ОГЛАВЛЕНИЕ

Оглавление 1
Введение 3
Объект и устройство 3
Задачи управления 4
Матричный формализм в теории систем 6
Линейные операторы 6
Инвариантное подпространство 6
Действия над векторами 8
Матрицы и линейные преобразования 10
Понятие матриц 10
Операции над матрицами 11
Транспонированная матрица 12
Теорема Гамильтона-Келли 13
Обратная матрица 13
Диагонализация матриц 13
Понятие динамического объекта 14
Уравнение вход-выход-состояние 15
Объекты управления с непрерывным временем 19
Способы вычисления матричной экспоненты 21
Весовая функция 24
Передаточные функции и их свойства 26
Объекты управления с дискретным временем 27
Решетчатые функции 28
Разностные уравнения 29
Структурные свойства объектов управления 33
Наблюдаемость 35
Характеристики управляемости 35
Сигналы в задачах управления и наблюдения динамических объектов 36
Скачкообразная и переходная функции 38
Импульсная и весовая функции 39
Детерминированные стохастические сигналы и системы 40
Модели случайных сигналов 42
Векторные (многомерные) случайные величины 42
Числовые характеристики (моменты) случайных величин
43
Моменты многомерных случайных величин 46
Коварционная матрица 48
Элементы теории случайных функций 48
Линейные операции над случайными функциями 52
Стационарные случайные функции 55
Оптимизация в теории систем 55
Постановка задачи оптимального управления 56
Классификация задач оптимального управления 57
Динамически задачи оптимизации управления 59
Классическая задача оптимизации 61
Выпуклые и вогнутые функции 61
Задачи нелинейного программирования 62
Метод штафных функций 62
Ограничения типа равенств неотрицательность переменных 63
Квадратичное программирование 64
Итеративные методы поиска оптимума 64
Градиентный метод 64
Метод наискорейшего спуска (подъема) 64
Алгоритм Ньютона 65
Задачи и методы линейного программирования 65
Геометрическая интерпритация основной задачи программирования 66
Симплекс метод 66

ВВЕДЕНИЕ.

Кибернетика - это наука об управлении, а также передаче и обработке информации в технических и нетехнических системах. Кибернетика возникла на базе техники и прежде всего техники регулирования, связи и машинной вычислительной техники, причем здесь нашли применение методы различных математических дисциплин, таких как теория функций, теория вероятности, статистика и математическая логика. Новым и можно сказать революционным моментом явилось то, что эти способы и математические методы, применявшиеся первоначально в технике, оказались удобными для анализа определенных явлений и достижения определенных целей в нетехнических системах и, прежде всего, и биологии и философии, экономики и общественных науках.

Теория автоматизации при предварительном определении понятия можно назвать кибернетикой. В автоматизированных процессах при автоматизации установок производственной техники, мы находим переплетение производственной и информационной техники.
Оно характеризуется тем, что на основании информации, получаемой путем измерения и затем перерабатываемой, оказывается воздействие на поток энергии или вещества таким образом, чтобы целенаправленно изменить определенные физические или технико-экономические параметры. Этот процесс называется управлением.

Управление - это целенаправленное воздействие на параметры или на отдельные системы и их поведение.

ОБЪЕКТ И УСТОЙСТВО.

Объект (объект управления) является частью данной установки, на которую оказывает управляющее воздействие и изменения которой являются определяющими для выполнения задачи управления.

СТРУКТУРНАЯ СХЕМА УПРВЛЕНИЯ

Управляемый

параметр исполнительный сигнал или сигнал управления

задающее воздействие поток информации

Рис. 1

Регулятором (управляющее устройство) называется совокупность звеньев, которые служат для оказания воздействия на объект через исполнительный орган в соответствии с поставленной задачей. Исполнительным органом называется звено, которое служит для непосредственного целенаправленного воздействия на поток энергии или вещества, он обычно относится к объекту.
Звенья объекта и устройства управления называются элементарными звеньями.
Временные характеристики входных и выходных параметров этих звеньев называются входными и выходными сигналами.

Входные сигналы, воздействующие на объект, называются сигналами помехи.

ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

Ранее мы охарактеризовали управление как целенаправленное воздействие на параметры процесса или системы. прежде чем осуществить такое целенаправленное воздействие, исследуем задачи.

Конкретная постановка задачи гласит.
1. Основные параметры процесса, несмотря на воздействие возмущения, должны стабилизироваться или изменяться согласно заданию.
2. Заданные параметры (температура, давление и т.д.) должны регулироваться так, чтобы обеспечивался удовлетворительный или оптимальный режим работы, чтобы желаемый выходной продукт производился в достаточном или в максимально возможном количестве, чтобы заданное количество выходного продукта имело минимальную себестоимость.
3. При изменении производственной задачи или условий протекания, процесс должен легко перестраиваться на другой режим работы. Например, пуск и остановка процесса загрузки, производственного или энергетического процесса при ремонте и т.д. Задача 2 требует построения только статической модели процесса и является статической проблемой, так что мы можем говорить об управлении в статическом режиме.

Задачи 2 и 3 касаются динамического режима, так как компенсация изменяющихся возмущающих воздействий, необходимая для стабилизации, сравнение параметров процесса с изменяющимся задающим воздействием, а также перестройка при переходе от одного режима в другой, могут быть решены только с учетом динамических характеристик процесса. Отсюда следует, что здесь идет речь об управлении в динамическом режиме.

В качестве основы для отыскания решения и оценки качества приложенной схемы управления используем количественную меру. Она выражается целевой функцией. При решении проблем 1 и 3 может быть использовано время T, в течении которого автоматическая система компенсирует скачкообразное возмущающие воздействие с точностью до заданной допустимой погрешности или в течении которого будет осуществляться процесс перехода в новое состояние.
Время T при этом характеризует качество автоматического управления. При решении проблемы 1 можно использовать интеграл от абсолютной ошибки, представляющий разность между заданными и действительными значениями регулируемой величины в том случае можно говорить о функции ошибки.

