Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вятский государственный гуманитарный университет»

Физико-математический факультет

Кафедра дидактики физики и математики

Выпускная квалификационная работа

Организация и содержание элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики» в классах оборонно-спортивного профиля

Выполнил

студент V курса физико-математического факультета

(специальность 050201.65 Математика)
Селюнин Александр Геннадьевич

Научный руководитель:

канд. пед. наук, ст. преп. кафедры

дидактики физики и математики

Горев Павел Михайлович

Рецензент:

канд. пед. наук, доцент кафедры

дидактики физики и математики

Шилова Зоя Вениаминовна

Работа допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___»__________2008 г. Зам. зав. кафедройМ.В. Крутихина

«___»__________2008 г. Декан факультетаЕ.В. Кантор

Киров, 2008

Содержание

Введение

Глава 1. Элективные курсы в профильной школе

1.1. Профильная школа в условиях модернизации образования

1.2. Предпрофильная подготовка учащихся средней школы

1.3. Элективные и факультативные курсы

1.4. Особенности элективных курсов по математике

Глава 2. Методика изучения элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики» в классах оборонно-спортивного профиля

2.1. Содержание элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики»

2.2. Основные принципы построения методики изучения элективного курса

2.3. Методика использования практико-ориентированных задач

2.4. Методика преподавания теории вероятностей и математической статистики в средней школе

2.5. Содержание и анализ результатов опытной работы

Заключение

Библиографический список

Приложения

Введение

В настоящее время невозможно представить спорт и физическую культуру без науки. Правильно организованное физическое воспитание школьника, способствующее укреплению его здоровья, эффективная тренировка спортсмена, результатом которой является рост спортивных рекордов, строится на научных основах.

Наука – это точное знание, собирающее факты, и во всех них присутствуют цифры. При оценке успеваемости учеников учителем, при подсчитывании результатов на соревнованиях и т.д. – при всем этом оперируют числами, и в этом уже есть зачатки науки. Еще более научным является сбор материала для того, чтобы выявить некоторую закономерность, систему. Например, при систематизации спортивных рекордов в беге, плавании, конькобежном спорте привело к установлению общего математического закона. Подсчет количества килограммов, поднимаемых тяжелоатлетами на тренировках, и сопоставление его со спортивными достижениями позволили определить тренировочную нагрузку, которая дает наилучший результат. При анализе индивидуальной тренировочной нагрузки элементами исследуемой совокупности могут быть отдельные значения интенсивности или объема нагрузки, зарегистрированные у конкретного спортсмена в различные периоды времени. Каждый элемент совокупности может обладать рядом признаков, при этом одни признаки могут быть однородными, а другие могут изменяться. Например, элементами совокупности могут быть спортсмены – представители одного вида спорта, одинаковой квалификации, одинакового возраста, но различными могут быть показатели роста, веса, скорости движения и т.д.

Предметом изучения как раз и являются изменяющиеся признаки. Значение, принимаемое данной величиной, в каждом случае зависит от ряда факторов, которые обычно заранее не известны. Закономерности присущие подобным величинам, получили название случайных, изучаются теорией вероятностей и математической статистикой [15].

Математическая статистика устанавливает перспективность спортсменов, условия более благоприятные для тренировок и их эффективность. Также статистика помогает сделать объективные и научно обоснованные выводы при анализе спортивной деятельности. Использование методов математической статистики помогает сделать объективные, научно обоснованные выводы при анализе спортивной деятельности.

Все сказанное выше позволяет сделать вывод об актуальности вероятностно-статистической линии для лиц, занимающихся спортом высоких достижений и необходимости включения в программу классов оборонно-спортивного профиля элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики».

Цель данной работы – на основе анализа психолого-педагогической, математической и методической литературы определить содержание и разработать методику изучения основ теории вероятностей и математической статистики для школ и классов оборонно-спортивного профиля.

Для достижения поставленной цели нужно решить следующие задачи:

изучить психолого-педагогическую и математико-методическую литературу по теме исследования;

разработать методические рекомендации для преподавания элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики» для классов оборонно-спортивного профиля;

разработать систему задач элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики» и адаптировать ее к условиям, близким к классам оборонно-спортивного профиля;

проверить эффективность предлагаемой методики в опытном преподавании в условиях, близких к классам оборонно-спортивного профиля.

Гипотеза исследования заключается в том, что систематическое и целенаправленное изучение теории вероятностей и математической статистики в классах оборонно-спортивного профиля способствует осознанному умению применять полученные знания на практике, повышает уровень эффективности обучения, способствует развитию и поддержанию интереса к математике, а так же развитию различных форм мыслительной деятельности школьников.

Объект исследования – процесс обучения математике в классах оборонно-спортивного профиля в средней школе. Предмет исследования – изучение вероятностно-статистической линии в профильных классах.

Для реализации поставленной цели и доказательства сформулированной гипотезы при осуществлении исследования применялись следующие методы исследования:

изучение учебных пособий и методических материалов по теме исследования;

анализ психологической, педагогической и математико-методической литературы по рассматриваемой проблеме исследования;

наблюдение за деятельностью учащихся;

опытное преподавание.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка (27 источников) и приложений.

Глава 1. Элективные курсы в профильной школе

1.1. Профильная школа в условиях модернизации образования

В последние годы резко повысилась роль образования в жизни каждого человека. Учение на протяжении всей жизни как единственно возможный в современных условиях способ жизнедеятельности человека – необходимая предпосылка и условие для эффективной деятельности во всех сферах общественного и личного бытия, а также поступательного развития человеческого общества. Для выполнения данных задач требуется образование иного качества, чем раньше [13].

В условиях постоянного возрастания объема информации человеку нужно уметь ориентироваться в ней, уметь ставить перед собой цель, достигать ее, уметь адекватно оценивать себя и прогнозировать развитие дальнейших событий. Но в массовой школе преобладает традиционная модель обучения, ориентированная на усвоение знаний, умений и навыков в каждой области знаний. В результате этого в образовании появляются различные противоречия. Также у многих учащихся школ не сформирована потребность в своём дальнейшем саморазвитии и получении образования после окончания школы, нет также устойчивой мотивации на приложение усилий для получения качественного профессионального образования, слишком рано, уже в школьный период, наступает замедление процессов развития учащихся как личности. Это и есть неудовлетворительные результаты, которые должна устранить профильная школа.

В наше время активно модернизируется вся система образования. Данная модернизация направлена на значительное обновление содержания и процесса обучения, а именно:

введение системно-деятельностного и личностно-ориентированного подходов к обучению и воспитанию;

формирование самостоятельной учебно-познавательной активности учащихся.

Таким образом, после модернизации школа должна будет предоставить учащимся возможность самообучения, саморазвития и самосовершенствования в различных направлениях.

Одним из направлений для модернизации является переход к профильной школе. Профильное обучение предоставляет новые возможности в организации учебно-воспитательного процесса в школе. Профильная школа может способствовать осознанному профессиональному самоопределению и необходимой социальной зрелости ученика.

Согласно реформе образования в двух последних классах каждому гражданину России должна быть предоставлена возможность выбора одной из 5-6 программ: гуманитарной, естественнонаучной, математики и информатики, экономики и права, технической, эколого-аграрной. Каждый школьник должен иметь возможность получить профильное образование за счет государства. Профильная школа позволит преодолеть не только формальный универсализм старшей школы, но и объективный разрыв между требованиями вуза и возможностями системы общего образования. Такую школу предполагалось сделать к 2004-2005 годам. На данный момент во многих школах сделаны профильные классы, однако вопросы перехода к профильному образованию не достаточно проработаны.

Исследования показали, что в школах по-разному понимают особенности профильного обучения, как правило, затруднения связаны с преодолением его содержания, комплектования методического сопровождения. Также, согласно исследованиям, профильное обучение дает положительные результаты [13].

В соответствии с одобренной Минобразованием России «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования» дифференциация содержания обучения в старших классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трех типов: базовых, профильных, элективных. Каждый из курсов этих трех типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения. Однако можно выделить круг задач, приоритетных для курсов каждого типа [9].

Базовые общеобразовательные курсы отражают обязательную для всех школьников инвариативную часть образования и направлены на завершение общеобразовательной подготовки обучающихся.

Профильные курсы обеспечивают углубленное изучение отдельных предметов и ориентированы, в первую очередь, на подготовку выпускников школы к последующему профессиональному образованию.

Элективные же курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Элективные курсы как бы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников.

Ранее было сказано, что профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса, таким образом, переход к профильному обучению преследует следующие цели:

обеспечить углублённое изучение отдельных дисциплин программы полного общего образования;

создать условия для значительной дифференциации содержания обучения старшеклассников, с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям учащихся в соответствии с их индивидуальными склонностями и потребностями;

расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, в том числе более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.

1.2. Предпрофильная подготовка учащихся средней школы

Как уже было сказано, в старшей школе каждый учащийся может выбрать один из 5-6 профилей: гуманитарный, естественнонаучный, математики и информатики, экономики и права, технический, эколого-аграрный. У многих школьников выбор является случайным, не вполне соотносится с реальными способностями и возможностями. Недостаточны знания выпускников о рынке труда и востребованных профессиях, о тех способах образования, которыми их можно получить. Школьники не владеют знаниями, необходимыми для выстраивания реалистичных жизненных планов [22].

Именно на решения таких проблем и направлена предпрофильная подготовка. Для начала выясним, что понимается под этими словами.

Под предпрофильной подготовкой понимается система педагогической, психолого-педагогической, информационной и организационной деятельности, способствующей самоопределению учащихся относительно профилей дальнейшего обучения и сферы профессионального развития.

В связи с этим можно выделить задачи предпрофильной подготовки:

подготовить ученика к осознанному выбору профиля;

организовать пробы выбора;

познакомить учащихся с различными профессиями.

В предпрофильной подготовке большое значение имеют курсы по выбору, среди них выделяют предметные, межпредметные и ориентировочные.

Содержание предметных курсов основывается на определенной предметной области и своей целью имеет углубление или расширение программного материала или его существенное дополнение, цель таких курсов – подготовить к поступлению в профильные классы и совершить осознанный выбор.

В межпредметных курсах содержание интегрирует различные предметные области: русский язык и литературу; историю и литературу; математику и физику. Целью этих курсов является расширение познавательного интереса учащегося, развитие интереса к предмету, создание условий для осознанного выбора профиля в 10-11 классах.

Последний вид курсов по выбору – это ориентировочные курсы содержание таких курсов ориентировано на создание условий для ознакомления с какой-либо областью будущей профильной подготовки или погружение в специфическую профессиональную область. Цель – помочь определиться с выбором профиля обучения в 10-11 классах или с выбором будущей профессии.

Курсы по выбору могут реализовываться в различных формах: урок, практикум, погружение и так далее. Их продолжительность может быть различной (от 7 до 28 учебных часов), но они должны укладываться в рамки одной четверти, с тем, чтобы после проведения промежуточной аттестации учащийся мог выбрать другие курсы.

Учащемуся старшей школы не может быть отказано в выборе того или иного курса, предлагаемого данным образовательным учреждением. Учитывая разный уровень качества образовательных услуг в силу ресурсов, которыми располагает та или иная школа, а также других причин, можно предположить, что, в первую очередь в городах зачисление всех желающих учащихся в том или ином учебном году в конкретное образовательное учреждение может оказаться невозможным.

Для того чтобы сделать процедуру приема в конкретное образовательное учреждение для обучения на старшей ступени при наличии конкурса прозрачной и объективной, необходима дополнительная форма итоговой аттестации учащихся по окончанию основной школы. Поскольку данные этой аттестации могут потребоваться лишь в отдельных случаях, она должна быть минимально ресурсозатратна для учащегося и образовательного учреждения. Предлагается комплексная «внутришкольная» и «внешняя» аттестации. К «внутришкольной» относятся: итоговые оценки, портфолио, портфели личных достижений. К «внешней» аттестации относится ЕГЭ.

Таким образом, осваивая пробные курсы, учащиеся приспосабливаются к выбираемому профилю обучения. Очевидно, что присутствие курсов по выбору повышает вероятность того, что учащийся сделает осознанный выбор будущего профиля обучения в старшей школе.

1.3. Элективные и факультативные курсы

Перспективы введения профильного обучения в старшей школе вызвали интерес к такой форме образовательной деятельности как элективные курсы. Это достаточно новый вид дополнительных занятий в школе, поэтому выясним, чем они отличаются от факультативных курсов.

Выясним что такое факультативный курс. Это курс, в котором представляется материал, выходящий за рамки программ основных курсов, или углубляющий требования программ основных курсов. Также перед факультативным курсом обычно ставились задачи обучения учащихся решению определённого типа задач, на овладение которым не остаётся времени в основные часы [2]. В последние годы, в ситуации сокращения часов на систематические курсы по многим предметам, факультативные курсы использовались уже для освоения основного учебного материала. Если говорить о месте факультативов в сетке расписания, то следует отметить, что факультативные курсы проводились за счёт регионального и школьного компонента. Посещение факультативных курсов учащимися строилось на их свободном выборе.

