Рефетека.ру / Химия

Реферат: Линейный гармонический осциллятор

3.5.1. Периодические смещения ядер молекулы относительно некоторых равновесных положений называют молекулярными колебаниями. Этот вид внутримолекулярного движения при некоторых упрощениях можно представить в виде совокупности однономерных движений, каждому из которых отвечает своя колебательная степень свободы.


3.5.2. Пространственным перемещениям центра масс молекулы отвечают 3 поступательные степени свободы. Движениям ее как целого относительно центра масс соответствуют вращательные степени свободы. Их число определяется минимально необходимым количеством плоских поворотов, требуемых для перевода молекулы в любую пространственную ориентацию относительно закрепленной системы координат, исходящей из центра масс. У молекулы с нелинейной равновесной геометрией ядерного остова таких поворотов 3 и столько же вращательных степеней свободы, а у молекул с линейной геометрией – достаточно лишь двух поворотов и вращательных степеней свободы две.

Всего же внешних механических степеней свободы, к которым относятся поступательные и вращательные, у молекул либо 6, либо 5. Если молекула содержит N-атомов, то для полного механического описания ядерных перемещений требуется 3N степеней свободы и на долю колебательных остается 3N-6 у нелинейных молекул и 3N-5 у линейных.


3.5.3. Простейшая, очень эффективная модель молекулярного одномерного колебания описывает колебание гармоническое, называемое линейным вибратором или линейным осциллятором. Для простоты, далее везде будем называть его просто осциллятором, за исключением специально оговариваемых ситуаций.

Из элементарной физики известно, что гармонические колебания классической системы порождаются упругой силой, линейно зависящей от смещения колеблющейся массы относительно равновесного положения, т.е. Линейный гармонический осциллятор (сила Гука). Потенциальная энергия упругих сил квадратично зависит от смещения:

Линейный гармонический осциллятор. (3.70)

Напомним также, что константа упругости k связана с колеблющейся приведенной массой μ и собственной круговой частотой ω формулой

Линейный гармонический осциллятор, где Линейный гармонический осциллятор, (3.71)

так что потенциальная энергия имеет вид:

Линейный гармонический осциллятор. (3.72)


3.5.4. Решение уравнение Шредингера для гармонического осциллятора довольно сложно и требует специальных сведений из теории дифференциальных уравнений, хотя при этом не добавляется качественно новой информации по сравнению с задачами “ящика” и “ротатора”. Возможен иной, значительно более простой путь расчета уровней и волновых функций осциллятора, основанный на использовании только элементов алгебры операторов. Этот путь основан на совместном анализе уравнения Шредингера (колебательного гамильтониана) и коммутационного соотношения Гейзенберга (3.67). При этом мы получаем возможность как бы “пересчитывать” уровни и состояния, “перемещаясь” по их лесенке, с помощью специально вводимых операторов сдвига уровней-состояний.


3.5.5. Итак, рассмотрим систему операторных выражений, а именно:

гамильтониан Линейный гармонический осциллятор Линейный гармонический осциллятор, (3.73)

коммутационное соотношение Линейный гармонический осциллятор. (3.73а)

Введем подстановки, не влияющие на смысл формул, а лишь изменяю-щие “масштабы” переменных

Линейный гармонический осциллятор. (3.74)

Умножая выражение (3.73) на 2μ, а (3.73а) на μω и используя подста-новки (3.74), можно упростить формулы (3.73) и (3.73а)

Линейный гармонический осциллятор, (3.75)

Линейный гармонический осциллятор, (3.76)

и для любого из дискретных уровней с номером υ уравнение Шредингера при-обретает вид:

Линейный гармонический осциллятор. (3.77)


3.5.6. Гамильтониан (3.75) представлен в виде суммы квадратов двух операторов Линейный гармонический осциллятор и Линейный гармонический осциллятор, связанных коммутационным соотношением (3.76). Используя схему алгебры комплексных чисел (см. раздел 1.3.2.), попытаемся разложить гамильтониан (3.75) на сомножители, содержащие только первые степени составляющих его операторов

Линейный гармонический осциллятор, (3.78)

Линейный гармонический осциллятор. (3.79)


3.5.7. Произведения комплексных чисел коммутативны, поэтому безразличен порядок записи комплексно-сопряженных сомножителей:

(a + ib) (a - ib) = (a - ib) (a + ib) = C·C* =|C|2. (3.80)

Так как операторы не обладают свойством коммутативности следует ожидать, что операторные произведения Линейный гармонический осциллятор и Линейный гармонический осциллятор различны и не равны гамильтониану, поэтому требуется исследовать их связь с гамильтонианом. При этом следует помнить, что в силу линейности операторов, слагаемые операторных сумм можно переставлять, а отдельные группы сомножителей можно объединять, так как операторные произведения обладают свойством ассоциативности.

