Рефетека.ру / Математика

Контрольная работа: Теорія ймовірностей та математична статистика

Міністерство освіти і науки України

Донбаський державний технічний університет

Кафедра Вищої Математики


КОНТРОЛЬНА РОБОТА

По дисципліні “Теорія ймовірностей та математична статистика”


Варіант №26

(завдання №14, 2, 4, 12, 11, 15, 2, 14, 3, 6)


Виконала: студентка групи


Перевірила: доцент кафедри вищ. мат.


Алчевськ 2009

РОЗДІЛ I “ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ”


ЗАВДАННЯ №1

14) В урні 2 білі і 3 чорні кульки. Двоє по черзі беруть навмання по одній кульці. Яка імовірність того, що з них перша біла, а друга чорна?

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Для білої:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


Для чорної:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


Загальна вірогідність:


Теорія ймовірностей та математична статистика


або


Теорія ймовірностей та математична статистика


ЗАВДАННЯ №2

2) В першій урні 3 білих і 2 чорних кульки, а в другій 4 білих і 4 чорних кульки. З першої урни в другу навмання перекладають одну кульку, потім з другої урни взяли одну кульку. Яка імовірність, що вона біла?

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Вірогідність того, що з першої урни переклали білу кульку:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Вірогідність того, що з другої урни узяли білу кульку:


Теорія ймовірностей та математична статистика


ЗАВДАННЯ №3

4) 4.1 Обчислити ймовірність того, що деяка подія не відбудеться, якщо відомо, що при Теорія ймовірностей та математична статистика випробуваннях вона в середньому відбувається в Теорія ймовірностей та математична статистика випадках.

РОЗВ’ЯЗАННЯ


Теорія ймовірностей та математична статистика

4.2 З 60 питань, що входять до екзаменаційних білетів, студент підготував 50. Яка ймовірність того, що взятий навмання студентом білет, який містить два питання, буде складатися з підготовлених ним питань?


РОЗВ’ЯЗАННЯ


Теорія ймовірностей та математична статистика


4.3 Яка ймовірність того, що серед вийнятих навмання 4 карт з повної колоди (52 карти), дві виявляться пікової масті?


РОЗВ’ЯЗАННЯ


Теорія ймовірностей та математична статистика


ЗАВДАННЯ №4


12) Проведено Теорія ймовірностей та математична статистика незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія Теорія ймовірностей та математична статистика з імовірністю Теорія ймовірностей та математична статистика.

I) за локальною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться рівно Теорія ймовірностей та математична статистика разів;

II) за інтегральною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться від 700 разів до Теорія ймовірностей та математична статистика разів.

РОЗВ’ЯЗАННЯ


I) Теорія ймовірностей та математична статистика

1) Скористуємось формулою Муавра-Лапласа:

Теорія ймовірностей та математична статистика


2) Знайдемо Теорія ймовірностей та математична статистика:


Теорія ймовірностей та математична статистика


3) Знайдемо Теорія ймовірностей та математична статистика:


Теорія ймовірностей та математична статистика


4) Шукана ймовірність:


Теорія ймовірностей та математична статистика


II) Теорія ймовірностей та математична статистика


За інтегральною теоремою Лапласа:


Теорія ймовірностей та математична статистика


1) Знайдемо межі інтеграла Теорія ймовірностей та математична статистика і Теорія ймовірностей та математична статистика:


Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика


2) Знайдемо функції Лапласа Теорія ймовірностей та математична статистика і Теорія ймовірностей та математична статистика:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


3) Шукана ймовірність:


Теорія ймовірностей та математична статистика


ЗАВДАННЯ №5

11) Дискретна випадкова величина задана рядом розподілу. Знайти функцію розподілу і побудувати її графік. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини.


Х 2 4 5
Р 0,2 0,6 0,2

РОЗВ’ЯЗАННЯ

1) Математичне сподівання знайдемо за формулою:


Теорія ймовірностей та математична статистика

2) Складемо закон розподілу для Теорія ймовірностей та математична статистика:


Х 4 16 25
Р 0,2 0,6 0,2

Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


3) Дисперсію знайдемо за формулою:


Теорія ймовірностей та математична статистика


4) Середнє квадратичне відхилення знайдемо за формулою:


Теорія ймовірностей та математична статистика


5) Знайдемо функцію розподілу:


Теорія ймовірностей та математична статистика


6) Графік цієї функції має вигляд:

Теорія ймовірностей та математична статистика


ЗАВДАННЯ №6


15) Випадкова величина Теорія ймовірностей та математична статистика задана функцією розподілу:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Знайти:

I) щільність розподілу ймовірності;

II) математичне сподівання;

III) дисперсію випадкової величини;

IV) імовірність попадання випадкової величини в інтервал Теорія ймовірностей та математична статистика;

V) Накреслити графіки функцій Теорія ймовірностей та математична статистика і Теорія ймовірностей та математична статистика.


