Задача 1

Пусть имеется следующая модель регрессии, характеризующая зависимость x от y:

.

Известно также, что, .

Задание

Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии в этой модели:

с вероятностью 90%;

с вероятностью 99%.

Проанализируйте результаты, полученные в п.1, и поясните причины их различий.

Решение.

Формула для расчета доверительного интервала для коэффициента регрессии имеет вид:

где - случайная ошибка параметра линейной регрессии. Оценка значимости коэффициента регрессии проводится путем сопоставления его значения с величиной случайной ошибки.

где F – F-критерий Фишера и определяется из соотношения:

Тогда

При и числа степеней свободы табличное значение .

Сравнив его с расчетными значениями, получаем, что , из чего следует, что гипотезу о несущественности параметра b с вероятностью 90% (p = 1 – α) следует отклонить

Для коэффициента регрессии в примере 90 %-ые границы составят:

-7 + 1,7143 · (-2,86) ≤ b ≤ -7 - 1,7143 · (-2,86)

-11,9 ≤ b ≤ -2,04

При и числа степеней свободы табличное значение .

Сравнив его с расчетными значениями, получаем, что , из чего следует, что гипотезу о несущественности параметра b с вероятностью 99% (p = 1 – α) следует принять и признается статистическая незначимость параметра b.

Для коэффициента регрессии в примере 99 %-ые границы составят:

-7 + 2,8784 · (-2,86) ≤ b ≤ -7 – 2,8784 · (-2,86)

-15,23 ≤ b ≤ 1,232

Получили, что доверительный интервал для коэффициента корреляции с вероятностью 90% значительно меньше доверительного интервала с вероятностью 99%. Это объясняется тем, что при увеличении интервала вероятность попадания в него оцениваемого параметра растет и наоборот, с уменьшением интервала – вероятность снижается.

№	Производительность труда рабочих, тыс.руб., y
	фактическая, y	расчетная,

1	12	10	0,167	4	0,16
2	8	10	0,250	4	12,96
3	13	13	0,000	0	1,96
4	15	14	0,067	1	11,56
5	16	15	0,063	1	19,36
6	11	12	0,091	1	0,36
7	12	13	0,083	1	0,16
8	9	10	0,111	1	6,76
9	11	10	0,091	1	0,36
10	9	9	0	0	6,76
Итого:	-	-	0,922	14	60,40
Ср. значение	11,6	-	-	-	-

Задача 2

Зависимость среднемесячной производительности труда от возраста рабочих характеризуется моделью . Ее использование привело к результатам, представленным в таблице:

№	Производительность труда рабочих, тыс.руб., y
	фактическая	расчетная
1	12	10
2	8	10
3	13	13
4	15	14
5	16	15
6	11	12
7	12	13
8	9	10
9	11	10
10	9	9

Задание

Оцените качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F-критерий Фишера.

Решение

Значение средней ошибки аппроксимации находится по формуле:

Рассчитанное значение средней ошибки аппроксимации говорит о предельном качестве модели, поскольку близко подходит к критическому пределу в 10%.

Индекс корреляции (для нелинейной регрессии):

Найденное значение индекса корреляции говорит о наличии близкой зависимости среднемесячной производительности труда от возраста рабочих.

F-критерий Фишера:

.

При уровне значимости α = 0,05, k1 = 1 (m) и k2 = 10 (n-m-1=10-1-1) степенях свободы табличное значение F-критерия Фишера .

=26,5 > =5,12, значит, H0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик откланяется и признается их статистическая значимость и надёжность. Вывод: показатели рассчитанных коэффициентов позволяют предложить отобразить зависимость среднемесячной производительности труда от возраста рабочих выбором более точной модели путем введения дополнительных переменных, либо изменением уравнения регрессии.

Задача 3

регрессия аппроксимация корреляция спрос

Зависимость спроса на товар K от его цены характеризуется по 20 наблюдениям уравнением: . Доля остаточной дисперсии в общей составила 18%.

Задание

Запишите данное уравнение в виде степенной функции.

