§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.

Определение.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.
Определение.
Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.
Определение.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.
[pic] (1)
Пусть выбран любой[pic], где [pic], и его норма:
[pic]- дифференциальный оператор.
[pic] - запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора.

(2)
Определение.
Открытое, связное множество [pic] называется областью.
По умолчанию будем считать область ограниченной.
Через [pic]или [pic] будем обозначать границу области.
Определение.
[pic] - (n-1)-мерное многообразие S в [pic] принадлежит классу [pic]
([pic]), если для [pic] и [pic] такие, что:
[pic], где [pic]
[pic] однозначно проектируется на плоскость [pic], при этом:
D - проекция данного множества на плоскость [pic], [pic] - k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.
[pic]
Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.
[pic] - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.
[pic] - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в [pic].
[pic], аналогично [pic].
[pic] - множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.
Аналогично: [pic].

§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.
[pic].
[pic] - матрица квадратичной формы.
[pic] - n вещественных собственных значений матрицы A
[pic] - количество положительных собственных значений.
[pic] - количество отрицательных собственных значений.
[pic] - количество нулевых собственных значений с учетом кратности.

1.Если [pic]= n или [pic]= n, то это эллиптическое уравнение.
Ex: Уравнение Пуассона
[pic].
2.Если [pic] = n - 1, [pic] = 1, или [pic] = 1, [pic] = n - 1, то уравнение гиперболическое.
Ex: [pic] - волновое уравнение.
Для уравнения Лапласа:
[pic]
Для волнового уравнения:
[pic]
3.Если [pic], а [pic], то ультрагиперболическое уравнение.
Ex: [pic].
4.Если [pic], то параболическое уравнение.
Ex: [pic], и - уравнение теплопроводности.
[pic]
Определение.
Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.

Приведение к каноническому виду.
1) y=y(x), то:
[pic]
Уравнение (1) в новой системе координат:
[pic] (1')
Матрица Якоби:
[pic].
В результате:
| |
|[pic] |
| |

Ex:
[pic] гиперболическое уравнение.
[pic] - канонический вид волнового уравнения.
Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.
§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных.
Задача Коши для волнового уравнения:
[pic] [pic]
Уравнение теплопроводности
[pic] [pic]
Уравнение Пуассона
[pic]
Определение.
Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в решении, то задача считается некорректной.
[pic] (6)
[pic] (7.1)
[pic] (7.2)
[pic] (7.3)
(6)(7.1) - первая краевая задача, задача Дирихле.
(6)(7.2) - вторая краевая задача, задача Неймана.
(6)(7.3) - третья краевая задача.

Волновое уравнение.
[pic] (8)
[pic]
[pic] (9)
[pic] (10)
[pic] (11.1)
[pic] (11.2)
[pic] (11.3)
(8) (9) (10) (11.1) - смешанные

(11.2) задачи

(11.3) (краевые задачи)
[pic] - единичный вектор внешней нормали к поверхности.
На [pic] задаются начальные условия.
На боковой поверхности - краевые задачи.

Параболическое уравнение.
[pic] (12)
[pic] (13)
[pic] (14.1)
[pic] (14.2)
[pic] (14.3)
(12) (13) (14.1) - первая, вторая и третья смешанные задачи

(14.2) для уравнения

(14.3) теплопроводности.
(14.1) - на границе задана температура;
(14.2) - задан тепловой поток;
(14.3) - задан теплообмен с окружающей средой.

§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье
(разделением переменных).
Первая смешанная задача.
[pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3)
[pic] (4)
[pic] (5)
[pic] (6)
Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.
[pic]
[pic] - изолир. [pic].
[pic] - ортонормированный базис в [pic].
В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.
Пусть функции [pic] - разложены по базису [pic]
[pic] тогда и u(t,x) можно разложить по базису [pic] : [pic]
Почленно дифференцируем ряд 2 раза:
[pic]
[pic] (7)
Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.
[pic] (8)
[pic] (9)
(7) (8) (9) - задача.
Решим однородное уравнение для (7):
[pic]
- общее решение однородного уравнения (7)
[pic]
[pic] (10)

[pic]
В результате: [pic] - частное решение неоднородного уравнения (7).
[pic] - общее решение уравнения (7).
Подставим (8) и (9) в решение:
[pic] т.е. [pic].
| [pic] |

Замечание: не обоснована сходимость рядов.

§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье
(разделения переменных).
[pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3)
[pic] (4)
[pic] (5)
[pic] - собственные векторы и собственные значения.
[pic]
[pic] (6)
[pic]
[pic] - общее решение однородного уравнения (6)
[pic] - частное решение неоднородного уравнения (6)
[pic]
[pic] - общее решение уравнения (6).
[pic]
| [pic] |

Рассмотрим функцию:
[pic]
[pic] - бесконечно дифференцируема при [pic].
Если [pic] из [pic], то:
[pic]
[pic], и при [pic] функция склеивается как бесконечно гладкая.
[pic]
[pic]-финитная :[pic]
[pic] - замыкание множества, где [pic] отлична от 0.
[pic].
Введём [pic] - функция n переменных.
Свойства [pic] :
1) [pic]- бесконечно дифференцируемая, финитная:

[pic].
2) [pic] - замкнутый шар радиуса h с центром в O.

[pic].
3)[pic]
Доказательство.
[pic], С находится из условия [pic].
4) [pic].
Обозначим: [pic]
[pic][pic]
Интеграл по x бесконечно дифференцируем.
[pic]
Если [pic], то: [pic]
Носитель функции принадлежит области интегрирования, и: [pic].
Если [pic], то [pic] : [pic].
Свойства функции [pic]:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] - срезающая функция.
Пространство [pic].
Определение.
Пусть [pic]. Назовём множество функций [pic], пространством [pic], если:
- [pic] - измеримы в Q;
- [pic] в смысле Лебега.
Вводится [pic]. Выполняются все аксиомы скалярного произведения.
Утверждение (без доказательства).
[pic] - полное пространство.
Вводится [pic].
Свойства пространства [pic].
Теорема 1.
Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве [pic] :
[pic].
Доказательство.
Множество ступенчатых функций плотно в [pic].
Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в
[pic].
Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.
Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.
Доказать: характеристическую функцию [pic] можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.
[pic] [pic]
Рассмотрим [pic] - финитная, бесконечно дифференцируема в [pic].
[pic]
Значит, [pic].
[pic]
Аппроксимация получена.
Теорема 2.
Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве [pic].
Определение 2.
Пусть [pic] и считается продолженной нулем вне Q [pic]. Скажем: f - непрерывна в среднеквадратичном, если [pic]:
[pic].
[pic]
Теорема 3.
Любая функция из [pic] непрерывна в среднеквадратичном.
Доказательство.
Пусть [pic]. Пусть [pic]
[pic]
Оценим:
[pic]
При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.
[pic] [pic]
Теорема доказана.
Определение 3.
[pic]
[pic] - бесконечно дифференцируема, финитна.
[pic]
Свойства:
[pic]
[pic] - осреднение функции f.

Теорема 4.
[pic]
Любая функция из [pic] сколь угодно точно аппроксимируема своими осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в [pic].
Доказательство.
[pic]
От Q к [pic], от [pic] к [pic]
[pic]
При [pic].

