Реферат на тему
ОЦЕНКА БАНКОВСКОГО РИСКА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СВОБОДНЫХ БАНКОВСКИХ РЕСУРСОВ
Деятельность банков в условиях рыночной экономики неизбежно связана с риском. Поэтому в банковском деле большое внимание уделяется проблеме оценки уровня риска, которым сопровождаются различные банковские операции.
Данная проблема имеет экономический и юридический аспекты.
Экономический (или финансовый) аспект заключается в том, что при правильной оценке риска (соответственно при выборе правильного решения о заключении или отказе от сделки) банк либо получает прибыль, либо избегает убытков. Напротив, при неправильной оценке риска (при неверном заключении или отказе от сделки) банк либо терпит убытки, либо упускает прибыль. Поэтому проблема оценки риска непосредственно связана с одной из главных задач банка - определения наилучшей (оптимальной) стратегии заключения сделок, обеспечивающей максимальный рост прибыли за счет правильного выбора из всех потенциально возможных сделок их отдельного наилучшего (по показателям прибыли и надежности) множества.
Юридический аспект проблемы связан с правомерностью (или допустимостью) риска. Должен ли банковский служащий, принявший конечное решение о заключении сделки, впоследствии не выполненной клиентом и поэтому принесший значительные убытки банку и его акционерам (учредителям), нести ответственность за принятое им решение? Очевидно, должен, если его решение лежало в области неправомерного риска, граничило с авантюризмом и халатностью.
Но как провести точную грань между правомерным и неправомерным риском?
Один из подходов к решению этой проблемы предложен в данной статье. Он базируется на основных положениях теории статистических решений [1] и поэтому обладает рядом достоинств.
Во-первых, предлагаемый подход применим ко всем видам банковских операций, так как вводит и позволяет определить для сделок любого вида количественную меру банковского риска, которая дает возможность в каждом конкретном случае оценить и сравнить последствия и целесообразность тех или иных операций.
Во-вторых, данный подход дает возможность формализовать и накапливать опыт банка по заключению сделок различного вида. При этом могут использоваться и аккумулироваться заключения экспертов, а также применяться уже существующие методики анализа сделок, что позволяет учесть наиболее полное множество факторов, влияющих на исход сделок [2].
В-третьих, излагаемый подход позволяет определить без разделения по видам то отдельное множество сделок из всех потенциально возможных, которое обеспечит банку получение максимальной средней прибыли при минимуме риска, что соответствует реализации оптимальной стратегии распределения свободных банковских ресурсов.
Применение аппарата статистических решений в банковском деле становится возможным благодаря тому, что вводится количественная мера надежности банковских сделок. В качестве таковой предлагается использовать вероятности выполнения различных условий сделки. Методы математической статистики позволяют определить численные значения указанных вероятностей, они предусматривают классификацию сделок и клиентов банка и регистрацию результатов сделок в специальной базе данных, которую далее будем называть базой данных банковских сделок.
Эти методы предполагают как использование экспертного опроса, так и статистическую обработку результатов состоявшихся сделок. Причем в банковском деле возможно оптимальное совместное использование информации из этих двух основных ее источников, которое выражается в преобладании экспертных оценок при определении уровня надежности крупных, довольно редких по своим характеристикам банковских операций, и, наоборот, в превалировании статистических оценок указанных вероятностей при анализе часто осуществляемых, типичных по своим характеристикам банковских операций.
Оценки вероятностей выполнения различных условий сделок позволяют определить средние (наиболее вероятные) значения прибыли и убытков для каждой банковской операции. Рассчитанная по этим вероятностям величина среднего убытка для конкретной сделки и определяет численное значение соответствующего ей банковского риска. Поэтому банк может до заключения сделок определить значения банковского риска для каждой сделки и выбрать наилучшую группу сделок из всех возможных по критерию минимума банковского риска (далее покажем, что такой выбор соответствует также критерию максимума средней прибыли).
Раскрывая принципы реализации изложенного подхода, примем некоторые упрощения.
Во-первых, ограничимся рассмотрением только кредитных сделок.
Во-вторых, предположим, что на основании уже выработанных показателей платежеспособности [3] (кредитоспособности) все множество заемщиков конкретного банка разделено на J классов и оценка их надежности может быть выполнена методами статистического анализа результатов состоявшихся сделок без привлечения экспертов.