Оцените эластичность спроса на товар в зависимости от его цены.

Определите индекс корреляции.

Оцените значимость уравнения регрессии через F-критерий Фишера. Сделайте выводы.

Решение.

Уравнение в виде степенной функции:

Эластичность степенной функции:

Фактором снижения спроса выступает его цена: с ростом цены на 1%, спрос снижается на 0,35%.

Индекс корреляции (для нелинейной регрессии):

Поскольку доля остаточной дисперсии в общей составила 18%, поэтому уравнение регрессии объясняется 82% дисперсии результативного признака, т. е. коэффициент детерминации равен R2 = 0,82.

Индекс корреляции находится: Величина индекса корреляции достаточно близка к 1 и означает наличие достаточно тесной связи объема спроса от размера цены.

F –тест состоит в проверке гипотезы H0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого сравнивается фактическое и критическое значение F-критерия Фишера. При уровне значимости α = 0,05, k1 = 1 (m) и k2 = 20 (n-m-1=20-1-1) степенях свободы табличное значение F-критерия Фишера :

.

> ,

то H0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик откланяется и признается их статистическая значимость и надёжность.

Вывод: уравнение регрессии характеризует достаточно тесную зависимость спроса на товар K от его цены. Причем, наблюдается обратная зависимость: с увеличением цены, спрос падает.

Задача 4

Изучение влияния стоимости основных и оборотных средств на величину валового дохода торговых предприятий. Для этого по 12 торговым предприятиям были получены данные, приведенные в таблице:

Номер предприятия	Валовой доход за год, млн.руб.	Среднегодовая стоимость, млн.руб.
		основных фондов	оборотных средств
1	203	118	105
2	63	28	56
3	45	17	54
4	113	50	63
5	121	56	28
6	88	102	50
7	110	116	54
8	56	124	42
9	80	114	36
10	237	154	106
11	160	115	88
12	75	98	46

Задание

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров. Оцените статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия.

Рассчитайте средние коэффициенты эластичности.

Определите парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделайте выводы о силе связи результата и факторов.

Дайте оценку полученного уравнения на основе общего F-критерия Фишера.

Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение.

Построение линейной множественной регрессии сводится к оценке ее параметров – а, b1 и b2. Для расчета параметров а, b1 и b2 уравнения регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно а, b1 и b2:

По исходным данным произведем расчет предварительных параметров (табл. 4.1)

Таблица 4.1

№	У	Х1	Х2	Х12	Х22	Х1·Х2	У·Х1	У·Х2	ŷ
1	203	118	105	13924,00	11025,00	12390,00	23954,00	21315,00	197,29
2	63	28	56	784,00	3136,00	1568,00	1764,00	3528,00	80,63
3	45	17	54	289,00	2916,00	918,00	765,00	2430,00	73,07
4	113	50	63	2500,00	3969,00	3150,00	5650,00	7119,00	100,80
5	121	56	28	3136,00	784,00	1568,00	6776,00	3388,00	44,39
6	88	102	50	10404,00	2500,00	5100,00	8976,00	4400,00	98,90
7	110	116	54	13456,00	2916,00	6264,00	12760,00	5940,00	110,97
8	56	124	42	15376,00	1764,00	5208,00	6944,00	2352,00	93,91
9	80	114	36	12996,00	1296,00	4104,00	9120,00	2880,00	80,01
10	237	154	106	23716,00	11236,00	16324,00	36498,00	25122,00	212,75
11	160	115	88	13225,00	7744,00	10120,00	18400,00	14080,00	167,62
12	75	98	46	9604,00	2116,00	4508,00	7350,00	3450,00	90,66
Итого:	1351,00	1092,0	728,0	119410,0	51402,0	71222,0	138957,0	96004,0	1351,00

Систему линейных уравнений удобно решать методом Крамера (метод определителей):

- частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

частный определитель параметра а.

частный определитель параметра х1.

частный определитель параметра х2.

