Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский Заочный Финансово-Экономический институт

Филиал г. Тула

Контрольная работа

по дисциплине "Эконометрика"

Вариант 8

Выполнила:

Проверил:

Тула

2008

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.).

Требуется:

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Проверить выполнение предпосылок МНК.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью -критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

Составить уравнения нелинейной регрессии:

гиперболической;

степенной;

показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Вариант 8

	17	22	10	7	12	21	14	7	20	3
	26	27	22	19	21	26	20	15	30	13

Решение:

Уравнение линейной регрессии имеет следующий вид:

Таблица 1

№наблюдения	X	Y	X2	X·Y
1	17	26	289	442
2	22	27	484	594
3	10	22	100	220
4	7	19	49	133
5	12	21	144	252
6	21	26	441	546
7	14	20	196	280
8	7	15	49	105
9	20	30	400	600
10	3	13	9	39
Сумма	133	219	2161	3211
Ср. значение	13,3	21,9	216,1	321,1

Найдем b:

Тогда

Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷx =11,779+0,761x.

Коэффициент регрессии показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. рублей объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 761 тыс. рублей.

Вычислим остатки при помощи. Получим:

Таблица 2

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение		Остатки
1	24,72	1,284	1,649
2	28,52	-1,521	2,313
3	19,39	2,611	6,817
4	17,11	1,894	3,587
5	20,91	0,089	0,008
6	27,76	-1,76	3,098
7	22,43	-2,433	5,919
8	17,11	-2,106	4,435
9	27	3,001	9,006
10	14,06	-1,062	1,128
Сумма	219	-0,003	37,961

Найдем остаточную сумму квадратов:

Дисперсия остатков равна:

.

График остатков имеет следующий вид:

График 1

Проверим выполнение предпосылок МНК.

Случайный характер остатков.

Случайный характер остатков εi проверяется по графику. Как видно из графика 1 в расположении точек εi нет направленности (на графике получена горизонтальная полоса). Следовательно, εi – случайные величины и применение МНК оправдано.

Средняя величина остатков или математическое ожидание равно нулю.

Так как расположение остатков на графике не имеет направленности (расположены на графике в виде горизонтальной полосы), то они независимы от значений фактора xi. Следовательно, модель адекватна.

Проверка гомоскедастичности остатков.

Выборка у нас малого объема, поэтому для оценки гомоскедастичность остатков используем метод Голдфельда - Квандта.

Упорядочим n = 10 наблюдений в порядке возрастания х.

Разделим на две группы - с большим и меньшим x, и для каждой группы определим уравнения регрессии.

Таблица 3

	х	y	x·y	x2	ŷ	εi=yi-ŷi	ε2
1	3	13	39	9	13,181	-0,181	0,033
2	7	19	133	49	17,197	1,803	3,251
3	7	15	105	49	17,197	-2,197	4,827
4	10	22	220	100	20,209	1,791	3,208
5	12	21	252	144	22,217	-1,217	1,481
Сумма	39	90	749	351			12,799
Ср.знач	7,8	18	149,8	70,2
	х	y	x·y	x2	ŷ	εi=yi-ŷi	ε2
1	14	20	280	196	21,672	-1,672	2,796
2	17	26	442	289	24,252	1,748	3,056
3	20	30	600	400	26,832	3,168	10,036
4	21	26	546	441	27,692	-1,692	2,863
5	22	27	594	484	28,552	-1,552	2,409
Сумма	94	129	2462	1810			21,159
Ср.знач	18,8	25,8	492,4	362

3) Рассчитаем остаточные суммы квадратов для каждой регрессии.

,

.

4) Вычислим F- распределения.

Fнабл=S2ŷ/S1ŷ =1,653.

5) Произведем сравнение Fнабл и Fтабл.

1,653<5,32 (при k1=1 и k2=n–2=10–2=8), следовательно, гетероскедастичность места не имеет, т.е. дисперсия остатков гомоскедастична.

Отсутствие автокорреляции.