Возьмем любые две функции:
[pic]
Определение.
[pic]- множество функций, принадлежащих [pic] на любом компакте внутри области.
[pic]
Определение 1.
Пусть [pic]
[pic] - обобщённая производная функции f, если [pic] выполняется:
[pic] (1)
Теорема 1.
Обобщённая производная определяется единственным образом.
Доказательство.
Предположим противное: [pic] - обобщённые производные функции f.
[pic] (2)
[pic] (3)
(2),(3) - тождество для [pic]
[pic] - что и требовалось доказать.
Теорема 2.
Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.
Доказательство - из интегрального тождества (1).

Примеры обобщённых производных.
Ex 1.
[pic]
По определению:
[pic]
Пусть [pic] и [pic]
[pic]
|[pic] |

Ex 2.
[pic]
Покажем, что обобщённой производной не существует.
Пусть [pic], то:
[pic] где [pic]
[pic]
1) пусть [pic] носитель в [pic], то :

[pic]
2) пусть [pic] : [pic], значит:
[pic]
Вывод: [pic].
[pic]
Вывод: [pic], не имеет обобщённой производной.

Теорема 3.
Пусть [pic] имеет обобщённую производную [pic], то:
1. [pic] (4)

[pic] если [pic].
2. Если к тому же [pic]
[pic] (6)
[pic] (7)
Доказательство.
[pic]
Выберем h так, чтобы [pic]
[pic]
[pic]
Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области.
Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.

Теорема 4.
[pic]
Утверждение.
Пусть [pic], то [pic]
[pic]
Пусть [pic] - открытый компакт, то [pic] для [pic]
[pic]
[pic]

Теорема 5.
Пусть [pic]. [pic] имеет обобщённые производные [pic] и [pic], то существует обобщённая производная [pic].

Пространство Соболева.
Определение.
[pic], такая, что [pic] называется пространством Соболева порядка k.
[pic]
Обозначения: [pic], [pic] или [pic].
Введём [pic].
Утверждение.
[pic] - гильбертово(унитарное, сепарабельное).

Теорема 1.
[pic] - полное пространство.
Доказательство.
[pic] - фундаментальная в [pic] [pic]
[pic].
[pic] - мультииндекс
[pic] - может быть равен 0.
[pic]
[pic] в [pic].
[pic] в [pic].
Интегральное тождество для [pic]:
[pic]
Из сильной сходимости следует слабая:
[pic]
[pic]
Вывод: пространство полное.

Свойства пространств Соболева.
1.[pic] для [pic].
2.Если [pic], то [pic].
3.Если [pic], то [pic].
4.Если [pic], то
[pic] если [pic], то [pic].
5.[pic] - невырожденное, k раз непрерывно дифференцируемое преобразование, отображающее [pic] в [pic].
[pic] и пусть [pic].
Пусть [pic].
Пусть [pic], то [pic].
Утверждение.
Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции пространству Соболева.
6.Обозначим [pic] - куб со стороной 2a с центром в начале координат.
Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду плотным в [pic].
[pic].
[pic]
Доказательство.
Раздвинем область, возьмём [pic] и будем её аппроксимировать последовательностью бесконечно гладких функций.
[pic] (определена в растянутом кубе)
[pic]
Оценим: [pic]
[pic]
Выберем [pic] и рассмотрим [pic]
[pic]
Разбиение единицы.
Теорема.
Пусть [pic] - ограниченная область, пусть [pic] - покрытие замыкания Q,
[pic] - может равняться бесконечности.
[pic] - открытые, тогда: существует конечный набор [pic] - финитные, бесконечно дифференцируемые в [pic], неотрицательные функции, такие, что:
[pic]
Используется для локализации свойства: U имеет свойство на [pic], расширяем
D на [pic] путём домножения на [pic].
Доказательство.
Возьмём [pic]. Для [pic] - y покрывается множеством [pic].
Для каждой выбранной y построим:
[pic]
[pic] покрывается [pic]. Из бесконечного покрытия выберем конечное подпокрытие:
[pic].
Обозначим: [pic]. Обозначим: [pic].
Определим: [pic]:
[pic]
Получили: [pic].
Если [pic], то [pic], [pic], и [pic].
Знаменатель в 0 не обращается.
Построена
[pic] выполняется свойство 3.
[pic] - выполняются свойства 1 и 2.
Теорема о разбиении единицы доказана.

Теорема о продолжении функции.
Частный случай - продолжение из прямоугольников.
[pic]
[pic]
Продолжение функции из [pic] в [pic].
Лемма 1.
[pic] [pic] - продолжение функции f:
[pic] и [pic]
1.Определить функцию.
2.Проверить условие сливания: совпадание значений функции и её производных по [pic] до k-го порядка.
Доказательство.
Определим [pic] (2)
Коэффициенты [pic] из условия:
[pic]
[pic] (3)
[pic]
Значит, функция непрерывна.
Теперь - доказательство совпадения производных.
[pic]
Выполняется одно уравнение из (3), и:
[pic].
Значит: [pic].
Неравенство (1) очевидно через определение нормы в [pic].
Замечание: из доказательства и свойства (6) пространств Соболева следует: можно перейти к [pic] - пространству Соболева с выполнением этой теоремы, и
(1) тоже справедливо.
Замечание: в силу того, что множество бесконечно дифференцируемых функций в замыкании куба всюду плотно в пространстве [pic] в этом кубе и в силу того, что протсранство Соболева инвариантно относительно невырожденной гладкой замены переменных.

Лемма 2.
[pic]
[pic] (4)

Теорема о продолжении функции.
Пусть[pic] - ограниченная область, граница [pic]. Пусть [pic] ([pic]- область), тогда:
[pic] - продолжение f, такая, что:
1)[pic]
2)[pic]
3)[pic] (5)
Замечание.
Лемма 1 - рассмотрены кубики, в теореме: из Q на [pic] и все свойства, как в лемме 1.
[pic]
Доказательство.
[pic]
В окрестности каждой точки границы: [pic] нарисуем шар [pic].
Пусть в O(z) граница задаётся уравнением [pic].
Введём новые переменные:
[pic] - невырожденное преобразование координат.
Преобразование: [pic] - внутри пространства Соболева.
Во что перейдёт множество: [pic]
Вырезали куб [pic].
[pic]
Результат преобразования
Прообраз куба [pic] - криволинейный кубик.
Покроем границу кубиками Vi и выберем конечное подпокрытие.
(Tju)(y) = u(x(y)) (xVj) - переход от x к y, переход от y к x : [pic]
[pic]
Введём : [pic] [pic] если [pic]

[pic]
[pic] на носителях [pic] обратятся в 1.
[pic]
Свойства оператора продолжения:
1. F(x) - ограниченный оператор;
2. Т.к. [pic] - финитная, то F(x) - финитная на
Доказать: F(x)=f(x),если [pic].
[pic]
Замечание.
Теорема 1 остаётся справедливой для пространств [pic] (следует из доказательства).
Теорема 2.
Пусть [pic] - ограниченная область
[pic] , [pic]- всюду плотно в [pic].
Доказательство.