В-третьих, будем считать, что после заключения кредитной сделки могут иметь место только два события - или заемщик возвращает ссужаемую сумму в срок, или он ее не возвращает вообще.
Заметим, что предлагаемая методика применима и ко всем другим видам банковских сделок; она позволяет также учесть различные возможные исходы этих сделок (для кредитных сделок, например,
не возврат части кредита, неуплату процентов по ссуде, нарушение ее сроков и т. п.). Однако изложение этой методики с учетом многообразия указанных факторов существенно усложнится и потребует довольно громоздких выкладок.
Для принятых упрощений статистическую оценку вероятности возврата ссужаемой стоимости в срок заемщиками класcа kj, 1*j*1, где J - общее число классов, можно получить по формуле
P*j=mj/Mj.
Здесь mj - количество тех кредитных сделок с заемщиками класса kj, условия которых были выполнены; Mj - общее количество кредитных сделок с заемщиками класса kj. Величины mj и Mj хранятся в базе данных банковских сделок и изменяются с течением времени. Причем, как будет показано на конкретном примере, по мере увеличения числа заключенных сделок (Mj) значение вероятности возврата заемщиками класса kj ссужаемой стоимости в срок уточняется, что соответствует накоплению опыта кредитора при заключении сделок с заемщиками соответствующего класса.
Возможность использования этого опыта (формализованного в виде вероятностей соблюдения клиентами условий сделок) рассмотрим на простом примере, результаты которого затем перенесем на более сложный случай. Пусть в банк обратились два заемщика - n1 и n2. Каждый из них соответственно принадлежит к классам k1 и k2 и предлагает заключение кредитной сделки на ссужаемые стоимости размерами *1 и *2.
В результате обработки информации базы данных банковских сделок по формуле, приведенной выше, определено, что заемщики класса k1 возвращают ссужаемую стоимость в срок с вероятностью P1, а класса k2 - с вероятностью P2. Далее решения банка относительно каждого заемщика будем обозначать символом l с индексами, соответствующими номерам заемщиков. При этом положительным решениям о заключении сделки будет соответствовать значение 1, а отрицательным - 0.
Например, решению о выдаче кредита первому заемщику будет соответствовать запись l1*1, а решению об отказе от выдачи кредита этому заемщику - запись l1*0. Всего в рассматриваемом случае со стороны кредитора возможны четыре решения.
Первое решение состоит в том, чтобы выдать кредит обоим заемщикам: l1*1, l2*1;
второе - выдать кредит только первому заемщику: l1*1, l2*0;
третье - выдать кредит второму заемщику: l1*0, l2*1;
четвертое - отказать в выдаче кредита как первому, так и второму заемщику: l1*0, l2*0.
Какое из указанных решений выбрать банку?
Очевидно, что кредитора прежде всего интересуют последствия принятия того или иного решения. Эти последствия определяются возможными действиями каждого заемщика по соблюдению условий кредитной сделки, которые будем обозначать символом * с соответствующими индексами.
При этом запись *j*1, j*1,2 будет означать, что заемщик nj, j*1,2 вернет ссуженную ему сумму в срок, а запись *j*0, j*1,2 будет означать, что заемщик nj, j*1,2 вообще откажется от выполнения своих обязательств. Если кредитная сделка с заемщиком nj, j*1,2 будет заключена, указанные действия могут привести к следующим результатам: при *j* 1, j*1,2 банк получит прибыль sj, j*1,2; при jj*0, j*1,2 банк потерпит убыток cj. Если кредитная сделка с заемщиком nj, j*1,2 не будет заключена, то при *j*1, j*1,2 банк понесет убыток sj, а при *j*0, j*1,2 он не получит прибыли и не понесет убытка.
Для случая двух заемщиков с их стороны возможны четыре комбинации действий по соблюдению условий кредитных сделок: j1*1, j2 *1; j1*1, j2*0; j1*0, j2*1; j1*0, j2*0. Поэтому каждое вышеуказанное решение кредитора может привести к четырем различным результатам, общую группу которых, основываясь на приведенных рассуждениях, представим в виде таблицы возможных последствий решений кредитора (таблица 1).
