Курсовая работа студента гр. МТ-31 Нургалиев А.
Инновационный евразийский университет
Павлодар 2007 год.
Многие задачи математической физике приводят к дифференциальным уравнениям с частными производными. В настоящей курсовой работе рассмотрены одни из основных уравнений гиперболического типа: 4-го и наиболее часто встречающегося 2-го порядка.
Рассмотрено простейшее уравнение гиперболического типа – волновое уравнение. К исследованию этого уравнения приводят рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Приведена формула Даламбера для решения краевых задач, а также её физическая интерпретация.
Большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т.д. приводит к уравнениям более высокого порядка. В качестве примера на уравнения 4-го порядка рассмотрена задача о собственных колебаниях камертона.
2. Метод распространяющихся волн.
2.1. Вывод уравнения колебаний струны.
В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины l в начальный момент направлена по отрезку оси 0x от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.
Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси 0x и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t) которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.
Так как мы рассматриваем малые отклонения точек струны в плоскости (x,u), то будем предполагать, что длина элемента струны M1M2 равняется ее проекции на ось 0x, т.е. M1M2=x2-x1. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через T.
Рассмотрим элемент струны MM’.
На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы T. Пусть касательные образуют осью 0x углы и . Тогда проекция на ось 0u сил, действующих на элемент MM’, будет равна . Так как угол мал, то можно положить , и мы будем иметь:
(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках).
Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть масса элемента струны будет . Ускорение элемента равно . Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:
Сокращая на и обозначая , получаем уравнение движения
(1)
Это и есть волновое уравнение – уравнение колебания струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять еще граничным условия, указывающим, что делается на концах струны (x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями:
2.2. Формула Даламбера.
Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа начнем с задачи с начальными условиями для неограниченной струны:
(2)
(3)
Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик
распадается на два уравнения:
, ,
интегралами которых являются прямые
, .
Вводя новые переменные
, ,
уравнение колебания струны преобразуем к виду:
. (4)
Найдем общий интеграл последнего уравнения. Очевидно, для всякого решения уравнения (4)
,
где - некоторая функция только переменного . Интегрируя это равенство по при фиксированном , получим
, (5)
где и являются функциями только переменных и .Обратно, каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции и , функция , определяемая формулой (5), представляет собой решение уравнения (4). Так как всякое решение уравнения (4)может быть представлено в виде (5) при соответствующем выборе и , то формула (5) является общим интегралом этого уравнения. Следовательно, функция
(6)
является общим интегралом уравнения (2).
Допустим, что решение рассматриваемой задачи существует; тогда оно дается формулой (6). Определим функции и таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия:
(7)
. (8)
Интегрируя второе равенство, получим:
где и C – постоянные. Из равенства
находим:
(9)
Таким образом, мы определили функции и через заданные функции и , причем равенства (9) должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (6) найденные значения и , получим:
или
, (10)
Формулу (10), называемую формулой Даламбера, мы получили, предполагая существование решения поставленной задачи. Эта формула доказывает единственность решения. В самом деле, если бы существовало второе решение задачи (2) – (3), то оно представлялось бы формулой (10) и совпадало бы с первым решением.
Нетрудно проверить, что формула (10) удовлетворяет (в предположении двукратной дифференцируемости функции и однократной дифференцируемости функции ) уравнению и начальным условиям. Таким образом, изложенный метод доказывает как единственность, так и существование решения поставленной задачи.
2.2.2.Физический интерпретация.
Функция , определяемая формулой (10), представляет собой процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать , то функция дает профиль струны в момент , фиксируя , получим функцию , дающую процесс движения точки . Предположим, что наблюдатель, находившийся в точке x=0 в момент t=0, движется со скоростью a в положительном направлении. Введем систему координат, связанную с наблюдателем, полагая , . В этой подвижной системе координат функция будет определятся формулой и наблюдатель все время будет видеть тот же профиль, что и в начальный момент. Следовательно, функция представляет неизменный профиль f(x), перемещающийся вправо (в положительном направлении оси x) со скоростью a (распространяющуюся или бегущую волну). Функция f(x+at) представляет, очевидно, волну, распространяющуюся налево (в отрицательном направлении оси x) со скоростью a. Таким образом, общее решение (10) задачи Коши для бесконечной струны есть суперпозиция двух волн , одна из которых распространяется направо со скоростью a, а вторая – налево с той же скоростью. При этом
,
где .
