Рефетека.ру / Математика

Статья: Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

К.Н. Югай, Омский университет, кафедра общей физики

Описание динамического хаоса на языке статистических понятий - функции распределения, средних, стохастических уравнений и т.д. - представляется естественным. Однако, как известно, даже в системе с развитым динамическим хаосом всегда существуют островки регулярного движения в фазовом пространстве или области хаотического движения расположены островками в фазовом пространстве регулярного движения [1]. Статистическое описание в динамических системах, очевидно, может быть справедливым только в области хаотического движения. Но отделить области хаотического движения от областей регулярного движения оказывается весьма сложной задачей. Кроме того, следует учитывать также, что существуют промежуточные области квазипериодического движения, где статистическое описание вряд ли применимо. Те же самые проблемы возникают при переходе к квантовым системам, находящимся в состояниях динамического хаоса, т.е. при описании квантового хаоса. Ниже мы рассматриваем один из возможных способов описания квантового хаоса.

Он заключается в переходе к когерентным состояниям и формулировке уравнения Фоккера-Планка для квазираспределения Глаубера-Сударшана и стохастических уравнений для средних по когерентным состояниям координаты и импульса. Это рассмотрение мы проведем для нелинейного осциллятора Даффинга, взаимодействующего с внешним гармоническим полем. Хаотические свойства такого осциллятора исследовались во многих работах (см.,например, [1-4]).

Пусть гамильтониан одномерного осциллятора Даффинга во внешнем гармоническом поле имеет вид:

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

где Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаосаи Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса- соответственно собственная частота осциллятора и частота внешнего поля с амплитудой F, Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса- параметр нелинейности. Здесь масса осциллятора принята равной 1.

В силу периодичности гамильтониана H(t)=H(t+T), Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса- период внешнего поля, можно воспользоваться методом квазиэнергетических состояний (см., например, [5]). В этом методе нестационарную задачу

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

можно свести к задаче на собственные значения для некоторого эффективного гамильтониана:

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

где Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса- квазиэнергетические состояния при t=0, Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса- квазиэнергия, определяемая с точностью до целого числа квантов Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса, Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса- эффективный гамильтониан, который можно найти, основываясь на гамильтониане (1). Квазиэнергетические состояния обладают свойством

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Если теперь перейти к представлению взаимодействия

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

где

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

то в силу периодичности потенциала в представлении взаимодействия

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

волновые функции Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаосаоказываются квазиэнергетическими состояниями. Они подчиняются уравнению

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

или интегральному уравнению

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Используя уравнение (9), можно записать оператор эволюции U(t) в виде:

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

где

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Учитывая, что

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

и имея в виду (3), находим, что

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Переходя к представлению вторичного квантования и вычисляя оператор A(T,0) с точностью до членов Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса, Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса, F2, находим после простых, но громоздких вычислений выражение для Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса:

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

где Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса- соответственно операторы рождения и уничтожения, Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса. Здесь введены следующие обозначения:

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Уравнение для матрицы плотности Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаосас эффективным гамильтонианом (14) запишется в виде

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Далее мы перейдем в пространство когерентных состояний - собственных состояний оператора уничтожения:

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Известно, что когерентные состояния |z> могут быть выражены с помощью состояний линейного гармонического осциллятора:

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Состояния Баргмана при этом определяются равенством

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Матрица плотности Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаосав представлении Глаубера-Сударшана записывается в виде

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

где P(z,z*) - квазивероятность, d2z=dz1dz2, z=z1+iz2, z1 и z2 - вещественные числа. Из условия нормировки Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса: Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаосавытекает соответствующее условие нормировки для квазивероятности P(z,z*):

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Среднее значение любого нормального произведения операторов Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаосаопределяется следующим образом:

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Как мы видим, функция P(z,z*) выступает здесь в качестве функции распределения.