Рассмотрим произвольную функцию [pic].
[pic] - ограниченная.
F-продолжение f. Так как F - финитная в , то [pic]
[pic]

Сепарабельность пространств Соболева.
Теорема.
Пусть [pic] - ограниченная область, [pic], тогда :

[pic] - сепарабельное.
Построениe счётного всюду плотного множества.
Доказательство.
Рассмотрим [pic] ; продолжение функции f : [pic].
Аппроксимируем функцию F . Множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций (в силу свойств осреднений) всюду плотно в пространстве финитных функций [pic].
Очевидно : [pic].
Где коэффициенты : [pic].
Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство.
Определение.
Функции [pic] образуют ортонормированную систему, если [pic] , и [pic] .
Утверждение.
В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис, т.е. такая система [pic] ,что [pic].
Разложение по этому базису единственно, и : [pic].
Равенство Парсеваля.

[pic].
Пространство [pic] - сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом : можно взять систему экспонент (нормированную).
Разложение в сходящийся ряд :
[pic]
Определим вид коэффициентов Фурье:
[pic] проинтегрируем по частям и получим :
[pic] , где [pic]
Получаем : [pic] и следовательно :
[pic]
F можно точно аппроксимировать линейными комбинациями экспонент.
Искомое множество - линейное пространство экспонент с рациональными коэффициентами.

След функции из Hk(Q).
Для функции из[pic] понятие значения на (n-1)- мерной поверхности не определено.
Если [pic] удовлетворяет условиям дифференцируемости, то : определение следа функции на (n-1)- мерной поверхности.
Рассмотрим [pic][pic] -ограниченную область, [pic].
[pic] - (n-1) - мерная поверхность, [pic].
Пусть [pic]
[pic]
[pic]Можно разбить на конечное число простых кусков, однозначно проецирующихся на координа тные плоскости и описывающиеся уравнением :
[pic][pic]
[pic]
Для любой непрерывной функции след - её значение на поверхности, однозначно продолженое по непрерывности.
[pic]
Так как f=0 вне области Q , то по формуле Ньютона-Лейбница :
[pic]
Оценим :
[pic]
Обе части умножим на [pic] и проинтегрируем по D :
[pic] f- финитная.
Так как [pic] может быть продолжена в [pic] финитным образом,
[pic], причём [pic]
[pic]
[pic]
Существует последовательность [pic]
[pic][pic]
Отсюда следует фундаментальность последовательности следов в [pic]
[pic]- полное, следовательно[pic] - сходится, [pic]
Перейдём к пределу, получим :
[pic]
Утверждение.
Определение [pic] не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности
[pic].
Доказательство.
Пусть есть две последовательности [pic] в [pic].
Пусть [pic].
Следовательно, должны совпадать два предела в [pic].
Рассмотрим
[pic]
Значит : [pic], и [pic].
Если функция непрерывна в [pic] и принадлежит [pic], то её понятие следа как значения непрерывной функции и как предела совпадают.
Формула интегрирования по частям.
Пусть Q- ограниченная, [pic].
[pic], [pic] - единичный вектор внешней нормали к [pic].
Теорема Реллиха-Гординга.
Если [pic], то [pic], если [pic] сходится в [pic], то [pic] сходится в
[pic][pic].
Пространство Соболева с большим показателем дифференцируемости k компактно вложено в ространство Соболева с меньшим показателем.
Пусть [pic]- ограничена, [pic], тогда : [pic] - компактно вложено в [pic].
Множества, ограниченные в [pic], являются предкомпактными в [pic].
Определение.
Предкомпактными называются такие множества, замыкания которых компактны.
Из любой ограниченной последовательности функций из [pic] можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в [pic].
Или : Для [pic] можно выбрать [pic] , сходящуюся в [pic].
Доказательство.
1. Продолжим функции [pic] финитным образом в более широкую область ,
[pic].
[pic].
Оператор продолжения ограничен, и : [pic].
Т. к. множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве функций [pic] с компактными носителями, то без ограничения общности рассуждений можно считать, что все функции [pic] - бесконечно дифференцируемы в [pic] .
[pic]- из неё будем выбирать сходящуюся подпоследовательность.
Используем преобразование Фурье : [pic].
[pic].
В силу финитности : [pic]
Оценим по неравенству Коши-Буняковского: [pic]
Свойство.
В гильбертовом пространстве из ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.
[pic] - слабо сходящаяся в [pic] .
[pic] - сходящаяся для любой непрерывной линейной функции [pic].
В качестве [pic] возьмём функции :
[pic] - сходится [pic]
Докажем, что [pic] - фундаментальна в [pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Так как последовательность [pic] сходится для любых и ограничена, то для интеграла [pic] применяем теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, получаем :
[pic][pic], где [pic]- радиус шара.
[pic] исходя из теоремы Планшереля (в обратную сторону) и свойств преобразования
Фурье :
[pic]
Выбором R, интеграл [pic] можносделать сколь угодно малым, т.е. :[pic].
Если [pic] и k,m - выбрать , то : [pic] , и последовательность
[pic] - фундаментальна.
Формула интегрирования по частям
[pic] (1)
[pic][pic]- ограничена, [pic].
[pic] (2)
[pic]
В уравнении (2) перейдем к пределу при [pic], получаем уравнение (1).
Пространство [pic]
Определение.
Назовём пространством [pic][pic] замыкание пространства финитных непрерывно дифференцируемых функций в [pic].
[pic]- замыкание [pic] в [pic].
Если есть [pic], то :
[pic].
Если [pic], то [pic]. Справедливо и обратное утверждение.
Теорема.
[pic].[pic]- ограничена, [pic].
Определение.
Эквивалентные нормы.
Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением ( . , . ).
Скалярное произведение [pic]. , . [pic] называется эквивалентным ( . , . )
, если :
[pic]
[pic].
Из эквивалентности скалярных произведений можно пользоваться любым.
Теорема 2.
В пространстве [pic] можно ввести скалярное произведение по формуле :
[pic]

(3)
Доказательство.
[pic]
Надо доказать :
[pic]

(4)
Доказательство от противного.
[pic]
[pic]
Будем считать, что [pic], а это значит : [pic]
[pic][pic] (по теореме Реллиха-Гординга)
[pic]
[pic]
Имеем противоречие.Теорема доказана.

Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
[pic]
Пусть [pic]- решение задачи (1)-(2). Возьмем [pic] и умножим (1) на [pic], проинтегрируем и получим :
[pic]. Если [pic]- гладкая, то :
[pic]

(3)
Определение.
Функция [pic] называется обобщенным решением задачи (1)-(2), если для любой функции [pic] выполняется тождество (3).
При исследовании обобщенных решений [pic].
Лемма.
Существует линейный ограниченный оператор [pic], такой, что [pic].
При этом [pic] -компактный самосопряжённый положительный оператор.
По определению : [pic]. [pic] - антилинейный по [pic].
[pic]. f -ограничен, следовательно применим теорему Рисса :
[pic]
F - линейно зависит от u.[pic][pic]
[pic].
Компактность очевидна по теореме Реллиха-Гординга.
[pic]
Самосопряженность доказана.
[pic]
Теорема.
Для любой функции [pic] cуществует единственный [pic] краевой задачи (1)
(2). При этом
[pic]

(4)
Задача Дирихле для уравнения Пуассона корректна, т.е. существует единственное решение непрерывно зависящее от правой части.
Доказательство.
[pic]

Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа.
[pic]
Определение.
Функция [pic] называется обобщенной собственной функцией оператора - с условиями Дирихле, соответствующей обобщенному собственному значению , если она удовлетворяет следующему интегральному тождеству :
[pic][pic]
(3)
Теорема.
1. Собственные значения задачи (1) (2), являются вещественными, положительными, изолированными, имеют конечную кратность, и :

[pic]
2.Существует ортонормированный базис в [pic] состоящий из собственных функций задачи (1) (2) [pic].
3. [pic] составляет ортонормированный базис в [pic] с эквивалентным скалярным произведением :
[pic]

(4)
Доказательство.
Интегральное тождество (3) можно записать в виде :
[pic] , [pic] , [pic].
Эквивалентная задача : [pic]
Теорема 1.
Если [pic] - линейный ограниченный самосопряженный оператор, тогда спектр
[pic] - вещественный, и :
[pic]
Теорема 2.
Пусть [pic] - компактный, самосопряженный оператор, тогда [pic] состоит из
{0} и некоторого (конечного или счетного) множества изолированных собственных значений конечной кратности :
[pic]
{0} всегда принадлежит спектру компактного оператора.
Теорема 3.
Пусть [pic] - копактный, самосопряженный оператор, тогда существует ортонормированный базис в пространстве [pic], состоящий из собственных функций этого оператора : [pic].
Для удобства [pic][pic] ,
[pic].
Значит : [pic] - ортонормированная система в [pic].
Так как [pic] всюду плотно в [pic], то [pic] образует ортонормированный базис в [pic].
[pic]
Значит : [pic] образует ортонормированный базис в [pic].
Рассмотрим задачу :
[pic]

(1) где [pic]
Краевые условия :
[pic]

(2)
[pic]

(3)
[pic]

(4)
[pic]
[pic]

(5)
[pic]

(6)
[pic]

(7)
[pic]

(8)
[pic]

(9)
Теорема 1.
Если однородная краевая задача имеет единственное тривиальное решение, то неоднородное неоднородная краевая задача (1) (2) имеет единственное решение для [pic].
2. Если (3) (4) имеет нетривиальное решение , то (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда [pic] для любого w, являющегося решением (5) (6)
3. Задачи (3) (4) и (5) (6) имеют одинаковое число линейно независимых решений.

Теорема Фредгольма.
Рассмотрим уравнения
[pic]

(10)
[pic]

(11)
[pic]

(12) где I - единичный оператор в H, C - компактный оператор в H.
1. Если однородное уравнение (11) имеет единственное тривиальное решение, то для [pic] существует единственное решение уравнения (10).
2. Если уравнение (11) имеет нетривиальное решение, то уравнение (10) разрешимо тогда и только тогда, когда [pic].
3. [pic]

Оценим член : [pic]
[pic]
[pic]
[pic] - компактно.
[pic]

(13)
[pic]

(14)
Изучим член :
[pic]
Значит :
[pic]

(15)
(1) (2) [pic]

(16)
(3) (4) [pic]

(17)
(5) (6) [pic]

(18)
Доказана первая часть теоремы.
Пусть (3) (4) имеет нетривиальное решение, тогда [pic]
Т.е. [pic]
Теорема доказана.

Разложение решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ряд по собственным функциям.
[pic]- ограничено (1)
[pic]

(2)
[pic] (3)
[pic] в [pic]
[pic]
[pic]
Конечноразностные операторы.
Цель : Аппроксимация обобщенных производных конечноразностными операторами.
[pic]
Пусть [pic]- финитная в Q :
[pic] (1)
Аналог формулы интегрирования по частям :
[pic]
Обозначим : [pic].
Теорема.
Пусть [pic], тогда :
1) если [pic], где [pic], то :

[pic]
(3) и при этом :

[pic]
(4)
2) Если для [pic], то : [pic]
Доказательство.(1ая часть теоремы)
Из теорем об аппроксимации функции f и её обобщённой производной осреднениями функции f и её обобщенной производной сооответственно следует, что достаточно доказать часть теоремы для финитной бесконечно диффреренцируемой функции.
[pic]
[pic] (3)
[pic]

(4)
[pic]
[pic]
[pic] - доказано (3)
[pic]
(применив неравенство Коши-Буняковского)
[pic]
[pic]
По теореме Фубини имеем неравенство :
[pic]
[pic]
Доказательство. (2-ая часть. )
[pic]
Значит : [pic]
Доказательство теоремы 2.
Пусть [pic][pic]- ограниченная, односвязная область. [pic].
Q - симметрично относительно [pic], т.е. если [pic], то [pic].
[pic]
Обозначим :
[pic]
Теорема 2.
Пусть [pic], тогда :
1) если [pic], где [pic], то :

[pic]
2) если [pic], то : [pic]
Указание. Для доказательства рассмотреть :

[pic]
По определению обобщённой производной в (1) получаем :
[pic] , тогда :
[pic]
Локальная гладкость обобщённых решений.
[pic]
[pic] ограниченная.
Обобщённое решение : [pic],
[pic] (3)
Теорема 1.
Для любого [pic] обобщённое решение u задачи (1) (2)
[pic] независимо от гладкости границы, если правая часть из [pic] , то обобщённое решение тоже гладко.
Доказательство.
[pic][pic]
[pic]
Достаточно доказать, что [pic] в каждом из шаров : [pic].
Обозначим [pic].
В качестве v для (3) возьмём :
[pic]
- финитная, бесконечно дифференцируемая.
[pic], v может быть использована как пробная :
Подставим v в (3) :
[pic]
(умножение u на срезающую функцию для локализации свойства в шаре )
[pic] (4)
Введём конечноразностный оператор. Пусть [pic].
[pic].
[pic] (5)
Представим (5) в виде : [pic].
Оценим : [pic]
По неравенству Коши-Буняковского :
[pic]
[pic], где [pic].
Подставляем в решение в качестве пробной функции :
[pic]
Результат : [pic]
[pic]

(6)
В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : [pic]. u имеет обощённые производные [pic].
Обобщение Теоремы на случай произвольной гладкости правой части.
Теорема 2.
Пусть [pic] - ограничена, [pic] - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда
: [pic].
Гладкость обобщённых решений эллиптических задач вблизи границ.
[pic]

(1)
[pic]

(2)
[pic]
[pic]

