(реферат)

1.Випадкові події. Предмет теорії ймовірностей

Подія – одне з основних понять теорії ймовірностей. Воно є первісним і немає означення. Події настають (відбуваються, з’являються) при виконанні певної сукупності умов S. Кожна реалізація цих умов називається експериментом (випробовуванням, іспитом).

Приклад 1. Стрілець стріляє по мішені, яку поділено на 4 області. Постріл – це експеримент, а попадання в певну область – подія.

Приклад 2. З урни з різнокольоровими кулями навмання вибирають одну кулю. Виймання кулі – експеримент, а виймання кулі певного кольору – подія.

За ознакою настання чи ненастання у окремому експерименті події розділяються на достовірні (вірогідні), неможливі та випадкові. Достовірна подія обов’язково настає, неможлива подія обов’язково не настає, а випадкова подія настає, або не настає, у результаті експерименту. Експеримент називається стохастичним, якщо його можна повторити необхідну кількість разів, і його результати кожного разу передбачити неможливо. Отже, випадкова подія є результатом стохастичного експеримента.

Приклад 3. Подія А – вода у посудині знаходиться у рідкому стані при нормальному атмосферному тиску та температурі 20єС – достовірна подія. Встановлення нормального атмосферного тиску та температури 20єС може відбутись само по собі. Але у теорії ймовірностей це все одно експеримент.

Приклад 4. Подія A – вода в посудині знаходиться в твердому стані при нормальному тиску й температурі повітря 20єС – неможлива подія.

Приклад 5. Подія А – випав герб при киданні монети – випадкова подія: герб може випасти, а може і не випасти (може випасти цифра).

Теорія ймовірностей не ставить перед собою задачу передбачити настання/ненастання випадкової події в одному окремому експерименті – це неможливо у принципі. Такий стан справ пояснюється тим, що випадкові події є наслідком впливу великої кількості факторів, врахувати які неможливо. До того, закони дій цих факторів часто невідомі. Інша справа, коли йдеться про випадкові події, які неодноразово спостерігаються при багатократних експериментах в однакових умовах. У цьому випадку для випадкових подій виявляються деякі закономірності, які називаються стохастичними (ймовірними). Вивчення стохастичних закономірностей випадкових подій і є предметом теорії ймовірностей.

Методи теорії ймовірностей широко використовуються у різних областях науки, техніки, виробництва: у теорії надійності, теорії масового обслуговування, теоретичній фізиці, геодезії, астрономії, теорії стрільби, теорії похибок вимірювань, теорії автоматичного керування, теорії зв’язку та інших теоретичних та прикладних науках. Теорія ймовірностей використовується також для обґрунтування математичної та прикладної статистик, які використовуються для планування та організації виробництва, аналізу технологічних процесів, контролю якості продукції і для інших цілей.

2. Імовірності

Випадковий характер події А експериментально виявляється при послідовності експериментів.

Послідовність експериментів – це багатократне виконання експерименту S в однакових умовах.

Для вивчення стохастичних закономірностей випадкових подій необхідно, щоб останні мали деяку кількісну ознаку. Такою ознакою для випадкової події є її ймовірність. Це число, яке показує як часто настає випадкова подія при послідовності експериментів. Імовірність події тим більша, чим частіше вона настає при послідовності експериментів. Імовірність прийнято позначати або . Запис слід читати як "ймовірність події А за умови виконання експерименту S". Вважають (саме так, вважають), що ймовірність достовірної події дорівнює 1, а неможливої – 0. Тому для ймовірності будь-якої випадкової події вірною є подвійна нерівність

.(1)

Існує декілька підходів до означення ймовірностей – класичне означення, геометричні ймовірності, статистичне означення. Ці означення, як правило, зводяться до вказівок на практичні методи обчислення ймовірностей. Тому, власне, не є строгими означеннями ймовірностей.

3. Класичне означення ймовірностей

Вважається, що експеримент S обов’язково може мати лише один наслідок із скінченної кількості рівноможливих і несумісних наслідків . Ці наслідки називаються елементарними випадковими подіями. Несумісність наслідків означає, що настання одного з них унеможливлює настання будь-яких інших. Рівноможливість наслідків означає, що жодний з них немає переваги над іншими. Також вважається відомим сприяння/несприяння наслідку складній події А.

За класичним означенням ймовірність події А

,(.1)

n – кількість можливих і несумісних наслідків події А, m – кількість наслідків, що сприяють події.