Теперь произведем расчет коэффициентов множественной регрессии:

Аналогичные результаты можно получить с помощью автоматической процедуры нахождения параметров «Анализ данных» → «Регрессия» MS Excel уравнения множественной регрессии:

Окончательно уравнение множественной регрессии, связывающее валовой доход за год (у) со средней стоимостью основных фондов (х1) и со средней стоимостью оборотных средств (х2) имеет вид:

Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы – с увеличением среднегодовой стоимости основных фондов на 1 млн. руб. размер валового дохода возрастет в среднем на 380 тыс. руб., при том же стоимости оборотных средств. Увеличение среднегодовой стоимости оборотных средств на 1 млн. руб. при той же стоимости основных фондов предполагает дополнительное увеличение валового дохода за год на 1,68 млн. руб.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы для каждого из них. Выдвигается гипотеза H0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки по формулам:

и .

Где случайные ошибки параметров линейной регрессии определяются следующим образом:

;

средняя квадратическая ошибка i-го коэффициента регрессии (стандартная ошибка i-го коэффициента регрессии);

среднеквадратичное отклонение величины у;

среднеквадратичное отклонение величины х1;

среднеквадратичное отклонение величины х2;

совокупный коэффициент множественной корреляции;

определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

определитель матрицы межфакторной корреляции. Как видно, величина множественного коэффициента корреляции зависит не только от корреляции результата с каждым их факторов, но и от межфакторной корреляции. Парный коэффициент корреляции между у и х1 рассчитывается по формуле:

Произведем расчет необходимых параметров в таблице 4.2

Таблица 4.2

№	У	Х1
1	203,0	118,0	90,4	27,0	2441,25	8175,17	729,00
2	63,0	28,0	-49,6	-63,0	3123,75	2458,51	3969,00
3	45,0	17,0	-67,6	-74,0	5001,17	4567,51	5476,00
4	113,0	50,0	0,4	-41,0	-17,08	0,17	1681,00
5	121,0	56,0	8,4	-35,0	-294,58	70,84	1225,00
6	88,0	102,0	-24,6	11,0	-270,42	604,34	121,00
7	110,0	116,0	-2,6	25,0	-64,58	6,67	625,00
8	56,0	124,0	-56,6	33,0	-1867,25	3201,67	1089,00
9	80,0	114,0	-32,6	23,0	-749,42	1061,67	529,00
10	237,0	154,0	124,4	63,0	7838,25	15479,51	3969,00
11	160,0	115,0	47,4	24,0	1138,00	2248,34	576,00
12	75,0	98,0	-37,6	7,0	-263,08	1412,51	49,00
Итого	1351,00	1092,00			16016,00	39286,92	20038,00
Среднее значение	112,6	91,0

Тогда коэффициент корреляции между у и х1 составит:

Парный коэффициент корреляции между у и х2 рассчитывается по формуле:

Произведем расчет необходимых параметров в таблице 4.3

Таблица 4.3

№	У	Х2
1	203,0	105,0	90,4	44,3	4008,47	8175,17	1965,44
2	63,0	56,0	-49,6	-4,7	231,39	2458,51	21,78
3	45,0	54,0	-67,6	-6,7	450,56	4567,51	44,44
4	113,0	63,0	0,4	2,3	0,97	0,17	5,44
5	121,0	28,0	8,4	-32,7	-274,94	70,84	1067,11
6	88,0	50,0	-24,6	-10,7	262,22	604,34	113,78
7	110,0	54,0	-2,6	-6,7	17,22	6,67	44,44
8	56,0	42,0	-56,6	-18,7	1056,22	3201,67	348,44
9	80,0	36,0	-32,6	-24,7	803,72	1061,67	608,44
10	237,0	106,0	124,4	45,3	5640,22	15479,51	2055,11
11	160,0	88,0	47,4	27,3	1296,06	2248,34	747,11
12	75,0	46,0	-37,6	-14,7	551,22	1412,51	215,11
Итого	1351,00	728,00			14043,33	39286,92	7236,67
Среднее значение	112,6	60,7

