Степенная функция с натуральным показателем. Положим Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


При Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, поэтому


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Отсюда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Так как Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Упражнение 1. Найти, используя теорему смещения, Лаплас-образы оригиналов Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Периодические функции. Если оригинал Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление является Т-периодической функцией, то его изображение по Лапласу


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (15.1)


Действительно, в этом случае


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Выполнив замену Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, в силу периодичности Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление будем иметь


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Ряд в правой части последнего равенства представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Так как при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то ряд сходится, и его сумма равна Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, откуда и следует доказываемое утверждение.

Пример. Найти Лаплас-образ оригинала Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление с периодом Т = 1).

Решение. Имеем


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Следовательно, в силу (15.1)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Ступенчатые (кусочно-постоянные) функции. Ступенчатая функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, а числа Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление образуют возрастающую последовательность, может быть представлена в виде


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Тогда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Упражнение 2. Найти изображение кусочно-постоянной функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Импульсные функции. Импульсной функцией будем называть функцию вида


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – функция, определенная для всех Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Используя функцию Хевисайда с запаздывающим аргументом, можем записать


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Введем функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, и по теореме запаздывания


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Пример. Найти Лаплас-образ импульсной функции


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Решение. Так как


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Дельта-функция Дирака. Рассмотрим семейство ступенчатых импульсных функций


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (15.2)


и семейство их изображений по Лапласу


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (15.3)


При Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление семейство функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление расходится, так как


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Введем условную функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – дельта-функцию Дирака, которую будем считать пределом семейства (15.2): Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Таким образом, дельта-функция равна нулю всюду, кроме точки Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где она равна Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Изображением дельта-функции условимся считать предел семейства (15.3) при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Далее по определению положим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Можно доказать (и это следует сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (15.4)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (15.5)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (15.6)


Выражения (15.5) и (15.6) корректны только при условии непрерывности функции f(t).

Замечание 1. Из утверждения (15.6) следует, что


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


что полностью соответствует теореме запаздывания.

Замечание 2. В силу (15.4) имеем


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Таким образом, дельта-функцию формально можно рассматривать как производную единичной функции Хевисайда.

В прикладных дисциплинах дельта-функции широко используются для моделирования ударных сил, сосредоточенных нагрузок и тому подобных явлений.

§ 16. Основные теоремы операционного исчисления


Свертка оригиналов. Сверткой оригиналов Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называется функция


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки.


Найдем для примера свертку произвольного оригинала Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и единичной функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Имеем Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Так как Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (16.1)


Доказать, что свертка оригиналов – оригинал и что свертка коммутативна, т.е. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, следует самостоятельно.

Теорема 1. Если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Действительно, по определению (14.3) имеем


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


где D – треугольная область, задаваемая системой неравенств


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Введем вместо t новую переменную Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


что и требовалось доказать.

Пример 1. Найти оригинал Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, если его Лаплас-образ Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Решение. Представим данный Лаплас-образ в виде произведения двух изображений, для которых известны оригиналы:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Так как


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


то по теореме 1 имеем


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Упражнение 1. Доказать, что свертка линейна по каждой компоненте:

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,

где а и b – постоянные.

Упражнение 2. Найти свертку функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Интегрирование и дифференцирование оригиналов. Для интегрирования и дифференцирования оригиналов справедливы следующие теоремы.

Теорема 2. Если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление то Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Для доказательства используем формулу (16.1) и теорему 1. Тогда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Теорема 3. Если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеи Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – оригиналы иРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (16.2)

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (16.1) будем иметь


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Тогда по теореме 1


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Отсюда Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, что и требовалось доказать.

Применив формулу (16.2) дважды, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


и т.д. В частности, если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.

Дифференцирование и интегрирование изображений. Без доказательства примем следующие свойства преобразования Лапласа:

1. Если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – оригинал с показателем роста Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то его изображение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление имеет в области Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление производные любых порядков.

2. При том же условии пределы, производные и интегралы от Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление в области Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление можно находить, выполняя соответствующие операции под знаком интеграла (14.3).

Теорема 4. Если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, т.е. дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Действительно, дифференцируя (14.3) по параметру p, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Справа стоит интеграл Лапласа для функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, следовательно,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


что и требовалось доказать.

Применив несколько раз теорему 4, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Теорема 5. Если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – оригиналы и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


т.е. интегрирование изображения в указанных пределах сводится к делению оригинала на Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Так как в силу (14.3) имеем Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Поскольку при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Рассмотрим функции


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


По теореме 4 имеем


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Так как Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то по теореме 5


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Точно так же получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Применяя теорему 2, найдем изображение интегрального синуса


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Следствия из теорем 1-5 приведем с доказательствами.

