Рефетека.ру / Математика

Дипломная работа: Многомерная геометрия

ОГЛАВЛЕНИЕ


Введение

Глава I. Элементы общей теории многомерных пространств

§ 1. Историческая справка

§ 2. Понятие векторного многомерного пространства на основе аксиоматики Вейля.

§ 3. Евклидово векторное пространство

§ 4. Понятие точечно-векторного аффинного n-мерного пространства

Глава II. Многомерные геометрические образы в n-мерных пространствах

§ 5. Четырёхмерное пространство. Определение и его исследование

§ 6. Геометрия k-плоскостей в аффинном и евклидовом пространствах

§ 7. K-параллелепипеды в пространстве

§8. K-симплексы в пространстве

§ 9. K-шары в пространстве

Глава III. Применения многомерной геометрии

§ 10. О необходимости введения многомерного пространства (на примерах задач)

§ 11. Пространство-время классической механики

§ 12. Пространство-время специальной теории относительности

§ 13. Пространство-время общей теории относительности

Заключение

Литература

Введение


Многомерная геометрия в настоящее время широко применяется в математике и физике для наглядного представления уравнений с несколькими неизвестными, функций нескольких переменных и систем с несколькими степенями свободы.

Геометрический язык позволяет применить к решению сложных задач геометрическую интуицию, сложившуюся в нашем обычном пространстве.

К множеству задач, решаемых с помощью многомерной геометрии, относятся задачи о нахождении более выгодных вариантов перевозок, задачи о наиболее выгодных способах раскроя материала, наиболее эффективных режимах работы предприятий, задачи о составлении производственных планов и т. п. Тот факт, что эти задачи решаются геометрически с помощью нахождения наибольших или наименьших значений линейных функций на многогранниках (причём, как правило, в пространствах, имеющую размерность, большую трёх) был впервые подмечен Л. В. Канторовичем. Необходимость рассмотрения n-мерных пространств при n > 3 диктуется также математическими задачами физики, химии, биологии и других областей знания.

Таким образом, хотя пространственные свойства окружающего мира хорошо описываются геометрическим трёхмерным пространством, потребности практической деятельности человека приводит к необходимости рассмотрения пространств любой размерности n.Целью дипломной работы является рассмотрение методов построения многомерных пространств и некоторых геометрических образов в этих пространствах; приведение примеров применения многомерной геометрии.

Объектом исследования является теория многомерных пространств и их практическая значимость.

Работа состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, списка литературы.В первой главе рассматривается историческая справка многомерного пространства, понятие n-мерного пространства на основе аксиоматики Вейля, евклидово векторное пространство, также оповещается об аффинном n-мерном пространстве.

Во второй главе рассказывается о многомерных геометрических образах в n-мерном пространстве.

Третья глава работы содержит применение многомерной геометрии в различных теориях.

Глава I. Элементы общей теории многомерных пространств

§ 1. Историческая справка


Многомерная геометрия – геометрия пространств размерности, больше трёх. Термин «многомерная геометрия» применяется к тем пространствам, геометрия которых была первоначально развита для случая трёх измерений и только потом обобщена на число измерений n > 3, то есть, прежде всего к евклидову пространству, а также к пространствам Лобачевского, Римана, проективному, аффинному (общие же римановы и другие пространства были определены сразу для n-измерений). Разделения трёх- и многомерной геометрий имеет историческое и учебное значение, так как задачи ставятся и решаются для любого числа измерений, когда и поскольку это осмысленно. Построение геометрии указанных пространств для n-измерений проводится по аналогии со случаем трёх измерений. При этом можно исходить из обобщения непосредственно геометрических оснований 3-мерной геометрии, из той или иной системы её аксиом или из обобщения её аналитической геометрии, перенося её основные выводы со случая трёх координат на произвольное n.

Именно так и начиналось построение n-мерной евклидовой геометрии. В настоящее время предпочитают исходные из понятия векторного пространства.

Исторически представление в более чем 3-мерном пространстве зарождалась постепенно; первоначально – на почве геометрического представления степеней: а2 – «квадрат», а3 – «куб», а4 – «биквадрат», а5 – «кубоквадрат» и т. д. (ещё у Диофанта в 3 в. и далее у ряда средневековых авторов). Мысль в многомерном пространстве выражал И. Кант (1746), а о присоединении к пространству в качестве 4-й координаты времени писал Ж. Д’Аламбер (1764). Построение же евклидовой моногомерной геометрии было осуществлено А. Кэли (1843), Г. Грассманом (1844) и Л. Шлефли (1852). Первоначальные сомнения и мистика, связанные со смешением этих обобщений с физическим пространством, были преодолены, и n-мерное пространство как плодотворное формально-математическое понятие скоро полностью укрепилось в математике.

Многомерные пространства возникли путём обобщения, аналогии с геометрией на плоскости и в трёхмерном пространстве. На плоскости каждая точка задаётся в системе координат двумя числами – координатами этой точки, а в пространстве – тремя координатами. В n-мерном же пространстве, точка задаётся n координатами, то есть записывается в виде A(x1, x2, ..., xn), где x1, x2, ..., xn – произвольные действительные числа (координаты точки А). На плоскости система координат имеет две оси, в пространстве – три, а в n-мерном пространстве система координат содержит n осей, причём каждые две из этих осей перпендикулярны друг другу. Конечно, такие пространства существуют лишь в воображении математиков и тех специалистов из других областей из других областей знания, которые применяют эти математические абстракции. Ведь реальное пространство, в котором мы живём, математически хорошо описывается трёхмерным пространством (евклидовым или римановым, но именно трёхмерным). Увидеть – в буквальном, физическом смысле этого слова – фигуры в четырёхмерном пространстве (а тем более в пространствах большего числа измерений) не в состоянии никто, даже самый гениальный математик; их можно видеть только мысленным взором.

Существуют различные парадоксы четвёртого измерения. Если, например, на плоскости имеется кольцо (оболочка), а внутри – кружок, то как бы мы ни двигали этот кружок по плоскости, вынуть его из этой оболочки, не разрывая её, невозможно. Но стоит только выйти в третье измерение, и кружок легко вынуть из кольца, подняв его вверх, над плоскостью, то, не прорывая оболочку, невозможно вынуть из неё этот шарик. Но если бы существовало четвёртое измерение, то можно было бы «поднять» шарик над трёхмерным пространством в направлении четвёртого измерения, а затем положить его снова в трёхмерное пространство, но уже вне оболочки. И то, что это сделать никому не удаётся, приводят как довод против существования четвёртого измерения. Довод ошибочен, так как в нём спутаны два вопроса.

Первый вопрос: имеется ли в реальном? Ответ на этот вопрос отрицателен.

Второй вопрос: можно ли рассматривать четырёхмерное пространство абстрактно, математически? Ответ утвердителен.

Нет ничего нелогичного или противоречивого в том, чтобы рассматривать четвёрки чисел (x1, x2, x3, x4), исследовать свойства этих «четырёхмерных точек», составлять из них фигуры, доказывать теоремы, постоянно строя таким образом, геометрию четырехмерного (или, вообще n-мерного) пространства. Но математическая н6епротиворечивость n-мерной геометрии ещё недостаточна для суждения о ценности этой теории.


§ 2. Понятие векторного многомерного пространства на основе аксиоматики Вейля.


В векторной аксиоматике понятие вектора является одним из основных (необходимых) понятий. Понятие числа тоже будем считать основным понятием и исходить из того, что теория действительного числа известна. Свойства операций сложения векторов и умножения вектора на действительные числа примем за аксиомы. Тогда можно дать аксиоматическое определение векторного пространства.

Пусть V – некоторое непустое множество, элементы которого будем называть векторами, и которые могут быть произвольной природы, R – множество действительных чисел. Введём для векторов операции сложения векторов и умножения вектора на действительные числа из R такие, чтоа) любым двум векторам a и b поставлен в соответствие определённый вектор, называемый суммой и обозначаемый a+b;б) любому вектору a и любому действительному числу α поставлен в соответствие определённый вектор, называемый произведением вектора на число и обозначаемый через αа. И пусть при этом выполняются следующие свойства аксиомы:1. a+b=b+a для любых векторов a и b из V ;2. (a+b)+с=a+(b+c), для любых векторов a, b, c Многомерная геометрияV.3. Существует такой вектор О Многомерная геометрия V, что а+О=а;4. Для любого вектора а Многомерная геометрияV существует такой вектор – a Многомерная геометрияV , что а+(- а)=O;5. Многомерная геометрия для любых чисел Многомерная геометрия и Многомерная геометрия Многомерная геометрия V;6. Многомерная геометрия для любого числа Многомерная геометрия Многомерная геометрия R и любых векторов a и b из V;7. 1· а = а для любого вектора а Многомерная геометрия V.

Тогда множество V называется действительным линейным векторным пространством или векторным пространством. Введённое определение не накладывает никаких ограничений на природу элементов множества V, поэтому могут существовать различные векторные пространства.

Примеры: Векторное пространство V1 – множество векторов на прямой; Векторное пространство V2 – множество векторов на плоскости; Векторное пространство V3 – множество векторов пространства трёх измерений; Множество различных многочленов от одной переменной также составляет векторное пространство. «Векторами» являются многочлены. Используя утверждения, что в обычном пространстве трёх измерений существует три линейно независимых вектора, то есть выполняется равенство:


Многомерная геометрия, когда Многомерная геометрия;


Любая система, состоящая более, чем из 3-х векторов этого пространства, линейно зависима.

Продолжая строить аксиоматическую теорию векторных пространств, введём следующее определение.

Определение: Векторное пространство V называется n-мерным, если в нём выполняются аксиомы:

9. В векторном пространстве V существуют n линейно независимых векторов.

10. Любая система, состоящая более, чем из n векторов пространства V, линейно зависима.

Число n называется размерностью векторного пространства и обозначается символом dim V , а само пространство будем обозначать символом Vn. Базисом n-мерного векторного пространства Vn называется любая упорядоченная система векторов, таких, что система линейно независима; любой вектор пространства Vn является линейной комбинацией данной системы векторов. Базис не может иметь более трёх векторов и менее чем три вектора. Очевидно, что базис пространства V3 будем называть 3-мерным и обозначать В = (е1, е2, е3), где векторы е1, е2, е3 называются базисными. Из аксиом 9 и 10 следует, что в n-мерном векторном пространстве Vn существует хотя бы один базис, состоящий из n векторов. Можно доказать, что в Vn существует бесчисленное множество базисов и любой из них состоит из n векторов. N-мерный базис будем обозначать В = (е1, е2,…, еn), а векторы е1, е2,…, еn называть базисными. Следствие: Любая система, состоящая более чем из трёх векторов обычного пространства трёх измерений, линейно зависима.


§ 3. Евклидово векторное пространство


Строя аксиоматическую теорию аналитической геометрии на векторной основе, введём следующее определение.

Определение 1: Скалярным произведением на векторном пространстве V называется операция, которая любой паре векторов a и b ставит в соответствие некоторое действительное число, обозначаем символом a b и обладающее следующими свойствами:11. Для любых векторов a, b Многомерная геометрияV и любого вектора a b= b а;12. Для любых двух векторов a, b Многомерная геометрияV и любого числа Многомерная геометрия.13. Для любых трёх векторов a, b, c Многомерная геометрияV Многомерная геометрия;14. Для любого ненулевого вектора а Многомерная геометрияV aa>0.

Определение 2: Векторное пространство Vn, в котором введена операция скалярного произведения векторов, удовлетворяющая аксиомам 11-14, называется евклидовым векторным пространством. Будем обозначать его символом Еn.

На основе определения 1 можно ввести понятие длины вектора и величины угла между векторами.

Число аа называется скалярным квадратом вектора а и обозначается а2. Из аксиомы 14 следует, что а2>0, следовательно, Многомерная геометрия - действительное положительное число. Оно называется длиной или нормой вектора и обозначается: Многомерная геометрияМногомерная геометрия. Если Многомерная геометрия1, то вектор а называется единичным.

На основе аксиом 11-14 можно указать следующие утверждения: Для любых векторов a, b1, b2,…, bn выполняется равенство


Многомерная геометрия.

Многомерная геометрия, где а – произвольный вектор;

Если Многомерная геометрия, то Многомерная геометрия, а если Многомерная геометрия, то Многомерная геометрия;Если Многомерная геометрия, то Многомерная геометрия.

Можно показать, что если Многомерная геометрия, то вектор Многомерная геометрия является единичным, его называют ортом вектора а. Он определяет то же направление, что и вектор а.