Определим, что такое элективные курсы.

Согласно проекту стандарта общего образования, элективные курсы должны обеспечить как подготовку к выбору профиля в основной школе, так и сам процесс профильного обучения в старшей школе.

У них, действительно, есть общие черты с факультативами. По своему содержанию, они также ориентированы на углубление или дополнение материала систематических курсов, то есть на реализацию принципа дополнительности материала. По месту в сетке часов, они также схожи. Но ориентация элективных курсов во многом иная. Элективные курсы в основной школе должны помочь учащимся сформировать культуру выбора образовательного профиля. Этому должны служить курсы, с которыми знакомятся учащиеся в 8, 9 классах основной школы. На эту же цель, в конечном счёте, должны быть сориентированы и элективные курсы пропедевтического характера, реализуемые в 6, 7 классах. В старших классах элективные курсы, с одной стороны, должны выполнять функцию углубления знаний (в этом они схожи с факультативными курсами). С другой стороны, элективные курсы продолжают играть роль своеобразного компаса в выборе образовательно-профессиональной траектории.

Формирование культуры выбора у человека ещё на школьной скамье – это серьёзная проблема сегодняшнего общества. Например, наиболее типичные факторы выбора. Этот выбор определяется часто семьей, родителями. Симптоматичны и факторы выбора самих родителей. Часто они не помогают ребёнку самоопределиться в этой ситуации, а решают за него исходя из собственных представлений о будущем ребёнка. Часто учащийся в ситуации выбора действует по принципу подражания: «Мой друг пошёл в гуманитарный класс – и я с ним», «Сосед по площадке идёт в физико-математический класс – а чем я хуже?». Типичной так же является ситуация, когда дети связывают выбор образовательного профиля не с содержанием профиля образования, и не со своими собственными способностями и ценностными ориентирами, а с личностью учителя, ведущего тот или иной предмет. Любовь к учителю, восхищение им, обожание его – являются порой решающими факторами выбора для учащегося. Это особый вариант личностного подражания. Таким образом, ведущими факторами выбора образовательного профиля учащегося являются внешние, по отношению к личностному «я» школьника, факторы [19].

Элективные курсы призваны помочь развить навыки выбора образовательного профиля у учащихся. Предусмотренные небольшие объёмы элективных курсов (от 8 до 36 часов) позволяют учащемуся в течение года познакомиться с несколькими элективными курсами. Это фактор вариативности информации. Завершение обучения по элективным курсам предусматривает отчётность по результатам обучения, но в разнообразных и безотметочных формах. Одной из главных отличительных черт элективных курсов является то, что они обязательны по выбору.

Главная педагогическая задача учителя состоит в том, чтобы у учащегося на смену ценностям заимствованным – от родителей, взрослых, друзей, – появлялись свои собственные ориентиры. И это уже – реализация аксиологического подхода в образовании.

1.4. Особенности элективных курсов по математике

Как правило, элективный курс представляет собой глубоко рассмотренную отдельно взятую тему, которая рассматривается в течение одной четверти. Примером тем элективных курсов могут служить: «Системы счисления», «Задачи с параметрами», «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» и т.д.

Элективный курс может углублять знания учащихся в темах общего курса, но также содержание курса может не иметь общих тем с основным курсом. Любой элективный курс нельзя представить без системы задач, соответствующих данному курсу. Задачи используются, как очень эффективное средство усвоения учащимися понятий, методов, теории, умений и навыков в практическом применении. Для успешного создания системы задач в литературе выделяют следующие принципы ее построения.

Принцип преемственности. С помощью задач устанавливаются взаимосвязи между различными понятиями, суждениями, между различными темами и различными предметами. Решение задач помогает учащимся лучше понять и легче усвоить изучаемый материал. Все это говорит, о том, что задачи играют важную роль в изучении математики.

Принцип связи теории с практикой. Задачи должны предшествовать и сопутствовать изучению теорем и понятий, то есть должны выступать в качестве средства усвоения знаний.

Принцип полноты. Стремиться полно, отражать в системе задач математические идеи, а также устанавливать межпредметные связи.

Принцип контрастности. Он ориентирован на то, что при подборе заданий надо не допускать повторяемости одних и тех же видов, при этом задания должны быть как с положительными и отрицательными ответами. Данный принцип предполагает уже на начальном этапе решать нестандартные упражнения. Количество нестандартных заданий должно быть не меньше трети от общего количества задач.

Принцип обучения эвристическим приемам. В процессе решения задач происходит овладение методами научного познания. Среди эвристических приемов часто встречаются следующие: аналогия, индукция, прием элементарных задач, прием моделирования, введение вспомогательного элемента, нового неизвестного, обобщения, подстановки, и так далее. При этом одни приемы являются способом решения задачи, а другие показывают решения отдельных фрагментов задачи.

Принцип формирования исследовательских умений. Под учебными исследованиями будем понимать вид познавательной деятельности, который связан с выполнением учебных заданий, предполагающих самостоятельный поиск учащимися новых для них знаний. Учебные исследования состоят из следующих этапов: постановка проблемы, выдвижение гипотез, доказательство или опровержение гипотез. Как правило, проблема формулируется самим учителем, доказательство или опровержение сводиться к доказательству математического факта. Основная задача ученика это выдвижение гипотез. Данная задача в учебных исследованиях основывается на основных эвристических приемах (аналогия, сравнение, анализ и так далее). Задания исследовательского характера обладают большой развивающей ценностью и имеют большую методическую значимость. Они помогают ученику глубже освоить материал, также дают толчок к самостоятельному изучению материала необходимого для данного исследования [12].

По завершению всего материала необходимо провести контроль усвоения изученного материала. Он может быть осуществлен выполнением учениками проекта по изученной теме, выполнением контрольной работы.

Создание элективных курсов – важнейшая часть обеспечения введения профильного обучения.

Глава 2. Методика изучения элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики» в классах оборонно-спортивного профиля

2.1. Содержание элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики»

Как уже ранее говорилось, в научно методической литературе выделяют три типа элективных курсов: предметные, межпредметные и не входящие в базисный учебный план.

Наша задача составить содержание элективного курса, не входящего в базисный учебный план. Для того, чтобы определить содержание элективного курса по теме «Вероятностно-статистические методы в спорте», необходимо выяснить, как и где теория вероятностей и статистика применятся в спорте.

Графическое представление результатов измерений. Применяется для повышения наглядности эмпирических распределений.

Расчет основных статистических характеристик. Графическое представление результатов дает только наглядное представление о том, как варьирует признак в выборочной совокупности. Числовые характеристики дают количественное представление об эмпирических данных и позволяют сравнивать их между собой.

Проверка статистических гипотез. Применяется для проверки каких-либо теоретических предположений, связанные с эффективностью мероприятий, направленных на совершение какого-либо процесса. Исследователь выдвигает предположение исходя из анализа конкретного явления, затем справедливость предположений проверяется на основании данных соответствующего эксперимента, условии которого контролируются.

Корреляционный и регрессионный анализ. Применяется с целью установления наличия и степени связи, например, между спортивным результатом и определенным показателем тренированности, между силой мышц и скоростью их сокращения, между спортивным достижением в одном и другом виде спорта и так далее.

Теперь можно составить содержание элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики» для классов оборонно-спортивного профиля.

Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики: о перемножении шансов, о выборе с учетом порядка, перестановки с повторениями, размещения с повторениями, выбор без учета порядка. Правило суммы, правило произведения.

Вероятность. Основные понятия теории вероятностей. Операции над событиями. Классический, статистический подход к определению вероятности. Основные правила вычисления вероятностей. Формулы полной вероятности, Бейеса.

Случайные величины. Понятие дискретной и непрерывной случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Вычисление математического ожидания и дисперсии.

Математическая статистика. Общие сведения. Вариационные ряды и их графические представления. Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез. Основы корреляционно-регрессионного анализа.

В результате изучения данного элективного курса учащиеся должны овладеть следующими умениями:

рационально решать комбинаторные задачи, применяя формулы;

рационально решать задачи, применяя формулы комбинаторики и основные правила вычисления вероятностей;

вычислять математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины;

изображать вариационные ряды;

находить эмпирические линии регрессии и уравнение линии регрессии. Также применять на практике полученные знания и умения.

2.2. Основные принципы построения методики изучения элективного курса

Так как изучение теории вероятностей и статистики в школьный курс было введено недавно, то в настоящее время существуют проблемы с реализацией этого материала в школьных учебниках. Также, в связи со специфичностью элективного курса, количество методической литературы тоже невелико.

Практически во всей литературе считается, что главным при изучении данной темы должен стать практический опыт учащихся, поэтому обучение желательно начинать с вопросов, в которых требуется найти решение поставленной проблемы на фоне реальной ситуации. В процессе обучения не следует доказывать все теоремы, так как на это тратиться большое количество времени, кроме того, наша задача сформировать профессионально значимы навыки, а умение доказывать теоремы к таким навыкам не относится.

Изучение должно начинаться с изучения основ комбинаторики, причем параллельно должна изучаться теория вероятностей, так как комбинаторика используется при подсчете вероятностей. Начинать обучения комбинаторике целесообразно с решения простых комбинаторных задач методом перебора. Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий. Основными комбинаторными понятиями являются: сочетания, перестановки, размещения. На первом этапе сами термины можно не вводить, главное чтобы учащийся осознавал наборы какого типа нужно составить в данной задаче.

После того как учащиеся научаться составлять наборы из элементов заданного множества по заданному свойству, появляется следующая задача – подсчет количества возможных наборов. Такие задачи решаются с помощью применения принципа умножения. Хорошей наглядной иллюстрацией правила умножения является дерево возможных вариантов. Данная тема хорошо изложена в учебниках [4] и [27].

Далее предлагается перейти к теории вероятностей. Одной из главных задач является формирование понятия случайного события. Сформировать данное понятие удобно на различных примерах из жизни. Также необходимо сформировать у учащихся представления об основных понятиях теории вероятностей, а именно: достоверные события, невозможные, равновероятные. Все эти понятия нужно вводить, опираясь на понятные примеры из жизни.

Необходимо развить у учащихся понимание степени случайности различных явлений и событий. Для этого можно использовать эмпирические методы, для того чтобы извлечь очевидные закономерности. Следующим шагом в продолжение вероятностной линии идет введение классического и статистического определения вероятности. Необходимо чтобы учащиеся понимали разницу между этими двумя подходами. Чтобы осознавали, что одно это определение вероятности, а другое – способ вычисления вероятности. Таким образом, можно сделать вывод, что определение классической вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности, определение же статистической вероятности предполагает, что испытания были произведены.

После введения классического определения вероятности в учебниках обычно вводиться геометрическая вероятность, но в нашем случае ее можно не рассматривать, так как она не используется для решения задач в области спорта.

На следующем этапе изучаем формулу полной вероятности и формулу Бейеса. Важно рассмотреть применения данных формул на различных примерах, для того чтобы сформировать у учащихся умения применять данные формулы к решению задач.

Также изучается понятие дискретной случайной величины и непрерывной случайной величины. Правила вычисления основных характеристик этих величин. Важно показать практический смысл этих характеристик. Так как вычисления математического ожидания и дисперсии не вызывает никакой сложности, то затрачивать большое количество времени на эту тему не стоит.

На последнем этапе переходим к изучению статистики, используя ранее полученные знания. На этом этапе появляется много новых терминов, здесь учителю можно посоветовать следующее: попросить учащихся завести словари, куда бы они заносили новые понятия и по мере надобности могли бы туда заглядывать, также можно предложить сделать таблицу, аналогичную таблице приведенной в учебнике [17].

Статистические исследования являются завершающим этапом изучения элективного курса. Здесь рассматриваются примеры статистических исследований в области спорта, полученные ранее. Изучаются основные методы оценки статистических гипотез, регрессионный анализ. Также учащимся может быть предложено самостоятельно провести несложное статистическое исследование.

2.3. Методика использования практико-ориентированных задач

Для успешного освоения учащимися материала необходимо показать, что получаемые на занятиях по математике знания и умения, им понадобятся в их практической деятельности.

Было установлено, что негативное отношение студентов к математике во многом объясняется тем, что они не видят практического применения математических знаний умений [11].

Легче всего показать значимость изучения теории вероятности и статистики на сюжетных задачах, сформулированных в виде профессиональных проблемных ситуаций. Для спортсменов это могут быть различные ситуации в разных видах спорта. Задачи должны подбираться таким образом, чтобы для их решения требовались определенные математические умения. Кроме того, математические задачи являются одним из средств формирования профессионально значимых умений. Такие задачи можно найти в учебниках [10], [15]. Так как данные в этих учебниках сильно устарели, учителю можно использовать различные данные из области спорта из [20], также достаточно новые данные можно найти в учебнике [24].

