2. Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний

Способы получения уравнений состояния реальных физических объектов ничем не отличаются от способов описания этих объектов с помощью дифференциальных уравнений. Уравнения состояния записываются на основе физических законов, положенных в основу работы объекта.

Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из двигателя постоянного тока с независимым возбуждением, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением. Управляющим воздействием для двигателя считаем напряжение на якоре U(t), выходной координатой, угол поворота вала двигателя y(t)=((t). Уравнение электрической цепи имеет вид

[pic], где [pic] - противо ЭДС, [pic] - угловая скорость вала двигателя, [pic] - единый электромагнитный коэффициент.

Уравнение моментов будет иметь следующий вид

[pic],

где [pic], J - момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя, f - коэффициент вязкого трения.

Выберем следующие переменные состояния: х1=i, x2=(, x3=(.

Получим

[pic],

[pic].

Запишем эти уравнения относительно переменных [pic], [pic], [pic]

[pic],

[pic],

[pic],

[pic].

Запишем матричные уравнения

[pic],

[pic], где

[pic], [pic], [pic].

Рассмотрим структурную схему электромеханической системы с двигателем постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением.

[pic]

Рис. 2.1. Структурная схема электромеханической системы с двигателем постоянного тока

Запишем уравнение состояния для механической системы, представляющей собой груз массой m, подвешенный на пружине и соединенный с гидравлическим демпфером. К грузу приложена сила P(t), выходная переменная перемещения x(t), управляющие воздействия U(t)=P(t). Уравнение движения груза получаем из уравнения равновесия сил

[pic],

где [pic] - инерционная сила, f - коэффициент вязкого трения, [pic] - сила сопротивления демпфера, [pic] - сила сопротивления пружины.

Выбираем в качестве переменных состояния x(t) и [pic] - перемещение и скорость перемещения соответственно.

[pic]

Рис. 2.2. Механическая система, включающая в своем составе пружину, массу и вязкий демпфер

Так как дифференциальное уравнение имеет второй порядок, то и количество переменных состояния будет равно двум. Исходное уравнение движения груза можно записать в виде двух уравнений

[pic]

где U(t)=P(t) - управляющее воздействие.

Добавим к этим уравнениям следующее уравнение выхода

[pic].

Эти уравнения представляют собой уравнения состояния приведенной механической системы. Запишем эти уравнения состояния в матричном виде

[pic],

[pic].

Запишем это уравнение в другом виде

[pic],

[pic], где [pic], [pic], [pic], [pic], [pic].

С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующую структурную схему, где двойными линиями показаны векторные переменные.

[pic]

Рис. 2.3. Структурная схема

Пример: Рассмотрим электрическую цепь и получим уравнение состояния
RLC цепи

[pic]

Рис. 2.4. RLC цепь

Динамическое поведение этой электрической системы полностью определяется при t(t0, если известны начальные значения: i(t0), ec(t0) и входное напряжение e(t) при t(t0, следовательно, эта система полностью определяется переменными состояния i(t) и ec(t). При указанных переменных состояния i(t) и ec(t) имеем следующие уравнения

[pic] где [pic], [pic].

Введем следующие обозначения

[pic]

В соответствии с этими обозначениями получаем

[pic] причем [pic].

Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему в векторно- матричном виде

[pic],

[pic].

Запишем матричные уравнения

[pic],

[pic], где [pic], [pic], [pic], [pic].