При решении метрических задач, т. е. задач, связанных с измерением длин векторов и величин углов, пользуются ортонормированным базисом.

Определение: Базис называется ортонормированным, если все его векторы единичные и попарно ортогональны, т. е. если Многомерная геометрия и Многомерная геометрия (Многомерная геометрия) при Многомерная геометрия.

Теорема. В евклидовом пространстве Еn существуют ортонормированные базисы.

Действительно, если (а1, а2,…, аn) – ортогональный базис, то можно рассмотреть векторы


Многомерная геометрия, Многомерная геометрия,…, Многомерная геометрия.


Ясно, что базис (е1, е2,…, еn) ортонормированный, так как его векторы единичные и попарно ортогональны.

Введём обозначения: В=(i, j) или B=(i, j, k) – ортонормированные базисы евклидовых векторных пространств Е2 и Е3 соответственно.


§ 4. Понятие точечно-векторного аффинного n-мерного пространства


В § 2 и § 3 были аксиоматически определены различные векторные пространства: линейные векторные, n-мерные векторные, евклидовы векторные. Но для построения геометрии, то есть для рассмотрения различных геометрических фигур, одних векторов недостаточно, нужны ещё точки.

Аксиоматизируя построение вектора по двум точкам, введём следующее определение.

Определение. Аффинным пространством называют некоторое множество А* элементов произвольной природы, называемых точками, для которого задано

а) некоторое векторное пространство V;

б) отображение, которое любым двум точкам А и ВМногомерная геометрияА* ставит в соответствие некоторый вектор из V, обозначаемый АВ.

При этом требуется выполнение следующих аксиом:

15. Для любой точки АМногомерная геометрияА* и любого вектора А из V существует единственная точка ВМногомерная геометрияА* и любого вектора аМногомерная геометрияV существует единственная точка ВМногомерная геометрияА*, такая что АВ=а.

16. Для любых трёх точек А, В, СМногомерная геометрияA* имеет место равенство АВ+ВС=АС.

Аксиома 15 называется аксиомой откладывания вектора от точки, а аксиома 16 – аксиомой треугольника, из которой следует правило треугольника и правило параллелограмма сложения векторов.

Размерность пространства V называется размерностью соответствующего аффинного пространства А* и обозначается символом А*n.

Отметим некоторые важные следствия из аксиом 15-16.

При любом выборе точки А вектор АА нулевой.

Если АВ=0, то точки А и В совпадают.

Для любых точек А и В АВ = - ВА.

Если АВ=СD, то АС=ВD.

Для произвольных точек А1, А2,…, Аn выполняется равенство А1А2+ А2А3+ Аn-1Аn= А1Аn (правило многоугольника сложения векторов).

Пространство А*n содержит бесчисленное множество точек.На основе аксиом 1-10 и 15-16 аффинной геометрии нельзя ввести понятий длин отрезков и величин (мер) углов. Эти понятия можно ввести, используя скалярное произведение векторов.

Как известно, введение в Vn скалярного произведения векторов приводит к евклидову векторному пространству Еn.

Определение. Аффинное пространство Аn*, в котором соответствующее ему векторное пространство Vn превращено в евклидово векторное пространство Еn, называется евклидовым n-мерным пространством.

Для этого пространства введём обозначение Еn. Согласно определению ясно, что всякое аффинное пространство Аn* можно превратить в евклидово пространство Еn, задавая на векторном пространстве Vn скалярное произведение векторов, удовлетворяющее аксиомам 11-14 (§ 3).

Таким образом, в Еn выполняются аксиомы 1-16.

На основе аксиом евклидова пространства строится евклидова геометрия.

В евклидовой геометрии, очевидно, справедлива вся изложенная выше теория аффинной геометрии. Но пространство Еn обладает метрическими свойствами, которые следуют из аксиом скалярного произведения векторов и связаны с измерением длин отрезков и мер углов. Поэтому евклидову геометрию называют ещё метрической геометрией.

Метрические аксиомы позволяют установить метрику евклидова пространства, т. е. расстояния между его точками. Определим сначала модуль |a| вектора а как неотрицательный корень из его квадрата, т. е.


Многомерная геометрия (4.1)


Векторы, модуль которых равен 1, будем называть единичными векторами; единичный вектор Многомерная геометрия будем обозначать а0.

Будем считать расстоянием между точками А и В модуль вектора АВ; будем обозначать это расстоянием АВ.

Таким образом, расстояние АВ между точками А(х) и В(y) определяется соотношением

Многомерная геометрия (4.2)


Из определения расстояния следует, что

Расстояние симметрично, т. е.

АВ=ВА (4.3)


Расстояние позитивно, т. е. (4.4) AB ≥ 0, причём знак равно имеет место только при совпадении точек А и В.Покажем, что для расстояний между точками евклидова пространства помимо свойств 1 и 2 выполняется также «неравенство треугольника».расстояние между всякими двумя точками не более суммы расстояний между этими точками и третьей точкой, т. е.

АС ≤ АВ + ВС (4.5)

Множество точек, для всяких двух точек А и В которого определено число АВ, удовлетворяющего условиям 1-3, называется метрическим пространством. Для доказательства неравенства треугольника докажем так называемое неравенство Коши

Многомерная геометрия (4.6)


Скалярный квадрат вектора a – tb неотрицателен при любом вещественном t


Многомерная геометрия, т. е. Многомерная геометрия.


В случае b = 0 обе части неравенства (4.6) равны 0, т. е. неравенство выполняется автоматически.

Если Многомерная геометрия, получим Многомерная геометрия.

Тогда неравенство примет вид


Многомерная геометрия, т. е. Многомерная геометрия,


что равносильно неравенству (4.6). Рассмотрим три точки А(х), В(у) и С(z). Тогда Многомерная геометрия

Многомерная геометрияРис. 1


Но в силу неравенства Коши Многомерная геометрия. Поэтому Многомерная геометрия, откуда получаем неравенство (4.5).


Глава II. Многомерные геометрические образы в n-мерных пространствах


§ 5. Четырёхмерное пространство. Определение и его исследование


При построении геометрии на прямой, на плоскости и в трёхмерном пространстве есть две возможности: либо излагать материал с помощью наглядных представлений (этот способ характерен для школьного курса, поэтому трудно себе представить учебник геометрии без чертежей), либо – и эту возможность даёт нам метод координат – излагать его чисто аналитически, назвав, например, точкой плоскости в курсе планиметрии пару чисел (координаты этой точки), а точкой пространства – тройку чисел.При введении четырёхмерного пространства первая возможность у нас отсутствует. Мы не можем непосредственно пользоваться наглядными геометрическими представлениями – ведь окружающее нас пространство имеет всего три измерения. Однако вторая версия для нас не закрыта. В самом деле, мы определяем точку прямой как число, точку плоскости как пару чисел, точку трёхмерного пространства как тройку чисел. Поэтому совершенно естественно построить геометрию четырёхмерного пространства, определив точку этого воображаемого пространства как четвёрку чисел. Под геометрическими фигурами в таком пространстве нужно будет понимать некоторые множества точек (как, впрочем, и в случае обычной геометрии). Перейдём теперь к точным определениям.

Координатные оси и плоскости

Определение. Точкой четырёхмерного пространства называется упорядоченная четвёрка чисел (x, y, z, t).

Что считать в пространстве четырёх измерений координатными осями и сколько их?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на время к плоскости и трёхмерному пространству.

На плоскости (т. е. в пространстве двух измерений) координатные оси – это множества точек, у которых одна из координат может иметь одно числовое значение, а вторая равна нулю. Так, ось абсцисс – это множество точек вида (х, 0), где х – любое число. Например, на оси абсцисс лежат точки (1, 0), (-3, 0), а точка (1/5, 2) не лежит на оси абсцисс.


Многомерная геометрияРис. 2


Ось ординат плоскости – это множество точек вида (0, у), где у – любое число. В трёхмерном пространстве есть три оси: ось х – это множество точек вида (х, 0, 0), где х – любое число; ось у – множество точек вида (0, у, 0), где у – любое число; ось z – множество точек вида (0, 0, z), где z – любое число.В четырёхмерном пространстве, состоящем из всех точек вида (x, y, z, t), где x, y, z, t – любые числа, естественно считать координатными осями такие множества точек, у которых одна из координат принимает любые числовые значения, а остальные равны нулю. Тогда ясно, что в четырёхмерном пространстве есть четыре координатные оси: ось х – это множество точек вида (х, 0, 0, 0), где х – любое число; ось у – множество точек вида (0, у, 0, 0), где у – любое число; ось z – множество точек вида (0, 0, z, 0), где z – любое число, где у – любое число; ось t – множество точек вида (0, 0, 0, t), где t – любое число. В трёхмерном пространстве, кроме координатных осей, имеются ещё координатные плоскости. Это – плоскости, проходящие через две какие-либо две координатные оси. Например, плоскость yz – это плоскость, проходящая через ось y и ось z.

Всего в трёхмерном пространстве есть три координатные плоскости:

плоскость xy – множество точек вида (х, у, 0), где х и у – любые числа;

плоскость yz – множество точек вида (х, 0, z), где х и z – любые числа;

плоскость yz – множество точек вида (0, у, z), где y и z – любые числа.

Естественно, и в четырёхмерном пространстве называть координатными плоскостями множество точек, у которых какие-либо две из четырёх координат принимают любые числовые значения, а остальные две равны нулю. Например, множество точек вида (x, 0, z, 0) мы будем называть координатной плоскостью xz четырёхмерного пространства. Сколько же всего таких плоскостей?

Выпишем их:

плоскость ху – множество точек, вида (х, у, 0, 0),

плоскость хz – множество точек, вида (х, 0, z, 0),

плоскость хt – множество точек, вида (х, 0, 0, t),

плоскость уz – множество точек, вида (0, у, z, 0),

плоскость уt – множество точек, вида (0, у, 0, t),

плоскость zt – множество точек, вида (0, 0, z, t).

Для каждой из этих плоскостей переменные координаты могут принимать любые числовые значения, в том числе и нулевое. Например, точка (5, 0, 0, 0) принадлежит плоскости xy и плоскости xt. Тогда легко видеть, что, например, плоскость yz «проходит» через ось у в том смысле, что каждая точка этой оси принадлежит этой плоскости. Действительно, любая точка на оси у, т. е. точка вида (0, у, 0, 0), принадлежит множеству точек вида (0, y, z, 0), т. е. плоскости yz.

Итак, в четырёхмерном пространстве существуют множества точек, аналогичные координатным плоскостям трёхмерного пространства. Их шесть. Каждое из них состоит из точек, у которых, как и у точек координатных плоскостей трёхмерного пространства, две какие-либо координаты могут принимать любые числовые значения, а остальные две равны нулю. Каждая из этих координатных плоскостей «проходит» через две координатные оси: например, плоскость yz проходит через ось у и ось z. С другой стороны, через каждую ось проходят три координатные плоскости. Так, через ось х проходят плоскости xy, xz, xt. Будем говорить, что ось х является пересечением этих плоскостей. Все шесть координатных плоскостей содержат одну общую точку. Это точка (0, 0, 0, 0) – начало координат.

Получаем аналогичную тому, что имеется в трёхмерном пространстве. Представим схематический рисунок, который поможет создать некоторый наглядный образ расположения координатных плоскостей и осей четырёхмерного пространства.


Многомерная геометрия

Рис. 3


На рисунке оси координат изображены прямыми, показаны координатные плоскости, все точно также, как и для трёхмерного пространства.

Однако, в четырёхмерном пространстве есть ещё множества точек, которые можно называть координатными плоскостями. На прямой имеется только начало координат, на плоскости есть и начало координат, и оси в трёхмерном пространстве, кроме начала и осей, появляются ещё и координатные плоскости. Естественно, что в четырёхмерном пространстве появляются новые множества, которые будем называть трёхмерными координатными плоскостями.

Это – множества, состоящие из всех точек, у которых какие-либо три из четырёх координат принимают всевозможные числовые значения, а четвёртая равна нулю.

Таково, например, множество, имеющее вид (х, 0, z, t), где x, z, t принимают всевозможные значения. Это множество будем называть трёхмерной координатной плоскостью xzt. Легко понять, что в четырёхмерном пространстве существует четыре координатные трёхмерные плоскости:

плоскость xyz – множество точек вида (x, y, z, 0),

плоскость xyt - множество точек вида (x, y, 0, t),

плоскость xzt - множество точек вида (x, 0, z, t),

плоскость yzt - множество точек вида (0, y, z, t).