Таблица 1
_____________________________________________________________________
Решения кредитора Последствия решений Возможные действия заемщика
кредитора по соблюдению условий
кредитной сделки
_____________________________________________________________________
*1=1, *1=1, *1=0, *1=0,
*2=1 *2=0 *2=1 *2=0
_____________________________________________________________________
l1=1, l2=1 общая прибыль s1+s2 s1-c2 s2-c1 -(c1+c2)
общий убыток 0 c2 c1 c1+c2
_____________________________________________________________________
l1=1, l2=0 общая прибыль s1 s1 -c1 -c1
общий убыток s2 0 c1+c2 c1
_____________________________________________________________________
l1=0, l2=1 общая прибыль s2 -c2 s2 -c2
общий убыток s1 c2 0 c2
_____________________________________________________________________
l1=0, l2=0 общая прибыль 0 0 0 0
общий убыток s1+s2 s1 s2 0
_____________________________________________________________________
Если кредитор обладает информацией о том, что действия заемщиков по выполнению условий сделки будут иметь детерминированный характер (вероятность возврата кредита заемщиком nj, j*1,2 равна нулю или единице), он может воспользоваться этой таблицей, исключая из рассмотрения те действия заемщиков, вероятность которых равна нулю. Очевидно, что при этом имеет смысл выбирать такое решение, последствия которого обеспечивают банку максимальную прибыль (далее будет показано, что этому решению соответствует минимальный банковский риск).
Так, из данных, представленных в первом столбце таблицы 1, следует, что оптимальным решением при j1*j2*1 (т. е. при P1*P2*1) является довольно очевидное - l1*1, l2*1. Однако на практике, как правило, действия заемщиков по соблюдению условий кредитных сделок имеют рандомизированный (случайный) характер, то есть 0<Pj<1, j*1,2. В этих условиях кредитор не может исключить из рассмотрения ни одну группу действий заемщиков из четырех возможных и, следовательно, использовать для принятия решений таблицу 1. Доступная ему при этом информация (вероятности Pj, а также размеры величин возможной прибыли sj и убытков cj, j*1,2) дает возможность определить лишь средние значения последствий принимаемых им решений:
е(l1,l2)=P1P2 (l1s1+l2s2)+P1 (1*P2) (l1s1*l2c2)+(1*P1) P2
(l2s2-l1c1)-(1-P1) (1*P2) (l1c1+l2c2), l1, l2=0,1,
К(l1, l2)=Р1P2 ([1*l1] s1+[1-l2] s2)+P1(1*P2)
([1*l1]s1+l2c2)+(1-P1)P2([1*l2]s2+l1c1)+(1-P1) (1*P2)
(l1c1+l2c2), l1, l2=0,1,
где е(l1, l2) - средняя прибыль, зависящая от решений кредитора l1, l2 и рассчитываемая для каждой из четырех возможных комбинаций этих решений; К (l1, l2) - рассчитываемый средний убыток, определяемый решениями кредитора l1 и l2.
Сущность вычисляемого значения средней прибыли поясним с использованием численных значений рассмотренных величин. Пусть в базе данных кредитных сделок имеется информация о результатах выдачи кредитов заемщикам классов k1 и k2, из которой следует, что заемщики обоих классов в 100 случаях выдачи кредитов выполняют условия кредитной сделки 90 раз. Согласно выражению, приведенному выше, это означает, что оценки вероятностей возврата кредита в срок заемщиками n1 и n2 равны P*1=P*2=90/100=0,9.
Предположим, что кредитор принял решение о заключении кредитных сделок с обоими заемщиками. Тогда с учетом полученных значений вероятностей возможных действий заемщиков можно ожидать, что в 100 подобных случаях кредит будет возвращен обоими заемщиками примерно 100 P1Р2*81 раз; только первым заемщиком 100*P1 (1* P2)*9 раз; только вторым заемщиком также 100*(1*P1) P2*9 раз и вообще не будет возвращен обоими заемщиками 100*(1*P1) (1*P2)*1 раз.
Рассмотрим последствия перечисленных действий.
При возвращении кредита обоими заемщиками банк получит прибыль s1+s2 81 раз, то есть от этих действий заемщиков суммарная прибыль в 100 случаях выдачи кредита составит величину 81 (s1+s2). При возвращении кредита только первым заемщиком банк получит прибыль s1-c2 9 раз, то есть от этих действий заемщиков суммарная прибыль банка в 100 случаях выдачи кредитов составит величину 9 (s2 * c2). Аналогично этому можно получить, что при возвращении кредита только вторым заемщиком суммарная прибыль составит величину 9 (s2 * c1). Несоблюдение условий сделки обоими заемщиками приведет к отрицательной прибыли (убытку) - (c1+c2) 1 раз, то есть суммарная прибыль от таких действий заемщиков в указанных 100 случаях будет равна - 1 (c1+c2).