Например, одной из проблемной задач может служить следующая.

Известно, что среди 40 участников имеются 10 мастеров спорта. Среди всех участников случайным образом выбрали первую пятерку, найдите вероятность, что в этой пятерке присутствуют ровно 2 мастера спорта.

Для решения такой задачи необходимы знания в области комбинаторики и теории вероятности.

При использовании таких задач достигаются следующая цель: студентам наглядно демонстрируются проблемные ситуации, следовательно, у них появляется заинтересованность в изучении математики.

Целесообразно использовать задачи, в которых предлагается недостающие данные получить самостоятельно. Например, для спортсменов такими данными могут служить результаты соревнований или тренировок. Таким образом, при решении задач подразумевающих самостоятельное получение данных, создается предпосылка для развития профессиональных умений проводить опросы, работать со справочной литературой и так далее. Кроме того, решая такие задачи, учащиеся реально видят связь изучаемого ими материала с практикой [11].

Среди способов самостоятельного получения исходной информации выделяют следующие.

Использование опубликованной информации (справочная литература, журналы, Интернет и т.д.). Решение таких задач развивает у учеников умение работать со специальной литературой. Также модно предлагать задачи связанные с динамическим прогнозированием: студентам нужно взять опубликованные сведения о развитии некоторого явления (спортивного результата, роста детей, количество детей занимающихся в секциях), на их основе построить математическую модель развития этого явления во времени, спрогнозировать уровень развития на текущий период и сравнить с реальным значением.

Самостоятельное получение данных в результате эксперимента. Данный тип задач рекомендуется для спортсменов, так как они часто сдают различные нормативы, поэтому им не требуется проводить опыты специально.

Предлагаемые задачи подходят для аудиторной и для домашней работы, так как сбор данных не отнимает много времени и не отвлекает от решения задачи.

Так как нет специализированной литературы, которая бы содержала задачи, удовлетворяющим выше перечисленным требованиям, то учителю придется самостоятельно составлять задачи. Достаточно много интересных задач, которые после переработки можно использовать, находятся в следующих источниках: [18], [6], [16], [3], [23], [1].

2.4. Методика преподавания теории вероятностей и математической статистики в средней школе

Изучение понятия события зачастую сопряжено у учащихся с трудностями психологического характера. Его обычно ученики воспринимают как единичное выполнение какого-либо действия. Поэтому формирование представления о данном понятии должно начинаться с рассмотрения простейших вероятностных моделей.

Первые труды, связанные с теорией вероятности принадлежали Галилею [26]. В нашей жизни часто приходится иметь дело со случайными явлениями, то есть ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть. Например, мы не можем точно сказать при подбрасывании монеты упадет она вверх гербом или цифрой [8]. Аналогично не можем точно сказать, сколько очков выбьет стрелок на соревнованиях.

Тогда случайным событием будет называться любое событие, связанное со случайным экспериментом.

Под испытанием в теории вероятностей принято принимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного набора условий, который каждый раз должен выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое испытание производиться при другом наборе условии, то считается, что это уже другое испытание.

Результаты испытаний можно охарактеризовать качественно и количественно.

Качественная характеристика заключается в регистрации какого-либо явления, которое может наблюдаться или нет при данном испытании. Любое из явлений называется событием.

Еще одним элементом, способствующим формированию представления о понятие «событие», является следующая классификация. Событие бывает:

достоверным (всегда происходит в результате испытания);

невозможным (никогда не происходит);

случайным (может произойти или не произойти в результате испытания).

После определения этих понятий следует привести пример.

При подбрасывании кубика невозможное событие – кубик станет на ребро, случайное событие – выпадение какой либо грани.

Количественная характеристика испытания выражает значения некоторых величин, которыми интересуются при данном испытании (например, число подтягиваний, время на беговой дистанции). До испытания нельзя сказать чему будет равна данная величина, поэтому она называется случайной.

Далее опираясь на введенные определения и на жизненный опыт учащихся необходимо рассмотреть задачи на определение типа события.

Оцените, какие из перечисленных событий являются достоверными, невозможными и какие случайными. Объясните почему.

На соревнованиях по прыжкам в длину с места легкоатлет прыгнул на расстояние 300 метров.

Сборная России по футболу едет на чемпионат Европы.

При бросании игральных кубиков выпадет четное число очков.

Важно рассмотреть большое количество примеров событий и случайных экспериментов.

Кроме случайного события, с опытом связано еще одно важное понятия – понятие элементарного исхода. Когда мы говорим о соблюдении набора условий данного испытания, мы имеем в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом может быть большое количество неконтролируемых факторов (например, погода, ветер и т.д.), которые трудно или невозможно учесть. Следовательно, значение неконтролируемых факторов могут быть различными при каждом повторении испытания, поэтому результаты испытания оказываются случайными. Событие может произойти или не произойти.

Теория вероятностей рассматривает именно такие события, при этом предполагается, что испытание может быть повторено любое количество раз.

Например, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо – исход. Другой пример исхода – это выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости. В отличии от других событий исходы еще называют элементарными событиями, желая подчеркнуть, что эти события состоят только из одного исхода и не делимы на более мелкие.

Далее следует сказать, что в теории вероятностей события обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами: A, B, C, D…

После введения трех важных понятий: случайный эксперимент, случайное событие, исход, модно переходить к определению вероятности.

Первым должно быть рассмотрено статистическое понятие вероятности.

Рассмотрим некоторое количество испытаний, в результате которых появилось событие А. Пусть было произведено N испытаний, в результате которых событие А появилось ровно n раз. Тогда отношение называют относительной частотой (частость).

При большом количестве повторений испытания частость событий мало изменяется и стабилизируется около определенного значения, а при небольшом количестве повторений она может принимать различные значения. Поэтому интуитивно ясно, что при большом количестве повторений испытания частость события будет стремиться к определенному числовому значению. Такое значение принято называть вероятностью события А и обозначают Р(А).

Таким образом, вероятностью случайного события А называется число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события при большом повторении числа экспериментов.

В математике неограниченное число повторений принято записывать в виде предела при N стремящегося к бесконечности: .

Данное определение называют статистическим определением вероятности. Далее следует объяснить, что найти вероятность с помощью этого определения нельзя, так как нет гарантий, что относительная частота будет к чему-то приближаться; также нельзя сказать, насколько много повторений эксперимента нужно сделать, чтобы полученная частота достаточно хорошо приближала вероятность.

Исходя из этого определения, учащиеся могут установить, что вероятность заключена в интервале: . Так как n всегда больше либо равно N.

Следует предложить задания на проведение серии экспериментов с целью оценить вероятности возможных исходов эксперимента. При этом можно использовать групповую форму работы и в конце объединить результаты всех групп для получения выводов об относительной частоте событий. Примером такого задания может служить подбрасывание монеты. Это является простым и наглядным испытанием. Практика человека говорит о том, что при большом числе бросаний примерно в 50% испытаний выпадет «орёл», а в 50% – «решка».

После этого следует перейти к изучению классической вероятности. Введение другого определения можно обосновать тем, что не в каждом случае можно провести длинную серию экспериментов. В некоторых случаях вероятности событий могут быть легко определены исходя из условий испытаний. Здесь необходимо вспомнить понятия элементарного исхода.

Пусть испытание имеет n возможных исходов, то есть событий, которые могут появиться в результате данного испытания. При каждом повторении возможно появление только одного из данных исходов (то есть все n исходов несовместны). Кроме того, по условиям испытания нельзя сказать какие исходы появляются чаще других, то есть все исходы являются равновозможными. Допустим теперь что при n равновозможных исходах интерес представляет событие А, которое появляется только при m исходах и не появляется при остальных исходах. Принято говорить, что в данном испытании имеется n случаев, из которых m благоприятствуют появлению события А.

В таком случае вероятность можно вычислить, как отношение числа случаев благоприятствующих появлению события А (то есть m), к общему числу всех исходов n: .

Данная формула представляет собой определение вероятности по Лапласу, которое пришло из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.

После рассмотрения простейших примеров вычисления вероятности учащимся может показаться, что вычисление вероятностей любого события не вызывает особого труда, поэтому учителю нужно предостеречь учащихся от ошибок. Для этого учащимся может быть предложен следующий алгоритм при решении задач на нахождение вероятности.

Перечислить возможные исходы опыта (полное или частичное).

Обосновать равновозможность перечисленных исходов (можно опираться на прямые указания в тексте задачи: случайно, наугад и т.д.).

Вычислить общее количество исходов (то есть число n).

Описать благоприятные исходы для данного события и вычислить их количество.

Вычислить вероятность по формуле.

Оценить полученный результат.

На первых этапах следует предлагать задачи, в которых число исходов опыта можно пересчитать вручную, без использования формул комбинаторики. После получения ответа необходимо обсудить с учащимися его реальный смысл. Выяснить совпадает ли полученная величина с интуитивным представлением учеников о вероятности, удовлетворяет ли основным свойствам.

Для того чтобы определить вероятность нужно знать количество исходов, а также количество благоприятных исходов. Если количество испытаний мало, то можно вручную перебрать все исходы и выявить среди них благоприятные. Что делать в том случае, если количество испытаний велико?

В таком случае на помощь приходит комбинаторика.

Комбинаторика – раздел математики, который изучает различные комбинации и перестановки предметов [5]. Начинать изучение комбинаторики следует с введения простейших формул. Перед тем как дать ученикам формулу следует поставить какую-либо проблемную задачу, например, перед тем как дать учащимся формулу перестановок можно дать решить следующую задачу.

Сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3?

Решая данную задачу систематическим перебором, мы найдем, что количество таких чисел будет равно шести. Далее следует изменить условие задачи, увеличив количество цифр до 10. И сказать, что решать данную задачу перебором нерационально, так как на это уйдет слишком много времени. Для решения задач такого вида используется следующая теорема.

Пусть имеется, k групп элементов, причем каждая группа элементов содержит определенное количество элементов, например, 1-ая содержит n1 элемент, 2-ая группа – n2 элементов, тогда i-я группа содержит ni элементов. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, равняется .

Учитель должен обратить внимание учащихся на то, что правило умножения подсчитывает упорядоченные наборы, то есть порядок в них важен.

Данную формулу можно применить к решению следующей задачи.

Сколько существует пятизначных натуральных чисел.

Решение. Как известно всего 10 цифр. Представим пятизначное число, как, где вместо первой звездочки можно подставить все цифры кроме 0, так как если подставим 0, то получим четырехзначное число (нам надо пятизначное). Вместо второй звездочки можно подставить любую из 10 цифр, аналогично вместо оставшихся можно подставлять любую из 10 цифр. Таким образом, у нас имеется 5 групп элементов, первая группа содержит 9 элементов, а оставшиеся 4 группы содержать по 10 элементов. Тогда, используя формулу, найдем количество пятизначных чисел: .

Нужно дать несколько упражнений на вычисление выражений с факториалами, чтобы учащиеся лучше овладели навыками работы с ними.

Далее рассматривается теорема о выборе с учетом порядка.

Общее количество выбора k элементов из n элементов с учетом порядка определяется формулой и называется числом размещений из n элементов по k элементов.

Приведем пример.

В областных соревнованиях по футболу участвует 8 команд. Требуется определить сколькими способами можно составить группу их 4 команд.

Другими словами, нам нужно выбрать 4 футбольных команды из 8 команд, то есть: .

Далее рассматривается теорема о выборе без учета порядка.

Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n без возвращения и без учета порядка определяется формулой и называется числом сочетаний из n элементов по k элементов.

Рассмотрим пример.

На занятии по физкультуре присутствовало 20 человек. Учитель попросил двух человек принести из раздевалки мячи. Сколькими способами можно выбрать учеников, для того чтобы они принесли мячи?

Решение. Порядок в котором будут выбраны ученики не существенен, следовательно: способов.

После изучения основных формул комбинаторики следует дать учащимся задачи на вычисление вероятности, для решения которых необходимо применять комбинаторные формулы.

Далее вводим основные операции над событиями. При введении не следует пользоваться кругами Эйлера, так как учащиеся мало знакомы с теорией множеств. После определения операции можно привести пример описывающий данную операцию.

Событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В.

Бросается кубик. Событие А – выпадет число 2. Событие В – выпадет нечетное число. Тогда событие С=А+В. Будет состоять в выпадении двойки или нечетного числа.

Событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B.

С=А∙В (А – выпадет 3, В – выпадет нечетное число). Тогда С состоит в выпадении только числа 3, так как 3 является нечетным числом.

Противоположным событию A, называется событие, состоящее в непоявлении события А. Обозначается противоположное событие символом .

Противоположными событиями являются промах и попадание при выстреле, или выпадении герба или цифры при одном подбрасывании монеты.

Далее дадим определения совместных, несовместных событий и зависимых, независимых событий.

События A и B называются несовместными, если они не могут произойти в результате одного испытания. События А и В называются совместными, если они могут произойти в результате одного испытания.