В зависимости от того, что выражает целевая функция (качество или прибыль, ошибку или стоимость), цель к которой надо стремится, состоит в том, чтобы изменять регулируемые величины или свободные параметры в пределах допустимых или возможных границ так, чтобы целевая функция имела максимальное или минимальное значение. Таким образом, мы получим оптимальное управление. В других случаях, например, при отсутствии полных сведений о процессе или с целью снижения затрат на аппаратуру и вычислительные устройства, можно ограничиться субоптимальным, удовлетворяющим уравнением.

МАТРИЧНЫЙ ФОРМАЛИЗМ В ТЕОРИИ СИСТЕМ.

ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

Рассмотрим линейное n - мерное пространство Un. Пусть задано правило, которое ставит в соответствии произвольному вектору X пространства Un определенный вектор Y того же пространства. В этом случае вектор X называется прообразом, а вектор Y - образом вектора X. Это правило называется преобразованием пространства Un или оператором, заданном в пространстве Un.

Преобразования (операторы) будем условно обозначать буквами А,В,С,...
Например можно написать, что:

(1) АХ=Y
Равенство (1) читается так: преобразование (оператор) А, примененное к вектору Х, ставит ему в соответствие вектор Y.

Преобразование (оператор) называется линейным преобразованием
(линейным оператором), если выполнено условие:

(2) A(Х+Y)=АХ+АY

(3) А(?Х)=?(АХ), где ?- произвольное число таким образом, линейное преобразование переводит сумму векторов в сумму их образов, а произведение вектора на число в произведение образа того вектора на это же число.

ИНВАРИАНТНОЕ ПОДПРСТРАНСТВО.

Пусть Х n - мерное линейное пространство и у=Ах -линейное преобразование на пространстве Х. Пусть X1?X является некоторым подпространством Х, обладающим однако, тем свойством, что если х?Х1, то и у=Ах?Х1. Подпространство Х1, обладающее подобными свойством, называют инвариантным относительно линейного преобразования у=Ах.

Особенно интересны одномерные инвариантные пространства, представляющие собой прямые в пространстве Х, проходящем через начало координат.

Если х - произвольная точка пространства Х ? - вещественная переменная, меняющаяся от -? до +?, то dx будет представлять собой одномерное подпространство Х, проходящее через х(при ? =0), как показано на рисунке 2. x2

3 dx

2 x1

Такое одномерное подпространство будем обозначать R1. Предположим, что среди бесконечного множества одномерных пространств R1 найдутся такие, которые инвариантны относительно у=Ах, т.е. для любого x?R1, имеет место у=Ах?R1.
Обозначим через ? отношение у к х, которое при этом будет просто вещественным числом, т.е. можно записать у=?х, таким образом если R1
-инвариантное пространство, то для х?R1 имеет место равенство:

(4) Ах=?х
Вектор х?0, удовлетворяющий соотношению (4) называют собственным вектором матрицы А, а число ? - собственным значением матрицы А.
Для определения характеристических чисел матрицы перепишем соотношение (4) в ином виде, введя тождественное преобразование х=Iх. При этом получим:

(5) (А-?I)х=0
Соотношение (5) представляет собой систему линейных однородных уравнений, которая может быть записана в явном виде как:

(a11-?)x1+a12x2+...+a1nxn=0;

(6) a21x1+(a22-?)x2+...+a2nxn=0;

......................... an1 x1+an2x2+...+(a nn-?)xn=0;
Матрица вида (А-?I) (6) называется характеристической матрицей А.
Определитель характеристической матрицы называется характеристическим многочленом матрицы А. Корни характеристического многочлена матрицы называются характеристическими числами этой матрицы. Из свойств решения уравнения (6) нетривиальное решение (отличное от нуля) возникает только тогда, когда имеется бесчисленное множество решений:

(7) det(A-?I)+a0?n+a1?n-1+....+an-1?=0
Подставив любое собственное значение в исходную систему уравнений (6), получим уравнение:

(8) (А-?iI)х=0 которое имеет непрерывное решение, так как det(A-?iI)=0
Это решение дает вектор хi, определяемый с точностью до скалярного множителя. Этот вектор называется собственным вектором матицы А.

Свойства:
1. Если собственные числа матрицы А различны (корни характеристического уравнения не равны), то порождаемые или собственные векторы образуют систему линейно независимых векторов.
2. Если матрица А симметрическая, то собственные числа такой матрицы всегда вещественны, а собственный вектор в матрице образует систему ортогональных векторов.

Линейные пространства, элементами которых являются, упорядоченные последовательности n-вешественных чисел называются векторами.

ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ.

Упорядоченные последовательности из n - чисел х(1),...,х(n), могут быть записаны в виде вектор - столбца или вектор - строки;

x(1) n n

(9) х= ..... = x)i) ; (x(1),...,x(n))=(x(i)) x(n) 1 1
Эти числа, составляющие вектор, называются компонентами вектора.
Если один из этих векторов обозначить буквой х, то другой будем обозначать х и называть транспонированным вектором. n

(10) х=(х(i)) =(х(1),...,х(n))

1
Число n компонент вектора называется его размерностью.