РОЗВ’ЯЗАННЯ


I) щільність розподілу ймовірностей:

Теорія ймовірностей та математична статистика


II) математичне сподівання:


Теорія ймовірностей та математична статистика

III) дисперсія:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


IV) імовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалуТеорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


V) Графіки функцій Теорія ймовірностей та математична статистика і Теорія ймовірностей та математична статистика:

Теорія ймовірностей та математична статистика Теорія ймовірностей та математична статистика


ЗАВДАННЯ №7


2) Відоме математичне сподівання Теорія ймовірностей та математична статистикаі дисперсія Теорія ймовірностей та математична статистика випадкової величини Теорія ймовірностей та математична статистика.

Знайти:

I) імовірність попадання цієї величини в заданий інтервал Теорія ймовірностей та математична статистика;

II) імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання менша за число Теорія ймовірностей та математична статистика.


РОЗВ’ЯЗАННЯ


I) Імовірність влучення випадкової величини Теорія ймовірностей та математична статистика у інтервал Теорія ймовірностей та математична статистика:

Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


II) Імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання буде менше 2, можна обчислити за формулою:


Теорія ймовірностей та математична статистика

РОЗДІЛ II


14) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №1 “СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ”


23 26 31 35 38 43 48 39 36 27
43 39 37 34 31 27 21 33 32 44
24 28 30 35 33 39 40 41 46 36
42 39 35 32 27 29 33 35 38 41
25 30 30 31 32 34 36 37 38 40

перший інтервал 21-25


Представити кожну вибірку у вигляді таблиці частот згрупованої вибірки, побудувати гістограму і полігон частот, записати емпіричну функцію розподілу і побудувати їх графік.


РОЗВ’ЯЗАННЯ


1) Складемо таблицю частот згрупованої вибірки:

Межі інтервалу

xi Теорія ймовірностей та математична статистикаxi+1

Середина інтервалу

xi0

Частота

ni

Накопичувальна частота

Σni

Відносна частота

ni/n

Накопичувальна відносна частота

Σni/n







21 Теорія ймовірностей та математична статистика 25

23 4 4 0,08 0,08

25 Теорія ймовірностей та математична статистика 29

27 6 10 0,12 0,20

29 Теорія ймовірностей та математична статистика 33

31 12 22 0,24 0,44

33 Теорія ймовірностей та математична статистика 37

35 11 33 0,22 0,66

37 Теорія ймовірностей та математична статистика 41

39 11 44 0,22 0,88

41 Теорія ймовірностей та математична статистика 45

43 4 48 0,08 0,96

45 Теорія ймовірностей та математична статистика 49

47 2 50 0,04 1

2) Побудуємо гістограму частот:

Теорія ймовірностей та математична статистика


3) Побудуємо полігон частот:


Теорія ймовірностей та математична статистика

4) Емпірична функція розподілу визначається значеннями накопичувальних відносних частот:


Теорія ймовірностей та математична статистика


5) Графік розподілу емпіричної функції:


Теорія ймовірностей та математична статистика

6) Знайдемо методом творів вибіркову середню і вибіркову дисперсію по заданому розподілу вибірки об'єму n=50:


Середина інтервалу xi0 23 27 31 35 39 43 47
Частота ni 4 6 12 11 11 4 2

6.1) Складемо заповнимо таблицю:

хi0 ni Ui niЧUi niЧUi2 niЧ(Ui+1)2
23 4 -2 -8 16 4
27 6 -1 -6 6 0
31 12 0 0 0 12
35 11 1 11 11 44
39 11 2 22 44 99
43 4 3 12 36 64
47 2 4 8 32 50

39 145 273

6.2) Обчислимо умовні моменти 1-го і 2-го порядку:


Теорія ймовірностей та математична статистика Теорія ймовірностей та математична статистика


6.3) Знайдемо крок h (різниця між сусідніми інтервалами): Теорія ймовірностей та математична статистика.

