Самарский государственный аэрокосмический университет

им. академика С.П. Королева

Кафедра прикладной математики

Расчетно-графическая работ по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема работы: «Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез»

Вариант № 15

Выполнил студент группы №

625

Евгений В. Репекто

Самара - 2002

Задание на расчетно-графическую работу

Дан протокол содержащий 120 пронумерованных значений:
|№ | |№ | |№ | |№ | |
|1 |4 |31 |10 |61 |20 |91 |44 |
|2 |19 |32 |25 |62 |16 |92 |12 |
|3 |25 |33 |38 |63 |15 |93 |16 |
|4 |-4 |34 |1 |64 |32 |94 |9 |
|5 |58 |35 |19 |65 |52 |95 |12 |
|6 |34 |36 |55 |66 |-5 |96 |40 |
|7 |32 |37 |9 |67 |21 |97 |17 |
|8 |36 |38 |11 |68 |30 |98 |10 |
|9 |37 |39 |6 |69 |27 |99 |31 |
|10 |4 |40 |31 |70 |12 |100 |49 |
|11 |24 |41 |17 |71 |19 |101 |25 |
|12 |3 |42 |-6 |72 |1 |102 |33 |
|13 |48 |43 |14 |73 |23 |103 |26 |
|14 |36 |44 |9 |74 |7 |104 |19 |
|15 |27 |45 |13 |75 |4 |105 |25 |
|16 |20 |46 |25 |76 |16 |106 |34 |
|17 |1 |47 |11 |77 |38 |107 |10 |
|18 |39 |48 |18 |78 |40 |108 |24 |
|19 |11 |49 |2 |79 |30 |109 |2 |
|20 |16 |50 |29 |80 |14 |110 |38 |
|21 |49 |51 |20 |81 |51 |111 |30 |
|22 |25 |52 |48 |82 |17 |112 |10 |
|23 |26 |53 |16 |83 |25 |113 |39 |
|24 |30 |54 |29 |84 |34 |114 |1 |
|25 |19 |55 |12 |85 |23 |115 |40 |
|26 |32 |56 |-3 |86 |20 |116 |7 |
|27 |3 |57 |16 |87 |9 |117 |26 |
|28 |40 |58 |41 |88 |29 |118 |36 |
|29 |45 |59 |19 |89 |18 |119 |22 |
|30 |35 |60 |0 |90 |46 |120 |28 |

Все эти протокольные значения считаются значениями выборки

[pic] некоторой случайной величины [pic], а 60 из них, имеющие нечетные номера
– значениями выборки

[pic] другой случайной величины [pic]
Требуется:
1. Построить вариационные ряды для случайных величин [pic] и [pic].
2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу

Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин [pic] и [pic].
Образец заполнения таблицы для статистического ряда.
|№ |Границы |Середина |Количество |Частота для |
|пр-ка|промежутка |промежутка |элементов выборки|промежутка |
| |[pic] |[pic] |в промежутке |[pic] |
| | | |[pic] | |
|1 |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|2 | | | | |
|… |… |… |… |… |
|[pic]|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

3. Построить гистограммы распределения случайных величин [pic] и [pic].
4. Найти выборочное среднее [pic], [pic] и исправленные выборочные дисперсии: [pic], [pic] случайных величин [pic] и [pic].
5. Проверить, используя метод [pic] гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин [pic] и [pic] при уровне значимости [pic].
6. Построить график функции плотности распределения [pic] случайной величины [pic] в одной системе координат с гистограммой.([pic] взяв в качестве математического ожидания их статистические оценки [pic] и

[pic]) и вычислив значение функции [pic] в точках: [pic], [pic], а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.
7. Выполнить задание 6 для случайной величины [pic].
8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин [pic] и [pic], соответствующие доверительной вероятности [pic].
9. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе

[pic] на уровне значимости [pic].
10. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе

[pic] на уровне значимости [pic].