СВОИСТВА ВЕКТОРОВ. а) х=у, если равны их компоненты: x(i)=y(i) x(1) y(1) x(1)+y(1) б) х+у= ...... + ...... = ........... -сумма векторов. x(n) y(n) x(n)+y(n) в) Разность векторов х-у представляет собой вектор z, такой, что у+z=х. г) умножение вектора на скаляр x(1) ?x(1)

?x=х?=? ....... = ......... x(n) ?x(n)

СКАЛЯРНОЕ ПРИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. x1 y1
Пусть х= х2 и у= у2 два вектора в трех мерном x3 y3 пространстве. Скалярным произведением этих векторов называют скалярную величину:

(11) хTу=уTх=х1у1+х2у2+х3у3
Нормой или длинной вектора х в евклидовом пространстве называют число:

(12) х = х =(хTх)Ѕ , где х -норма вектора х.
Линейное пространство в котором определено скалярное произведение называется евклидовым пространством.

БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА.

Пусть имеем систему векторов

(13) х1, х2, х3,..., хn
Базисом (базой) системы векторов (13) называется такая линейно-независимая ее подсистема, через которую линейно выражаются все указанные векторы.

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ.

Пусть х=(х1, х2) и у=(у1, у2) - два вектора на плоскости. Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс совпадала с направлением вектора х, так что x1= x , х1 =0 (рис.3)

2 y2 y

? x y1 1 обозначим через угол ? между векторами х и у при этом хTу=х1у1+х2у2= х * у cos?
Угол между векторами определяется:

?=arccos(xTy/ x y ) при |х|=1 скалярное произведение хTу определяет проекцию вектора у называется ортогональным, если угол между ними равен 90?, т.е. если хTу=0.

МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

ПОНЯТИЕ МАТРИЦ.

Матрицей А размером m*n называют таблицу, содержащую m-строк и n- столбцов, элементами которой являются вещественные или комплексные числа a11 .......... a1n

A= ...................... =[aij] am1 .......... amn
Если m=n, то матрицу называют квадратной.
Матрицы А=[аij] и В=[вij] равны (А=В) в том и только в том случае, если имеют один и тот же размер аij=вij для всех ij.

Преобразованием линейного n-мерного пространства Х называют оператор
А, отображающий это пространство в m - мерное линейное пространство Y:

(1) А:Х>Y
Таким образом, преобразование А ставит в соответствие каждому вектору х пространства Х вектор

(2) Y=А-х, пространства Y.
Преобразование А называют линейным, если выполняется условие:

(3) А(х1+х2)=Ах1+Ах2, А(?хi)=?Ах

Условие (3) будет выполнятся, если между компонентами хi и уj векторов х и у имеется линейная зависимость вида: n ___

(4) у(i)= S aijx(j), i=1,m ,где аij - произвольное число j=1 ____ ___
Совокупность чисел аij, i=1,m; ;j=1,n образуют матрицу: a11......a1n

A= ................ = [aij] am1......amn которую называют матрицей линейного преобразования. у=Ах можно записать в виде умножения матрицы на вектор: y(1) a11......a1n x(1)
(5) .... = ............... * ..... y(n) am1......amn x(n)

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО.

Пусть А матрица линейного преобразования Ах, ?- число.

(6) ?А=[? аij ]
При умножении матрицы А на число ? все ее члены умножаются на это число.

СУММА МАТРИЦ.

Пусть у=Ах и v=Вх - два линейных преобразования с матрицами А=[aij] и
В=[вij] размером m*n.
Рассмотрим новое линейное преобразование, ставшее в соответствие каждому вектору х?Х вектор у+v?Y

(7) у+v=Ах+Вх=(А+В)х
Преобразование (А+В)х называют суммой линейных преобразований Ах и Вх, или:

(8) А+В=[aij]+[вij]
При сложении двух матриц одинакового размера получается новая матрица того же размера, элементы которой равны сумме элементов складываемых матриц.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ.

Пусть X,Y,Z-линеиные пространства размерностью m, r, n и пусть у=Вх, z=Ау - линейные преобразования пространства Х в пространство Y, и пространства Y в пространство Z, где В=[вkj] и A=[aik] матрицы размером m*k и k*n соответственно. Произведением преобразований Ау и Вх называют новое линейное преобразование Сz.

(9) Z=Cx=A(Bx)=ABx
Матрицу С=АВ размером n*n называют произведением матриц А и В. n ___ ___

(10) Сij= S аikвkj , i=1,n , j=1,m k=1
Согласно (10) элемент Сij матрицы С представляет собой скалярное произведение i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, так что произведение матриц АВ символически может быть представлено в виде: a11...a1k в11...в1m

(11) АВ= ............ * ............. an1...ank вk1....вkm

ТРАНСПОНИРОВАНАЯ МАТРИЦА.

Пусть А=[aij] - матрица размером m*n. Матрица АT=[а'ij] размером m*n, строки которой являются столбцами матрицы А, столбцы строками матрицы А.
Элемент а'ij матрицы АT определяют по элементам аij матрицы А из соотношения:

(12) а'ij=аji

ОСОБЕННОСТИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ.

В квадратной матрице число строк равно числу столбцов.
Определителем квадратной матрицы называют, определитель составленный из элементов aij этой матрицы и обозначают det A.
Определитель det A обладает следующими свойствами:
1) при умножении на ? любого столбца матрицы А определитель det A умножается на ?;
2) перемена местами двух соседних столбцов меняет знак det A на противоположный;
3) если любые два столбца матрицы равны между собой, то det A=0;
4) добавление к любому столбцу матрицы любого другого столбца, умноженного на произвольный скалярный множитель, оставляет det A неизменным;
5) если столбцы матрицы линейно зависимы, то det A=0;

ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА-КЕЛЛИ.

Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического уравнения.

(13) det (A-?I)=a0?n+a1?n-1+...+an-1? an=0
(14) a0An+a0An-1+an-1A+anI=0[n*n]

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А размером n*n, назовем такую матрицу А-1 того же размера, для которой справедливо соотношение:

(15) А*А-1=А-1*А=Е
Пусть у=Ах - линейное преобразование с квадратной матрицей А=[xij].
Обратным преобразованием называют преобразование х=А-1у. Матрицу А-1 этого преобразования называют обратной по отношению к матрице А.

