Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский Государственный Университет

Экономический факультет

Кафедра Экономической и институциональной экономики

Курсовой проект

По дисциплине «Эконометрика и прогнозирование»

На тему

«Построение эконометрической модели и исследование проблемы гетероскедастичности с помощью тестов Вайта, Бреуша-Пагана-Годфри и Парка»

Выполнила

Студентка третьего курса

Отделения «Экономическая теория»

Волкова Ольга Александровна

Научный руководитель:

Абакумова Юлия Георгиевна

Минск, 2008 г.

Содержание

Введение

Теоретический раздел

Аналитический раздел

Построение базовой регрессионной модели и оценка её качества

Исследование проблемы гетероскедастичности с помощью тестов Вайта, Бреуша-Пагана-Годфри и Парка

Устранение гетероскедастичности в модели

Заключение

Список использованных источников

Введение

Вся история развития человечества неразрывно связана с изменениями динамики численности и воспроизводства населения. Современные очень высокие темпы роста численности населения мира в решающей степени определяются темпами его увеличения в развивающихся странах.

Современный «взрыв» населения в развивающихся странах имеет существенные особенности. Главная особенность заключается в том, что если в Европе быстрый рост населения был обусловлен в первую очередь социально-экономическими изменениями, т.е. следовал за экономическим ростом и изменениями в социальной сфере, то в развивающихся странах мы наблюдаем прямо противоположную картину: быстрый рост населения значительно опережает их экономическое и социальное развитие, усугубляя тем самым и без того ложные проблемы занятости, социальной сферы, обеспечения продовольствием, экологии.

Наряду с наблюдаемым во второй половине XX века демографическим взрывом проявился и демографический кризис, затронувший в первую очередь развитые страны мира.

Суть современного демографического кризиса заключается не только в резком ухудшении развития народонаселения, что выражается в резком уменьшении темпов роста численности населения в развитых странах, а в некоторых из них и снижении этого показателя за нулевую отметку, но и в определенном кризисе института семьи, в некотором ухудшении качества развития населения, в демографическом старении.

Наблюдаемая в развитых странах мира тенденция к резкому падению рождаемости значительно ниже уровня, обеспечивающего простое воспроизводств населения, ведет к значительному демографическому старению, сокращению трудовых ресурсов и увеличению «экономической нагрузки» на экономически активное население, на старение населения или увеличение доли пожилых и старых людей.

Итак, изменение показателя общей численности населения происходит под воздействием целого ряда прямых и косвенных факторов. В своей работе я бы хотела рассмотреть влияние показателей рождаемости, смертности и численности пожилого населения в разных странах мира на общую численность населения этих стран.

Такой выбор обусловлен, в первую очередь, целью моей работы – проверка регрессионной модели на гетероскедастичность (т.к. эта проблема в большей степени присуща пространственным данным и редко встречается во временных рядах).

Таким образом построенная мною модедь содержит следующие объясняющие переменные:

X1 – численность рожденных детей за 2007г. (чел.),

X2 – численность умерших за 2007г. (чел),

Х3 – численность населения в возрасте от 65 лет и старше (чел.), и объясняемую переменную:

Y – общая численность населения на начало 2008г. (чел.).

Статистические данные по странам взяты за период 2007г, влияющие на общую численность населения начала 2008г. (Таблица 1)

Страны	Общая численность населения на начало года	X1- численность рожненных детей за 2007г.	X2 - смертность за 2007г.	X3 - численность населения старше 65 лет за 2007г.
Бельгия	10666866	120663	374.0553	1824034.086
Болгария	7640238	75349	693.2108	1321761.174
Чехия	10381130	114632	355.3592	1484501.59
Дания	5475791	64082	256.328	837796.023
Германия	82221808	682700	2594.26	16279917.98
Эстония	1340935	15775	78.875	229299.885
Ирландия	4419859	70623	261.3051	490604.349
Греция	11214992	110048	418.1824	2085988.512
Испания	45283259	488335	1806.8395	7562304.253
Франция	63753140	816500	3102.7	10328008.68
Италия	59618114	563236	2140.2968	11864004.69
Кипр	794580	8529	52.8798	97733.34
Латвия	2270894	23273	202.4751	388322.874
Литва	3366357	32346	190.8414	525151.692
Люксембург	483799	5477	9.8586	67731.86
Венгрия	10045000	97600	575.84	1597155
Мальта	410584	3871	25.1615	56660.592
Нидерланды	16404282	180882	741.6162	2378620.89
Австрия	8331930	76250	282.125	1408096.17
Польша	38115641	387873	2327.238	5107495.894
Португалия	10617575	102492	348.4728	1836840.475
Румыния	21528627	214728	2576.736	3207765.423
Словения	2025866	19636	60.8716	322112.694
Словакия	5400998	54424	331.9864	642718.762
Финляндия	5300484	58729	158.5683	874579.86
Швеция	9182927	103421	258.5525	1597829.298
Великобритания	61185981	770651	3467.9295	9789756.96
Турция	70586256	1361000	29533.7	4658692.896
Исландия	314321	4508	6.3112	36775.557
Норвегия	4737171	58459	181.2229	691626.966
Швейцария	7591414	74440	290.316	1229809.068

