Рефетека.ру / Математика

Курсовая работа: Нестандартные методы решения задач по математике

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет


Курсовая работа

Нестандартные методы решения задач по математике


Исполнитель:

Студентка группы М-42

Давиденко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Зверева Т.Е.


Гомель 2007

Содержание


Введение

1. Метод функциональной подстановки

2. Метод тригонометрической подстановки

3. Методы, основанные на применении численных неравенств

4. Методы, основанные на монотонности функций

5. Методы решения функциональных уравнений

6. Методы, основанные на применении векторов

7. Комбинированные методы

8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций

9. Методы решения симметрических систем уравнений

10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа

Заключение

Литература


Введение


В настоящее время на занятиях по математике в математических классах общеобразовательных школ, гимназий и лицеев все большее внимание уделяется изучению нестандартных методов решения уравнений и неравенств из различных разделов математики (алгебра, тригонометрия и геометрия). В известной степени это вызвано тем, что в последние годы имеет место устойчивая тенденция к усложнению заданий, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике в ведущих высших учебных заведениях Беларуси и Российской Федерации.

В данной работе предлагаются нестандартные методы решения задач по математике, которые имеют довольно-таки широкое распространение. Многие из приведенных здесь задач предлагались совсем недавно на вступительных экзаменах по письменной математике в Белгосуниверситете.


1. Метод функциональной подстановки


Метод функциональной подстановки является, пожалуй, самым распространенным методом решения сложных задач школьной математики. Суть метода состоит в введении новой переменной Нестандартные методы решения задач по математике, применение которой приводит к более простому выражению. Частным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Основная трудность решения задач методом функциональной подстановки заключается в том, что зачастую трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений (или неравенств), где эту подстановку можно использовать. В настоящем разделе предлагаются наиболее распространенные уравнения и неравенства, которые эффективно решаются методом функциональной подстановки.

Задачи и решения

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике


Решение. Введем новую переменную Нестандартные методы решения задач по математике, тогда из Error: Reference source not found получаем уравнение Нестандартные методы решения задач по математике. Поскольку обе части полученного уравнения неотрицательны, то после возведения в квадрат получаем равносильное уравнение Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда вытекает Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Рассмотрим два уравнения


Нестандартные методы решения задач по математике


Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Подстановкой в Error: Reference source not found убеждаемся в том, что найденные значения переменной Нестандартные методы решения задач по математике являются корнями исходного уравнения.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике


Решение. Нетрудно видеть, что Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике является корнем уравнения.

Пусть теперь Нестандартные методы решения задач по математике, тогда обе части уравнения Error: Reference source not found разделим на Нестандартные методы решения задач по математике и получим уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике


Если обозначить Нестандартные методы решения задач по математике, то уравнение Error: Reference source not found принимает вид квадратного уравнения Нестандартные методы решения задач по математике, корнями которого являются Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Рассмотрим уравнения Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, откуда следует, что Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то наиденные значения Нестандартные методы решения задач по математике являются корнями уравнения.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение

Нестандартные методы решения задач по математике


Решение. Перепишем уравнение в виде


Нестандартные методы решения задач по математике


Положим, что Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, тогда из Error: Reference source not found получим уравнение Нестандартные методы решения задач по математике, из которого следует Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике. Так как Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и при этом Нестандартные методы решения задач по математике.

Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда получаем систему уравнений


Нестандартные методы решения задач по математике


где Нестандартные методы решения задач по математике. Решением системы уравнений Error: Reference source not found относительно Нестандартные методы решения задач по математике является Нестандартные методы решения задач по математике. Так как при этом Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике


Решение. Для преобразования левой части уравнения Error: Reference source not found воспользуемся очевидным равенством Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда из уравнения Error: Reference source not found имеем

Нестандартные методы решения задач по математике


и


Нестандартные методы решения задач по математике


Если затем положить Нестандартные методы решения задач по математике, то получим уравнение Нестандартные методы решения задач по математике, корни которого равны Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Таким образом, необходимо рассмотреть два уравнения Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, где Нестандартные методы решения задач по математике. Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике


Решение. Первоначально убедимся, что Нестандартные методы решения задач по математике не является корнем уравнения Error: Reference source not found. Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то разделим обе части уравнения Error: Reference source not found на Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда получим


Нестандартные методы решения задач по математике100


Пусть Нестандартные методы решения задач по математике, тогда

Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике


и из уравнения Error: Reference source not found следует Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике. Последнее уравнение представим в виде Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда следует, что Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Далее, рассмотрим три уравнения Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Первые два уравнения корней не имеют, а корнями третьего уравнения Нестандартные методы решения задач по математике являются Нестандартные методы решения задач по математике

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике

Пример 62 Решить неравенство


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части неравенства Error: Reference source not found на Нестандартные методы решения задач по математике и обозначим Нестандартные методы решения задач по математике через Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда неравенство Error: Reference source not found можно переписать как


Нестандартные методы решения задач по математике


и


Нестандартные методы решения задач по математике100

Решая неравенство Error: Reference source not found с учетом того, что Нестандартные методы решения задач по математике, получаем Нестандартные методы решения задач по математике. Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Выполним замену переменных, пусть Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Так как Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, тo Нестандартные методы решения задач по математике. Кроме того, имеем Нестандартные методы решения задач по математике.

В таком случае из уравнения Error: Reference source not found получаем систему уравнений


Нестандартные методы решения задач по математике100


Пусть теперь Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, тогда из системы уравнений Error: Reference source not found следует Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда с учетом того, что Нестандартные методы решения задач по математике, получаем Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Следовательно, имеет место Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, где Нестандартные методы решения задач по математике --- целое число.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, где Нестандартные методы решения задач по математике --- целое число.


2. Метод тригонометрической подстановки


К числу, нестандартных методов решения алгебраических уравнений относится метод, основанный на применении тригонометрической подстановки. Использование такого метода целесообразно в том случае, когда искомые уравнения напоминают известные тригонометрические формулы. Это относится преимущественно к уравнениям (системам уравнений), решение которых обычными приемами весьма затруднительно, и которые после введения тригонометрических подстановок сводятся к несложным тригонометрическим уравнениям. Суть тригонометрической подстановки состоит в замене неизвестной переменной Нестандартные методы решения задач по математике тригонометрической функцией, например Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике, а также в замене Нестандартные методы решения задач по математике некоторой функцией от Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике.

Полученные корни тригонометрических уравнений позволяют находить корни исходных уравнений как в тригонометрической, так и в алгебраической форме. Следует особо отметить, что тригонометрические уравнения имеют, как правило, бесконечное число корней, а исходные уравнения --- конечное их число.

Задачи и решения

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике не является корнем уравнения Error: Reference source not found, то разделим обе его части на Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда


Нестандартные методы решения задач по математике100


Если Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике, то левая часть уравнения Error: Reference source not found будет больше Нестандартные методы решения задач по математике, а правая его часть --- меньше Нестандартные методы решения задач по математике. Следовательно, корни уравнения Error: Reference source not found находятся на отрезке Нестандартные методы решения задач по математике.