(16) А-1=(1/detA) [Aij]T , где Аij - алгебраическое дополнение элемента а в определителе матрицы.
Система уравнений Ах=у называется определенной и имеет единственное решение, если detA?0. Матрица А, для которой выполнено это условие, называют невырожденной.

ДИАГАНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦ.
Вид квадратной матрицы А линейного преобразования у=Ах, может быть изменен без изменения характеристического уравнения этой матрицы путем использования преобразования подобия.
Пусть А - квадратная матрица; С - произвольная невырожденная матрица.
Преобразованием подобия называют преобразование:

(17) В=С-1*А*С
Преобразование подобия позволяет приводить некоторые виды квадратных матриц к диагональной форме, являющейся наиболее удобным видом матрицы.

?1 0 0

(18) diag[?1 ?2 ......?n ]= 0 ?2 0

0 0 ?n
Нормой матрицы А размер m*n называется сумма модулей ее элементов: m n

(19) |А|= S S |a ij | i=1 j=1
При решении задач удобно ввести матрицы, элементы которых являются функциями независимой переменной t.
Эти матрицы имеют вид: a11(t) a12(t) ...... a1n(t)
(20) А(t)= a21(t) a22(t) ...... a2n(t)

............................ am1(t) am2(t) ..... amn(t) и называются функциональными матрицами.
Производной матрицы А(t) по независимому переменному называется матрица
А(t) вида:

da11(t)/dt da12(t)/dt ...... da1n(t)/dt

(21) А(t)= dA(t)/dt =
............................................................. = dam1(t)/dt adm2(t)/dt ...... damn(t)/dt

=[daij(t)/dt]

1.3 ПОНЯТИЕ ДИНАМЧЕСКОГО ОБЬЕКТА.
Физический объект - физическое устройство, характеризуемое некоторым числом свойств, соответствующих целям его использования.

В теории систем существенным является не физическое, а математическое описание свойств объекта и соотношений между ними. В теории систем объектом
А является абстрактный объект, связанный с множеством свойств, который обычно характеризуется числами или набором чисел. Таким образом, фактически абстрактный объект или просто объект представляет собой множество переменных вместе с отношениями между ними.

Вспомогательные определения и понятия: v1, v2,...- основные переменные объекта А.
Основное уравнение - соотношение между основными переменными.
(1) A(1)(v1,..., vn)=0 Основное уравнение объекта A,

A(2)(v1,...., vn)=0 где A(j), j=1,..., m

..................... vi , i= 1,..., n

A(m)(v1,..., vn)=0 m и n - конечные числа
Если абстрактный объект A определяется соотношениями (1) без каких - либо указаний, какие переменные являются входными (причина), а какие - выходными
(следствия), то A будем называть неориентированным объектом.
Если основные переменные подразделены на две группы - входные и выходные переменные, играющие роль независимых и зависимых, то A будет называться ориентированным объектом.
Состояние объекта A в момент t0 может рассматриваться как параметр S(t0), связанной с каждой парой вход-выход
(U[t0, t], Y[t0, t]), таким образом, что Y[t0, t] единственным образом определяется заданием U[t, t] и S(t0).

Иначе говоря, состояние объекта в момент t0 есть некоторый набор чисел, представленный, например, вектором ?, который изменяется в пространстве S так, что знание (1)?, (2) - уравнения вход-выход для объекта и (3) - входа U[t0,t]] является достаточным для однозначного определения входа y[t0,t].

S(t0) - называется состоянием объекта в момент t0.

[t0,t]- интервал наблюдаемости

УРАВНЕНИЕ ВХОД-ВЫХОД-СОСТОЯНИЕ.
Пусть А- ориентированный абстрактный объект, U,у - вход и выход на интервале наблюдения [t0,t] - переменная в пространстве S, R[U], R[y]- пространство входа и выхода.

(2) y(t)=A (?;U[t0,t]) ? t>t0 где A- функция ? и U[t0,t]
U и у принадлежат R[U], R[у]
Уравнение (2) является уравнением вход-выход состояния. Символьная форма записи вход - выход - состояние.

(2') у[t0,t]=A (?,U), где черта над A служит для того, чтобы отличить у(t) и у[t0,t]
Следовательно пара U[t0,t],у[t0,t] удовлетворяет уравнению вход - выход - состояние (2), если U[t0,t] и у[t0,t] составляют пару вход-выход по отношению к некоторому ? в S.

В соответствии с уравнением (2') можем записать:

R[y]= { A(?,U)| ??S, U? R[U] }
Условия взаимной совместимости:
Каждая пара вход-выход для удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние
(2')
Более детально: (1) если (U[t0,t],у[t0,t]), или проще (U,у) является любой парой функции времени (при U?R[U], у?R[y]), удовлетворяющих уравнению А(U,y)=0, то (U,y) удовлетворяет также и (2') в том смысле, что существует ?0 в S такое, что

(3) у= A (?0,U[t0,t]), и (2) любая функция времени (U,y), удовлетворяющая уравнению (2') для некоторого ?, принадлежащего S на интервале наблюдения [t0,t], является парой вход-выход для A.
Первое условие собственной совместимости:
Для того, чтобы множество S могло называться пространством состояний A , оно должно иметь следующее свойство: если дана любая точка ? в S (которую мы назовем состоянием A в момент t0) и любой вход U[t0,t] в пространстве входов A, то выход в момент t однозначно определяется значением ? и
U[t0,t], и не зависит от значений U и y в момент времени, предшествующий t0, т.е. для всех t0 реакция y(t) в любой момент времени t>t0, однозначно определяется заданием ? и U[t0,t].
Это свойство является ключевым в понятии состояния. Второе условие собственной совместимости.