Тогда коэффициент корреляции между у и х2 составит:

Парный коэффициент корреляции между х1 и х2 рассчитывается по формуле:

Произведем расчет необходимых параметров в таблице 4.4

Таблица 4.4

№	х1	х2
1	118,0	105,0	27,0	44,3	1197,00	729,00	1965,44
2	28,0	56,0	-63,0	-4,7	294,00	3969,00	21,78
3	17,0	54,0	-74,0	-6,7	493,33	5476,00	44,44
4	50,0	63,0	-41,0	2,3	-95,67	1681,00	5,44
5	56,0	28,0	-35,0	-32,7	1143,33	1225,00	1067,11
6	102,0	50,0	11,0	-10,7	-117,33	121,00	113,78
7	116,0	54,0	25,0	-6,7	-166,67	625,00	44,44
8	124,0	42,0	33,0	-18,7	-616,00	1089,00	348,44
9	114,0	36,0	23,0	-24,7	-567,33	529,00	608,44
10	154,0	106,0	63,0	45,3	2856,00	3969,00	2055,11
11	115,0	88,0	24,0	27,3	656,00	576,00	747,11
12	98,0	46,0	7,0	-14,7	-102,67	49,00	215,11
Итого	1092,00	728,00			4974,00	20038,00	7236,67
Средне значение	91,0	60,7

Тогда коэффициент корреляции между х1 и х2 составит:

При трех переменных для двухфакторного уравнения регрессии рассчитаем определители матрицы парной корреляции и межфакторной корреляции:

;

Тогда совокупный коэффициент множественной корреляции составит:

По данным из табл. 2, 3 рассчитаем теперь среднее квадратическое отклонение величин у, х1 и х2 по формулам:

Рассчитаем теперь средние квадратические ошибки коэффициентов регрессии b1 и b2

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью t-критерия Стьюдента сводится к вычислению значений:

При уровне значимости α = 0,05, df = 11 (n-m-1=12-2-1) степенях свободы табличное значение t-критерия Стьюдента 2,26.

Сравнив его с расчетными значениями, получаем, что , из чего следует, что гипотезу о несущественности параметра b2 с вероятностью 95% (p = 1 – α) следует отклонить. А вот из чего следует, что гипотезу о несущественности параметра b1 с вероятностью 95% (p = 1 – α) следует принять и признается статистическая незначимость параметра b1.

2. Для характеристики относительной силы влияния х1 и х2 на у используя коэффициенты регрессии можно рассчитать средние коэффициенты эластичности. Как правило, их рассчитывают для средних значений факторов и результатов.

С увеличением среднегодовой стоимости основных фондов (х1) на 1% от его среднего уровня, средний объем валового дохода за год увеличится на 0,37% от своего среднего уровня; при повышении среднегодовой стоимости оборотных средств на 1% - увеличится на 0,53% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния средней стоимости оборотных средств (х2) на валовой доход (у) оказалась сильнее, чем сила влияния средней стоимости основных фондов (х1).

Рассчитаем линейные коэффициенты частной корреляции

Расчёт линейного коэффициента множественной корреляции и коэффициентов парной корреляции выполнен в п.1 Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат коэффициента множественной корреляции:

Зависимость у от х1 и х2 характеризуется как тесная, в которой 76% вариации валового дохода определяются вариацией учтенных в модели факторов: среднегодовой стоимости основных фондов и среднегодовой стоимости оборотных средств. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 14% от общей вариации у.

4. F –тест Фишера состоит в проверке гипотезы H0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого сравнивается фактическое и критическое значение F-критерия Фишера. При уровне значимости α = 0,05, k1 = 2 (m) и k2 = 9 (n-m-1=12-2-1) степенях свободы табличное значение F-критерия Фишера:

Таблица 4.5

№	у	ŷ
1	203	197,29	7174,61	32,65
2	63	80,63	1020,85	310,91
3	45	73,07	1561,63	787,69
4	113	100,80	138,89	148,88
5	121	44,39	4650,78	5869,60
6	88	98,90	187,15	118,88
7	110	110,97	2,59	0,95
8	56	93,91	348,78	1437,00
9	80	80,01	1060,74	0,00
10	237	212,75	10033,02	588,14
11	160	167,62	3029,24	58,09
12	75	90,66	480,55	245,29
Сумма	1351,00		29688,8	9598,1

Тогда

> , значит, H0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик откланяется и признается их статистическая значимость и надёжность.