Следствие 1. Если сходится интеграл


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (16.3)


то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (16.4)


Из сходимости интеграла (16.3) следует, что изображение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление непрерывно в замкнутой области Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Переходя к пределу в (14.3) при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, приходим к требуемому результату.

Следствие 2. Если сходится интеграл Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Так как Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то в силу (14.4)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Для Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление справедливо равенство


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Следствие 3. Если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – оригиналы, то Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Действительно, по теореме 3


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (16.5)


С другой стороны, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (см. § 14). Переходя к пределу в (16.5) при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим требуемый результат.

Следствие 4. Если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – оригиналы и существует конечный предел Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (16.6)

Исходим из равенства


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (16.7)


В силу (14.4) и теоремы 3

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (16.8)


Из (16.7) и (16.8) получаем (16.6).

Формула (16.6) позволяет исследовать поведение оригиналов при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, имея в своем распоряжении только их изображения.

Упражнение. Вычислить несобственный интеграл Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


§ 17. Формула разложения Хевисайда


Пусть изображение функции представляет собой дробно-рациональную функцию.

Теорема. ПустьРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеи Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – дифференцируемые функции. Введем Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление как полюсы функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, т.е. корни (нули) ее знаменателя. Тогда, если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим формулу Хевисайда:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (17.1)


Доказательство проведем для случая, когда Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – многочлены степеней т и п соответственно, при этом т < п. Тогда Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – правильная рациональная дробь. Представим Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление в виде суммы простейших дробей:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (17.2)

Отсюда Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Коэффициенты Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление найдем из тождества (17.2), переписав его в виде


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


где


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Умножим обе части последнего равенства на Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и перейдем к пределу при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Учитывая, что Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


откуда и следует (17.1). Теорема доказана.

Замечание 1. Если коэффициенты многочленов Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление вещественны, то комплексные корни многочлена Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление попарно сопряжены. Следовательно, в формуле (17.1) комплексно сопряженными величинами будут слагаемые, соответствующие комплексно сопряженным корням многочлена Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, и формула Хевисайда примет вид


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (17.3)

где первая сумма распространена на все вещественные корни многочлена Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, вторая – на все его комплексные корни с положительными мнимыми частями.

Замечание 2. Каждый член формулы (17.1) представляет собой записанное в комплексной форме колебание Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Таким образом, вещественным корням (Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление) соответствуют апериодические колебания, комплексным корням с отрицательными вещественными частями Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – затухающие колебания, чисто мнимым корням Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – незатухающие гармонические колебания.

Если знаменатель Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление не имеет корней с положительными вещественными частями Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то при достаточно больших значениях Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление получим установившийся режим:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (17.4)


где


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – чисто мнимые корни многочлена Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениес положительными мнимыми частями.

Колебания, соответствующие корням с отрицательными вещественными частями, экспоненциально затухают при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеи поэтому не входят в установившийся режим.

Пример 1. Найти оригинал изображения

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Решение. Имеем Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Выпишем корни многочлена Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление: Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

По формуле (17.1)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Здесь Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, так как числа Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – корни уравнения Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Следовательно,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Пример 2. Найти оригинал изображения


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


где а > 0; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Решение. Здесь функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, помимо очевидного корня Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, имеет бесконечно много корней, являющихся нулями функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Решая уравнение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, откуда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Таким образом, корни знаменателя Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление имеют вид Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Далее запишем


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


По формуле (17.3) находим оригинал


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


§ 18. Операторный метод решения дифференциальных уравнений


Дифференциальные уравнения. Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (18.1)


(здесь Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление) с начальными условиями


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (18.2)

Переходя в (18.1) к изображениям, в силу линейности преобразования Лапласа будем иметь


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (18.3)


Изображения производных, используя теорему 3 § 16 и начальные условия (18.2), запишем в виде


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (18.4)


Подставив (18.4) в (18.3), после несложных преобразований получим операторное уравнение


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (18.5)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (характеристический многочлен); Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Из уравнения (18.5) найдем операторное решение


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (18.6)


Решением задачи Коши (18.1), (18.2) является оригинал операторного решения (18.6):


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Для задачи Коши Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление в принятых обозначениях можно записать


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Операторное уравнение имеет вид


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


разложим операторное решение на простейшие дроби:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


С помощью формул, полученных в § 15, получим оригиналы:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Таким образом, решение задачи Коши будет иметь вид

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениес начальными условиями Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Решение. Запишем операторное уравнение


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Его решение имеет вид


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Используя теорему 2 § 16, последовательно найдем:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление с нулевыми начальными условиями, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – ступенчатая импульсная функция.