Пусть Нестандартные методы решения задач по математике, где Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда уравнение Error: Reference source not found принимает вид тригонометрического уравнения


Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике


Решением уравнения Нестандартные методы решения задач по математике являются Нестандартные методы решения задач по математике, где Нестандартные методы решения задач по математике --- целое число. Однако Нестандартные методы решения задач по математике, поэтому Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Нетрудно видеть, что


Нестандартные методы решения задач по математике


Выполним замену Нестандартные методы решения задач по математике, где Нестандартные методы решения задач по математике. В таком случае левая часть уравнения Error: Reference source not found принимает вид


Нестандартные методы решения задач по математике


а из уравнения Error: Reference source not found следует тригонометрическое уравнение вида


Нестандартные методы решения задач по математике100

Сделаем еще одну замену переменных, пусть Нестандартные методы решения задач по математике, тогда Нестандартные методы решения задач по математике и из Error: Reference source not found получаем квадратное уравнение относительно переменной Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике, решением которого являются Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Так как Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. С учетом того, что Нестандартные методы решения задач по математике, получаем систему тригонометрических уравнений


Нестандартные методы решения задач по математике100


Из уравнений системы Error: Reference source not found составим квадратное уравнение относительно Нестандартные методы решения задач по математике вида Нестандартные методы решения задач по математике и получаем Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить систему уравнений


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то положим Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, тогда Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. В таком случае Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и система уравнений Error: Reference source not found принимает вид

Нестандартные методы решения задач по математике100


Из первого уравнения системы Error: Reference source not found получаем Нестандартные методы решения задач по математике. Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике, Следовательно, получаем систему


Нестандартные методы решения задач по математике


Отсюда следует Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Так как Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.


3. Методы, основанные на применении численных неравенств


Нестандартными методами в математике являются также методы, в основу которых положено использование известных в математике численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши--Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.

Первоначально приведем формулировки неравенства Коши, неравенства Бернулли и неравенства Коши--Буняковского, а затем проиллюстрируем их применение на примерах, взятых из программы вступительных экзаменов по письменной математике в Белгосуниверситете.

Неравенство Коши

Пусть Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, ..., Нестандартные методы решения задач по математике, тогда


Нестандартные методы решения задач по математике100


где Нестандартные методы решения задач по математике. Причем неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда Нестандартные методы решения задач по математике. В частности, если в Error: Reference source not found положить Нестандартные методы решения задач по математике, то


Нестандартные методы решения задач по математике100


Это неравенство чаще всего встречается при решении школьных задач по математике. Если в Error: Reference source not found положить Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, где Нестандартные методы решения задач по математике, то


Нестандартные методы решения задач по математике100


Здесь неравенство равносильно равенству лишь при Нестандартные методы решения задач по математике.

Следует отметить, что имеется аналог неравенства Error: Reference source not found для отрицательных значений Нестандартные методы решения задач по математике, а именно, если Нестандартные методы решения задач по математике, то


Нестандартные методы решения задач по математике100


Данное неравенство превращается в равенство при Нестандартные методы решения задач по математике.

Неравенство Бернулли

Наиболее распространенным является классическое неравенство Бернулли, которое формулируется в следующей форме: если Нестандартные методы решения задач по математике, то для любого натурального Нестандартные методы решения задач по математике имеет место

Нестандартные методы решения задач по математике100


Причем равенство в Error: Reference source not found достигается при Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике.

Наряду с Error: Reference source not found существует обобщенное неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:

если Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике, то


Нестандартные методы решения задач по математике100


если Нестандартные методы решения задач по математике, то


Нестандартные методы решения задач по математике100


где Нестандартные методы решения задач по математике.

Следует отметить, что равенства в Error: Reference source not found и Error: Reference source not found имеют место только при Нестандартные методы решения задач по математике. Верно также и обратное утверждение.

Неравенство Коши--Буняковского

Для произвольных Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике имеет место


Нестандартные методы решения задач по математике100


где Нестандартные методы решения задач по математике.

Причем равенство в Error: Reference source not found достигается в том и только в том случае, когда числа Нестандартные методы решения задач по математике. и Нестандартные методы решения задач по математике пропорциональны, т.е. существует константа Нестандартные методы решения задач по математике такая, что для всех Нестандартные методы решения задач по математике выполняется равенство Нестандартные методы решения задач по математике.

На основе использования неравенства Коши--Буняковского Error: Reference source not found можно доказать неравенство


Нестандартные методы решения задач по математике100

которое справедливо для произвольных Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и натурального числа Нестандартные методы решения задач по математике.

Задачи и решения

Пример 62 Доказать неравенство


Нестандартные методы решения задач по математике100


где Нестандартные методы решения задач по математике.

Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства Error: Reference source not found с использованием неравенства Error: Reference source not found, т.е.


Нестандартные методы решения задач по математике


Так как по условию Нестандартные методы решения задач по математике, то равенства в неравенстве Бернулли Error: Reference source not found не будет, поэтому доказано строгое неравенство Error: Reference source not found.

Пример 62 Доказать, что если Нестандартные методы решения задач по математике, то


Нестандартные методы решения задач по математике100


Доказательство. Введем обозначения Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Используя неравенство Коши-Буняковского Error: Reference source not found, можно записать Нестандартные методы решения задач по математике. Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Имеет место равенство Нестандартные методы решения задач по математике, из которого следует Нестандартные методы решения задач по математике.

Следовательно, для доказательства неравенства Error: Reference source not found достаточно показать, что Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике, где Нестандартные методы решения задач по математике.

Пусть Нестандартные методы решения задач по математике. Для доказательства неравенства Error: Reference source not found требуется показать, что Нестандартные методы решения задач по математике, где Нестандартные методы решения задач по математике.

Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то корни уравнения Нестандартные методы решения задач по математике являются точками, подозрительными на экстремум функции Нестандартные методы решения задач по математике. Уравнение Нестандартные методы решения задач по математике имеет два корня: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике. Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике.

Отсюда следует, что неравенство Error: Reference source not found доказано.

Пример 62 Доказать, если Нестандартные методы решения задач по математике, то


Нестандартные методы решения задач по математике


Доказательство. Для получения нижней оценки левой части требуемого неравенства первоначально воспользуемся неравенством Бернулли Error: Reference source not found, а затем неравенством Коши Error: Reference source not found, тогда


Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике


Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Используя неравенство Коши Error: Reference source not found, можно записать

Нестандартные методы решения задач по математике


т.е. имеет место неравенство


Нестандартные методы решения задач по математике


Отсюда и из уравнения Error: Reference source not found следует, что приведенные выше неравенства Коши обращаются в равенства. А это возможно лишь в том случае, когда Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Следовательно, имеем Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике; Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике; Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике; Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Применим к левой части уравнения Error: Reference source not found неравенство Бернулли Error: Reference source not found, а к правой части --- неравенство Error: Reference source not found, тогда


Нестандартные методы решения задач по математике


и


Нестандартные методы решения задач по математике


Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим частям уравнения Error: Reference source not found, обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае, когда Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Доказать неравенство


Нестандартные методы решения задач по математике100


где Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Доказательство. Непосредственно из неравенства Error: Reference source not found следует Нестандартные методы решения задач по математике. Используя это неравенство и неравенство Коши Error: Reference source not found, получаем неравенство Error: Reference source not found следующим образом:


Нестандартные методы решения задач по математике


Пример 62 Доказать, что


Нестандартные методы решения задач по математике100


где Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике --- стороны треугольника, a Нестандартные методы решения задач по математике --- его площадь.