Решение

1. Построить вариационные ряды для случайных величин [pic] и [pic].
Вариационный ряд величины [pic]
|-6 |12 |22 |33 |
|-5 |12 |23 |34 |
|-4 |12 |23 |34 |
|-3 |12 |24 |34 |
|0 |13 |24 |35 |
|1 |14 |25 |36 |
|1 |14 |25 |36 |
|1 |15 |25 |36 |
|1 |16 |25 |37 |
|2 |16 |25 |38 |
|2 |16 |25 |38 |
|3 |16 |25 |38 |
|3 |16 |26 |39 |
|4 |16 |26 |39 |
|4 |17 |26 |40 |
|4 |17 |27 |40 |
|6 |17 |27 |40 |
|7 |18 |28 |40 |
|7 |18 |29 |41 |
|9 |19 |29 |44 |
|9 |19 |29 |45 |
|9 |19 |30 |46 |
|9 |19 |30 |48 |
|10 |19 |30 |48 |
|10 |19 |30 |49 |
|10 |20 |31 |49 |
|10 |20 |31 |51 |
|11 |20 |32 |52 |
|11 |20 |32 |55 |
|11 |21 |32 |58 |

Вариационный ряд величины [pic]
|1 |21 |
|2 |22 |
|2 |23 |
|3 |23 |
|4 |24 |
|4 |25 |
|6 |25 |
|9 |25 |
|9 |25 |
|10 |26 |
|10 |26 |
|11 |26 |
|11 |27 |
|12 |27 |
|12 |30 |
|13 |30 |
|14 |31 |
|15 |32 |
|16 |37 |
|16 |38 |
|16 |38 |
|17 |39 |
|17 |40 |
|18 |44 |
|19 |45 |
|19 |48 |
|19 |49 |
|19 |51 |
|20 |52 |
|20 |58 |

2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу

Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин [pic] и [pic].
Найдем количество элементов выборок после группировки элементов
Величина [pic]: [pic]
Величина [pic]: [pic]
Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины [pic]

|№ |Границы |Середина |Количество |Частота для |
|пр-ка|промежутка |промежутка |элементов выборки|промежутка |
| |[pic] |[pic] |в промежутке |[pic] |
| | | |[pic] | |
|1 |-8 ; 0 |-4 |4 |0.0333 |
|2 |-0 ; 8 |4 |15 |0.1250 |
|3 |8 ; 16 |12 |19 |0.1583 |
|4 |16 ; 24 |20 |25 |0.2083 |
|5 |24 ; 32 |28 |24 |0.2000 |
|6 |32 ; 40 |36 |17 |0.1417 |
|7 |40 ; 48 |44 |8 |0.0667 |
|8 |48 ; 56 |52 |8 |0.0667 |

Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины [pic]
|№ |Границы |Середина |Количество |Частота для |
|пр-ка|промежутка |промежутка |элементов выборки|промежутка |
| |[pic] |[pic] |в промежутке |[pic] |
| | | |[pic] | |
|1 |0; 9 |4,5 |7 |0.1167 |
|2 |9 ; 18 |13,5 |16 |0.2667 |
|3 |18 ; 27 |22,5 |19 |0.3167 |
|4 |27 ; 36 |31,5 |6 |0.1000 |
|5 |36 ; 45 |40,5 |6 |0.1000 |
|6 |45 ; 54 |49,5 |5 |0.0833 |
|7 |54 ; 63 |58,5 |1 |0.0167 |

3. Построить гистограммы распределения случайных величин [pic] и [pic].
Гистограммы распределения приведены на графиках с теоретическими функциями распределения.

4. Найти выборочное среднее [pic], [pic] и исправленные выборочные среднеквадратические отклонения: [pic], [pic] случайных величин [pic] и [pic].
Выборочное среднее [pic] случайной величины [pic] равно

[pic]
Выборочное среднее[pic] случайно величины [pic] равно

[pic]
Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение [pic] случайной величины [pic]:

[pic]=14.3632

Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение [pic] случайной величины [pic]:

[pic]=13.5727

5. Проверить, используя метод [pic] гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин [pic] и [pic] при уровне значимости [pic].
Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины [pic].
Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле
[pic], где [pic] - объем выборки, [pic] - шаг (разность между двумя соседними вариантами, [pic], [pic]

Построим вспомогательную таблицу:
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|1 |4 |-1.9169 | 4.2461 |0.0606 |0.014 |
|2 |15 |-1.3600 |10.5760 |19.572 |1.850 |
|3 |19 |-0.8030 |19.3161 |0.0999 |0.005 |
|4 |25 |-0.2460 |25.8695 |0.7561 |0.0292 |
|5 |24 |0.3110 |25.4056 |1.9757 |0.0778 |
|6 |17 |0.8680 |18.2954 |1.6780 |0.0917 |
|7 |8 |1.4249 |9.6610 |2.7590 |0.2856 |
|8 |8 |1.9819 |3.7409 |18.139 |4.8491 |

В итоге получим [pic]= 7,2035
По таблице критических точек распределения [pic] ([1], стр. 465), по уровню значимости [pic]=0,05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим

[pic]

Т.к. [pic], экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины [pic].

