МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Эконометрика

Липецк 2009

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)

Требуется:

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Проверить выполнение предпосылок МНК.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t критерия Стьюдента

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

Составить уравнения нелинейной регрессии:

гиперболической;

степенной;

показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

	17	22	10	7	12	21	14	7	20	3
	26	27	22	19	21	26	20	15	30	13

Решение

1. Уравнение линейной регрессии имеет вид: y=a+b*x.

Данные, используемые для расчета параметров a и b линейной модели, представлены в табл. 1:

Таблица 1

n	х	у	ух	хх	y-ycp	(у-уср)2	х-хср	(х-хср)2	Упр	ε	ε2	εt-εt-1	(εt-εt-1)2
1	17	26	442	289	4,1	16,81	3,7	13,69	27,71	1,71	2,92
2	22	27	594	484	5,1	26,01	8,7	75,69	32,26	5,26	27,67	3,55	12,60
3	10	22	220	100	0,1	0,01	-3,3	10,89	21,34	-0,66	0,44	-5,92	35,05
4	7	19	133	49	-2,9	8,41	-6,3	39,69	18,61	-0,39	0,15	0,27	0,07
5	12	21	252	144	-0,9	0,81	-1,3	1,69	23,16	2,16	4,67	2,55	6,50
6	21	26	546	441	4,1	16,81	7,7	59,29	31,35	5,35	28,62	3,19	10,18
7	14	20	280	196	-1,9	3,61	0,7	0,49	24,98	4,98	24,80	-0,37	0,14
8	7	15	105	49	-6,9	47,61	-6,3	39,69	18,61	3,61	13,03	-1,37	1,88
9	20	30	600	400	8,1	65,61	6,7	44,89	30,44	0,44	0,19	-3,17	10,05
10	3	13	39	9	-8,9	79,21	-10,3	106,09	14,97	1,97	3,88	1,53	2,34
сумма	133	219	3211	2161		264,90		392,1		24,43	106,37	0,26	78,80
ср. знач.	13,3	21,9	321,1	216,1

;

Уравнение линейной регрессии имеет вид: у=11,78+0,76х

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 76 тыс. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятия.

2. Вычисленные остатки и остаточная сумма квадратов представлены в таблице 1. Дисперсию остатков оценим по формуле:

– стандартная ошибка оценки. Построим график остатков (рис. 1)

Рисунок 1

3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе анализа остаточной компоненты (см. табл. 1).

Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона по формуле , т. к. =0,74, d1=1,08, d2=1,36, т.е. d<d1, значит ряд остатков содержит автокорреляцию.

Для обнаружения гетероскедастичности используем тест Голдфельда – Квандта:

1) Упорядочим наблюдения по мере возрастания переменной х.

2) Разделим совокупность на 2 группы по 5 наблюдений и для каждой определим уравнение регрессии. Воспользуемся инструментом Регрессия пакета Анализ данных, полученные результаты представлены в табл. 2.

Таблица 2

n	у1	Предсказанное у1	е1	е12	у2	Предсказанное у2	е2	е22
1	13	13,81	-0,81	0,66	22	22,46	-0,46	0,21
2	15	16,52	-1,52	2,30	26	25,73	0,27	0,07
3	19	16,52	2,48	6,16	26	27,60	-1,60	2,57
4	20	21,25	-1,25	1,57	27	28,07	-1,07	1,15
5	21	19,90	1,10	1,21	30	27,14	2,86	8,20
сумма				11,90				12,20

3) Определим остаточную сумму квадратов для первой и второй регрессии .

4) Вычислим отношение , т. к. Fнабл=0,98, Fкр(α,к1,к2)= Fкр(0,05,5,5) =5,05 (из таблицы критерия Фишера), Fнабл <Fкр, то гетероскедастичность отсутствует, предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величии не нарушена.

4. Проверим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t критерия Стьюдента Расчетные значения t критерия Стьюдента для коэффициента уравнения регрессии а1 приведены в четвертом столбце протокола Excel, полученном при использовании инструмента Регрессия (рис. 2).

Рисунок 2

Табличное значение t критерия Стьюдента 2,30. tрасч=6,92, так как tрасч>tтабл, то коэффициент а1 значим.

5. Значение коэффициента детерминации (R – квадрат) можно найти в таблице Регрессионная статистика (рис. 2). Коэффициент детерминации/ Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 85,7% вариации зависимой переменной (объем выпуска продукции) учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора (объем капиталовложений).

Значение F – критерия Фишера можно найти в таблице протокола Excel (рис. 2), Fрасч=47,83. Табличное значение F – критерия при доверительной вероятности 0,05 равно 4,46, т. к. Fрасч>Fтабл, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации? в среднем расчетные значения у для линейной модели отличаются от фактических на 1% – хорошее качество модели.

