Министерство высшего образования Украины
Национальный Технический Университет Украины
“Киевский политехнический институт”
Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления
К о н т р о л ь н а я р а б о т а
по дисциплине :
“ Теория вероятностей и математическая статистика”
Вариант № 24
Выполнил студент гр. ЗІС - 91
ІІI курса факультета ФИВТ
Луцько Виктор Степанович
2009г.
Задача 1
Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:
а) сумма числа очков не превосходит N;
б) произведение числа очков не превосходит N;
в) произведение числа очков делится на N.
Исходные данные: N=18.
Решение задачи:
Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.
Р(А) = | m |
n |
где: n – число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания;
m - число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию А.
а) при сумме числа очков (N = 18), не превосходящих N:
n = 36;m = 36
Р(А) = | 36 | = | 1 ; | ||
36 |
б) при произведении числа очков, не превосходящих N:
n = 28;m = 36
Р(А) = | 28 | = | 7 | » 0,778 ; | ||
36 | 9 |
в) при произведении числа очков, делящихся на N:
n = 3;m = 36
Р(А) = | 3 | = | 1 | » 0,083 . | |
36 | 12 |
Ответы:
а) Р(А) = 1 ;
б) Р(А) = 7/9 » 0,778 ;
в) Р(А) = 1/12 » 0,083.
Задача 2
Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно =1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них т1 первосортных, т2, т3 и т4 второго, третьего и четвертого сорта соответственно .
Исходные данные: n1 = 3; n2 = 1; n3 = 6; n4 = 2;m1 = 2; m2 = 1; m3 = 3; m4 = 1.
Решение задачи.
Определяем количество способов нужной комбинации:
Сў = Сn1 m1 x Сn2 m2 x Сn3 m3 x Сn4 m4 = С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1 ;
Определяем количество всех возможных способов:
Сўў = Сn1+n2+n3+n4 m1+m2+m3+m4 = С12 7 ;
3) Определяем вероятность Р согласно условия задачи:
Р = | С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1 | = | 3 х 1 х | 4 х 5 х 6 | х 2 | = |
2 х 3 | ||||||
С12 7 | 8 х 9 х 10 х 11 х 12 | |||||
2 х 3 х 4 х 5 |
= | 3 х 5 | = | 5 | » 0,15 | ||
9 х 11 | 33 |
Ответ: Р = 5/33 » 0,15 .
Задача 3
Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных.
Исходные данные: n = 8; l = 3; m = 5; k = 4.
Решение задачи.
|
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
Общее число случаев, очевидно, равно Сn m , число благоприятных случаев Сk l x Сn-k m-l , откуда:
Р(А) = | Сk l x Сn-k m-l | = | С4 3 x С8-4 5-3 | = | 3 | » 0, 4286 . |
Сn m | С8 5 | 7 |
Ответ: Р(А) = 3/7 » 0, 4286 .
Задача 7
В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1 и S2. Исходные данные:R =14; S1 = 2,6; S2 = 5,6.
Решение задачи
|
||||||||
|
||||||||
|
P(A) = |
S |
. |
|||||
|
pR2 |
|||||||
P(A1) = | S1 | = | 2,6 | » 0,0042246 ; | ||||
pR2 | 3,14 x 142 |
P(A2) = | S2 | = | 5,6 | » 0,0090991 ; | ||||
pR2 | 3,14 x 142 |
P(A) = | S1+ S2 | = | 2,6 + 5,6 | = | 8,2 | » 0,013324 . | ||
pR2 | 3,14 x 142 | 615,44 |
Ответ: Р(А) » 0,013324 .
Задача 8
В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
а) хотя бы одно бракованное;
б) два бракованных;
в) одно доброкачественное и одно бракованное?
Исходные данные: k1 = 81; k2 = 37.
Решение задачи
События А и В называются независимыми, если выполняется соотношение:
Р(А/В) = Р(А) / Р(В) .
Для любых событий А и В имеет место формула:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) .
Обозначения:
Событие А – выбрали бракованное изделие из 1-й партии (1 – k1) ;
Событие B – выбрали бракованное изделие из 2-й партии (1 – k2) .
События А и В – независимые.
а) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = (1 – k1) + (1 – k2) – (1 – k1)(1 – k2) =
= 0,19 + 0,63 – 0,19 х 0,63 » 0,82 – 0,12 » 0,70 .
б) Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Р(АЗВ) = Р(А) х Р(В) = (1 – k1)(1 – k2) = 0,19 х 0,63 » 0,12 .
в) Р = Р(А) х Р(В) + Р(В) х Р(А) = (1 – k1)k2 + (1 – k2)k1 =
= 0,19 х 0,37 + 0,63 x 0,81 » 0,07 + 0,51 » 0,58 .
Ответы:
а) » 0,70;
б)» 0,12;
в)» 0,58.
Задача 9
Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1 вторым — р2 . Первый сделал n1, второй — n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.
Исходные данные: p1 = 0,33; p2 = 0,52; n1 = 3; n2 = 2.
Решение задачи.
Обозначения:
А – вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 – р1) ;
В – вероятность непоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 – р2) ;
Р – цель не поражена в результате общего количества испытаний.
Р = (1 – р1)n1 x (1 – р2)n2 = (1 – 0,33)3 x (1 – 0,52)2 = 0,673 x 0,482 » 0,30 x 0,23 » 0,069 » 0,07 .
Ответ:» 0,07 .
Задача 12
Из 1000 ламп ni принадлежат i-й партии, i=1, 2, 3, . В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.
Исходные данные: n1 = 350; n2 = 440.
Решение задачи
Рассмотрим три гипотезы:
Н1 – выбор лампы из первой партии;
Н2 – выбор лампы из второй партии;
Н3 – выбор лампы из третьей партии;
а также событие А – выбор бракованной лампы.
Учитывая то, что Н1, Н2, Н3 – полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) № 0, i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности):
3 | ||
Р(А) = | е P(Hi) x P(A/Hi) . | |
i=1 |
Тогда:
P(H1) = 350/1000 = 7/20 ;
P(H2) = 440/1000 = 11/25 ;
P(H3) = 210/1000 = 21/100 .
Р(А) = 7/20 х 0,06 + 11/25 х 0,05 + 21/100 х 0,04 = 42/2000 + 55/2500 + 84/10000 = 514/10000 = 0,0514 .
Ответ: Р(А) = 0,0514 .
Задача 18
На каждый лотерейный билет с вероятностью p1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2. — мелкий выигрыш и с вероятностью р3 билет может оказаться без выигрыша, . Куплено n билетов. Определить вероятность получения n1 крупных выигрышей и n2 мелких.
Исходные данные: n = 14; n1 = 5; n2 = 4;p1 = 0,25; p2 = 0,35.
Решение задачи
Для решения данной задачи используем формулу для полиномиального распределения вероятностей, т.к. события – является ли і-тый билет выигрышным (и насколько) или невыигрышным – независимы (для разных і):
Pn(m1,m2,…,mk) = | n! | p1m1 p2m2 … pkmk . |
m1! m2!…mk! |
В задаче: А1 – билет оказался с крупным выигрышем;
А2 – билет оказался с мелким выигрышем;
А3 – билет оказался без выигрыша.
Р14(5,4,5) = | 14! | х (0,25)5 х (0,35)4 х (0,4)5 = | 6х7х8х9х10х11х12х13х14 | х |
5! 4! 5! | 2х3х4х2х3х4х5 |
х 0,0009765 х 0,015 х 0,01024 = 2 х 7 х 9 х 11 х 13 х 14 х 0,0009765 х 0,015 х
х 0,01024 » 0,0378.
Ответ: Р » 0,0378 .
Задача 19
Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить вероятность m «сбоев».
Исходные данные: m = 9; N = 500; p = 0,01.
Решение задачи
q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99 .
Так как n – большое число (n = N = 500), а npq » 5, т.е. npq < 9 , то применяем формулы Пуассона:
Рn(m) » | am | e-a , a = np . |
m! |
Подсчет вручную дает следующие результаты:
Рn(m) » | 59 | х | 1 | » | 58 | х | 1 | » |
2х3х4х5х6х7х8х9 | е5 | 2х3х4х6х7х8х9 | 2,75 |
» | 390625 | » | 390625 | » 0,03751 . | ||
72576 х 143,5 | 10 413 862 |
Но, при известных а = 5 и m = 9 результат формулы Пуассона следует брать из таблицы III, где
Рn(m) » 0,03627 .
Ответ: Рn(m) » 0,03627 .
Задача 20
Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству.
Варианты 22—31:
Исходные данные: n = 100; P = 0,3; k1 = - ; k2 = 40.