Каждая из трёхмерных координатных плоскостей «проходит» через начало координат и что каждая из этих плоскостей «проходит» через три координатные оси (слово «проходит» мы здесь употребляем в том смысле, что начало координат и каждая из точек осей принадлежат плоскости). Например, трёхмерная плоскость xyt проходит через оси x, y, t.

Аналогично, можно сказать, что каждая из двумерных плоскостей является пересечением двух трёхмерных плоскостей.

Например, плоскость ху является пересечением трёхмерных плоскостей xyz и xyt, т. е. состоит из всех точек, принадлежащих одновременно и тому и другому множеству.

Четырёхмерный куб

Определение сферы и куба

Перейдём теперь к рассмотрению геометрических фигур в четырёхмерном пространстве. Под геометрической фигурой (как и в случае обычной геометрии) будем понимать некоторое множество точек.

Возьмем, например, определение сферы: сфера есть множество точек, удалённых от некоторой точки на одно и то же расстояние.

Это определение уже можно использовать, чтобы по аналогии определить сферу в четырёхмерном пространстве: что такое точка, мы знаем; что такое расстояние между точками, тоже знаем. Мы и примем определение, переведя его на язык чисел (для простоты, как и в случае трёхмерного пространства, возьмём сферу с центром в начале координат).


Многомерная геометрияМногомерная геометрия

2-мерный шар (круг) 3-мерный шар

рис. 4


Определение. Множество точек (x, y, z, t), удовлетворяющих соотношению


Многомерная геометрия (5. 1)


называется четырёхмерной сферой с центром в начале координат и радиусом R.

Если рассматривать не сферу, а шар, то указанное равенство надо заменить неравенством


Многомерная геометрия (5. 2)

Это замечание относится также к двумерному и к трёхмерному случаям.

Расскажем теперь немного о четырёхмерном кубе. Судя по названию, его фигура, аналогичная обыкновенному, хорошо знакомому трёхмерному кубу.


Многомерная геометрия

3-мерный куб

Рис. 5


На плоскости тоже есть фигура, аналогичная кубу, - это квадрат.


Многомерная геометрия

2-мерный куб (квадрат)

Рис. 6


Кубом называется множество точек (x, y, z), удовлетворяющих соотношениям:

Многомерная геометрия (5. 3)


Это «арифметическое» определение куба не нуждается ни в каком чертеже. Однако оно полностью соответствует геометрическому определению куба.

В пространстве есть и другие кубы. Например, множество точек, определяемых соотношениями Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия тоже является кубом. Этот куб хорошо расположен относительно координатных осей: начало координат является его центром, координатные оси и координатные плоскости – осями и плоскостями симметрии. Однако для наших целей удобен именно куб, определяемый соотношениями (5. 3). Такой куб мы будем иногда называть единичным, чтобы отличить его от других кубов.


Многомерная геометрия

одномерный куб (отрезок)

рис. 7


Для квадрата тоже можно дать арифметическое определение: квадратом называется множество точек (х, у), удовлетворяющих соотношениям:


Многомерная геометрия

Многомерная геометрия

Сравнивая эти два определения, легко понять, что квадрат действительно является, как говорят, двумерным аналогом куба. Будем называть иногда квадрат «двумерным кубом».

Можно также рассмотреть аналог этих фигур и в пространстве одного измерения – на прямой. Получим множество точек х прямой, удовлетворяющих соотношениям:


Многомерная геометрия


Ясно, что таким «одномерным кубом» является отрезок.

Определение. Четырёхмерным кубом называется множество точек (x, y, z, t), удовлетворяющих соотношениям


Многомерная геометрия

Многомерная геометрия

Многомерная геометрия

Многомерная геометрия


Устройство четырёхмерного куба

Рассмотрим по порядку «кубы» различных размерностей, т. е. отрезок, квадрат и обычный куб.

Отрезок, определяемый соотношениями Многомерная геометрия является очень простой фигурой. Про него можно сказать, что его граница состоит из двух точек: 0 и 1. Остальные точки отрезка будем называть внутренними.

Граница квадрата состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков. Таким образом, квадрат имеет на границе элементы двух типов: точки и отрезки. Граница трёхмерного куба содержит элементы трёх типов: вершины – их 8, рёбра (отрезки) – их 12 и границ (квадраты) – их 6.

Запишем эти данные в виде таблицы:


Состав границы

Фигура

Точек

(вершин)

Отрезок

(сторон, рёбер)

Квадратов

(граней)

Отрезок 2 - -
Квадрат 4 4 -
Куб 8 12 6

Эту таблицу можно переписать короче, если условиться писать вместо названия фигуры число n, равное её размерности: для отрезка n = 1; для квадрата n = 2; для куба n = 3. Вместо названия элемента границы тоже можно писать размерность этого элемента: для грани n = 2, для ребра n = 1.

При этом точку (вершину) удобно считать элементом нулевой размерности (n = 0). Тогда предыдущая таблица примет следующий вид:


размерность

границы

размерность

куба

0 1 2
1 2 - -
2 4 4 -
3 8 12 6
4 16 32 24

Цель – заполнить четвёртую строку этой таблицы.

Граница отрезка Многомерная геометрия состоит из двух точек: х = 0 и х =1. Граница квадрата Многомерная геометрия Многомерная геометрия содержит 4 вершины:


х = 0, у = 0; х = 0, у = 1; х = 0, у = 1; х = 1, у = 1, т. е. точки (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).


Куб Многомерная геометрия Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, содержит восемь вершин. Каждая из этих вершин есть точка (x, y, z), в которой x, y, z заменяются либо нулём, либо единицей. Получаем следующие 8 точек:

(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1).


Вершинами четырёхмерного куба: Многомерная геометрия Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия называются точки (x, y, z, t), у которых x, y, z, t заменяются либо нулём, либо единицей. Таких вершин 16.


Многомерная геометрия

Рис. 8


Многомерная геометрияТогда рёбрами (трёхмерного) куба являются стороны.


Рис. 9

х = 0, у = 0, Многомерная геометрия (ребро АА1)

Многомерная геометрия, у = 0, z = 1 (ребро АB1)


х = 1, Многомерная геометрия, z = 1 (ребро B1А1) и т. д.

Определение. Рёбрами четырёхмерного куба называется множество точек, для которых все координаты, кроме одной, постоянны (равны 0, либо 1), а четвёртая принимает все возможные значения от 0 до 1.

Прежде всего будем различать четыре группы рёбер: для первой пусть переменной координатой является х (Многомерная геометрия), а y, z, t принимают постоянные значения 0 и 1 во всех комбинациях. Так как существует 8 различных троек из нуля и единицы. Поэтому рёбер первой группы – 8. Рёбер второй группы, для которых переменной является не х, а у, тоже 8. Таким образом, ясно, что всего у четырёхмерного куба 32 ребра. Кроме рёбер у куба есть грани, которые, в свою очередь разделяются на двумерные и трёхмерные грани четырёхмерного куба. У четырёхмерного куба 24 двумерных грани и 8 – трёхмерных (они изображены параллелепипедами (рис. 10)).


Многомерная геометрия

4 - мерный куб Рис. 10


§ 6. Геометрия k-плоскостей в аффинном и евклидовом пространствах


Определение k-плоскости

Пусть в n-мерном аффинном пространстве Un зафиксирована произвольная точка А, и в соответствующем линейном пространстве Ln зафиксировано произвольное k-мерное подпространство Lk.

Определение. Множество всех точек М аффинного пространства, для которых АМ Многомерная геометрия Lk, называют k-мерной плоскостью, проходящей через точку А в направлении подпространством Lk.


Многомерная геометрия

Рис. 11, где k = 2


Говорят также, что Lk есть направляющее подпространство этой плоскости. Очевидно, что каждая плоскость определяет однозначно своё направляющее пространство.

Точку М называют текущей точкой плоскости. На рисунке показаны три положения М1, М2, М3 текущей точки М.

Частные случаи k-плоскостей

Если k = 0, то плоскость состоит из одной точки А. Поэтому каждую точку аффинного пространства можно рассматривать как нуль-мерную плоскость.

Одномерная плоскость называется прямой линией.

Плоскость размерности n – 1 называется гиперплоскостью.

При k = n плоскость совпадает со всем пространством Un.

В определении плоскости выделена точка А. Докажем, что в действительности все точки плоскости равноправны.

Обозначим плоскость через Пk и зафиксируем произвольную точку В Многомерная геометрия. Надо доказать, что точка М принадлежит плоскости Пk тогда и только тогда, когда Многомерная геометрия (т. е. что любая точка М может играть роль А).

Пусть Многомерная геометрия. По определению плоскости Многомерная геометрия. Отсюда и по определению подпространства Многомерная геометрия, поэтому Многомерная геометрия. Обратно, если Многомерная геометрия, то Многомерная геометрия следовательно, Многомерная геометрия.


Многомерная геометрия

Рис. 12


Теорема. Всякая k-мерная плоскость в аффинном пространстве сама является k-мерным аффинным пространством.

Доказательство. Пусть дано аффинное пространство U, которому соответствует линейное пространство L, пусть Пk – плоскость, проходящая через точку А в направлении подпространства Lk. Возьмём в плоскости Пk две произвольные точки M, N . По определению аффинного пространства им соответствует вектор Многомерная геометрия. По определению плоскости векторы АМ и АN принадлежат подпространству Lk.

Следовательно, Многомерная геометрия. Таким образом, каждой упорядоченной паре точек М, N плоскости Пk, поставим в соответствие вектор MN из k-мерного пространства Lk. При этом соблюдаются для Пk аксиомы, вытекающие из определения k-мерной плоскости и для всего аффинного пространства U. Теорема доказана.

Замечание. Если плоскость проходит через начало аффинной системы координат в направлении подпространства Lk, то совокупность радиус-векторов её точек образует подпространство, по определению совпадающее с подпространством Lk.

Пусть в аффинном пространстве U даны точки А0, А1,…, Аk (в числе k + 1). Эти точки находятся в общем положении, если они не принадлежат ни одной (k –1)-мерной плоскости .

Проверим, что точки А0, А1,…, Аk находятся в общем положении тогда и только тогда, когда векторы А0А1,…, А0Аk линейно независимы (рис. 13), причём безразлично, какую из точек брать в качестве А0 (то есть за начало векторов, идущих из неё в другие точки).


Многомерная геометрия

Рис. 13


Из сказанного в этом пункте и из определения плоскости следует, что через систему точек А0, А1,…, Аk, находящихся в общем положении, проходит k-мерная плоскость и притом только одна.

Предположим, что в пространстве Un зафиксирована какая-нибудь аффинная система координат с началом О и базисом е1, е2, …, еn. Рассмотрим плоскость Пk, проходящую через точку А в направлении подпространства Lk.

Будем считать, что точка А имеет координаты р1, р2, …, рn и что Lk задаётся как независимая система векторов q1, q2, …, qk. Тогда радиус-вектор ОМ текущей точки плоскости можно записать в виде


Многомерная геометрия (6. 1)

где параметры τ1, τ2, …, τk независимо друг от друга пробегают всевозможные числовые значения, а вектор Многомерная геометрия (рис. 14)


Многомерная геометрияРис. 14

Разложим вектор q1, q2, …, qk по базису е1, е2, …, еn:


Многомерная геометрия


Координаты текущей точки М обозначим, как обычно, через (x1, x2, …, xn) и запишем векторное равенство в координатах. В результате получим n числовых равенств.


Многомерная геометрия (6. 2)


Эти равенства называются параметрическими уравнениями плоскости Пk.

Пример. Пространство, изучаемое в стереометрии, является трёхмерным аффинным пространством. В нём одномерные и двумерные плоскости совпадают соответственно с прямыми линиями и плоскостями, понимаемыми в элементарно-геометрическом смысле. В отличие от пространства, изучаемого в элементарной геометрии, в аффинном пространстве не определены метрические понятия: расстояния между точками и длины линий, площади и объёмы фигур, углы и перпендикулярность. При исследовании фигур в аффинном пространстве изучаются лишь те геометрические свойства, которые не зависят от метрических понятий.

2. Уравнения k-плоскости по k+1 точкам

Если заданы k+1 точек А0(х0), А1(х1), …, Аn(хn) и векторы А0Аа = ха – х0 независимы, то эти точки определяют единственную k – плоскость, проходящую через них: в этом случае за направляющие векторы этой плоскости можно принять векторы А0Аа и векторное уравнение k-плоскости можно записать в виде


Многомерная геометрия (6. 3)


Будем называть k-плоскость, определяемую точками А0(х0), А1(х1), …, Аn(хn), k-плоскостью А0, А1, …, Аk.

