Рассмотрим случайный эксперимент, заключающийся в том, что подбрасывается игральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее центр тяжести не находится в геометрическом центре. В этом случае мы не можем считать исходы (выпадение единицы, двойки и т.д.) равновероятными. Из физики известно, что кость более часто будет падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например, трех очков? Единственное, что можно сделать, это подбросить эту кость n раз (где n-достаточно большое число, скажем n=1000 или n=5000), подсчитать число выпадений трех очков n3 и считать вероятность исхода, заключающегося в выпадении трех очков, равной n3/n – относительной частоте выпадения трех очков. Аналогичным образом можно определить вероятности остальных элементарных исходов – единицы, двойки, четверки и т.д. Теоретически такой образ действий можно оправдать, если ввести статистическое определение вероятности.

Вероятность P(wi) определяется как предел относительной частоты появления исхода wi  в процессе неограниченного увеличения числа  случайных экспериментов n, то есть

   ,

где mn(wi) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного исхода wi.

Так как здесь не приводится никаких доказательств, мы можем только надеяться, что предел в последней формуле существует, обосновывая надежду жизненным опытом и интуицией.

В практике очень часто возникают задачи, в которых какой-либо другой способ определения вероятности события, кроме статистического определения, найти невозможно или крайне трудно.

Непрерывное вероятностное пространство.

Как уже говорилось ранее, множество элементарных исходов может быть более, чем счетным (то есть несчетным). Так несчётное множество исходов имеет эксперимент, состоящий в случайном бросании точки на отрезок [a1; a2]. Можно себе представить, что эксперимент, заключающийся в измерении температуры в заданный момент в заданной точке тоже имеет несчётное число исходов (действительно, температура может принять любое значение из некоторого промежутка, хотя в действительности мы можем измерять её лишь с определённой точностью, и практическая реализация такого эксперимента даст конечное число исходов). В случае эксперимента с несч ётным множеством W элементарных исходов нельзя считать любое подмножество множества W событием. Следует заметить, что подмножества W, не являющиеся событиями, являются математическими абстракциями и не встречаются в практических задачах. Поэтому в нашем курсе данный параграф является необязательным.

Чтобы ввести определение случайного события, рассмотрим систему (конечную или счетную) подмножеств  пространства элементарных исходов W.

В случае выполнения двух условий:

1) из принадлежности А этой системе следует принадлежность  этой системе;

2) из принадлежности и  этой системе следует принадлежность AiAj  этой системе

такая система подмножеств называется алгеброй.

Пусть W — некоторое пространство элементарных исходов. Убедитесь в том, что две системы подмножеств:

1) W, Æ; 2) W, А, , Æ (здесь А— подмножествоW) являются алгебрами.

Пусть A1 и A2 принадлежат некоторой алгебре. Докажите, что A1 A2 и  принадлежат этой алгебре.

Назовём s-алгеброй систему Á подмножеств множества W, удовлетворяющую условию 1) и условию 2)¢:

2)¢ если подмножества А1, А2,¼, Аn, ¼принадлежат Á, то их счётное объединение  (по аналогии с суммированием это счётное объединение кратко записывается формулой ) тоже принадлежит Á.

Подмножество А множества элементарных исходов W является событием, если оно принадлежит некоторой s-алгебре.

Можно доказать, что если выбрать любую счётную систему событий, принадлежащих некоторой s-алгебре и проводить с этими событиями любые принятые в теории множеств операции (объединение, пересечение, взятие разности и дополнения), то результатом будет множество или событие, принадлежащее той же s-алгебре.

Сформулируем аксиому, называемую аксиомой А.Н. Колмогорова.

Каждому событию соответствует неотрицательное и не превосходящее единицы число P(А), называемое вероятностью события А, причем функция P(А) обладает следующими свойствами:

1) Р(W)=1

2) если события A1, A2,..., An, ¼ несовместны, то

  =

Если задано пространство элементарных исходов W, алгебра событий и определенная на ней функция Р, удовлетворяющая условиям приведенной аксиомы, то говорят, что задано вероятностное пространство.

Это определение вероятностного пространства можно перенести на случай конечного пространства элементарных исходов W. Тогда в качестве алгебры можно взять систему всех подмножеств множества W.

Геометрическая вероятность

В одном специальном случае дадим правило расчёта вероятности события для случайного эксперимента с несчетным множеством исходов.