6.4) Обчислимо шукані, вибіркові, середню дисперсію, враховуючи що помилковий нуль Теорія ймовірностей та математична статистика:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика

3) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №2

“МЕТОД НАЙМЕНЬШИХ КВАДРАТІВ”


За наданими статистичними даними підібрати емпіричну функцію, якщо вона не задана, та:

1. Побудувати діаграму розсіювання.

2. Записати емпіричну функцію.

3. Записати систему нормальних рівнянь.

4. Скласти розрахункову таблицю.

5. Вирішити отриману систему й записати емпіричну функцію зі знайденими параметрами.

Уважаючи, що залежність між змінними Теорія ймовірностей та математична статистика й Теорія ймовірностей та математична статистикамає вигляд Теорія ймовірностей та математична статистика, знайти оцінки параметрів по наступних вибірках:


Теорія ймовірностей та математична статистика

1 3 4 2 5 7 8 9

Теорія ймовірностей та математична статистика

80 90 120 100 110 150 160 130

РОЗВ’ЯЗАННЯ


По вибірці спостережень побудуємо в системі координат Теорія ймовірностей та математична статистика и Теорія ймовірностей та математична статистика діаграму розсіювання, тобто побудуємо крапки:

Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика

Аналіз дослідницьких даних показує, що в якості емпіричної (підібраної) функції можна використати функцію Теорія ймовірностей та математична статистика. Необхідно знайти параметри а й b, для чого застосуємо МНК. Тоді для визначення параметрів а й b будемо мати систему нормальних рівнянь:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Для зручності обчислень складемо наступну розрахункову таблицю (Теорія ймовірностей та математична статистика):


Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика

1 1 80 1 80
2 3 90 9 270
3 4 120 16 480
4 2 100 4 200
5 5 110 25 550
6 7 150 49 1050
7 8 160 64 1280
8 9 130 81 1170

Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика


Підставимо дані останнього рядка таблиці в нормальну систему рівнянь:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Вирішуючи систему, одержимо Теорія ймовірностей та математична статистика.

5) Підставляючи ці значення параметрів, одержимо емпіричну функцію:


Теорія ймовірностей та математична статистика


6) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №3

“ЗНАХОДЖЕННЯ ВИБІРКОВОГО КОЕФІЦІЕНТА КОРЕЛЯЦІЇ ТА ПРЯМИХ ЛІНІЙ РЕГРЕСІЇ”


Розподіл 40 заводів кольорової металургії за середньодобовим виробленням металу Теорія ймовірностей та математична статистика (тис.т) та затратами електроенергії на 1т. Теорія ймовірностей та математична статистика(тис. кВтЧгод) дано у таблиці:


Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика


10-15 15-20 20-25 25-30 30-35
2,0-2,5



6 6
2,5-3,0


6 6 12
3,0-3,5

6 4
10
3,5-4,0 2 4 2

8
4,0-4,5 4



4

Теорія ймовірностей та математична статистика

6 4 8 10 12 40

За відповідним рівнянням регресії оцінити середні затрати електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., та порівняти їх з відповідним груповим середнім.

Надано таблицю, яка визначає деякий неперервний розподіл. За цим розподілом треба утворити дискретний розподіл, взявши значеннями Теорія ймовірностей та математична статистика і Теорія ймовірностей та математична статистика середини відповідних інтервалів і припускаючи, що між Теорія ймовірностей та математична статистика і Теорія ймовірностей та математична статистика існує лінійна кореляційна залежність, виконати таку роботу:

1. Обчислити коефіцієнт кореляції та проаналізувати тісноту та напрям зв'язку між Теорія ймовірностей та математична статистика і Теорія ймовірностей та математична статистика.

2. Скласти рівняння прямих регресії Теорія ймовірностей та математична статистика на Теорія ймовірностей та математична статистика та Теорія ймовірностей та математична статистика на Теорія ймовірностей та математична статистика.

3. Обчислити для даного значення однієї змінної відповідне значення іншої, використавши для цього одне з одержаних рівнянь регресії (підхоже) та порівняти це значення з відповідним груповим середнім (це останнє завдання подано разом з кореляційною таблицею).


РОЗВ’ЯЗАННЯ


1) Перейдемо до дискретних розподілів, тобто значення змінних Х и Y приймемо середини відповідних інтервалів:


Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика


12,5 17,5 22,5 27,5 32,5
2,25



6 6
2,75


6 6 12
3,25

6 4
10
3,75 2 4 2

8
4,25 4



4

Теорія ймовірностей та математична статистика

6 4 8 10 12 40

2) Для обчислення вибіркового коефіцієнта кореляції потрібно обчислити вираження Теорія ймовірностей та математична статистика, для чого скласти кореляційну таблицю в умовних варіантах.