(3)
Теорема 1.
Пусть [pic] - ограниченная область : [pic]
[pic] - обобщённое решение (1) (2), тогда
[pic].
Доказательство.
[pic]
[pic]
Доказать, что [pic].
Пусть в окрестности X и Y граница создаётся уравнением :
[pic]
Не ограничивая общности рассуждений будем считать, что граница плоская.
Введём срезающую функцию :
[pic]
[pic]
Подставим v в (3), получим :
[pic] (4)
Введём конечноразностный оператор. Пусть [pic].
[pic].
При этом : [pic].
[pic] (5)
Представим (5) в виде : [pic].
Через неравенство Коши-Буняковского, получим :
[pic], где [pic].
Подставляем в решение в качестве пробной функции :
[pic]
[pic]
В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : [pic]. u имеет обощённые производные [pic].
Лемма.
Пусть [pic] - обобщённое решение (1) (2), тогда :
[pic] - ограничена, следовательно u удовлетворяет уравнению (1) почти всюду в Q.
Будем считать : [pic].
[pic]
[pic]
Значит : [pic].
Теорема 2.
Пусть [pic] - ограниченная область, [pic] - обобщённое решение задачи (1)
(2), тогда : [pic].
Теорема "вложения" Соболева.
[pic]- ограниченная область, [pic], следовательно [pic] -непрерывно вложено.
Определение.
Непрерывность оператора наложения - это
[pic] почти всюду в Q .
[pic]

(1)
Доказательство (теоремы).
[pic], где [pic], если [pic], и :
[pic]

(2)
Доказательство (1) будет следовать из доказательства (2) и
[pic]

(3)
Пусть (3) доказана для любой финитной, гладкой [pic] , то в этом случае теорема справедлива для [pic].
[pic];
[pic]; следует фундаментальность :
[pic]
[pic]
[pic]

(4)
(Замечание. Предел в смысле почти всюду : [pic] п.в.
Остаётся доказать (3) для любых финитных, бесконечно дифференцируемых в функций.
[pic]
Преобразование Фурье : [pic], где [pic].
[pic] умножим и разделим на [pic] и применим неравенство Коши-Буняковского.
[pic]
[pic]
Докажем, что интеграл конечен :
[pic]
[pic]
Где [pic].
Теорема полностью доказана.
Обобщённые и классические решения.
[pic]

(1)
[pic]

(2)
Функция [pic] - называется классическим решением задачи (1) (2), если она удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (2).
Теорема 1.
Если [pic], то обобщённое решение [pic] обладает следующими свойствами :
[pic].
Доказательство.
Пусть [pic], тогда :
[pic]
Теорема 2.
Пусть [pic] - ограниченная область;
[pic], тогда обобщённое решение
[pic].
Доказательство. [pic]
Теорема 3.
Пусть [pic] - ограниченная область;
[pic], тогда обобщённое решение
[pic] и является классическим решением задачи Дирихле для уравнения
Пуассона.
Доказательство. [pic], следовательно всюду в Q удовлетворяет уравнению (1) и условию (2).
Теорема 4.
Пусть [pic] - обобщенная собственная функция оператора [pic] с однородными условиями Дирихле, тогда: [pic].
Доказательство.
[pic]
Если [pic]
[pic]
По теореме вложения: [pic]

Задача Неймана для уравнения Пуассона.
[pic]
Определение.
Функция называется обобщенным решением задачи (1) (2), если:
[pic]

Пусть [pic] - ограниченная область.
Теорема 1.
Задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда , когда правая часть уравнения (1) ортогональна константам, т.е: [pic].
Лемма.
Существует линейный ограниченный оператор , такой, что:
1)[pic]
2) [pic] - компактный, самосопряженный, положительный оператор.
Доказательство - аналогично.
[pic]
Рассмотрим однородное уравнение: для однородной задачи (1) (2) [pic] имеет нетривиальное решение.
По определению обобщенного решения : [pic]
[pic]
Теорема доказана.

Рассмотрим уравнение:
[pic]
[pic]
Теорема 2.
1. Если задача (3) (4) имеет единственное решение, то задача (1) (2) также имеет единственное решение для [pic].
2. Если задача (3) (4) имеет нетривиальное решение, то задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда [pic] , где w - решение однородной сопряженной задачи.
3. Размерности подпространств в решениях задач (3) (4) и (5) (6) совпадают и конечны.

Задача Неймана:
[pic]
Рассмотрим задачу на собственные значения:
[pic]Теорема 3.
1. Собственные значения оператора Лапласа с "-" с условиями Неймана вещественные, конечнократные, неотрицательные и состоят из следующих чисел:
[pic].
2. Соответствующие собственные функции [pic] составляют ортонормированный базис в [pic].
3. [pic] составляют ортонормированный базис в [pic].
Доказательство.
[pic]
Первая часть теоремы доказана.
По Гильберту-Шмидту строится [pic] - ортогональный базис в [pic] и пусть
[pic].
[pic]
[pic] - ортонормированный базис в [pic].
Теорема 3 доказана.
Задача Дирихле - однозначная разрешимость.

Теорема 4 о гладкости решения задачи Неймана.
Пусть [pic] - правая часть уравнения. Пусть [pic] - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: [pic]
Доказательство - аналогично теореме 3.

Теорема 5.
Пусть граница [pic] ; пусть правая часть [pic] . [pic] - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: [pic].

Теорема 6.
Пусть граница [pic] ; правая часть - [pic] ; [pic] - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: [pic].
Доказательство.
Обобщенное решение: [pic] для [pic].
[pic]
Уравнение (1) выполняется почти всюду в Q , и:
[pic]

Метод Ритца.
Суть: сведение бесконечномерного случая к конечномерному.
Рассмотрим: [pic], где: l(u) - линейный, ограниченный функционал в [pic].
Найдем минимум квадратичного функционала:
[pic]
[pic]- конечное число.
Найдется [pic] такая, что: [pic] - минимизирующая последовательность.
[pic], такой, что: E(u)=d . u - минимизирующий элемент.
Теорема 1.
Существует единственный [pic], минимизирующий функционал E . При этом этом любая минимизирующая последовательность является сходящейся к элементу u :
[pic] .
Доказательство.
Возьмем любую минимизирующую последовательность. Очевидно:
[pic]
Почленно сложим соотношения с "+" и с "-":
[pic]
Доказано: последовательность [pic] - фундаментальная в полном пространстве, значит: [pic] и, значит :
[pic].
Доказано: если [pic] - минимизирующая последовательность, то она сходится к минимальному элементу.
Доказательство единственности от противного: пусть есть второй минимальный элемент; составим минимизирующую последовательность: [pic].
Она не сходится, значит, второй минимальный элемент не существует.

Пусть [pic] составляют линейно независимую систему функций, линейная оболочка которой плотна в [pic], т.е. полная система, значит:
[pic] может быть аппроксимирован [pic].
Обозначим через [pic] - конечномерное подпространство [pic] , натянутое на первые k функций [pic].
Рассмотрим [pic] - задача сводится к конечномерной.
[pic], и E(.) может быть представлен в виде функции k переменных; обозначим её: [pic]
Необходимое условие экстремума: [pic], тогда:
[pic], где i=1,...,k. (1)
Система алгебраических уравнений (1) имеет единственное решение, т.к. её определитель (Грама) отличен от 0.
[pic]
Обозначим решение [pic] , и: [pic]- монотонно невозрастающая последовательность минимальных значений функционала.
[pic]- последовательность Ритца.
Теорема 2.
Последовательность Ритца является минимизирующей, и, следовательно, сходится к минимизирующему элементу u : [pic].
Доказательство.
Т.к. [pic] всюду плотна в [pic] , то: [pic] , такие что: [pic].
Рассмотрим значение [pic] :
[pic]
Таким образом: [pic] , и при :
[pic].
Теорема 3.
[pic] является мимимизирующим элементом для функционала E(u) тогда и только тогда, когда [pic]
Доказательство.
Необходимость: пусть u - минимизирующий элемент; возьмем [pic] , то:
[pic] , т.к. u - минимизирующий. Обозначим через [pic] . Необходимое условие экстремума: [pic] .
[pic]
[pic] что и требовалось доказать.
Достаточность: пусть выполняется (2), то рассмотрим:
[pic], т.е. [pic] u - минимизирующий элемент, что и требовалось доказать.
Выводы.
1. Существует единственный минимизирующий элемент - предел минимизирующей последовательности ( последовательности Ритца).
2. Минимизация функционала связана с обобщенным решением краевой задачи.
3. Метод Ритца можно использовать для решения эллиптической задачи.