Доказательство. Известно, что Нестандартные методы решения задач по математике, где Нестандартные методы решения задач по математике --- угол между сторонами Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике. Используя неравенство Коши Нестандартные методы решения задач по математике, получаем верхнюю оценку площади треугольника Нестандартные методы решения задач по математике вида Нестандартные методы решения задач по математике. По аналогии с изложенным выше имеет место Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Тогда Нестандартные методы решения задач по математике.

Отсюда следует справедливость неравенства Error: Reference source not found.

Пример 62 Доказать, что для всякого прямоугольного параллелепипеда с ребрами Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и диагональю Нестандартные методы решения задач по математике имеет место неравенство


Нестандартные методы решения задач по математике100


Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши--Буняковского Error: Reference source not found, тогда Нестандартные методы решения задач по математике.

Поскольку в прямоугольном параллелепипеде Нестандартные методы решения задач по математике (теорема Пифагора), то Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда следует справедливость неравенства Error: Reference source not found. Заметим, что равенство в Error: Reference source not found достигается тогда и только тогда, когда прямоугольный параллелепипед является кубом.

Пример 62 Пусть Нестандартные методы решения задач по математике --- точка, лежащая внутри прямоугольника Нестандартные методы решения задач по математике, и Нестандартные методы решения задач по математике --- его площадь. Доказать, что


Нестандартные методы решения задач по математике100


Доказательство. Через точку Нестандартные методы решения задач по математике, лежащую внутри прямоугольника Нестандартные методы решения задач по математике, проведем Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Обозначим Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и требуемое неравенство Error: Reference source not found принимает вид


Нестандартные методы решения задач по математике100

Используя неравенство Коши--Буняковского Error: Reference source not found, можно записать два неравенства


Нестандартные методы решения задач по математике


и


Нестандартные методы решения задач по математике


Следовательно, имеет место


Нестандартные методы решения задач по математике


и


Нестандартные методы решения задач по математике


Складывая приведенные выше неравенства, получаем неравенство Error: Reference source not found.


4. Методы, основанные на монотонности функций


При решении уравнений типа Нестандартные методы решения задач по математике в ряде случаев весьма эффективным является метод, который использует монотонность функций Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Если функция Нестандартные методы решения задач по математике непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке Нестандартные методы решения задач по математике, а функция Нестандартные методы решения задач по математике непрерывна и убывает (возрастает) на этом же отрезке, то уравнение Нестандартные методы решения задач по математике на отрезке Нестандартные методы решения задач по математике может иметь не более одного корня.

Напомним, что функция Нестандартные методы решения задач по математике называется возрастающей (или убывающей) на отрезке Нестандартные методы решения задач по математике, если для любых Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, удовлетворяющих неравенствам Нестандартные методы решения задач по математике, выполняется неравенство Нестандартные методы решения задач по математике (соответственно, Нестандартные методы решения задач по математике). Если функция Нестандартные методы решения задач по математике является на отрезке Нестандартные методы решения задач по математике возрастающей или убывающей, то она называется монотонной на этом отрезке.

В этой связи при решении уравнения Нестандартные методы решения задач по математике необходимо исследовать функции Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике на монотонность, и если одна из этих функций на отрезке Нестандартные методы решения задач по математике убывает, а другая функция --- возрастает, то необходимо или попытаться подбором найти единственный корень уравнения, или показать, что такого корня не существует. Если, например, функция Нестандартные методы решения задач по математике возстает, a Нестандартные методы решения задач по математике убывает для Нестандартные методы решения задач по математике и при этом Нестандартные методы решения задач по математике, то корней уравнения Нестандартные методы решения задач по математике среди Нестандартные методы решения задач по математике нет. Особенно такой метод эффективен в том случае, когда обе части уравнения Нестандартные методы решения задач по математике представляют собой весьма ``неудобные'' для совместного исследования функции. Кроме того, если функция Нестандартные методы решения задач по математике является монотонной на отрезке Нестандартные методы решения задач по математике и уравнение Нестандартные методы решения задач по математике (где Нестандартные методы решения задач по математике --- некоторая константа) имеет на этом отрезке корень, то этот корень единственный.

Задачи и решения

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Областью допустимых значений уравнения Error: Reference source not found являются Нестандартные методы решения задач по математике. Рассмотрим функции Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Известно, что функция Нестандартные методы решения задач по математике для Нестандартные методы решения задач по математике является убывающей, а функция Нестандартные методы решения задач по математике --- возрастающей. В этой связи уравнение Error: Reference source not found может иметь только один корень, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике, который легко находится подбором.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение

Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Введем новую переменную Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и уравнение Error: Reference source not found принимает вид


Нестандартные методы решения задач по математике100


Уравнение Error: Reference source not found имеет очевидный корень Нестандартные методы решения задач по математике. Покажем, что других корней нет. Для этого разделим обе части уравнения Error: Reference source not found на Нестандартные методы решения задач по математике, тогда


Нестандартные методы решения задач по математике100


Так как Нестандартные методы решения задач по математике, а Нестандартные методы решения задач по математике, то левая часть уравнения Error: Reference source not found является убывающей функцией, а правая часть --- возрастающей функцией. Поэтому уравнение Error: Reference source not found если имеет корень, так только один. Ранее было установлено, что Нестандартные методы решения задач по математике --- корень уравнения Error: Reference source not found. Следовательно, этот корень единственный.

Таким образом, имеем Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда единственным корнем уравнения Error: Reference source not found является Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Разделим обе части уравнения Error: Reference source not found на Нестандартные методы решения задач по математике, тогда


Нестандартные методы решения задач по математике100


Подбором нетрудно установить, что Нестандартные методы решения задач по математике является корнем уравнения Error: Reference source not found. Покажем, что других корней это уравнение не имеет.

Обозначим Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Очевидно, что Нестандартные методы решения задач по математике. Следовательно, каждая из функций Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике является убывающей и при этом Нестандартные методы решения задач по математике.

Если Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Если Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Следовательно, среди Нестандартные методы решения задач по математике2 или Нестандартные методы решения задач по математике корней уравнения Error: Reference source not found нет.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.


5. Методы решения функциональных уравнений


К числу наиболее сложных задач на вступительных конкурсных экзаменах по математике относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида


Нестандартные методы решения задач по математике100


или


Нестандартные методы решения задач по математике100


где Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике --- некоторые функции и Нестандартные методы решения задач по математике.

Методы решения функциональных уравнений Error: Reference source not found, Error: Reference source not found основаны на использовании следующих теорем.

Теорема 62 Корни уравнения Нестандартные методы решения задач по математике являются корнями уравнения Error: Reference source not found

Доказательство. Пусть Нестандартные методы решения задач по математике --- корень уравнения Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда справедливы равенства


Нестандартные методы решения задач по математике


Отсюда следует, что


Нестандартные методы решения задач по математике


т.е. Нестандартные методы решения задач по математике является корнем уравнения Error: Reference source not found.