Для выяснения характера решения (10) удобно пользоваться плоскостью состояний (x,t) или «фазовой плоскостью». Прямые x-at=const и x+at=const являются характеристиками уравнения (2). Функция вдоль характеристики x-at=const сохраняет постоянное значение, функция постоянна вдоль характеристики x+at=const.
Предположим, что f(x) отлична от нуля только в интервале и равна нулю вне этого интервала. Проведем характеристики и через точки и ; они разбивают полуплоскость (x,t>0) на три области I, II, и III (рис. 3, а).
Функция отлична от нуля только в области II, где и характеристики и представляют передний и задний фронты распространяющейся направо волны.
Рассмотрим теперь некоторую фиксированную точку и приведем из нее обе характеристики и , которые пересекут ось x в точках , t=0 и , t=0. Значение функции в точке равно , т. е. определяется значениями функций и в точках и , являющихся вершинами треугольника MPQ (рис. 3, б), образованного двумя характеристиками и осью x. Этот треугольник называется характеристическим треугольником точки . Из формулы (10) видно, что отклонение точки струны в момент зависит только от значений начального отклонения в вершинах P(x0-at0,0) и Q(x0+at0,0) характеристического треугольника MPQ и от значений начальной скорости на стороне PQ. Это становится особенно ясным, если формулу (10) записать в виде
(11)
Начальные данные, заданные вне PQ, не оказывают влияния на значения в точке . Если начальные условия заданы не на всей бесконечной прямой, а на отрезке , то они однозначно определяют решение внутри характеристического треугольника, основанием которого является отрезок .
2.2.3. Пример.
Решение (10) можно представить в виде суммы , где
(12)
. (13)
Если начальная скорость равна нулю (), то отклонение есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма обеих волн определяется функцией , равной половине начального отклонения. Если же , то представляет возмущение струны, создаваемое начальной скоростью.
Рассмотрим распространение начального отклонения, заданного в виде равнобедренного треугольника. Такой начальный профиль можно получить, если оттянуть струну в середине отрезка . На рис. 4 даны последовательные положения струны через промежутки времени .
Наглядное представление о характере процесса распространения можно получить с помощью фазовой плоскости (x, t). Проведем характеристики через точки и ; они разобьют полуплоскость на шесть областей (рис. 5).
Отклонение в любой точке (x,t) дается формулой (12). Поэтому в областях I, III, V отклонение равно нулю, так как характеристический треугольник любой точки из этих областей не имеет общих точек с отрезком , на котором заданы начальные условия. В области II решением является «правая волна» , в области IV – «левая волна» , а в области VI решение есть сумма «левой» и «правой» волн.
3. О колебании стержней.
В курсах методов математической физики основное место отводится уравнениям второго порядка. Однако большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т.д. приводит к уравнениям более высокого порядка.
В качестве примера на уравнения 4-го порядка рассмотрим задачу о собственных колебаниях камертона, эквивалентную задаче о колебаниях тонкого прямоугольного стержня, зажатого одним концом в массивные тиски. Определение формы колебаний камертона и его частоты сводится к решению «уравнения поперечных колебаний стержня»
(1)
К этому уравнению приходят во многих задачах о колебании стержней, при расчете устойчивости вращающихся валов, а также при изучении вибрации кораблей.
Приведем элементарный вывод уравнения (1). Рассмотрим прямоуголный стержень длиной , высотой h и шириной b. Выделим элемент длины dx. После изгиба торцевые сечения выделенного элемента стержня, предполагаемые плоскими, образуют угол , Если деформации малы, а длина оси стержня при изгибе не меняется (dl=dx), то
.