Случай k = n-1

В дальнейшем будем часто иметь дело с k-поверхностями и k-плоскостями при k = n – 1. Говоря, «поверхность n-пространства» и «плоскость n-пространства», но иметь в виду (n – 1)-поверхность и (n – 1)-плоскость этого пространства. Часто поверхность и плоскость называется соответственно гиперповерхностью и гиперплоскостью.

Поверхность можно задать одним координатным уравнением


Многомерная геометрия (6. 4)


если координаты xi, удовлетворяющие этому уравнению, можно представить как функции n – 1 параметров t1, t2, …, tn-1, то получим


F(x) = 0. (6. 5)

3. Взаимное расположение плоскостей

3. 1 Пересекающиеся плоскости

Во всём этом пункте размерности плоскостей и подпространств обозначены индексами снизу. Пусть две плоскости Пk и Пl пересекаются, то их пересечением является некоторая плоскость Пm.


Многомерная геометрия k = l = 2, m = 1 Рис. 15


Замечание 1. Не исключена возможность, что Пm состоит из одной точки (m = 0). Это видно на примере двух пересекающихся прямых или прямой и плоскости (рис. 16).


Многомерная геометрия

Рис. 16


В общем случае по одной точке могут пересекаться две плоскости, сумма разностей которых не превышает размерности пространства, например, двумерные плоскости в четырёхмерном пространстве.

Замечание 2. Не исключено и другое, когда одна из двух плоскостей целиком принадлежит другой. Например, Многомерная геометрия, тогда Многомерная геометрия (рис. 17)

Многомерная геометрияk = m = 1, l = 2

Рис. 17


2) Если плоскости Пk и Пl пересекаются по плоскости Пm, то существует единственная плоскость Пr, размерности r = k + l – m, содержащая Пk и Пl, причём ни в какой плоскости меньшей размерности Пk и Пl не могут одновременно поместиться. Направляющее подпространство Lr плоскости Пr является суммой направляющих подпространств Lk и Ll. Эта сумма является прямой суммой тогда и только тогда, когда Пk и Пl пересекаются по одной точке (m = 0, см. рис. 18).


Многомерная геометрия

Рис. 18


В частном случае, когда n = k + l – m, роль плоскости Пr выполняет всё пространство Un (при r = n = 3 см. рис. 15).

3) Если пересекающиеся плоскости Пk и Пl содержатся в какой-нибудь плоскости Пr, то размерность их пересечения Многомерная геометрия. В частности, Многомерная геометрия для любых двух непересекающихся плоскостей из Un.

4) Если плоскости Пk и Пl проходят через точку А в направлении подпространств Lk и Ll соответственно и если Lk содержится в Ll, то плоскость Пk содержится в плоскости Пl. Если при этом k = l, то Пk совпадает с Пl (также и Lk совпадает с Ll).

Параллельные плоскости

Пусть теперь плоскость Пk определяется точкой А и подпространством Lk, а плоскость Пl – точкой В и подпространством Ll. Будем считать, что Многомерная геометрия.

Определение: Плоскость Пk параллельна плоскости Пl, если Многомерная геометрия.

В этом случае плоскость Пl параллельна плоскости Пk.

Замечание 1. Согласно этому определению включение Многомерная геометрия является частным случаем параллельности.

Замечание 2. Если Пk параллельна Пl, причём k = l, то Lk совпадает с Ll.

Замечание 3. Убедимся, что при n = 3 частные случаи k = l = 1,

k = l = 2 и k =1, l = 2 согласуются с понятием параллельности прямых и плоскостей, известным из элементарной геометрии (рис. 19)


Многомерная геометрияМногомерная геометрияМногомерная геометрия

а) б) в)

Рис. 19


Пусть в произвольной аффинной системе координат две плоскости П и Пl одинаковой размерности заданы системами линейных уравнений. Пользуясь определением параллельности, нетрудно установить следующее утверждение.

Утверждение. Для того, чтобы П и П’ были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие однородные системы уравнений были эквивалентны.

В частности, две гиперплоскости параллельны тогда и только тогда, когда в одних и тех же координатах они задаются уравнениями


Многомерная геометрия и (6. 6)

Многомерная геометрия (6. 7)


с пропорциональными коэффициентами при переменных:


Многомерная геометрия.


Теорема 1. Пусть в аффинном пространстве Un даны плоскость Пk и точка В. Тогда существует единственная плоскость Многомерная геометрия размерности k, проходящая через точку В параллельно Пk. Если Многомерная геометрия, то Многомерная геометрия совпадает с Пk; если точка В расположена вне Пk, то плоскости Пk и Многомерная геометрия не пересекаются.

Скрещивающиеся плоскости

Определение. Две плоскости называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны.

Известно, что в трёхмерном пространстве U3 две прямые линии, т. е. одномерные плоскости, могут скрещиваться, тогда как прямая линия и двумерная плоскость в U3 скрещиваться не могут. С повышением размерности пространства оно становится более просторным, в результате чего появляется возможность строить в нём скрещивающиеся плоскости разных размерностей, а не только одномерные. Ниже сформулирована теорема 2, содержание которой можно рассматривать как общий приём построения скрещивающихся плоскостей. Именно, пусть в аффинном пространстве Un дана плоскость Пl (l < n). Возьмём произвольную плоскость Пk так, чтобы Пk и Пl не были параллельны и пересекались; плоскость, по которой они пересекаются, обозначим через Пm. Пусть Пr - плоскость наименьшей размерности, содержащая Пk и Пl. Мы знаем, что r = k + l – m.

Теорема 2. Если Многомерная геометрия, то всякая k-мерная плоскость, которая параллельна Пk и не лежит в Пr, скрещивается с Пl.

Следствие. Если целые числа k, l, m, n удовлетворяют неравенствам

Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, то в Un найдутся скрещивающиеся плоскости Пk и Пl с направляющими подпространствами Lk и Ll, пересечение которых Многомерная геометрия имеет размерность m.

Доказательство теоремы 2. Так как Многомерная геометрия, то плоскость Пr не исчерпывает собой всего пространства Un. Это позволяет взять (с большим произволом) точку С, не лежащую в Пr. Обозначим через Многомерная геометрия плоскость размерности k, проходящую через точку С, параллельно Пk. Ясно, что Многомерная геометрия не содержится в Пr и что, выбирая по-разному точку С, мы можем получить любую k-мерную плоскость, удовлетворяющую условию теоремы. (См. рис. 14, на котором k = l = 2, r = 2, n = 4, и трёхмерные плоскости условно изображены в виде параллелепипеда).


Многомерная геометрия Многомерная геометрия

Рис. 20


Докажем, что плоскости Пl и Многомерная геометрия скрещиваются. Заметим, что плоскость Многомерная геометрия не параллельна Пl, так как в противном случае или Многомерная геометрия, или Многомерная геометрия, что противоречит условию расположения плоскостей Пk и Пl.

Теперь докажем, что Многомерная геометрия и Пl не пересекаются. Проведём через точку С вспомогательную r-мерную плоскость Многомерная геометрия, параллельную Пr. Тогда Многомерная геометрия и поэтому Пk не может пересечь Пl ибо в противном случае точка их пересечения Многомерная геометрия принадлежала бы параллельным плоскостям Пr и Многомерная геометрия. Следовательно, скрещивается с Пl. Теорема 2 доказана.

Пусть в n-мерном аффинном пространстве Un даны скрещивающиеся плоскости Пk и Пl с направляющими подпространствами Lk и Ll, причём


Многомерная геометрия, Многомерная геометрия.


Теорема 3. Существует единственная плоскость Пr+1 размерности Многомерная геометрия, содержащая плоскости Пk и Пl.

Доказательство. Возьмём произвольную точку Многомерная геометрия и зафиксируем произвольную точку Многомерная геометрия; обозначим через Многомерная геометрия линейную оболочку вектора Многомерная геометрия (рис. 16). Допустим, что существует какая-то плоскость Многомерная геометрия, содержащая Пk и Пl; пусть Многомерная геометрия - её направляющее подпространство. Очевидно, что Многомерная геометрия должно содержать Lk, Ll и Многомерная геометрия, а следовательно, и сумму этих подпространств. Обозначим эту сумму через Lr+1:


Многомерная геометрия


Обратно, если Многомерная геометрия - любое подпространство, включающее Lr+1, то Многомерная геометрия, проходящая через точку А в направлении Многомерная геометрия, будет содержать Пk и Пl. В самом деле, так как Многомерная геометрия иМногомерная геометрия, тоМногомерная геометрия; так как Многомерная геометрия, то Многомерная геометрия, так как Многомерная геометрия и Многомерная геометрия, то Многомерная геометрия.

Многомерная геометрия Многомерная геометрия

Рис. 21


Получим среди всех плоскостей Многомерная геометрия искомую плоскость Пr+1 минимальной размерности r + 1 в том единственном случае, когда в качестве Многомерная геометрия берётся Lr+1. Подсчитаем r + 1. С этой целью рассмотрим Многомерная геометрия и обозначим размерность Многомерная геометрия через р. По теореме 3 (в n-мерном пространстве L имеются подпространства Lk и Ll, размерности которых соответственно равны k и l. Если их пересечение имеет размерность m, то размерность их суммы Lk + Ll равна r = k + l – m) имеем р = k + l – m.

Покажем, что Многомерная геометрия есть прямая сумма, поэтому размерность Lr+1 равна р + 1, то есть (r + 1) = (k + l – m) +1.

Для этого достаточно показать, что вектор Многомерная геометрия не принадлежит пространству Многомерная геометрия. Предположим противное. Пусть Многомерная геометрия. Тогда по определению суммы подпространств существуют векторы х и у такие, чтоМногомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия. (v) По первой аксиоме аффинного пространства найдётся точка С такая, что Многомерная геометрия, причём Многомерная геометрия. По второй аксиоме аффинного пространства Многомерная геометрия. (vv)

Учитывая (v), (vv), находим, что Многомерная геометрия, так что Многомерная геометрия. Получается, что плоскости Пk и Пl имеют общую точку С, но это невозможно, поскольку плоскости Пk и Пl скрещиваются. Теорема 3 доказана.

Замечание. Рисунок 20 лишь частично иллюстрирует теорему 3. Например, если размерности Пk и Пl больше m и различны между собой, Многомерная геометрия, то, как, Многомерная геометрия

Проведённые выше рассуждения показывают, что плоскости Пk и Пl, о которых идёт речь в теореме 3, не содержатся ни в какой плоскости меньшей размерности, чем r + 1.

Сохраняя обозначения предыдущего подпункта, сформулируем достаточное условие пересечения двух плоскостей.

Теорема 4. Если в Un даны плоскости Пk и Пl, такие, что Многомерная геометрия, где m – размерность пересечения Lm направляющих подпространств Lk и Ll, то Пk и Пl пересекаются.

Доказательство. Исключая тривиальный случай, когда какая-нибудь из данных плоскостей совпадает со всем пространством, имеет Многомерная геометрия

В расположении двух данных плоскостей могут быть лишь три возможности:

либо Пk параллельна Пl;

либо плоскости Пk и Пl скрещиваются;

либо они пересекаются.

Если Пk параллельна Пl, то для размерности m пересечения соответствующих им пространств Lk и Ll имеем m = min (k, l). Теорема доказана.

2. Размерность многообразия k-плоскостей

Найдём размерность Рn,k, многообразия всех k-плоскостей

n-пространства.

Прежде всего заметим, что число параметров, от которых зависят k+1 точек M0, M1, …, Mk n – пространства с линейно независимыми векторами Многомерная геометрия, через которые проходит единственная k-плоскость, равно числу координат, Многомерная геометрияэтих точек, т. е. (k +1)n. Далее заметим, что число параметров, от которых зависят те же точки на k-плоскости, равно числу параметров Многомерная геометрия этих точек, т. е. (k +1)k. Так как в n-пространстве, число параметров, от которых зависят точки Многомерная геометрия равно сумме числа Рn,k и числа параметров, от которых зависят точки Многомерная геометрия на k-плоскости, то получим, что


Многомерная геометрия, т. е.