Отсутствие автокорреляции проверяется по d-критерию Дарбина - Уотсона:

Таблица 4

	εi	εi-1	εi- εi-1	(εi- εi-1)2
1	1,284
2	-1,521	1,284	-2,805	7,868
3	2,611	-1,521	4,132	17,073
4	1,894	2,611	-0,717	0,5141
5	0,089	1,894	-1,805	3,258
6	-1,760	0,089	-1,849	3,4188
7	-2,433	-1,760	-0,673	0,4529
8	-2,106	-2,433	0,327	0,1069
9	3,001	-2,106	5,107	26,081
10	-1,062	3,001	-4,063	16,508
Сумма				75,282

; d=75,282/37,961=1,983.

Так как d-критерий меньше двух, то мы наблюдаем присутствие положительной автокорреляции.

Остатки подчиняются нормальному закону распределения.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

; ,

; ,

где

Тогда , ; и

tтабл=2,3060 (при 10-2=8 степенях свободы); tа и tb> tтабл, что говорит о значимости параметров модели.

Коэффициент детерминации находится по формуле:

.

Данные возьмем из таблицы 5:

Таблица 5

№	x	y
1	17	26	3,7	4,1	13,69	16,81	1,284	4,938
2	22	27	8,7	5,1	75,69	26,01	-1,521	5,633
3	10	22	-3,3	0,1	10,89	0,01	2,611	11,868
4	7	19	-6,3	-2,9	39,69	8,41	1,894	9,968
5	12	21	-1,3	-0,9	1,69	0,81	0,089	0,424
6	21	26	7,7	4,1	59,29	16,81	-1,760	6,769
7	14	20	0,7	-1,9	0,49	3,61	-2,433	12,165
8	7	15	-6,3	-6,9	39,69	47,61	-2,106	14,040
9	20	30	6,7	8,1	44,89	65,61	3,001	10,003
10	3	13	-10,3	-8,9	106,09	79,21	-1,062	8,169
Сумма	133	219			392,1	264,9		83,979
Ср. знач.	13,3	21,9

Для проверки значимости модели используем F-критерий Фишера:

.

Fтабл=5,32 (k1=1, k2=8 степенями свободы) ;

F>Fтабл, что говорит о значимости уравнения регрессии.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:

;

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,4%.

Поскольку найденная средняя относительная ошибка аппроксимации находится в интервале от 5 до 10, то можно утверждать, что модель имеет хорошее качество.

Ширина доверительного интервала находится по формулам:

где tα=1,86 при m=n-2=8 и α=0,1

Т.о.

Верхн. граница: 25,173+4,34=29,513

Нижн. граница: 25,173-4,34=20,833

Таблица 6

Нижняя граница	Прогноз	Верхняя граница
20,83	25,17	29,51

Фактические и модельные значения Y, точки прогноза представлены на графике 2.

График 2

Составить уравнения нелинейной регрессии:

Гиперболической

Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a + b/x.

Произведем линеаризацию модели путем замены Х = 1/х.

Тогда уравнение примет вид: ŷ = a + bХ- линейное уравнение регрессии.

Данные, необходимые для нахождения параметров приведены в таблице 6

Таблица 7

№	y	x	X	X2	Xy	ŷ	εi	εi2
1	26	17	0,0588	0,0035	1,5294	24,41	1,59	2,52	6,11
2	27	22	0,0455	0,0021	1,2273	25,10	1,90	3,61	7,04
3	22	10	0,1000	0,0100	2,2000	22,29	-0,29	0,09	1,33
4	19	7	0,1429	0,0204	2,7143	20,09	-1,09	1,18	5,72
5	21	12	0,0833	0,0069	1,7500	23,15	-2,15	4,63	10,24
6	26	21	0,0476	0,0023	1,2381	24,99	1,01	1,02	3,89
7	20	14	0,0714	0,0051	1,4286	23,76	-3,76	14,16	18,82
8	15	7	0,1429	0,0204	2,1429	20,09	-5,09	25,88	33,91
9	30	20	0,0500	0,0025	1,5000	24,87	5,13	26,35	17,11
10	13	3	0,3333	0,1111	4,3333	10,28	2,72	7,38	20,90
Сумма	219	133	1,0757	0,1843	20,0638			86,82	125,07
Ср.знач.	21,9	13,3	0,1076	0,0184	2,0064

Значение параметров а и b линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии будет иметь вид ŷ = 27,44 – 51,47 X.

