§1.
(предварительные сведения)
Непрерывные отображения топологических
пространств
Пусть Х и Y топологические пространства.
Определение 1. Отображение f : Х→Y называется непрерывным, если у всякого множества О, открытого в пространстве Y, полный прообраз f –1(О) открыт в пространстве Х.
Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f: X→Y справедливо следующее равенство:
(1).
Теорема 1.1. Отображение f : X→Y является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F) замкнут в Х.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть отображение
f : X→Y
является непрерывным,
т.е. для любого
множества О,
открытого в
Y, прообраз
f –1(O)
открыт в Х,
и пусть F
произвольное
замкнутое в
Y множество.
Тогда множество
CF открыто
в Y, и множество
открыто
в Х, в силу
непрерывности
отображения
f и равенства
(1). Следовательно,
множество
f –1(F)
замкнуто в Х.
Достаточность.
Пусть для любого
множества F,
замкнутого
в Y, полный
прообраз f –1(F)
замкнут в Х.
Рассмотрим
произвольное
открытое в Y
множество О.
Тогда множество
CO будет
замкнутым в
Y. Поэтому
замкнутое в
Х множество.
Следовательно,
множество
открыто
в Х. Таким образом,
для любого
множества О,
открытого в
Y, полный
прообраз
открыт
в Х и отображение
f : X→Y
непрерывное
по определению.
€
1.2. Связность топологических пространств
Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:
Х
= О1
О2.
Определение 5. Пространство Х называется связным, если такого разбиения не существует.
Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О1 и О2, не имеющих общих точек, то О1 = CO2 и O2 = CO1. Поэтому можно дать другое определение связного пространства:
Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.
Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.
Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:
существуют
непустые открытые
множества
О1 и О2, для
которых О1 ∩ О2 = Ж
и О1 О2 = Х;
существуют
непустые замкнутые
множества
F1 и F2,
для которых
F1 ∩ F2 = Ж
и F1 F2 = Х;
в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;
существует непрерывная сюръективная функция φ : Х ® {1, 2}.
Доказательство.
Из (1) следует
(2). Пусть О1 и
О2 непустые
открытые множества,
для которых
О1 ∩ О2 = Ж
и О1 О2 = Х.
Рассмотрим
множества
F1 = СО1
и F2 = СО2.
Они являются
непустыми
замкнутыми
множествами,
причём F1 ∩ F2 = Ж
и F1
F2 = Х.
Из
(2) следует (3).
Пусть F1
и F2 непустые
замкнутые
множества, для
которых F1 ∩ F2 = Ж
и F1 F2 = Х.
Рассмотрим
множество
G = F1 М Х.
Множество F1
замкнутое по
условию и открытое,
как дополнение
до замкнутого
множества F2
(F1 = CF2).
Поэтому множество
G = F1
является
нетривиальным
открыто-замкнутым
множеством
в Х.
Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х. Тогда множество Q = CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х.
Рассмотрим функцию φ : Х ® {1, 2}, при которой
φ(х)
=
Функция φ является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q, открытым в Х.
Из
(4) следует (1).
Пусть φ :
Х ®
{1, 2} – непрерывная
сюръективная
функция и пусть
множество
M = {1,
2}, т.е. φ(Х) = М.
Множества A
= {1} и B = {2}
– непустые,
непересекающиеся
открытые в М
и
.
Функция φ
сюръективная,
поэтому справедливо
следующее
равенство:
Х = φ –1(М) = φ –1(А В) = φ –1(А)
φ –1(В),
причём
φ –1(А)
и φ –1(В)
непустые
непересекающиеся
множества. В
силу того, что
функция φ
непрерывная,
множества
О1 = φ –1(А)
и О2 = φ –1(В)
непустые,
непересекающиеся
открытые в Х
и Х = О1 О2 .
€
Теорема
1.3. Пусть в
топологическом
пространстве
Х даны два
дизъюнктных
замкнутых
множества
F1 и F2
и непустое
связное множество
М, содержащееся
в объединении
F1 F2.
Тогда М содержится
только в одном
из множеств,
входящих в
объединение,
т.е. либо в F1,
либо в F2.
Доказательство.
Пусть F1
и F2 дизъюнктные
замкнутые в
Х множества
и непустое
связное множество
М Н F1 F2.
Тогда
М = (М ∩ F1) (M ∩ F2).
Так как множества F1 и F2 замкнутые в Х, то множества М ∩ F1 и M ∩ F2 замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например M ∩ F2, пустое. Тогда
М = М ∩ F1 Н F1. €
Аналогично доказывается
Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О1 и О2 топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.
Теорема 1.5. Пусть f : Х→Y непрерывное отображение и f (X) = Y. Тогда если Х связно, то Y связно.
Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества
Y = O1 O2.
В силу того, что f непрерывное отображение и f (X) = Y, прообразы G1 = f –1(O1) и G2 = f –1(O2) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х, что противоречит его связности. €
1.3. Компактность топологических пространств
Определение 8. Топологическое пространство называется компактным, если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.
Определение 9. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.
Теорема 1.6. Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.
Теорема 1.7. Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.