Решение. Запишем операторное уравнение

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


и его решение


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Из теоремы 2 § 16 следует


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


в соответствии с теоремой запаздывания (§ 15)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Окончательно,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Пример 3. На точку массой т, прикрепленную к пружине жесткостью с и находящуюся на гладкой горизонтальной плоскости, действует периодически меняющаяся сила Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. В момент времени t точка подверглась удару, несущему импульс Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Пренебрегая сопротивлением, найти закон движения точки, если в начальный момент времени она покоилась в начале координат.

Решение. Уравнение движения запишем в виде

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,

где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – упругая сила; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – функция Дирака. Решим операторное уравнение


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. При Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (случай резонанса), то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


По теореме запаздывания


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Окончательно,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Интеграл (формула) Дюамеля. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (18.1) при начальных условиях Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Операторное решение в этом случае имеет вид


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Пусть весовая функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – оригинал для Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. тогда по теореме 1 § 16 получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (18.7)


Соотношение (18.7) называется интегралом (формулой) Дюамеля.

Замечание. При ненулевых начальных условиях формула Дюамеля непосредственно неприменима. В этом случае необходимо предварительно преобразовать исходную задачу к задаче с однородными (нулевыми) начальными условиями. Для этого введем новую функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, полагая


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (18.8)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – начальные значения искомого решения Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Как легко видеть, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, и следовательно, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Таким образом, функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – решение уравнения (18.1) с правой частью Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, полученной в результате подстановки (18.8) в (18.1), при нулевых начальных данных.

Используя (18.7), найдем Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Пример 4. С помощью интеграла Дюамеля найти решение задачи Коши


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


с начальными условиями Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Решение. Начальные данные ненулевые. Полагаем, в соответствии с (18.8), Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, и для определения Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление получим уравнение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление с однородными начальными условиями.

Для рассматриваемой задачи характеристический многочлен Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, весовая функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. По формуле Дюамеля


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Окончательно,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений в матричной записи имеет вид


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (18.9)

где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – вектор искомых функций; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – вектор правых частей; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – матрица коэффициентов; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – вектор начальных данных.

Переходя в (18.9) к изображениям, получим операторную систему


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (18.10)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – Лаплас-образы векторов искомых функций и правых частей соответственно.

Из (18.10) находим операторное решение


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (18.11)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Е – единичная матрица.

Оригинал Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление операторного решенияРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление(18.11) является решением исходной задачи Коши (18.9).

Обозначим Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление весовую матрицу, т.е. матрицу-оригинал для Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Тогда из (18.11) в соответствии с теоремой 1 § 16 будем иметь


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (18.12)


При нулевых начальных условиях


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (18.13)

Соотношение (18.13) представляет собой матричный аналог интеграла Дюамеля.

Пример 5. Найти решение задачи Коши


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


с начальными условиями Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Решение. Запишем систему и начальные условия в матричной форме:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Окончательно, по формуле (18.12) получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


или


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Замечание. Формулы (18.12) и (18.13) имеют большое теоретическое значение, поскольку позволяют исследовать поведение решения системы дифференциальных уравнений в зависимости от начальных данных и правых частей. Однако для практического применения эти формулы мало пригодны, так как зачастую требуют проведения громоздких выкладок, связанных с вычислением обратных матриц, матричных сверток и т.п. Поэтому на практике обычно применяют операторный метод, не переходя к матричной записи системы уравнений, а при решении операторной системы используют конкретные особенности исследуемой задачи.

Пример 6. Решить задачу Коши:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


с начальными условиями Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Решение. Перейдем в данной системе к изображениям. С учетом начальных условий будем иметь

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Запишем решение операторной системы


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Тогда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


§ 19. Приложения


Электрические цепи. Основными элементами электрических цепей являются сопротивления, индуктивности и емкости (конденсаторы). Каждый из этих элементов называются двухполюсником, поскольку он обладает двумя контактами (полюсами), которые соединяются с полюсами других элементов цепи. Электрическое состояние двухполюсника в каждый момент времени Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление определяется двумя величинами: силой тока (током) Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, проходящего через двухполюсник, и падением напряжения (напряжением) Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениена его полюсах. Для каждого двухполюсника функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление связаны некоторым соотношением, представляющим собой физический закон, управляющий работой двухполюсника.

Для сопротивления имеет место закон Ома


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,

где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – сопротивление двухполюсника.