Теорема 62 Если Нестандартные методы решения задач по математике --- возрастающая функция на отрезке Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то на данном отрезке уравнения Error: Reference source not found и Нестандартные методы решения задач по математике равносильны.

Доказательство. Пусть Нестандартные методы решения задач по математике является корнем уравнения Error: Reference source not found, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике. Предположим, что Нестандартные методы решения задач по математике не является корнем уравнения Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике. He нарушая общности рассуждений, будем считать, что Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда в силу возрастания функции Нестандартные методы решения задач по математике справедливы неравенства


Нестандартные методы решения задач по математике


Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то из приведенных выше неравенств следует Нестандартные методы решения задач по математике. Таким образом, получили ложное неравенство. А это означает, что Нестандартные методы решения задач по математике.

Отсюда и из теоремы 62 следует справедливость теоремы 62.

Следствие 62 Если функция Нестандартные методы решения задач по математике возрастает для любого Нестандартные методы решения задач по математике, то уравнения Error: Reference source not found и Нестандартные методы решения задач по математике равносильны.

Следствие 62 Если функция Нестандартные методы решения задач по математике возрастает на своей области определения, то уравнения Error: Reference source not found и Нестандартные методы решения задач по математике равносильны.

Более сложным является решение уравнения Error: Reference source not found в том случае, когда на некотором отрезке Нестандартные методы решения задач по математике функция Нестандартные методы решения задач по математике является убывающей.

В данном случае имеют место аналоги теоремы 62 и двух следствий только при условии, что в уравнении Error: Reference source not found число Нестандартные методы решения задач по математике нечетное.

Теорема 62 Если Нестандартные методы решения задач по математике --- убывающая функция на отрезке Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике --- нечетное и Нестандартные методы решения задач по математике, то на данном отрезке уравнения Error: Reference source not found и Нестандартные методы решения задач по математике равносильны.

Доказательство. Пусть Нестандартные методы решения задач по математике является корнем уравнения Error: Reference source not found, т.е.


Нестандартные методы решения задач по математике


Предположим, что Нестандартные методы решения задач по математике не является корнем уравнения Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда в силу убывания функции Нестандартные методы решения задач по математике на отрезке Нестандартные методы решения задач по математике получаем неравенства Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, и т. д.

Так как Нестандартные методы решения задач по математике --- нечетное, то Нестандартные методы решения задач по математике

Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике, то из последнего неравенства получаем Нестандартные методы решения задач по математике.

Так как Нестандартные методы решения задач по математике --- убывающая функция, то Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике. Получили противоречие тому, что по предположению Нестандартные методы решения задач по математике. Следовательно, Нестандартные методы решения задач по математике.

Отсюда, с учетом теоремы 62, следует справедливость теоремы 62.

Следствие 62 Если функция Нестандартные методы решения задач по математике убывает для любого Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике --- нечетное, то уравнения Error: Reference source not found и Нестандартные методы решения задач по математике равносильны.

Следствие 62 Если функция Нестандартные методы решения задач по математике убывает на своей области определения и Нестандартные методы решения задач по математике --- нечетное, то уравнения Error: Reference source not found и Нестандартные методы решения задач по математике равносильны.

Так как в рассмотренных выше случаях функция Нестандартные методы решения задач по математике является убывающей, то уравнение Нестандартные методы решения задач по математике может иметь только один корень. Поскольку уравнение Error: Reference source not found с убывающей функцией Нестандартные методы решения задач по математике и нечетным Нестандартные методы решения задач по математике равносильно уравнению Нестандартные методы решения задач по математике, то уравнение Error: Reference source not found также имеет не более одного корня.

Если в уравнении Error: Reference source not found Нестандартные методы решения задач по математике --- убывающая функция, a Нестандартные методы решения задач по математике --- четное, то в общем случае уравнения Error: Reference source not found и Нестандартные методы решения задач по математике не являются равносильными. Например, уравнение Нестандартные методы решения задач по математике имеет три корня Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и только третий корень удовлетворяет уравнению Нестандартные методы решения задач по математике.

В данном случае для поиска корней уравнения Error: Reference source not found необходимо проводить дополнительные исследования.

Теорема 62 Если Нестандартные методы решения задач по математике --- возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения Error: Reference source not found, то уравнения Error: Reference source not found и Нестандартные методы решения задач по математике равносильны.

Доказательство. 1) Пусть Нестандартные методы решения задач по математике --- корень уравнения Error: Reference source not found, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике. Предположим, что Нестандартные методы решения задач по математике не является корнем уравнения Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда в зависимости от того, какой является функция Нестандартные методы решения задач по математике на области допустимых значений уравнения Error: Reference source not found возрастающей или убывающей, получаем неравенство Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике, соответственно. В каждом из двух случаев имеем ложное неравенство. Значит, Нестандартные методы решения задач по математике.

2) Пусть Нестандартные методы решения задач по математике --- корень уравнения Нестандартные методы решения задач по математике, т. е. Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда следует Нестандартные методы решения задач по математике.

Следствие 62 Если Нестандартные методы решения задач по математике --- возрастающая (или убывающая) функция на области значений функций Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то уравнения Error: Reference source not found и Нестандартные методы решения задач по математике равносильны.

Также следует отметить, что при решении функционального уравнения Error: Reference source not found необходимо внимательно рассматривать случай, когда функция Нестандартные методы решения задач по математике является четной.

Теорема 62 Если четная функция Нестандартные методы решения задач по математике определена на отрезке Нестандартные методы решения задач по математике и возрастает (или убывает) при Нестандартные методы решения задач по математике, то на данном отрезке уравнение Error: Reference source not found равносильно совокупности уравнений Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике при условии, что Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Доказательство проводится по аналогии с доказательством предыдущей теоремы. При этом используется четность функции Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. если Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике.

Анализ функции Нестандартные методы решения задач по математике на монотонность удобно осуществлять с помощью производной: если функция Нестандартные методы решения задач по математике дифференцируема на отрезке Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике (Нестандартные методы решения задач по математике), то функция Нестандартные методы решения задач по математике является возрастающей (убывающей) на данном отрезке.

Задачи и решения

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


где квадратный корень берется Нестандартные методы решения задач по математике раз (Нестандартные методы решения задач по математике).

Решение. Из условия задачи следует, что Нестандартные методы решения задач по математике. Пусть Нестандартные методы решения задач по математике, тогда уравнение Error: Reference source not found принимает вид функционального уравнения Error: Reference source not found.

Так как при Нестандартные методы решения задач по математике функция Нестандартные методы решения задач по математике возрастает и Нестандартные методы решения задач по математике, то уравнение Error: Reference source not found равносильно уравнению Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике, положительным решением которого является Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Перепишем исходное уравнение Error: Reference source not found в виде функционального уравнения типа Error: Reference source not found, т.е.


Нестандартные методы решения задач по математике100


где Нестандартные методы решения задач по математике.

Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике для любого значения Нестандартные методы решения задач по математике, то функция Нестандартные методы решения задач по математике является возрастающей на всей числовой оси Нестандартные методы решения задач по математике. Следовательно, вместо функционального уравнения Error: Reference source not found можно рассматривать равносильное ему уравнение Нестандартные методы решения задач по математике, для которого Нестандартные методы решения задач по математике является решением.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Преобразуем уравнение Error: Reference source not found следующим образом:


Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике


Отсюда получаем уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Пусть Нестандартные методы решения задач по математике, тогда уравнение Error: Reference source not found принимает вид


Нестандартные методы решения задач по математике100


Так как функция Нестандартные методы решения задач по математике является убывающей на всей числовой оси Нестандартные методы решения задач по математике, то (согласно Следствию 62) уравнение Error: Reference source not found равносильно уравнению Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. уравнение Error: Reference source not found равносильно уравнению Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда следует уравнение Нестандартные методы решения задач по математике, которое имеет единственный действительный корень Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике при всех Нестандартные методы решения задач по математике, то областью допустимых значений уравнения Error: Reference source not found является множество всех действительных чисел.

Положив Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, увидим, что заданное уравнение Error: Reference source not found принимает вид Нестандартные методы решения задач по математике, где Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Так как из Нестандартные методы решения задач по математике следует, что


Нестандартные методы решения задач по математике


то функция Нестандартные методы решения задач по математике является возрастающей на области значений функций Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. В этой связи уравнение Error: Reference source not found равносильно уравнению Нестандартные методы решения задач по математике и, следовательно, имеет два корня Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.


6. Методы, основанные на применении векторов


Недостаточное внимание в общеобразовательной школе уделяется применению векторов для решения уравнений и неравенств. Тем не менее, как будет показано ниже, в ряде случаев применение свойств векторов позволяет эффективно решать довольно-таки сложные уравнения и неравенства.

Вектор Нестандартные методы решения задач по математике в трехмерном пространстве характеризуется тремя координатами Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и модуль (длина) вектора Нестандартные методы решения задач по математике вычисляется по формуле Нестандартные методы решения задач по математике. Суммой (разностью) двух векторов Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике называется вектор Нестандартные методы решения задач по математике, координаты которого вычисляются как Нестандартные методы решения задач по математике (соответственно, Нестандартные методы решения задач по математике).

Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Верно и обратное утверждение: если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарные.

Для векторов Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике справедливо неравенство Нестандартные методы решения задач по математике, т.е.

Нестандартные методы решения задач по математике100


Формула Error: Reference source not found обобщается на случай суммы (или разности) трех и более векторов. Геометрический смысл Error: Reference source not found состоит в том, что длина ломанной линии, соединяющей две точки трехмерного пространства, больше или равна длине отрезка прямой, проведенного между этими точками. Формула Error: Reference source not found иначе называется неравенством треугольника.

Следует особо отметить, что равенство в Error: Reference source not found достигается тогда и только тогда, когда векторы Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике коллинеарные. В частности, из равенства в Error: Reference source not found следует, что Нестандартные методы решения задач по математике. Причем равенство Нестандартные методы решения задач по математике имеет место тогда и только тогда, когда векторы Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике сонаправлены, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике.

В свою очередь, равенство Нестандартные методы решения задач по математике свидетельствует о том, что векторы Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике противоположно направлены и Нестандартные методы решения задач по математике. Скалярным произведением Нестандартные методы решения задач по математике векторов Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике называется число (скаляр), которое вычисляется по формуле


Нестандартные методы решения задач по математике100


где Нестандартные методы решения задач по математике --- угол, образованный векторами Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Для вычисления скалярного произведения двух векторов Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, заданных в координатной форме, существует еще одна формула


Нестандартные методы решения задач по математике100


Из формул Error: Reference source not found и Error: Reference source not found легко получить формулу для вычисления косинуса угла со между векторами Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, т.е

Нестандартные методы решения задач по математике100


Из формулы Error: Reference source not found следует, что векторы Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике являются коллинеарными тогда и только тогда, когда Нестандартные методы решения задач по математике.

Отметим, что формулы Error: Reference source not found--Error: Reference source not found обобщаются на случай векторов Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, заданных в Нестандартные методы решения задач по математике-мерном пространстве (где Нестандартные методы решения задач по математике).

Задачи и решения

Пример 62 Доказать, если Нестандартные методы решения задач по математике, то


Нестандартные методы решения задач по математике100


где Нестандартные методы решения задач по математике.

Доказательство. Пусть Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, ..., Нестандартные методы решения задач по математике, тогда Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике,...,Нестандартные методы решения задач по математике. Введем в рассмотрение вектор Нестандартные методы решения задач по математике.

Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то вектор Нестандартные методы решения задач по математике имеет координаты Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике, то неравенство треугольника принимает вид


Нестандартные методы решения задач по математике100


Если в неравенство Error: Reference source not found подставить выражения для Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то получим требуемое неравенство Error: Reference source not found.

Пример 62 Решить неравенство


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Пусть на плоскости вектор Нестандартные методы решения задач по математике имеет координаты Нестандартные методы решения задач по математике, а вектор Нестандартные методы решения задач по математике --- координаты Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда имеем Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Пусть Нестандартные методы решения задач по математике, тогда координаты вектора Нестандартные методы решения задач по математике будут вычисляться по формулам Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда следует, что Нестандартные методы решения задач по математике. Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике, то имеет место неравенство треугольника Нестандартные методы решения задач по математике. Если в последнее неравенство подставить выражения для Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то получим неравенство Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда и из Error: Reference source not found следует равенство


Нестандартные методы решения задач по математике100


Равенство Error: Reference source not found означает, что Нестандартные методы решения задач по математике.

Отсюда следует, что векторы Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике коллинеарные. Используя основное свойство коллинеарных векторов, получаем уравнение Нестандартные методы решения задач по математике, откуда вытекает Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Введем в рассмотрение два вектора Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Принимая во внимание уравнение Error: Reference source not found, получаем равенство Нестандартные методы решения задач по математике, наличие которого свидетельствует о том, что векторы Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике являются коллинеарными. Следовательно, имеет место уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100

Из уравнения Error: Reference source not found следует, что Нестандартные методы решения задач по математике. Если возвести в квадрат обе части уравнения Error: Reference source not found, то получим уравнение Нестандартные методы решения задач по математике, которое имеет следующих три корня: Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике, то решением уравнения Error: Reference source not found являются Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Найти минимальное значение функции


Нестандартные методы решения задач по математике


Решение. Представим функцию Нестандартные методы решения задач по математике в виде


Нестандартные методы решения задач по математике100


Введем на плоскости векторы Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике с координатами Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, соответственно. Так как Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то из выражения Error: Reference source not found следует, что Нестандартные методы решения задач по математике.

Пусть Нестандартные методы решения задач по математике, тогда координатами вектора Нестандартные методы решения задач по математике являются Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Теперь необходимо показать, что полученная нижняя оценка функции Нестандартные методы решения задач по математике достижима, т.е. существуют такие значения Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, при которых функция Нестандартные методы решения задач по математике принимает значение Нестандартные методы решения задач по математике.

