1. Предмет теорії ймовірностей

Теорія ймовірностей вивчає закономірності, властиві випадковим явищам. Як будь-яка математична наука, вона має аксіоматичну побудову, з якої виводяться подальші результати. Основні поняття теорії ймовірностей мають не абстрактний характер. Вони в загальній формі відображають певні сторони реальної дійсності. Тому висновки і результати, що одержують у теорії ймовірностей, мають практичну цінність.

Випадковим називається таке явище, характер протікання якого не можна цілком передбачити на підставі наявних у нас даних. Неможливість передбачення не означає відсутності причинного зв'язку між початковими даними і результатом. Вона викликана неповною поінформованістю про цей зв'язок. Проте неповнота даних не є перешкодою для з'ясування загальних закономірностей, що властиві випадковим явищам. Експериментатору добре відома така універсальна схема: чим більша кількість дослідів, тим більш впевнено можна вивести закономірність, тим меншою є роль випадкових відхилень.

Теорія ймовірностей вивчає масові випадкові явища, тобто явища, що допускають хоча б експериментальну перевірку в однотипних умовах необмежену кількість разів. При цьому розглядаються такі випадкові явища, об'єктивні характеристики яких можуть бути отримані з будь-яким рівнем точності за будь-яких необмежених повторень експерименту.

Під випробовуванням у теорії ймовірностей розуміється експеримент, що може бути повтореним при дотриманні визначеного комплексу умов необмежену кількість разів. У зв’язку з тим, що завдання комплексу умов не вичерпує всіх обставин, які впливають на результат експерименту, при повторенні іспиту може спостерігатися різний результат експерименту.

Наприклад, експеримент полягає у тому, що з урни, в якій є m білих і М чорних куль, навмання виймають одну кулю. Комплекс умов: склад куль за кольором; витаскування кулі навмання.

Експеримент може бути повторено безліч разів, якщо вийнята куля повертається назад. Даний експеримент можна назвати випробуванням.

При зміні комплексу заданих умов, що характеризують випробування, буде одержано нове випробування.

Для кожного випробування можна вказати деяку систему можливих наслідків, головна властивість яких полягає в тому, що в результаті випробування відбувається один і тільки один з цих наслідків. Така система наслідків, пов'язаних з даним випробуванням, називається простором елементарних подій W, а наслідки, що його складають, елементарними подіями w. Їх взаємозв’язок можна наочно зобразити схемою, наведеною на рис.

Рисунок 1

Приклад 1. Випробування - виймання кулі з урни, що містить m білих і M-m чорних куль, з її поверненням назад. Можливі елементарні події: w1 - витягнено білу кулю, w2 - витягнено чорну кулю; простір елементарних подій W= (w1, w2) складається тільки з двох подій.

Приклад 2. Іспит - постріли по мішені до першого влучення. Тепер простір елементарних подій W (w1,w2,…,wn…) складається з таких подій: wi - номер i-го влучення, wҐ - влучення не відбулося при нескінчених спробах. При цьому W - нескінченна безліч елементарних подій.

Приклад 3. Постріл по мішені з гарантованим влученням. Розміром кулі можна зневажити. Ставимо у відповідність кожній точці мішені q результат випробування w (q). W містить незліченну безліч елементарних подій.

2. Випадкова подія. Алгебра випадкових подій

Випадковою подією, пов’язаною з даним випробуванням, називається деяка множина елементарних подій, яка позначається прописними латинськими літерами (A, B, C,.). Тобто випадкова подія - це підпростір простору елементарних подій W. Про елементарні події, що входять до випадкової події, говорять, що вони їй сприяють. W обов'язково з'являється в результаті випробування, тому W називається достовірною подією.

Наприклад, якщо випробування полягає в одноразовому підкиданні гральної кості, то елементарними подіями є випадання на верхній грані цієї кості тієї чи іншої кількості очок. Тоді випадковими подіями можна вважати або одну з елементарних подій, або їх якесь об’єднання, як, наприклад, випадання парної кількості очок, кількості, що кратна трьом, випадання довільної кількості очок (W) тощо.