Для индуктивности справедливо соотношение


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – индуктивность двухполюсника.

Для конденсатора выполняется соотношение


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


где С – емкость конденсатора; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – начальный заряд на его обкладках.

В дальнейшем будем считать, что в начальный момент времени Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление цепь была свободна от токов и зарядов, что соответствует задачам включения.

Если ввести операторный ток Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и операторное напряжение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление как изображения функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление соответственно, то вышеприведенные уравнения, управляющие работой двухполюсников, перейдут в следующие:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Последние соотношения могут быть записаны в виде операторного закона Ома


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


где операторное сопротивление (импеданс) Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениев случае активного сопротивления, индуктивности и емкости принято в виде соответственно Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Величину, обратную Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называют операторной проводимостью (адмитансом) двухполюсника.

При последовательном соединении двух двухполюсников с операторными сопротивлениями Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление имеем Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, откуда Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, и следовательно, импеданс цепи Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Аналогично, при параллельном соединении двух элементов с адмитансами Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление получим Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, откуда Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, и следовательно, адмитанс цепи Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Таким образом, в задачах включения операторные сопротивления и проводимости цепей рассчитываются по обычным правилам соединения активных сопротивлений. Например, если цепь состоит из последовательно соединенных сопротивления Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, индуктивности Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и емкости Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, шунтированной сопротивлением Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то ее импеданс Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Если электрическая цепь с адмитансом Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление включена на эдс Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то операторный ток в ней определяется соотношением Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Как правило, операторная проводимость цепи Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление представляет собой рациональную дробь, полюсы (корни знаменателя) которой расположены в левой полуплоскости Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, что, как следует из теоремы Хевисайда, гарантирует устойчивость системы, т.е. исключает возможность возникновения в такой системе незатухающих свободных колебаний.

Если эдс Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление является ограниченной функцией времени, то полюсы функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление имеют неотрицательные вещественные части, и следовательно (см. замечание 2 к теореме Хевисайда), по истечении достаточно длительного промежутка времени в системе устанавливается стационарный режим, при котором ток


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,

где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – чисто мнимые полюсы функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление с положительными мнимыми частями; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – мнимая единица. Здесь, как и ранее, предполагаем, что функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление не имеет кратных полюсов.

Представим эдс тригонометрическим рядом Фурье Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


следовательно,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Положим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – амплитуда гармоники с частотой Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, bk – ее начальная фаза;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; gРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (19.1)

Функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной характеристиками (ФЧХ) системы.

Будем трактовать функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, как входной и выходной сигналы соответственно. Из формулы (19.1) следует, что, если на вход системы поступает сигнал с частотой w, амплитудой а и начальной фазой b, то по завершении переходных процессов на выходе формируется сигнал той же частоты w с амплитудой Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и с фазой, сдвинутой относительно фазы входного сигнала на величинуРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Таким образом, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики представляют собой соответственно коэффициент усиления (ослабления) и сдвиг фазы сигнала при его прохождении через систему. То значение w, при котором АЧХ Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление достигает максимума, называется резонансной частотой системы.

Пример. Колебательный контур состоит из последовательно соединенных активного сопротивления Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, индуктивности Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и емкости C. Найти резонансную частоту.

Решение. Импеданс контураРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, его адмитанс Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики соответственно


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (19.2)

Из формулы (19.2) следует, что АЧХ достигает наибольшего значения, если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Таким образом, колебательный контур резонирует на частоту Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, наибольший коэффициент усиления сигнала равен Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, сдвиг фазы на резонансной частоте равен нулю.

Расчет длинных электрических линий. Обозначим Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – удельные сопротивление, индуктивность и емкость провода соответственно; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – коэффициент утечки тока; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – ток и напряжение в точке с координатой х в момент времени Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда для участка линии между точками х и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление по известным законам физики будем иметь


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (19.3)


Разделив уравнения (19.3) на Dх и перейдя к пределу при Dх ® 0, получим систему уравнений в частных производных (телеграфную систему) для определения функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (19.4)


Для завершения постановки задачи систему (19.4) необходимо дополнить начальными и краевыми условиями. В задаче включения начальные условия имеют вид

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (19.5)


Далее примем, что правый конец провода заземлен, а на левом его конце поддерживается заданное напряжение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда краевые условия запишутся в виде


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (19.6)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – длина линии.

Применяя к системе (19.4) преобразование Лапласа по переменной Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление с учетом начальных условий (19.5), получим операторную систему


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (19.7)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – изображения напряжения и тока соответственно. Краевые условия (19.6) перейдут в


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (19.8)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Применяя снова преобразование Лапласа, на этот раз по переменной х, вместо (19.7) запишем алгебраическую систему


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (19.9)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – параметр преобразования Лапласа по переменной х.