При m=1 із (.1) слідує, що ймовірність наслідків (елементарних подій) дорівнює

.(2)

Приклад 1. При киданні монети можливі два наслідки (): E₁ – випадання герба i E₂ – випадання цифри. Ці наслідки можна вважати рівноможливими (жоден з них не має переваги над іншим) і несумісними (вони не можуть з’явитися одночасно). Тому за формулою (2) . Це означає, що при багатократних експериментах приблизно у половині з випадків випадає герб, а у половині – цифра. Це тим ближче до дійсності, чим більше число експериментів.

Приклад 2. При киданні двох монет можливих наслідків є чотири (): – герб на обох монетах, – герб на першій монеті і цифра на другій, – цифра на першій монеті і герб на другій, – цифра на обох монетах. Ймовірності наслідків згідно із (2) дорівнюють 0.25. Складній події В – випаде герб і цифра – сприяють 2 наслідки:, , і тому за формулою (1) . Події С – випаде хоча б один герб – сприяють 3 наслідки:,,, і тому .

У більш складних випадках для підрахунку числа наслідків, які сприяють випадковій події, використовуються методи комбінаторного аналізу.

Комбінаторний аналіз вивчає методи підрахунку числа сполучень, перестановок, розміщень, тощо. При цьому для виведення співвідношень використовуються правила суми та добутку:

Правило суми. Якщо елемент a можна вибрати m способами, а елемент b – n способами, то вибрати або a, або b можна m+n способами.

Правило добутку. Якщо елемент a можна вибрати m способами і після такого кожного вибору, елемент b можна вибрати n способами, то елементи а і b можна вибрати m n способами.

Нехай A неупорядкована множина з n елементів. Будь-яка m-елементна підмножина цієї множини називається сполученням із n елементів по m елементів. Порядок слідування елементів у сполученнях не суттєвий. Це означає, що різні сполучення обов’язково відрізняються хоча б одним елементом. Число сполучень

.(3)

Числа називаються біноміальними коефіцієнтами.

Приклад 3. Скількома способами можна вибрати 2 деталі з ящика, в якому знаходиться 10 деталей?

Розв’язування. У задачі йдеться про сполучення із 10 елементів по 2 елементи. За формулою (3)

.

Перестановками називаються упорядковані множини, які відрізняються між собою лише порядком своїх елементів. Число перестановок

.(4)

Приклад 4. Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, якщо кожна цифра входить у число лише один раз?

Розв’язування.

Розміщеннями називають m-елементні підмножини множини з n різних елементів, які відрізняються або за складом, або за порядком. Число розміщень

.(5)

Приклад 5. Скільки можна утворити сигналів із 6 прапорців різного кольору, якщо скористатись для одного сигналу 2 прапорцями?

Розв’язування. Кожний сигнал відрізняється від інших як набором кольорів, так і їх розташуванням. Тому необхідно підрахувати число розміщень із 6 елементів по 2 елементи. За формулою (5).

Числа розміщень, сполучень та перестановок зв’язані співвідношенням

.(6)

Приклад 6. В партії з n елементів є k відмічених. Знайти ймовірність того, що з випадково вибраних m елементів відмічених буде x елементів (подія А).

Розв’язування. Загальна кількість наслідків дорівнює числу сполучень з n елементів по m елементів:

.

Наслідки, що сприяють події А, відповідають сполученням з x вибраних відмічених елементів і m-x вибраних невідмічених елементів. Відмічені елементи можна вибрати способами, невідмічені – способами. За правилом добутку число наслідків, що сприяють події А, дорівнює . За класичним означенням ймовірність події А дорівнює

(7)

При

(за визначенням),

,.

Класичне означення ймовірностей виникло на початку розвитку теорії ймовірностей у зв’язку з вивченням шансів на виграш в азартних іграх. В той самий час класичне означення неможливо розглядати як строге означення ймовірностей. Воно використовує поняття рівноможливості, яке, по суті, означає однакову ймовірність. Виходить, що ймовірність визначається через ймовірність.

Класичне означення ймовірностей не має сенсу у випадках, коли наслідки не є рівноможливими, або коли їх нескінченна кількість.

4. Геометричні ймовірності

Поняття геометричних ймовірностей – ймовірностей попадання точки в область (відрізок, частину площини і т.д.) – використовують у випадку стохастичних експериментів із нескінченною кількістю рівноможливих та несумісних наслідків.