6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Модель зависимости объема выпуска продукции от величины капиталовложений у=11,78+0,76х. Для того чтобы определить среднее значение фактора У при 80% максимального значения фактора Х, необходимо подставить Хпрогн=Хmax*0,8=22*0,8=17,6 в полученную модель: Упрогн=11,78+0,76*17,6=25,17

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Критерий Стьюдента (при v=n -2=10–2=8) равен 1,8595. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

,

таким образом, прогнозное значение будет находиться между:

Yпрогн(80 % max)+= 25,17+7,26=32,43 – верхняя граница прогноза,

Yпрогн(80 % max) – =25,17–7,26=17,91 – нижняя граница прогноза.

7. Графическое представление (рис. 3) модели парной регрессии зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложений: фактические и модельные значения точки прогноза.

Рисунок 3

8. Уравнение гиперболической функции: y=a+b/x. Произведем линеаризацию путем замены Х=1/х. В результате получим линейное уравнение y=a+bХ. Рассчитаем его параметры по данным таблицы 3

Таблица 3

n	х	у	Х	уХ	Х2	y-ycp	(у-уср)2	Упр	ε	ε2	/ε/у/*100%
1	17	26	0,05882	1,52941	0,0035	4,1	16,81	24,3846	1,62	2,61	6,213
2	22	27	0,04545	1,22727	0,0021	5,1	26,01	25,066	1,93	3,74	7,163
3	10	22	0,10000	2,20000	0,0100	0,1	0,01	22,2859	-0,29	0,08	1,299
4	7	19	0,14286	2,71429	0,0204	-2,9	8,41	20,1015	-1,10	1,21	5,797
5	12	21	0,08333	1,75000	0,0069	-0,9	0,81	23,1354	-2,14	4,56	10,168
6	21	26	0,04762	1,23810	0,0023	4,1	16,81	24,9557	1,04	1,09	4,016
7	14	20	0,07143	1,42857	0,0051	-1,9	3,61	23,7422	-3,74	14,00	18,711
8	7	15	0,14286	2,14286	0,0204	-6,9	47,61	20,1015	-5,10	26,02	34,010
9	20	30	0,05000	1,50000	0,0025	8,1	65,61	24,8344	5,17	26,68	17,219
10	3	13	0,33333	4,33333	0,1111	-8,9	79,21	10,3929	2,61	6,80	20,054
сумма		219		20,0638	0,1843		265	219	0,00	86,80	124,65
ср. знач.	13,3	21,9	0,10757	2,00638	0,0184						12,465

,

получим следующее уравнение гиперболической модели: ỹ =27,38–50,97/х.

Уравнение степенной модели имеет вид: у=а*хb. Для линеаризации переменных произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lga+blgx. Обозначим Y=lgy', X=lgx, A=lga. Тогда уравнение примет вид Y=A+bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные табл. 4:

Таблица 4

n	у	Y=lg(y)	х	X=lg(x)	YX	X2	yпр	ε	ε2	|ε/y|*100%
1	26	1,415	17	1,230	1,741	1,514	24,823	1,177	1,385	0,045
2	27	1,431	22	1,342	1,921	1,802	27,476	-0,476	0,226	0,018
3	22	1,342	10	1,000	1,342	1,000	20,142	1,858	3,452	0,084
4	19	1,279	7	0,845	1,081	0,714	17,503	1,497	2,242	0,079
5	21	1,322	12	1,079	1,427	1,165	21,641	-0,641	0,411	0,031
6	26	1,415	21	1,322	1,871	1,748	26,977	-0,977	0,955	0,038
7	20	1,301	14	1,146	1,491	1,314	22,996	-2,996	8,975	0,150
8	15	1,176	7	0,845	0,994	0,714	17,503	-2,503	6,263	0,167
9	30	1,477	20	1,301	1,922	1,693	26,464	3,536	12,505	0,118
10	13	1,114	3	0,477	0,531	0,228	12,537	0,463	0,214	0,036
сумма	219	13,273		10,589	14,322	11,891		0,939	36,630	0,764
ср. знач.		1,327		1,059	1,432	1,189				0,076

Уравнение регрессии будет иметь вид: У=0,9103+0,3938*Х. Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения: ỹ=100,9103*х0,3938.

Получим уравнение степенной модели регрессии: ỹ=8,1339*х0,3938.