Здесь также следует рассмотреть примеры, для лучшего усвоения этих понятий.

Испытание – один раз подбрасываем монету. События: А – выпадет орел; В – выпадет решка. События А и В несовместны, так как при подбрасывании одной монеты одновременно не выпадет орел и решка.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. Тогда события A, B, C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A и B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A и C (а также B и C) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что , значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье.

На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Изучив основные операции над событиями, можно перейти к вероятности. А именно привести основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события, состоящего из более простых событий, вероятность которых нам известна.

Вероятность достоверного события равна единице: Р(E) = 1.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: Р(А1+ А2+…+ Аn) = Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).

Эти два равенства являются аксиомами, то есть не требуют доказательства. На основе этих равенств строится вся теория вероятностей. Приведенные ниже формулы можно вывести при помощи этих аксиом.

Вероятность невозможного события равна 0: Р(Ш) = 0.

Вероятность противоположного события равна: Р(Ā) = 1 – Р(А).

Вероятность суммы произвольных событий равна сумме их вероятностей без вероятности произведения событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ).

Теперь вспомним определения независимых событий.

Событие А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)Р(В).

На практике часто путают независимые и несовместные события, это разные понятия. Другими словами можно сказать, если события связаны независимыми экспериментами, то и сами события будут независимыми.

Показать применение изученных правил можно при решении следующей задачи.

На соревнованиях по стрельбе из лука три стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, для другого – 0,7, для третьего – 0,93. Найти вероятность того, что: а) хотя бы один из стрелков попадет в мишень; б) только один из стрелков попадет в мишень; в) ни один из стрелков не попадет в мишень.

Решение. Пусть событие А – первый стрелок попал в мишень, тогда Р(A)=0,6; Событие В – второй стрелок попал в мишень, тогда Р(В)=0,7; Событие С – третий стрелок попал в мишень, тогда Р(С)=0,93.

В данной задаче все события являются независимыми, так как стреляют, независимо друг от друга.

а) Пусть событие S – хотя бы один из стрелков попадет в мишень. Вспомним определение суммы событий: событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В. Данное определение можно применить и к большему числу событий. Следовательно событие S=А+В+С. То есть нам нужно найти Р(А+В+С). А так как все события независимые то, применяя формулу суммы и произведения независимых событий, получаем:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)=0,99.

б) Пусть событие S – только один из стрелков попадет в мишень. Данное событие можно представить как сумму следующих событий: . Рассмотрим подробно событие , но для начала вспомним определение произведения событий: событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B. Итак, событие означает, что первый игрок попадет, а два других промажут, аналогично рассматриваются два других слагаемых. Данные слагаемые является несовместным, так как появление одного из них исключает появление двух других. Значит можно применить формулу суммы несовместных событий, а затем формулу произведения независимых событий:

Р()=Р()+Р()+Р()=

= Р(А)Р()Р()+Р()Р(В)Р()+Р()Р()Р(С)

Однако такую вероятность можно вычислить легче. Вспомним, как вычисляется вероятность противоположного события: Р(Ā)=1–Р(А). Применив данную формулу, вычислим вероятность и в итоге получим, что

Р() = 0,1438.

в) Составим отрицание к событию, рассматриваемому в пункте а). Если событие S – хотя бы один из стрелков попадет в мишень, то тогда – ни один из стрелков не попадет в мишень. Следовательно для решении данной задачи требуется найти Р(). Вычислим при помощи формулы противоположного события: Р()=1 – Р()=1 – 0,99 = 0,01.

Возникает вопрос, как вычислять вероятность зависимого события. То есть вероятность события, при условии, что другое событие уже произошло. Для этого ввели понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события А, при условии, что уже произошло событие В, называется отношение вероятностей P(АВ) к Р(А) и обозначается : .

Из этой формулы можно вывести формулу вероятности произведения двух зависимых событий: .

Решим следующую задачу.

Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)?

Решение. Событию В соответствует выпадение чисел 2, 4, 6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию АВ – 4, 6. Поэтому, используя формулу условной вероятности, получим: .

Пусть некоторое событие А может наступить при условии появлении одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn.Причем известны вероятности этих событий и известны условные вероятности , , …, . Как можно найти вероятность события А?

Ответ на этот вопрос дает теорема:

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на собственную условную вероятность:.

Эту формулу также называют формулой полной вероятности.

Данную формулу можно применить для решения следующей задачи.

Для контроля продукции лыжной фабрики из трех партий лыж взята на проверку одна деталь. Какова вероятность выявления бракованной продукции, если в одной партии 2/3 лыж бракованные, а в двух других все доброкачественные?

Решение. Пусть событие В – взятая деталь бракованная, Ак – деталь берется из к-ой партии, тогда вероятность Р(Ак)=1/3, где к =1; 2; 3.

Пусть в первой партии находятся бракованные лыжи, значит , тогда в двух других партиях нет бракованных лыж, то есть: .

Применяя формулу полной вероятности получим:

.

Для введения формулы Бейеса составим задачу. Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2, …, Вn, которые образуют полную группу. Так, как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились вероятности гипотез, в связи с тем, что событие А уже наступило. Другими словами определим следующие условные вероятности: , , …, .

Определить данные вероятности можно при помощи формулы Бейеса:

.

Заменив , получим: .

Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы) в течении времени t первого узла равна p1, второго р2. Прибор испытывался в течении времени t, в результате чего обнаружено, что он отказал. Найдите вероятность того, что отказал первый узел, а второй исправен.

Решение. Пусть событие В – прибор отказал, событие А1 – оба узла исправны, А2 – первый узел отказал, а второй испарвен, А3 – первый узел исправен, а второй узел отказал, А4 – оба узла отказали. Эти события образуют полную группу событий. Найдем их вероятности: Р(А1)=р1 р2; Р(А2)=(1-р1)р2; Р(А3)=р1(1-р2);Р(А4)=(1-р1)(1-р2). Так как наблюдалось событие В, то , . Применяя формулу Бейеса получим:

.

Изучение случайных величин требует связи этих величин с определенными событиями, которые заключаются в попадании случайной величины в некоторый интервал и для которых определены вероятности. Другими словами необходимо связать случайную величину с полем данного испытания.

Для лучшего понимания, учителю следует привести пример.

При бросании кости могли появиться цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, так как это зависит от многих случайных величин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; и числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – есть возможные значения этой величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Будем обозначать случайные величины прописными (заглавными) буквами: X, Y, Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z. Если величина Х имеет три значения то они будут обозначены так: х1, х2, х3 .

Обычно рассматриваются два типа случайных величин: дискретные и непрерывные. Рассмотрим следующий пример.

Число мальчиков пошедших в секцию бальных танцев среди 100 пришедших туда людей есть случайная величина, которая может принимать следующие значения 0, 1, 2, …, 100. Эти значения отделены друг от друга промежутками, в которых нет возможных значений Х.

Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные изолированные значения. Приведем второй пример.

Расстояние, которое пролетит диск при метании, есть величина случайная. Действительно величина зависит от многих факторов, например от ветра, температуры и других факторов, которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а; b).

В данном примере случайная величина может принять любое из значений промежутка (а; b). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о том, что целесообразно будет различать случайные величины, принимающие лишь отдельные изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток. Далее следует дать четкое определение дискретной и непрерывной случайной величины.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Примерами непрерывных случайных величин могут быть спортивный результат в беге или прыжках, рост и масса тела человека, сила мышц и другие.

Для задания дискретной случайной величины не достаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, в виде формулы и графически.

При табличном задании первая строка содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

Х	х1	х2	…	хn
p	p1	p2	…	p2

Сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице: .Если множество возможных значений Х бесконечно, то ряд сходится и его сумма равна единице.

Для закрепления следует решить задачу.

В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 р. и десять выигрышей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения Х: х1=50; х2=1; х3=0. Вероятности этих возможных значений равны: р1=0,01; р2= 0,1; р3=1-(0,01+0,1)=0,89.

Напишем исходный закон распределения:

Х	50	10	0
p	0,01	0,1	0,89

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (хi; pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. Также следует привести пример построения такого многоугольника.

Как мы ранее сказали, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен, и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Также для решения многих задач не нужно знать распределения случайной величины, а достаточно знать лишь некоторые обобщающие числовые характеристики этого распределения.

Одной из таких характеристик является математическое ожидание. Для более наглядного определения рассмотрим подход к этому понятию на конкретном примере.

Пусть имеется дискретная случайная величина Х, которая может принимать значения x1, x2, …, xn. Вероятности которых соответственно равны р1, р2, …, рn. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством: .

После определения математического ожидания ученикам может быть непонятно, где оно может пригодиться. На самом деле математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Для введения дисперсии можно привести следующий пример. На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайно величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Именно такие задачи решает дисперсия.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия обозначается, как D(x): D(Х)=M[X-М(Х)]2.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой: дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания

D(Х)=M(X)2-[М(Х)]2.

Для оценки рассеяния всевозможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и другие величины.

Средним квадратичным отклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии .

Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Х	1	2	5
p	0,3	0,5	0,2

Решение. Найдем математическое ожидание: .

Найдем всевозможные значения квадрата отклонения: , , .

Напишем закон квадрата отклонения:

[Х-М(Х)]2	1,69	0,09	7,29
p	0,3	0,5	0,2

По определению .

Используя формулу D(Х)=M(X)2-[М(Х)]2 можно найти дисперсию гораздо быстрее: .

Далее следует продолжить изучать статистику. Математическая статистика – это раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей [21]. Необходимо основательно остановиться на изучении статистических характеристик и их практического применения. Рассмотреть понятия, составляющие суть выборочного метода в статистике (выборка, варианта и пр.). Также следует рассмотреть способы их графического представления.

В практике статистических наблюдений различают два вида наблюдений:

сплошное (изучаются все объекты);

выборочное (не сплошное, когда изучается часть объектов).

Примером сплошного наблюдения является перепись населения, охватывающее все население страны. Выборочными наблюдениями является, например, проводимые социологические исследования, охватывающие часть населения страны, области, района и т.д.

Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностью. Часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Числа объектов в генеральной или выборочной совокупности называют их объемами. Генеральная совокупность может иметь конечный и бесконечный объем.

Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о ее свойствах в целом. Обычно ограничиваются 5-10% всей изучаемой совокупности.

Так как в дальнейшем мы будем рассматривать выборочный метод, поэтому целесообразно выделить преимущества выборочного метода:

экономия затраты ресурсов;

единственно возможный в случае бесконечной генеральной совокупности или в случае, когда исследовании связано с уничтожением наблюдаемых объектов (например, исследование долговечности электрических лампочек и т.д.);

возможность углубленного исследования за счет расширения программы исследования при тех же затратах;

снижение ошибок регистрации;

неизбежные ошибки, возникающие в связи с изучением части объектов, могут быть заранее оценены и посредством правильной организации выборки сведены к незначимым величинам.

Между тем, использование сплошного наблюдения часто приводит к снижению точности наблюдения, а это у же вызывает неустранимые ошибки, и может привести к снижению точности сплошного наблюдения по сравнению с выборочным. Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно. На практике отбор может выполняться с помощью жеребьевки (лотереи) или с помощью случайных чисел.

Основной недостаток выборочного метода – ошибки исследования, называемые ошибками репрезентативности.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит генеральную совокупность. Виды выборок:

случайная выборка (случайный выбор элементов без расчленения на части или группы);

механическая выборка (элементы отбираются через определенный интервал);

типическая выборка (выбор случайным образом элементов из типических групп, на которые по некоторому признаку разбивается генеральная совокупность);

серийная выборка (случайным образом отбираются целые группы совокупности, а сами серии подвергаются сплошному наблюдению).

Способы образования выборки:

повторный выбор – каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран.

бесповторный отбор – когда обратный элемент не возвращается в общую совокупность.

Затем учащимся можно дать таблицу с основными характеристиками генеральной совокупности и выборки.

Наименование характеристики	Генеральная совокупность	Выборка
Математическое ожидание
Дисперсия
Доля

Здесь хi – значение признака; N и n – объемы генеральной и выборочной совокупностей; Ni и ni – число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением признака хi; M и m – число элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком.

На несложном примере покажем, как вычисляются введенные характеристики.

Генеральная совокупность задана таблицей распределения:

Xi	2	4	5	6
Ni	8	9	10	3

Найти дисперсию.

Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

Далее введем понятие вариационного ряда. Для начала рассмотрим пример.

Необходимо изучить изменение результатов спортсменов, занимающихся легкой атлетикой, по сравнению с предыдущим годом. Получены следующие данные результатов в процентах к предыдущему году: 97,8; 97,10; 101,17;…;142,3;141,02.(всего 100 значений.).

Различные значения признака (случайной величины Х) называется вариантами (обозначаем их через х).

Первый шаг к осмыслению – упорядочивание. Расположение вариантов в порядке возрастания (убывания), т.е. ранжирование вариантов ряда.