Табл. 1

Теоретический раздел

При практическом проведении регрессионного анализ модели с помощью МНК необходимо обращать внимание на проблемы, связанные с выполнимостью свойств случайных отклонений модели, т.к. свойства оценок коэффициентов регрессии напрямую зависят от свойств случайного члена в уравнении регрессии. Для получения качественных оценок необходимо следить за выполнимостью предпосылок МНК (условий Гаусса-Маркова), т.к. при их нарушении МНК может давать оценки с плохими статистическими свойствами.

Одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений: т.е. D( εi ) = D( εj ) = σ2 для любых наблюдений i и j. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью (постоянством дисперсии отклонений). Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непостоянством дисперсий отклонений).

Наличие гетероскедастичности может привести к снижению эффективности оценок, полученных по МНК, к смещению дисперсий, к ненадежности интервальных оценок, получаемых на основе соответствующих t- и F-статистик. Таким образом, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключения по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а следовательно можно признать статистически значимыми коэффициенты, которые таковыми не являются. Причиной гетероскедастичности могут быть выбросы (резко выделяющиеся наблюдения), ошибки спецификации модели, ошибки в преобразовании данных, ассиметрия распределения какой-либо из объясняющих переменных. Чаще всего, появление проблемы гетероскедастичности можно предвидеть и попытаться устранить этот недостаток еще на этапе спецификации. Однако обычно приходиться решать эту проблему уже после построения уравнения регрессии. Не существует какого-либо однозначного метода определения гетероскедастичности. Существует довольно большое количество тестов и критериев, наиболее популярными и наглядными из которых являются: графический анализ отклонений, тест ранговой корреляции Спирмена, тест Парка, тест Глейзера, тест Голдфельда-Квандта и тест Уайта. Моя работа посвящена исследованию поледних двух тестов.

Тест Уайта

Алгоритм этого теста заключается в том, что сперва оценивается исходная модель и определяются остатки εi , затем строится вспомогательно уравнение регрессии и определяется его коэффициент детерминации, произведение n*R^2 сравнивается со значением χ^2- распределения и делается вывод о наличии или об отсутствии гетероскедастичности.

Тест Парка

Парк в свою очередь предложил следующую функциональную зависимость:

Алгоритм теста:

1) Оцениваем исходное уравнение и определяем ei.

2) Оцениваем уравнение

Проверяем статистическую значимость коэффициента β уравнения на основе статистики

Если β значим, то гетероскедастичность. Если нет, то гомоскедастичность.

Тест Бреуша-Пагана-Годфри

Оценивается исходная модель и определяются остатки

Строится оценка:

Оценивается регрессия

Если

При установлении присутствия гетероскедастичности возникает необходимость преобразования модели с целью устранения данного недостатка. Сначала можно попробовать устранить возможную причину гетероскедастичности, скорректировав исходные данные, затем попробовать изменить спецификацию модели, а в случае, если не помогут эти меры, использовать метод взвешенных наименьших квадратов.

Далее в работе проведем довольно полный анализ базовой модели, включая непосредственно тесты на обнаружение гетероскедастичности.

Аналитический раздел

1. Построение базовой регрессионной модели и оценка её качества

По данным Таблицы 1 построим исходную модель с помощью пакета Eviews3.1. Получим следующее уравнение построенной модели:

Где:

Population – общая численность населения на начало 2008г. (чел.),

Birth – численность рожденных детей за 2007г. (чел.),

Mortality – численность умерших за 2007г. (чел),

Old – численность населения в возрасте от 65 лет и старше (чел.).

Проверим на значимость коэффициенты уравнения регрессии. Для этого оценим t-статистику:

Используем в данном случае уровень значимости . Тогда критическое значение t-статистики соответственно:

Значения t-статистик рассматриваемых переменных больше критического значения (критерий Стьюдента), следовательно делаем вывод о их значимости. По анализу исследованных t-статистик и коэффициента детерминации R-квадрат делаем предварительный вывод об адекватности построенной модели.