Таким образом, общая суммарная прибыль, определяемая результатами выдачи кредита обоим заемщикам 100 раз, составит величину:
S(l1=1,l2=1)=81(s1+s2)+9(s1-c2)+9(s2-c1)-1(c1+c2).
Такой же результат кредитор получил бы при условии, что в каждом случае прибыль составляла величину:
А(l1=1, l2=1)=S(l1=1, l2=1)/100=0,81(s1+s2)+0,09
(s1-c2)+0,09(s2-c1)-0,01(c1+c2).
Сопоставив приведенное выражение с выражением для е (l1, l2) при l1=l2=1 и приняв во внимание то, что цифры перед скобками получены в результате выполнения операций P1P2 , P1 (1-P2), (1-P1)P2 и (1-Р1) (1-Р2), нетрудно заметить, что значение А (l1, l2), определяющее итоговую прибыль кредитора, равно величине средней прибыли при принятии решений l1 и l2. Исходя из этого можно заключить, что среднее значение прибыли е (l1, l2), по существу, определяет итоговый положительный результат, который получит кредитор при выборе решений l1 и l2. Аналогичный смысл имеет и значение среднего убытка К(l1, l2), которое до заключения сделок характеризует итоговый отрицательный результат от принятия решений l1 и l2.
Таким образом, средние значения прибыли и убытков позволяют кредитору количественно оценить возможные последствия своих решений в той ситуации, когда действия заемщиков по соблюдению условий сделки носят случайный характер. Поэтому конкретная величина среднего убытка К (l1, l2) определяет размеры банковского риска при принятии кредитором решения l1, l2. Иными словами, вычисляемый средний убыток как функция переменных l1, l2=0,1 и является оценкой банковского риска, который имеет место при принятии соответствующего решения относительно предлагаемых сделок. Сравнивая между собой конкретные рассчитанные до выдачи кредитов значения средней прибыли или убытков для различных возможных решений, кредитор может выбрать такое решение l1*g , l2*h, g,h*0,1, которое обеспечит ему в результате заключения некоторого числа подобных сделок максимальное значение прибыли или, что то же самое, минимум среднего убытка, то есть минимум банковского риска (соответствие оптимального решения как минимуму банковского риска, так и максимуму средней прибыли будет доказано ниже).
Полученный результат соответствует основным положениям теории статистических решений и распространяется на случай, когда в банк обращается N заемщиков. Однако повторение приведенных выше выкладок для значительного числа N довольно громоздко. Это объясняется тем, что при увеличении числа заемщиков существенно возрастает число возможных решений кредитора. Так, при рассмотрении условий сделок с N=10 заемщиками кредитор должен выбрать одно из 1024 решений и столько же действий возможно со стороны заемщиков. Поэтому приведем без вывода выражение, позволяющее на основе ЭВМ выбирать оптимальную стратегию выдачи кредитов для произвольного числа N заемщиков. Это выражение имеет вид:
[l1*, l2*,...,lN*] = maх [[P1, 1-P1] ¤ [P2, 1-P2] ¤ ... *
[PN ,1-PN]] * **l1s1, -l1c1] * [l2s2,- l2c2] * ... *
N N
[lNsN,- lNcN]]т- H [F-* ljsj] * sj,
j=1 j=1
где [l1*,l2*,...,lN*] - вектор оптимальных решений кредитора (оптимальная стратегия выдачи кредитов); L - множество возможных состояний вектора [l1, l2,..., lN], число которых равно 2N; ¤ и * символы прямого умножения и сложения матриц [4] [Рj, 1 - Рj], [lj sj, - ljcj], 1<J<J; [А]т - символ транспонирования матрицы А; H(х)=0 при х>0, H(х)=1 при х<0 - асимметричная единичная функция; F - сумма средств, выделенная банком для выдачи кредитов; sj, 1<J<J - размер cсужаемой стоимости, на получение которой претендует заемщик nj. Первое слагаемое в приведенном выражении определяет значение средней прибыли е(l1,...,lN), а наличие второго слагаемого в этом выражении связано с тем, что кредитор не может заключать договоры на большую сумму средств, чем та, которой он располагает.