Доказательство.
В силу теоремы
1.6, достаточно
из произвольного
покрытия
множества А
открытыми в
Х множествами
выбрать конечное
подпокрытие.
Для этого добавим
к этим множествам
открытое множество
Х \ А
и получим открытое
покрытие всего
пространства
Х. В силу компактности
пространства
Х, из этого
покрытия можно
выделить конечное
подпокрытие,
причём мы всегда
можно считать,
что в это подпокрытие
входит множество
Х \ А.
Пусть, например,
.
Очевидно,
что множества
образуют искомое
конечное подпокрытие
множества А.
€
Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.
Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.
Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f : Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х) компактно.
Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].
§2. Связность непрерывных отображений
2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства
Пусть f : Х→Y – непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки yОY прообраз f –1(U) называется трубкой (над U), а прообраз f –1(y) называется слоем (над точкой y).
Определение 11.. Непрерывное отображение f : Х→Y называется несвязным над точкой yОY, если существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Н Oy точки y.
Замечание
2. В данном определении
достаточно
рассматривать
только связные
окрестности
U Н Oy,
т.к., если U = U1 U2,
где U1,
U2 – непустые
дизъюнктные
открытые в U
(а значит и в
Y ) множества,
то
f –1(U) = f
–1(U1) f
–1(U2),
f –1(U1) ∩ f
–1(U2) = Ж,
т.е. f –1(U) несвязно автоматически.
Определение 12. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным над точкой yОY, если оно не является несвязным над точкой y, т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная окрестность U Н Oy точки y, что трубка f –1(U) связна.
Определение 13. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным, если оно связно над каждой точкой y О Y.
Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение f : Х→Y непрерывно и точка y О Y. Тогда следующие условия эквивалентны:
отображение f несвязно над точкой y О Y;
существует такая окрестность Oy точки y О Y, что каждая трубка f –1(U) над окрестностью U Н Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;
существует такая окрестность Oy точки y О Y, что каждая трубка f –1(U) над окрестностью U Н Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;
существует такая окрестность Oy точки y О Y, что в каждой трубке f –1(U) над окрестностью U Н Oy точки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;
существует такая окрестность Oy точки y О Y, что для каждой трубки f –1(U) над окрестностью U Н Oy точки у существует непрерывная сюръективная функция φ : f –1(U) ® {1, 2}.
Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть непрерывное отображение f : Х→Y несвязное над точкой y О Y, т.е. существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Н Oy точки y. Таким образом, трубка f –1(U) над окрестностью U Н Oy распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества, т.е.
f
–1(U) = О1 О2,
О1 ∩ О2 = Ж.
Из (2) следует (3). Пусть трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.
Из (3) следует (4). Пусть трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество.
Из (4) следует (5). Пусть в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, по теореме 1.2, для трубки f –1(U) существует непрерывная сюръективная функция φ : f –1(U) ® {1, 2}.
Из (5) следует (1). Пусть существует такая окрестность Oy точки y О Y, что для трубки f –1(U) над некоторой окрестностью U Н Oy существует непрерывная сюръективная функция φ : f –1(U) ® {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, что отображение f несвязно над точкой y О Y. €
Определение 14. Отображение f : Х→Y называется послойно связным, если каждый слой f –1(y), где y О Y, этого отображения является связным множеством.
Теорема
2.2 (о сохранении
связности).
Пусть отображения
f : X ® Y
и g : Z ® Y
непрерывные
и существует
непрерывное
сюръективное
отображение
φ :
X ® Z,
при котором
f = g φ.
Тогда, если
отображение
f связно
над точкой
y О Y
(слой f –1(y)
связен), то
и отображение
g связно
над точкой
y О Y
(слой g –1(y)
связен). В частности,
если отображнение
f связно
(послойно связно),
то и отображение
g связно
(послойно связно).
Доказательство. Пусть отображения f : X ®Y связное над точкой y О Y, тогда для любой окрестности Oy точки y существует связная окрестность U Н Oy точки y, трубка над которой f –1(U) связна. Отображение φ непрерывное, значит (по теореме 1.5) образ связного множества f –1(U) (связного слоя f –1(y)) связен, т.е. множество φ(f –1(U)) (множество φ( f –1(y))) – связное.
Предположим, что отображение g несвязно над точкой y О Y, т.е. существует такая связная окресность Oy точки y, что трубка g –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Н Oy точки y. (Предположим, что слой g –1(y) несвязен над точкой y О Y).
По
условию, f = g φ,
следовательно,
f –1(U) = (g φ) –1(U) = φ –1(g–1(U)).
Отсюда,
φ(f –1(U)) = φ(φ–1(g–1(U))) =g–1(U)
(для слоя φ( f –1(y)) = g–1(y)). Получили противоречие, т.к. множество φ( f –1(U)) связное (слой φ( f –1(y)) связен), а множество g–1(U) (слой g–1(y)) – нет.