Многомерная геометрия. (6. 7)


§ 7. K-параллелепипеды в пространстве


1. Полуплоскости и параллелепипеды

Если в уравнении


Многомерная геометрия (7. 1)


k-плоскости придавать одному из параметров tb только неотрицательные значения Многомерная геометрия, а остальным параметрам – произвольные действительные значения, мы получим k-полуплоскость, ограничиваемую (k-1)-плоскостью,


Многомерная геометрия (7. 2)


Если в том же уравнении (7. 1) придать всем параметрам Многомерная геометрия только значения Многомерная геометрия, мы получим k-параллелепипед с вершинами

Многомерная геометрия;


2-параллелепипеды называются параллелограммами.

Условимся называть k-параллелепипед с вершинами А0, А1, А2, …, А12…k параллелепипедом А0 А1 А2 … А12…k.

На рисунке 22 изображён 3-параллелепипед


А0 А1 А2 А3 А12 А13 А123


и параллелограмм А0 А1 А2 А12.


Многомерная геометрия а) Многомерная геометрияб)

Рис. 22


2. Грани параллелепипеда

Придавая в уравнении (7. 1) значения Многомерная геометрия всем параметрам Многомерная геометрия при Многомерная геометрия, а параметру Многомерная геометрия - значения Многомерная геометрия или Многомерная геометрия, мы получим (k - 1)-параллелепипеды, являющиеся гранями k-параллелепипеда. Грани этих (k- 1)-параллелепипедов называются (k - 2)-гранями k-параллелепипеда, грани этих (k–3)-гранями k-параллелепипеда и т. д. Таким образом, k-параллелепипед обладает р – гранями, где р – пробегает значения от 0 до k – 1, 0-грани параллелепипеда совпадают с его вершинами, 1-грани называются рёбрами (при m= 2 - сторонами). На рисунке 22 (а) стороны параллелограмма – четыре отрезка А0 А1, А0 А2, А0 А3, А0 А12, А1 А13, А2 А12, А2 А23, А3 А13, А12 А123, А13 А123, А23 А123; 2-грани - шесть параллелограммов А0 А1 А1 А12, А0 А1 А3 А13, А0 А2 А3 А23, А1 А12 А13 А123, А2 А12 А23 А123, А3 А13 А23 А123.

Число Многомерная геометрия р-граней k-параллелепипеда равно Многомерная геометрия, где Многомерная геометрия - число сочетаний из k по р.

3. Объём прямоугольного параллелепипеда

Определим объём прямоугольного k-параллелепипеда, то есть такого k-параллелепипеда, у которого все векторы ра попарно перпендикулярны. Длина любого отрезка прямоугольного k – параллелепипеда называется его измерением.

Объём прямоугольного k-параллелепипеда называется его измерением.

Объём прямоугольного k-параллелепипеда только постоянным множителем отличается от произведения его измерений, т. е. функция Многомерная геометрия отличается от произведения Многомерная геометрия измерений прямоугольного параллелепипеда только постоянным множителем Многомерная геометрия.

В дальнейшем будем считать этот постоянный множитель равным 1, то есть будем считать, что объём Vk прямоугольного k –параллелепипеда равен произведению его измерений.


Многомерная геометрия (7. 4)


4. Объём произвольного параллелепипеда

Сравнивая прямоугольные k-параллелепипед и (k–1)-параллелепипед с объёмами, равному данному k-параллелепипеду и одной из его граней мы получим, что объём Vk k-параллелепипеда равен произведению объёма Vk-1 одной из его (k–1)-граней на расстояние hk между этой гранью и параллельной ей (k–1)-гранью.

Многомерная геометрия (7. 5)


Если назвать выделенную (k–1)-грань k-параллелепипеда его основанием, а расстояние hk его высотой, то формула (7. 5) показывает, что объём k-параллелепипеда равен произведению объёма его основания на высоту.

Объём Vk k-параллелепипеда, определяемого уравнением Многомерная геометрия, при Многомерная геометрия, определяется соотношением


Многомерная геометрия,


т. е. квадрат объёма этого параллелепипеда равен определителю Грамма, составленному из k векторов ра.

Утверждение очевидно при k =1, когда параллелепипед совпадает с отрезком, определяемым вектором р1, и объём этого параллелепипеда совпадает с длиной этого отрезка Многомерная геометрия, т. е. Многомерная геометрия.

Рассмотрим теперь k-параллелепипед и предположим, что наше утверждение справедливо для его (k – 1)-граней. Рассмотрим его (k – 1)-грань, определяемую уравнением Многомерная геометрия, при Многомерная геометрия и Многомерная геометрия. Тогда скалярный квадрат векторного произведения Многомерная геометрия в k-плоскости k-параллелепипеда, равный определителю Грамма, составленному из k–1 векторов Многомерная геометрия (а < k), равен объёму этой (k – 1)-грани. Так как объём Vk k-параллелепипеда равен произведению объёма Vk-1 этой (k–1)-грани на соответствующую высоту hk , то объём Vk равен


Многомерная геометрия, (7. 7)

где j - угол между вектором рk и перпендикуляром к (k–1)-грани в k-плоскости k-параллелепипеда.

5. Аффинность k-параллелепипедов

Если даны два произвольных k-параллелепипеда А0 А1… Аk… А12…k и

В0 В1… Вk… В12…k, то системы точек А0, А1, … ,Аk и В0, В1, … ,Вk определяют аффинное преобразование, переводящее первые из этих точек во вторые. Так как при аффинном преобразовании плоскости переходят в плоскости, а параллельные плоскости в параллельные плоскости, это аффинное преобразование переводит весь k- параллелепипед А0 А1… Аk… А12…k в k-параллелепипед В0 В1… Вk… В12…k. Поэтому всякие два k-параллелепипеда аффинны.

Относительный объём k-параллелепипеда, определяемого уравнением Многомерная геометрия и Многомерная геометрия, при аффинном преобразовании относительные величины преобразуются по формуле, то есть умножается на определитель матрицы этого аффинного преобразования, если k-параллелепипед с объёмом Vk переходит при аффинном преобразовании с матрицей Многомерная геометрия в k-параллелепипед с объёмом Многомерная геометрия, то


Многомерная геометрия (7. 8)


Отсюда вытекает, что отношения относительных объёмов k-параллелепипедов не изменяются при аффинных преобразованиях.

Выпуклые многогранники

В этом пункте будем рассматривать действительное k-мерное аффинное пространство Многомерная геометрия, считая, что в нем дана аффинная система координат.

Пусть через некоторую точку Многомерная геометрия имеющую координаты Многомерная геометрия, проведена прямая в направлении вектора Многомерная геометрия, Многомерная геометриякоординаты которого обозначим Многомерная геометрия. Согласно изложенному ранее эту прямую можно задать параметрическими уравнениями


Многомерная геометрия, Многомерная геометрия. (7.9)

Многомерная геометрия.


Пусть на прямой (9) выбраны какие-нибудь точки Многомерная геометрия и Многомерная геометрия. Соответствующие им значения параметра Многомерная геометрия обозначим Многомерная геометрия и Многомерная геометрия. Предположим, что Многомерная геометрия < Многомерная геометрия.

Определение. Множество точек прямой, удовлетворяющих неравенством Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия, называется отрезок Многомерная геометрияМногомерная геометрия.

Если точка Многомерная геометрия имеет координаты Многомерная геометрия, точка Многомерная геометрия имеет координаты Многомерная геометрия, то в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор Многомерная геометрия. Тогда Многомерная геометрия, и для точки прямой имеем

Многомерная геометрияМногомерная геометрия, причем Многомерная геометрия = 0 в точке Многомерная геометрия, Многомерная геометрия = 1 в точке Многомерная геометрия, так что отрезок Многомерная геометрияМногомерная геометрия задается теперь неравенствами 0 Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия 1. Положим 1 Многомерная геометрия = Многомерная геометрия, Многомерная геометрия = Многомерная геометрия. Тогда для точек отрезка Многомерная геометрияМногомерная геометрия и только для них имеем Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, (7.10)


Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия.


Точка, в которой Многомерная геометрия, называется серединой отрезка Многомерная геометрияМногомерная геометрия.

Определение. Множество точек действительного аффинного пространства называется выпуклым, если вместе с каждыми двумя своими точками Многомерная геометрия,Многомерная геометрия оно содержит отрезок Многомерная геометрияМногомерная геометрия.

Простейшими примерами выпуклых множеств могут служить: отрезок, плоскость любой размерности, все пространство Многомерная геометрия.

Множество, состоящее из одной точки, и пустое множество также считается выпуклыми.

Из определения следует, что пересечение любой совокупности выпуклых множеств само является выпуклым множеством. В самом деле, если точки Многомерная геометрия,Многомерная геометрия принадлежат пересечению некоторой совокупности выпуклых множеств, то отрезок Многомерная геометрияМногомерная геометрия принадлежит каждому из них множеств, а значит, и их пересечению.

Пусть в пространстве Многомерная геометрия дана произвольная гиперплоскость


Многомерная геометрия. (7.11)


Гиперплоскость (11) развивает пространство на две части, называемые открытыми полупространствами. Их точки характеризуются неравенствами


Многомерная геометрия и Многомерная геометрия соответственно. (7.12)


Присоединяя к открытому полупространству гиперплоскость (11), мы получим так называемое замкнутое полупространство. Одно из них состоит из точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам.

Существенно, что рассматриваемое пространство является действительным.

Каждое полупространство является выпуклым множеством.

Таким образом произвольная точка Многомерная геометрия принадлежит пространству (7, 12). Но точка Многомерная геометрия на отрезке Многомерная геометрияМногомерная геометрия взята произвольно, значит, весь отрезок Многомерная геометрияМногомерная геометрия принадлежит пространству.

Определение. Пересечение конечного числа полупространств (если оно не пустое) называется выпуклым многогранником.

Ограничимся рассмотрением многогранников, образованных пересечением замкнутых полупространств. С наглядной точки зрения выпуклый многогранник представляет собой кусок пространства, высеченный несколькими гиперплоскостями. (Многомерная геометрия=3).

Многомерная геометрия


Рис. 23 Рис. 24


Может быть так, что многогранник целиком содержится в некоторой Многомерная геометрия-мерной плоскости Многомерная геометрия< Многомерная геометрия (при Многомерная геометрия= 3, Многомерная геометрия= 2).


Многомерная геометрия


Рис.25


Многогранник называется Многомерная геометрия-мерным параллелепипедом, если в некоторой аффинной системе координат он задается неравенствами

0 Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия 1, Многомерная геометрия и построен на независимых векторах Многомерная геометрия, приложенных к точке Многомерная геометрия.

Где Многомерная геометрия - начало в координатах, и Многомерная геометрия - базис. Многомерная геометрия-мерный параллелепипед при Многомерная геометрия= 1 представляет собой отрезок, при Многомерная геометрия= 2 – параллелограмм.

Часть параллелепипеда (0 Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия 1, Многомерная геометрия), расположенная в какой-нибудь из гиперплоскостей Многомерная геометрия = 0 или Многомерная геометрия= 1, сама является (Многомерная геометрия- 1)-мерным параллелепипедом и называется (Многомерная геометрия- 1)-мерной гранью параллелепипеда.

Пример. В трехмерном евклидовом пространстве с заданной декартовой прямоугольной системой координат (Многомерная геометрия) рассмотрим прямоугольные параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям. Пусть (Многомерная геометрия) – координаты центра параллелепипеда, Многомерная геометрия – длины его ребер, параллельных осям Многомерная геометрия соответственно. Обозначим через Многомерная геометрия множество тех параллелепипедов указанного вида, центры которых лежат в кубе Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, длины ребер не превышают Многомерная геометрия. Каждому параллелепипеду из множества Многомерная геометрия можно поставить в соответствие точку шестимерного аффинного пространства Многомерная геометрия с координатами (Многомерная геометрия, Многомерная геометрия). Тогда само множество Многомерная геометрия можно рассматривать как шестимерный параллелепипед.


Многомерная геометрияМногомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия, Многомерная геометрияМногомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия, Многомерная геометрияМногомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия,

Многомерная геометрияМногомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия, Многомерная геометрияМногомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия, Многомерная геометрияМногомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия.


Затем, что геометрические фигуры одного пространства часто бывает удобно рассматривать как точки другого пространства.

Определение. Множество точек в аффинном пространстве Многомерная геометрия называется ограниченным, если координаты всех точек этого множества удовлетворяют неравенству Многомерная геометрия (Многомерная геометрия> 0 – некоторое число).

Это определение не зависит от выбора аффинной системы координат. Множество ограниченно в том и только в том случае, если оно содержится в некотором параллелепипеде.

