Рефетека.ру / Математика

Реферат: Теория случайных функций

Московский Государственный Институт Электроники и Математики

(Технический Университет)

КУРСОВАЯ РАБОТА по курсу

“Теория случайных функций“

Студент: Ференец Д.А.

Преподаватель: Медведев А.И.

Вариант: 2.4.5.б

Москва, 1995
Дано:
Восстанавливаемая, резервированная система (5,1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУ равна b.
Время невыхода из строя (т.е. безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально с параметром a.
Время восстановления вышедшего из строя элемента распределено экспоненциально с параметром m.
Тип резервироавния - ненагруженный.
Для описания состояния системы введем двумерный случайный поцесс n(t) =
(x(t), d(t)) с координатами, описывающими:

- функционирование элементов x(t) О {0, 1, 2} - число неисправных элементов;

- функционирование КПУ d(t) О {0,1} - 1, если исправен, 0 - если нет.
Так как времена безотказной работы и восстановления имеют экспоненциальное распределение, то в силу свойств экспоненциального распределения, получим, что x(t) - однородный Марковский процесс.
Определим состояние отказа системы:
Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса x(t) (т.е. отказ какого-либо элемента при количестве резервных элементов, равным нулю), либо если находится в состоянии 0 процесса d(t) (т.е. отказ какого- либо элемента и отказ КПУ).
Таким образом, можно построить граф состояний системы:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

0

1

П

[pic]

[pic]

[pic]

0 - состояние, при котором 0 неисправных элементов,

т.е. состояние n(t) = (0, d(t))
1 - состояние, при котором 1 неисправный элемент,

т.е. состояние n(t) = (1, 1)
П - состояние, при котором либо 2 неисправных элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ,

т.е. композиция состояний n(t) = (1, 1), n(t) =(2, 0) - поглощающее состояние.

Найдем интенсивности переходов.
Так как выход из строя каждого из элементов - события независимые, то получим: вероятность выхода из строя элемента: 1-exp(-5ah) = 5ah + o(h) вероятность восстановления элемента: 1-exp(-mh) = mh + o(h)
Ю [pic]

Пусть [pic]

Ю Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

[pic]

[pic]

Пусть [pic], т.е. применим преобразование Лапласа к [pic].

Т.к. [pic], то, подставляя значения интенсивностей, получаем:

[pic]

Ю [pic]

Ю [pic]

([pic] - корни [pic]=0)

Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных дробей, получаем:

[pic]

Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для функций
[pic]:

Ю [pic]
Ю [pic]

Ю Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t:

[pic],

где
[pic],
[pic]

Итак,

[pic],

где

[pic]

Определим теперь среднее время жизни такой системы, т.е. MT

(T - время жизни системы):

[pic]

Ю [pic]

[pic]

Похожие работы:

  1. • Теория случайных функций
  2. • Теория случайных функций
  3. • Теория случайных функций
  4. • Понятие случайного процесса в математике
  5. • Теория вероятностей и математическая статистика
  6. • Математические основы теории систем
  7. • Измерение случайных процессов
  8. • Автокорреляционные функции и энергетические спектры ...
  9. • Статистический анализ выборочных совокупностей
  10. • Теория вероятностей. От Паскаля до Колмогорова
  11. • Теория вероятностей и математическая статистика
  12. • Розрахунок типових задач з математичної статистики
  13. • Философские вопросы математики
  14. • Выдающиеся русские экономисты
  15. • Математика и современный мир
  16. • Механизм прогнозирования как инструмент управления ...
  17. • Анализ системы обработки и учета информации при разработке ...
  18. • Совершенствование полуэмпирических методов ...
  19. • Корреляционный анализ солнечной и геомагнитной ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com