Пусть отображнение f связно (послойно связное), тогда, по определению 10 (11), оно связно над каждой точкой y О Y (каждый слой f –1(y) связен). Возьмём произвольную точку y О Y. Если отображение f связно над этой точкой y О Y (слой f –1(y) связен), то и отображение g связно над этой же точкой (слой g–1(y) связен). В силу произвольности выбора точки y, заключаем, что отображение g связно над каждой точкой y О Y (послойно связно). €
2.2. Замкнутые отображения. Связь связности и послойной связности
Определение 15. Отображение f : X→Y называется замкнутым, если для каждого замкнутого множества F Н Х образ f (F) является замкнутым множеством в Y.
Определение 16. Отображение f : X→Y называется замкнутым над точкой yОY, если для всякой окрестности О слоя f –1(y) М Х найдётся окрестность Oy точки y, трубка над которой f –1(Oy) содержится в данной окрестности О слоя f –1(y):
f –1(y) Н f –1(Oy) Н О.
Связь между замкнутостью в точке и общей замкнутостью устанавливает следующая
Лемма 2.1. Непрерывное отображение f : X→Y замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой yОY.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y замкнуто. Возьмём произвольную точку y О Y и рассмотрим окрестность О множества f –1(y). Множество F = X \ О замкнуто в Х и F ∩ f –1(y) = Ж. Поэтому множество f (F) замкнуто в Y и точка y П f(F). Значит окрестность Oy = Y \ f (F) точки y обладает таким свойством f –1(Oy) ∩ F = Ж, следовательно, f –1(Oy) М О. Таким образом, отображение f замкнуто над каждой точкой yОY в силу того, что точка y взята произвольно.
Достаточность. Пусть непрерывное отображение f замкнуто над каждой точкой yОY. Предположим, что образ f (F) некоторого замкнутого в Х множества F не замкнут в Y. Пусть точка y О [f(F)] \ f(F), т.е. принадлежит границе множества f (F). Множество X \ F является окрестностью множества f –1(y). Следовательно, существует такая окресность Oy точки y, что f –1(Oy) М X \ F. Но тогда Oy ∩ f (F) = Ж и поэтому точка y П [f (F)].
Получили противоречие. Отсюда, отображение f замкнуто. €
Следующие утверждения указывают на некоторые важнейшие примеры замкнутых отображений.
Предложение 2.1. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X в хаусдорфово пространство Y является замкнутым.
Доказательство. Рассмотрим произвольное множество F, замкнутое в Х. Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный образ f (F) компактного множества F будет компактен в Y (по теореме 1.9). Пространство Y хаусдорфово, следовательно, множество f (F) – замкнуто (в силу теоремы 1.8). Таким образом, отображение f является замкнутым.
Следствие 2.1. Биективное непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом.
Доказательство. Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество F компактного пространства X. В силу предложения 2.1, образ f (F) – замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f –1 является непрерывным, следовательно, f – гомеоморфизм.я
Предложение 2.2. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y О Y и пусть множество Z замкнуто в X. Тогда подотображение g = f |Z : Z ® Y замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y О Y), то и отображение g замкнуто.
Доказательство.
Возьмём произвольную
точку y О Y
и рассмотрим
окрестность
U М Z
слоя g–1(y).
Тогда в Х найдётся
открытое множество
Uў
такое, что
U = Uў Z.
Множество
O = Uў
(X \ Z)
будет окрестностью
слоя f –1(y)
. Отображение
f замкнутое
над точкой
y О Y,
поэтому найдётся
такая окрестность
Oy точки
y, что
f –1(Oy) М O.
Тогда g–1(Oy) М Z
O = Z
Uў = U.
В силу произвольности выбора точки y О Y, можно заключить, что если отображение f замкнутое над каждой точкой y О Y, то и отображение g замкнутое над каждой точкой y О Y.
Предложение
2.3. Пусть отображение
f : X
®
Y замкнуто
над точкой
y О T Н Y,
где T –
произвольное
множество в
Y. Тогда
под-отображение
g = f | :
f –1(T) ® T
замкнуто над
точкой y.
В частности,
если отображение
f замкнуто
(над каждой
точкой y О T),
то и отображение
g тоже
замкнуто (над
каждой точкой
y О T).
Доказательство. Возьмём произвольную точку y О T Н Y и некоторую окрестность О слоя g–1(y) = f –1(y), такую что
O = O' f –1(T),
где
Оў
– открытое в
Х множество.
Так как
отображение
f
замкнутое
над точкой y,
найдётся такая
окрестность
O'y
в Y
точки y,
что f –1(O'y) М О'.
Тогда в Т
существует
такая окрестность
Oy
точки y,
что Oy = Oy' T,
и f –1(Oy) = g–1(Oy) М O'
f –1(T) = О.
Следовательно,
отображение
g
будет замкнуто
над y О Y.
Если отображение f замкнутое над каждой точкой y, то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y.
Установим теперь связь между связными и послойно связными замкнутыми отображениями.
Предложение 2.4. Пусть отображение f : X→Y замкнуто над точкой y О Y и слой f –1(y) является несвязным множеством. Тогда отображение f несвязное над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y О Y.
Доказательство.