Нехай відрізок, l – довжина відрізку , L – довжина відрізку . На відрізок навмання кидається точка. Це означає виконання таких умов:

– кинута точка може опинитися в будь-якій точці відрізку ;

– ймовірність попадання точки на відрізок пропорційна його довжині і не залежить від його розташування на відрізку .

За таких умов ймовірність попадання точки на відрізок дорівнює відношенню довжин відрізків:

.(1)

Якщо , то розглядається ймовірність попадання точки в точку на відрізку . Як слідує з (1), така ймовірність дорівнює нулю:

.

Отже, якщо ймовірність події дорівнює нулю, то необов’язково, що ця подія неможлива.

Нехай g – плоска фігура, яка цілком знаходиться всередині іншої плоскої фігури G. На фігуру G навмання кидається точка. Це означає виконання таких допущень:

– кинута точка може опинитись у будь-якій точці фігури G;

– ймовірність попадання точки на фігуру g пропорційна площі цієї фігури і не залежить ні від її розташування відносно фігури G, ні від її форми.

За таких умов ймовірність попадання точки у фігуру g дорівнює відношенню площ фігур:

,(2)

– площа фігури g, – площа фігури G.

Означення (1) та (2) є частковими випадками загального означення геометричних ймовірностей:

,(3)

де mes позначає міру (площу, об’єм, довжину) області, – вектор, який визначає точку у n-вимірному евклідовому просторі.

Приклад 1. У сигналізатор поступають сигнали з двох пристроїв. Надходження сигналів від пристроїв рівноможливе у будь-який момент часу на проміжку від 0 до Т. Моменти надходження сигналів незалежні один від одного. Сигналізатор спрацьовує, якщо різниця між моментами надходження сигналів менша ніж t . Знайти ймовірність того, що сигналізатор подасть сигнал за час Т (подія A), якщо кожен із пристроїв надішле по одному сигналу.

Розв’язування. Нехай моменти надходження сигналів від першого й другого пристроїв відповідно x та y. За умовою задачі

(*)

Нерівностям (*) задовільняють координати будь-якої точки квадрату ОТАТ (рис. 1). Отже, цей квадрат можна розглядати як фігуру G. Його площа . Сигналізатор подає сигнал, якщо різниця між моментами надходження сигналів менша за t;

, якщо ,(**)

, якщо .(***)

Нерівність (**) виконується для точок фігури G, які знаходяться вище прямої і нижче прямої ; нерівність (***) має місце для точок, які знаходяться нижче прямої і вище прямої . Як видно з рис.1 нерівностям (**) та (***) одночасно задовільнять точки заштрихованого шестикутника, який можна прийняти в якості фігури g. Його площа . За формулою (2)

5. Статистичне означення ймовірностей

Статистичне означення ймовірності базується на спостереженнях за випадковою подією при послідовності експериментів.

Нехай експеримент S повторено n разів і подія A у цьому конкретному експерименті настала m разів. Відношення

(1)

називається відносною частотою випадкової події.

Відносна частота змінюється від серії до серії з n експериментів, але має властивість стійкості. Це означає, що у різних серіях із достатньої великої кількості експериментів, відносна частота змінюється мало (тим менше, чим більше виконано експериментів у серії), коливаючись біля деякого постійного числа, близьким до ймовірності події А.

Тому відносну частоту можна прийняти за наближене значення ймовірності:

.(2)

Наближена рівність (2) є тим точніша, чим більше n.

Приклад 1. Відділ технічного контролю виявив 5 бракованих книг, випадково вибраних із партії, що містить 100 книг. Знайти відносну частоту появи бракованих книг.

Розв’язування. За умовою задачі . За формулою (1)

.

Статистичне означення ймовірності дозволяє експериментально оцінити правомірність класичного означення ймовірностей та геометричних ймовірностей в окремому випадку.

6. Аксіоматичне означення ймовірностей

Теорія ймовірностей стала логічно завершеним розділом математики після того, як в її основу була покладена система аксіом. Таку систему аксіом легко описати мовою теорії множин.

Можливі наслідки експерименту S утворюють множину елементарних подій , яка є універсумом. Елементарні події не сумісні. Це означає, що настання однієї з цих подій виключає настання будь-якої іншої. Випадкова подія А ототожнюється з підмножиною універсуму U, яка містить елементарні події, що сприяють події А. Неможлива подія ототожнююється з порожньою множиною, достовірна з універсумом U, а протилежна подія з доповненням множини А до універсуму. Протилежна подія до події А полягає в тому, що подія А не настає.