Приклад 4. В урні знаходяться дві білі і дві чорні кулі. Випробування полягає у вийманні навмання однієї кулі з урни. Занумеруємо кулі і позначимо елементарні події, що полягають у вийманні білої кулі під номером 1 через w1, білої кулі під номером 2 - w2, так само чорної кулі під номером 3 - w3, чорної кулі під номером 4 - w4. W = (w1, w2, w3, w4). Тоді подія А (w1, w3) полягає у вийманні з урни кулі з непарним номером, подія В (w1,w2) - це виймання білої кулі.

Наочно випадкові події можна геометрично зобразити підмножинами простору елементарних подій W, як це продемонстровано на рис.2.

Рисунок 2

Алгебра випадкових подій (у межах того самого простору W):

1. Дві події називаються рівносильними (тотожними), якщо вони складаються з одних і тих самих елементарних подій (А=В).

2. Подія В називається наслідком події А, якщо з появи події А випливає поява В. Цей взаємозв’язок символічно позначають так: АМВ (рис.3).

Рисунок 3

Якщо АМВ; ВМА, то А=В; також, якщо АМВ і ВМС; то АМС.

3. Подією, протилежною події А (позначається як ), називається подія, рівносильна тому, що подія А не з’явиться (рис.4).

Рисунок 4

Очевидно, що = А; якщо AМB; то .

4. - неможлива подія - "порожня множина" МА.

5. Сумою двох подій А та В називається подія (вона позначається як А + В, або АИВ), яка полягає в тому, що в результаті випробування відбудеться принаймні одна з подій А чи В (рис.5).

6. Добутком подій А та В (їх перетином) називається подія (вона позначається як АЧВ, або АЗВ), що складається з елементарних подій, сприятливих і А, і В, тобто вона полягає в тому, що в результаті випробування одночасно відбуваються обидві ці події (рис.6).

Рисунок 5

Рисунок 6

Поняття суми та добутку подій можна поширити на будь-яку кількість подій, як скінчену, так і нескінчену.

7. Події А і В називаються несумісними, якщо вони не можуть з'явитися в одному й тому самому випробуванні. АВ= (рис.7).

Рисунок 7

Події називаються попарно несумісними, якщо будь-які дві з них є несумісними. Події А1, А2,, …, Аn, складають повну групу, якщо вони попарно несумісні, а їх сума дає достовірну подію. Геометрично область W поділяється на області А1, А2,, …, Аn, що не мають попарно загальних точок перетину (рис.8).

теорія ймовірностей випадкова подія

Рисунок 8

Основні формули алгебри випадкових подій:

1. Комутативність суми та добутку: А + В= В +А; А Ч В= В ЧА.

2. Асоціативність суми та добутку: А + (В+С) = (А+ В) +С; АЧ (ВЧС) = (АЧВ) ЧС.

3. АЧВ<A<A+B.

4. АМ ВЮА+В=В, АВ=А, А+ W=W; АЧW=А; А+=А; А=; А+А=А; АЧА=А.

5. Дистрибутивність множення відносно додавання

(А+В) С=АС+ВС; В.

6. Дистрибутивність додавання відносно множення

(АЧВ) +С= (А+С) Ч (В+С).

7. Властивості протилежних подій: при переході до протилежних подій сума заміняється добутком і навпаки:

Приклад 5. Якщо електричне коло має два контакти, що з'єднані паралельно (випадок а)) і послідовно (випадок б)) (рис.9), тоді простір елементарних подій W= (w1,w2,w3,w4) складається з таких елементарних подій: w1 - обидва контакти замкнено; w2 - обидва контакти розімкнено; w3 - 1 - замкнено; 2 - розімкнено; w4 - 1 - розімкнено; 2 - замкнено.

Рисунок 9

Позначимо події: А - 1 контакт замкнено; В-2 контакт замкнено; С - все коло замкнено.