Поскольку слой
f –1(y)
является несвязным
множеством,
то найдутся
такие непустые
открытые в f
–1(y)
множества О1
и О2, что О1 ∩ О2 = Ж
и О1 О2
= f –1(y).
Тогда в Х существуют
открытые множества
Q1 и Q2
такие, что
O1
= Q1
f –1(y),
O2 = Q2
f –1(y).
Рассмотрим
замыкание этих
множеств
и
в Х. Их пересечение
есть замкнутое
множество, и
F
f –1(y)
= Ж (т.к.
О1 и О2 замкнутые
в f –1(y),
как дополнения
до открытых).
Множество О
= (Q1
Q2) \ F
открыто в Х,
причём f
–1(y) М О.
Для этой окрестности
О (в силу замкнутости
отображения
f ) найдётся
такая окрестность
Oy точки
y, что
f –1(Oy) М О.
Пусть G1 = f –1(Oy)
Q1
и G2 = f –1(Oy)
Q2
– открытые в
f –1(Oy) множества.
Так как
М Х \ f –1(Oy),
то
G1 ∩ G2 = Ж.
Тогда f –1(Oy) = G1 G2.
Следовательно,
трубка f
–1(Oy) несвязна.
Пусть
U Н Oy
– произвольная
окрестность
точки y.
Тогда
и
– дизъюнктные
множества,
открытые в f
–1(U), и
непустые, т.к.
О1 М
и О2 М
.
Следовательно,
для любой окрестности
U Н Oy
трубка f
–1(U) несвязна.
Отображение
f несвязно
над точкой y
по определению.
Если отображение f замкнутое над каждой точкой y О Y и каждый его слой несвязн, тогда, для произвольной точки y, отображение f будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y О Y.
Из установленного предложения автоматически вытекает
Следствие 2.2. Пусть отображение f : X→Y замкнуто над точкой y О Y и связно над точкой y. Тогда слой f –1(y) является связным множеством. В частности, если f замкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.
Предложение 2.5. Пусть отображение f : X→Y замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y О Y и предположим, что отображение f несвязно над точкой y. Тогда существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Н Oy точки y. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U, для которой выполняются следующие условия:
f –1(U) = О1 О2,
О1 ∩ О2 = Ж,
где О1 и О2 – непустые открытые в f –1(U) множества.
Слой
f –1(y)
связен и f –1(y) М f –1(U),
отсюда, f –1(y)
содержится
либо в О1, либо
в О2 (по теореме
1.4). Рассмотрим
произвольную
точку х1ОО1.
Образ этой
точки f (x1) = y1 М U.
По условию,
слой f –1(y1)
связен и
f –1(y1) М О1 О2 = f –1(U).
Поскольку
О1 ∩ О2 = Ж
и х1ОО1,
следовательно
(по теореме
1.4), f –1(y1) М О1.
(Другими словами,
если одна точка
слоя принадлежит
множеству О1,
то и весь слой
принадлежит
этому множеству.)
Отсюда, так как точка х1 произвольная, то О1 = f –1( f (O1)). Аналогично доказывается, что О2 = f –1(f (O2)).
Отображение
f замкнутое,
тогда, по теореме
2.3, подотображение
g = f :
f –1(Oy) ® Oy
также замкнутое.
Таким образом,
множества
f (O1) = g (O1)
и f (O2) = g (O2)
будут непересекающимися
открыто-замкнутыми
в U и
U = f (O1) f (O2),
т.е. окрестность
U несвязна.
Это противоречит
выбору окрестности
U.
Для замкнутых отображений итоговую взаимосвязь между послойной связностью и связностью теперь можно выразить в форме следующей теоремы:
Теорема 2.3. Замкнутое отображение f : X→Y связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.
(Вытекает из следствия 2.1 и предложения 2.5).
Из последней теоремы и предложений 2.2 – 2.3 получаются такие следствия:
Следствие 2.3. Пусть отображение f : X→Y замкнутое, Z Н X замкнуто в Х. Подотображение g = f |Z : Z ® Y является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.
Следствие
2.4. Пусть отображение
f : X→Y
замкнутое,
T Н Y
произвольное
множество.
Подотображение
g = f | :
f –1(T) ® T
является связным
тогда и только
тогда, когда
оно послойно
связное.
Рассмотренные здесь свойства будут использованы в следующих пунктах в качестве основы для построения примеров связных и несвязных отображений.
2.3. Связь между связностью пространств
и отображений
Пусть пространство Y = {*} – одноточечное. В этом случае отображение f : X→Y непрерывно и является связным (несвязным) тогда и только тогда, когда пространство Х связно (несвязно), т.к. трубки и слои над пространством Y совпадают со всем пространством Х.
Этот факт позволяет строить многочисленные примеры связных и несвязных отображений. Для этого достаточно взять связные и несвязные пространства и отображение их в одноточечные множества.
Пример. Рассмотрим отображение f : [-1;1] ® R, для которого f (х) = 0 при любом х О [-1;1]. Отображение f связно тогда и только тогда, когда слой f –1(y) над точкой y = 0 связен. Но f –1(0) = [-1;1] – связное множество. Причём, понятия трубки и слоя над точкой y = 0 совпадают, поэтому отображение f является связным и послойно связным.