Следующим шагом произведем группировку, то есть разобьем на отдельные интервалы. Число интервалов не следует брать большим. Числа показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами (ni), а отношение их к общему числу наблюдений частостями . Частоты и частости называют весами.

Составим таблицу.

Д	Результаты в процентах к предыдущему году х	Частота (количество спортсменов) ni	Частость (доля рабочих)	Накопленная частота niнак	Накопленная частость
1	94,0-100	3	0,03	3	0,03
2	100,0-106,0	7	0,07	10	0,10
3	106,0-112,0	11	0,11	21	0,21
…	…	…	…	…	…
8	136,0-142,0	2	0,02	100	1,00
		100	1,00

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями). Накопленная частота niнак показывает, сколько наблюдалось вариантов со значениями признака меньших х. Накопленная частость – отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений: .

Теперь полученный вариационный ряд позволяет выявить закономерности.

Для задания вариационного ряда достаточно указать варианты и соответствующие им частоты или частости.

Аналогично с определением дискретной и непрерывной случайной величины, мы даем определение дискретного и непрерывного вариационного ряда.

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину. Вариационный ряд называется непрерывным, если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.

В примере мы привели непрерывный ряд.

Для графического изображения вариационного ряда используются:

полигон – служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков имеют (хi, ni);

гистограмма служит для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака к=х2-х1. И высоты равные частотам. Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения;

кумулятивная прямая (кумулята) – кривая накопленных частот. Для дискретных рядов кумулята представляет ломаную, соединяющую точки (хi, niнак ) или (хi, wiнак). Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса, которой равна началу первого интервала, а ордината – накопленной частоте, равной нулю. Другие точки соответствуют концам интервалов.

Теперь переходим еще к одной важной теме – проверка статистических гипотез. Сформулируем принцип практической уверенности. Если вероятность события А в данном испытании очень мала, то при однократном выполнении испытания можно быть уверенным в том, что событие А не произойдет, и в практической деятельности вести себя так, как будто событие А вообще невозможно.

Отправляясь самолетом в другой город, мы не рассчитываем на возможность погибнуть в авиа катастрофе, хотя вероятность такого события имеется.

При многократном повторении испытаний мы не можем считать маловероятное событие А практически невозможным.

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой и обозначают Н0. Также рассматривают альтернативную (конкурирующую гипотезу) Н1, являющуюся отрицанием Н0.

Суть проверки статистической гипотезы состоит в вычислении статистики данной выборки. Затем по выборочному распределению определятся критическое значение. Если статистика больше критического значения, то событие можно считать практически невозможным.

Сравнение двух совокупностей имеет важное практическое значение. На практике часто встречается случай, когда средний результат одной серии эксперимента отличается от среднего результата другой серии.

В промышленности данная задача возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или при различных технологических режимах.

Рассмотрим, как проверятся гипотеза.

Пусть имеются две совокупности, характеризуемые генеральными средними х и у. И дисперсиями. Для которых найдены средние арифметические и выборочные дисперсии. Необходимо проверить гипотезу Н0 о равенстве генеральных средних. Тогда статистика находится по следующей формуле:

Если t>tкр то гипотеза Н0 отвергается. Если нет, то делается вывод, что нулевая гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.

Еще одной важной темой для формирования профессионально значимых навыков у учащихся является корреляционный анализ.

Корреляционной зависимостью между двумя переменными величинами называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Корреляционная зависимость может быть представлена в виде .

Это уравнение называют уравнением регрессии, а их графики линиями регрессии. Для отыскания уравнений регрессий необходимо знать закон распределения двумерной случайной величины.

Данные о статистической зависимости удобно задавать в виде корреляционной таблицы.

Вес (кг) (Х)	Середины интервалов	Рост (см) (у)
		155-160	160-165	165-170	170-175	Всего (ni)	Групповая Средняя
	Хi yj	157,5	162,5	167,5	172,5
40-45	42,5	2	1		7	10	168,5
45-50	47,5	3	6	4	6	19	165,9
50-55	52,5		3	11	1	15	166,8
60-65	62,5	2	1	2		5	162,5
70-75	72,5				1	1	172,5
Всего nj		7	11	17	15	50
Групповая средняя		50,4	49,8	52,5	47,2

Вычисленные групповые средние изобразим графически в виде ломанной, называемой эмпирической линией регрессии.

По виду ломанной можно предположить наличие линейной функциональной зависимости между случайными величинами Х и Y, то есть имеется функция y=kx+b, где .

Здесь выборочная ковариация и равна .

Вычислим для данной таблицы основные характеристики и найдем уравнение линии регрессии.

,

,

,

, k = – 46,09, b = 2471,02.

Тогда уравнение линии регрессии запишется как: y = – 46,09 х + 2471,02.

Если построить линию регрессии можно будет спрогнозировать какие-либо результаты исследований, на какой-то период времени вперед. Другая важная область применения регрессионного анализа в спортивных исследованиях также связана с прогнозированием. Очень часто предметом исследования является такой признак, который измерить затруднительно или невозможно, но в то же время известно, что изучаемый признак связан с другими признаками. Тогда пытаются подобрать модель предполагаемой зависимости по этой модели спрогнозировать значения неизмеряемого зависимого признака. Прогнозируемые таким образом значения называют предикторами. Спортивное прогнозирование – одна из важных областей применения регрессионного анализа в спортивных исследованиях.

На закрепления изученной темы учащимся можно дать следующие задачи для решения.

В ходе исследования результатов забега на 100 метров юношами одиннадцатых классов двух групп – экспериментальной и контрольной – были получены данные, представленные в таблице.

Время (секунды)	12,3-13,9	13,9-15,5	15,5-17,1	17,1-17,7
Число юношей экспериментальной группы	3	20	20	2
Число юношей контрольной группы	1	8	18	3

Изобразить данные графически, построив гистограммы для каждой группы.

Для каждой группы определить среднее значение, дисперсию, моду и медиану.

Проверить гипотезу о равенстве средних двух групп учащихся, используя критерий Стьюдента и полагая критическое значение статистики 1,67.

2.5. Содержание и анализ результатов опытной работы

Опытная работа, проведенная нами, заключалась в применении данных методических рекомендаций при обучении спортсменов теории вероятностей и математической статистике.

Цель опытной работы: на основе использования разработанных методических материалов сделать вывод об эффективности их использования.

В связи с отсутствием в городе школ со специализированными классами опытно-экспериментальной базой стал первый курс специальности АФК факультета физической культуры ВятГГУ.

Основные трудности при проведении опытной работы:

не высокий уровень знаний студентов в области математики;

низкая заинтересованность студентов при изучении данного предмета.

Было проведено 8 часов лекционных занятий:

№	Тема лекционного занятия	Содержание занятия
1	Основы теории вероятности	Основные определения. Классическое и статистическое определение вероятности. Вычисление вероятности.
2	Правила вычисления вероятностей	Основные правила вычисления вероятности. Формула полной вероятности, формула Бейеса.
3	Случайные величины	Определение и примеры случайных величин, закон распределения случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия.
4	Статистика. Общие сведения	Основные понятия. Вариационные ряды.
5	Дискретные и непрерывные ряды	Графическое изображение вариационного ряда, дискретные и непрерывные ряды.
6	Проверка статистических гипотез. Корреляционный анализ.	Основные определения. Примеры.
7-8	Контрольная работа

Параллельно с этим были проведены 16 часов практических занятий. В результате учащиеся изучили следующие темы.

№	Тема занятия	Содержание занятия
1-2	Комбинаторика.	Основные теоремы, применение их на практике.
3	Нахождение вероятности.	Решение задач на нахождение вероятности, используя основные формулы комбинаторики.
4-5	Нахождение вероятности, использующие основные правила.	Вычисление вероятности сложных событий, условная вероятность. Вероятность нахождения хотя бы одного события
6-7	Формула полной вероятности и формула Бейеса.	Вычисление вероятностей, используя данные формулы.
8	Случайные величины.	Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной величины и его изображение.
9-10	Характеристики случайной величины	Вычисление основных характеристик дискретной случайной величины.
11-14	Корреляционный анализ.	Корреляционная таблица, вычисление основных характеристик закона распределения двумерной случайной величины. Эмпирические линии регрессии и нахождение уравнения регрессии.
15-16	Подготовка к контрольной работе

Подробное содержание занятий можно найти в Приложении 1 к настоящей работе. Опытное преподавание проводилось в двух группах студентов. Лекционные занятия проводились для групп совместно, а практические занятия для каждой группы в отдельности. Это позволило получить более объективные результаты исследования. В начале каждого практического занятия проводился контроль по усвоению знаний, полученных на предыдущих занятиях. Данный контроль показал, что материал, который предлагался для изучения доступен для учащихся и практически не вызывает никаких трудностей. В конце изучения всего курса была проведена контрольная работа, по всем изученным темам, с которой все успешно справились. Все результаты, полученные в ходе проверки самостоятельных работ и итоговой контрольной работы, представлены в виде диаграмм (Приложение 2). На основании полученных результатов опытного преподавания можно считать, что в целом разработанные методические рекомендации способствуют достижению поставленной ели и подтверждают гипотезу исследования.

Заключение

Выпускная квалификационная работа посвящена проблемам методики обучения основам теории вероятностей и математической статистики в рамках элективного курса для профильной школы, в частности для оборонно-спортивного профиля.

В первой главе мы рассмотрели, что такое профильная школа, для чего она нужна. Также было рассмотрено значение элективных курсов в современной школе, его отличие от факультативов.

Во второй главе была рассмотрена методика преподавания теории вероятностей и математической статистики для спортсменов на основе анализа различной учебной литературы. Также был разработан элективный курс по данной теме и описано опытное преподавание данного курса.

Таким образом, цели работы были достигнуты.

На наш взгляд, разработанный элективный курс по теории вероятности и математической статистики поможет качественно усвоить школьнику этот материал, а главное, – осознанно применять полученные знание в своей практической деятельности.

Библиографический список

Афанасьев, В.В. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей [Текст]: для учащихся 8-11 классов / В.В. Афанасьев, М.А. Суворова. – Ярославль: Академия развития, 2006. – 192 с.

Баранников, А.В. Элективные курсы в профильном обучении [Текст]: информационное письмо об элективных курсах в системе профильного обучения на старшей ступени общего образования / А.В. Баранников. – 2003. – 3 с.

Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – М.: Высшая школа, 2002. – 445 с.

Виленкин, Н.Я. Комбинаторика [Текст]/ Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. – М.: МЦНМО, 2006. – 400 с.

Виленкин, Н.Я. Популярная комбинаторика [Текст] / Н.Я. Виленкин. – М.: Наука, 1975. – 208 с.

Глеман, М. Вероятность в играх и развлечениях Элементы теории вероятностей в курсе сред. школы [Текст]: пособие для учителя/ М. Глеман, Т. Варга. – М.: Просвещение, 1979. – 176 с.

Гмурман, В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистики [Текст] / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1999. – 400 с.

Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2000. – 479 с.

Днепров, Э.Д. Сборник нормативных документов. Математика [Текст] / Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. – М.: Дрофа, 2004. – 79 с.

Иванов, В.С. Основы математической статистики [Текст]: учебное пособие для институтов физической культуры / В. С. Иванов. – М.: Физкультура и спорт, 1900. – 176 с.

Караулова, Л.В. Математические задачи, как средство формирования профессионально значимых умений студента [Текст]: дисс. на соискание степени канд. пед. наук / Л.В. Караулова. – Киров, 2004. – 184 с.

Крутихина, М. В. Элективные курсы по математике [Текст]: учебно-методические рекомендации / М. В. Крутихина, З. В. Шилова. – Киров: ВятГГУ, 2006. – 40 с.

Маркова, В.И. Деятельностный подход в обучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения [Текст] / В.И. Маркова. – Киров: КИПК и ПРО, 2006. – 200с.

Маркова, В.И. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в курсе математики основной школы [Текст]: методическое пособие / В.И. Маркова. – Киров: Изд-во Кировского ИУУ, 2004. – 58 с.

Масальгин, Н. А. Математико-статистические методы в спорте [Текст] / Н. А. Масальгин. – М.: Физкультура и спорт, 1974. – 151 с.

Матальский, М.А. Теория вероятностей в примерах и задачах [Текст]: учебное пособие / М.А. Матальский, Т.В. Романюк. – Гордно: ГрГУ – 2002. – 248 с.

Мордкович, А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных [Текст]: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9кл. общеобразовательных учреждений /А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2003. – 46 с.

Мостеллер, Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями [Текст] / Ф. Мостеллер. – М.: Наука, 1975. – 112 с.

Наше образование – Элективные курсы и культура выбора [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.gluki-obrnauki.ru/Cult.html.

Паршиков, А.Т. Спортивная школа как социально-педагогическая система: социальное проектирование [Текст] / А.Т. Паршиков. – М.: Советский спорт, 2003. – 352 с.

Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике [Текст] / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2005. – 256 с.

Проект "Профильная школа" России [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.rkodm.chita.ru/experiment/profil-proekt.htm.

Солодовников, А.С. Теория вероятностей [Текст] / А.С. Солодовников. – М.: Просвещение, 1978. – 192 с.

Тюрин, Ю.Н. Теория вероятностей и статистика [Текст] / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2008. – 256 с.

Фадеев, Д.К. Элементы высшей математики для школьников [Текст] / Д.К. Фадеев. – М.: Наука, 1987. – 335 с.

Шибасов, Л.П. За страницами учебника математики. Мат. анализ. Теория вероятностей. Старин. и занимат. задачи [Текст]: кн. для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 1997. – 269 с.

Шихова, А.П. Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе [Текст] / А.П. Шихова. – Киров: Вятка, 1994. – 62 с.

Приложение 1

Программа элективного курса по математике

«Основы теории вероятностей и математической статистики»

Пояснительная записка

Элективный курс «Основы теории вероятностей и математической статистики» разработан для обеспечения старшеклассников занятиями по выбору из вариативного компонента базисного учебного плана в старшей профильной школе. Предлагаемый элективный курс позволяет осуществлять задачи профильной подготовки старшеклассников, обучающихся в классах оборонно-спортивного профиля.

Курс позволяет выпускнику средней школы приобрести необходимый и достаточный набор умений в области теории вероятностей и статистики.

Цель – формирование новых знаний у учащихся в области комбинаторики, теории вероятности и статистики, формирование у школьников компетенций, направленных на выработку навыков самостоятельной и групповой исследовательской деятельности.

Задачи:

научиться решать основные комбинаторные задачи;

научиться применять полученные знания в области комбинаторики к решению различных задач теории вероятности.

научиться решать простейшие задачи корреляционного анализа.

интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе. Развитие мыслительных способностей учащихся: умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать.

воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности, развитие у учащихся самостоятельности и способности к самоорганизации.

Требования к уровню освоения содержания курса. В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

имеют представление о математике как форме описания и методе познания действительности;

умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;

умеют самостоятельно работать с математической литературой;

знают основные правила комбинаторики;

знают основные понятия теории вероятности и статистики;

умеют решать задачи по теории вероятности и статистики, применяя формулы комбинаторики;

умеют представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях;

умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

Содержание и требования курса

Тема 1. Комбинаторика.

Основные формулы комбинаторики: о перемножении шансов, о выборе с учетом порядка, перестановки с повторениями, размещения с повторениями, выбор без учета порядка. Правило суммы, правило произведения.

Учащиеся должны знать: что такое факториал числа, его основные свойства; как записываются формулы комбинаторики, и понимать их.

Учащиеся должны уметь: рационально решать комбинаторные задачи, применяя формулы.

Тема 2. Вероятность.

Основные понятия теории вероятности. Операции над событиями. Классический, статистический подход к определению вероятности. Основные правила вычисления вероятностей. Формула полной вероятности, Бейеса.

Учащиеся должны знать: что такое событие, зависимые (независимые) события, совместные (не совместные) события; определения суммы, произведения событий и противоположного события; в чем отличия между статистическим и классическим подходом к определению вероятности событий; определение условной вероятности, как вычислять произведение (сложение) независимых или зависимых (совместных или несовместных) событий; запись формулы полной вероятности и формулы Бейеса.

Учащиеся должны уметь: рационально решать задачи, применяя формулы комбинаторики и основные правила вычисления вероятностей.

Тема 3. Случайные величины.

Понятие дискретной и непрерывной случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Вычисление математического ожидания и дисперсии.

Учащиеся должны знать: что такое случайная величина; определения дискретной и непрерывной случайной величины, уметь различать их; что такое закон распределения случайной величины; определения математического ожидания и дисперсии, понимать их практический смысл.

Учащиеся должны уметь: вычислять математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины.

Тема 4. Статистика.

Общие сведения. Вариационные ряды и их графические представления. Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез.

Учащиеся должны знать: основные определения статистики; как вычислять дисперсию и математическое ожидание для генеральной совокупности и выборки; определение статистической гипотезы и основы корреляционного анализа.

Учащиеся должны уметь: изображать вариационные ряды; находить эмпирические линии регрессии и уравнение линии регрессии.

Календарно-тематический план курса

№	Тема	тип
1	Случайные события, операции над событиями, вероятность событий.	Лекция
2	Комбинаторика. Основные теоремы. Применение их на практике	Практика
3	Комбинаторика. Основные теоремы. Применение их на практике.	Практика
4	Решение задач, использующие классическое определение вероятности	Практика
5	Основные правила вычисления вероятностей, формула полной вероятности, формула Бейеса.	Лекция
6	Задачи, использующие теорему сложения и умножения вероятностей. Вероятность нахождения хотя бы одного события.	Практика
7	Задачи, использующие теорему сложения и умножения вероятностей. Вероятность нахождения хотя бы одного события.	Практика
8	Основные правила вычисления вероятностей, формула полной вероятности, формула Бейеса.	Практика
9	Случайные величины, дискретные и непрерывные случайные величины.	Лекция
10	Закон распределения случайной величины, построение полигона частот	Практика
11	Математическое ожидание и дисперсия	Лекция
12	Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин	практика
13	Статистика. Общие сведения	Лекция
14	Вариационные ряды и их графическое изображение	Лекция
15	Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез.	Лекция
16	Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез.	Лекция
17	Корреляционный анализ.	Лекция
18	Корреляционный анализ.	Лекция
19	Корреляционный анализ.	Практика
20	Корреляционный анализ.	Практика
21	Подготовка к контрольной работе	Практика
22	Подготовка к контрольной работе	Практика
23	Контрольная работа	Практика
24	Контрольная работа	Практика

Занятие 1

В нашей жизни часто приходится иметь дело со случайными явлениями, то есть ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть, например мы не можем точно сказать при подбрасывании монеты упадет она вверх гербом или цифрой. Аналогично не можем точно сказать, сколько очков выбьет стрелок на соревнованиях. Говоря о случайных событиях в нашем сознании возникает представление о вероятности явления.

Под испытанием в теории вероятностей принято принимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного набора условий, который каждый раз должен выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое испытание производиться при другом наборе условии, то считается, что это уже другое испытание.

Пример: бросаем кубик – это испытание. Бросаем два кубика – другое испытание.

Результатом испытания является событие.

Событие бывает:

достоверное (всегда происходит в результате испытания);

невозможное (никогда не происходит);

случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).

Например:

выпадет восемь очков (невозможное);

выпадет не более 6 очков (достоверное);

выпадет число три (случайное).

Когда мы говорим о соблюдении набора условий данного испытания, мы имеем в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом может быть большое количество неконтролируемых факторов (например, погода, ветер и т.д.), которые трудно или невозможно учесть. Следовательно, значение неконтролируемых факторов могут быть различными при каждом повторении испытания, поэтому результаты испытания оказываются случайными. Событие может произойти или не произойти.

Теория вероятностей рассматривает именно такие события, при этом предполагается, что испытание может быть повторено любое количество раз.

Например, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо – событие. Другой пример события – это выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости.

В теории вероятности события обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C, D…

Определение: События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.

События А и В называются совместными, если они могут произойти в результате одного испытания.

Пример: испытание – один раз подбрасываем монету. События: а) выпадет орел; б) выпадет решка.

События А и В не совместны так как при подбрасывании одной монеты одновременно не выпадет орел и решка.

Определение: Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Пример: Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. Тогда события A, B, C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A и B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A и C (а также B и C) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что p(AC) = 1/4 = p(A)p(C), значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье. На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Операции над событиями

1.Сумма

Событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В.

Пример: Бросается кубик событие А – выпадет число 2. Событие В – выпадет нечетное число. Тогда событие С=А+В. Будет состоять в выпадении двойки или нечетного числа

2. Произведение

Событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B.

Пример: С=А∙В (А- выпадет 3, В – выпадет нечетное число). Тогда С состоит в выпадении только числа 3, так как 3 является нечетным числом.

3.Противоположное

Событие называется противоположным событию A, называется событие, состоящее в непоявлении события А. Обозначается противоположное событие символом .

Пример: Противоположными событиями являются промах и попадание при выстреле, или выпадении герба или цифры при одном подбрасывании монеты.

Вероятность событий

а)статистический подход.

Рассмотрим некоторое количество испытаний, в результате которых появилось событие А. Пусть было произведено n испытаний, в результате которых событие А появилось ровно m раз. Тогда отношение - называют относительной частотой.

Также при большом количестве повторений испытания частость событий мало изменяется и стабилизируется около определенного значения, а при небольшом количестве повторений она может принимать различные значения. Каждое такое значение в конкретном случае принято называть вероятностью события А и обозначают Р(А).

Так как n всегда больше либо равно N, то вероятность заключена в интервале: .

Примером может служить выпадение герба или цифры при бросании монеты, которое является простым и наглядным испытанием. Практика человека говорит о том, что при большом числе бросаний примерно в 50% испытаний выпадет герб, а в 50% – цифра. А это уже определенная закономерность. Здесь нас интересует не результат отдельного подбрасывания, а то, что получится после многократных подбрасываний.

б)классическое определение.

В некоторых случая вероятности событий могут быть легко определены исходя из условий испытаний. Пусть испытание имеет n возможных исходов, то есть событий, которые могут появиться в результате данного испытания. При каждом повторении возможно появление только одного из данных исходов (то есть все n исходов несовместны). Кроме того, по условиям испытания нельзя сказать какие исходы появляются чаще других, то есть все исходы являются равновозможными. Допустим теперь что при n равновозможных исходах интерес представляет событие А, которое появляется только при m исходах и не появляется при остальных n-m исходах. И принято говорить, что в данном испытании имеется n случаев, из которых m благоприятствуют появлению события А. В таком случае вероятность можно вычислить, как отношение числа случаев благоприятствующих появлению события А (т.е. m), к общему числу всех исходов n: .

Пример 1. Из колоды с 36 перемешанными картами наудачу извлекается одна карта. Извлечение каждой карты из 36 является равновозможным событием. Поэтому вероятность извлечения "короля" составляет 4/36 = 1/9, карты выбранной масти – 9/36 = 1/4, карты выбранного цвета – 18/36 = 1/2.

Пример 2. Бросают две игральные кости. Требуется найти вероятность того, что сумма очков делится на 5. Возможные суммы очков, делящиеся на 5, равны 5 и 10. Событию "сумма очков равна 5" благоприятствуют события (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1), а событию "сумма очков равна 10" – события (4; 6), (5; 5), (6; 4). Таким образом, число благоприятствующих исходов равно 7, общее число равновозможных исходов – 6 " 6 = 36, поэтому вероятность события "сумма очков делится на 5" будет 7/36.

Пример 3. Вероятность извлечения белого шара (событие Б) из урны, содержащей три черных и четыре белых шара: p(Б) = 4/7.

Занятие 2

В 9 классе 10 учебных предметов. Сколькими способами можно поставить в среду первый и второй уроки?

Для составления двух команд из 40 человек надо выбрать капитанов команд. Каким числом способов это можно сделать?

На три призовых места претендуют Вася, Дима и Коля. Каким числом способов могут распределиться призовые места?

Сколько существует трехзначных чисел, оканчивающихся тройкой?

В партии 10 лотерейных билетов выигрышными являются 5. Приобретено 3 билета. В скольких случаях среди них есть хотя бы один выигрышный?

Четыре футболиста, четыре хоккеиста и два баскетболиста хотят сфотографироваться, стоя в один ряд, но так чтобы представители одного вида спорта стояли рядом. Каким числом способов они могут сделать это?

В некотором царстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Каково максимальное количество жителей этого государства?

В урне лежат 10 жетонов с числами 1, 2, 3, 4, …, 10. Из нее вынимают три жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел равна 9? Не меньше 9.

Занятие 3

Сколькими способами можно разложить в два кармана пять купюр достоинством в 10, 50, 100, 500 и 1000 рублей?

Из десяти волейбольных мячей, обозначенных цифрами от 1 до 10, нужно выбрать пять мячей так, чтобы среди выбранных был элемент мяч с номером 5. Сколькими способами это можно сделать?

Сколько можно составить пятибуквенных слов из 7 гласных и 25 согласных букв, если гласные и согласные должны чередоваться?

Сколькими способами можно разбить 20 футболистов на две команды так, чтобы одна содержала 3 человека, а другая 15 ?

Во скольких девятизначных числах все цифры различны?

Сколько различных пятизначных чисел можно записать из цифр числа 273485961 так, чтобы четные и нечетные цифры в числе чередовались?

Двадцать различных книг отдано двум продавцам. Сколькими способами они могут распределить, если все книги могут быть отданы одному продавцу?

Занятие 4

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна 8, а разность четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырем?