Решение задачи
Вероятность Рn(m) того, что в результате этих n опытов событие А произойдет m раз (наступит m успехов), определяется по формуле Бернулли:
Pn(m) = Cnmpmqn-m, m = 0,1,2,…,n (1)
где q = 1 – p – вероятность наступления противоположного события А при единичном испытании.
Совокупность чисел, определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей.
При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующие приближенные формулы:
(2)
где:
(3)
где:
(4)
(5)
(6)
Формула (2) основана на локальной теореме Муавра—Лапласа, (3) — на интегральной теореме Муавра—Лапласа, (5) и (6) — на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра—Лапласа [формулы (2) и (3)] рекомендуется применять в случае, когда npq>9. В противном случае более точные результаты дает асимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)].
З а м е ч а н и е 1. Приближенная формула (3) остается в силе и в том случае, когда входящие в нее неравенства являются строгими.
З а м е ч а н и е 2. Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблиц I—IV соответственно (см. приложение).
В данной задаче n = 100, т.е. n – число большое.
npq = 21, следовательно npq > 9.
При этом q = 1 – p = 0,7 ;np = 30 .
Наши рассуждения приводят к тому, что данную задачу следует решать с помощью формул Муавра-Лапласа, а именно с помощью формулы (3).
Тогда:
k2 – np | » | 40 – 30 | » | 10 | » 2,18 . | ||
Ц npq | 4,58 | 4,58 |
k1 – np | » | 0 – 30 | » | -30 | » - 6,55 . | ||
Ц npq | 4,58 | 4,58 |
Pn(m Ј k2) » Ф(х2) – Ф(х1) » Ф(2,18) – Ф(- 6,55) » Ф(2,18) + Ф(6,55) »
» 0,48537 + 0,5 » 0,98537 .
Ответ: Pn(m Ј 40) » 0,98537 .
Задача 21
Дана плотность распределения р (х) случайной величины x. Найти параметр g, математическое ожидание Мx дисперсию Dx, функцию распределения случайной величины x вероятность выполнения неравенства х1 < x < х2
Варианты 17-24:
Исходные данные: a = -1,5; b = 1; x1 = -1; x2 = 1.
Решение.
Р(х) = | н | g, х О [-1,5, 1], |
0, x П [-1,5, 1]. |
Найдем g. Должно выполняться соотношение:Fx(+Ґ) = 1;
т p(x)dx = 1; | т gdx = 1; | gx | 1 | = 1; | g *(1+1,5) = 1; | g = | 1 |
=2/5 . |
|
-1,5 | 2,5 | ||||||||
-Ґ | -1,5 |
1 | |||||||
Найдем: Мx = | т х 2/5 dx = | 2 х2 | 1 | = | 1/5 (1-2,25) = | -1,25 |
= -0,25 . |
5 2 | -1,5 | 5 | |||||
-1,5 |
1 | ||||
Найдем: Dx = Мx2 – (Мx)2 = | т 2/5 x2 dx – 0,0625 = 2/5 | x3 | 1 | - 0,0625 = |
3 | -1,5 | |||
-1,5 |
= 2/5 (1/3 + 3,375/3) – 0,0625 = 0,4 * 1,4583 – 0,0625 = 0,5833 – 0,0625 = 0,5208 .
н | 0 , | x < -1,5; | ||
x | x | |||
Найдем: Fx (x)= | т p(х) dx = | т g dt , | -1,5 Ј x < 1; | |
-Ґ | -1,5 | |||
1 , | x і 1 . |
x | x | ||||||
т g dt = | g t | = | g x + 1,5g = |
2/5x + 0,6 . |
|||
-1,5 | -1,5 |
Найдем: P{-1<x<1} = Fx (1) - Fx (-1) = 1 – (-2/5 + 0,6) = 7/5 – 3/5 = 4/5 .
Ответы: 1) g = 2/5; 2) Мx = - 0,25; 3) Dx = 0,5208; 4) Fx (x) = 0,4x + 0,6; 5) P{-1<x<1} = 4/5.
Список использованной литературы
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1: Пер.с англ. - М.: Мир, 1994. – 528 с.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб.для вузов. – 6-е изд.стер. – М.: Высш.шк., 1999. – 576 с.
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1998. – 656 с.
Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. – М.: Просвещение, 1998. – 160 с.