Если Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. векторы Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике коллинеарные. Отсюда следует, что Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Положим Нестандартные методы решения задач по математике, тогда Нестандартные методы решения задач по математике. Если найденные значения Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике подставить в Error: Reference source not found, то Нестандартные методы решения задач по математике. Следовательно, минимальное значение функции Нестандартные методы решения задач по математике равно Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.


7. Комбинированные методы


При решении сложных задач по математике используются самые разнообразные нестандартные методы, большинство из которых трудно поддаются классификации. Как правило, такие методы ориентированы на решение относительно узкого круга задач, однако их знание и умение ими пользоваться необходимы для успешного решения математических задач повышенной сложности. В настоящем разделе приведены задачи, решение которых базируется на применении оригинальных (эффективных, но сравнительно редко встречающихся) комбинированных методов.

Задачи и решения

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Рассмотрим уравнение с параметром Нестандартные методы решения задач по математике вида

Нестандартные методы решения задач по математике100


которое совпадает с уравнением Error: Reference source not found при Нестандартные методы решения задач по математике. Перепишем уравнение Error: Reference source not found в виде квадратного уравнения относительно неизвестной переменной Нестандартные методы решения задач по математике, т.е.


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решением уравнения Error: Reference source not found относительно Нестандартные методы решения задач по математике являются

Нестандартные методы решения задач по математике


т.е. Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике, то получаем два уравнения относительно переменной Нестандартные методы решения задач по математике вида Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда получаем три корня исходного уравнения Error: Reference source not found, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Обозначим Нестандартные методы решения задач по математике, тогда Нестандартные методы решения задач по математике. Известно, что Нестандартные методы решения задач по математике, тогда Нестандартные методы решения задач по математике и из уравнения Error: Reference source not found получаем уравнение относительно переменной Нестандартные методы решения задач по математике вида Нестандартные методы решения задач по математике. Решая последнее уравнение, получаем Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Таким образом, имеет место Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда следует Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Найти все значения параметра Нестандартные методы решения задач по математике, при которых разрешимо уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Воспользуемся известным тригонометрическим равенством Нестандартные методы решения задач по математике. Обозначим Нестандартные методы решения задач по математике, тогда Нестандартные методы решения задач по математике и из Error: Reference source not found получаем


Нестандартные методы решения задач по математике100


где Нестандартные методы решения задач по математике.

Воспользуемся неравенствами, которые имеют место для произвольных Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, вида


Нестандартные методы решения задач по математике


(данные неравенства легко доказать самостоятельно).

Следовательно, Нестандартные методы решения задач по математике и из Error: Reference source not found получаем Нестандартные методы решения задач по математике, откуда следует Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Преобразуем уравнение Error: Reference source not found согласно известного равенства Нестандартные методы решения задач по математике, где Нестандартные методы решения задач по математике, тогда Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда следует


Нестандартные методы решения задач по математике100


Если уравнение Error: Reference source not found сложить с уравнением Error: Reference source not found, то получаем Нестандартные методы решения задач по математике. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, то Нестандартные методы решения задач по математике. Возведем обе части уравнения в квадрат, тогда получаем квадратное уравнение Нестандартные методы решения задач по математике, корнями которого являются Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Непосредственной подстановкой в Error: Reference source not found убеждаемся, что найденные значения Нестандартные методы решения задач по математике являются его корнями.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Очевидно, что областью допустимых значений уравнения Error: Reference source not found являются Нестандартные методы решения задач по математике. Умножим обе части уравнения Error: Reference source not found на Нестандартные методы решения задач по математике, тогда получаем


Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике100


Решением уравнения Error: Reference source not found являются Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Однако Нестандартные методы решения задач по математике --- посторонний корень для уравнения Error: Reference source not found, поскольку при этом значении Нестандартные методы решения задач по математике левая часть уравнения Error: Reference source not found равна Нестандартные методы решения задач по математике, а правая меньше Нестандартные методы решения задач по математике. Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике не может быть корнем уравнения Error: Reference source not found. В этой связи Нестандартные методы решения задач по математике --- единственное решение исходного уравнения Error: Reference source not found.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Обозначим Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, тогда из уравнения Error: Reference source not found получаем систему двух уравнений относительно переменных Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике вида


Нестандартные методы решения задач по математике100


где Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Преобразуем левую часть второго уравнения системы Error: Reference source not found следующим образом:


Нестандартные методы решения задач по математике


Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда получаем Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике. Рассмотрим две системы


Нестандартные методы решения задач по математике


Корнями первой системы являются Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, а вторая система решения не имеет. Следовательно, Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда получаем два уравнения относительно переменной Нестандартные методы решения задач по математике вида Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Первое уравнений корней не имеет, а из второго следует Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100

Решение. Преобразуем уравнение Error: Reference source not found, используя свойство пропорции: если Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда уравнение Error: Reference source not found можно переписать как


Нестандартные методы решения задач по математике100


Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике, то из уравнения Error: Reference source not found получаем Нестандартные методы решения задач по математике; т.е. Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Так как уравнения Error: Reference source not found и Error: Reference source not found равносильны, то решением уравнения Error: Reference source not found являются Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Доказать неравенство


Нестандартные методы решения задач по математике100


где Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Доказательство. Доказательство неравенства Error: Reference source not found будем вести методом от противного. Допустим, что существуют такие значения Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, что Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, при которых выполняется неравенство


Нестандартные методы решения задач по математике100


Из неравенства Error: Reference source not found получаем


Нестандартные методы решения задач по математике100


Так как Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то из неравенства Error: Reference source not found следует

Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике


Таким образом, получено ложное неравенство, которое доказывает справедливость исходного неравенства Error: Reference source not found.


8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций


Одним из эффективных методов решения уравнений или неравенств является метод, основанный на использовании ограниченности функций. К наиболее известным ограниченным функциям относятся, например, некоторые тригонометрические функции; обратные тригонометрические функции; функции, содержащие модуль, степень, корень с четной степенью и т.д.

Приведем наиболее распространенные неравенства. Известно, что Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и многие другие. Здесь Нестандартные методы решения задач по математике --- натуральное число, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Кроме приведенных выше простейших неравенств имеются и более сложные, в частности, тригонометрические неравенства Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и неравенства с модулями вида Нестандартные методы решения задач по математике.

Следует также отметить, что при решении некоторых задач, приведенных в настоящем разделе, можно эффективно применять неравенства Коши, Бернулли и Коши--Буняковского, описанные в разделе 62.

Задачи и решения

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Выделим полный квадрат в правой части уравнения, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда следует, что Нестандартные методы решения задач по математике. Так как при этом Нестандартные методы решения задач по математике, то из Error: Reference source not found получаем систему уравнений


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решением второго уравнения системы является Нестандартные методы решения задач по математике. Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что найденное значение Нестандартные методы решения задач по математике является решением системы уравнений Error: Reference source not found и уравнения Error: Reference source not found.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Обозначим Нестандартные методы решения задач по математике, тогда из определения обратной тригонометрической функции Нестандартные методы решения задач по математике имеем Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то из уравнения Error: Reference source not found следует неравенство Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике. Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Однако Нестандартные методы решения задач по математике и поэтому Нестандартные методы решения задач по математике.