Уравнение показательной кривой: ỹ=а*bx. Осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lga+x*lgb. Обозначим Y=lgy', В=lgb, A=lga. Получим линейное уравнение регрессии: Y=A+Вх. Рассчитаем его параметры, используя данные табл. 5

Таблица 5

n	у	Y=lg(y)	х	Ух	х2	У-Уср	(У-Уср)2	х-хср	(х-хср)2	Упр	ε	ε2	|ε/y|*100%
1	26	1,415	17	24,0545	289	0,088	0,008	3,7	13,69	24,365	1,635	2,673	26
2	27	1,431	22	31,49	484	0,104	0,011	8,7	75,69	29,318	-2,318	5,375	27
3	22	1,342	10	13,4242	100	0,015	0,000	-3,3	10,89	18,804	3,196	10,21	22
4	19	1,279	7	8,95128	49	-0,049	0,002	-6,3	39,69	16,827	2,173	4,720	19
5	21	1,322	12	15,8666	144	-0,005	0,000	-1,3	1,69	20,248	0,752	0,565	21
6	26	1,415	21	29,7144	441	0,088	0,008	7,7	59,29	28,253	-2,253	5,076	26
7	20	1,301	14	18,2144	196	-0,026	0,001	0,7	0,49	21,804	-1,804	3,255	20
8	15	1,176	7	8,23264	49	-0,151	0,023	-6,3	39,69	16,827	-1,827	3,339	15
9	30	1,477	20	29,5424	400	0,150	0,022	6,7	44,89	27,226	2,774	7,693	30
10	13	1,114	3	3,34183	9	-0,213	0,046	-10,3	106,09	14,512	-1,512	2,285	13
сумма	219	13,273	133	182,832	2161		0,120		392,1		0,814	45,199	219
ср. зн		1,327	13,3	18,2832	216,1

Уравнение имеет вид: У=1,11+0,0161х. Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование уравнения:

ỹ =101,11(10 0,0161)х, ỹ =12,99*1,038х – уравнение показательной кривой.

Графики построенных уравнений регрессии приведены на рис. 4.

Рисунок 4

9. Коэффициент детерминации:

Для сравнения и выбора лучшей модели строим сводную таблицу результатов (табл. 6).

Таблица 6

Параметры Модель	коэффициент детерминации	средняя относительная ошибка аппроксимации	коэффициент эластичности
гиперболическая	0,672	7,257	-0,250
степенная	0,862	0,034	0,239
показательная	0,829	3,82	0,010

Вывод: на основании полученных данных лучшей является степенная модель регрессии, т. к. она имеет наибольший коэффициент детерминации R2=0,862, т.е. вариация факторного признака У (объем выпуска продукции) на 86,2% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений), и наименьшую относительную ошибку (в среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических данных на 0,034%). Также степенная модель имеет наибольший коэффициент эластичности, т.е. при изменении фактора на 1% зависимая переменная изменится на 0,24%, таким образом степенную модель можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

Задача 2а и 2б

Имеются два варианта структурной формы модели, заданные в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо для каждой матрицы записать системы одновременных уравнений и проверить их на идентифицируемость.

Задача 2а

Решение.

Запишем систему одновременных уравнений:

у1= b12 у2+ b13 у3+ a12 х2+ a13 х3

у2= b23 у3+ a21 х1+ a22 х2+ a24 x4

у3 = b32 у2+ a31 х1+ a32х2+a33х3

Проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В первом уравнении три эндогенные переменные у1, у2, у3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х1, х4 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 2+1=3 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х1 и х4 (табл. 7)

Таблица 7

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	х1	х4
2	a21	a24
3	a31	0

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.

2) Во втором уравнении две эндогенные переменные у2, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х3 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1 и х3 (табл. 8)

Таблица 8

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	у1	х3
1	-1	a13
3	0	a33

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, второе уравнение идентифицируемо.

3) В третьем уравнении две эндогенные переменные у2, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х4 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1 и х4 (табл. 9)

Таблица 9

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	у1	х4
1	-1	0
2	0	a24

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, третье уравнение идентифицируемо.

Вывод: все уравнения системы идентифицируемы, систему можно решать.

Задача 2б

Решение

Запишем систему уравнений:

у1=b13у3+a11 х1+a13 х3+a14 х4

у2= b21 у1+b23 у3+a22 х2+a24 х4

у3=b31 у1+a31 х1+a33 х3+a34 х4

Проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В первом уравнении две эндогенные переменные у1, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у2 и х2 (табл. 10)

Таблица 10

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	у2	х2
2	-1	a22
3	-1	0

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.

2) Во втором уравнении три эндогенные переменные у1, у2, у3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х1, х3 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 2+1=3 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х1 и х3 (табл. 11)

Таблица 11

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	х1	х3
1	a11	а13
3	a31	a33

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.

