МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ В ПЕРЕМЕННЫХ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Математическая модель системы в переменных пространства состояний имеет вид
, (2.1.1)
(2.1.2)
где
мерный
вектор параметров
состояний;
мерный вектор
управляющих
воздействий;
мерный вектор
возмущающих
воздействий;
l-
мерный вектор
выходов; А –
матрица состояний
системы размерности
;
В – матрица
управлений
размерности
;
Г – матрица
возмущений
размерности
;
С – матрица
выходов размерности
l
n;
D – матрица
компенсаций
(обходов) размерности
l
m.
Решение векторного дифференциального уравнения (2.1.1) имеет следующий вид:
, (2.1.3)
где
- экспоненциал
матрицы А.
Подставляя выражение (2.1.3) в формулу (2.1.2), получаем интегральное уравнение движения системы в переменных «вход – выход».
Рассмотрение движения системы в переменных пространства состояний связано с трудностью решения дифференциальных уравнений n-го порядка, описывающих движение системы в переменных «вход – выход», и с хорошо разработанными методами решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.
2.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 2.2.1
Определить переходные процессы в системе
(2.2.1)
, (2.2.2)
под действием ступенчатых воздействий по каналам управления
и возмущения
.
Решение
В соответствии с выражениями (2.1.2), (2.1.3) запишем уравнение движения системы в интегральной форме
. (2.2.3)
Учитывая, что u(t)=u*1(t)=u, r(t)=r*1(t)=r и t0=0, представим выражение (2.2.3) в виде
. (2.2.4)
Для нахождения
экспоненциала
матрицы А определим
корни характеристического
уравнения
,
то есть
и
.
Так как корни различные действительные и матрица А диагональная, то ее экспоненциал равен
. (2.2.5)
Подставляя выражения (2.2.5) в формулу (2.2.4) и последовательно проводя преобразования, получаем
=
.
Следовательно, уравнение движения рассматриваемой системы в переменных «вход – выход» имеет вид:
.
УСТОЙЧИВОСТЬ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Устойчивость
или неустойчивость
линейной многомерной
системы (2.1.1)
определяется
ее свободным
движением (
),
которое характеризуется
собственными
числами матрицы
А, определяемыми
из характеристического
уравнения
(3.1.1)
Линейная
система (2.1.1) устойчива
тогда и только
тогда, когда
все вещественные
части собственных
(характеристических)
чисел λj=λj(A)
(j=1,…,n)
имеют неположительные
значения, т.е.
Reλj.
Если Reλj<0,
то система
асимптотически
устойчива.
Характеристическое уравнение (3.1.1) можно записать в виде
nn-1nn0. (3.1.2)
Условия устойчивости для системы n-го порядка записываются в виде определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов характеристического уравнения (3.1.2).
.
Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при α0>0 были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть ΔI>0 (i=l,...,n). Положительность последнего определителя Гурвица
Δn=αnΔn-1 (3.1.3)
при Δn-1>0 сводится к положительности свободного члена αn характеристического уравнения.
3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 3.2.1
Определить устойчивость и характер свободного движения динамической системы, заданной в пространстве состояний векторными уравнениями
, (3.2.1)
. (3.2.2)
Решение.
Запишем для системы (3.2.1) характеристическое уравнение (3.1.1)
, (3.2.3)
решение которого дает следующие корни:
.
Рассматриваемая динамическая система является устойчивой. Ее свободное движение носит апериодический сходящийся характер, так как вещественные части корней характеристического уравнения отрицательные.
Задача 3.2.2
Определить устойчивость динамической системы, заданной в пространстве состояний векторно-матричными уравнениями
,
, (3.2.4)
. (3.2.5)
Решение.
Запишем для системы (3.2.4) характеристическое уравнение (3.1.1)
. (3.2.6)
Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим следующее характеристическое уравнение:
. (3.2.7)
Устойчивость системы будем определять на основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица, составив для этого по уравнению (3.2.7) матрицу Гурвица
. (3.2.8)
Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при положительности коэффициента при старшей степени (в нашем случае коэффициент при λ3 равен 1) были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть Δi>0 (i=1,2,3)
,
.
В соответствии с вышеизложенным находим, что свободный член характеристического уравнения (3.2.7) равный 54 - положительный.
Следовательно, система (3.2.4) является устойчивой.
УПРАВЛЯЕМОСТЬ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Управляемость
системы (2.1.1), (2.1.2) по
состояниям
определяется
теоремой (критерием)
Калмана: система
будет управляемой
тогда и только
тогда, когда
ранг матрицы
управляемости
Lc
размерности
равен n, то
есть
rankn,
(4.1.1)
где
.
(4.1.2)
Если rank<n,
то система
будет частично
управляемой,
а при rank
=0
– полностью
неуправляемой.
Управляемость
системы (2.1.1), (2.1.2) по
выходам (критерий
Калмана): система
будет управляемой
тогда и только
тогда, когда
ранг матрицы
управляемости
размерности
равен l то
есть
rank=l,
(4.1.3)
где
.
(4.1.4)
Если rank<l,
то система
будет частично
управляемой
по выходам, а
при rank
=0
– полностью
неуправляемой.
Показатель степени n в выражениях (4.1.2), (4.1.4) соответствует размерности вектора состояний.
4.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 4.2.1
Определить управляемость динамической системы по состояниям, заданной векторными уравнениями
,
(4.2.1)
. (4.2.2)
Решение.
В соответствии с выражением (4.1.2) запишем матрицу управляемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2
.
Найдем произведение матриц
.
Следовательно, матрица управляемости имеет вид
,
и ее ранг
rank2,
то есть настоящая
система полностью
управляема
по состояниям.
Задача 4.2.2
Определить управляемость по выходам динамической системы, заданной векторными уравнениями
,
.
Решение.
В соответствии с выражением (4.1.2) запишем матрицу управляемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2
.
Найдем произведение матриц
.
.
Следовательно, матрица управляемости имеет вид
,
и ее ранг
rank=2,
то есть настоящая
система полностью
управляема
по выходам.
5. НАБЛЮДАЕМОСТЬ
5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Наблюдаемость
системы (2.1.1), (2.1.2)
определяется
теоремой (критерием)
Калмана: система
будет вполне
наблюдаемой
тогда и только
тогда, когда
ранг матрицы
наблюдаемости
L0 размерности
равен n, то
есть
rankn,
(5.1.1)
где
. (5.1.2)
Если rank<n,
то система
будет не вполне
наблюдаемой,
а при rank
=0
– полностью
ненаблюдаемой.
5.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 5.2.1
Определить наблюдаемость динамической системы, заданной векторными уравнениями
.
Решение.
В соответствии с выражением (5.1.2) запишем матрицу наблюдаемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2
.
Найдем произведение матриц
.
Следовательно, матрица наблюдаемости имеет вид
,
и ее ранг
rank2,
то есть настоящая
система полностью
наблюдаема.