Тоді справедливі такі твердження:

А=w1+w3; В=w1+ w4,а також

С=А+В;

у випадку а) і

C=AB;

у випадку б).

3. Частота і ймовірність випадкової події

Частота - це кількісна характеристика випадкових подій.

Нехай у серії з n випробувань m разів з'являється подія А: 0ЈmЈ n. Число m називається частотою появи події А, а відношення називається питомою (нормованою) частотою появи події А у цій серії випробувань і позначається:

. (1)

Питома частота має такі властивості:

1. Для будь-якої якої події А та для будь-якої серії випробувань

0Јp* (A) Ј

2. Частота появи достовірної події

3. Якщо події А і В несумісні, то:

Дійсно, нехай під час проведення n випробувань отримано mA появ події А і mB появ події В, тоді mA+mB - кількість появи події А+В. Отже:

Якщо А і В - сумісні, то

,

тому що (рис.10)

Це наочно видно також на схемі рис.10.

Рисунок 10

Поняття частоти є основним при експериментальному вивченні випадкових подій. Однак частота не може бути об'єктивною характеристикою випадкової події, що досліджується. Вона залежить від випадкового збігу обставин, пов'язаних з даною серією випробувань, від індивідуальних особливостей самого дослідника. Проте експериментально встановлено, що зі зростанням чисельності випробувань частота стає майже сталою.

Ймовірність випадкової події відповідає в ідеалізованому вигляді тій сталій межі, до якої тяжіє частота випадкової події при необмеженому збільшенні чисельності випробувань.

Теорія ймовірностей призначена для опису випадкових подій, що мають сталу (стійку) частоту.

4. Розібрані вправи

З безлічі подружніх пар навмання вибирається одна пара. Подія А: "чоловіку більше 30 років", подія В: "чоловік старше дружини", подія С: "дружині більше 30 років".

а) З'ясувати, в чому полягають події АВС, А-АВ, .

б) Перевірити, що .

Відповідь: а) АВС - "обидва: і чоловік, і дружина - старше 30 років, причому чоловік старше дружини"; А-АВ - "чоловіку більше 30 років, але він не старше своєї дружини"; - "обидва: і чоловік, і дружина - старше 30 років, причому чоловік не старше своєї дружини";

б) - "чоловіку більше 30 років" і "дружині не більше 30 років", отже чоловік старше дружини - В, тобто.

2. Нехай А, В, С - три довільних події. Визначити подію, що полягає в тому, що з А, В, С

а) відбулося тільки А;

б) відбулися тільки А та В;

в) усі три події відбулися;

г) відбулася принаймні одна з подій;

д) відбулися принаймні дві події;

е) відбулася одна і тільки одна подія;

ж) відбулися дві і тільки дві події;

з) жодна подія не відбулася;

і) відбулося не більше двох подій.

Відповідь:

ж)

3. Нехай А та В - довільні події, U - достовірна подія, а V - неможлива подія. Довести, що А, , , U, V утворять повну групу подій.

Відповідь: Легко перевірити, що перші три події попарно несумісні, сума їх дорівнює U.

4. У чому полягає умова сумісності подій А+В, і ?

Відповідь: З того, що (А+В) (, випливає необхідність сумісності А і В.

5. Довести, що подія (А+В) ( є неможливою.

6. Чи є рівносильними події А і В, якщо

а)

б) А+С=В+С?

в) АС=ВС?

Відповідь: а) так; б) взагалі кажучи, необов’язково в) взагалі кажучи, необов’язково.

7. Нехай А, В, С - довільні події. Спростити дані вирази для подій:

а) (А+В) (В+С);

б) (А+В) (А+).

Відповідь:

а) (А+В) (В+С) =АВ+АС+ВВ+ВС= (А+В+С) В+АС=В+АС;

б) (А+В) (А+) = АА+АВ+А+В=А+А (В+) += А+АW+=А.