Значение средней ошибки аппроксимации найдем по формуле:

Таблица.4.6 Расчет ошибки аппроксимации

№	у	ŷ
1	203,0	197,29	0,03
2	63,0	80,63	0,28
3	45,0	73,07	0,62
4	113,0	100,80	0,11
5	121,0	44,39	0,63
6	88,0	98,90	0,12
7	110,0	110,97	0,01
8	56,0	93,91	0,68
9	80,0	80,01	0,00
10	237,0	212,75	0,10
11	160,0	167,62	0,05
12	75,0	90,66	0,21
13	1351,0	1351,0	2,8
14	203,0	197,29	0,03
Сумма	63,0	80,63	0,28

Ошибка аппроксимации показала очень сильное отличие фактического значения результативного признака от теоретического, рассчитанного по множественному уравнению регрессии, что свидетельствует о плохом выборе уравнения регрессии.

Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

Задача 5

Имеются данные об объемах продаж в перерабатывающей промышленности и торговле США в течение 5 лет в сопоставимых ценах в млрд. долл.

Месяц	1 год	2 год	3 год	4 год	5 год
Январь	472,5	477,9	510,9	541,0	578,2
Февраль	482,1	467,5	484,7	512,3	539,4
Март	489,5	470,9	486,6	512,6	545,3
Апрель	493,6	469,1	488,4	511,5	551,9
Май	488,0	478,1	489,5	511,9	549,7
Июнь	490,6	480,6	486,6	513,9	550,1
Июль	492,5	479,3	491,8	520,0	554,0
Август	488,1	484,2	495,2	515,9	550,0
Сентябрь	493,1	484,9	491,8	524,2	565,6
Октябрь	484,5	485,6	496,1	527,1	564,7
Ноябрь	483,0	486,1	498,8	529,8	566,9
Декабрь	476,9	484,7	501,5	534,9	572,7

Задание

Рассчитайте трендовую и сезонную компоненты. Постройте мультипликативную модель этого ряда. Найдите наиболее целесообразный вариант построения уравнения авторегрессии через расчет коэффициентов автокорреляции первого, второго и третьего порядка. Охарактеризуйте структуру этого ряда.

Решение

Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый месяц (по всем годам) оценки сезонной компоненты Sj. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем месяцам должна быть равна числу периодов в цикле, т.е. двенадцати, так как в нашем случае число периодов одного цикла (год) равно 12 месяцам. Для данной модели имеем:

.

Определим корректирующий коэффициент:

.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

,

где .

Проверим условие равенства двенадцати суммы значений сезонной компоненты:

.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

Элиминируем влияние сезонной компоненты, разделив значение каждого уровня исходного временного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Получим T∙E=Y/S, значения, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 5.3 Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели

t	y	S	y/S	T	T·S		E
1	472,5	1,045	452,024	462,884	483,852	1223,600	0,977	-11,352	128,866
2	482,1	0,992	486,039	464,396	460,632	644,144	1,047	21,468	460,863
3	489,5	0,995	492,032	465,908	463,510	323,280	1,056	25,990	675,460
4	493,6	0,994	496,428	467,419	464,757	192,654	1,062	28,843	831,923
5	488	0,996	490,190	468,931	466,836	379,470	1,045	21,164	447,915
6	490,6	0,993	494,071	470,443	467,138	284,934	1,050	23,462	550,462
7	492,5	1,000	492,362	471,955	472,087	224,400	1,043	20,413	416,700
8	488,1	0,997	489,587	473,466	472,028	375,584	1,034	16,072	258,315
9	493,1	1,000	493,166	474,978	474,915	206,784	1,038	18,185	330,712
10	484,5	0,997	485,935	476,490	475,083	528,080	1,020	9,417	88,688
11	483	0,997	484,563	478,001	476,459	599,270	1,014	6,541	42,783
12	476,9	0,994	479,676	479,513	476,738	935,136	1,000	0,162	0,026
13	477,9	1,045	457,190	481,025	502,814	874,976	0,950	-24,914	620,722
14	467,5	0,992	471,320	482,537	478,626	1598,400	0,977	-11,126	123,785
15	470,9	0,995	473,336	484,048	481,558	1338,096	0,978	-10,658	113,586
16	469,1	0,994	471,787	485,560	482,794	1473,024	0,972	-13,694	187,532
17	478,1	0,996	480,246	487,072	484,896	863,184	0,986	-6,796	46,180
18	480,6	0,993	484,000	488,584	485,151	722,534	0,991	-4,551	20,714
19	479,3	1,000	479,166	490,095	490,233	794,112	0,978	-10,933	119,520
20	484,2	0,997	485,676	491,607	490,113	541,958	0,988	-5,913	34,968
21	484,9	1,000	484,965	493,119	493,053	509,856	0,983	-8,153	66,467
22	485,6	0,997	487,038	494,630	493,170	478,734	0,985	-7,570	57,300
23	486,1	0,997	487,674	496,142	494,541	457,104	0,983	-8,441	71,255
24	484,7	0,994	487,521	497,654	494,774	518,928	0,980	-10,074	101,480
25	510,9	1,045	488,760	499,166	521,777	11,696	0,979	-10,877	118,302
26	484,7	0,992	488,660	500,677	496,620	518,928	0,976	-11,920	142,075
27	486,6	0,995	489,117	502,189	499,605	435,974	0,974	-13,005	169,130
28	488,4	0,994	491,198	503,701	500,832	364,046	0,975	-12,432	154,543
29	489,5	0,996	491,697	505,212	502,955	323,280	0,973	-13,455	181,042
30	486,6	0,993	490,042	506,724	503,164	435,974	0,967	-16,564	274,382
31	491,8	1,000	491,662	508,236	508,378	245,862	0,967	-16,578	274,837
32	495,2	0,997	496,709	509,748	508,199	150,798	0,974	-12,999	168,971
33	491,8	1,000	491,866	511,259	511,191	245,862	0,962	-19,391	376,008
34	496,1	0,997	497,569	512,771	511,257	129,504	0,970	-15,157	229,726
35	498,8	0,997	500,415	514,283	512,623	75,342	0,973	-13,823	191,086
36	501,5	0,994	504,419	515,794	512,809	35,760	0,978	-11,309	127,902
37	541	1,045	517,556	517,306	540,739	1123,590	1,000	0,261	0,068
38	512,3	0,992	516,486	518,818	514,613	23,232	0,996	-2,313	5,351
39	512,6	0,995	515,251	520,330	517,652	26,214	0,990	-5,052	25,526
40	511,5	0,994	514,430	521,841	518,869	16,160	0,986	-7,369	54,300
41	511,9	0,996	514,197	523,353	521,015	19,536	0,983	-9,115	83,079
42	513,9	0,993	517,536	524,865	521,178	41,216	0,986	-7,278	52,965
43	520	1,000	519,854	526,376	526,524	156,750	0,988	-6,524	42,562
44	515,9	0,997	517,472	527,888	526,284	70,896	0,980	-10,384	107,836
45	524,2	1,000	524,270	529,400	529,329	279,558	0,990	-5,129	26,308
46	527,1	0,997	528,661	530,912	529,344	384,944	0,996	-2,244	5,035
47	529,8	0,997	531,515	532,423	530,705	498,182	0,998	-0,905	0,820
48	534,9	0,994	538,014	533,935	530,845	751,856	1,008	4,055	16,443
49	578,2	1,045	553,144	535,447	559,701	5001,318	1,033	18,499	342,198
50	539,4	0,992	543,807	536,959	532,607	1018,886	1,013	6,793	46,148
51	545,3	0,995	548,120	538,470	535,700	1430,352	1,018	9,600	92,168
52	551,9	0,994	555,062	539,982	536,906	1973,136	1,028	14,994	224,816
53	549,7	0,996	552,167	541,494	539,074	1782,528	1,020	10,626	112,904
54	550,1	0,993	553,992	543,005	539,191	1816,464	1,020	10,909	119,009
55	554	1,000	553,845	544,517	544,670	2164,110	1,017	9,330	87,055
56	550	0,997	551,676	546,029	544,370	1807,950	1,010	5,630	31,698
57	565,6	1,000	565,676	547,541	547,467	3377,934	1,033	18,133	328,793
58	564,7	0,997	566,373	549,052	547,431	3274,128	1,032	17,269	298,224
59	566,9	0,997	568,735	550,564	548,788	3530,736	1,033	18,112	328,060
60	572,7	0,994	576,034	552,076	548,881	4253,648	1,043	23,819	567,361
Итого						52661,016	60,006	1,751	11202,95

Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T∙E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Таким образом, имеем линейный тренд:

.

Подставив в это уравнение значение t = 1, 2, …, 60, найдем уровни Т для каждого момента времени.

Найдем значения уровней ряда, полученные по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев.

Расчет ошибки в мультипликативной модели проводится по формуле:

.

Численные значения ошибок приведены в таблице

Для оценки качества построения мультипликативной модели можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Для данной мультипликативной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 11202,95. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 52661,016, эта величина составляет 21,2%:

.

Следовательно, можно сказать, что мультипликативная модель объясняет 78,8% общей вариации уровней временного ряда объема продаж в перерабатывающей промышленности и торговле США за последние 60 месяцев. Мультипликативная модель построена.

При этом при расчете коэффициента автокорреляции первого порядка параметрами будут являться значения исходного ряда и значения ряда с отставанием на 1 .

;

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков.

Таблица 5.4 Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка

t	y
1	472,5	-	-	-	-	-	-
2	482,1	472,5	-25,9729	-33,8746	879,8204	674,5906	1147,4869
3	489,5	482,1	-18,5729	-24,2746	450,8488	344,9519	589,2551
4	493,6	489,5	-14,4729	-16,8746	244,2237	209,4643	284,7513
5	488	493,6	-20,0729	-12,7746	256,4226	402,9206	163,1898
6	490,6	488	-17,4729	-18,3746	321,0568	305,3016	337,6251
7	492,5	490,6	-15,5729	-15,7746	245,6556	242,5146	248,8373
8	488,1	492,5	-19,9729	-13,8746	277,1153	398,9160	192,5039
9	493,1	488,1	-14,9729	-18,2746	273,6231	224,1872	333,9601
10	484,5	493,1	-23,5729	-13,2746	312,9200	555,6807	176,2144
11	483	484,5	-25,0729	-21,8746	548,4587	628,6494	478,4971
12	476,9	483	-31,1729	-23,3746	728,6529	971,7485	546,3708
13	477,9	476,9	-30,1729	-29,4746	889,3329	910,4028	868,7506
14	467,5	477,9	-40,5729	-28,4746	1155,2956	1646,1587	810,8015
15	470,9	467,5	-37,1729	-38,8746	1445,0800	1381,8231	1511,2327
16	469,1	470,9	-38,9729	-35,4746	1382,5465	1518,8855	1258,4456
17	478,1	469,1	-29,9729	-37,2746	1117,2265	898,3736	1389,3940
18	480,6	478,1	-27,4729	-28,2746	776,7841	754,7592	799,4517
19	479,3	480,6	-28,7729	-25,7746	741,6088	827,8787	664,3288
20	484,2	479,3	-23,8729	-27,0746	646,3481	569,9145	733,0327
21	484,9	484,2	-23,1729	-22,1746	513,8488	536,9824	491,7118
22	485,6	484,9	-22,4729	-21,4746	482,5956	505,0304	461,1574
23	486,1	485,6	-21,9729	-20,7746	456,4773	482,8075	431,5830