Если между множеством W элементарных исходов случайного эксперимента и множеством точек некоторой плоской фигуры S (сигма большая) можно установить взаимно-однозначное соответствие, а также можно установить взаимно-однозначное соответствие между множеством элементарных исходов, благоприятствующих событию А, и множеством точек плоской фигуры s (сигма малая), являющейся частью фигуры S, то

    ,

где s – площадь фигуры s, S — площадь фигуры S. Здесь, естественно, подразумевается, что фигуры S и s имеют площади. В частности, например, фигура s может представлять собой отрезок прямой линии, с площадью, равной нулю.

Заметим, что в этом определении вместо плоской фигуры S можно рассматривать промежуток S, а вместо её части s – промежуток s, целиком принадлежащий промежутку s, и вероятность представлять как отношение длин соответствующих промежутков.

Пример. Два человека обедают в столовой, которая открыта с 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?

Пусть x — время прихода первого в столовую, а y — время прихода второго .

Рис.6

Можно установить взаимно-однозначное соответствие между всеми парами чисел (x;y) (или множеством исходов) и множеством точек квадрата со стороной, равной 1, на координатной плоскости, где начало координат соответствует числу 12 по оси X и по оси Y, как изображено на рисунке 6. Здесь, например, точка А соответствует исходу, заключающемуся в том, что первый пришел в 12.30, а второй - в 13.00. В этом случае, очевидно, встреча не состоялась.

Если первый пришел не позже второго (y ³ x), то встреча произойдет при условии 0 £ y - x £ 1/6  (10 минут– это 1/6 часа).

Если второй пришел не позже первого (x³y), то встреча произойдет при условии 0 £ x – y £ 1/6..

Между множеством исходов, благоприятствующих встрече, и множеством точек области s, изображенной на рисунке7 в заштрихованном виде, можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Рис. 7

Искомая вероятность p равна отношению площади области s к площади всего квадрата. Площадь квадрата равна единице, а площадь области s можно определить как разность единицы и суммарной площади двух треугольников, изображенных на рисунке7. Отсюда следует:

Задачи с решениями.

Задача I.

На шахматную доску с шириной клетки 5см брошена монета радиуса 1,5см. Найти вероятность того, что монета не попадёт ни на одну границу клетки.

Задача II.

Через реку шириной 100 м перекинут мост. В некоторый момент, когда на мосту находятся два человека, мост рушится, и оба они падают в реку. Первый умеет плавать и спасётся. Второй плавать не умеет, и спасётся, только если упадёт не далее 10-ти метров от берега или не далее, чем в 10-ти метрах от первого. Какова вероятность, что второй человек спасётся?

Задача III.

Противотанковые мины поставлены на прямой через 15 м. Танк шириной в 2 м. едет перпендикулярно этой прямой. Какова вероятность, что он не подорвется на мине?

Задача VI.

На промежутке (0; 2) случайным образом выбираются два числа. Найти вероятность того, что квадрат большего числа меньше, чем меньшее число

Задача V.

На отрезок бросаются наудачу две точки. Они разбивают отрезок на три части. Какова вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник?

Задача VI.

На отрезок бросают наудачу три точки, одну за другой. Какова вероятность того, что третья по счёту точка упадёт между двумя первыми?

Решения.

Задача I. Положение монеты на шахматной доске полностью определяется положением её геометрического центра. Всё множество исходов можно изобразить в виде квадрата S со стороной 5. Всё множество благоприятных исходов тогда изображается в виде квадрата s, лежащего внутри квадрата S, как это изображено на рисунке 1.

Искомая вероятность тогда равна отношению площади малого квадрата к площади большого квадрата, то есть, 4/25

Задача II. Обозначим через х расстояние от левого берега реки до точки падения первого человека, а через у – расстояние от левого берега до точки падения второго человека. Очевидно, что и х, и у принадлежат промежутку (0;100). Таким образом, можно заключить, что всё множество исходов можно отобразить на квадрат, левый нижний угол которого лежит в начале координат, а правый верхний – в точке с координатами (100;100). Две полосы: 0<y<10 и 90<y<100 являются изображениями тех исходов, при которых второй упал в воду не далее 10-ти метров от берега. Если .у>x, то есть второй упал ближе к правому берегу, чем первый, то для того, чтобы он был спасён, должно выполняться условие у<х+10. Если у<x, то есть второй упал ближе к левому берегу, чем первый, то для его спасения нужно, чтобы выполнялось условие у>х–10. Из сказанного следует, что все благополучные для второго человека исходы отображаются в заштрихованную область на рисунке 2. Площадь этой области легче всего подсчитать, вычитая из площади всего квадрата площади двух незаштрихованных треугольников, что даёт в результате 10000–6400=3600. Искомая вероятность равна 0,36.