Если
отображение
f : [-1;1] [2;3] ®
R задано
условием f (х) = 0
для любого
х О [-1;1]
[2;3],
то оно несвязно
(послойно несвязно)
над точкой
y = 0 в силу
несвязности
трубки (слоя)
f –1(0) = [-1;1]
[2;3].
В рассмотренных примерах пространство Y является связным. Это условие и условие связности отображения f оказались необходимым и достаточным условием для связности пространства Х. Более того, имеет место
Теорема 2.4. Пусть сюръективное отображение f : X→Y непрерывно и связно. Пространство X является связным тогда и только тогда, когда пространство Y связное.
Доказательство. Необходимость. По теореме 1.5 (§1), если f : Х→Y непрерывное отображение, f (X) = Y и Х связно, то Y связно.
Достаточность.
Пусть пространство
Y связно.
Предположим,
что пространство
Х несвязно.
Тогда в Х найдутся
такие непустые
дизъюнктные
открытые множества
О1 и О2, что
О1 О2 = Х.
Допустим, что
найдётся точка
y О
.
Тогда в любой
окрестности
слоя f –1(y)
содержаться
как точки множества
О1, так и точки
множества О2.
С другой стороны,
f –1(y) М f –1(U),
где трубка
f –1(U)
является связным
множеством
(в силу связности
отображения
f над точкой
y) и должна
содержаться
либо в О1, либо
в О2 (по теореме
1.4). Получили
противоречие.
Следовательно,
= Ж,
т.е.
и
– непустые
дизъюнктные
замкнутые
множества. Но
f (О1)
f (О2) = Y,
значит,
= f (О1)
и
= f (О2),
т.е. эти множества открыто-замкнутые. Это противоречит связности пространства Y.
Таким образом, предположение о несвязности топологического пространства Х неверно, а верно то, что требуется доказать. €
Другой связи между связностью пространств и связностью отображений может и не быть.
Примеры.
Пусть отображение
f : X→Y
непрерывно.
Если пространство
Х связно, то
и его образ
f (X)
связен, но
отображение
f не обязано
быть связным.
А именно, пусть
f : R
® [0; + Ґ],
и f (х) = х 2
для любого
х О R
(рис. 1).
Расмотрим
произвольную
точку y О (0; + Ґ).
Пусть окрестностью
точки y
является любой
интервал
U = (a; b) Н (0;
+ Ґ),
содержащий
эту точку. Тогда
трубка
f –1(U) =
распадается на два непустых непересекающихся открытых в R множества, т.е. f –1(U) – несвязное множество. Таким образом, отображение f несвязно по определению.
Можно
привести ещё
пример такого
рода. Пусть Oxy
– прямоугольная
декартова
система координат.
Рассмотрим
кольцо ω
с центром в
начале координат
и радиусами
r = a,
R = b
(рис. 2). Пусть
prX : ω → [– b; b]
– проекция
этого кольца
на ось Ox,
где prX (x; y) = х О [– b; b]
для любой точки
(x; y) О ω.
Возьмём произвольную
точку х О (– a; a) М [– b; b].
Для любой окрестности
U М (–
a; a)
точки х трубка
является
несвязной, т.к.
состоит из двух
частей A
и B (рис. 2).
Таким образом,
проекция prX
– является
несвязным
отображением.
Может
быть и наоборот,
отображение
f связное,
а пространства
X и Y
– несвязные.
Пусть, например,
отображение
f : R \ {0} ® R \ {0}
задано формулой
f (х) =
для любого х
О
R \ {0} (рис.
3). Возьмём произвольную
точку y О R \ {0}.
Для любой окрестности
Oy М
R \ {0} точки
y найдётся
связная окрестность
U Н (0;
+ Ґ)
(или U Н (–
Ґ; 0)),
трубка f –1(U)
над которой
связна (т.к.
f –1(U) содержит
часть ветви
гиперболы или
всю ветвь, которая
связна и даже
линейно связна).
Пусть
Х = [0; 1],
Y = [0; 1] [2;
3]. Рассмотрим
проекцию
: X ґ Y ® Y
(рис. 4), где prY (x; y) = y О Y
для любой точки
(x; y) О X ґ Y.
Множества X ґ Y
и Y являются
несвязными,
но проекция
– связное
отображение
(в силу теоремы
2.7, которая будет
доказана в
пункте 2.4).
Рассмотрим другие примеры связных отображений, связаные с непрерывными числовыми функциями.
Теорема 2.6. Непрерывная функция f : [a; b] → R является связной тогда и только тогда, когда она монотонна, т.е. когда для любых точек х, хў О [a; b], где х Ј хў, выполняется только одно из двух свойств: f (x) Ј f (xў ) либо f (x) і f (xў ).
Доказательство. Необходимость. Функция f является отображением компактного множества в хаусдорфово пространство, поэтому она замкнута (в силу предложения 2.1). Тогда, по теореме 2.3, функция f является послойно связной.