3) В третьем уравнении две эндогенные переменные у1, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у2 и х2 (табл. 12)

Таблица 12

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	у2	х2
1	0	0
2	-1	a22

Определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Вывод: не все уравнения системы идентифицируемы, систему решать нельзя.

Задача 2в

По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), построить структурную форму модели вида:

y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 + 1

y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 + 2

Вар.	n	y1	y2	x1	x2
8	1	61,3	31,3	9	7
	2	88,2	52,2	9	20
	3	38,0	14,1	4	2
	4	48,4	21,7	2	9
	5	57,0	27,6	7	7
	6	59,7	30,3	3	13

Решение

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в табл. 13.

Таблица 13. Фактические данные для построения модели

n	y1	y2	x1	x2
1	61,3	31,3	9	7
2	88,2	52,2	9	20
3	38	14,1	4	2
4	48,4	21,7	2	9
5	57	27,6	7	7
6	59,7	30,3	3	13
Сумма	352,60	177,20	34,00	58,00
Среднее значение	58,77	29,53	5,67	9,67

Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:

у1=d11x1+d12x2+u1

y2=d21x1+d22x2+u2, где u1 и u2 – случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК. Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней у=у-уср и х=х-хср. Преобразованные таким образом данные табл. 13 сведены в табл. 14. Здесь же показаны промежуточные рассчеты, необходимые для определения коэффициентов d.

Таблица 14

n	у1	у2	х1	х2	у1*х1	х12	х1*х2	у1*х2	у2*х1	у2*х2	х22
1	2,53	1,77	3,33	-2,67	8,444	11,111	-8,889	-6,756	5,889	-4,711	7,111
2	29,43	22,67	3,33	10,33	98,111	11,111	34,444	304,144	75,556	234,222	106,778
3	-20,77	-15,43	-1,67	-7,67	34,611	2,778	12,778	159,211	25,722	118,322	58,778
4	-10,37	-7,83	-3,67	-0,67	38,011	13,444	2,444	6,911	28,722	5,222	0,444
5	-1,77	-1,93	1,33	-2,67	-2,356	1,778	-3,556	4,711	-2,578	5,156	7,111
6	0,93	0,77	-2,67	3,33	-2,489	7,111	-8,889	3,111	-2,044	2,556	11,111
Σ	0,00	0,00	0,00	0,00	174,333	47,333	28,333	471,333	131,267	360,767	191,333

Для нахождения коэффициентов первого приведенного уравнения можно использовать систему нормальных уравнений:

Σу1х1=d11Σx12+d12Σx1x2;

Σy1x2=d11Σx1x2+d12Σx22.

Подставляя рассчитанные в табл. 14 значения сумм, получим:

174,333= 47,333d11+28,333d12

471,333=28,333d11+191,333d12.

Решение этих уравнений дает значения d11=2,423, d12=2,105. Первое уравнение приведенной формы примет вид: у1=2,423х1+2,105х2+u1.

Для нахождения коэффициентов второго приведенного уравнения можно использовать систему нормальных уравнений:

Σу2х1=d21Σx12+d22Σx1x2

Σy2x2=d21Σx1x2+d22Σx22

Подставляя рассчитанные в табл. 14 значения сумм, получим:

131,267=47,333d21+28,333d22

360,767=28,333d21+191,333d22.

Решение этих уравнений дает значения d21=1,805, d22=1,618. Второе уравнение приведенной формы примет вид: у2=1,805х1+1,618х2+u2

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х2 из второго уравнения приведенной модели:

х2=(у2-1,805х1)/1,618.

Подставив это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

у1=2,423х1+2,105 (у2-1,805х1)/1,618=2,423х1+1,3у2-1,115х1=1,3у2+1,308х1

Таким образом, b12=1,3 а11=1,308.

Найдем х1 из первого уравнения у1=2,423х1+2,105х2 приведенной формы:

х1=(у1-2,105х2)/2,423

Подставив это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

у2=1,805 (у1-2,105х2)/2,423+1,618х2=0,745 у1-0,868х2 +1,618х2=0,745у1+0,75х2

Таким образом, b21= 0,745 а22=0,75

Свободные члены структурной формы находим из уравнений:

А01=у1,ср-b12у2,ср-а11х1,ср=58,77 – 1,3*29,53–1,308*5,67=14,04

А02=у2,ср-b21у1,ср-а22х2,ср=29,53–0,745*58,77–0,75*9,67=-5,83

Окончательный вид структурной модели:

y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 + 1=14,04+1,3у2+1,308х1+ 1;

y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 + 2=-5,83+0,745у1+0,75х2+ 2.