Покажем, что решение, принимаемое в соответствии с рассматриваемым выражением, обеспечивает не только максимум средней прибыли, но и минимум средних убытков, то есть минимум банковского риска. Значение среднего убытка для случаев N заемщиков определяется выражением:
К(l1,...,lN)= [ [Р1,1-P1] ¤ [P2,1-P2] ¤ ... ¤ [PN,1 - PN]
* [(1-l1)s1,l1c1)] * [(1-l2)s2, l2c2] * ... * [(1-lN)sN,lN cN],
перегруппировав члены которого можно получить, что величина К (l1,...,lN) образуется разностью
N
К(l1,..., lN) =* Pjsj- е (l1,..., lN).
j=1
Первый член правой части представленной формулы является постоянной величиной и не зависит от вектора принимаемых решений l1,.., lN. Поэтому средний убыток К (l1,...,lN) будет тем меньше, чем больше значение величины средней прибыли e (l1,..., lN). Это заключение подтверждает вывод о том, что решение, обеспечивающее максимум средней прибыли, кроме того является оптимальным по критерию минимума средних убытков.
Чтобы проиллюстрировать динамику процесса выдачи кредитов, основанного на использовании предложенной методики, рассмотрим результаты статистического моделирования, отражающие развитие этого процесса. Моделирование выполнялось с использованием ЭВМ для трех классов заемщиков k1, k2 и k3. Имитация зарегистрированных в базе данных кредитных сделок ранее имевших место действий заемщиков этих классов выполнялась при помощи датчика случайных чисел. При этом генерация j1, j2 и j3 осуществлялась таким образом, что они с заданными в начале моделирования (но неизвестными воображаемому кредитору) вероятностями возврата кредита в срок Р1=0,9, Р2=0,95, Р3=0,99 принимали значения 1 и с вероятностями (1-P1)=0,1, (1-P2)=0,05, (1-P3)=0,01 - значения ноль. Это позволило воспроизвести случайный характер действий заемщиков по выполнению своих обязательств. Для наглядности одна из полученных реализаций действий заемщиков класса k1 в каждом М-ом случае (1<M<50) заключения предыдущих сделок представлена на рис. 1.
Сформированная таким образом информация базы данных кредитных сделок обрабатывалась по приведенной в начале статьи формуле для вычисления оценок вероятностей Р1*, Р2*, Р3*. Эволюция этих оценок представлена на рис. 2, из которого видно, что по мере увеличения числа М известных результатов заключения кредитных сделок с заемщиками классов k1, k2 и k3 величины указанных оценок приближаются к истинным значениям вероятностей P1, P2 и P3. Этот процесс соответствует этапу накопления опыта кредитора заключения сделок с заемщиками рассматрива-емых классов.
Проанализируем теперь, к какому результату приведет использование этого опыта при выборе оптимальной стратегии выдачи кредитов.
Пусть кредитор имеет возможность заключения кредитных сделок на сумму F=1000 условных денежных единиц (у.д.е.), а заемщик n1 класса k1 предлагает заключение кредитной сделки на сумму s1=1000 у.д.е., заемщик n2 класса k2 - на сумму s2=300 у.д.е. и заемщик n3 класса k3 - на сумму s3=200 у.д.е. Значение прибыли от выдачи кредита при выполнении заемщиком своих обязательств примем равным 20 процентам от суммы.
Это означает, что s1=200 у.д.е., c1=1200 у.д.е., s2=60 у.д.е., c2=360 у.д.е., s3=40 у.д.е., c3=240 у.д.е. Значения убытков c1, 1<j<3, считаются равными sj+0,2sj, исходя из того, что при отказе j-го заемщика от возврата ссуженной стоимости кредитор теряет не только сумму sj , но и 20 процентов от нее, так как выдача этой суммы другому заемщику могла бы принести соответствующую прибыль.
В указанном случае кредитор может принять одно из пяти решений:
l1=1, l2=0, l3=0; l1=0, l2=1, l3=1; l1=0, l2=1, l3=0; l1=0, l2=0, l3=1; l1=0, l2=0, l3=0; (решения l1=1, l2=1, l3=0; l1=1, l2=0, l3=1; l1=1, l2=1, l3=1 исключаются, так как кредитор располагает суммой средств меньшей, чем s1+s2, s1+s3 и s1+s2+s3).