В ящике имеется 10 одинаковых деталей, помеченные номерами 1, 2, …, 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: а) деталь №1; б) детали №1 и №2.

Какова вероятность того, что из шести отмеченных чисел в карточке «Спортлото» (игра из 49) k чисел будут выигрышными.

Известно, что среди 40 участников имеются 10 мастеров спорта. Среди всех участников случайным образом выбрали первую пятерку, найдите вероятность, что в этой пятерке присутствуют ровно 2 мастера спорта.

На карточках написаны буквы: А, З, И, К, Л, Т, У, У, Ф, Ь. Вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают в том порядке в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово ФИЗКУЛЬТУРА.

Во всероссийском дне бега каждому участнику присваивался определенный четырехзначный номер. И была проведена акция всем тем у кого на номере встречаются два раза цифра 7 получают в подарок кружку. Определите сколько кружек должен приготовить спорткомитет.

Занятие 5

Приведем основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события, состоящего из более простых событий, вероятность которых нам известна.

1.Вероятность достоверного события равна единице: P(E)=1.

2. Вероятность невозможного события равна 0: P(Ш)=0.

3. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Пример: Преступник имеет 3 ключа. В темноте он открывает дверь, выбирая ключ случайным образом. На открытие каждой из дверей он тратит 5 секунд. Найти вероятность того, что он откроет все двери за 15 секунд.

Решение. Пусть событие А – “открыты все двери”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В – “открыта 1-я“, С – “ открыта 2-я“, а D – “ открыта 3-я“. Тогда, А=ВСD по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(ВСD). По теореме о вероятности произведения независимых событий Р(ВСD) = Р(В)Р(C)Р(D).

Определение. Условной вероятностью события А, при условии, что произошло событие В, называется отношение вероятностей P(АВ) к Р(В) и обозначается РА(В): .

Пример: Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)?

Решение. Событию В соответствует выпадение чисел 2,4,6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию АВ – 4, 6. Поэтому, используя формулу условной вероятности получим: .

4. Вероятность произведения зависимых событий равна:

P(AВ)=Р(А)РА(В).

Пример: Изменим задачу: считаем, что преступник – забывчивый человек. Пусть преступник открыв дверь, оставляет ключ в ней. Какова тогда вероятность, что он откроет все двери за 15 сек?

Решение. Событие А – “открыты все двери”. Опять, А=ВСD по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(ВСD). Но, теперь события В, C и D – зависимы. По теореме о вероятности произведения зависимых событий Р(ВСD) = Р(В)Р(C|B) Р(D|BC).

Вычислим вероятности : Р(В)=1/3, РВ(С)=1/2 (ключа осталось только два и один из них подходит!), РBC(D)=1/1 и, значит, Р(А)=1/6 .

5. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Р(А1+ А2+…+ Аn)=Р(А1)+ Р(А2)+…+ Р(Аn).

Пример: В урне 5 белых, 20 красных и 10 черных шаров, не отличающихся по размеру. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым или черным?

Решение. Пусть событие А – появление белого или черного шара. Разобьем это событие на более простые. Пусть В1 – появление белого шара, а В2 – черного. Тогда, А=В1+В2 по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В1+В2). Так как В1 и В2 – несовместные события, то по теореме о вероятности суммы несовместных событий Р(В1+В2) = Р(В1)+Р(В2).

6.Вероятность суммы произвольных событий равна сумме их вероятностей без вероятности произведения событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

В общем случае данная формулы выглядит так:

.

Пример: Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружен хотя бы один преступник?

Решение. Пусть событие А – “обнаружен хотя бы один преступник”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В1 – обнаружен первый преступник, а В2 – обнаружен второй преступник. Тогда, А=В1+В2 по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В1+В2). Так как В1и В2 – совместные события, то по теореме о вероятности суммы событий

Р(В1+В2) = Р(В1)+Р(В2)-Р(В1 В2) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75.

Занятие 6

Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число: б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны?

Монета брошена два раза найти вероятность, что хотя бы один раз появится герб.

В коробке имеется шесть одинаковых жетонов с различными номерами. По одному наудачу извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найдите вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

В волейбольной команде 6 мастеров спорта и 4 кандидата. Наудачу выбранным семи человекам дали премию. Найти вероятность того, что среди получивших премию окажутся три кандидата в мастера спорта?

В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

Два стрелка стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.

Домашнее задание

Монету бросают два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.

Какова вероятность того, что из шести отмеченных чисел в карточке «Спортлото» (игра из 49) k чисел будут выигрышными.

Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

Занятие 7

Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность, того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

Брошены три игральные кости. Найти вероятность следующих событий: а) на двух выпавших гранях появиться одно очко, а на третьей грани – другое число очков.

Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4 можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятности, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

В цехе работают 7 мужчин и три женщины. Наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменаторам три вопроса.

Домашнее задание

1. В ящике 10 деталей, среди которых шесть окрашенных. Сборщик наудачу извлекает четыре детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.

2. Вероятности того, что нужная деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятности того, что деталь содержится: а) не более чем в трех ящиках; б) не менее чем в двух ящиках.

Занятие 8

Определение. Совокупность событий А1, А2, …, Аn называется полной группой событий, если выполняются следующие условия:

а) она описывает все возможные исходы;

б) события попарно независимы и не совместны.

Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу. Нам также известны вероятности , , …, . Как можно найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий В1, В2,…, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на собственную условную вероятность:

.

Эту формулу также называют формулой полной вероятности.

Пример: В проведении операции по освобождению заложников участвуют 2 группы снайперов: 10 человек с винтовкой ОП21 и 20 человек с АКМ47. Вероятность поражения из ОП21 – 0,85, а АКМ47 – 0,65. Найти вероятность того, что при одном выстреле произвольного снайпера преступник будет поражен.

Решение. Пусть событие А – “преступник поражен”. Разобьем это событие на более простые. Преступник может быть поражен либо из ОП21, либо из АКМ47. Вероятность того, что произвольный снайпер вооружен ОП21 (событие Н1) равна 10/30. Вероятность того, что произвольный снайпер вооружен АКМ47 (событие Н2) равна 20/30.

Вероятность того, что преступник поражен равна:

Составим задачу: Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу. Так как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить как изменились вероятности гипотез, в связи с тем что событие А уже наступило. Другими словами определим следующие условные вероятности:

, , …, .

Определить данные вероятности можно при помощи формулы Бейеса:

,

Заменив получим:

.

Пример: На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на 1-м заводе, 460–на 2-м и 340 – на 3-м. Вероятность того, что подшипник окажется нестандартным, для 1-го завода равна 0,03, для 2-го – 0,02, для 3-го – 0,01. Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным. Какова вероятность того, что он изготовлен 1-м заводом?

Решение: Пусть A – событие, состоящее в том, что взятый Подшипник нестандартный, а – Н1, Н2, Н3, гипотезы, что он изготовлен соответственно 1-м, 2-м или 3-м заводом. Вероятности указанных гипотез составляют : P(H1)=200/1000=0.2, P(H2)=460/1000=0.46, P(H1)=340/1000=0.34.

Из условия задачи следует, что р1=РН1(А)=0,03; р2=РН2(А)=0,02; р3=РН3(А)=0,01.

Найдем вероятность того, что подшипник, оказавшийся нестандартным, изготовлен 1-м заводом. По формуле Бейеса имеем:

Занятие 9

Среди N экзаменационных билетов n «счастливых». Студенты подходят за билетами один за другим. У кого больше вероятность взять счастливый билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым? Какова вероятность взять «счастливый» билет у последнего студента?

Экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

Во время испытаний было установлено, что вероятность безотказной работы прибора при отсутствии повреждений равна 0,99, при перегреве – 0,95, при вибрации – 0,9, при вибрации и перегреве – 0,8. Найти вероятность P1 отказа этого прибора во время работы в жарких странах (вероятность перегрева – 0,2, вибрации – 0,1) и вероятность P2 отказа во время работы в передвигающейся лаборатории (вероятность перегрева – 0,1, вибрации – 0,3), если считать перегрев и вибрацию независимыми событиями.

По каналу связи передают символы A, B, C с вероятностями 0,4; 0,3; 0,3 соответственно. Вероятность искажения символа равна 0,4, и все искажения равновероятны. Для увеличения надежности каждый символ повторяют четыре раза. На выходе восприняли последовательность ВАСВ. Какова вероятность того, что передали АААА, ВВВВ, СССС?

На наблюдательной станции установлены 4 радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения целей с помощью первого локатора равна 0,86, второго 0,9, третьего 0,92, четвертого 0,95. Наблюдатель наугад включает один из локаторов. Какова вероятность обнаружения цели?

Вероятность того, что двое близнецов будут одного пола 0,64, а вероятность рождения в двойне первым мальчика 0,51. Найти вероятность того, что второй из близнецов будет мальчиком, при условии, что первый из них мальчик.

Домашнее задание

Некоторая деталь производиться на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в к раз превышает объем второго. Доля брака на первом заводе 0,3, на втором 0,2. Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь выпущена первым заводом?

Среди женщин – избирателей 70% поддерживают кандидата А, а среди мужчин 60%. Используя данные переписи, согласно которым доля женщин избирателей составляет 55%, оценить вероятность победы на выборах кандидата А.

Трое сотрудников фирмы выдают соответственно 30%, 50%, 20% всех изделий, производимой фирмой. У первого брак 2%, второго 5%, третьего 1%. Какова вероятность, что случайно выбранное изделие дефектно?

Занятие 10

Изучение случайных величин требует связи этих величин с определенными событиями, которые заключаются в попадании случайной величины в некоторый интервал и для которых определены вероятности. Другими словами необходимо связать случайную величину с полем данного испытания.

Для лучшего понимания рассмотрим пример. При бросании кости могли появиться цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, так как это зависит от многих случайных величин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; и числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – есть возможные значения этой величины.

Определение: Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Будем обозначать случайные величины прописными (заглавными) буквами: X, Y, Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z. Если величина Х имеет три значения то они будут обозначены так: х1, х2, х3 .

Обычно рассматриваются два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Рассмотрим следующий пример: Число мальчиков пошедших в секцию бальных танцев среди 100 пришедших туда людей есть случайная величина, которая может принимать следующие значения 0, 1, 2, …, 100. Эти значения отделены друг от друга промежутками, в которых нет возможных значений Х . таким образом в этом примере случайная величина принимает отдельные изолированные значения.

Приведем второй пример: расстояние, которое пролетит диск при метании, есть величина случайная. Действительно величина зависит от многих факторов, например от ветра, температуры и других факторов, которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а;b).

В данном примере случайная величина может принять любое из значений промежутка (а;b). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о том, что целесообразно будет различать случайные величины, принимающие лишь отдельные изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Еще примерами непрерывных случайных величин могут быть спортивный результат в беге или прыжках, рост и масса тела человека, сила мышц и другие.

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Для задания дискретной случайной величины не достаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, в виде формулы и графически.

При табличном задании первая строка содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

Х	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Сумма вероятностей второй строки таблицы равнеа единице:

.

Если множество возможных значений Х бесконечно, то ряд сходится и его сумма равна единице.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (хi; pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Для непрерывной случайной величины график выглядит в виде кривой непрерывной на данном промежутке.

Занятие 11

Как известно закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Также для решения многих задач не нужно знать распределения случайной величины, а достаточно знать лишь некоторые обобщающие числовые характеристики этого распределения.

Одной из таких характеристик является математическое ожидание. Для более наглядного определения рассмотрим подход к этому понятию на конкретном примере.

Пусть имеется дискретная случайная величина Х, которая может принимать значения х1, х2, …, хn. Вероятности которых соответственно равны р1, р2, …, рn. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством:

.

Пример: Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	-4	6	10
Р	0,2	0,3	0,5

Решение: М(Х)=-4∙0,2+6∙0,3+10∙0,5=6

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайно величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Именно такие задачи решает дисперсия.

Определение: Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия обозначается, как D(x)

D(Х)=M[X-М(Х)]2=M[(x-x)2]

Пример: Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Х	1	2	5
p	0,3	0,5	0,2

Решение. Найдем математическое ожидание:

.

По определению:

.

Используя формулу D(Х)=M(X)2-[М(Х)]2 можно найти дисперсию гораздо быстрее:

.

Для оценки рассеяния всевозможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и другие величины.

Средним квадратическим отклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии

Занятие 12

Найти дисперсию дискретной случайной величины Х и построить многоугольник распределения, заданной законом распределения:

Х	-4	6	10
р	0,2	0,3	0,5

а) б)

Х	0,21	0,54	0,61
р	0,1	0,5	0,4

В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 р. и десять выигрышей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца лотерейного билета.

Дискретная случайная величина имеет только 2 возможных значения х и у, причем x<y. Вероятность того, что Х примет значение х =0,6. Найти закон распределения величины Х, если математическое ожидание и дисперсия известны: М(Х)=1,4, D(X)=0.24.