В дальнейшем, чтобы избежать громоздких выкладок, ограничимся исследованием установившегося режима в линии без искажений, т.е. линии, параметры которой удовлетворяют условию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Решение системы (19.9) для линии без искажений имеет вид


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Возвратимся к оригиналам:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (19.10)


С помощью второго из краевых условий (19.8) найдем


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (19.11)


Из (19.10) и (19.11) следует, что


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (19.12)


При отыскании функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление будем использовать теорему разложения Хевисайда, для чего необходимо найти полюсы изображений (19.12). Нули гиперболического синуса определяются из уравнения Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, откуда Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Следовательно, нули функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – это числа Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, расположенные в левой полуплоскости Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Поэтому, если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – ограниченная функция, то, как следует из (19.12), напряжение и ток в установившемся режиме соответственно


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – чисто мнимые полюсы функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление с положительными мнимыми частями.

В частности, если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, и следовательно, в установившемся режиме


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Примеры для самостоятельного решения


Задание 1. Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале [–p, p]:


1.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 2.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

3.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 4.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

5.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 6.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

7.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 8.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

9.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

10.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

11. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 12.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 14.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

15. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 16. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

17. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 18. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

19.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 20. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

21. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

22. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

23. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

24. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

25.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 26.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

27. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 28.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

29.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 30.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

31. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Задание 2. Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление:


1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 2.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

3. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

5. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 6. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 8. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

9. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

10. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

11. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

12. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

13.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 14.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

15.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 16.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

17.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 18.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

19.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 20.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

21. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 22. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

23. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 24. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

25.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 26. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

27. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 28. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

29 Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 30. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление=Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Указание. Для решения примера 15 воспользоваться формулами [6]


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Задание 3. Представить интегралом Фурье следующие функции:


1.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 2.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

3.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 4.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

5.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 6.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

7.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 8.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

9.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 10.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

11.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 12.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

13.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 14.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 15.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

16.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 17.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 18.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Указание. При решении следует воспользоваться формулами


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Задание 4. Найти косинус-преобразование Фурье Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление следующих функций:


1.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 2.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 3.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

4.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 5.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Задание 5. Найти синус-преобразование Фурье Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление следующих функций:


1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 2.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

3.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление 4.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

5. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 6. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Ответы


Задание 1

1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 2. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

3. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

5. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 6. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

8. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

9. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

10. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

11. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

12. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 14. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

15. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 16. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

17. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 18. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

19. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

20. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

21. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

22. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

23. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

24. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 25. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

26.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

27. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

28. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

29. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

30. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

31. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Задание 2

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

2. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

3. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

5. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 6. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

8. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

9. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

10. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 11. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

12. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

14. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

15. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

16. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 17. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

18. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 19. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

20. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

21. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

22. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 23. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

24. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 25. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

26. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

27. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

28. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

29. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

30. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Задание 3

1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

2. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

3. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

5. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

6. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

8. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 9. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 10. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

11. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 12. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

14. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 15. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 16. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

17. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 18. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Задание 4

1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 2. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

3. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 5. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Задание 5

1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 2. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

3. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

5. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 6.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. 7.Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Рекомендательный библиографический список


Основной:

1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1972.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Часть II. М.: Наука, 1985.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998.


Дополнительный:

4. Данко П.В. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.В.Данко, А.Г.Попов, Г.Н.Кожевникова. М.: Высшая школа, 1997. т.2.

5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.

6. Прудников А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1981.


Оглавление


Введение

Глава 1. Ряды Фурье

§ 1. Векторные пространства

§ 2. Скалярное произведение и норма функций

§ 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье

§ 4. Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля

§ 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке [–L, L]

§ 6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле

§ 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций

§ 8. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке [0, L]

§ 9. Ряды Фурье для комплексных функций

§ 10. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье

Глава 2. Интеграл Фурье

§ 11. Сходимость интеграла Фурье

§ 12. Преобразование Фурье

§ 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье

Глава 3. Операционное исчисление

§ 14. Преобразование Лапласа

§ 15. Изображения простейших функций

§ 16. Основные теоремы операционного исчисления

§ 17. Формула разложения Хевисайда

§ 18. Операторный метод решения дифференциальных уравнений

§ 19. Приложения

Примеры для самостоятельного решения

Ответы

Рекомендательный библиографический список

Рефетека ру refoteka@gmail.com