24	484,7	486,1	-23,3729	-20,2746	473,8753	546,2916	411,0584
25	510,9	484,7	2,8271	-21,6746	-61,2766	7,9926	469,7873
26	484,7	510,9	-23,3729	4,5254	-105,7722	546,2916	20,4795
27	486,6	484,7	-21,4729	-21,6746	465,4156	461,0846	469,7873
28	488,4	486,6	-19,6729	-19,7746	389,0229	387,0223	391,0339
29	489,5	488,4	-18,5729	-17,9746	333,8397	344,9519	323,0854
30	486,6	489,5	-21,4729	-16,8746	362,3458	461,0846	284,7513
31	491,8	486,6	-16,2729	-19,7746	321,7893	264,8067	391,0339
32	495,2	491,8	-12,8729	-14,5746	187,6168	165,7111	212,4183
33	491,8	495,2	-16,2729	-11,1746	181,8426	264,8067	124,8712
34	496,1	491,8	-11,9729	-14,5746	174,4997	143,3499	212,4183
35	498,8	496,1	-9,2729	-10,2746	95,2749	85,9863	105,5669
36	501,5	498,8	-6,5729	-7,5746	49,7868	43,2028	57,3742
37	541	501,5	32,9271	-4,8746	-160,5058	1084,1951	23,7615
38	512,3	541	4,2271	34,6254	146,3658	17,8685	1198,9200
39	512,6	512,3	4,5271	5,9254	26,8251	20,4948	35,1106
40	511,5	512,6	3,4271	6,2254	21,3353	11,7451	38,7559
41	511,9	511,5	3,8271	5,1254	19,6156	14,6468	26,2700
42	513,9	511,9	5,8271	5,5254	32,1973	33,9553	30,5303
43	520	513,9	11,9271	7,5254	89,7566	142,2562	56,6320
44	515,9	520	7,8271	13,6254	106,6478	61,2638	185,6522
45	524,2	515,9	16,1271	9,5254	153,6176	260,0840	90,7337
46	527,1	524,2	19,0271	17,8254	339,1665	362,0312	317,7457
47	529,8	527,1	21,7271	20,7254	450,3037	472,0677	429,5432
48	534,9	529,8	26,8271	23,4254	628,4366	719,6943	548,7505
49	578,2	534,9	70,1271	28,5254	2000,4058	4917,8128	813,6998
50	539,4	578,2	31,3271	71,8254	2250,0836	981,3884	5158,8915
51	545,3	539,4	37,2271	33,0254	1229,4414	1385,8584	1090,6786
52	551,9	545,3	43,8271	38,9254	1705,9892	1920,8163	1515,1886
53	549,7	551,9	41,6271	45,5254	1895,0922	1732,8170	2072,5642
54	550,1	549,7	42,0271	43,3254	1820,8427	1766,2787	1877,0923
55	554	550,1	45,9271	43,7254	2008,1827	2109,3002	1911,9127
56	550	554	41,9271	47,6254	1996,7968	1757,8833	2268,1810
57	565,6	550	57,5271	43,6254	2509,6449	3309,3694	1903,1776
58	564,7	565,6	56,6271	59,2254	3353,7651	3206,6306	3507,6508
59	566,9	564,7	58,8271	58,3254	3431,1166	3460,6299	3401,8551
60	572,7	566,9	64,6271	60,5254	3911,5837	4176,6645	3663,3269
Итого	29973,6	29876,1			46980,9093	52640,2766	49558,8719

Рассчитав коэффициент автокорреляции второго порядка r2, получим количественную характеристику корреляционной связи рядов , : .

Аналогично рассчитаем коэффициент автокорреляции третьего порядка: .

Можно сделать вывод, что наиболее целесообразно построение уравнения авторегрессии так как значение свидетельствует о наличии очень тесной связи между уровнями ряда с лагом в 1 месяц.