ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Степенные ряды

Содержание

1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля

2. Свойства степенных рядов

3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций

4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

5. Приложения степенных рядов

1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля

Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.

Определение 1.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида .(1.1)

Здесь – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.

При степенной ряд (1.1) принимает вид

. (1.2)

Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности , ряд (1.2) – рядом по степеням х.

Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.

Определение 1.2. Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Ряд (1.1) с помощью подстановки приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2).

Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.

Теорема 1.1 (Теорема Абеля):

если степенной ряд (1.2) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ; если же ряд (1.2) расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.2:

область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ,

где R – некоторое неотрицательное действительное число или .

Число R называется радиусом сходимости, интервал – интервалом сходимости степенного ряда (1.2).

Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось .

Если , то интервал сходимости вырождается в точку .

Замечание: если – интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то – интервал сходимости для степенного ряда (1.1).

Из теоремы 1.2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимости R и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости , т. е. при и .

Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:

формула Даламбера:

;(1.3)

формула Коши:

.(1.4)

Если в формуле Коши , то полагают , если , то полагают .

Пример 1.1. Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда .

Решение

Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле

В нашем случае

, .

Тогда .

Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид .

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При степенной ряд превращается в числовой ряд

.

который расходится как гармонический ряд.

При степенной ряд превращается в числовой ряд

.

Это – знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и . Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.

Таким образом, промежуток – область сходимости данного степенного ряда.

2. Свойства степенных рядов

Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию , определенную в интервале сходимости , т. е.

.

Приведем несколько свойств функции .

Свойство 1. Функция является непрерывной на любом отрезке , принадлежащем интервалу сходимости .

Свойство 2. Функция дифференцируема на интервале , и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.

,

для всех .

Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции для всех может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.

для всех .

Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала может измениться.

Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1).

Пример 2.1. Рассмотрим степенной ряд

.

Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток .

Почленно продифференцируем этот ряд:

.(2.1)

По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал .

Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т. е. при и при .

При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд

.

Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости : , который не существует.

При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд

,

который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом .

3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций

Пусть – дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки , т. е. имеет производные любых порядков.

Определение 3.1. Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд

. (3.1)

В частном случае при ряд (3.1) называется рядом Маклорена:

. (3.2)

Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции в окрестности точки совпадает с функцией ?

Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции сходится, однако его сумма не равна .

Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции к этой функции.

Теорема 3.1:

если в интервале функция имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е. , то ряд Тейлора этой функции сходится к для любого х из этого интервала , т. е. имеет место равенство

.

Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.

Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.

4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

1. . Для этой функции , .

По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:

. (3.3)

Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):

.

Следовательно, ряд (3.3) сходится при любом значении .

Все производные функции на любом отрезке ограничены, т. е.

.

Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение

. (3.4)

2. . Для этой функции , , .

Отсюда следует, что при производные четного порядка равны нулю, а производные нечетного порядка чередуют знак с плюса на минус.

По формуле (3.2) составим ряд Маклорена:

.

При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом

.

Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение

. (3.5)

3. . Воспользуемся разложением (3.5) в ряд Маклорена функции и свойством 2 о дифференцировании степенного ряда. Имеем

.

(3.6)

Поскольку при почленном дифференцировании интервал сходимости степенного ряда не изменяется, то разложение (3.6) имеет место при любом .

Приведем без доказательства разложения других элементарных функций в ряды Маклорена.

4.

– биномиальный ряд ( – любое действительное число).

Если – положительное целое число, то получаем бином Ньютона:

.

– логарифмический ряд.

.

5. Приложения степенных рядов

Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.

Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.

Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х:

; ; ; ;

; .

Литература

1. Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.

2. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.