Перейдем к исходным переменным, получим уравнение гиперболической модели:

.

График 3

Степенная

Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = a · xb

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a + b lg x

Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; X = lg x

Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 8:

Таблица 8

№	y	x	Y	X	YX	X2	ŷ	εi	εi2
	26	17	1,4150	1,2304	1,7411	1,5140	24,545	1,45	2,12	5,60
	27	22	1,4314	1,3424	1,9215	1,8021	27,142	-0,14	0,02	0,52
	22	10	1,3424	1,0000	1,3424	1,0000	19,957	2,04	4,17	9,29
	19	7	1,2788	0,8451	1,0807	0,7142	17,365	1,63	2,67	8,60
	21	12	1,3222	1,0792	1,4269	1,1646	21,427	-0,43	0,18	2,04
	26	21	1,4150	1,3222	1,8709	1,7483	26,654	-0,65	0,43	2,51
	20	14	1,3010	1,1461	1,4911	1,3136	22,755	-2,76	7,59	13,78
	15	7	1,1761	0,8451	0,9939	0,7142	17,365	-2,37	5,59	15,77
	30	20	1,4771	1,3010	1,9218	1,6927	26,151	3,85	14,81	12,83
	13	3	1,1139	0,4771	0,5315	0,2276	12,479	0,52	0,27	4,01
Сумма	219	133	13,2729	10,5887	14,3218	11,8913			37,86	74,94
Ср.знач.	21,9	13,3	1,3273	1,0589	1,4322	1,1891

Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:

Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии имеет вид: Y=0,91 + 0,39X

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ=100,91 · x0,39

ŷ =8,13 · x0,39.

График 4

Показательная

Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a · bx

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a + x lg b

Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; B = lg b

Тогда уравнение примет вид: Y = A + Bx - линейное уравнение регрессии.

Данные, необходимы для нахождения параметров, приведены в таблице 9.

Таблица 9

№наблюдения	y	x	Y	Yx	x2	ŷ	εi	εi2
1	26	17	1,4150	24,0545	289	24,564	1,436	2,06	5,52
2	27	22	1,4314	31,4900	484	29,600	-2,600	6,76	9,63
3	22	10	1,3424	13,4242	100	18,920	3,080	9,49	14,00
4	19	7	1,2788	8,9513	49	16,917	2,083	4,34	10,96
5	21	12	1,3222	15,8666	144	20,385	0,615	0,38	2,93
6	26	21	1,4150	29,7144	441	28,516	-2,516	6,33	9,68
7	20	14	1,3010	18,2144	196	21,964	-1,964	3,86	9,82
8	15	7	1,1761	8,2326	49	16,917	-1,917	3,68	12,78
9	30	20	1,4771	29,5424	400	27,472	2,528	6,39	8,43
10	13	3	1,1139	3,3418	9	14,573	-1,573	2,47	12,10
Сумма	219	133	13,2729	182,8324	2161			45,75	95,84
Ср.знач.	21,9	13,3	1,3273	18,2832	216,1

Значение параметров А и B линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 1,115 + 0,016x.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ =101,115·(100,016)x;

ŷ =13,03·1,038x.

График 5

Для указанных моделей найти: R2 – коэффициент детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации А.

для всех моделей = 264,9 (см. таблицу 5).

Степенная модель (см. таблицу 8):

;

;

Показательная модель (см.таблицу 9):

;

;

Гиперболическая модель (см. таблицу 7):

.