Действие операторов Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаосаи a на состояния Баргмана можно представить в виде

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Матрица плотности Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса(2.65) может быть записана также в виде

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Найдем действие операторов Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаосаи a на матрицу плотности (24), учитывая равенство (23):

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Аналогичным образом можно найти действие других операторов на матрицу плотности Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса. Таким образом, получаем следующие операторные соответствия, необходимые нам в дальнейшем:

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Тогда из уравнения (16), учитывая операторные соответствия (27), получим уравнение для квазивероятности P:

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Переходя к вещественным переменным z1 и z2: z=z1+iz2, z*=z1-iz2, получаем уравнения для квазивероятности P в виде уравнения Фоккера-Планка:

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

где

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Уравнение (29) может быть записано в виде уравнения непрерывности

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

где поток Ji определяется следующим образом

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Стационарные квазираспределения можно получить из условия

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

или

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Поскольку матрица D в нашем случае не вырождена, из (34) получаем

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Отсюда видно, что стационарное квазираспределение Ps существует только, если выполняется условие

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

поскольку левая часть равенства (35) представляет собой градиент некоторой функции, условием существования которого является равенство нулю ротора, т.е. (36). Вычисления в нашем случае показывают, что условие (36) не выполняется, т.е. стационарное квазираспределение Ps не существует. Впрочем, отсутствие стационарного квазираспределения ожидаемо, поскольку рассматриваемый осциллятор находится в переменном внешнем поле. Заметим кроме того, что поскольку этот осцилятор может находиться в состояниях динамического хаоса только при наличии внешнего поля, то можно утверждать, что в состояниях динамического хаоса квазираспределение P(z1,z2;t) всегда будет нестационарным.

Уравнению (29) соответствуют стохастические уравнения:

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Легко показать, что

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

где Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса- средние значения координаты и импульса в когерентном состоянии |z> , т.е.

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Таким образом, мы имеем стохастические уравнения для средних в когерентном состоянии значений координаты и импульса:

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

где

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

То обстоятельство, что стохастические уравнения (39), (40) получены для средних Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаосаи Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаосав когерентном состоянии, пожалуй, неудивительно, поскольку хорошо известно, что энергия осциллятора, вычисленная с помощью средних Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаосаи Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса, в когерентном состоянии наиболее близка по форме с энергией классического осциллятора, а соотношение неопределенностей минимизируется именно в когерентных состояниях.

И, наконец, заметим, что не все элементы диффузионной матрицы D являются положительно определенными:

Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

Диагональные элементы этой матрицы D11 и D22 имеют разные знаки. Отрицательный коэффициент диффузии говорил бы, например, о том, что частицы диффундируют не в направлении, противоположном направлению градиента концентрации, что, конечно, в статистической системе, предоставленной самой себе, нереально. Однако в условиях динамического хаоса отрицательный элемент диффузионной матрицы, возможно, означает, что в системе возникают "потоки", имеющие одинаковое направление с градиентом. Заметим, что эти "потоки" возникают в пространстве когерентных состояний. Такое "нефизичное" поведение обусловлено, конечно, действием внешних сил. Возможно, что именно такое свойство системы и приводит к нерегулярности в высоковозбужденных состояниях частиц, т.е. к динамическому хаосу. Возможно также, что критические явления во вращательных спектрах [6-10] связаны с подобным поведением систем.

Список литературы

Lichtenberg A.J. and Lieberman M.A. Regular and Stochastic Motion. New York: Springer, 1983.

Moon F.C. Chaotic Vibrations. New York: John Wiley & Sons, 1987.

Югай К.Н. Динамический хаос в высоковозбужденных состояниях квантового осциллятора Даффинга во внешнем гармоническом поле // Изв.вузов. Физика. 1993. N.3. С.90-94.

Yugay K.N. Dynamical chaos: applications to some optical problems // SPIE, High-Resolution Molecular Spectroscopy. 1991. V.1811. P.348-352.

Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов А.М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука, 1971, 544 с.

Pavlichenkov I.M., Zhilinskii B.I. Rotation of molecules around specific axes: axes reorientation under rotational excitation // Chem. Phys. 1985. V.100. N.3. P.339-343.

Жилинский Б.И., Павличенков И.М. Симметрия и критические явления во вращательных спектрах изолированных микросистем // ДАН СССР. 1986. Т.288. N.2. С.355-359.

Жилинский Б.И., Павличенков И.М. Критические явления во вращательных спектрах // ЖЭТФ. 1987. Т.92. N.2. С.387-393.

Pavlichenkov I.M. Bifurcation in quantum  rotational spectra // SPIE, High-Resolution Molekular Spectroscopy. 1991. V.1811. P.12-25.

Жилинский Б.И. Теория сложных молекулярных спектров. М.: Изд-во МГУ, 1989. 200 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/


Рефетека ру refoteka@gmail.com