Если Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике. Так как ранее было установлено, что Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Областью допустимых значений уравнения Error: Reference source not found являются Нестандартные методы решения задач по математике.

Первоначально покажем, что функция Нестандартные методы решения задач по математике при любых Нестандартные методы решения задач по математике может принимать только положительные значения.

Представим функцию Нестандартные методы решения задач по математике следующим образом: Нестандартные методы решения задач по математике.

Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике, то имеет место Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике.

Следовательно, для доказательства неравенства Нестандартные методы решения задач по математике, необходимо показать, что Нестандартные методы решения задач по математике. С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда


Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике


Полученное численное неравенство свидетельствует о том, что Нестандартные методы решения задач по математике. Если при этом еще учесть, что Нестандартные методы решения задач по математике, то левая часть уравнения Error: Reference source not found неотрицательна.

Рассмотрим теперь правую часть уравнения Error: Reference source not found.

Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то


Нестандартные методы решения задач по математике.


Однако известно, что Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда следует, что Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. правая часть уравнения Error: Reference source not found не превосходит Нестандартные методы решения задач по математике. Ранее было доказано, что левая часть уравнения Error: Reference source not found неотрицательна, поэтому равенство в Error: Reference source not found может быть только в том случае, когда обе его части равны Нестандартные методы решения задач по математике, а это возможно лишь при Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.


9. Методы решения симметрических систем уравнений


В ряде случаев приходится решать системы уравнений с симметрическим вхождением слагаемых или сомножителей. Системы с таким свойством будем называть симметрическими. К таким системам относятся системы вида


Нестандартные методы решения задач по математике100


и


Нестандартные методы решения задач по математике100

Метод решения системы Error: Reference source not found состоит в сложении левых и правых частей уравнений. Тогда


Нестандартные методы решения задач по математике


заем из полученного уравнения поочередно вычитаются третье, второе и первое уравнения системы Error: Reference source not found, в результате чего получается система уравнений


Нестандартные методы решения задач по математике100


При решении системы уравнений Error: Reference source not found необходимо перемножить левые и правые части уравнений, тогда получаем


Нестандартные методы решения задач по математике


Здесь необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие Нестандартные методы решения задач по математике. Если затем полученное уравнение разделить поочередно на третье, второе и первое уравнения системы Error: Reference source not found, то получаем две системы уравнений относительно Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике вида


Нестандартные методы решения задач по математике100


Полученные системы уравнений относительно Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике допускают более простое решение по сравнению с решением систем уравнений Error: Reference source not found, Error: Reference source not found. Следует отметить, что данный метод обобщается на случай произвольного числа уравнений, содержащихся симметрических системах.

Кроме изложенного выше метода, существует еще много других, которые учитывают специфику заданной симметрической системы уравнений.

Задачи и решения

Пример 62 Решить систему уравнений


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Если к обеим частям каждого уравнения системы Error: Reference source not found прибавить 1, то получаем


Нестандартные методы решения задач по математике


Из последней системы уравнений следует


Нестандартные методы решения задач по математике


Пусть Нестандартные методы решения задач по математике, тогда

Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике

и Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.


Если Нестандартные методы решения задач по математике, то по аналогии с предыдущим получаем Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике; Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить систему уравнений


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Из первого уравнения системы Error: Reference source not found вычем второе уравнение, тогда Нестандартные методы решения задач по математике. Умножим на Нестандартные методы решения задач по математике обе части последнего уравнения и получим


Нестандартные методы решения задач по математике


откуда следует Нестандартные методы решения задач по математике. В таком случае первое уравнение системы Error: Reference source not found принимает вид Нестандартные методы решения задач по математике. Следовательно, Нестандартные методы решения задач по математике.Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике; Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить систему уравнений


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Обозначим Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда из первого уравнения системы Error: Reference source not found следует, что Нестандартные методы решения задач по математике.

Преобразуем второе и третье уравнения системы Error: Reference source not found следующим образом:


Нестандартные методы решения задач по математике

Нестандартные методы решения задач по математике100


Из второго уравнения системы Error: Reference source not found следует, что необходимо рассмотреть два случая.

1) Пусть Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда Нестандартные методы решения задач по математике, а из первого уравнения системы Error: Reference source not found получаем Нестандартные методы решения задач по математике. Так как Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то имеет место система уравнений


Нестандартные методы решения задач по математике


из которой следует Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

2) Пусть Нестандартные методы решения задач по математике, тогда Нестандартные методы решения задач по математике. Если данрое выражение для Нестандартные методы решения задач по математике подставить в первое уравнение ситемы Error: Reference source not found, то получим квадратное уравнение относительно переменной Нестандартные методы решения задач по математике вида Нестандартные методы решения задач по математике, которое имеет два корня Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Если Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и из первого уравнения системы Error: Reference source not found получаем Нестандартные методы решения задач по математике. В таком случае


Нестандартные методы решения задач по математике


и Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Если Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и

Нестандартные методы решения задач по математике


Отсюда следует Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: См. выше.

Пример 62 При каких значениях параметра Нестандартные методы решения задач по математике система неравенств


Нестандартные методы решения задач по математике100


имеет единственное решение?

Решение. В систему неравенств Error: Reference source not found переменные Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике входят симметрично, поэтому единственное ее решение необходимо искать в виде Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, где Нестандартные методы решения задач по математике.

Подставим Нестандартные методы решения задач по математике в любое из неравенств системы Error: Reference source not found, тогда Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике. Для того, чтобы квадратное неравенство имело бы единственное решение, необходимо его дискриминант приравнять нулю, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.


10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа


К числу нестандартных относятся методы решения уравнений, которые содержат целые и (или) дробные части действительных чисел. В программе школьной математики методы решения таких уравнений не изучаются. В настоящем разделе применение существующих методов и приемов иллюстрируется на примерах решения ряда уравнений.

Целой частью действительного числа Нестандартные методы решения задач по математике (или Антье) называется наибольшее целое число, не превосходящее Нестандартные методы решения задач по математике, и это число обозначается через Нестандартные методы решения задач по математике. Очевидно, что Нестандартные методы решения задач по математике. Разность Нестандартные методы решения задач по математике называется дробной частью числа Нестандартные методы решения задач по математике (или Мантисса) и обозначается через Нестандартные методы решения задач по математике. Из определения следует, что Нестандартные методы решения задач по математике. Кроме того, справедливо равенство


Нестандартные методы решения задач по математике100


Например, имеет место Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Отметим некоторые свойства введенного выше понятия целой части действительного числа.

Для произвольных действительных чисел Нестандартные методы решения задач по математике Нестандартные методы решения задач по математике имеет место неравенство


Нестандартные методы решения задач по математике


Кроме того, для любого действительного числа Нестандартные методы решения задач по математике справедливо


Нестандартные методы решения задач по математике100


Перейдем теперь к рассмотрению уравнений, содержащих целую и (или) дробную части неизвестной перенной.