Таблица 10

Параметры Модели	Коэффициент детерминации R2	Средняя относительная ошибка аппроксимации А
1. Степенная	0,857	7,5
2. Показательная	0,827	9,6
3. Гиперболическая	0,672	12,5

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов. Чем ближе R2 к 1, тем выше качество модели.

Чем выше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует о хорошем качестве модели.

При сравнении гиперболической, степенной и показательной моделей по данным характеристикам мы видим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R2 и наименьшую ошибку аппроксимации имеет степенная модель, следовательно, ее можно считать лучшей.

Задача 2

Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Таблица 1

№ варианта

№ уравнения

Задача 2а

Задача 2б

переменные

переменные

y1

y2

y3

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

x1

x2

x3

x4

8

1

-1

b12

b13

0

a12

a13

0

-1

0

b13

a11

0

a13

a14

2

0

-1

b23

a21

a22

0

a24

b21

-1

b23

0

a22

0

a24

3

0

b32

-1

a31

a32

a33

0

b31

0

-1

a31

0

a33

a34

Решение

2а) , тогда система уравнений будет иметь вид:

Модель имеет 3 эндогенные (y1, y2, y3) и 4 экзогенные (x1, x2, x3, x4) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации.

1 уравнение: y1= b12y2+b13y3+a12x2+a13x3;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y1, y2, y3; H=3

Отсутствующие экзогенные переменные: х1, х4; D=2

2+1=3 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют х1, х4. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:

Таблица 2

Уравнение	переменные
	х1	х4
2	a21	a24
3	a31	0

Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

1-ое уравнение идентифицируемо.

2 уравнение: y2= b23 y3+a21x1+a22x2+a24x4 ;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y2, y3; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х3; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y1, х3. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения:

Таблица 3

Уравнение	переменные
	y1	х3
1	-1	a13
3	0	a33

Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

2-ое уравнение идентифицируемо.

3 уравнение: y3= b32y2+a31x1+a32x2+a33x3;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y2, y3; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х4; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y1, х4. Построим матрицу из коэффициентов для первого и второго уравнения:

Таблица 4

Уравнение	переменные
	х1	х4
1	-1	0
2	0	a24

Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

3-е уравнение идентифицируемо.

В целом вся система уравнений является идентифицируемой.

Решение

2б) ,

Тогда система уравнений будет иметь вид:

Модель имеет 3 эндогенные (y1, y2, y3) и 4 экзогенные (x1, x2, x3, x4) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации.

1 уравнение: y1= b13y3+a11x1+a13x3+a14x4;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y1, y3; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х2; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y2, х2. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:

Таблица 5

Уравнение	переменные
	y2	х2
2	-1	a22
3	0	0

Найдем определитель: , следовательно, условие достаточности НЕ выполнено.

1-ое уравнение НЕидентифицируемо.

2 уравнение: y2= b11 y1+b23y3+a22x2+a24x4 ;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y1, y2, y3; H=3

Отсутствующие экзогенные переменные: x1, х3; D=2

2+1=3 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют x1, х3. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения:

Таблица 6

Уравнение	переменные
	x1	х3
1	a11	a13
3	a31	a33

Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

2-ое уравнение идентифицируемо.

3 уравнение: y3= b31y2+a31x1+a33x3+a34x4;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y1, y3; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х2; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y1, х4. Построим матрицу из коэффициентов для первого и второго уравнения:

Таблица 7

Уравнение	переменные
	y2	х2
1	0	0
2	-1	a22

Найдем определитель: , следовательно, условие достаточности НЕ выполнено

3-е уравнение НЕидентифицируемо.

В целом вся система уравнений является НЕидентифицируемой, так как первое и третье уравнение – НЕидентифицируемы.