Линейный гармонический осциллятор, (3.81)

Линейный гармонический осциллятор. (3.82)

Таким образом, произведения операторов Линейный гармонический осциллятор и Линейный гармонический осциллятор отличаются от гамильтониана на постоянную величину Линейный гармонический осциллятор соответственно.

Подставим найденные в (3.81) и (3.82) выражения гамильтониана в уравнение Шредингера (3.77) и перенесем постоянные множители в правую часть полученных уравнений :

Линейный гармонический осциллятор (3.83)

Линейный гармонический осциллятор (3.84)


3.5.8. Для выяснения смысла операторов Линейный гармонический осциллятор и Линейный гармонический осциллятор еще раз подействуем первым из них на обе части уравнения (3.83), а вторым – на уравнение (3.84), т.е. домножим эти уравнения слева на Линейный гармонический осциллятор и Линейный гармонический осциллятор соответственно:

Линейный гармонический осциллятор, (3.85)

Линейный гармонический осциллятор. (3.86)

Подставим вместо произведений операторов (Линейный гармонический осциллятор) и (Линейный гармонический осциллятор) их выражения (3.82) и (3.81) и опять перенесем постоянные величины Ω в правую часть уравнений:

Линейный гармонический осциллятор (3.87)

Линейный гармонический осциллятор. (3.88)

В итоге каждое из уравнений (3.87) и (3.88) приобрело стандартный вид уравнения Шредингера, но собственные функции в них (Линейный гармонический осциллятор) и (Линейный гармонический осциллятор) отличны от волновой функции исходного состояния Ψυ, а собственные значения Линейный гармонический осциллятор отличаются от исходного ευ на постоянную величину. Функции (Линейный гармонический осциллятор) отвечает уровень Линейный гармонический осциллятор, на величину 2Ω сдвинутый вниз по отношению к уровню состояния Ψυ, т.е. оператор Линейный гармонический осциллятор произвел понижение уровня на один номер:

Линейный гармонический осциллятор . (3.89)

Аналогично оператор Линейный гармонический осциллятор сдвигает номер уровня и состояния Ψυ на еди- ницу вверх:

Линейный гармонический осциллятор. (3.90)

Функции Линейный гармонический осциллятор и Линейный гармонический осциллятор, полученные с помощью операторов Линейный гармонический осциллятор и Линейный гармонический осциллятор по формулам (3.89) и (3.90), не нормированы; но в дальнейших расчетах это несу-ественно. Состоянию Линейный гармонический осциллятор отвечает уровень Линейный гармонический осциллятор, а Линейный гармонический осциллятор – уровень Линейный гармонический осциллятор, т.е.

Линейный гармонический осциллятор. (3.91)

3.5.9. Переход к обычной энергетической шкале с использованием подста-новок (3.74б и 3.74в) дает

Линейный гармонический осциллятор . (3.92)

Согласно формуле (3.92), уровни гармонического осциллятора эквидис-тантны, и интервал между.ними равен Линейный гармонический осциллятор.


3.5.10. Продолжая исследование лесенки уровней, учтем, что сверху она неограничена, но нижняя граница определена уровнем основного состояния Ψ0, ниже которого не существует состояний системы. Поэтому попытка подействовать оператором понижения Линейный гармонический осциллятор на волновую функцию основного состояния должна дать нулевой результат, т.е. применительно к волновой функции основного уровня оператор понижения сыграет роль ее “уничтожителя” – аннигилятора:

Линейный гармонический осциллятор (3.93)

Здесь целесообразно вернуться к переменной х. С учетом выражения для Линейный гармонический осциллятор(3.80) и подстановки (3.74а) формулу (3.93) после простых преобразований приводим к дифференциальному уравнению для Линейный гармонический осциллятор:

Линейный гармонический осциллятор, (3.94)

при интегрировании которого получим волновую функцию основного состояния:

Линейный гармонический осциллятор. (3.95)

Далее находим нормировочный множитель А0:

Линейный гармонический осциллятор (3.96)

Линейный гармонический осциллятор. (3.97)

При раскрытии выражения (3.96) использован интеграл Пуассона:

Линейный гармонический осциллятор.

