Міністерство освіти і науки України
Донбаський державний технічний університет
Кафедра Вищої Математики
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
По дисципліні “Теорія ймовірностей та математична статистика”
Варіант №26
(завдання №14, 2, 4, 12, 11, 15, 2, 14, 3, 6)
Виконала: студентка групи
Перевірила: доцент кафедри вищ. мат.
Алчевськ 2009
РОЗДІЛ I “ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ”
ЗАВДАННЯ №1
14) В урні 2 білі і 3 чорні кульки. Двоє по черзі беруть навмання по одній кульці. Яка імовірність того, що з них перша біла, а друга чорна?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
Для білої:
Для чорної:
Загальна вірогідність:
або
ЗАВДАННЯ №2
2) В першій урні 3 білих і 2 чорних кульки, а в другій 4 білих і 4 чорних кульки. З першої урни в другу навмання перекладають одну кульку, потім з другої урни взяли одну кульку. Яка імовірність, що вона біла?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
Вірогідність того, що з першої урни переклали білу кульку:
Вірогідність того, що з другої урни узяли білу кульку:
ЗАВДАННЯ №3
4) 4.1 Обчислити ймовірність того, що деяка подія не відбудеться, якщо відомо, що при випробуваннях вона в середньому відбувається в випадках.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
4.2 З 60 питань, що входять до екзаменаційних білетів, студент підготував 50. Яка ймовірність того, що взятий навмання студентом білет, який містить два питання, буде складатися з підготовлених ним питань?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
4.3 Яка ймовірність того, що серед вийнятих навмання 4 карт з повної колоди (52 карти), дві виявляться пікової масті?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
ЗАВДАННЯ №4
12) Проведено незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія з імовірністю .
I) за локальною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться рівно разів;
II) за інтегральною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться від 700 разів до разів.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I)
1) Скористуємось формулою Муавра-Лапласа:
2) Знайдемо :
3) Знайдемо :
4) Шукана ймовірність:
II)
За інтегральною теоремою Лапласа:
1) Знайдемо межі інтеграла і :
2) Знайдемо функції Лапласа і :
3) Шукана ймовірність:
ЗАВДАННЯ №5
11) Дискретна випадкова величина задана рядом розподілу. Знайти функцію розподілу і побудувати її графік. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини.
Х | 2 | 4 | 5 |
Р | 0,2 | 0,6 | 0,2 |
РОЗВ’ЯЗАННЯ
1) Математичне сподівання знайдемо за формулою:
2) Складемо закон розподілу для :
Х | 4 | 16 | 25 |
Р | 0,2 | 0,6 | 0,2 |
3) Дисперсію знайдемо за формулою:
4) Середнє квадратичне відхилення знайдемо за формулою:
5) Знайдемо функцію розподілу:
6) Графік цієї функції має вигляд:
ЗАВДАННЯ №6
15) Випадкова величина задана функцією розподілу:
Знайти:
I) щільність розподілу ймовірності;
II) математичне сподівання;
III) дисперсію випадкової величини;
IV) імовірність попадання випадкової величини в інтервал ;
V) Накреслити графіки функцій і .
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I) щільність розподілу ймовірностей:
II) математичне сподівання:
III) дисперсія:
IV) імовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу
V) Графіки функцій і :
ЗАВДАННЯ №7
2) Відоме математичне сподівання і дисперсія випадкової величини .
Знайти:
I) імовірність попадання цієї величини в заданий інтервал ;
II) імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання менша за число .