За хибний нуль Теорія ймовірностей та математична статистика узята варіанта Теорія ймовірностей та математична статистика, а за хибний нуль Теорія ймовірностей та математична статистика узята варіанта Теорія ймовірностей та математична статистика, які розташовані приблизно в серединах відповідних варіаційних рядів.

3) У кожній клітці, у якій частота Теорія ймовірностей та математична статистика, записуємо в правому верхньому куті добуток частоти Теорія ймовірностей та математична статистика на Теорія ймовірностей та математична статистика.

4) Знаходимо суму всіх чисел, що коштують у правих кутах кліток одного рядка й записуємо її в клітку стовпця Теорія ймовірностей та математична статистика.

5) Множимо варіанту Теорія ймовірностей та математична статистика на Теорія ймовірностей та математична статистика й отриманий добуток записуємо в останню клітку того ж рядка.

6) З метою контролю аналогічні обчислення робимо по стовпцях, причому добуток Теорія ймовірностей та математична статистика записуємо в лівому нижньому куті кожної клітки із частотами Теорія ймовірностей та математична статистика, після чого їх складаємо й отриману суму записуємо в рядок Теорія ймовірностей та математична статистика.

Потім множимо варіанту и на Теорія ймовірностей та математична статистика й результат записуємо в останньому рядку.


Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика

-2 -1 0 1 2

Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика


-2











-12 6 12 6 12 -24
-1








-6 6 6 -6 6 12 12 18 -18
0





0 6 0 0 4 4


10 4 0
1 2 2 -4 4 4 -4 2 2 0





8 -8 -8
2 8 4 -8











4 -8 -16

Теорія ймовірностей та математична статистика


6

4

8

10

12
40

Теорія ймовірностей та математична статистика

10 4 2 -6 -18


Теорія ймовірностей та математична статистика

-20 -4 0 -6 -36

-66

7) Обчислюємо Теорія ймовірностей та математична статистика й Теорія ймовірностей та математична статистика:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


8) Обчислюємо допоміжні величини Теорія ймовірностей та математична статистика й Теорія ймовірностей та математична статистика:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


9) Обчислимо Теорія ймовірностей та математична статистика й Теорія ймовірностей та математична статистика:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


10) Шуканий вибірковий коефіцієнт кореляції:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Тому що Теорія ймовірностей та математична статистика, цей зв'язок зворотній.

11) Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на Х має вигляд:


Теорія ймовірностей та математична статистика.


Обчислимо Теорія ймовірностей та математична статистика, Теорія ймовірностей та математична статистика, Теорія ймовірностей та математична статистика, Теорія ймовірностей та математична статистика Теорія ймовірностей та математична статистика:


Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


12) Рівняння прямої лінії регресії Y на Х:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


13) Рівняння прямої лінії регресії Х на Y:

Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика


14) За відповідним рівнянням регресії середнє значення затрат електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., складає:


Теорія ймовірностей та математична статистика


Теорія ймовірностей та математична статистика

Якщо скористатися безпосередньо таблицею, то


Теорія ймовірностей та математична статистика


Як видно, узгодження розрахункового і спостережуваного умовних середніх – задовільне.

Похожие работы:

  1. • Теорія ймовірностей та математична статистика
  2. • Теорія ймовірності та її застосування в економіці
  3. • Граничні теореми теорії ймовірностей
  4. • Динаміка економічних показників. Структура ...
  5. • Схема Бернуллі
  6. • Статистичне вивчення показників діяльності ...
  7. • Прогнозування зміни економічних показників у часі ...
  8. • Методи оцінки ризиків інвестиційних проектів
  9. • Предмет та методи вивчення статистики
  10. • Предмет та мета інвестиційного аналізу
  11. • Наукові основи підвищення ефективності гальмування ...
  12. • Розрахунки в системі "клієнт-банк" та шляхи їх удосконалення
  13. • Дослідження розвитку теорії ймовірності
  14. • Предмет вивчення теорії ймовірностей
  15. • Розрахунок типових задач з математичної статистики
  16. • Методи математичної статистики
  17. • Напрямки теорії ймовірностей та математичні дії ...
  18. • Математична статистика
  19. • Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей
Рефетека ру refoteka@gmail.com