Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Московский государственный институт электронной технки
(технический универститет)»
Курсовая работа
по дисциплине
«Теория вероятности и математическая статистика»
Тема работы
«Анализ данных в линейной регрессионной модели»
Выполнил:
Студент группы ЭКТ-21
Рыжов С.А.
Проверил:
Преподаватель
Бардушкина И. В.
Москва - 2010
Вариант 20.
Задание 1
Выполнить предварительную обработку результатов наблюдений, включающую:
построение диаграммы рассеивания (корреляционного поля);
группировку данных и построение корреляционной таблицы;
оценку числовых характеристик для негруппированных и группированных данных.
Оценка числовых характеристик для негруппированных данных:
X | Y | X | Y |
4,19 | 9,19 | 4,44 | 9,13 |
3,04 | 11,94 | 11,31 | 4,58 |
4,6 | 8,09 | 7,57 | 3,14 |
9,83 | 10,33 | 1,62 | 14,61 |
8,66 | 7,15 | 5,71 | 6,48 |
1,3 | 12,34 | 11,06 | 6,78 |
4,22 | 16,35 | 10,35 | 2,15 |
5,11 | 7,7 | 2,46 | 9,66 |
9,85 | 5,64 | 1,02 | 11,19 |
8,8 | 4,52 | 5,77 | 7,77 |
12,17 | 4,52 | 8,63 | 4,05 |
11,25 | 2,06 | 6,91 | 4,76 |
5,73 | 7,41 | 3,56 | 8,54 |
4,05 | 10,51 | 9,47 | 2,22 |
5,41 | 9,97 | 6,16 | 3,72 |
1,28 | 14,68 | 8,26 | 3,57 |
1,67 | 9,67 | 6,7 | 14,32 |
11,99 | 3,31 | 4,95 | 10,64 |
7,66 | 5,93 | 3,37 | 10,73 |
5,17 | 9,87 | 1,53 | 10,13 |
3,26 | 11,52 | 9,54 | 4,95 |
12,58 | 2,88 | 3,11 | 5,38 |
8,34 | 3,57 | 5,09 | 5,79 |
5,79 | 4,39 | 11,08 | 3,87 |
3,42 | 9,71 | 8,74 | -2,23 |
Сумма X | 317.78 | ||
Сумма Y | 369,18 | ||
MX | 6,3556 | ||
MY | 7,3836 | ||
s2X | 11,02005 | ||
s2Y | 15,31479 | ||
KXY | -9,1594 | ||
ρXY | -0,7194 |
Числовые характеристики для негруппированной выборки находятся по следующим формулам:
, ;
;
;
;
;
Построение корреляционного поля:
Построение корреляционной таблицы:
Таблица 1.1
Y X |
-1.5 | 1.5 | 4.5 | 7.5 | 10.5 | 13.5 | 16.5 | ni. |
2.5 | 0 | 0 | 1 | 1 | 8 | 3 | 0 | 13 |
5.5 | 0 | 0 | 4 | 5 | 6 | 1 | 1 | 17 |
8.5 | 1 | 1 | 8 | 1 | 1 | 0 | 0 | 12 |
11.5 | 0 | 3 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 8 |
nj. | 1 | 4 | 17 | 8 | 15 | 4 | 1 | 50 |
Оценка числовых характеристик для группированных данных:
, ;
, ;
;
;
, ;
;
;
= - 0.87
Задание 2
Для негруппированных данных проверить гипотезу об отсуствии линейной статистической связи между компонентами X и Y при альтернативной гипотезе ( уровень значимости α = 0,05);
Выборочное значение статистики равно
,
Используя средства Matlab, найдем
Так как выборочное значение статистики больше квантили распределения Стьюдента, гипотеза H0 отклоняется в сторону гипотезы H1. Корреляция значима.
Задание 3
Для негруппированых данных получить интервальную оценку для истинного значения коэффициента корреляции ρX,Y, при уровне значимости α = 0,05.
Используя средства Matlab, найдем
,
,
Задание 4
Для негруппированных и группированных данных составить уравнения регрессии Y на x и X на Y.
Рассмотрим вначале случай негруппированных данных.
Этот интервал не содержит нуля, т.е. с доверительной вероятностью 1 – ЫВА = 0,95 существует корреляция между X и Y и имеет смысл построение уравнений регрессии.
,
y(x) = 12,77 – 0,848*x;
x(y) = 10,86 – 0,6*y;
Проверка.
, .
, ;
,
, ;
Случай группированных данных.
Подставим найденные значения в уравнеиня линейной регрессии Y на x и X на y. Получим:
y(x) = 17,14 – 1,4*x;
x(y) = 10,83 – 0,54*y;
Проверка:
Задание 5
Для негруппированных данных нанести графики выборочных регрессионных прямых на диаграмму рассеивания.
Задание 6
Для негруппированных данных по найденным оценкам параметров линейной регрессии Y на x получить оценку s2 для дисперсии ошибок наблюдений σ2, найти коэффициент детерминации R2, построить доверительные интервалы для параметров регрессии a и b, дисперсии ошибок наблюдений σ2 и среднего значения Y при x = x0 .
Для негруппированных данных были получены следующие оценки числовых характеристик и коэффициентов регрессии: , , , , , , , .
Используя соотношение , вычислим остаточную сумму
;
;
;
.
;
Тогда оценка дисперсии ошибок наблюдений равна
.
Коэффициент детерминации равен
.
Поскольку (знак ), то сделаем проверку правильности расчетов:
(верно).