[pic]
[pic]
Примеры.
1. [pic]
[pic]
[pic]
[pic]- интегральное тождество ( 4 )
(4) определяет обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
[pic]

Теорема 4.
1. Существует единственный [pic] , минимизирующий функционал в [pic] ;
[pic]- минимизирующая последовательность [pic]
2. Последовательность Ритца для функционала (3) в [pic] является минимизирующей.
3. [pic]является минимизирующей для функционала (3) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (5)-(6).

2. Задача Неймана.
Любое решение такой задачи равно сумме частного неоднородного и общего однородного решения. Будем искать решение из [pic], где [pic] - замкнутое подпространство пространства [pic].
Обобщенное решение задачи (7)-(8) : [pic]
Если u=v=const, то илевая и правая части не изменятся и: [pic].
Решение существует и единственно.
[pic]
Будем полагать : [pic], тогда:

Теорема 5.
1. Существует единственный [pic] , минимизирующий функционал в [pic] ;
[pic]- минимизирующая последовательность [pic]
2. Последовательность Ритца для функционала (10) в [pic] является минимизирующей.
3. [pic]является минимизирующей для функционала (10) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (7)-(8).

Изучение классических решений эллиптических задач.
§1. Формула Грина.
[pic]- ограниченная область;
[pic]
[pic]
[pic]
Вычтем из первого второе:
[pic]

Интегральное представление производной.
Определение.
Фундаментальное решение уравнения Лапласа:
[pic]
Следствие.
[pic]
Теорема 1.
Пусть [pic] - ограниченная область с границей класса [pic] .
Пусть [pic] , тогда:
[pic]
Доказательство.
Рассмотрим:
[pic] -- область без шара.
[pic]
[pic]

[pic]

Обозначим :
[pic]
Надо доказать, что : [pic].
Обозначим :
[pic] где : [pic] - площадь поверхности единичной сферы в n-мерном пространстве.
Учитывая, что:
[pic]

[pic]
Обозначим : [pic]
[pic]

Первая теорема о среднем.
Определение.
Функция u называется гармонической в области Q, если она удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа.
Пусть u(x) - гармоническая в [pic] .
D- ограниченная область [pic] .
[pic]
Теорема 1.
Пусть [pic] - гармоническая функция в Q , и пусть:
[pic], тогда :[pic]
Значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому её значений на границе сферы.
Доказательство.
[pic]
Обозначим : [pic]
[pic]
[pic]

Вторая теорема о среднем.
Пусть [pic] - гармоническая в Q функция;
[pic], тогда : [pic]
Доказательство.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , что и требовалось доказать.

Принцип максимума.
Теорема.
[pic]- ограниченная, связная; u(x) - гармоническая в Q, непрерывная в [pic] , [pic], тогда:
[pic]
Доказательство.
Предположим противное: [pic], [pic].
Тогда докажем, что в произвольной точке области значение функции U совпадает с M ,т.е. u-const. Возьмем [pic] и соединим ломанной l точки
Y и Z . Покроем ломанную конечным числом шаров: [pic]. Шары такие :
[pic] и [pic], причем: [pic] , [pic].
[pic]
[pic]
Если [pic] ,то: [pic] , [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Теорема доказана.

Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

[pic] [pic]

(1)
[pic] [pic]

(2)
[pic] - это не гарантирует существование решения. [pic]
Теорема.
Задача (1) (2) может иметь не более одного классического решения.
Доказательство.
Предположим противное: пусть есть два классических решения: [pic]. Это значит:
[pic] [pic] (3)
[pic] [pic] (4)
[pic] [pic] (5)
[pic] [pic] (6)
[pic] [pic] (7)
[pic] [pic] (8)
[pic]
Значит: [pic] и [pic]
Следовательно, если существуют два решения, то они равны друг другу. Что и требовалось доказать.

Обобщенные решения смешаной задачи для волнового уравнения.
[pic] [pic] (1)
[pic]

(2)
[pic] [pic]

(3)
[pic] [pic]

(4)
[pic]
[pic] [pic]
Обозначения: [pic]; [pic] .
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic] : [pic] , [pic]
Умножим обе части на v и проинтегрируем по цилиндру:
[pic][pic] (5)
Хотя обобщенное решение - общее понятие, но классическое решение может не быть обобщенным.
Определение.
Обобщенное решение - функция u из [pic] - называется обобщенным решением задачи (1)-(4), если [pic] [pic] и для
[pic], такого, что [pic] и [pic] выполняется интегральное тождество (5).

Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.
[pic] [pic] (1)
[pic]

(2)
[pic] [pic]

(3)
[pic] [pic]

(4)
[pic], [pic] [pic]
[pic] [pic]

(6)
[pic]

(7)
[pic]- ограниченная область; [pic]
[pic] [pic], [pic], ... , [pic]
[pic] - базис, тогда: [pic]
[pic]
[pic] где: [pic]
[pic]
По теореме Фубини:
[pic]
[pic]
[pic](8)
Теорема.
[pic] [pic] [pic] ряд (8) сходится в пространстве [pic] и сумма этого ряда является обобщенным решением задачи (1)-(4). При этом имеет место оценка: [pic] (9)
Доказательство.
Первый этап.

Пусть: [pic]
Докажем, что тогда решение u(x,t) имеет вид:

[pic]
[pic]
(10)
[pic]

(11)
[pic]

(12)
[pic] при почти всех t [pic].
[pic]

Доказано: если [pic] , то: [pic] - решение.
[pic]
Второй этап.
[pic] то: [pic] -обобщенное решение смешанной задачи.
Третий этап.
Докажем, что решения смешанной задачи со специальной правой частью сходятся к обобщенному решению.
Осуществляется предельный переход:
Оценим [pic] и их производные:
[pic]
[pic]
Докажем, что последовательность фундаментальна.
Пусть N>M ; рассмотрим :
[pic]
[pic]
[pic]
Значит [pic] -фундаментальная в [pic] - полном , т.е. [pic].
[pic]
Надо доказать, что u - обобщенное решение, если [pic] -обобщенное решение.
[pic]
[pic] ; при переходе к пределу получим:
[pic]

Единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.