Задача III.

По условию задачи положение танка на промежутке между двумя соседними минами полностью определяется положением прямой линии, равноотстоящей от бортов танка. Эта линия перпендикулярна линии, по которой установлены мины, и танк подрывается на мине, если эта линия расположена ближе, чем в 1-м метре от края промежутка. Таким образом, всё множество исходов отображается в промежуток длиной 15, а множество благоприятных исходов отображается в промежуток длиной 13, как показано на рисунке 3, Искомая вероятность равна 13/15.

Задача IV.

Обозначим одно из чисел х, а другое – у. Всё множество возможных исходов отображается в квадрат ОBCD , две стороны которого совпадают с осями координат и имеют длину, равную 2, как показано на рисунке 4. Допустим, что у–меньшее число. Тогда множество исходов отображается в треугольник ОCD с площадью, равной 2. Выбранные числа должны удовлетворять двум неравенствам:

   у<х, у>х2                                                                            

Множество чисел, удовлетворяющих этим неравенствам отображается в заштрихованную область на рисунке 4. Площадь этой области определяется как разность площади треугольника OEG, равной 1/2, и площади криволинейного треугольника OFEG. Площадь s этого криволинейного треугольника определяется формулой

  

и равна 1/3. Отсюда получаем, что площадь заштрихованной фигуры OEF равна 1/6. Таким образом, искомая вероятность равна 1/12.

Задача V.

Пусть длина отрезка равна l. Если принять за х и у расстояния от левого конца отрезка до точек, о которых говорится в условии задачи, то множество всех исходов можно отобразить на квадрат со стороной l, одна из сторон которого лежит на координатной оси х, а другая – на координатной оси у. Если принять условие у>х, то множество исходов отобразится на треугольник OВС, изображенный на рисунке 5. Площадь этого треугольника равна l2/2. Полученные отрезки будут иметь длины: х, у–х и l-у. Теперь вспомним геометрию. Из трёх отрезков можно составить треугольник тогда и только тогда, когда длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков. Это условие в нашем случае приводит к системе трёх неравенств

Первое неравенство преобразуется к виду х<l/2, второе–к виду у>l/2, а третье неравенство – к виду у<х+l/2. Множество пар чисел х, у, являющееся решением системы неравенств отображается в заштрихованный треугольник на рисунке 5. Площадь этого треугольника в 4 раза меньше площади треугольника OВС. Отсюда следует, что ответ задачи составляет 1/4.

Задача VI.

Примем длину отрезка за l. Пусть расстояние от левого конца отрезка до первой точки равно х, до второй точки – у, а до третьей точки – z. Тогда всё множество исходов отображается в куб, три ребра которого лежат на осях х, у и z прямоугольной системы координат, и с ребром длиной l. Допустим, что у>х. Тогда множество исходов отобразится в прямую призму АВСА1В1С1, изображенную на рисунке 6. Условие z>x означает, что все исходы будут отображаться в область, лежащую выше плоскости AD1C1B, показанной на рисунке 7. Эта плоскость Теперь все допустимые исходы будут отображаться в пирамиду с квадратом АА1В1В в основании и с высотой В1С1. Все исходы, удовлетворяющие условию z<y, отображаются в область, лежащую ниже плоскости DС1В1A, которая отсекает от этой четырёхугольной пирамиды треугольную пирамиду с прямоугольным равнобедренным треугольником АВ1В в основании и с высотой В1С1. Искомая вероятность равна отношению объёма этой пирамиды, равного l3/6, к объёму призмы АВСА1В1С1, равному l3/2. Таким образом, ответ задачи 1/3.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода – один час, а второго – два часа. Ответ: 139/1152.

2. На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и полминуты красный, затем снова одну минуту - зеленый и полминуты красный и т.д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки? Ответ: 2/3

3. На бесконечную шахматную доску с шириной клетки 5см брошена монета радиуса 1,5см. Найти вероятность того, что монета расположится не более чем в двух клетках шахматной доски. Ответ: 16/25.

4. В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность, что он остроугольный? Ответ: 1/4.

5. В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность, что он прямоугольный? Ответ: 0.

6. Стержень длины а наудачу разломан на три части. Найдите вероятность того, что длина каждой части окажется больше а/4. Ответ: 1/16.

7. Найдите вероятность того, что сумма двух наудачу взятых чисел из промежутка [–1; 1] больше нуля, а их произведение отрицательно. Ответ: 1/4.