Полученный результат для коэффициента детерминации означает, что уравнение регрессии на 49,7% объясняет общий разброс результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой .
Построим доверительные интервалы для параметров линейной регрессии и дисперсии ошибок наблюдений.
С помощью Matlab найдем квантили распределений Стьюдента и :
, , ;
– доверительный интервал для параметра :
;
;
– доверительный интервал для параметра :
;
;
– доверительный интервал для дисперсии ошибок наблюдений :
;
.
-Найдем границы доверительных интервалов для среднего значения при :
;
.
Задание 7. Для негруппированных данных проверить значимость линейной регрессии Y на x (уровень значимости α = 0,05).
Гипотеза : отклоняется на уровне значимости , так как доверительный интервал не накрывает нуль с доверительной вероятностью 0,95.
Этот же результат можно получить, используя для проверки гипотезу : и статистику .
С помощью Matlab найдем квантили распределения Фишера:
, .
Выборочное значение статистики равно:
.
Поскольку , то гипотеза : отклоняется на уровне значимости . Таким образом, линейная регрессия на статистически значима.
Задание №8
Для данных, сгруппированных только по , проверить адекватность линейной регрессии на (уровень значимости ).
Для проверки адекватности воспользуемся корреляционной таблицей. Будем считать, что середины интервалов группировки , , являются значениями компоненты . Тогда число повторных наблюдений равно 4. Запишем результаты этих наблюдений в виде таблицы
Таблица 1.2
|
2,5 | 5,5 | 8,5 | 11,5 |
|
11,94 12,34 14,68 9,87 11,52 9,71 14,61 9,66 11,19 8,54 10,73 10,13 5,38 |
9,19 8,09 16,35 7,70 7,41 10,51 9,97 9,87 4,39 6,48 7,77 4,76 3,72 14,32 10,64 5,79 9,13 |
10,33 7,15 5,64 4,52 4,52 3,57 3,14 4,05 2,22 3,57 4,95 -2,23 |
4,52 2,06 3,11 2,88 4,58 6,78 2,15 3,87 |
|
13 | 17 | 12 | 8 |
|
10,79 | 8,59 | 9,65 | 3,74 |
Для удобства расчетов в последней строке таблицы приведены средние значения , .
.
Получим уравнение выборочной линейной регрессии на для данных, сгруппированных по :
;
, , , , ;
y(x) = 8,29 – 0,9x.
;
.
Выборочное значение статистики равно
.
Так как квантиль распределения Фишера, вычисленный с помощью Matlab, равен
3,19,
то , а значит, линейная регрессия на для данных, сгруппированных по , адекватна результатам наблюдений.
Задание 9. Для негруппированных данных проверить гипотезу : при альтернативной гипотезе : (уровень значимости )
Имеются следующие величины: , , , , .
Сначала проверяется гипотеза :, альтернативная гипотеза :.
Статистика равна
= 1,931
С помощью средств Matlab, найдем:
F0,975 (n-1; n-1)=F0,975 (49,49) = 1.7622
z > F0,975 (n-1; n-1),
следовательно отклоняется, а значит что
Теперь можно проверить гипотезу, :, при альтернативной гипотезе :.
Т.к. , статистика имеет вид
= 1,418
Найдем количество степеней свободы
≈3,625
С помощью средств Matlab, найдем:
z < , значит нет оснований отклонять гипотезу :.
Приложение
A = [ 4.19 3.04 4.60 9.83 8.66 1.30 4.22 5.11 9.85 8.80 12.17 11.25 5.73 4.05 5.41 1.28 1.67 11.99 7.66 5.17 3.26 12.58 8.34 5.79 3.42 4.44 11.31 7.57 1.62 5.71 11.06 10.35 2.46 1.02 5.77 8.63 6.91 3.56 9.47 6.16 8.26 6.70 4.95 3.37 1.53 9.54 3.11 5.09 11.08 8.74;
9.19 11.94 8.09 10.33 7.15 12.34 16.35 7.70 5.64 4.52 4.52 2.06 7.41 10.51 9.97 14.68 9.67 3.31 5.93 9.87 11.52 2.88 3.57 4.39 9.71 9.13 4.58 3.14 14.61 6.48 6.78 2.15 9.66 11.19 7.77 4.05 4.76 8.54 2.22 3.72 3.57 14.32 10.64 10.73 10.13 4.95 5.38 5.79 3.87 -2.23]
x = A(1,:);
y = A(2,:);
Mx = mean(x)
Dx = var(x,1)
My = mean(y)
Dy = var(y,1)
plot(x,y,'g*')
grid on
hold on
axis([1 13 -3 18]);
gca1 = gca;
set(gca1,'xtick',[1 4 7 10 13],'ytick',[-3 0 3 6 9 12 15 18]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
z = 12.77 - 0.848*x; %построение регрессии Y на x
Zplot = plot(z,x);
set(Zplot,'Color','Red','LineWidth',[2])
hold on
text(12, -1,'x(y)');
text(11.8, 2,'y(x)');
t = 10.86 - 0.6*y; %построение регрессии X на y
Tplot = plot(t,y);
set(Tplot,'Color','Red','LineWidth',[2])
hp = line([1 6.36],[7.38 7.38]); %эти прямые показывают положение
set(hp,'Color','blue','LineWidth',[1.5]) %среднего выборочного
hp = line([6.36 6.36],[-3 7.38]);
set(hp,'Color','blue','LineWidth',[1.5])
K = cov(x,y) %находим ковариацию
DEtK = det(K)
M = corrcoef(x,y) %коэффициент корреляции
detM = det(M)