Если уравнения вход - выход-состояние удовлетворяется при подстановке пары (U[t0,t],у[t0,t]), тогда оно удовлетворяется при подстановке всех пар вида (U[t,t1], у[t,t1]), где t0Rf

Z(f+g)=Z(f)+Z(g) ?|Z|>max (Rf,Rg)

2. Теорема обращения f(nT)=1/2?j ?Г F(Z)Z-1 dZ, n=0,1,..., где Г - любая замкнутая спрямляемая кривая, охватывающая начало координат и лежащая вне окружности |Z|=R>Rf.

3. Теорема о начальном значении. f(0+)= lim F(Z)

Z>?

4. Теорема сдвига.
Если F(Z) есть Z- преобразование последовательности {f0,f1,f2,...}, то Z-
1F(Z) есть Z-преобразование последовательности {0,f0,f1,f2,...}.

1.6. СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ.

Введение: Реакция любой линейной системы содержит две составляющие: реакцию при нулевом входе и реакцию при нулевом состоянии, причем последняя характеризуется передаточной функцией.

Рассмотрим линейную стационарную систему У с несколькими входами и выходами описываемую уравнениями:

(1) x=Ax+Bu

(2) y=Cx+Du где A,B,C,D- (n*n), (n*r), (p*n) и (p*r)- постоянные матрицы; x- n-мерный вектор, характеризующий состояние данной системы; u- входной r-мерный вектор, у- входной p-мерный вектор.

Будем говорить, что система У управляема, если при известных матрицах A и B и состоянии x0 системы при t0 можно найти некоторый вход u[t0,t0+T], который будет переводить систему из состояния x0 в нулевое состояние 0 в момент t0+T.

Опр. Система Ф, определенная уравнением (1) называется управляемой в том и только том случае, если для всех х0??N при начальном состоянии x0 системы в момент t=0 и некотором конечном T(T>0) найдется вход U[0,T] такой, что:

(3) x(T;x0;0;U[0;T])=0

Опр. Состояние х1 системы У, описываемой уравнением (1), будем называть управляемым в том и лишь в том случае, если для некоторого конечного Т существует управление U[0,T] такое, что: x(T;x1;0;U[0;T])=0

НАБЛЮДАЕМОСТЬ.

Понятие наблюдаемости тесно связано с понятием управляемости.
Управляемость означает, что, зная начальное состояние и матрицы, характеризующие рассматриваемую систему, можно найти вход, который переводит это состояние в нулевое конечное время. Наблюдаемость означает, что знания матриц характеризующих систему, и реакции при нулевом входе
Y[0,t] на конечном интервале достаточно для однозначного определения начального состояния данной системы.

Определение: система, описываемая (1) и (2) называется наблюдаемой в том случае, когда, для некоторого Т>0 и всех возможных начальных состояний х(0), значения матриц А и С и реакции при нулевом входе Y[0,t] достаточно, чтобы определить начальное состояние x(0).

Тh: Система, Y описываемая (1), (2) наблюдаема в том и лишь в том, случае, если на np столбцов матрицы Р=[С* ,А* С* ,..,А*(n-1) С* ] натянуто пространство состояний ? . ( Матрицы А*, С*,. получаются транспонированием матриц А, С,. и заменой их элементов комплексно сопряженными. )

ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРАВЛЯЕМОСТИ.

Тh: Система Y , описываемая уравнением (1), управляема тогда и только тогда, когда на вектор столбцы В,АВ,..,B(n-1) матрицы Q?[В,АВ,...,А(n-1)В] натянуто пространство состояний системы Y. Рассмотрим интерпритацию этой теоремы в терминах канонической экордановой формы матрицы системы. Такая форма позволяет определить управление, требуемое для перевода любого состояния в нулевое. Для простоты будем рассматривать систему с одним входом, описываемую уравнением:

(6) х=Ах+Вu где А постоянная матрица порядка n, В -n-мерный вектор, u-скалярный вход.

Если минимальный многочлен матрицы А имеет степень k?(n-1, то система, характеризуемая уравнением (6), неуправляема.
Произведем замену переменных, положив х=Тy, причем матрица Т такова, что Т(-
1)АТ=J, где J-каноническая форма Экордана матрицы А. Если обозначить е=Т(-
1)В, то уравнение (6) преобразуется к виду:

(7) y=Jy+eU

Th. Пусть А имеет различные собственные значения, так что
J=diag(?1,...,?N). Тогда система, описываемая (6), управляема в том и только в том случае, когда все компоненты вектора e=Т-1В отличны от нуля.

1.7. СИГНАЛЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЬЕКТОВ.

Временная функция (форма передачи), передаваемая материальным параметром, называемым носителем информации или пространственное размещение
(форма заполнения ), называется сигналом, если она по меньшей мере с помощью одного из ее параметров передает информацию. пример:

t t
Носителем информации здесь является электрическое напряжение; информационным параметром амплитуда импульса. В качестве сигнала можно рассматривать временную функцию U(t) (математическую функцию).

Сигналы называются аналоговыми или дискретными, если они передают или изображают аналоговую или дискретную информацию. В аналоговых сигналах информационные параметры в пределах определенных границ могут принимать любое значение, а в дискретных сигналах они принимают только дискретные значения.

Дискретные сигналы, информационные параметры, которых могут принимать только два дискретных значения, называются двоичными.

Цифровыми сигналами являются закодированные дискретные сигналы, в которых дискретные значения информационного параметра соответствуют словам условного алфавита. Все дискретные сигналы не являющиеся цифровыми называются многозначными. Для классификации сигналов имеет значение разделения их на непрерывные и импульсные.