Предположим, что f – не монотонна. Тогда найдутся такие точки х1, х2, х3 О [a; b] и х1 < х2 < х3, для которых выполняется система неревенств:
.
Положим
f (x1) = y1,
f (x2) = y2,
f (x3) = y3
и y3 і y1
(или y1 і y3).
Тогда слой
f –1(y3)
является связным
замкнутым
подмножеством
прямой y = y3
(рис. 5), т.е. отрезком.
По теореме о
промежуточном
значении функции,
существует
точка хў О [x1; x2)
и f (xў ) = y3.
В силу связности
слоя f –1(y3),
отрезок [А ; В]
(см. рис. 5) должен
целиком лежать
в слое f –1(y3).
Но точка (x2; y2),
где xў < x2 < x3,
не принадлежит
прямой y = y3,
поэтому слой
f –1(y3)
распадается
на два непустых
непересекающихся
замкнутых в
f –1(y3)
множества. Это
противоречит
послойной
связности
функции f.
Следовательно,
f – монотонна.
Достаточность.
Предположим,
что функция
f не является
связной. Следовательно,
f не является
послойно связной
(по теореме
2.3). Тогда существует
такая точка
yў О R,
что слой f –1(yў)
– несвязен,
т.е. f –1(yў) = О1 О2,
где О1 и О2
– непустые
дизъюнктные
замкнутые в
f –1(yў) множества
(рис. 6). Следовательно,
найдутся такие
точки x1 О О1,
x2 О О2
и точка х, где
x1 <
x < x2
и x П О1,
x П О2,
что
.
Но это противоречит условию монотонности функции f. Значит, функция f является связной. я
Данная теорема утверждает, что связные функции, непрерывные на отрезке, – это либо невозрастающие, либо неубывающие функции.
Этот факт обобщается на случай интервала (a; b). Если связная функция f определена на R с конечным числом точек разрыва, то её монотонность в общем виде нарушается, но область определения можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция f будет монотонной.
2.4. Произведения пространств и проекции
Определение 17. Пусть Х и Y – топологические пространства с топологиями tХ и tY соответственно. Топологическим произведением этих пространств называется множество X ґ Y с топологией tХ ґ Y, образованной семейством всех множеств вида
U ґ V = ,
и их
всевозможных
объединений,
где U О tХ,
V О tY
и
:
X ґ Y ® Х,
:
X ґ Y ® Y
– это проекции,
причём
(x; y) = x
и
(x; y) = y.
Множества вида
U ґ V =
называются
элементарными
(или базисными)
открытыми
множествами.
Определение 18. Отображение f : X→Y называется открытым, если для каждого открытого множества О Н Х образ f (О) является открытым множеством в Y.
Лемма
2.2. Проекции
:
X ґ Y ®Х
и
:
X ґ Y ® Y
являются
непрерывными
открытыми
отображениями.
Доказательство.
Возьмём произвольное
открытое в Х
множество G.
Прообраз этого
множества
= G ґ Y
по определению
топологии
произведения
открыт в X ґ Y.
Тогда проекции
и
будут непрерывными
отображениями.
Пусть точка
z О X ґ Y;
Oz – её
произвольная
окрестность
(рис.7). Найдётся
базисная окрестность
точки
z, где U
– окрестность
точки
,
V – окрестность
точки
.
Точка
является
внутренней
точкой множества
U, а значит
и множества
.
Аналогично,
точка
– внутренняя
точка множества
.
Следовательно,
множества
и
открытые, и
проекции
и
– открытые
отображения.
я
Лемма
2.3. Пусть пространство
Х является
компактным.
Тогда проекция
:
X ґ Y ® Y
является замкнутым
отображением.
Доказательство.
Возьмём произвольную
точку y О Y
и рассмотрим
слой
= {(x; y): x О X} = X ґ {y}.
Он гомеоморфен
множеству Х,
поэтому является
компактным
множеством.
Пусть О некоторая
окрестность
слоя
.
Рассмотрим
произвольную
точку z = (x; y)
слоя
М X ґ Y
и её элементарную
окрестность
G ,
где
Ox – окрестность
точки x
в X, Oy
– окрестность
точки y
в Y. Так как
точка z
произвольная,
следовательно,
такими окрестностями
можно покрыть
всё множество
.
Пусть
– это открытое
покрытие множества
.
Тогда можно
выделить конечное
открытое подпокрытие
,
причём
М О,
которое будем
рассматривать
как некоторую
окрестность
слоя
.
Пусть
U = ,
где
Оi j = (Gi j).
Тогда
Н
М О,
т.е.
проекция
является
замкнутым над
точкой у, и,
следовательно,
замкнутым
отображением.
€
Теорема
2.7. Пусть Х связное
топологическое
пространство.
Тогда проекция
: X ґ Y ® Y
является связным
отображением.
Доказательство.
Пусть х –
произвольная
фиксированная
точка пространства
Х. Рассмотрим
слой
=
= Y ґ {x}.