Определение. Выпуклой оболочкой множества Многомерная геометрия точек в аффинном пространстве Многомерная геометрия называется такое выпуклое множество Многомерная геометрия, которое содержится в любом выпуклом множестве, содержащем Многомерная геометрия.

Пример. 1) Выпуклой оболочкой двух точек Многомерная геометрия,Многомерная геометрия является отрезок Многомерная геометрияМногомерная геометрияМногомерная геометрия.

2) Выпуклая оболочка любого конечного числа точек является ограниченным выпуклым многогранником, а конечная система точек – его вершинами.

Пусть в аффинном пространстве Многомерная геометрия даны точки Многомерная геометрия с радиус-векторами Многомерная геометрия соответственно.

Определение. Выпуклая оболочка системы точек Многомерная геометрия, находящихся в общем положении, называется Многомерная геометрия-мерным симплексом с вершинами Многомерная геометрия.

Симплекс с вершинами Многомерная геометрия при Многомерная геометрия. При этом числа Многомерная геометрия называются барицентрическими координатами точки симплекса, имеющей радиус-вектор Многомерная геометрия.

Частные случаи:

нульмерный симплекс – одна точка;

одномерный симплекс - отрезок;

двумерный симплекс – треугольник;

трехмерный симплекс – треугольная пирамида.

Точка симплекса, в которой все барицентрические координаты равны между собой Многомерная геометрия, называется центром симплекса.

Пусть Многомерная геометрия - симплекс с вершинами Многомерная геометрия; и пусть Многомерная геометрия - какой-нибудь из его вершин. Многомерная геометрия-мерный симплекс, который является выпуклой оболочкой вершин Многомерная геометрия называется Многомерная геометрия-мерной гранью симплекса Многомерная геометрия. Одномерные грани, то есть отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами симплекса.

Две грани размерности Многомерная геометрия и Многомерная геометрия - Многомерная геометрия называются противоположными гранями симплекса Многомерная геометрия, если они не имеют общих вершин.

В качестве упражнений докажем, что симплекс является выпуклой оболочкой пары противоположных граней, и что противоположные грани симплекса всегда располагаются в скрещивающихся плоскостях и что отрезок, соединяющий центры противоположных граней, проходит через центр симплекса.

Докажем, что Многомерная геометрия-мерный симплекс в Многомерная геометрия-мерном пространстве представляет собой пересечение замкнутых подпространств в числе Многомерная геометрия .

Пусть Многомерная геометрия - вершины симплекса Многомерная геометрия. Примем Многомерная геометрия за начало координат, базис выберем следующим образом:


Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, …, Многомерная геометрия.


Тогда соотношения при Многомерная геометрия в координатах примут вид

Многомерная геометрия (7.13)

откуда следует, что


Многомерная геометрия (7.14)


С другой стороны, из (7.14) вытекает (7.13),если положить Многомерная геометрия для Многомерная геометрия, Многомерная геометрия. Таким образом, системы (7.13) и (7.14) эквивалентны и задают один и тот же симплекс Многомерная геометрия. (при Многомерная геометрия=3).


Многомерная геометрияМногомерная геометрия

Рис. 26


Система неравенств (7.14) показывает, пересечением каких полупространств образован симплекс Многомерная геометрия.

Выше говорилось, что многогранник можно представить в виде куска пространства, «высеченного» несколькими гиперплоскостями.

Отметим попутно, что слово «симплекс» (simplex) в переводе с латинского означает «простой».

В следующем параграфе данной главы состоится знакомство с Многомерная геометрия-симплексами в пространстве.

§8. K-симплексы в пространстве


Симплексы

Если заданы Многомерная геометрия точек Многомерная геометрия не лежащих в одной (Многомерная геометрия) –плоскости, то точки, определяемые радиус-векторами

Многомерная геометрия, (8.1)

где индекс Многомерная геометрия пробегает значения от 0 до Многомерная геометрия, а параметры Многомерная геометрия связаны условием

Многомерная геометрия (8.2)

образуют Многомерная геометрия- симплекс с вершинами Многомерная геометрия, который будем называть Многомерная геометрия- симплексом Многомерная геометрия.На рисунке 23 а, б, и в изображен 2 - симплекс (треугольник) Многомерная геометрия 3 – симплекс (тетраэдр) Многомерная геометрия и 4 – симплекс Многомерная геометрия.

Многомерная геометрия


Рис. 27

Грани симплекса.

Если в уравнении (8.1) один из параметров Многомерная геометрия равен 0, получаем Многомерная геометрия - симплекс, называемый гранью Многомерная геометрия- симплекса. Грани этих Многомерная геометрия - симплексов называются Многомерная геометрия- гранями Многомерная геометрия- симплекса, грани этих Многомерная геометрия-симплексов называются Многомерная геометрия- гранями Многомерная геометрия- симплекса и т.д. Таким образом, Многомерная геометрия- симплекс обладает Многомерная геометрия- гранями, где Многомерная геометрия пробегает значения от 0 до Многомерная геометрия; 0 – грани Многомерная геометрия- симплекса совпадают с его вершинами, 1-грани называются ребрами (при Многомерная геометрия - сторонами). На рисунке 3, а стороны треугольника – 3 отрезка Многомерная геометрия; на рисунке 3, б ребра тетраэдра - 6 отрезков Многомерная геометрия, 2–грани-4треугольника А0А1А2, Многомерная геометрияМногомерная геометрия; на рисунке 3, в - ребра 4 – симплекса - 10 отрезков Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, 2 – грани - 10 треугольников Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрияМногомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, 3-грани - 5 тетраэдров Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия.

Если представим векторы Многомерная геометрия в виде Многомерная геометрия, то формулу (1) можно переписать в виде Многомерная геометрия, где параметры Многомерная геометрия ограничены условиями 0 Многомерная геометрия Многомерная геометрия, Многомерная геометрия.

Так как любая система Многомерная геометрия вершин Многомерная геометрия- симплекса определяет Многомерная геометрия- грань симплекса, число Многомерная геометрияМногомерная геометрия- граней симплекса равно числу сочетаний из Многомерная геометрия по Многомерная геометрия, т.е. Многомерная геометрия=Многомерная геометрия. (8.3)

Объем симплекса.

Прежде всего покажем, что объем Многомерная геометрия произвольного Многомерная геометрия- симплекса выражается через объем Многомерная геометрия одной из его Многомерная геометрия - граней и расстояния Многомерная геометрия от вершины, лежащей против этой грани, до плоскости этой грани по формуле


Многомерная геометрия. (8.4)


Если будем называть выделенную Многомерная геометрия -грань Многомерная геометрия- симплекса его основанием, а расстояние Многомерная геометрия - его высотой, то формула (8.4) показывает, что объем Многомерная геометрия- симплекса равен Многомерная геометрия произведение его основания на высоту. Пусть основание k – симплекса Многомерная геометрия (на рисунке 28 изображается Многомерная геометрия при Многомерная геометрия)


Проведем плоскость, параллельную плоскости Многомерная геометрия - грани Многомерная геометрия на расстоянии Многомерная геометрия от нее. Это плоскость высечет из нашего k – симплекса Многомерная геометрия-симплекс Многомерная геометрия и отсечет от него k – симплекс Многомерная геометрия, Обозначим Многомерная геометрия-симплекса Многомерная геометрия через Многомерная геометрия, то формулу для определения объема k – симплекса можно записать в виде


Многомерная геометрия. (8.5)

Так как k – симплекса Многомерная геометрия может быть получен из k – симплекса Многомерная геометрия гомотетией с центром в вершине Многомерная геометрия и с коэффициентом Многомерная геометрия Многомерная геометрияполучается из Многомерная геометрия- грани Многомерная геометрия той же гомотетией. Так как матрица гомотетии, отображающей Многомерная геометрия - грань Многомерная геометрия на Многомерная геометрия - грань Многомерная геометрия является матрицей Многомерная геометрия-20 порядка вида Многомерная геометрия, определить этой матрицы равен Многомерная геометрия и объем Многомерная геометрия может быть записан в виде


Многомерная геометрия.


Поэтому


Многомерная геометрияМногомерная геометрия

Многомерная геометрия.


Применяя формулу (4) к объему Многомерная геометрия Многомерная геометрия- грани, выразим этот объем через объем Многомерная геометрия одной из ее Многомерная геометрия- граней и соответственную высоту Многомерная геометрия этой Многомерная геометрия- грани. Аналогично выразим объемы Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, … , Многомерная геометрия и площадь Многомерная геометрия, вложенных друг в друга Многомерная геометрия- грани, Многомерная геометрия- грани, …, 3-грани и 2-грани симплекса через объемы Многомерная геометрия, …, Многомерная геометрия, площадь Многомерная геометрия и длину Многомерная геометрия одного из ребер Многомерная геометрия- симплекса и соответственные высоты Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, … , Многомерная геометрия этих граней, получим что


Многомерная геометрия

Многомерная геометрия.


В том случае, когда k – симплекс определяется уравнением (1), где Многомерная геометрия, произведение Многомерная геометрияМногомерная геометрияМногомерная геометрияМногомерная геометрияМногомерная геометрия равно объему k – параллелепипеда, определяемого уравнением

Многомерная геометрия с векторами Многомерная геометрия при 0Многомерная геометрия, поэтому объем Многомерная геометрия k – симплекса связан с объемом Многомерная геометрия соответствующего k – параллелепипеда соотношением


Многомерная геометрия=Многомерная геометрияМногомерная геометрия. (8.6)


Так как квадрат объема Многомерная геометрия в силу (7.6 из § 7) равен определителю Грамма, составленному из вектора Многомерная геометрия, из формулы (8.6) вытекает, что объем Многомерная геометрия k – симплекса, определяемого уравнением (8.1), где Многомерная геометрияМногомерная геометрия, определяется соотношением


Многомерная геометрия (8.7)


Объем Многомерная геометрия Многомерная геометрия– симплексa, определяемого уравнением (8.1) при Многомерная геометрия= Многомерная геометрия, где Многомерная геометрия, равен

Многомерная геометрия =Многомерная геометрияМногомерная геометрия, (8.8)


квадрат косого произведения (Многомерная геометрия) равен определителю Грамма, составленному из векторов Многомерная геометрия.

Аффинность k – симплексов.

Если даны два произвольных k – симплекса Многомерная геометрия и Многомерная геометрия, то системы их вершин определяют аффинное преобразование, переводящее первую из этих систем вершин во вторую.

Так как при аффинном преобразовании плоскости переходят в плоскости, это аффинное преобразование переводит весь k – симплекс Многомерная геометрия в k – симплекс Многомерная геометрия. Поэтому всякие два k – симплекса аффинны.

Относительный объем k – симплекса, определяемого уравнением (8.1) при Многомерная геометрия= Многомерная геометрия, где Многомерная геометрия, выражается по формуле при аффинном преобразовании с оператором Многомерная геометрия умножается на определитель матрицы оператора Многомерная геометрия, получаем, что при аффинном преобразовании относительные объемы всех k – симплексов умножаются на определитель матрицы этого аффинного преобразования, т.е. если k – симплекс с относительным объемом Многомерная геометрия переходит при аффинном преобразовании с матрицей Многомерная геометрия в k – симплекс с объемом Многомерная геометрия, то, так же как в случае k – параллелепипедов,


Многомерная геометрия=Многомерная геометрияМногомерная геометрияМногомерная геометрия. (8.9)


Отсюда вытекает, что отношения объемов k – симплексов не изменяются при аффинных преобразованиях.

Правильный k – симплекс

Определение правильных многоугольников и многогранников позволяет определить правильный k – симплекс.

Прежде всего построим правильный k – симплекс. Правильный k – симплекс при Многомерная геометрия = 2 – равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник Многомерная геометрия с центром в начале координат и со стороной Многомерная геометрия на прямой Многомерная геометрия имеет вершины в точках с координатами Многомерная геометрия, Многомерная геометрия и Многомерная геометрия.


Многомерная геометрия


Рис. 29


Для построения правильного k – симплекса Многомерная геометрия с центром в начале системы прямоугольных координат и с гранью Многомерная геометрия на плоскости Многомерная геометрия предположим, что мы построили аналитичный правильный Многомерная геометрия- симплекс.