Задачи и решения

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Поскольку Нестандартные методы решения задач по математике является целым числом, то Нестандартные методы решения задач по математике --- тоже целое число. Следовательно, число Нестандартные методы решения задач по математике также является целым. В таком случае Нестандартные методы решения задач по математике и уравнение Error: Reference source not found принимает вид Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике. Целыми корнями последнего уравнения являются Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Рассмотрим последовательно три случая.

Если Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, т.е. решением уравнения Error: Reference source not found могут быть только Нестандартные методы решения задач по математике.

Пусть Нестандартные методы решения задач по математике, тогда из уравнения Error: Reference source not found следует, что Нестандартные методы решения задач по математике. Так как Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, то получаем систему неравенств


Нестандартные методы решения задач по математике


Решением данной системы неравенств являются Нестандартные методы решения задач по математике.

Если Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Следовательно, уравнение Error: Reference source not found не имеет корней среди Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Используя свойство Error: Reference source not found, можно записать

Нестандартные методы решения задач по математике


Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то, складывая почленно три приведенные выше неравенства, получим


Нестандартные методы решения задач по математике


Отсюда, принимая во внимание уравнение Error: Reference source not found, следуют неравенства


Нестандартные методы решения задач по математике100


Поскольку в этом случае Нестандартные методы решения задач по математике следует, что Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике. Так как Нестандартные методы решения задач по математике --- целое число, то отсюда получаем, что Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике. Следовательно, имеем Нестандартные методы решения задач по математике.

Из уравнения Error: Reference source not found следует, что Нестандартные методы решения задач по математике --- целое число. Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то остается лишь проверить целые значения Нестандартные методы решения задач по математике от Нестандартные методы решения задач по математике до Нестандартные методы решения задач по математике. Нетрудно установить, что решениями уравнения Error: Reference source not found являются Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Из формулы Error: Reference source not found следует, что Нестандартные методы решения задач по математике. В этой связи уравнение Error: Reference source not found можно переписать, как Нестандартные методы решения задач по математике.

Отсюда следует уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Очевидно, что Нестандартные методы решения задач по математике является корнем уравнения Error: Reference source not found. Положим, что Нестандартные методы решения задач по математике. Тогда разделим обе части уравнения Error: Reference source not found на Нестандартные методы решения задач по математике и получим уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Рассмотрим последовательно несколько случаев.

Если Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. В таком случае Нестандартные методы решения задач по математике.

Если Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Если Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике, тогда Нестандартные методы решения задач по математике.

Если Нестандартные методы решения задач по математике, то Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике. Отсюда следует, что уравнение Error: Reference source not found корней не имеет.

Следовательно, уравнение Error: Reference source not found имеет единственный корень Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Решая тригонометрическое уравнение Error: Reference source not found, получаем


Нестандартные методы решения задач по математике100


где Нестандартные методы решения задач по математике --- целое число. Из уравнения Error: Reference source not found получаем совокупность двух уравнений Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике. Левые части обоих уравнений являются целыми числами, в то время как их правые части (за исключением случая Нестандартные методы решения задач по математике в первом уравнении) принимают иррациональные значения.

Следовательно, равенство в уравнениях совокупности может иметь место только в том случае, когда правые их части являются рациональными (точнее, целыми) числами. А это возможно лишь в первом уравнении при условии, что Нестандартные методы решения задач по математике. В этом случае получаем уравнение Нестандартные методы решения задач по математике, откуда следует Нестандартные методы решения задач по математике или Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Решить уравнение


Нестандартные методы решения задач по математике100


Решение. Левая часть уравнения Error: Reference source not found принимает только целые значения, поэтому число Нестандартные методы решения задач по математике является целым.

Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то при любом целом Нестандартные методы решения задач по математике многочлен Нестандартные методы решения задач по математике представляет собой произведение трех последовательно расположенных на числовой оси Нестандартные методы решения задач по математике целых чисел, среди которых имеется хотя бы одно четное число и число, кратное трем. Следовательно, многочлен Нестандартные методы решения задач по математике делится на Нестандартные методы решения задач по математике без остатка, т.е. Нестандартные методы решения задач по математике является целым числом.

В этой связи Нестандартные методы решения задач по математике и уравнение Error: Reference source not found принимает вид Нестандартные методы решения задач по математике или


Нестандартные методы решения задач по математике100


Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то корнями уравнения Error: Reference source not found являются Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике и Нестандартные методы решения задач по математике.

Ответ: Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике, Нестандартные методы решения задач по математике.

Пример 62 Доказать равенство


Нестандартные методы решения задач по математике100


для произвольного действительного числа Нестандартные методы решения задач по математике.

Доказательство. Любое число Нестандартные методы решения задач по математике можно представить или как Нестандартные методы решения задач по математике, или как Нестандартные методы решения задач по математике, где Нестандартные методы решения задач по математике --- целое число и Нестандартные методы решения задач по математике.

Рассмотрим два возможных случая.

1) Пусть Нестандартные методы решения задач по математике. Так как Нестандартные методы решения задач по математике, то

Нестандартные методы решения задач по математике и

Нестандартные методы решения задач по математике.

2) Пусть Нестандартные методы решения задач по математике, тогда

Нестандартные методы решения задач по математике и

Нестандартные методы решения задач по математике.

Таким образом, равенство Error: Reference source not found выполняется для каждого из двух рассмотренных выше случаев. Следовательно, равенство Error: Reference source not found доказано.


Заключение


Применение нестандартных методов решения задач по математике требует от старшеклассников и абитуриентов нетрадиционного мышления, необычных рассуждений. Незнание и непонимание таких методов существенно уменьшает область успешно решаемых задач по математике. Тем более, что имеющая место тенденция к усложнению конкурсных заданий по математике стимулирует появление новых оригинальных (нестандартных) подходов к решению математических задач. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач по математике способствует развитию у старшеклассников нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельности (кибернетика, вычислительная техника, экономика, радиофизика, химия и т.д.).


Литература


1. А.И.Назаров «Задачи-ловушки», Мн., «Аверсэв»,2006

2.С.А. Барвенов «Математика для старшеклассников», «Аверсэв»,2004

3. О.Н. Пирютко «Типичные ошибки на централизованном тестировании», Мн., «Аверсэв»,2006

4. С.А. Барвенов «Методы решения алгеброическиж уравнений», «Аверсэв»,2006

Похожие работы:

  1. • Нестандартные методы решения уравнений и неравенств
  2. • Применение тригонометрической подстановки для ...
  3. • Методика обучения решению текстовых задач ...
  4. • Численные методы решения типовых математических задач
  5. • Развитие самостоятельности школьников при обучении математики
  6. • Использование обобщений при обучении математике в ...
  7. • Математическое мышление младших школьников
  8. • Решение задач на построение в курсе геометрии ...
  9. • Обучение общим методам решения задач
  10. • Развитие продуктивного мышления на уроках математики
  11. • Решения задачи планирования производства ...
  12. • Методы решения задач на построение
  13. • Развитие логического мышления учащихся при решении ...
  14. • Эвристические методы решения творческих задач
  15. • Графический метод решения задач линейного ...
  16. • Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного ...
  17. • Реализация эвристического обучения учащихся на уроках ...
  18. • Решение задачи линейного программирования ...
  19. • Постановка и решение транспортной параметрической ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com