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I) Імовірність влучення випадкової величини у інтервал :
II) Імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання буде менше 2, можна обчислити за формулою:
РОЗДІЛ II
14) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №1 “СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ”
23 | 26 | 31 | 35 | 38 | 43 | 48 | 39 | 36 | 27 |
43 | 39 | 37 | 34 | 31 | 27 | 21 | 33 | 32 | 44 |
24 | 28 | 30 | 35 | 33 | 39 | 40 | 41 | 46 | 36 |
42 | 39 | 35 | 32 | 27 | 29 | 33 | 35 | 38 | 41 |
25 | 30 | 30 | 31 | 32 | 34 | 36 | 37 | 38 | 40 |
перший інтервал 21-25
Представити кожну вибірку у вигляді таблиці частот згрупованої вибірки, побудувати гістограму і полігон частот, записати емпіричну функцію розподілу і побудувати їх графік.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
1) Складемо таблицю частот згрупованої вибірки:
Межі інтервалу xi xi+1 |
Середина інтервалу xi0 |
Частота ni |
Накопичувальна частота Σni |
Відносна частота ni/n |
Накопичувальна відносна частота Σni/n |
21 25 |
23 | 4 | 4 | 0,08 | 0,08 |
25 29 |
27 | 6 | 10 | 0,12 | 0,20 |
29 33 |
31 | 12 | 22 | 0,24 | 0,44 |
33 37 |
35 | 11 | 33 | 0,22 | 0,66 |
37 41 |
39 | 11 | 44 | 0,22 | 0,88 |
41 45 |
43 | 4 | 48 | 0,08 | 0,96 |
45 49 |
47 | 2 | 50 | 0,04 | 1 |
2) Побудуємо гістограму частот:
3) Побудуємо полігон частот:
4) Емпірична функція розподілу визначається значеннями накопичувальних відносних частот:
5) Графік розподілу емпіричної функції:
6) Знайдемо методом творів вибіркову середню і вибіркову дисперсію по заданому розподілу вибірки об'єму n=50:
Середина інтервалу xi0 | 23 | 27 | 31 | 35 | 39 | 43 | 47 |
Частота ni | 4 | 6 | 12 | 11 | 11 | 4 | 2 |
6.1) Складемо заповнимо таблицю:
хi0 | ni | Ui | niЧUi | niЧUi2 | niЧ(Ui+1)2 |
23 | 4 | -2 | -8 | 16 | 4 |
27 | 6 | -1 | -6 | 6 | 0 |
31 | 12 | 0 | 0 | 0 | 12 |
35 | 11 | 1 | 11 | 11 | 44 |
39 | 11 | 2 | 22 | 44 | 99 |
43 | 4 | 3 | 12 | 36 | 64 |
47 | 2 | 4 | 8 | 32 | 50 |
39 | 145 | 273 |
6.2) Обчислимо умовні моменти 1-го і 2-го порядку:
6.3) Знайдемо крок h (різниця між сусідніми інтервалами): .
6.4) Обчислимо шукані, вибіркові, середню дисперсію, враховуючи що помилковий нуль :
3) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №2
“МЕТОД НАЙМЕНЬШИХ КВАДРАТІВ”
За наданими статистичними даними підібрати емпіричну функцію, якщо вона не задана, та:
1. Побудувати діаграму розсіювання.
2. Записати емпіричну функцію.
3. Записати систему нормальних рівнянь.
4. Скласти розрахункову таблицю.
5. Вирішити отриману систему й записати емпіричну функцію зі знайденими параметрами.
Уважаючи, що залежність між змінними й має вигляд , знайти оцінки параметрів по наступних вибірках:
|
1 | 3 | 4 | 2 | 5 | 7 | 8 | 9 |
|
80 | 90 | 120 | 100 | 110 | 150 | 160 | 130 |
РОЗВ’ЯЗАННЯ
По вибірці спостережень побудуємо в системі координат и діаграму розсіювання, тобто побудуємо крапки:
Аналіз дослідницьких даних показує, що в якості емпіричної (підібраної) функції можна використати функцію . Необхідно знайти параметри а й b, для чого застосуємо МНК. Тоді для визначення параметрів а й b будемо мати систему нормальних рівнянь:
Для зручності обчислень складемо наступну розрахункову таблицю ():
1 | 1 | 80 | 1 | 80 |
2 | 3 | 90 | 9 | 270 |
3 | 4 | 120 | 16 | 480 |
4 | 2 | 100 | 4 | 200 |
5 | 5 | 110 | 25 | 550 |
6 | 7 | 150 | 49 | 1050 |
7 | 8 | 160 | 64 | 1280 |
8 | 9 | 130 | 81 | 1170 |
Підставимо дані останнього рядка таблиці в нормальну систему рівнянь:
Вирішуючи систему, одержимо .
