Задание 1

В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов).

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y (t)	43	54	64	41	45	58	71	43	49	62	74	45	54	66	79	48

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1 = 0,3; α2 = 0,6; α3 = 0,3.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1 = 0,32;

нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1. Для оценки начальных значений а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y (t). Линейная модель имеет вид:

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:

Таблица 1

t	Y (t)	t-tср	(t-tср) 2	Y-Yср	(Y-Yср) х (t-tср)
1	43	-4	12	-9	33
2	54	-3	6	2	-4
3	64	-2	2	12	-17
4	41	-1	0	-11	6
5	45	1	0	-7	-4
6	58	2	2	6	8
7	71	3	6	19	47
8	43	4	12	-9	-33
36	419	0	42	0	36

Произведем расчет:

Получим линейное уравнение вида:

Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.

Таблица 2. Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели

t	Y (t)	Yp (t)
1	43	49,42
2	54	50,26
3	64	51,11
4	41	51,95
5	45	52,80
6	58	53,64
7	71	54,49
8	43	55,33

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.

Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F (-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y (t) I квартала первого года, равное , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) .

Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV кварталов:

Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 3) используя следующие формулы:

Таблица 3. Модель Хольта-Уинтерса

t	Y (t)	a (t)	b (t)	F (t)	Yp (t)	Абс. погр., E (t)	Отн. погр., в%
0		48,57	0,85	0,8612	-		-
1	43	49,57	0,89	0,8650	42,56	0,44	1,03
2	54	50,35	0,86	1,0746	54,39	-0,39	0,72
3	64	50,88	0,76	1,2658	65,43	-1,43	2,24
4	41	51,85	0,82	0,7877	40,44	0,56	1,37
5	45	52,48	0,76	0,8605	45,56	-0,56	1,24
6	58	53,46	0,83	1,0807	57,21	0,79	1,36
7	71	54,83	0,99	1,2833	68,73	2,27	3, 20
8	43	55,45	0,88	0,7803	43,97	-0,97	2,26
9	49	56,52	0,94	0,8644	48,47	0,53	1,07
10	62	57,43	0,93	1,0801	62,09	-0,09	0,15
11	74	58,15	0,87	1,2769	74,89	-0,89	1, 20
12	45	58,61	0,74	0,7728	46,05	-1,05	2,34
13	54	60,29	1,03	0,8832	51,31	2,69	4,99
14	66	61,25	1,01	1,0785	66,23	-0,23	0,34
15	79	62,14	0,97	1,2735	79,50	-0,50	0,63
16	48	62,81	0,88	0,7676	48,77	-0,77	1,61
							25,75

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E (t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 4.

Таблица 4. Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t	E (t)	Точка поворота	E (t) 2	[E (t) - E (t-1)] 2	E (t) xE (t-1)
1	0,44	-	0, 194	-	-
2	-0,39	0	0,150	0,69	-0,17
3	-1,43	1	2,05	1,09	0,55
4	0,56	1	0,32	3,98	-0,81
5	-0,56	1	0,31	1,26	-0,32
6	0,79	0	0,62	1,81	-0,44
7	2,27	1	5,17	2,21	1,79
8	-0,97	1	0,95	10,54	-2,21
9	0,53	1	0,28	2,24	-0,51
10	-0,09	0	0,01	0,38	-0,05
11	-0,89	0	0,78	0,63	0,08
12	-1,05	1	1,11	0,03	0,93
13	2,69	1	7,26	14,03	-2,83
14	-0,23	0	0,05	8,52	-0,61
15	-0,50	0	0,25	0,07	0,11
16	-0,77	-	0,60	0,08	0,38
Сумма	0,41	8,00	20,09	47,57	-4,09

2. Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E (t) }, поделенное на фактическое значение Y (t) и выраженное в процентах 100%* abs{E (t) }/ Y (t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 25,75. Средняя величина: 25,75/16=1,61%, значит, условие точности выполнено.

3. Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E (t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр.2 табл.4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр.3 табл.4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр.3 ставится 0. В первой и в последней строке гр.3 табл.4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=8.

Рассчитаем значение :

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.

Так как количество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):

Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:

Условие выполнено (1,37<1,63<2), следовательно, уровни ряда Е (t) являются независимыми.

2) по первому коэффициенту автокорреляции r (1):

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения < rтабл., то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл. = 0,32. Имеем: =0,20 < rтабл. = 0,32 - значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

,

где - максимальное значение уровней ряда остатков ;

- минимальное значение уровней ряда остатков ;

S - среднее квадратическое отклонение.

Emax - Emin = 2,69 - (-1,43) = 4,13

Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к полученное значение RS (3,57) попадает в заданный интервал (3,00<3,57<4,21).

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Yp (t) на год.

4. Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты и определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения и (см. табл.1.4) по формуле:

,

где k - период упреждения;

- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

- коэффициенты модели;

- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

- период сезонности.