2в) По данным, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида: y1=a01+b12y2+a11x1+ε1;

y2=a02+b21y1+a22x2+ε2

Таблица 8

Вариант	n	y1	y2	x1	x2
8	1	51.3	39.4	3	10
	2	112.4	77.9	10	13
	3	67.5	45.2	5	3
	4	51.4	37.7	3	7
	5	99.3	66.1	9	6
	6	57.1	39.6	4	1

Решение

Структурную форму модели (СФМ) преобразуем в приведенную форму модели (ПФМ):

Для этого из второго уравнения выражаем y2 и подставляем его в первое, а из первого выражаем y1 и подставляем его во второе уравнение. Получим:

y1=δ11x1+ δ12x2+u1;

y2=δ21x1+ δ22x2+u2,

где u1 и u1 –случайные ошибки ПФМ.

Здесь

В каждом уравнение ПФМ с помощью МНК определим δ – коэффициент.

Для первого уравнения:

.

Для решения системы уравнений требуются вспомогательные расчеты, которые представлены в таблице 9, 10.

Таблица 9

n	y1	y2	x1	x2
1	51,3	39,4	3	10
2	112,4	77,9	10	13
3	67,5	45,2	5	3
4	51,4	37,7	3	7
5	99,3	66,1	9	6
6	57,1	39,6	4	1
Сумма	439	305,9	34	40
Сред. знач.	73,17	50,98	5,67	6,67

Для упрощения расчетов удобнее работать с отклонениями от средних уровней:

∆у = у - уср; ∆х = х - хср

Таблица 10

n	∆y1	∆y2	∆x1	∆x2	∆y1∆x1	∆x12	∆x1∆x2	∆y1∆x2	∆y2∆x1	∆y2∆x2	∆x22
1	-21,9	-11,6	-2,7	3,3	58,31	7,11	-8,89	-72,89	30,89	-38,61	11,11
2	39,2	26,9	4,3	6,3	170,0	18,78	27,44	248,48	116,64	170,47	40,11
3	-5,7	-5,8	-0,7	-3,7	3,78	0,44	2,44	20,78	3,86	21,21	13,44
4	-21,8	-13,3	-2,7	0,3	58,04	7,11	-0,89	-7,26	35,42	-4,43	0,11
5	26,1	15,1	3,3	-0,7	87,11	11,11	-2,22	-17,42	50,39	-10,08	0,44
6	-16,1	-11,4	-1,7	-5,7	26,78	2,78	9,44	91,04	18,97	64,51	32,11
∑	-0,2	-0,1	-0,2	-0,2	404,03	47,33	27,33	262,73	256,17	203,07	97,33

С учетом приведенных данных получим:

404,03 = 47,33δ11 + 27,33δ12

262,73 = 27,33δ11 + 97,33δ12

δ12 = 0,36;

С учетом этого первое уравнение ПФМ примет вид:

y1 = 8,33х1 + 0,36х2 + u1

Для второго уравнения определим δ – коэффициент с помощью МНК:

Для дальнейших расчетов данные берем из таблицы 9, 10. Получим:

256,17=47,33δ21+27,33δ22

203,07=27,33δ21+97,33δ22

δ22 = 0,68;

Второе уравнение ПФМ примет вид:

у2 = 5,02х1 + 0,68х2 + u2

3) Выполним переход от ПФМ к СПФМ. Для этого из последнего уравнения найдем х2:

Найденное х2 подставим в первое уравнение.

,

тогда b12=0,53; a11=5,67

Из первого уравнения ПФМ найдем х1

Подставим во второе уравнение ПФМ

,

тогда b21=0,6; a22=0,46

4) Свободные члены СФМ найдем из уравнения:

а01 = у1ср - b12у2ср - а11х1ср = 73,17 – 0,53 50,98 - 5,67 5,67 = 14,00;

а02 = у2ср - b21у1ср - а22х2ср = 50,98 - 0,6 73,17 - 0,46 6,67 = 4,00.

5) Записываем СФМ в окончательном виде:

y1=a01 + b12y2 + a11x1 + ε1;

y2=a02 + b21y1 + a22x2 + ε2.

y1 =14 + 0,53y2 + 5,67x1 + ε1;

y2 = 4 + 0,6y1 + 0,46x2 + ε2.