Так как центр О k – симплекса делит отрезок прямой Многомерная геометрия между точкой Многомерная геометрия и плоскостью Многомерная геометрия в отношении Многомерная геометрия: 1, а прямая Многомерная геометрия совпадает с Многомерная геометрия-ой координатной осью, вершина Многомерная геометрия имеет координаты (0, 0, 0, …Многомерная геометрия); Многомерная геометрия-е координаты вершин Многомерная геометрия равны – 1, а первые Многомерная геометрия-1 координаты этих вершин можно получить из координат вершин (Многомерная геометрия-1) - симплекса Многомерная геометрия умножением их на такой множитель Многомерная геометрия, чтобы все расстояния Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, …, Многомерная геометрия=Многомерная геометрия=Многомерная геометрия

Расстояние от центра построенного Многомерная геометрия- симплекса Многомерная геометрия до его (Многомерная геометрия-1) – граней равно 1, а расстояние от того же центра до вершин этого Многомерная геометрия- симплекса равно Многомерная геометрия. Длина каждого из ребер этого Многомерная геометрия- симплекса равна Многомерная геометрия.

Многомерная геометрияИз определения правильного Многомерная геометрия- симплекса видно, что все Многомерная геометрия- грани правильного Многомерная геометрия- симплекса являются правильными Многомерная геометрия- симплексами.


Рис.30


На рисунке изображен правильный (Многомерная геометрия-1) – симплекс (Многомерная геометрия= 4)

Объем правильного Многомерная геометрия- симплекса.

Вычислим объем построенного правильного симплекса. Так как объем основания этого Многомерная геометрия- симплекса равен произведению Многомерная геометрия, а высота этого Многомерная геометрия- симплекса равна Многомерная геометрия+1, получаем, что


Многомерная геометрия

Многомерная геометрия.

Многомерная геометрия.


При Многомерная геометрия= 2 формула дает нам Многомерная геометрия.

При Многомерная геометрия= 3 формула Многомерная геометрия.

Объем правильного Многомерная геометрия- симплекса, (Многомерная геометрия-1) – грани которого находятся на расстоянии Многомерная геометрия от его центра, равен


Многомерная геометрия.


§ 9. K-шары в пространстве


Называть k-мерной сферой евклидова k-пространства или k-сферой этого пространства множество всех точек этого пространства, лежащих в одной (k + 1)-плоскости и отстоящих от данной точки, называемой центром k-сферы, на одном и том же расстоянии, называемом радиусом k-сферы.

При k = n – 1 k-сфера определяется как множество всех точек пространства, отстоящих от одной точки на одном и том же расстоянии: в дальнейшем, говоря «сфера», будем иметь в виду (n – 1)-сферу. При k = 1, k-сфера называется окружностью.

Если радиус (k– 1)-сферы равен R, то множество всех точек k-плоскости этой (k– 1)-cферы, находящихся от центра (k– 1)-cферы на расстоянии Многомерная геометрия, называется k-шаром. При k = n n-шар определяется как множество всех точек n-пространства, отстоящих от центра сферы на расстоянии Многомерная геометрия. В дальнейшем, говоря «шар», будем иметь в виду n-шар. При k = 2 k-шар называется кругом.

Если центр сферы – точка М0(х0), а радиус равен R (рис. 31), радиус-вектор х произвольной точки М сферы связан условием, состоящим в том, что расстояние М0М равно R. Так как это расстояние равно модулю вектора Многомерная геометрия, т. е. Многомерная геометрия, то уравнение сферы с центром в точке М0, и радиусом R имеет


Многомерная геометрия (9. 1)

или, после возведения обеих частей уравнения (9. 1) в квадрат


Многомерная геометрия (9. 2)


Многомерная геометрия

Рис. 31


Уравнению (9. 2) не удовлетворяет радиус-вектор ни одной точки, для которой расстояние М0М не равно R, так как и расстояние М0М и радиус R – положительные числа.

Уравнение (9. 2) называется векторным уравнением сферы. Это уравнением сферы. Это уравнение является частным случаем векторного уравнения поверхности. Поэтому сфера является частным случаем уравнения поверхности, так как k-сферу можно рассматривать как сферу в (k + 1)-пространстве.

Так как k-сфера с центром в точке М0(х0) и радиусом в некоторой (k + 1)-плоскости является пересечением сферы с тем же центром и радиусом с указанной (k + 1)-плоскостью, уравнениями k-сферы является уравнение (9. 2) сферы с тем же центром и радиусом и уравнения (k + 1)-плоскости.

Если центр сферы находится в начале, х0=0, то уравнение (9. 2) примет вид

Многомерная геометрия (9. 3)

Уравнение (9. 2) можно переписать в виде


Многомерная геометрия (9. 4)


или, умножая обе части этого равенства на число а, в виде


Многомерная геометрия (9. 5)

Вектор Многомерная геометрия и число с в уравнении (9. 5) связаны с радис-вектором х0 центра сферы и её радиусом R соотношениями


Многомерная геометрия, Многомерная геометрия (9. 6)


Поэтому, если дано уравнение (9. 5) сферы, то центр и радиус этой сферы определяются соотношениями.


Многомерная геометрия, Многомерная геометрия (9. 7)


Уравнение (9. 5) при а = 1, т. е. уравнение


Многомерная геометрия (9. 8)

называется нормальным уравнением сферы. В случае нормального уравнения сферы соотношения (9. 7) показывает, что, для того чтобы уравнение (9. 5) было уравнением сферы, необходимо выполнение неравенства


Многомерная геометрия (9. 9)

В случае, когда Многомерная геометрия, уравнению (9. 5) удовлетворяет только одна точка М0(х0), которую можно рассматривать как сферу нулевого радиуса. Для того, чтобы общее уравнение второй степени было бы уравнением сферы, необходимо выполнение неравенства, равносильного неравенству (9. 9).


Геометрия k-сфер


1. Уравнение k-сфер

Определим k-сферы как пересечения сферы с (k+1)-плоскостью. Так как (k+1)-плоскость в свою очередь является пересечением n – k – 1 плоскостей, а каждая из этих плоскостей может быть заменена такой сферой, что указанная плоскость является радикальной плоскостью для этой сферы и данной сферы, k-сфера является пересечением n – k независимых сфер. Поэтому k – сферу можно задать n – k – уравнениями


Многомерная геометрия


В этом случае произвольная сфера, проходящая через данную k-сферу, определяется уравнением


Многомерная геометрия (9. 10)


При k = n – 2 совокупность сфер с уравнениями вида (9. 10) составляет пучок сфер.

Если даны две сферы


Многомерная геометрия, Многомерная геометрия,

то совокупность сфер с уравнениями


Многомерная геометрия называется пучком сфер,


содержащем две сферы.

Уравнение при Многомерная геометрия является уравнением плоскости.

Взаимное расположение двух k-сфер

Две k-сферы k-пространства без общих точек будем называть зацепленными, если всякая сфера, проходящая через одну из этих k-сфер, пересекается со всякой сферой, проходящей через другую k-сферу. Будем называть две k-сферы k-пространства без общих точек незацепленными, если существуют непересекающиеся сферы, проходящие через эти k-сферы.

На рисунке изображены различные виды взаимного расположения двух окружностей в 3-пространстве.


Многомерная геометрия Многомерная геометрия

а) зацепление б) пересечение в точке


Многомерная геометрия

в) незацепление

Рис. 32

Объём сферы

Объём сферы радиуса r, который будем обозначать Sk, выражается интегралом


Многомерная геометрия,


в котором переменное Многомерная геометрияизменяется от 0 до 2p, а переменные Многомерная геометрия (при i > 1) от Многомерная геометрия до Многомерная геометрия поэтому этот интеграл равен произведению k интегралов


Многомерная геометрия

Многомерная геометрия


тогда объём Sk сферы радиуса r в k-пространстве при чётном n равен:


Многомерная геометрия (9. 11)

и для n чётного: Многомерная геометрия


Формулы объёма дают при k = 2 (считая 0!! = 1), 3, 4 и 5 соответственно.

Многомерная геометрия, Многомерная геометрия Многомерная геометрия Многомерная геометрия.


Объём шара

Объём шара радиуса r, который будем обозначать Vk, выражается интегралом


Многомерная геометрия


который с помощью интеграла (9. 11) для вычисления объёма сферы Sk может быть записан в виде


Многомерная геометрия


Поэтому объём Vk шара радиуса r в k-пространстве при чётном и нечётном n соответственно равен


Многомерная геометрия, Многомерная геометрия (9. 12)


Формула (9. 12) дает при k = 2, 3, 4, 5 соответственно


Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия, Многомерная геометрия (9. 13)

Глава III. Применения многомерной геометрии


§ 10. О необходимости введения многомерного пространства (на примерах задач)


В чём состоит польза многомерных пространств? Где они применяются? Зачем понадобилось расширять представления о пространстве от реального трёхмерного мира до столь далёких абстракций, которые нелегко и не сразу укладываются в сознании?

Для ответа на эти вопросы необходимо рассмотреть несколько примеров задач.

Пример 1. Сумма n чисел равна единице. Каковы должны быть эти числа, чтобы сумма их квадратов была наименьшей?


Многомерная геометрия

Рис. 33


Решение. Получим ответ на поставленный вопрос геометрическим путём, рассматривая сначала случай n = 2, затем n = 3, а потом обсудим ситуацию при n > 3.

Итак, пусть сначала n = 2. Иначе говоря, рассматривая числа х, у, удовлетворяющие условию х + у = 1, и требуется найти, в каком случае сумма квадратов х2 + у2 будет наименьшей. Уравнение х + у = 1 определяет на координатной плоскости прямую (рис. 33). Рассмотрим окружность S с центром в начале координат, которая касается этой прямой (точка А). Если точка М(х, у) прямой l отлична от А, то она лежит вне окружности S и поэтому | ОМ| больше радиуса r этой окружности, т. е. Многомерная геометрия. Если же М = А, то сумма х2 + у2 равна r, т.е. именно для точки А эта сумма принимает наименьшее значение. Точка А имеет координаты х = у = 1/2; это и есть решение поставленной алгебраической задачи при (n = 2).


Многомерная геометрия

Рис. 34


Пусть n = 3. Уравнение x + y + z =1 определяет в пространстве плоскость L. Рассмотрим сферу S c центром в начале координат, касающуюся этой плоскости в некоторой точке А (рис. 34). Для любой точки Многомерная геометрия, отличной от А, её расстояние от точки О больше радиуса r сферы S, Многомерная геометрия и поэтому Многомерная геометрия, при М = А имеем Многомерная геометрия.

Таким образом, именно для точки А сумма Многомерная геометрия принимает наименьшее значение. Точка А имеет равные координаты: x = y = z (поскольку при повороте пространства, переставляющем оси координат: Многомерная геометрия, и плоскость L и сфера S переходят в себя, а поэтому их общая точка остаётся неподвижной). А так как x + y + z =1, то точка А имеет координаты x = y = z = 1/3; это и есть решение поставленной задачи (для n=3).

Рассмотрим произвольное n; рассуждения будем вести в n-мерном пространстве, точками которого являются последовательности (х1, х2, …, хn), состоящие из n действительных чисел. Уравнение Многомерная геометрия определяет в этом пространстве «плоскость» L, имеющую размерность n – 1 (гиперплоскость в n-мерном пространстве). Рассмотрим сферу S с центром в начале координат О, касающуюся гиперплоскости L в некоторой точке А. Все точки гиперплоскости L, кроме А, лежат вне сферы S, т. е. находятся от начала координат О на расстоянии, равном r. Следовательно, сумма Многомерная геометрия принимает наименьшее значение по сравнению со всеми другими точками гиперплоскости L. Заметим теперь, что все координаты точки А равны между собой: Многомерная геометрия (поскольку поворот пространства, переставляющий оси координат: Многомерная геометрия, и плоскость L и сфера S переходят в себя, а поэтому их общая точка остаётся неподвижной), откуда Многомерная геометрия. Итак, при Многомерная геометрия сумма квадратов Многомерная геометрия принимает наименьшее значение для Многомерная геометрия.

Пример 2. На три завода З1, З2, З3 (рис. 35) нужно завести сырьё одинакового вида, которое хранится на двух складах С1, С2 в соответствии с данными, указанными в таблице.


Наличие сырья Потребность в сырье
С1 С2 З1 З2 З3
20 т 25 т 10 т 15 т 20 т

Требуется найти наиболее выгодный вариант перевозок, т. е. вариант, для которого общее количество тонно-километров будет наименьшим.