Определим прогнозные значения экономического показателя Yp (t) для: t = 17, 18,19 и 20.

5. На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис.1. Сопоставление расчетных и фактических данных

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	858	785	804
2	849	781	849
3	870	801	806
4	805	755	760
5	785	742	763
6	795	755	795
7	812	781	800
8	854	791	853
9	875	819	820
10	820	745	756

Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R,% К,% D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение:

Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся формулой:

,

где k = 2/ (n + 1),

- цена закрытия t-го дня;

- значение EMA текущего дня t.

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад :

где - цена закрытия t-го дня.

- значение МОМ текущего дня t.

Скорость изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:

,

где - цена закрытия t-го дня.

- значение ROC текущего дня t.

Таблица 1. Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней, момента, скорости изменения цен

Дни	Цены закр	ЕМАt	МОМt	ROCt
1	804	804,00	-	-
2	849	819,00	-	-
3	806	814,67	-	-
4	760	796,44	-	-
5	763	785,30	-	-
6	795	788,53	-9,0	98,88
7	800	792,35	-49,0	94,23
8	853	812,57	47,0	105,83
9	820	815,05	60,0	107,89
10	756	795,36	-7,0	99,08

Для расчета индекса относительной силы используем формулу:

,

где AU - сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD - сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Таблица 2. Результаты расчета индекса относительной силы

Дни	Цены закрытия	Изменение (+/-)	RSI
1	804	45	-
2	849	-43	-
3	806	-46	-
4	760	3	-
5	763	32	-
6	795	5	47,3
7	800	53	31,0
8	853	-33	66,9
9	820	-64	73,8
10	756	45	48,1

Рассчитаем %R, %К, %D используя следующие формулы:

,

где - значение индекса текущего дня t;

- цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 - минимальная и максимальные цены за n предшествующих дней, включая текущие.

,

где - значение индекса текущего дня t;

- цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущие.

Индекс % D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины и сглаживают, беря их трехдневную сумму.

Таблица 3. Результаты расчетов %R, %К, %D

Дни	Цены			% Kt	% Rt	%Dt
	макс	мин	закр
1	858	785	804		-	-
2	849	781	849	-	-	-
3	870	801	806	-	-	-
4	805	755	760	-	-	-
5	785	742	763	16,41	83,59	-
6	795	755	795	41,41	58,59	-
7	812	781	800	45,31	54,69	34,38
8	854	791	853	99,11	0,89	60,33
9	875	819	820	58,65	41,35	66,22
10	820	745	756	8,46	91,54	53,33

Задание 3

3.1 Банк выдал ссуду, размером 5 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 08.01.02, возврата 22.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 55% годовых. Найти:

3.1 1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1 2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1 3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение:

3.1 1) К = 365, t = 73, I = 5 000 000 х 0,55 х 73/365 = 550 000,00 руб.

3.1 2) К = 360, t = 73, I = 5 000 000 х 0,55 х 73/360 = 557 638,89 руб.

3.1 3) К = 360, t = 74, I = 5 000 000 х 0,55 х 74/360 = 565 277,78 руб.

3.2 Через 90 дней после подписания договора должник уплатил 5 000 000 руб.

Кредит выдан под 55% годовых (проценты обыкновенные).

Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение:

P = S / (1 + ni) = 5 000 000/ (1 + 0,55 х 90/360) = 4 395 604,40 руб.

D = S - P = 5 000 000 - 3 395 604,40 = 604 395,60 руб.

3.3 Через 90 предприятие должно получить по векселю 5 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение:

D = Snd = 5 000 000 x 0,55 х 90/360 = 687 500,00 руб.

P = S - D = 5 000 000 - 687 500,00= 4 312 500,00 руб.

3.4 В кредитном договоре на сумму 5 000 000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 55% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение:

S = P x (1+i) n = 5 000 000 х (1+0,55) 5 = 44 733 048,44 руб.

3.5 Сумма размером 5 000 000 руб. представлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка 55% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение:

N = 5 x 4 = 20

S = P x (1+j / m) N = 5 000 000 х (1 + 0,55/4) 20 = 65 765 497,67 руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 55% годовых.

Решение:

iэ = (1 + j / m) m - 1 = (1 + 0,55/4) 4 - 1 = 0,6742, т.е.67,42%.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 55% годовых.

Решение:

j = m x [ (1 + iэ) 1/m - 1] = 4 x [ (1 + 0,55) (1/4) - 1] = 0,46316, т.е.46,316%.

3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 5 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 55% годовых.

Решение:

руб.

3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 5 000 000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых. Определить дисконт.

Решение:

P = S (1 - dсл) n = 5 000 000 x (1 - 0,55) 5 = 92 264,06 руб.

D = S - P = 5 000 000 - 92 264,06 = 4 907 735,94 руб.

3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 5 000 000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 55%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

руб.