Продолжая оценивать общее качество модели, используем критерий Фишера:

Н0: R-квадрат=0

Н1: R-квадрат>0

Так как F-наблюдаемое больше F-критического, принимаем гипотезу Н1, согласно которой модель адекватна. Поскольку значение F-наблюдаемого велико, можно сделать предположение о наличии мультиколлинеарности, что будет проверено мною в дальнейшем.

Оценим также распределение остатков в модели:

P (J-B) = 0,06, следовательно присутствует нормальное распределение остатков.

Проверим модель на присутствие автокорреляции. Для этого будем использовать тесты Бреуша-Годфри и Дарбина-Уотсона.

1) Первоначально воспользуемся тестом Бреуша-Годфри и оценим модель на присутствие автокорреляции по трем лагам:

Запишем значение распределения для последующего сравнения с Obs* R-squared:

Приведем результаты теста с lag = 1:

с lag = 2:

с lag = 3:

Сделаем выводы об отсутствии серийной корреляции, так как во всех трех случаях Obs* R-squared меньше

а P-вероятность статистики Бреуша-Годфри больше уровня значимости

()

2) Воспользуемся также тестом Дарбина-Уотсона:

Приведем значение статистики:

Значения критических точек

при уровне значимости :

Делаем вывод об отсутствии автокорреляции, т.к. значение статистики D-W в данном случае близко к 2.

Выполним проверку регрессионной модели на мультиколлинеарность.

Построим корреляционную матрицу коэффициентов:

Найдем частные коэффициенты корреляции:

Делаем вывод о наличии высокой зависимости (коллинеарности) между переменными в каждом из трех случаев. Следовательно в модели присутствует мультиколлинеарность. Эта проблема оказывает определенное влияние на качество модели, однако ее устранение не является обязательным этапом, поэтому перейдем к дальнейшему исследованию качества регрессионной модели.

2. Исследование проблемы гетероскедастичности с помощью тестов Вайта, Бреуша-Пагана-Годфри и Парка

Переходим непосредственно к основной теме курсвой - проверяем модель на наличие гетероскедастичности. Для этого первоначально проведем тест Вайта и оценим его результаты:

Т.к. значение P- вероятности в обоих случаях теста Уайта (no cross terms/ cross terms) меньше уровня значимости

() и Obs*

R-squared превышает

то принимаем гипотезу о наличии гетероскедастичности в модели.

Дополнительно можно использовать графический анализ ряда остатков, который подтверждает вывод о наличии гетероскедастичности, т.к. график имеет выбросы и не укладывается в полосу постоянной ширины, параллельную оси ОХ (-1000000,1000000).

Таким образом, в этой модели мы имеем две проблемы – мультиколлинеарность и гетероскедастичность, в связи с чем нельзя доверять статистическим выводам и оценкам качества регрессионной модели. Продолжим дальнейший анализ модели с помощью теста Парка. Данный тест не предполагает особой свободы выбора и мы строим три регрессионные модели натуральных логарифмов остатков базовой модели на натуральные логарифмы каждой объясняющей переменной отдельно.

Представим вспомогательную модель 1 теста Парка:

Запишем уравнение вспомогательной модели 1:

Где:

POPUL2=ln (population^2)

BIRTH2=ln(birth).

Оценим значимость коэффициентов уравнения регрессии. Для этого оценим t-статистику:

Найдем критическое значение t-статистики на уровне значимости

()

После проведенного теста можно сделать вывод о наличии гетероскедастичности по переменной Birth в следствие того, что коэффициент при данной переменной является значимым.

Представим вспомогательную модель 2 теста Парка:

Где:

POPUL2=ln (population^2)

MORTALITY2=ln(mortality).

Запишем уравнение вспомогательной модели 2:

Оценим значимость коэффициентов уравнения регрессии. Для этого оценим t-статистику. Найдем критическое значение t-статистики на уровне значимости ()

После проведенного теста можно сделать вывод о наличии гетероскедастичности по переменной Mortality в следствие того, что коэффициент при данной переменной является значимым.

Представим вспомогательную модель 3 теста Парка:

Где:

POPUL2=ln (population^2)

OLD2=ln(old).

Запишем уравнение вспомогательной модели 2:

Оценим значимость коэффициентов уравнения регрессии. Для этого оценим t-статистику. Найдем критическое значение t-статистики на уровне значимости ()

После проведенного теста можно сделать вывод о наличии гетероскедастичности по переменной Old в следствие того, что коэффициент при данной переменной является значимым.

Оценив каждую переменную по тесту парка в отдельности подтверждаем выводы сделанные ранее по тесту Вайта о гетероскедастичности исходной модели.