В рассматриваемой ситуации преимущества того или иного решения не являются очевидными. Так, первый заемщик предлагает заключение кредитной сделки на наибольшую сумму средств, следовательно, при заключении кредитной сделки с этим заемщиком (это соответствует отказу двум другим заемщикам) кредитор может получить наибольшую прибыль, но вместе с этим первый заемщик имеет несколько меньшую кредитоспособность, чем два других, поэтому заключение кредитной сделки с заемщиками n2 и n3 сопровождается меньшим риском. Однако, с другой стороны, заключение кредитной сделки с этими заемщиками (т.е. отказ первому заемщику) сулит прибыль в два раза меньшую, чем решение, отдающее предпочтение первому заемщику (см. значения s1, s2 и s3 ).
В эти противоречивые рассуждения вносят ясность значения средней прибыли, вычисленные по изложенной выше методике для каждого из пяти возможных решений. Эти значения, рассчитанные для нашего примера, представлены на рис. 3, из которого следует, что максимальное значение средней прибыли обеспечивается при выборе решения l1=0, l2=1, l3=1 (при выдаче кредита второму и третьему заемщикам).
е(l1, l2, l3), Оптимальное у.д.е. решение
l1=1, l1=0, l1=0, l1=0, l1=0, Решения
l2=0 , l2=1, l2=1, l2=0, l2=0, кредитора
l3=0 l3=1 l3=0 l3=1 l3=0
Справедливость этого выбора подтверждают изображенные на рис. 4 эволюции суммарной прибыли кредитора S в M подобных случаях, которые были получены в результате статистического моделирования действий заемщиков по выполнению условий кредитных сделок.
Кривая, нанесенная сплошной линией, показывает, как при увеличении числа М рассмотренных случаев изменялась итоговая прибыль кредитора S (l1=0, l2=1, l3=1), имеющая место при принятии оптимального решения l1=0, l2=1, l3=1, а кривые, нанесенные пунктирной линией, отражают изменение итоговой прибыли кредитора при выборе трех других неоптимальных решений. На основании сравнительного анализа указанных реализаций можно заключить, что выбор решений, отличных от оптимального, принес бы кредитору существенно меньшую прибыль.
Таким образом, предложенная методика выбора оптимальной стратегии распределения свободных банковских средств позволяет банку накапливать опыт заключения сделок различных видов. Этот опыт формализуется в специальной базе данных в виде количественных оценок надежности клиентов и сделок различных классов. Указанные оценки представляют собой значения вероятностей соблюдения клиентами условий сделок.
Эти вероятности в соответствии с рассмотренной методикой используются для оценивания (прогнозирования) значений банковского риска (среднего убытка) и средней прибыли для каждой возможной группы предлагаемых сделок. Рекомендуемое правило использования этих величин (правило выбора оптимальной стратегии распределения банковских средств) учитывает, прежде всего, последствия возможных решений банка и обеспечивает получение им максимальной средней прибыли от предлагаемых сделок, что также соответствует минимуму банковского риска. Очевидно, что приведенные в этой статье рассуждения не позволяют в полной мере учесть все возможности повышения прибыли банка от заключения различных сделок, поскольку не принималась во внимание зависимость прибыли от сроков возврата ссуды заемщиками, инфляции, перспектив заключения новых сделок и т. д.
Кроме того, эти рассуждения определяют правило принятия только положительных или отрицательных решений относительно каждой сделки. Однако на практике банку предоставляется и возможность различных изменений условий сделок. Указанные обстоятельства не рассматривались, чтобы не затруднять изложение сути методики оценки банковского риска и выбора оптимальной стратегии заключения сделок, базирующейся на основных положениях теории статистических решений.
Примечания.
1. Вальд А. Последовательный анализ: Пер. с англ. / Под ред. Б. А. Севостьянова. М.: Физматгиз, 1960; Вальд А. Статистические решающие функции. Позиционные игры: Пер. с англ./ Под ред. Н.И. Воробьева, И. Н. Врублевской.- М.: Наука, 1967.
2. Кабышев О. Правомерность предпринимательского риска // Хозяйство и право, 1994, № 3.
3. См.,напр.: Янишевская В.М., Севрук В.Т., Лукачер Т.Г. Анализ платежеспособности предприятий: Практическое руководство для государственных и иных предприятий. - М., 1991; Банковское дело / Под ред. Лаврушина О.И. - Банковский и биржевой научно-консультационный центр, 1992; Кирисюк Г.М., Ляховский В.С. Оценка банком кредитоспособности заемщика // Деньги и кредит, 1993, № 4.
4. Корн Р., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Пер. с англ. / Под ред. И.Г. Арамановича. 5-е изд. М.: Наука, 1984.