5) Підставляючи ці значення параметрів, одержимо емпіричну функцію:
6) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №3
“ЗНАХОДЖЕННЯ ВИБІРКОВОГО КОЕФІЦІЕНТА КОРЕЛЯЦІЇ ТА ПРЯМИХ ЛІНІЙ РЕГРЕСІЇ”
Розподіл 40 заводів кольорової металургії за середньодобовим виробленням металу (тис.т) та затратами електроенергії на 1т. (тис. кВтЧгод) дано у таблиці:
|
|
|||||
10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 | ||
2,0-2,5 | 6 | 6 | ||||
2,5-3,0 | 6 | 6 | 12 | |||
3,0-3,5 | 6 | 4 | 10 | |||
3,5-4,0 | 2 | 4 | 2 | 8 | ||
4,0-4,5 | 4 | 4 | ||||
6 | 4 | 8 | 10 | 12 | 40 |
За відповідним рівнянням регресії оцінити середні затрати електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., та порівняти їх з відповідним груповим середнім.
Надано таблицю, яка визначає деякий неперервний розподіл. За цим розподілом треба утворити дискретний розподіл, взявши значеннями і середини відповідних інтервалів і припускаючи, що між і існує лінійна кореляційна залежність, виконати таку роботу:
1. Обчислити коефіцієнт кореляції та проаналізувати тісноту та напрям зв'язку між і .
2. Скласти рівняння прямих регресії на та на .
3. Обчислити для даного значення однієї змінної відповідне значення іншої, використавши для цього одне з одержаних рівнянь регресії (підхоже) та порівняти це значення з відповідним груповим середнім (це останнє завдання подано разом з кореляційною таблицею).
РОЗВ’ЯЗАННЯ
1) Перейдемо до дискретних розподілів, тобто значення змінних Х и Y приймемо середини відповідних інтервалів:
|
|
|||||
12,5 | 17,5 | 22,5 | 27,5 | 32,5 | ||
2,25 | 6 | 6 | ||||
2,75 | 6 | 6 | 12 | |||
3,25 | 6 | 4 | 10 | |||
3,75 | 2 | 4 | 2 | 8 | ||
4,25 | 4 | 4 | ||||
6 | 4 | 8 | 10 | 12 | 40 |
2) Для обчислення вибіркового коефіцієнта кореляції потрібно обчислити вираження , для чого скласти кореляційну таблицю в умовних варіантах.
За хибний нуль узята варіанта , а за хибний нуль узята варіанта , які розташовані приблизно в серединах відповідних варіаційних рядів.
3) У кожній клітці, у якій частота , записуємо в правому верхньому куті добуток частоти на .
4) Знаходимо суму всіх чисел, що коштують у правих кутах кліток одного рядка й записуємо її в клітку стовпця .
5) Множимо варіанту на й отриманий добуток записуємо в останню клітку того ж рядка.
6) З метою контролю аналогічні обчислення робимо по стовпцях, причому добуток записуємо в лівому нижньому куті кожної клітки із частотами , після чого їх складаємо й отриману суму записуємо в рядок .
Потім множимо варіанту и на й результат записуємо в останньому рядку.
|
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|
||||||||||||
-2 | -12 | 6 | 12 | 6 | 12 | -24 | ||||||||||||
-1 | -6 | 6 | 6 | -6 | 6 | 12 | 12 | 18 | -18 | |||||||||
0 | 0 | 6 | 0 | 0 | 4 | 4 | 10 | 4 | 0 | |||||||||
1 | 2 | 2 | -4 | 4 | 4 | -4 | 2 | 2 | 0 | 8 | -8 | -8 | ||||||
2 | 8 | 4 | -8 | 4 | -8 | -16 | ||||||||||||
6 | 4 | 8 | 10 | 12 | 40 | |||||||||||||
10 | 4 | 2 | -6 | -18 | ||||||||||||||
-20 | -4 | 0 | -6 | -36 | -66 |
7) Обчислюємо й :
8) Обчислюємо допоміжні величини й :
9) Обчислимо й :
10) Шуканий вибірковий коефіцієнт кореляції:
Тому що , цей зв'язок зворотній.
11) Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на Х має вигляд:
.
Обчислимо , , , :
12) Рівняння прямої лінії регресії Y на Х:
13) Рівняння прямої лінії регресії Х на Y:
14) За відповідним рівнянням регресії середнє значення затрат електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., складає:
Якщо скористатися безпосередньо таблицею, то
Як видно, узгодження розрахункового і спостережуваного умовних середніх – задовільне.