Ряды

Фун 2 числовых аргументов.

Пусть имеется Е (х1;у1) – элементы принадлеж точке Е

Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в соот-е число Wi или любой точке (xi;yi) или паре чисел ставится в соот-е zi след-но zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).

Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е значения zi=F(хi;уi).

Пусть точка (х0;у0)ÎЕ дельта окрест-ю точки (х0;у0) наз множество точек (х;у) удовлетвор-х нерав-у

Ö[(х-х0)+(y-y0)] 0 сущ-ет d окрест-ть точки (х0;у0) такая, что при всех (х;у)Îd окрест-ти будет выполн нерав-во Ö[(х-х0)2+(y-y0)2] lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3)lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) =>   lim Xn/Yn =   

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+an)/(b+bn) – a/b = (ab+anb–ab–abn)/b(b+bn) =(ban-abn)/b(b+bn)=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.

Непрерывность фун в точке.

Опр: Пусть точка М0(х0;у0) Î обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз непрерывной в точке М0(х0;у0), если имеет место равенство limх®х0(у®у0)f(х;у)=f(х0;у0) или limDх®0(Dу®0)f(х0+Dх;у0+Dу)= f(х0;у0), где х=х0+Dх и у=у0+Dу, причем точка М(х;у) стремиться к точке М0(х0;у0) произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.

Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон =f(x0;у0).

Если (х0;у0) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х0;у0)–1 род.

Если (х0;у0)–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.

Если (х0;у0) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х0;у0) – 2 рода.

Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у) и f2(х;у) непрерывны в точке (х0;у0), то сумма (разность)  f(х;у)=f1(х;у)±f2(х;у), произведение f(х;у)=f1(х;у)*f2(х;у), а также отношение этих функций f(х;у)=f1(х;у)/f2(х;у), есть непрер-я фун в точке х0;у0.

Док-во (суммы): По определению получаем, что limх®х0(у®у0)f1(х;у)=f1(х0;у0), limх®х0(у®у0)f2(х;у)=f2(х0;у0)  на основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥), можем написать: limх®х0(у®у0)f(х;у)=limх®х0(у®у0)[f1(х;у)+f2(х;у)]=

=limх®х0(у®у0)f1(х;у)+limх®х0(у®у0)f2(х;у)=

=f1(х0;у0)+f2(х0;у0)=f(х0;у0). Итак сумма есть непрерывная функция.· 2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3) Если фун z=j(m) непрерывна в точке m=х0;у0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=j(х0;у0), то фун y=f(j(х;у)) непрер-а в точке (х0;у0).

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а