3.5.11. Волновая функция Линейный гармонический осциллятор является собственной функцией гамильто-ниана. Поэтому для расчета основного уровня достаточно подействовать по-следним наЛинейный гармонический осциллятор и определить собственное значение

Линейный гармонический осциллятор (3.98)

Энергия искомого основного уровня равна Линейный гармонический осциллятор. (3.99)

Последовательными сдвигами на Линейный гармонический осциллятор вверх, согласно уравнению (3.92), получается вся лесенка энергетических уровней, и схема квантования энергии осциллятора передается формулой:

Линейный гармонический осциллятор (3.100)


3.5.12. Оператор повышения Линейный гармонический осциллятор позволяет получить весь спектр волновых функций из Линейный гармонический осциллятор. Если υ раз подействовать оператором Линейный гармонический осциллятор на Линейный гармонический осциллятор, то получитсяЛинейный гармонический осциллятор с точностью до постоянного множителя. Иными словами, генератор волновой функции υ-го состояния – это оператор повышения, возведенный в степень υ:

Линейный гармонический осциллятор . (3.101)

Напомним, что любое преобразование волновой функции, в общем случае, порождает необходимость новой нормировки.

3.5.13. Обсудим вид волновых функций осциллятора. Для этого удобно произвести еще одно упрощение за счет замены переменной путем подстановки:

Линейный гармонический осциллятор, (3.102)

благодаря чему Линейный гармонический осциллятор и оператор повышения Линейный гармонический осциллятор, необходимый для полу-чения Линейный гармонический осциллятор, примут вид:

Линейный гармонический осциллятор, (3.103)

Линейный гармонический осциллятор. (3.104)

Постоянный коэффициент в выражении (3.104) ие играет роли, так как к функции Ψυ , генерируемой по формуле (3.105), он добавляет лишь множитель Линейный гармонический осциллятор, который далее автоматически входит в состав нормировочного множителя Аυ, и поэтому Ψυ передается формулой:


Линейный гармонический осциллятор (3.105)

Оператор Линейный гармонический осциллятор представляет собой бином, составленный из степеней переменной s и оператора дифференцирования Линейный гармонический осциллятор, который в свою очередь извлекает из гауссовой экспоненты Линейный гармонический осциллятор степенные множители, в результате выражение (3.105) преобразуется к виду:

Линейный гармонический осциллятор , (3.106)

где Линейный гармонический осциллятор – многочлен степени υ, называемый полиномом Эрмита. Нетрудно убедиться, что эти полиномы можно представить выражением, которое легко запоминается, благодаря своей симметричности:

Линейный гармонический осциллятор. (3.107)

Последовательно придавая υ значения 0, 1, 2, 3 …, читатель легко может вывести формулы полиномов Эрмита разных порядков. Для того, чтобы читатель смог проверить свои расчеты, приведем в табл.2 несколько первых полиномов Эрмита вместе с их корнями и графиками. В табл.2 также изображены графики ненормированных волновых функций

Линейный гармонический осциллятор =. Линейный гармонический осциллятор

У волновых функций имеется один и тот же множитель – экспонента Линейный гармонический осциллятор; эта быстро спадающая к нулю функция при удалении от начала координат “прижимает” к оси абсцисс расходящиеся было ветви полиномов. В результате получается картина, очень напоминающая поведение волновых функции “ящика”.


Табл.2.

Полиномы Эрмита и волновые функции гармонияеского

осциллятора

υ

Линейный гармонический осциллятор

Корни полиномов Графики полиномов

Графики волновых функций Линейный гармонический осциллятор.

0 1 -

1

2s

0

2

4s2 - 2

±1/√2

3

8s3 - 12 s

0; ±3/2

4

16s4-48s2+12

±0,525; ±1,651


Читатель может сам получить формулу для нормировочных коэффициентов или взять их готовое выражение:

Линейный гармонический осциллятор. (3.108)


3.5.14. Прямыми вычислениями нетрудно еще раз проверить свойство ортогональности волновых функций. Интегрирование по всей области возможных значений переменной х дает:

Линейный гармонический осциллятор, (3.109)

что наглядно видно из графиков табл. 2

Напомним, что свойство ортогональности – это общее свойство собствен-ных функций любого эрмитова оператора, к числу которых относится и гамильтониан.


3.5.15. Все полиномы Эрмита и порождаемые ими волновые функции делятся на два класса – четные и нечетные. Ранее подобное свойство наблюдалось у волновых функций “ящика” и “ротатора”. Анализ четности волновых функций и их произведений оказывается очень полезным при оценке различных характеристик системы. Рассмотрим это на примерах.

Покажем, что среднее отклонение колеблющейся системы от положения равновесия равно нулю. Следуя 5-му постулату, запишем для υ=0:

Линейный гармонический осциллятор. (3.110)

Подинтегральное выражение нечетное, так как образовано в виде произве-дения по правилу (чет Ч нечет Ч чет). Интеграл, взятый в симметричных пределах от нечетной функций, тождественно равен нулю, так что Линейный гармонический осциллятор. Это же имеет место и для других состояний.