Множина підмножин універсуму U називається полем подій і позначається F. Елементами цієї множини є можливі події, які можуть настати у результаті стохастичного експерименту. Якщо множина U має n елементів, то поле подій F складається з подій. Нескінченна множина F називається борелевським полем (або s-алгеброю). Відносно операцій об’єднання, перерізу і доповнення множина подій F утворює булеву алгебру.

Ототожнення подій з множинами дозволяють розв’язування задач теорії ймовірностей звести до розв’язування теоретико-множинних задач.

Теоретико-множинні операції відносно подій мають такий зміст:

1) - настає або подія А, або подія В, у тому числі і одночасно;

2) - одночасно настають обидві події А і В;

3) - настає або подія А, або подія В, але не одночасно;

4) - подія А настає, а подія В не настає;

5) - якщо подія А настає, то обов’язково настає і подія В.

Ймовірність подій визначається за Колмогоровим сукупністю аксіом.

1 аксіома. Кожній події ставиться у відповідність невід’ємне дійсне число - ймовірність події.

2 аксіома. Ймовірність достовірної події дорівнює 1:.

3 аксіома. Якщо А і В несумісні (відповідні множини А і В не перетинаються), то .

Ця система аксіом несуперечлива і є основою елементарної теорії ймовірностей, яка вивчає скінченні множини подій. При розгляді нескінченної множини подій система аксіом доповнюється ще однією аксіомою:

4 аксіома - аксіома неперервності. Для послідовності подій такої, що та (порожній множині), має місце співвідношення

Непорожня множина U елементарних подій, булева алгебра подій F і множина ймовірністей Р, яка визначена на F, утворюють у сукупності ймовірнісний простір, який позначається як трійка .

При аксіоматичному означенні не використовується поняття рівноможливості наслідків, що характерно для класичного означення ймовірностей. Аксіоматична теорія ймовірностей не вирішує питання про конкретні чисельні значення ймовірностей елементарних подій. Розв’язуванням цієї задачі з ймовірнісних позицій займається математична статистика.

Приклад 1. При киданні грального кубика множина елементарних подій , - випало і очок. Множина F подій складається з елементів, серед яких порожня множина , основна множина U, одноелементні множини , а також множини, які утворені сполученням із 6елементів по 2, 3, 4, 5 елементів. У допущенні симетрії грального кубика необхідно приписати однакові ймовірності елементарним подіям:

.

Якщо кубик не симетричний, то ймовірностям необхідно приписати різні значення. Нехай методами математичної статистики встановили, що

,, ,,,.

Тоді ймовірність події - випаде не більше двох очок - для симетричного кубика дорівнює , а для несиметричного - . Ймовірність випадання непарного числа очок (подія ) для симетричного кубика дорівнює , для несиметричного .

7. Основні співвідношення та теореми теорії ймовірностей

З аксіом Колмогорова можна одержати всі співвідношення елементарної теорії ймовірностей.

Рівність нормування ймовірностей:

(1)

Доведення. Елементарним подіям співставляються одноелементні множини , які не перетинаються між собою. Тому універсум U можна представити у вигляді

.

Згідно 3-ї аксіоми Колмогорова

.

Згідно 2-ї аксіоми Колмогорова

.

Тому

,

що й треба було довести.

Імовірність протилежної події:

. (2)

Доведення. З алгебри множин відоме теоретико-множинне співвідношення

.

За 2-ю аксіомою Колмогорова для відповідних подій можна записати

.

За 3-ю аксіомою Колмогорова

,

а значить

.

Отже,

.

Імовірність неможливої події:

.(3)

Доведення. Згідно формули (2) при A=U

.

Теорема додавання ймовірностей несумісних подій:

.(4)

Доведення. З використанням 2-ї аксіоми Колмогорова можна записати послідовність рівностей

.

Події називаються сумісними, якщо відповідні множини перетинаються: . Якщо події сумісні, то настання однієї з них не виключає можливості настання іншої.

Приклад 1. При киданні двох гральних кубиків подія А – випав дубль – і подія В – випала непарна кількість очок – є несумісними подіями.