Решение. Обозначим через х и у количество сырья, которое нужно вывести со склада С1 соответственно на заводы З1, З2. Тогда со второго склада нужно довезти на эти заводы 10 – х и 15 – у тонн сырья. Так как общее количество имеющегося на складах сырья совпадает с потребностью заводов, т. е. всё сырьё должно быть вывезено со складов на заводы, то после обеспечения заводов З1 и З2 оставшееся на складах сырьё полностью вывозится на завод З3, т. е. со склада С1 на завод З3 вывозится 20 – х – у, а со склада С2 25 – (10 – х) – (15 – у) = х + у тонн.


Многомерная геометрия

Рис. 35


Учитывая расстояния (рис. 35), находим общее число тонно-километров:


5х + 7у + 10(20 – х – у) + 3(10 – х) – (15 – у) + 6(х + у) = 290 – 2х – у.


Заметим теперь, что все величины, выражающие количество перевозимого по разным дорогам сырья, неотрицательны:


Многомерная геометрия.


Каждое из этих неравенств определяет в системе координат х, у полуплоскость, а система всех неравенств определяет пересечение этих полуплоскостей, т. е. выпуклый многоугольник Q (рис. 36). Заметим, что последнее неравенство можно отбросить: оно является следствием первых двух.

Многомерная геометрия

Рис. 36


Таким образом, задача о нахождении наиболее выгодного варианта перевозок сводится математически к нахождению точки М(х, у) многоугольника Q, в который функция 290 – 2х – у достигает наименьшего значения. Вместо этой функции можно рассматривать функцию – 2х – у.

Действительно, если будет найдено наименьшее значение функции – 2х – у на многоугольнике Q, то прибавив к этому значению 290, получим наименьшее значение функции 290 – 2х – у. На рисунке 37 показано, что наименьшее значение линейной функции, рассматриваемой на многоугольнике Q, достигается в вершине С. Иначе говоря, наиболее выгодный вариант перевозок соответствует точке С(10; 10), т. е. х = 10, у = 10. Общее количество тонно-километров для этих значений х, у равно 290 – 2·10 – 10 = 260. Видно, геометрическая модель позволила полностью решить поставленную задачу.


Многомерная геометрия Рис. 37

В рассмотренной задаче все объёмы перевозок со складов на заводы удалось выразить через две переменные х, у. Это позволило дать геометрическую интерпретацию получившейся системы неравенств на координатной плоскости. Допустим, однако, что при тех же двух складах число заводов равно четырём с потребностью в сырье соответственно 8, 10, 12 и 15 т. Тогда нужно будет ввести три переменные x, y, z, обозначающие количество сырья, вывозимого со склада С1 на первые три завода. Если задать расстояния со складов до заводов, то можно будет составить выражение для общего числа тонно-километров. Можно написать и неравенства, выражающие неотрицательность количества сырья, вывозимого со складов на заводы. Теперь эти неравенства будут зависеть от трёх переменных x, y, z. Каждое из этих неравенств задаёт полупространство, а система всех неравенств определяет пересечение полупространств, т. е. выпуклый многогранник в трёхмерном пространстве.

Таким образом, для четырёх заводов задача о перевозке сырья будет математически формулироваться как задача о наименьшем значении линейной функции на трёхмерном выпуклом многограннике.

Для двух складов и пяти заводов (при сохранении того условия, что всё сырьё должно быть вывезено полностью) потребуются уже четыре переменные, обозначающие количество сырья, вывозимого со склада С1 на первые четыре завода. Теперь мы будем иметь неравенства с четырьмя переменными, и для получения геометрической интерпретации потребуется четырёхмерное пространство, а при большем числе складов и заводов – пространство ещё большей размерности.


§ 11. Пространство-время классической механики


Аналогия между пространством и временем была известна ещё древним грекам. Аристотель включал время в число непрерывных величин наряду с линиями, поверхностями и телами. Однако впервые рассматривал время как координату наряду с пространственными координатами Галилей.

Время систематически рассматривалось в качестве координаты в теоретической механике.

Будем характеризовать положение материальной точки в пространстве в данный момент времени пространственными координатами хi ( i = 1, 2, 3) и временной координатой t. В классической механике Галилея-Ньютона переход от исходной системы координат хi, t к другой системе, движущейся относительно неё прямолинейно и равномерно определяется формулами


Многомерная геометрия


где Многомерная геометрия - координаты вектора движения первой системы по отношению ко второй. Формулы показывают, что если при переходе от одной системы координат к другой системе, движущейся по отношению к ней, пространственные координаты во второй системе выражаются не только через пространственные координаты в первой системе, но и через временную координату в этой системе, то временные координаты во второй системе могут отличаться от временных координат в первой системе только изменением начала отсчёта, т. е. время в механике Галилея-Ньютона абсолютно.

Механика Галилея-Ньютона хорошо согласуется с практикой при малых скоростях, но при больших скоростях, сравнимых со скоростью света, эта механика заметно расходится с практикой; согласно механике Галилея-Ньютона, если скорость света по отношению к некоторой системе координат равна с, то по отношению к системе координат, движущейся в том же или обратном направлении со скоростью v, эта скорость соответственно должна быть равна c – v или c + v. Но, как показывает эксперимент, скорость света одна и та же по отношению ко всем системам координат, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Если скорость v, во много раз меньше скорости с, скорости c – v и c + v практически неотличимы от скорости с, но в случае, когда скорость v сравнима со скоростью с, отличие скорости света от скоростей c – v и c + v легко заметить.


§ 12. Пространство-время специальной теории относительности


Для того чтобы выполнялось условие постоянства скорости света для всех систем координат, движущихся равномерно и прямолинейно друг относительно друга, достаточно, чтобы для всех таких систем прямоугольных координат выполнялось соотношение


Многомерная геометрия


то есть


Многомерная геометрия (12. 1)


Это условие не может быть выполнено в механике Галилея-Ньютона, где координата Многомерная геометрия не может зависеть от координаты Многомерная геометрия. Для того чтобы удовлетворить этому условию, следует отказаться от понятия об абсолютном времени и принять, что пространство и время – не изолированные друг от друга формы существования материи, а две стороны существования одной и той же формы.

Этому условию удовлетворяет механика специальной теории относительности Энштейна, дающая при скоростях, сравнимых со скоростью света, значительно большее согласие с практикой, чем механика Галилея-Ньютона. Если мы обозначим произведение ct, имеющее размерность длины через х4, то, согласно специальной теории относительности, при переходе от одной системы координат к другой такой системе, движущейся относительно неё равномерно и прямолинейно, координаты хi (i = 1, 2, 3, 4) преобразуются по закону


Многомерная геометрия (12. 2)


причём


Многомерная геометрия (12. 3)


где Многомерная геометрия, Многомерная геометрия.


Формула (12.2) совпадает с формулой преобразования прямоугольных координат обычного n – пространства при n = 4, но формула (12. 3) отличается от соответственного условия в 4-пространстве, в котором Многомерная геометрия.

Поэтому в случае специальной теории относительности можно по аналогии с обычным 4-пространством определить в 4-пространстве, точки которого определяют положения материальных точек в разные моменты времени, расстояния между точками, считая за расстояние между точками М1 и М2 с координатами Многомерная геометрия и Многомерная геометрия квадратный корень из выражения Многомерная геометрия. Определённое таким образом расстояние может быть как вещественным, так и чисто мнимым и равным нулю. В первом случае существует такая система координат, в которой точки М1 и М2 одновременны и расстояние М1М2 равно обычному расстоянию между ними в этой системе координат. Во втором случае существует такая система координат, в которой эти точки имеют одинаковые пространственные координаты и расстояние М1М2 равно произведению ic на отрезок времени между этими точками в этой системе координат. В третьем случае М1М2 = 0 и точки М1 и М2 можно соединить лучом света.

Определённое нами 4-пространство называют пространством Минковского. Преобразования (12.2) при Многомерная геометрия, удовлетворяющие условиям (12. 3), называют преобразованиями Лоренца.

Этот пример показывает плодотворность понятия 4-пространства, указывает на необходимость расширения понятия евклидова n-пространства в сторону отказа от знакоопределённости квадратичной формы, выражающей скалярный квадрат вектора х в функции его координат.


§ 13. Пространство-время общей теории относительности


Описание пространства-времени с помощью псевдоевклидова 4-пространства индекса 3 в специальной теории относительности, согласующееся с практикой лучше, чем описание пространства-времени в классической механике, является только приближённым описанием пространства-времени. Следующее приближение было предложено самим Энштейном в его общей теории относительности. Согласно этой теории пространство-время является псевдоримановым 4-пространством индекса 3, кривизна в 2-мерных направлениях которого больше там, где больше плотность материи. Таким образом, не только пространство и время оказываются взаимозависимыми, но их свойства оказываются зависящими от материи, формой существования которой они являются.

Из того, что в малой области геометрия псевдоримановых пространств близка к геометрии псевдоевклидова пространства, образованного векторами в одной из точек этой области, видно, что специальная теория относительности хорошо согласуется с практикой в сравнительно небольших областях пространства-времени, а в больших областях проявляются свойства, описываемые общей теорией относительности.

Хотя с прогрессом науки мы узнаём свойства всё больших областей пространства-времени, известная нам часть вселенной остаётся ограниченной и по свойствам этой части мира мы можем судить о геометрических свойствах мирового пространства-времени в целом только в порядке грубого приближения.

Наиболее грубое приближение к картине мирового пространства-времени в целом мы получим, если предположим, что материя распределена в пространстве–времени совершенно равномерно и, следовательно, пространство-время представляет собой псевдориманово 4-пространство индекса 3 постоянной кривизны. Если мы представим себе такое пространство в виде сферы вещественного или мнимого радиуса в псевдоевклидовом 5-пространстве соответственно индекса 4 или 3, а поверхности t =const также в порядке грубого приближения представим себе сечениями этой сферы параллельными плоскостями, то с течением времени «пространственное сечение» мира уменьшается или расширяется в зависимости от положения секущей плоскости. В первом случае кривизна «пространственного сечения» - постоянная положительная, во втором случае – постоянная отрицательная.


Многомерная геометрия Многомерная геометрия

а) б)

Рис. 38


На рис. 38 изображены трёхмерные аналоги сфер вещественного и мнимого радиуса в псевдоевклидовом 5-пространстве. Изложенная картина мира с первого взгляда кажется неправдоподобной, но она подтверждается астрономическими наблюдениями, свидетельствующими о расширении известной нам вселенной. Это подтверждение указывает на возможность того, что реальное пространство-время, является псевдоримановым пространством переменной кривизны, соответствует этой картине мира «в среднем».

Заключение


Изучение k-мерного пространства весьма полезно как для уяснения многих закономерностей геометрии обычного пространства, являющегося частным случаем k-мерного пространства при k = 3, так и для более наглядного представления многих закономерностей алгебры, геометрии и анализа, связанных с уравнениями с k неизвестными.

Соотношения k-мерной геометрии находят применение и при решении транспортных задач о составлении оптимального способа перевозки грузов и т. д.

В данной работе были рассмотрены многомерные геометрические образы в k-мерных пространствах и четырёхмерное пространство, которое наши глаза никогда не видели. Также исследовались четырёхмерные предметы пространства. На основе изложенного материала исследовали необходимость введения многомерного пространства системы, заданной k-параметрами, в которой появляются понятия k-мерной линии плоскости.

Литература


Александров А. Д., Нецветаева Н. Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990.

Атанасян Л. С. Геометрия. ч. 2 – М., 1987.

Базылев В. Т. и др. Геометрия. Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. Факультетов пед. институтов – М.: «Просвещение», 1975.

Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // УФН. – 1968. – Т. 94, вып. 3.

Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов Н. А. Метод координат. Изд. 3 – М.: Наука, 1968.

Гордевский Д. З. Популярное введение в многомерную геометрию. – Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1964.

Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М.: Наука, 1970.

Манин Ю. И. Новые размерности в геометрии // Успехи мат. Наук, 1984, т. 39, вып. 6.

Моденов Л. С. Аналитическая геометрия. – М., 1969.

Парнасский И. В. Многомерные пространства. – М.: Наука, 1978.

Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой. - Изд. 2. – М.: Наука, 1987.

Прохоров Ю. В. Большой энциклопедический словарь по математике. – М.: Науч. издат., 1998.

Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. – М.: Наука, 1966.

Сазанов А. А. Четырёхмерный мир Минковского. – М.: Наука, 1988.

Стрингхем П. Г. Правильные фигуры в n-мерном пространстве. Под ред. Фаге, Успехи математических наук, вып. 10 – М., 1954.

Хлопонина Э. П. Аналитическая геометрия аффинных и евклидовых пространств: Учебное пособие, ч. 1 – Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998.

88


Рефетека ру refoteka@gmail.com