Для случайной величины [pic]:

Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле
[pic], где [pic] - объем выборки, [pic] - шаг (разность между двумя соседними вариантами, [pic], [pic]

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|1 |7 |-1.4036 |5.9274 |1.1504 |0.1941 |
|2 |16 |-0.7405 |12.0665 |15.4725 |1.2823 |
|3 |19 |-0.0774 |15.8248 |10.0820 |0.6371 |
|4 |6 |0.5857 |13.3702 |54.3197 |4.0627 |
|5 |6 |1.2488 |7.2775 |1.6319 |0.2242 |
|6 |5 |1.9119 |2.5519 |5.9932 |2.3485 |
|7 |1 |2.5750 |0.5765 |0.1794 |0.3111 |

В итоге получим [pic]= 8.1783
По таблице критических точек распределения [pic] ([1], стр. 465), по уровню значимости [pic]=0,05 и числу степеней свободы 7 - 3=4 находим

[pic]
Т.к. [pic], экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины [pic].

6. Построить график функции плотности распределения [pic] случайной величины [pic] в одной системе координат с гистограммой.([pic] взяв в качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки

[pic] и [pic]) и вычислив значение функции [pic] в точках: [pic],

[pic], а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.

7. Выполнить задание 6 для случайной величины [pic].

8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин [pic] и [pic], соответствующие доверительной вероятности [pic].
Найдем доверительный интервал для математического ожидания [pic]:
Рассмотрим статистику [pic], имеющую распределение Стъюдента с [pic] степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством [pic]. И доверительный интервал для [pic] выглядит следующим образом:

[pic]
Найдем [pic]по таблицам ([2], стр. 391). По [pic]=0,95 и [pic]=120 находим: [pic]=1,980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:

[pic]
То есть: (20,93721;26,12946).

Найдем доверительный интервал для математического ожидания [pic]:
Рассмотрим статистику [pic], имеющую распределение Стъюдента с [pic] степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством [pic]. И доверительный интервал для [pic] выглядит следующим образом:

[pic]
Найдем [pic]по таблицам ([2], стр. 391). По [pic]=0,95 и [pic]=60 находим: [pic]=2,001. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:

[pic]
То есть: (20,043;27,056).

Известно, что если математическое ожидание неизвестно, то доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности [pic] имеет вид

[pic]
Для случайной величины [pic] найдем:

[pic].

[pic]

[pic]
Таким образом, имеем доверительный интервал: [pic] (162,8696; 273,8515).
Для случайной величины [pic] найдем

[pic]

[pic]

[pic]
Таким образом, имеем доверительный интервал: [pic](134,82; 277,8554).
(Квантили распределения [pic] найдены по таблице [3], стр. 413).

9. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе

[pic] на уровне значимости [pic].
Рассмотрим статистику

[pic], где

[pic], которая имеет распределение Стъюдента [pic],
Тогда область принятия гипотезы [pic].[pic]
Найдем s:

[pic]
Найдем значение статистики [pic]:

[pic]
По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391)

[pic]
Т. к. [pic], то гипотеза [pic] принимается. Предположение о равенстве математических ожиданий [pic] не противоречит результатам наблюдений.

10. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе

[pic] на уровне значимости[pic].
Рассмотрим статистику [pic], где [pic], [pic]т.к. [pic]. Эта статистика имеет распределение Фишера [pic]. Область принятия гипотезы [pic]

[pic]
Найдем значение статистики [pic]:

[pic]
По таблицам найдем [pic]. Т.к. [pic], то гипотеза [pic] принимается.
Предположение [pic] не противоречит результатам наблюдений.

Библиографический список

1. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред. А.В.

Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. , 1990. – 428 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4- е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа»,

1977.

4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576 с.
-----------------------

5. [pic]

[pic]