Интеграл Пуассона

Пусть ¦ ( x) , g(x) , xÎ R1 –суммируемые на [ -p , p ] , 2p - периодические, комплекснозначные функции. Через f* g(x) будем обозначать свертку

f* g(x) =dt

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [ -p ,p ] и

cn ( f* g ) = cn ( f )× cn ( g ) , n = 0, ± 1 , ± 2 , ... ( 1 )

где { cn ( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

cn = -i n tdt , n = 0, ± 1 , ± 2 , ¼

Пусть ¦ Î L1 (-p , p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию

¦ r ( x ) = n ( f ) r| n | ei n x , x Î [ - p , p ] , ( 2 )

где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦ r ( х) равны

cn ( fr ) = cn × r| n | , n = 0 , ± 1 , ± 2 , ¼ , а это согласно (1) значит, что ¦ r ( x ) можно представить в виде свертки :

¦ r ( x ) = , ( 3 )

где

, t Î [ - p , p ] . ( 4 )

Функция двух переменных Рr (t) , 0 £ r < 1 , t Î [ - p , p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .

Следовательно,

Pr ( t ) = , 0 £ r < 1 , t Î [ - p , p ] . ( 5 )

Если ¦ Î L1 ( -p , p ) - действительная функция , то , учитывая , что

c-n ( f ) = ` cn( f ) , n = 0, ± 1 , ± 2 , ¼ , из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) =

= , ( 6 )

где

F ( z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 )

аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ Î L1( -p , p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = ¦ r (eix ) , z = reix , 0 £ r < 1 , x Î [ -p , p ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) = . ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1 + e ( e > 0 ) функция и ¦ (x) = u (eix) , xÎ [ - p , p ] . Тогда

u (z) = ( z = reix , | z | < 1 ) ( 10 ).

Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

=, | z | < 1 + e .

Но тогда

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦ r (x) при r® 1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) ;

б) ;

в) для любого d >0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦ ( х) º 1 .

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p , p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

;

если же ¦ (x) непрерывна на [ -p , p ] и ¦ (-p ) = ¦ (p ) , то

.

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

 

.

Следовательно,

.

Для данного e > 0 найдем d = d (e ) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку

.

Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

Определение1.

Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.

Определение 2.

Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

.

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

Доказательство.

Покажем, что для и

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть - такое число, что

.

Тогда для

.

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что

,

( 14 )

для п.в. .

Согласно (13) при xÎ (-2p , 2 p )

Учитывая , что по теореме 1 для каждого xÎ [-p , p ] и (14)

Из последней оценки получим

при n® ¥ .

Теорема 2 доказана.

Замечание.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p , p ] , когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности пути.

Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок [ - 2p , 2p ] (т.е. f (x) = f (y) , если x,y Î [-2p ,2p ] и x-y=2p ) и f (x) = 0 , если | x| > 2 p .