3.5.16. Иначе обстоит дело со среднеквадратичным отклонением Линейный гармонический осциллятор, на-зываемым среднеквадратичной амплитудой осциллятора. Произведем соответ-ствующие расчеты; вновь обращаясь к 5-му постулату:

Линейный гармонический осциллятор, (3.111)

Линейный гармонический осциллятор (3.112)

В преобразовании (3.112) использован табличный интеграл

Линейный гармонический осциллятор. (3.113)


3.5.17. Сравним среднеквадратичное отклонение Линейный гармонический осциллятор с квадратом ампли-туды, предсказываемой на основе формулы, связывающей классическое и квантово-механическое выражение для полной энергии:

Линейный гармонический осциллятор, (3.114)

откуда Линейный гармонический осциллятор и Линейный гармонический осциллятор. (3.115)

Формулы (3.112) и (3.115) практически дают один и тот же результат, поскольку классическая амплитуда А0 – это максимальное отклонение осциллятора от положения равновесия, тогда как квадратичная “амплитуда” Линейный гармонический осцилляторусреднена по всем положениям осциллятора, а понятие точной траектории и предельного отклонения не имеет смысла в квантовой механике.

Можно показать, что соответствие классической амплитуды и квантово-механического среднеквадратичного отклонения сохраняется и в других состояниях осциллятора, а именно:

Линейный гармонический осциллятор и Линейный гармонический осциллятор (3.120)

(в квазиклассическом подходе) (в квантовомеханическом подходе)


3.5.18. Среднеквадратичные амплитуды играют важную роль в экспериментах, связанных с определением равновесных положений ядер в молекулах, например, в электронографии или в рентгеноструктурном анализе. Они также позволяют на основе опытных колебательных спектров (инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния) определить пределы изменения молекулярных “размеров” за счет колебательных деформаций ядерного остова молекулы.


3.6. Сравнение свойств “ящика”, “ротатора” и осциллятора.


3.6.1. Три рассмотренные модели простейших одномерных движений в ограниченном пространстве позволяют проследить некоторые общие качественные закономерности, касающиеся состояний и уровней квантово-механических систем. Они наглядно проявляются при сопоставлении энергетических диаграмм и графиков волновых функций “частицы в ящике”, “гармонического осциллятора” и “плоского ротатора”.


3.6.2. В первом случае потенциальная энергия нулевая на выделенном интервале, и, как говорят, потенциальная “яма” имеет прямоугольную форму. Во втором случае потенциальная энергия изменяется квадратично при отклонении от равновесия и говорят о параболической форме потенциальной “ямы”. Наконец, ротатор отсутствием потенциальной энергии напоминает “ящик”. Отсюда, хотя способы нумераций уровней и отличаются, схемы квантования энергии у этих систем одинаковы – уровни расходятся с возрастанием квантового числа.

У гармонического осциллятора квантование энергии уникально – уровни эквидистантны. Благодаря этому при взаимодействии с квантами света частота поглощаемого излучения совпадает с собственной частотой молекулярного осциллятора, например, колеблющихся атомов, связанных химической связью.

Таким образом, квантование полной энергии системы определяется потенциальной функцией.


3.6.3. В разделе 3.2.5. мы связали вырождение уровней ротатора с равноправием двух направлений вращения вокруг оси. Можно высказать еще и более общее утверждение, связывающее наличие вырождения с порядком вращательной оси системы. Плоский ротатор – это система с осью вращения бесконечного порядка. Далее будет показано, что вырожденные уровни появляются у систем, имеющих ось третьего порядка и выше.

В целом же, нам удалось приобрести некоторые необходимые навыки в решении простейших задач квантовой механики.

Похожие работы:

  1. • О вращении электрона
  2. • Возникновение турбулентности
  3. • Об использовании квазираспределения Глаубера ...
  4. • Атемпоральная реинтерпретация квантовомеханических ...
  5. • Хаос и порядок. Порядок и беспорядок в природе
  6. • Фильтрация газов(баротермический эффект)
  7. • Исследование явления дисперсии электромагнитных волн в ...
  8. • Исследование явления дисперсии электромагнитных волн в ...
  9. • Роль биофизики и физики в теоретическом развитии ...
  10. •  ... самоорганизации системы связанных осцилляторов
  11. • Создание анимационно-обучающей программы по физике
  12. • Уравнение Шрёдингера для простейших стационарных движений
  13. • Физический вакуум
  14. • Теплопроводность твердых тел
  15. • Философские размышления о бесконечной делимости материи
  16. • Анализ установившихся режимов линейной ...
  17. • Нелинейная оптика
  18. • Сверхизлучение - спонтанное излучение многоатомной системы
  19. • Колебания продольные. и рождение неопределённости
Рефетека ру refoteka@gmail.com