Сигналы называются непрерывными, если их информационные параметры изменяются в любой момент времени, и импульсными, если они изменяются в дискретные моменты времени.
Схема прохождения сигналов кибернетической системы представляет собой граничное изображение (статической и динамической) характеристик звеньев и связей с общей системой. Схема прохождения сигналов представляет собой графическое изображение математической модели системы. Математическая модель является совокупностью всех уравнений, которые описывают соотношение между всеми рассматриваемыми входными и выходными сигналами. Для изображения схем прохождения сигналов наиболее употребительны два способа, которые имеют определенные преимущества: способ изображения в виде структурной схемы и изображение в виде графа прохождения сигнала. При изображении схемы прохождения сигналов в виде структурной схемы звенья показываются в виде блоков, а стрелками указываются направления прохождения сигналов. Структурная схема представляет собой схематическое (качественное) изображение передаточных звеньев системы и ее связей через входные и выходные сигналы. Качественное описание характеристики звена с выходными сигналами U1,...,Um должна пониматься характеристика передачи в установившемся режиме, которая описывается статическим передаточным уравнением:

1) xg=x(?)=lim x(t)=f(U1,...,U v) t>? в случае если существует х (?).

Под динамическими характеристиками понимается зависимость выхода системы от ее входа в переходном процессе. Динамическая характеристика системы или звена может, быть описана различными способами.

Для аналоговых звеньев, входные и выходные характеристики которых изменяются непрерывно, характеристика передачи может быть, описана следующим дифференциальным уравнением в скалярной форме (после деления всех членов на коэффициент х”)

(2) xn +An-1 xn-1+...+A1 x+A0 x=Bm Um+...+B0 U где U(t)-входной сигнал, x(t) выходной сигнал. x=q1, x=q2, xn-1=qn получим уравнения системы для случая одномерного пространства:

(3) q(t)=Aq(t)+Bu(t) x(t)=cTq(t)+du(t)

CКАЧКООБРАЗНАЯ И ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИИ.

Передаточные свойства линейного звена характеризуются реакцией на скачкообразное изменение входного сигнала: us(t)=uо?(t)= 0, при t0 h
Случайную функцию, для которой существует производная в среднем квадратичном, будем называть дифференцируемой. Случайная функция X(t) называется непрерывной в среднем квадратическом, если существует предел:

(20) lim X(t)=X(t?) h>0
Корреляционная функция производной dX?(t)/dt=Y?(t) равна:

d2K(t1,t2)

(21) Ky(t1,t2)= dt1dt2
Взаимная корреляционная функция процесса Х?(t) и его производной равна:

(22) Kxy(t1,t2)=dK(t1,t2)/dt2
Из этих равенств по индукции можно показать справедливость соотношения: dn+mKx(t1,t2)

(23) Kx(n)x(m)(t1,t2)= dt1n dt2n где x(n)(t) и x(m)(t)- соответственно n-я и m-я производные в среднем квадратичном случайной функции Х(t).

3. Интегрирование случайной функции.
Пусть заданы случайная функция Х(?) и неслучайная функция q(t, ?), где параметр ? изменяется в интервале (а, в). Разобьем интервал (а, в) точками
??=а,??,...,?n=в, на n частей и составим сумму: n

(24) S X?(?i) q(t,?i)(?i-?i-1) i=1 значение ?i выбрано произвольно в промежутке?i-1????i. Рассмотрим предел в среднем квадратическом суммы: при n>? и max[?i-?i-1]>0 n

(25) lim S X?(?i) q(t, ?i)(?i-?i-1) n>? i=1
Если этот предел существует, то он называется интегралом от случайной функции X?(t) в среднем квадратическом с весом q(t,?) и обозначается:

b n

(26) Y= ] X?(?) q(t,?) d? = lim S X?(?i) q(t,?i) ??i a n>? i=1
Рассмотрим случайную функцию Y(t). Согласно определения интеграла от случайной функции получим: b

(27) Y(t)= ? X(?) q(t,?)d? a

Математическое ожидание случайной функции Y(t): b

(28) M[Y(t)]= ? mx(?) q(t,?) d?, где mx=M[X(t)] a

Из неравенства (28) следует, что если существует интеграл, то математическое ожидание интеграла от случайной функции Х(t) равно интегралу от математического ожидания этой случайной функции.

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ.

Существуют случайные функции, не изменяющие свой характеристики с течением времени. Такие случайные функции называются стационарными.
Случайная функция, для которой все n-мерные функции распределения вероятностей не изменяются с изменением начала отсчета времени, называются стационарными в узком смысле.

1.10 ОПТИМИЗАЦИЯ В ТЕОРИИ СИСТЕМ.

Задачу управления в дальнейшем будем рассматривать как математическую.
Однако в отличии от многих других математических задач она имеет ту особенность, что допускает не одно, а множество различных решений. Поэтому задачу управления можно было бы ставить как задачу нахождения хотя бы одного из возможных способов достижения поставленной цели. Если имеется множество решений какой-либо задачи, то следует вести речь о выборе такого решения, которое с какой либо точки зрения являлось наилучшим.

В тех случаях, когда цель управления может быть достигнута, несколькими различными способами, на способ управления можно наложить добавочные требования, степень выполнения которых может служить основанием для выбора способа управления.

Во многих случаях реализация процесса управления требует затрат каких- либо ресурсов: времени, материалов, топлива, электроэнергии.

Следовательно, при выборе способа управления следует говорить не только о том, какие ресурсы придется затратить на ее достижение.

Математическое выражение, дающее количественную оценку степени выполнения наложенных на способ управления требований, называют критерием качества управления.

Наиболее предпочтительным или оптимальным способом управления будет такой, при котором критерий качества управления достигает минимального
(максимального) значения.

Задачу нахождения оптимального управления или управления вообще следует читать несущественной если на характер движения, не наложено ни каких ограничений.