[pic] [pic]

(1)
[pic]

(2)
[pic] [pic]

(3)
[pic] [pic]

(4)
[pic] [pic]
[pic]
[pic]

Теорема 1.
Задача (1) - (4) может иметь не более одного обобщённого решения.
Доказательство.
Достаточно убедится, что однородная задача будет иметь единственное решение.
[pic]
Возьмем:
[pic] где:[pic] - произвольная, [pic].
[pic]
Интегральное тождество приобретет следующий вид:
[pic]
[pic]Теорема доказана.

Анизотропные пространства Соболева.
Определение.
Анизотропным пространством Соболева [pic] называется множество функций
[pic].
Вводится скалярное произведение: [pic] (1)
Свойства пространств:
Теорема.
Пространство [pic] -полно.
Доказательство.
Фундаментальная последовательность, переход к пределу в интегральном тождестве.
Пусть [pic] через [pic].
Теорема 2.
[pic]

Теорема 3.
[pic]-сепарабельно.
Доказательство - продолжение функции до финитной.

Теорема 4.
[pic] [pic] всюду плотно в [pic]. Возьмем [pic]
[pic]
[pic]
Теорема 5.
Для [pic] можно определить след : [pic][pic] и при этом: [pic].

Обобщенные решения смешанной задачи для

уравнения теплопроводности.
[pic]
[pic]
Определение.
Обобщенное решение [pic]- называется обобщенным решением задачи (1)-(3), если [pic]: [pic] выполняется интегральное тождество (4).

Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности (метод Фурье, метод разделения переменных).
[pic]
[pic]- собственные значения;
[pic] - ортогональный базис в [pic];
[pic] - ортонормированный базис в [pic].
Будем считать: [pic]
[pic] при почти всех t интегрируема с квадратом в [pic].
Равенство Парсеваля:
[pic] f-измерима и [pic] по неравенству Гельдера. [pic].
По теореме Лебега можно слева и справа проинтегрировать по t и поменять местами [pic].
[pic]
Решение имеет вид:
[pic]
Надо доказать сходимость в [pic].

Теорема.
[pic] ряд (6) сходится в пространстве [pic] к некоторой функции [pic], которая является обобщенным решением задачи (1)-(3). При этом:
[pic]
Доказательство.
Первый этап.
Предположим, что правая часть уравнения имеет вид: [pic] , а начальная функция: [pic].
Рассмотрим:
[pic]
[pic]
[pic]
-интегральное тождество выполняется.

Второй этап.
[pic]
Третий этап. Доказательство фундаментальности последовательности [pic].
Оценим модуль:
[pic]
Интегрируем слева и справа:
[pic]
[pic]
Значит: последовательность фундаментальна и она сходится:
[pic]
[pic]
Переходим к пределу:
[pic]
Надо доказать, что u - задает решение задачи.
[pic]
При переходе к пределу выполняется интегральное тождество:
[pic]
Теореме доказана. Из этой теоремы не следует единственность.

Единственность обобщенного решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.
[pic]
Теорема.
Задача (1)-(3) может иметь не более одного обобщенного решения.
Доказательство.
Пусть [pic] -обобщенные решения, оценим[pic].
[pic]
[pic] - добавлена гладкость по t.
[pic]
Условия, налагаемые на v: [pic] .
[pic]
[pic]
[pic]

Формула Кирхгофа.
Дополнительные обозначения: пусть есть [pic] , [pic] - фиксируется. Обозначим : [pic]- конус с вершиной в [pic] .
[pic]
Возьмем произвольную [pic] .
Обозначим:
[pic]
[pic].
Выберем [pic] и рассмотрим : [pic] - вне цилиндра, но внутри конуса.
Обозначим через [pic] - часть конической поверхности, ограниченной [pic] :
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] - дважды непрерывно дифференцируема в открытом конусе. При этом :
[pic] - замыкание конуса.
Замечание: [pic] - волновой оператор.
Рассмотрим вспомогательную функцию: [pic].
Рассмотрим: [pic] . Заметим: [pic] .
В дальнейшем: x принадлежит малому конусу с вырезанным цилиндром.
Проинтегрируем левую и правую части тождества по [pic] :
[pic] , где: - единичный вектор внешней нормали к границе области.
Разобьем этот интеграл на 3 интеграла: [pic]; потом [pic] .
Рассмотрим на конической поверхности [pic] интеграл [pic]
Вычислим все частные производные функции v по [pic] и по направлению внешней нормали к поверхности: [pic]
[pic]
[pic]
Зная, что [pic], получим: [pic], где: [pic]. Вывод: [pic].
Рассмотрим [pic] , зная, что для [pic].
[pic]
Переход к пределу:
[pic]

Вычислим: [pic] [pic] - внутренняя нормаль к цилиндру.
Т.к. u - непрерывно дифференцируема на поверхности, то:
[pic] [pic] учитывая: [pic] на цилиндрической поверхности.
[pic]
В силу оценки: [pic]
Получим: [pic]
[pic][pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Получена формула Кирхгофа:

(1)
| [pic] |

Замена переменных (чтобы легче было дифференцировать по t):
[pic]
[pic]Продифференцировано первое слагаемое:

[pic]
[pic]
Геометрический смысл формулы.
1. В первых двух интегралах производится интегрирование по границе основания конуса - трехмерной сфере.
2. В третьем интеграле производится интегрирование по основанию конуса - трехмерному шару.
3. Значение даламбериана вычисляется интегрированием по боковой поверхности конуса.
СМЫСЛ. Дважды дифференцируемая функция u(x,t) выражается через значение первых производных на сфере (границе основания конуса) и её даламбериан на боковой поверхности конуса.

Задача Коши для волнового уравнения.
Обозначим: [pic]
Определение.
Функция u(x,t) , такая, что:
1) [pic] - дважды непрерывно дифференцируемая на [pic] ;
2) [pic] - один раз непрерывно дифференцируемая в замыкании этого множества; называется классическим решением задачи Коши для волнового уравнения, если:
[pic]
Пусть n=3.
Обозначим: [pic]
По формуле Кирхгофа функция u(x,t) выражается для любого конуса [pic] через функции [pic] в этом конусе. Функция u(x,t) однозначно определяется функциями [pic] в любом конусе и, значит, в полупространстве.
Теорема единственности.
Задача Коши (2)-(3) не может иметь более одного решения.
Вопрос существования.
Если классическое решение существует, то оно задается формулой Кирхгофа
(4):
[pic]
Таким образом, вопрос о существовании классического решения