Занятие 13

В практике статистических наблюдений различают два вида наблюдений:

Сплошное (изучаются все объекты);

Выборочное (несплошное, когда изучается часть объектов).

Примером сплошного наблюдения является перепись населения, охватывающее все население страны. Выборочными наблюдениями является, например, проводимые социологические исследования, охватывающие часть населения страны, области, района и т.д.

Определение: Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностью.

Определение: Часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Числа объектов в генеральной или выборочной совокупности называют их объемами. Генеральная совокупность может иметь конечный и бесконечный объем.

Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о ее свойствах в целом.

Преимущества выборочного метода:

Экономия затраты ресурсов

Единственно возможный в случае бесконечной генеральной совокупности или в случае, когда исследовании связано с уничтожением наблюдаемых объектов (например исследование долговечности электрических лампочек и т.д)

Возможность углубленного исследования за счет расширения программы исследования при тех же затратах.

Снижение ошибок регистрации.

Неизбежные ошибки, возникающие в связи с изучением части объектов, могут быть заранее оценены и по средствам правильной организации выборки сведены к незначимым величинам.

Между тем использование сплошного наблюдения часто приводит к снижению точности наблюдения, а это у же вызывает неустранимые ошибки, и может привести к снижению точности сплошного наблюдения по сравнению с выборочным.

Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно. На практике отбор может выполняться с помощью жеребьевки (лотереи) или с помощью случайных чисел.

Основной недостаток выборочного метода – ошибки исследования, называемые ошибками репрезентативности.

Выборка называемая репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит генеральную совокупность.

Виды выборок:

собственно – случайная выборка (случайный выбор элементов без расчленения на части или группы)

механическая выборка (элементы отбираются через определенный интервал)

типическая выборка (выбор случайным образом элементов из типических групп, на которые по некоторому признаку разбивается генеральная совокупность)

серийная выборка (случайным образом отбираются целые группы совокупности, а сами серии подвергаются сплошному наблюдению)

Способы образования выборки:

повторный выбор – каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран.

Бесповторный отбор – когда обратный элемент не возвращается в общую совокупность.

Наименование характеристики	Генеральная совокупность	Выборка
Математическое ожидание
Дисперсия
Доля

Где хi – значение признака.

N и n – объемы генеральной и выборочной совокупностей.

Ni и ni – число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением признака хi

M и m – число элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком

Пример: генеральная совокупность задана таблицей распределения:

Xi	2	4	5	6
Ni	8	9	10	3

Найти дисперсию.

Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

Занятие 14

Рассмотрим пример:

Необходимо изучить изменение результатов спортсменов, занимающихся легкой атлетикой, по сравнению с предыдущим годом. Получены следующие данные результатов в процентах к предыдущему году: 97,8; 97,10; 101,17;,,,;142,3;141,02.(всего 100 значений.).

Различные значения признака (случайной величины Х) называется вариантами (обозначаем их через х).

Первый шаг к осмыслению – упорядочивание. Расположение вариантов в порядке возрастания (убывания), т.е. ранжирование вариантов ряда.

Следующим шагом произведем группировку, то есть разобьем на отдельные интервалы. Число интервалов не следует брать большим.

Числа показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами (ni), а отношение их к общему числу наблюдений частостями wi=n/ni. Частоты и частости называют весами.

I	Результаты в процентах к предыдущему году х	Частота (количество спортсменов)ni	Частость (доля рабочих)wi=n/ni	Накопленная частота niнак	Накопленная частость wiнак= niнак/n
1	94,0-100	3	0,03	3	0,03
2	100,0-106,0	7	0,07	10	0,10
3	106,0-112,0	11	0,11	21	0,21
…	…	…	…	…	…
8	136,0-142,0	2	0,02	100	1,00
		100	1,00

Определение: Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями).

Определение: накопленная частота niнак показывает сколько наблюдалось вариантов со значениями признака меньших х.

Накопленная частость – отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений: wiнак= niнак/n

Теперь полученный нами вариационный ряд позволяет выявить закономерности.

Для задания вариационного ряда достаточно указать варианты и соответствующие им частоты или частости.

Занятия 15-16

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину.

Вариационный ряд называется непрерывным, если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.

В примере мы привели пример непрерывного ряда.

Для графического изображения вариационного ряда используются:

Полигон – служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков имеют (хi, ni).

Гистограмма служит для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака к=х2-х1. И высоты равные частотам. Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения.

Кумулятивная прямая (кумулята) – кривая накопленных частот. Для дискретных рядов кумулята представляет ломаную, соединяющую точки (хi, niнак ) или (хi, wiнак). Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса, которой равна началу первого интервала, а ордината – накопленной частоте, равной нулю. Другие точки соответствуют концам интервалов.

Сформулируем принцип практической уверенности:

Если вероятность события А в данном испытании очень мала, то при однократном выполнении испытания можно быть уверенным в том, что событие А не произойдет, и в практической деятельности вести себя так, как будто событие А вообще невозможно.

Например: отправляясь самолетом в другой город, мы не рассчитываем на возможность погибнуть в авиа катастрофе, хотя вероятность такого события имеется.

Но при многократном повторении испытаний мы не можем считать маловероятное событие А практически невозможным.

Определение: Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой и обозначают Н0. Также рассматривают альтернативную (конкурирующую гипотезу) Н1 являющуюся отрицанием Н0.

Суть проверки статистической гипотезы состоит в вычислении статистики данной выборки. Затем по выборочному распределению определятся критическое значение. Если статистика больше критического значения, то событие можно считать практически не возможным.

Сравнение двух совокупностей имеет важное практическое значение. На практике часто встречается случай, когда средний результат одной серии эксперимента отличается от среднего результата другой серии.

Пример: В промышленности данная задача возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или при различных технологических режимах.

Пусть имеются две совокупности, характеризуемые генеральными средними х и у. И дисперсиями для которых найдены средние арифметические и выборочные дисперсии. Необходимо проверить гипотезу Н0 о равенстве генеральных средних. Тогда статистика находится по следующей формуле:

Если t>tкр то гипотеза Н0 отвергается. Если нет, то делается вывод что нулевая гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.

Занятия 17 – 18

Определение: Корреляционной зависимостью между двумя переменными величинами называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Корреляционная зависимость может быть представлена в виде:

Это уравнение называют уравнением регрессии, а их графики линиями регрессии.

Для отыскания уравнений регрессий необходимо знать закон распределения двумерной случайной величины.

Данные о статистической зависимости удобно задавать в виде корреляционной таблицы.

Вес (кг) (Х)	Середины интервалов	Рост (см) (у)
		155-160	160-165	165-170	170-175	Всего (ni)	Групповая Средняя
	Хi yj	157,5	162,5	167,5	172,5
40-45	42,5	2	1		7	10	168,5
45-50	47,5	3	6	4	6	19	165,9
50-55	52,5		3	11	1	15	166,8
60-65	62,5	2	1	2		5	162,5
70-75	72,5				1	1	172,5
Всего nj		7	11	17	15	50
Групповая средняя		50,4	49,8	52,5	47,2

Вычисленные групповые средние изобразим графически в виде ломанной, называемой эмпирической линией регрессии.

По виду ломанной можно предположить наличие линейной функциональной зависимости между случайными величинами Х и У, то есть имеется функция y=kx+b, где

Где выборочная ковариация и равна:

К=-46,09 В=2471,02 У=-46,09х+2471,02

Занятия 19-20

В ходе исследования результатов забега на 100 метров юношами одиннадцатых классов двух групп – экспериментальной и контрольной – были получены данные, представленные в таблице.

Время (секунды)	12,3-13,9	13,9-15,5	15,5-17,1	17,1-17,7
Число юношей экспериментальной группы	3	20	20	2
Число юношей контрольной группы	1	8	18	3

Изобразить данные графически, построив гистограммы для каждой группы.

Для каждой группы определить среднее значение, дисперсию, моду и медиану.

Проверить гипотезу о равенстве средних двух групп учащихся, используя критерий Стьюдента и полагая критическое значение статистики 1,67.

Домашняя работа.

В ходе исследования результатов высоты прыжка с места спортсменов – велосипедистов двух групп – экспериментальной и контрольной – были получены данные, представленные в таблице.

Высота прыжка (см)	37-45	45-53	53-61	61-69
Число юношей экспериментальной группы	4	20	10	1
Число юношей контрольной группы	2	15	20	3

Изобразить данные графически, построив гистограммы для каждой группы.

Для каждой группы определить среднее значение, дисперсию, моду и медиану.

Проверить гипотезу о равенстве средних двух групп учащихся, используя критерий Стьюдента и полагая критическое значение статистики 1,67.

Занятия 21-22

Подготовка к контрольной работе.

Комбинаторика:

Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз.

Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков меньше цифры единиц?

В нашем распоряжении есть три различных флага. На флагштоке поднимается сигнал состоящий не менее, чем из двух флагов. Сколько различных сигналов можно поднять на флагштоке, если порядок флагов в сигнале учитывается.

В карточке игры «Русское лото» нужно зачеркнуть 6 чисел от 1 до 99. Сколькими способами это можно сделать?

Сколько различных имен – отчеств можно составить из имен Надежда, Иван, Андрей, Наталья, Дмитрий, Людмила, Александр?

Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?

Вероятность:

В партии 10 из деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую 0,35. Найти вероятность, того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую область, либо во вторую.

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) на каждой из выпавших граней появиться пять очков. Б) на всех выпавших гранях появиться одинаковое количество очков.

Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием 0,8, а вторым 0,7.

Имеется 3 ящика, содержащие по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

В урне 5 белых, 4 черных, 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появиться белый шар, при втором – черный и при третьем – синий.

В мешочке имеется 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением.

Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий: 0,8, 0,7, 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним орудием.

Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго 0,9. Найти вероятность того, что взятая на удачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во второй коробке 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контроллеров Вероятность того, деталь попадет к первому контроллеру равна 0,6, а ко второму 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контроллером 0,94, а вторым 0,98. Годная деталь при проверки была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контроллер.

Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания цель первым, вторым и третьим орудиями равны: 0,4, 0,3 и 0,5.

Приложение 2

Самостоятельная работа № 1

Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков меньше цифры единиц?

В нашем распоряжении есть три различных флага. На флагштоке поднимается сигнал состоящий не менее, чем из двух флагов. Сколько различных сигналов можно поднять на флагштоке, если порядок флагов в сигнале учитывается.

В карточке игры «Русское лото» нужно зачеркнуть 6 чисел от 1 до 99. Сколькими способами это можно сделать?

Сколько различных имен – отчеств можно составить из имен Надежда, Иван, Андрей, Наталья, Дмитрий, Людмила, Александр?

Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?

Самостоятельная работа № 2

Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадает на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести).

Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта.

Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: 0,7 и 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй эллиптический.

Самостоятельная работа № 3

В сборочный цех завода поступает 40% деталей из первого цеха и 60 процентов из второго. В цехе номер 1 производиться 90% стандартных деталей, а во втором 95%. Найти вероятность, того, что наудачу взятая деталь окажется стандартной? Найти вероятность того, что стандартная деталь изготовлена вторым цехом.

Из 40 экзаменационных билетов студент выучил только 30. Каким выгоднее ему зайти на экзамен, первым или вторым?

Прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя в течение 10 лет первой микросхемы равна 0.007, а второй 0.1. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что вышла из строя первая микросхема?

Самостоятельная работа № 4

Монета бросается 4 раза. Построить многоугольник распределения случайной величины Х – числа выпадений герба.

В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные – черные. Из нее наудачу вынимают 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров. Вычислить Математическое ожидание и дисперсию.

Вероятность сдачи экзамена первым студентом 0.6, а вторым 0.9. Составить ряд распределения и вычислить ее математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа студентов, успешно сдавших экзамен в случае, когда: а) экзамены пересдавать нельзя; б) экзамен можно один раз пересдать.

Контрольная работа

На каждой из семи одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв о, п, т, к, н, и, с. Найдите вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных в одну линию, карточках можно будет прочитать слово «кино».

В фирме работают 9 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобрали 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 2 женщины.

Два стрелка стреляют по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0.7, для второго 0.85. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

В магазин завезли 3 коробки импортной обуви и 5 коробок отечественной. Вероятность того, что импортная обувь без брака – 0.8; отечественная – 0.7. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная пара обуви из наудачу взятой коробки без брака.

В ходе исследования результатов забега на 100 метров юношами одиннадцатых классов двух групп – экспериментальной и контрольной – были получены данные, представленные в таблице.

Время (секунды)	12,3-13,9	13,9-15,5	15,5-17,1	17,1-17,7
Число юношей экспериментальной группы	3	20	20	2
Число юношей контрольной группы	1	8	18	3

Изобразить данные графически, построив гистограммы для каждой группы. Для каждой группы определить среднее значение, дисперсию, моду и медиану. Проверить гипотезу о равенстве средних двух групп учащихся, используя критерий Стьюдента и полагая критическое значение статистики 1,67.