Теперь используем тест Бреуша-Пагана для окончательного подтвержения гетероскедастичности. Для начала строим временной ряд квадратов остатков, деленных на величину

а затем строим для него саму регрессионную модель.

Находим необходимые для анализа параметры вспомогательной регрессии:

Делаем вывод об очевидном присутствии в модели гетероскедастичности, так как

>>

Устранение гетероскедастичности в модели

После проведения тестов Вайта, Бреуша-Пагана-Годфри и Парка было выявлено очевидное наличие проблемы гетероскедастичности остатков в базовой модели регрессии. Приступим к ее устранению при помощи веса, выбранного соответственно тесту Бреуша-Пагана. Предпологаем форму выявленной гетероскедастичности:

Вес:

Оцененная с помощью метода взвешанных наименьших квадратов базовая регрессия выглядит следующим образом:

Получим следующее уравнение построенной модели-NEW:

Где переменные, скорректированные на вес:

PopulationNEW – общая численность населения на начало 2008г. (чел.),

cNEW – константа базовой модели, деленная на вес,

BirthNEW – численность рожденных детей за 2007г. (чел.),

MortalityNEW – численность умерших за 2007г. (чел),

OldNEW – численность населения в возрасте от 65 лет и старше (чел.).

Проверим на значимость коэффициенты уравнения регрессии. Для этого оценим t-статистику. Используем в данном случае уровень значимости . Тогда критическое значение t-статистики соответственно:

Если значения t-статистик рассматриваемых переменных больше критического значения (критерий Стьюдента), следовательно делаем вывод о их значимости. Лишь одна переменная, являющаяся в прошлой базовой модели константой в данном случае незначима, что логично, ведь она не имеет реального смысла, т.е. не описывает реальным образом объясняемую переменную. По анализу исследованных t-статистик и коэффициента детерминации R-квадрат делаем предварительный вывод об адекватности построенной модели.

Продолжая оценивать общее качество модели, используем критерий Фишера:

Н0: R-квадрат=0

Н1: R-квадрат>0

Так как F-наблюдаемое больше F-критического, принимаем гипотезу Н1, согласно которой модель адекватна.

Проверим модель на присутствие автокорреляции. Для этого будем использовать тесты Бреуша-Годфри и Дарбина-Уотсона.

1) Первоначально воспользуемся тестом Бреуша-Годфри и оценим модель на присутствие автокорреляции по трем лагам:

Запишем значение распределения для последующего сравнения с Obs* R-squared:

Приведем результаты теста с lag = 1:

с lag = 2:

с lag = 3:

Сделаем выводы об отсутствии серийной корреляции, так как во всех трех случаях Obs* R-squared меньше

а P-вероятность статистики Бреуша-Годфри больше уровня значимости

()

2) Воспользуемся также тестом Дарбина-Уотсона:

Приведем значение статистики:

Значения критических точек

при уровне значимости :

Делаем вывод об отсутствии автокорреляции, т.к. значение статистики D-W в данном случае близко к 2.

Проверим скорректированную модель на наличие гетероскедастичности с помощью теста Вайта

Т.к. значение P- вероятности в обоих случаях теста Уайта (no cross terms/ cross terms) больше уровня значимости

()

и Obs* R-squared превышает

то принимаем гипотезу об отсутствии гетероскедастичности в модели (гомоскедастичность).

Заключение

В моей курсовой работе я построила регрессионную модель по реальным данным. Я разбиралась с моделью зависимости общей численности населения от показателей рождаемости, смертности и численности пожилого населения, их влиянием друг на друга и на объясняемую переменную. Так как целью моей работы являлось проверить, как работают на практике тесты Уайта и Бреуша-Пагана-Годфри и Парка, то я использовала пространственные данные, которые позволяют наиболее наглядно проиллюстрировать проблему гетероскедастичности и способы ее устранения.

В работе достаточно наглядно продемонстрирована работа тестов для выявления гетероскедастичности, также удалось решить задачу с выбором веса для ВНК.

В ходе курсовой работы мне удалось скорректировать модель с помощью метода взвешенных наименьших квадратов, правильно подобрав вес при помощи теста Бреуша-Пагана, поскольку тест Вайта, к примеру, не дает нам точного ответа на вопрос о весе для ВНК. Построенная в конце моего исследования модель-NEW значима и является качественной, остатки ее в свою очередь гомоскедастичны.

Список использованных источников:

Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: Учеб. пособие. – Мн.; БГУ, 2000. – 209, 227, 245 с.

Бородич С.А. Эконометрика: Учеб. пособие. – Мн.; Новое знание, 2006. – 237, 238 с.

Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.; ИНФРА-М, 1997.

Данные Eurostat http://epp.eurostat.ec.europa.eu/potal.