сводится к нахождению условий, налагаемых на функции [pic] , при которых функция, стоящая в правой части формулы (4), является решением этой задачи.
Получено лишь достаточное условие.
Предварительные рассуждения.
Введем функцию: [pic]
Есть [pic] . Для каждого [pic] определяется [pic] как интеграл.
Производится исследование [pic] .
Лемма 1.
Пусть функция g и все её производные по пространственным переменным непрерывны до порядка k : [pic] , тогда:
1) функция и все её производные вплоть до порядка k по x и t непрерывны на множестве [pic] : [pic]
2) для [pic] и [pic] функция [pic] удовлетворяет однородному волновому уравнению при и следующим условиям:[pic]
Доказательство.
В (5) перейдем к новой переменной, тогда: [pic]
Отсюда следует первое утверждение леммы.
Применим [pic] к [pic] , тогда: [pic]
Подставим t=0: [pic] .
Возьмем производные по t от [pic] : [pic] .
Рассмотрим производную при t=0: [pic]
Преобразуем второе слагаемое: [pic] обозначим : [pic] тогда (7) примет вид: [pic] .
Используем его для вычисления второй производной по времени: [pic]
[pic]
Предствляя этот объемный интеграл в виде повторного интеграла: сначала по сфере, а затем от 0 до t, получим равенство: [pic] - вследствие формулы (6) справедливо последнее равенство.
Лемма доказана.
Теорема 2.
Пусть:
[pic] - трижды непрерывно дифференцируемая в [pic] : [pic] ;
[pic] - дважды непрерывно дифференцируема в [pic] : [pic] ;
[pic] - непрерывны : [pic] ; тогда: решение задачи Коши (2)-(3) существует и дается формулой Кирхгофа
(4).
Доказательство.
Рассмотрим второе слагаемое: [pic] в силу леммы 1 есть: [pic]
Рассмотрим первое слагаемое [pic] . T.к. [pic], то: [pic]
[pic] [pic]
Начальные условия: [pic] ; [pic] .
Рассмотрим: [pic], где: [pic] - обозначение.
В силу леммы 1 G и все её производные по x и t до второго порядка включительно непрерывны на множестве [pic] .
Функция G удовлетворяет: [pic]
Перейдем к F. F непрерывна вместе со всеми производными по x до второго порядка включительно в области [pic] , и её первая производная по времени непрерывна в этой области.
Вычислим производную F по t: [pic] но: [pic] , и: [pic] Следует: [pic] .
[pic] - удовлетворяет волновому уравнению: [pic]
[pic] - удовлетворяет однородным начальным условиям: [pic]
Окончательно: [pic] - удовлетворяет волновому уравнению [pic] и начальным условиям: [pic] .
Замечание.
Доказательство теоремы о существовании и единственности классического решения задачи Коши в случае, когда n=3, опиралось на интегральное представление функции в виде формулы Кирхгофа. Формулы, аналогичные формуле
Кирхгофа, можно вывести для произвольного числа пространственных переменных. Эти формулы дают выражение достаточно гладкой функции u(x,t) через её первые производные и даламбериан в конусе.
Пользуясь этим представлением, можно обобщить эти теоремы существования и единственности для произвольного числа переменных (n>3).
Замечание.
Формулы, аналогичные формулам Кирхгофа для n=1 и n=2, можно получить из n=3 методом спуска.

Метод спуска (как из формулы Кирхгофа получить формулы Пуассона и
Даламбера).
[pic]
Надо получить формулу Кирхгофа для n=2 - формулу Пуассона.
Обозначения: [pic]
Преобразуем интегралы:
[pic]
[pic] Рассмотрим: [pic]
Заменим [pic] .
Получим формулу:
[pic]
Получена формула Пуассона:
[pic]
Формула Даламбера:
[pic]
Обозначим: [pic].
Введём фундаментальное решение уравнения теплопроводности:
[pic]
Свойства U для уравнения теплопроводности.
1.[pic]
2.Если U продолжить тождественным 0 при [pic], то такая функция [pic] - бесконечно дифференцируема.
[pic]
Доказательство.
Если выписывать производные функции U, то получится рациональная функция, умноженная на экспоненту, экспонента стремится к 0 быстрее любой рациональной функции, значит, пределы все равны 0, и получена бесконечная гладкость.
3.[pic]
Доказательство.
[pic]
В качестве упражнения: [pic].
4.[pic] где [pic] - формула представления решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Дополнительные обозначения.
Пусть [pic], пусть u, Lu - ограничены в полосе.
Введём [pic], обладающую свойством: [pic]
[pic] - используются срезающие функции.
[pic] n - размерность постранства [pic].
N - определяет область интегрирования.
Будем считать:
[pic] - интегрирование по цилиндру.
[pic]
Сначала рассмотрим интеграл:
[pic]
Можно применить теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла:
[pic]
Т.к. [pic], то
[pic] произведём замену [pic] , тогда [pic]
[pic]
[pic].
Если докажем, что остальные пределы дают 0.
Формула Пуассона:
[pic]
[pic]
Можно найти решение задачи Коши для уравнения теплопроводности:
Рассматривается задача:
[pic] (1)
[pic] (2)
Если решение из рассматриваемого класса существует, то оно представляется формулой: [pic].
В рассматриваемом классе решений задача Коши для уравнения теплопроводности может иметь не более 1 решения.
[pic][pic]
[pic]
[pic]
Применим теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла
(необходимо, чтобы все элементы последовательности были ограничены интегральной функцией).
[pic] где : [pic].
Подынтегральная функция ограничена .
Так как : [pic], то :
[pic]
Замена :[pic].
[pic], а интеграл [pic] - сходящийся.
Сделано ограничение интегрируемой функцией.
Можно применять теорему Лебега о предельном переходе.
Теория Фредгольма.
(в Гильбертовом или Банаховом пространстве).
Рассмотрим компактный оператор [pic] гильбертово пространство.
Изучаем уравнение :

[pic] (1) однородное уравнение [pic] (2) однородное сопряженное уравнение [pic] (3)
Теорема Фредгольма.
Теорема.
1. Если однородное уравнение (2) имеет единственное тривиальное решение, то неоднородное уравнение (1) имеет единственное решение для любой правой части из гильбертова пространства H.
2. Если уравнение (2) имеет нетривиальное решение, то тогда неоднородное уравнение (1) разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть уравнения
(1) ортогональна всем решениям уравнения (3) : [pic].
3. Размерность ядра оператора [pic] равна размерности оператора [pic] и конечна.
[pic].
Введём : [pic], тогда [pic].
Лемма 1.
[pic], [pic].
Доказательство.
Предположим противное : [pic].
Ядро - замыкает линейное подпространство.
[pic]
Следовательно единичный шар отображается на себя (в некомпактное множество), а оператор компактный.
Ядро - замыкание бесконечномерного подпространства Гильбертова пространства.
Имеем противоречие, доказывающее теорему.
Лемма 2.
[pic], [pic] - замкнуты в подпространстве.
Доказательство.
Пусть [pic]. Докажем, что [pic].
[pic].
Разложим [pic] на ортогональные составляющие.
[pic][pic], где [pic].
Значит : [pic] .
1). [pic] - ограниченная последовательность, следовательно можно выбрать подпоследовательность [pic] такую, что [pic]- сходящаяся.
Тогда : [pic]. В этом случае [pic] сходится в H.
[pic].
2). [pic] - неограниченная. Можно выбрать подпоследовательность [pic] такую, что:
[pic], тогда :
[pic], [pic].
[pic], [pic], [pic]
Из сходимости следует, что ненулевые элементы принадлежат ядру и ортогональному дополнению : [pic].
Лемма 3.
[pic]
Доказательство.(первая часть)
Пусть [pic], тогда : [pic].
Получили : [pic].
Пусть [pic], тогда : [pic].
[pic].
Значит : [pic].
Введём обозначения :
[pic]
Лемма 4.
[pic].
Доказательство.
Предположим противное : пусть такого k не существует.
[pic].
Возьмём n