Он гомеоморфен
связному пространству
Y, поэтому
слой
также
связен. Предположим,
что отображение
несвязное
над точкой х,
т.е. существует
такая окресность
Ох точки х,
что трубка
является
несвязной для
всякой окрестности
U Н
Ox точки
x. Зафиксируем
некоторую такую
связную окрестность
U. Для неё
найдутся непустые
открытые в
множества О1
и О2, что
О1 ∩ О2 = Ж
и О1
О2 =
.
Слой
связен и
,
отсюда, по теореме
2.3,
содержится
либо в О1, либо
в О2.
Рассмотрим
произвольную
точку w1
О О1.
Образ этой
точки
= х1 М U.
Слой
М О1
О2 =
,
и точка w1
принадлежит
множеству О1
и слою
,
поэтому
М О1
(т.к. О1 ∩ О2 = Ж).
Поскольку w1
– произвольная
точка множества
О1, то
.
Аналогично,
.
Множества
О1 и О2
дизъюнктные
открытые в
и
– открытое
отображение.
Следовательно,
(O1)
и
(O2)
– непустые
дизъюнктные
открытые в U
множества и
(O1)
(O2) = U.
Отсюда окрестность
U несвязная,
что противоречит
выбору окрестности
U.
Таким образом,
отображение
связное над
точкой х и
точка х произвольная,
поэтому проекция
является связным
отображением.
€
Следствие 2.5. Если пространства Х и Y связные, то и их произведение X ґ Y является связным множеством.
Доказательство.
Предположим
обратное. Пусть
множество X ґ Y
несвязное, т.е.
X ґ Y = О1 О2,
где О1
и О2
– непустые
дизъюнктные
открытые в
X ґ Y
множества.
Возьмём
произвольную
точку z О О1.
Образ этой
точки
(z) = x.
Слой
М О1
О2
связен, и точка
х О О1,
следовательно,
М О1
(так как О1
О2 = Ж).
В силу того,
что точка z
–
произвольная,
получим
.
Аналогично,
.
Множества О1
и О2
– непустые
дизъюнктные
открытые в
X ґ Y,
и отображение
– открытое,
следовательно,
множества
и
– непустые
дизъюнктные
открытые в Y
и
= Y.
Это противоречит
связности Y.
Доказательство
можно получить
проще. Так как
пространство
Х связное, то
проекция
: X ґ Y ® Y
является связным
и непрерывным
отображением
(по теореме 2.7
и лемме 2.2). Пространство
Y связное.
Тогда, по теореме
2.4, X ґ Y
– связное множество.
Определение 19. Отображение f : X ® Y называется (замкнуто, открыто) параллельно пространству F, если существует такое топологическое вложение i : X ® Y ґ F пространства Х в топологическое произведение Y ґ F, что (множество i(X) соответственно замкнуто, открыто в Y ґ F и)
f = prY i,
где prY : Y ґ F® Y – проекция на сомножитель Y.
Теорема 2.8. Пусть отображение f : X ® Y послойно связное и параллельно пространству F. Тогда отображение f связное.
Доказательство.
Отождествим
Х
с i(X).
Тогда f
можно
отождествить
с подотображением
проекции prY
: Y ґ F® Y.
Пусть y О Y
– фиксированная
точка и Oy
– её произвольная
окрестность.
Предположим,
что для любой
связной окрестности
U Н Oy
точки у
трубка f –1(U)
несвязна. Положим
f –1(U) = О1 О2,
где О1,
О2
– непустые
дизъюнктные
открытые в
f –1(U)
множества и
U Н Oy
– некоторая
фиксированная
связная окрестность
точки y.
Пусть
х О f –1(y).
Тогда х О О1
или х О О2.
Допустим х О О1.
Найдётся такое
открытое в
Y ґ F
множество
G1, что
О1 = G1 X.
По определению
топологии, в
Y ґ F
найдутся окрестность
Vx Н U
точки y
и открытое в
F множество
W такие,
что
х О = Vx ґ W Н G1.
Так как множество f –1(y) – связное по условию, то х О f –1(y) Н О1.
Пусть
хў
– произвольная
точка из (Vx ґ W) Х.
Тогда хў О О1
и
f –1(f (xў )) Н О1.
Следовательно, О1 содержит всякий слой f –1(yў ), где yў О Vx (в силу послойной связности f ).
Таким образом, для каждой точки х О О1 найдётся окрестность Vx Н U точки f (x), что х О f –1(Vx ) Н О1. Поэтому
.
Следовательно,
множество
является окрестностью
точки y
и O1 = f –1(V1).
Аналогично
устанавливается,
что O2 = f –1(V2),
где V2
непустое открытое
в Y множество.
Откуда, U = V1
V2,
что противоречит
связности U.
Значит, отображение
f связное
над точкой y.
€
Пример.
Если отображение
f : X ® Y
связное над
точкой y,
то слой f –1(y)
необязательно
является связным
множеством.
Например, пусть
f = prY :
X ґ Y ® Y
– проекция на
Y, где
Х = Y = [0; 1]
(рис. 8). Рассмотрим
точку y =
О Y
и слой f –1(y)
над точкой y.
Пусть точка
z = (x; y) О X ґ Y,
где х =
,
y =
.