Слой материала, отстоящий от оси стержня y=0 на расстоянии , изменяет свою длину на величину . По закону Гука сила натяжения, действующая вдоль слоя, равна
,
где E – модуль упругости материала стержня. Полный изгибающий момент сил, действующих на сечение x, равен
, (2)
где
- момент инерции прямоугольного сечения относительно своей горизонтальной оси. Обозначим через M(x) момент, действующих на правую часть стержня в каждом сечении. В сечении x+dx, очевидно, действует момент сил, равный –(M+dM).
Избыточный момент –dM уравновешивается моментом тангенциальных сил
.
Отсюда в силу равенства (2) получаем величину тангенциальной силы
. (3)
Приравняв действующую на элемент результирующую силу
произведению массы элемента на ускорение
,
где - плотность стержня, S – площадь поперечного сечения (при этом мы пренебрегаем вращательным движением при изгибе), получаем уравнение поперечных колебаний стержня
(). (1)
Граничными условиями для заделанного конца x=0 являются неподвижность стержня и горизонтальность касательной
, . (4)
На свободном конце должны равняться нулю изгибающий момент (2) и тангенциальная сила (3), откуда следует, что
, . (5)
Для того чтобы полностью определить движения стержня, нужно еще задать начальные условия – начальное отклонение и начальную скорость
, (). (6)
Таким образом, задача сводится к решению уравнения (1) с граничными условиями (4), (5) и с начальными условиями (6).
Будем решать задачу методом разделения переменных, полагая
y=Y(x)T(t). (7)
Подставляя предлагаемую форму решения в (1), имеем:
.
Для функции Y(x) получаем задачу о собственных значениях
, (8)
, , , . (9)
Общее решение уравнения (8) представляется в виде
.
Из условий Y(0)=0, Y’(0)=0 находим C=-A, D=-B. Отсюда следует, что
.
Условия Y’’(l)=0 и Y’’’(l)=0 дают:
Эта однородная система имеет нетривиальные решения A и B, если определитель системы равен нулю. Приравнивая этот определитель нулю, получаем трансцендентное уравнение для вычисления собственных значений
.
Так как , то это уравнение можно записать в идее
(). (10)
Корни уравнения (10) без труда вычисляются, например, графически
Последняя формула дает значение с точностью до трех десятичных знаков, начиная с n=3, и с точностью до шестого знака для .
Рассмотрим теперь частоты колебаний камертона. Уравнению
Удовлетворяют тригонометрические функции
с частотой
,
Частоты собственных колебаний относятся как квадраты . Так как
,
То второй собственный тон выше основного тона более чем на две с половиной октавы, т.е. выше шестой гармоники струны при равном основном тоне, третье же собственное колебание выше основного тона более чем на четыре октавы. Например, если камертон имеет основную частоту в 440 колебаний в секунду (принятый стандарт a’ – ноты ля первой октавы), то следующая собственная частота камертона будет 2757,5 колебания в секунду (между c’’’’ =2637,3 и f’’’’=2794,0 – между нотами ми и фа четвертой октавы равномерно-темперированной гаммы), третья же собственная частота в 7721,1 колебания в секунду уже выходит за пределы шкалы собственно музыкальных звуков.
При возбуждении колебаний камертона ударом присутствует не только первая, но и высшие гармоники, чем и объясняется металлический звук в начальный момент. Однако с течением времени высшие гармоники быстро затухают и камертон издает чистый звук основного тона.
Дифференциальные уравнения с частными производными широко применяются в математической физике. В качестве примера в данной работе рассмотрены два уравнения.
Волновое уравнение с краевыми условиями можно свести к решению формулы Даламбера, задающуюся начальными условиями. И с помощью фазовой плоскости можно отследить характер его решения.
В процессе решения «уравнения поперечных колебаний стержня» получаем задачу о собственных значениях и задачу о нахождение частот собственных колебаний. Причем частоты собственных колебаний относятся как квадраты собственных значений.
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский «Уравнения математической физики», Москва, 1966 г.
Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление», Москва, 1970 г.
Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов «Уравнения в честных производных математической физики», Москва, 1970 г.