Приклад 2. При киданні двох гральних кубиків подія А – випало у сумі не більше 6 очок – і подія В – випало у сумі не менше 4 очок – є сумісними.

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій:

,(5)

та дві важливі рівності

,(6)

.(7)

Доведення. З дискретної математики відомі такі теоретико-множинні тотожності:

,(1*)

,(2*)

,(3*)

,(4*)

.(5*)

На підставі цього для відповідних випадкових подій А і В можна записати рівності:

, (6*)

,(7*)

,(8*)

,(9*)

.(10*)

З рівностей (6* та 7*) , і тому рівності (8*, 9* та 10*) можна переписати у вигляді

,

,

,

що і треба було довести.

Імовірність сумісного настання подій , тому з рівностей (5-7) слідують нерівності:

,(8)

,(9)

.(10)

Для несумісних подій і нерівності (8-10) переходять у строгі рівності.

Дві випадкові події А і В називаються незалежними, якщо для них справджується рівність

, (11)

і залежними, якщо не справджується. Враховуючи властивість асоціативності операції перерізу множин, рівність (10) можна узагальнити на випадок декількох незалежних подій

.(12)

Остання рівність називається теоремою множення ймовірностей незалежних подій.

Якщо події залежні, то настання однієї з них змінює ймовірність іншої.

Приклад 3. В урні є 2 білі та 3 чорні кулі. З урни виймають одну кулю, після чого, не повертаючи її назад, виймають ще одну. Нехай подія А – першого разу вийнята біла куля, а подія В – другого разу вийнята біла куля. Якщо подія А настала, то ймовірність , а якщо подія А не настала (першого разу вийнята чорна куля), то .

Імовірність події В за умови настання події А називається умовною ймовірністю і позначається або . З використанням умовних ймовірностей для ймовірності спільного настання будь-яких подій А і В можна записати

.(13)

Якщо події незалежні, то

(14)

і (13) переходить у рівність (11).

Рівність (13) можна узагальнити на випадок довільної кількості залежних подій,

,(15)

- ймовірність настання події А₃ за умови настання події А₁ і А₂ ,…,

- ймовірність події А_n за умови настання і події А₁, і події А₂, і..., і події А_n-1.

З формули (12) слідує рівність

,(16)

яка часто використовується для означення умовної ймовірності.

8. Залежність/незалежність та сумісність/несумісність подій

У більшості практичних випадках важко одразу зробити висновок про незалежність/залежність подій та про їх сумісність/несумісність, і тому необхідні певні дослідження.

Для перевірки залежності/незалежності подій необхідно перевірити рівність (1.7.11) або (1.7.13). Рівність справджується – події незалежні, не справджується – залежні.

Приклад 1. Необхідно дослідити на залежність/незалежність події А – випаде дубль при киданні двох кубиків – і події В – випаде менше 6 очок.

Розв’язування. Для цього необхідно обчислити та . Це можна зробити, якщо скористатися класичним означенням ймовірностей. Події А сприяють наслідки , всього 6 із 36. Тому . Події В сприяють наслідки

всього 10 із 36. Тому . Одночасному настанню подій А і В сприяють наслідки , всього 2. Тому .

Отже, . Висновок – події залежні.

Для перевірки сумісності/несумісності випадкових подій необхідно перевірити умову . Рівність справджується – події несумісні, не справджується – сумісні.

Приклад 2. Події А і В з прикладу 1.8.1 є сумісними:

.

Незалежні події А і В при ненульових ймовірностях завжди сумісні.

Доведення. З означення незалежності подій слідує, що якщо і, то , що і є означенням сумісності подій.

Несумісні події обов’язково незалежні. Сумісні події можуть бути як залежними, так і незалежними.

Для сукупності подій А₁, А₂, …, А_n можна говорити про залежність/незалежність та сумісність/несумісність подій у сукупності. Події є несумісними у сукупності, якщо

.(1.8.1)

Несумісність подій у сукупності слідує з попарної несумісності

.

Події А₁, А₂, …, А_n незалежні у сукупності, якщо виконується умова

.(1.8.2)

Взагалі кажучи, з попарної незалежності подій не слідує незалежність подій у сукупності.