В общем случае имеется два вида ограничений на выбор способа управления. Ограничением первого вида являются сами законы природы, всоответсвии с которыми происходит движение управляемой системы. При математической формулировки задачи управления эти ограничения представляются обычно алгебраическими дифференциальными или разностными уравнениями связи. Второй вид ограничений вызван ограниченностью ресурсов, используемых при управлении, или иных величин, которые в силу физических особенностей той или иной системы не могут или не должны превосходить некоторых пределов.

Математические ограничения этого вида выражаются обычно в виде системы алгебраических уравнений или неравенств, связывающих переменные, описывающие состояние системы.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Задачу оптимального управления можно считать сформулированной математически, если: сформулирована цель управления, определены ограничения первого вида, представляющие собой системы дифференциальных или разностных уравнений сковывающих возможные способы движения системы, определены ограничения второго вида, представляющие собой систему алгебраических уравнений или неравенств, выражающих ограниченность ресурсов или иных величин используемых при управлении.

Способ управления, который удовлетворяет всем поставленным ограничениям и обращает в минимум (максимум), критерий качества управления, называют оптимальным управлением.

КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.

1. Одношаговые задачи принятия решения.
В одношаговых задачах определяется непосредственно значение переменной состояния системы х, которое обеспечивает наилучшее достижение или управление.

Одношаговая задача принятия решения считается заданной, если заданы пространство состояний природы Q с распределением вероятностей ?(U) для всех U?Q, пространство решений Х и критерий качества принятого решения, который будем называть целевой функцией. Целевую функцию; выражающую в явном виде цели управления, можно рассматривать как выходную величину ОУ и обозначать q.

Целевую функцию, являющуюся скалярной величиной, зависящей от состояния природы U и от состояния объекта управления х можно записать в виде:

(1) q=q(х,U)
Одинаковая задача принятия решений:

(2) G=(X,Q,q)
Решение задачи (2) состоит в нахождении такого х*?X, которое обратит в минимум функцию q, т.е. удовлетворяет условию:

(3) х*={х?Х q(х,U)=min}
Существует ряд методов решения одношаговой задачи.
Задачу называют детерминированной, если нет неопределенности в отношении состояния природы. Пространство состояния природы Q состоит всего из одного элемента U0, вероятность которого равна 1. В этом случае целевая функция будет зависеть только от состояния ОУ.

(4) q=q(x)=q(x(1),...., x(n))
Одинаковую детерминированную задачу называют классической задачей оптимизации, если ограничения вида:

?в ____

(5) fi(x(1),..., x(n)) =в , i=1,m

?в примем, среди этих ограничений нет неравенств, и нет условий не отрицательности или дискретности переменных, функции fi(x(1),...,x(n)) и q(х) непрерывны и имеют частные производные по крайней мере второго порядка.

Другим методом решения одношаговой задачи является метод математического программирования.
Математическое программирование представляет собой не аналитическую, а аморитмическую форму решения задачи, т.е. указывает вычислительную процедуру, которая приводит к решению задачи.

Простейшим примером математического программирования является задача линейного программирования. Она соответствует случаю, когда левые части ограничений (5) и целевая функция (4) представляют собой линейные функции от х(1),..., х(n). В задачах линейного программирования требуется найти неотрицательные значения переменных х(1),..., х(n), которые обращают в минимум целую функцию.

(6) q(x(1),...,x(n))= S Cjx(j) j и удовлетворяет системе ограничений:

(7) S aijx(j)?вi, i=1,m j
Любую задачу математического программирования, отличающуюся от сформулированной, называют задачей нелинейного программирования. В этих задачах или целевая функция или левые части ограничений, или то и другое являются нелинейными функциями от x(1),..., х(n), или когда целевая функция и ограничении имеют вид (6), (7), но предполагается, например, цело численность переменных. Эта задача получил название целочисленного программирования. Одношаговую задачу принятия решений называют стохастической, если пространство состояний природы Q состоит более чем из одного элемента, так что известным является не действительное состояние природы U, а распределение вероятностей ?(U) на пространстве Q.

(8) q (x)= S ?(U) q(x,U)

U?Q
Поскольку q (х) является детерминированной функцией от х, то задача нахождения переменных х(1),...,х(n), удовлетворяющих ограничениям (5) и обращающих в минимум целевую функцию (8), может быть решена методами линейного и нелинейного программирования.

В настоящее время большое внимание уделяется задачам, в которых решение принимается не одним лицом, а несколькими, причем интересы этих лиц противоположны. Подобные задачи получили название конфликтных ситуаций, а методы их решения рассматриваются в теории игр. При мат-ком описании конфликтной ситуации пространство решений следует рассматривать как прямое приведение двух множеств Х*Y, где Х={х1,..., хn} - пространство решений первого игрока; Y - пространство решений второго игрока. Целевая функция:

(9) q=q(x,y) зависит только от элементов пространства Х*Y.

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ.

Задачи, в которых ОУ находится в состоянии непрерывного движения и изменения под воздействием различных внешних и внутренних факторов называется динамическими задачами управления.

(10) q=qV[x(t),u(t)]
(10)-целевая функция, качество управления в любой момент времени может быть охарактеризовано как

(11) q(t)=u(t)/x(t)
Целевая функция вида (10) используется редко, так как она дает оценку лишь мгновенных значений управляемого процесса, тогда как в большинстве задач требуется оценить процессы в ОУ на протяжении всего времени управления от 0 до Т.

Оценку процесса ОУ можно произвести путем интегрирования целевой функции за все время управления, т.е. за критерий качества принять функционал

T

(12) J(u)= ? qU[x(t),u(t)]dt

0
В динамических задачах управления наряду с ограничениями вида (5), определяющих пространство допустимых управлений V, приходится иметь дело с интегральными ограничениями вида:

T

(13) ? H [x(t),u(t)]dt ? k = const

0
Оптимальным называют управление u*(t), выбираемого из пространства допустимых уравнений V, такое, которое для объекта описываемого дифференциальным уравнением x=qv(u, x), x(0)=C, минимизирует критерий качества (12) при заданных ограничениях на используемые ресурсы (13).

ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ.

В общей задаче оптимизации требуется найти вектор x=(x(1),.., x(n)) из допустимой области Х, который обращает в min целевую функцию q(х), т.е. такой вектор х*?X, для которого выполняется условие:

(14) q(x*) ? q(x) для всех х?Х
Если такой вектор х* существует, то он определяет слабый глобальный минимум q*(х) в допустимой области Х. Этот минимум называют слабым, т.к. он удовлетворяет нестрогому (слабому) неравенству, глобальным или абсолютным, потому что неравенство справедливо для любого х?X. Минимум при х=х* называют сильным, если имеет место q(x*)0, либо условию х(i)=0.
Если х(i)>0, то отклонения от точки х возможны как в сторону увеличения, так в сторону уменьшения х(i). Но поскольку х - оптимальная точка, то должно быть dq(x)/dx(i)-0
Если х(i) лежит на границе допустимой области, т.е. х(i)=0, то отклонения от оптимальной точки возможны в сторону увеличения dq(x)/dx(i)>0.
Необходимые условия того, что точка х - решение задачи: dL(x,?) =0, если x(i)>0; ___ dx(i) >0, если x(i)=0, i=1,n

____

(27) dL(x; ?)/d?j=0, j=1,m

КВАДРАТИЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (КП).

Задачей КП называют задачи НЛП, в которой минимизируется сумма линейной и квадратичной форм при ограничениях типа линейных неравенств и не отрицательности переменных. В матричной форме эта задача имеет вид:

(28) q(x)=Cx+xTdx=min,

Ax?в, x?0

ИНТЕРАТИВНЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ОПТИМУМА.

В основе этих методов лежит понятие градиента целевой функции q(х), grad q(x), называют вектор, величина которого определяет скорость изменения функции q(х), а направление совпадает с направлением наибольшего возрастания этой функции. Вектор grad q(x), указывающий направление наибольшего убывания функции q(х), называют антиградиентом функции q(х).

ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД.

Этот метод представляет собой последовательность шагов, каждый из которых содержит две операции:

1) определение направления антиградиента функции q(х)

2) перемещение в выбранном направлении на заданное расстояние.

МЕТОД НАИСКОРЕИШЕГО СПУСКА (ПОДЪЕМА).

В отличии от градиентного метода, в методе наискорейшего спуска градиент находят только в начальной точке, и движение в найденном направлении продолжается одинаковыми шагами до тех пор, пока уменьшается значение функции q(х).

Если на каком-то шаге q(х) возросло, то движение в данном направлении прекращается, последний шаг снимается полностью или на половину и вычисляется новый градиент функции q(х), а значит и новое направление движения.

АЛГОРИТМ НЬЮТОНА.

В тех случаях, когда поверхность отклика достаточно хорошо описывается уравнением второго порядка, резкое уменьшение числа шагов можно получить, если воспользоваться алгоритмом Ньютона, при этом представлении q(х) в виде;

q(x)=q(x)*+Ѕ S S akj ?x(k) ?x(j) ГДЕ X=X -X -отклонение k j от точки оптимума.
Будет достаточным при значительном удалении от точки оптимума и в качестве матрицы Гп можно взять непосредственно матрицу А.
Однако элементы, аij матрицы А, вычисленные в точке оптимума, заранее не известны. Тем не менее, при достаточно хорошей поверхности отклика вторые производные функции q(х) вычисленные в произвольной точке х=хп будет близка к элементам aij матрицы А.

1.11. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРГРАММИРОВАНИЯ.

Дана система m линейно независимых уравнений с неизвестными х ,...,х называемая системой ограничений задачи линейного программирования: a11x1+...+a1nxn=в1

(1) ............................ am1x1+...+a1mxn=вn ___ где не уменьшая общности можно считать вi?0, i=1,m.
Характерной особенностью данной задачи является, то, что число уравнений меньше числа неизвестных, т.е. m0, хд=0, det(В)?0, Вхв=в

Рассмотрим векторы: хк=хк(?)= xв-?bak-1 ______

? k=(m+1,n)

0 где ? является к - й компонентой вектора х.
Если хв>0, то при малых ?>0; хk?0, т.к. Ахk=в, то хk?R? при малых ?>0.
Кроме того:
=-?[-Ck]=-??k
?к - определитель для любого к=1,n, причем при к=1,m;
?к=-Ck=Cк=Cк-Cк=0
Окончательно; =-??x (k=1,n)

3)Выбор столбца для ввода из базиса.
В зависимости от значков величины ?к и (В-1ak); возникает 3 случая.

___ a)Если для любого к=1,n будет ?к=0, то точка х - оптимальная.

_____ б) Если найдется номер к?m+1 такой, что ?к>0 и В-1ak?0, то множество R0 неограниченно и функция неограниченна снизу на R0. в) Пусть найдутся такие к?m+1 и i?m, что ?к>0 и (В-1akа )>0.

4)Конечность метода. хk - новая угловая точка, причем =-?0 ?k < . Из этого следует, что итерационный шаг симплексного метода состоит в таком переходе от базиса а1, а2,..., аs, аs+1, am к базису a1, a2,..., as-1, as+1,..., am, ak при котором целевая функция убывает, а значит, симплексный метод приводит к угловой точке х*, в которой достигает минимума за конечное число итераций.

-----------------------

исполнительный орган

объект управления

устройство управле-ния(отбор информа-ции и обработка

A

A

S определяется ур-ми (1),(2)

квантование и запоминание

S

И.М.

u

X

u

x

САР

САР