Московский Государственный Институт Электроники и Математики
(Технический Университет)
КУРСОВАЯ РАБОТА по курсу
“Теория случайных функций“
Студент: Ференец Д.А.
Преподаватель: Медведев А.И.
Вариант: 2.4.5.б
Москва, 1995
Дано:
Восстанавливаемая, резервированная система (5,1) с КПУ, вероятность
срабатывания КПУ равна b.
Время невыхода из строя (т.е. безотказной работы) основного элемента
распределено экспоненциально с параметром a.
Время восстановления вышедшего из строя элемента распределено
экспоненциально с параметром m.
Тип резервироавния - ненагруженный.
Для описания состояния системы введем двумерный случайный поцесс n(t) =
(x(t), d(t)) с координатами, описывающими:
- функционирование элементов x(t) О {0, 1, 2} - число неисправных элементов;
- функционирование КПУ d(t) О {0,1} - 1, если исправен, 0 - если нет.
Так как времена безотказной работы и восстановления имеют
экспоненциальное распределение, то в силу свойств экспоненциального
распределения, получим, что x(t) - однородный Марковский процесс.
Определим состояние отказа системы:
Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса x(t) (т.е.
отказ какого-либо элемента при количестве резервных элементов, равным
нулю), либо если находится в состоянии 0 процесса d(t) (т.е. отказ какого-
либо элемента и отказ КПУ).
Таким образом, можно построить граф состояний системы:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
0
1
П
[pic]
[pic]
[pic]
0 - состояние, при котором 0 неисправных элементов,
т.е. состояние n(t) = (0, d(t))
1 - состояние, при котором 1 неисправный элемент,
т.е. состояние n(t) = (1, 1)
П - состояние, при котором либо 2 неисправных элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ,
т.е. композиция состояний n(t) = (1, 1), n(t) =(2, 0) - поглощающее состояние.
Найдем интенсивности переходов.
Так как выход из строя каждого из элементов - события независимые, то
получим: вероятность выхода из строя элемента: 1-exp(-5ah) = 5ah + o(h) вероятность восстановления элемента: 1-exp(-mh) = mh + o(h)
Ю [pic]
Пусть [pic]
Ю Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:
[pic]
[pic]
Пусть [pic], т.е. применим преобразование Лапласа к [pic].
Т.к. [pic], то, подставляя значения интенсивностей, получаем:
[pic]
Ю [pic]
Ю [pic]
([pic] - корни [pic]=0)
Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных дробей, получаем:
[pic]
Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для функций
[pic]:
Ю [pic]
Ю [pic]
Ю Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t:
[pic],
где
[pic],
[pic]
Итак,
[pic],
где
[pic]
Определим теперь среднее время жизни такой системы, т.е. MT
(T - время жизни системы):
[pic]
Ю [pic]
[pic]