Приклад 3. Нехай три грані правильного тетраедра зафарбовані у червоний, зелений та синій кольори, відповідно, четверта грань у три кольори – червоний, зелений та синій. Нехай подія R – тетраедр впав на грань з червоним кольором, G – тетраедр впав на грань із зеленим кольором, B – тетраедр впав на грань із синім кольором. Очевидно, що ймовірності . Дійсно, при киданні тетраедра можливі 4 наслідки: тетраедр впав або на червону грань, або на синю, або на зелену, або на різнокольорову. Події R сприяє два наслідки – тетраедр впав на червону грань або на різнокольорову. Тому . Аналогічно для подій G і B. Події сприяє один наслідок – тетраедр впав на різнокольорову грань. Тому : події R і G є незалежними. Аналогічно встановлюється незалежність подій R і B та G і B. Події – тетраедр впав на грань з трьома кольорами – сприяє один наслідок, тому . Отже, незважаючи на попарну незалежність, події G, R, B є залежними у сукупності.

Для незалежності подій у сукупності крім умов

мають виконуватися аналогічні умови для сполучень із n подій по 3, 4, …, n подій.

Приклад 4. Для трьох подій А, В, С умовами незалежності у сукупності є:

,

,

,

.

9. Формула повної ймовірності

Несумісні події утворюють повну систему (групу) подій, якщо диз’юнктивна сума відповідних множин дорівнює універсуму,

,

або, якщо

.

Приклад 1. При киданні грального кубика події А – випаде не більше двох очок, В – випаде 3 або 4 очки та С – випаде не менше 5 очок – утворюють повну систему подій.

Якщо подія В може настати при настанні будь-якої події з повної системи подій , то її ймовірність можна обчислити за формулою повної ймовірності

. (1.9.1)

Доведення. Для відповідної до події B множини можна записати відому теоретико-множинну рівність

.

Події – несумісні, тому для відповідних подій

.

Звідси

,

що й треба було довести.

Приклад 2. В трьох партіях деталей, що поступили на склад, відсоток якісних деталей відповідно 89, 92 і 97%, а кількість деталей у партіях відноситься як 1:2:3. Необхідно обчислити ймовірність того, що випадково вибрана деталь зі складу, виявиться бракованою.

Розв’язування. Нехай події – навмання вибрана деталь належить до першої, другої, третьої партій, відповідно. Ці події утворюють повну систему подій. Тому

.

З умови задачі . Звідси . Нехай подія В – вибрана зі складу деталь є бракованою. Умовні ймовірності події В за умовою задачі

, , .

За формулою повної ймовірності (1)

.

10. Формули Бейєса

Нехай – повна система подій. Нехай В – подія, яка може настати при настанні будь-якої з цих подій, вже настала. Тоді ймовірності подій із повної системи подій можна обчислити за формулами Бейєса

(1)

Доведення. Операція перерізу множин комутативна і тому для відповідних подій справджується рівність

.

Це співвідношення також справедливе для події із повної групи подій :

.

Звідси

.

Останню рівність з врахованням формули повної імовірності (1.9.1) можна переписати у вигляді

,

що і треба було довести.

Умовні ймовірності задовільняють рівності нормування ймовірностей

.

Часто події А_i називаються гіпотезами, їх ймовірності апріорними ймовірностями, умовні імовірностіапостеріорними ймовірностями, а самі формули Бейєса – теоремою гіпотез.

Приклад 1. Деталі, які виготовлені в цеху заводу, потрапляють для перевірки до одного з двох контролерів. Ймовірність того, що деталь потрапить до першого контролера, дорівнює 0.6, а до другого – 0.4. Ймовірність того, що деталь буде визнана стандартною першим контролером дорівнює 0.94, другим – 0.98. Вибрана деталь при перевірці виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь перевірив перший контролер.

Розв’язування. Нехай В – вибрана деталь виявилася стандартною. Можна зробити два припущення:

1) деталь перевірив перший контролер (гіпотеза );

2) деталь перевірив другий контролер (гіпотеза ).

Ймовірність того, що деталь перевірив перший контролер, обчислюється за формулою Бейєса

.

За умовою задачі:

(ймовірність того, що деталь потрапляє до першого контролера);

(ймовірність того, що деталь потрапить до другого контролера);

(ймовірність того, що вибрана деталь буде визнана стандартною першим контролером);

(ймовірність того, що вибрана деталь буде визнана стандартною другим контролером).

Тому

.

До іспиту ймовірність гіпотези А₁ дорівнювала 0.6, а після того, як став відомий результат іспиту, ймовірність цієї гіпотези змінилася і стала 0.59.