При [pic] - корни вещественные
[pic]
[pic]
Сумма двух экспонент представляет собой:
[pic]
Если [pic], то корни комплексно-сопряженные и решение будет представлять собой периодическую функцию. В реальной системе, переключений не более 5 - 6.
3. Метод поверхности переключений
Данный метод позволяет найти управление функций переменной состояния для случая когда оптимальное управление носит релейный характер
[pic].
Таким образом этот метод можно применять при решении задач оптимального быстродействия, для объекта с аддитивным управлением
[pic],
[pic].
Суть метода заключается в том, чтобы во всём пространстве состояний выделить точки, где происходит смена знака управления и объединить их в общую поверхность переключений.
[pic],
[pic] - поверхность переключений
[pic].
Закон управления будет иметь следующий вид
[pic].
Для формирования поверхности переключений удобнее рассматривать переход из произвольной начальной точки в начало координат
[pic].
Если конечная точка не совпадает с началом координат, то необходимо выбрать новые переменные, для которых это условие будет справедливо.
Имеем объект вида
[pic].
Рассматриваем переход [pic], с критерием оптимальности
[pic].
Этот критерий позволяет найти закон управления такого вида
[pic],
с неизвестным [pic], начальные условия [pic] нам также неизвестны.
Рассматриваем переход:
[pic]
Метод обратного времени
(метод попятного движения)
Этот метод позволяет определить поверхности переключений.
Суть метода заключается в том, что начальная и конечная точки меняются местами, при этом вместо двух совокупностей начальных условий остаётся одна для [pic].
Каждая из этих траекторий будет оптимальна. Сначала находим точки, где управление меняет знак и объединяем их в поверхность, а затем направление движения меняем на противоположное.
[pic]
Пример
Передаточная функция объекта имеет вид
[pic].
Критерий оптимальности быстродействия
[pic]
Ограничение на управление [pic].
Рассмотрим переход
[pic].
1)
[pic],
2)
[pic].
3)
[pic]
оптимальное управление будет иметь релейный характер
[pic].
4) Перейдём в обратное время (т.е. [pic]). В обратном времени задача будет иметь такой вид
[pic].
5) Рассмотрим два случая:
1. [pic]
Получим уравнения замкнутой системы
[pic].
Воспользуемся методом непосредственного интегрирования, получим зависимость [pic] от [pic] и поскольку [pic]-[pic], то имеем
[pic],
т.к. начальные и конечные точки поменяли местами, то [pic], [pic] получим
[pic],
(*)
аналогично
[pic]
[pic]
подставив (*), получим
[pic],
отсюда
[pic].
Построим получившееся и по методу фазовой плоскости определим направление
[pic]
2. [pic]
[pic]
Применив метод непосредственного интегрирования, получим:
[pic] [pic] [pic],
[pic] [pic] [pic],
[pic].
Функция будет иметь вид:
[pic]
Изменив направление
[pic] точка смены знака
(точка переключения)
Общее аналитическое выражение:
[pic].
Уравнение поверхности:
[pic].
Оптимальный закон управления:
[pic],
подставив уравнение поверхности, получим:
[pic].
2.5. Субоптимальные системы
Субоптимальные системы - это системы близкие по свойствам к оптимальным
[pic]
[pic]- характеризуется критерием оптимальности.
[pic]
[pic] - абсолютная погрешность.
[pic]- относительная погрешность.
Субоптимальным называют процесс близкий к оптимальному с заданной точностью.
Субоптимальная система - система где есть хоть один субоптимальный процесс.
Субоптимальные системы получаются в следующих случаях:
1. при аппроксимации поверхности переключений (с помощью кусочно- линейной аппроксимации, аппроксимация с помощью сплайнов);
[pic]
при [pic] в субоптимальной системе будет возникать оптимальный процесс.
[pic]
2. ограничение рабочей области пространства состояний;
[pic]
[pic]