Тогда слой
f –1(y) \ {z}
– несвязное
множество.
Отображение
f = prY
при этом останется
связным, поскольку
для любой связной
окрестности
U точки
y трубка
f –1(U)
– линейно связна,
следовательно,
трубка f –1(U)
– связна.
2.5. Послойное произведение отображений
Определение 20. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – непрерывные отображения. Послойным произведением f ґ g этих отображений называется отображение h : Т ® Y, где
и
.
Из данного определения вытекает смысл названия такого определения:
для любой точки y О Y.
Таким образом, в силу следствия 2.5, становится очевидной следующая теорема:
Теорема 2.9. Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y послойно связные. Тогда произведение h = f ґ g также является послойно связным отображением.
Лемма 2.4. Пусть f, g : X ® Y непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y. Тогда множество Т = {x О X : f (x) = g(x)} является замкнутым в Х.
Доказательство. Докажем, что множество Х \ Т открытое, т.е. для любой точки x О X найдётся такая окрестность Ох точки х, что Ох М Х \ Т.
Возьмём произвольную точку x О X \ Т. Тогда f (x) = y1 О Y, g(x) = y2 О Y. Так как пространство Y хаусдорфово, то существуют окрестности Оy1 точки y1 и Оy2 точки y2 такие, что
Оy1 Оy2 = Ж.
{*}
Отображения
f и g
– непрерывные,
поэтому множества
f –1(Oy1),
g–1(Oy2)
– открытые в
Y и x
О
f –1(Oy1),
x О g–1(Oy2).
Рассмотрим
окрестность
Ох = f –1(Oy1) g–1(Oy2)
точки х. Предположим,
что Ох
Т ≠ Ж,
т.е. существует
такая точка
х1 О Ох,
что f (x1) = g (x1) = y.
Но точка y
должна принадлежать
как окрестности
Oy1, так
и окрестности
Oy2, что
противоречит
условию {*}. я
Лемма 2.5. Если пространства Х и Y компактные, то и их произведение X ґ Y является компактным множеством.
Доказательство.
Пусть х
– произвольная
фиксированная
точка пространства
Х,
и пусть Ω =
– открытое
покрытие пространства
X ґ Y.
Рассмотрим
слой
=
Y ґ {x}.
Он
гомеоморфен
связному пространству
Y, поэтому
– компактное
множество.
Тогда из открытого
покрытия
Ω(х) = Н Ω,
(где
Ua(x)
множество,
содержащее
некоторые точки
слоя над точкой
x) слоя
можно выбрать
конечное открытое
подпокрытие
ω(х) =
.
Объединение
U(x) = (x)
(**)
есть
открытое множество,
содержащее
слой
,
и prX
– замкнутое
отображение
(в силу компактности
пространства
Y и леммы
2.3). Следовательно,
существует
такая окрестность
Ох точки х,
что
Н U(x).
Семейство {Оx:
x О X}
образует открытое
покрытие пространства
X. В силу
компактности
X, найдется
конечное подпокрытие
{Oxi : i = 1,.., k}.
Тогда семейство
ω =
образует конечное
подпокрытие
пространства
X ґ Y.
я
Теорема 2.10. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – связные отображения компактных пространств X и Z в хаусдорфово пространство Y. Тогда произведение h = f ґ g также является связным отображением компактного пространства Т.
Доказательство.
По определению
послойного
произведения,
(
,
– непрерывные
отображения
в хаусдорфово
пространство
Y ) и
.
Тогда, по лемме
2.4, множество
Т является
замкнутым в
пространстве
Х ґ Z,
которое, по
лемме 2.5, является
компактным.
Следовательно,
множество Т
компактно (по
теореме 1.7), и его
образ h(T)
при непрерывном
отображении
h замкнут
в Y (в силу
теорем 1.9 и 1.8). Отсюда,
отображение
h является
замкнутым.
Таким образом, в силу теорем 2.9 и 2.3, отображение h = f ґ g является связным. €
Следующая теорема указывает, в каком случае отображения могут быть параллельными пространству Х. Для её доказательства понадобится
Лемма 2.6. Если пространства Х и Y хаусдорфовы, то и их произведение X ґ Y является хаусдорфовым множеством.
Доказательство.
Пусть z1
и z2
– произвольные
фиксированные
точки пространства
X ґ Y.
Рассмотрим
точки x1 = prX (z1),
x2 = prX (z2)
и y1
= prY (z1),
y2
= prY (z2)
пространств
X
и
Y
соответственно.
Точки z1
и z2
различны,
следовательно,
x1 № x2
или y1 № y2.
Пусть y1 № y2.
Тогда, по определению
хаусдорфова
пространства,
в Y
существуют
такие окрестности
Oy1
и Oy2
точек y1
и y2
соответственно,
что Oy1 Oy2 = Ж.
Проекция prY
является непрерывным
отображением,
поэтому множества
и
– открытые в
X ґ Y
и непересекающиеся.
Причём, z1
О
и z2
О
.
Следовательно,
пространство
X ґ Y
– хаусдорфово
по определению.
Теорема 2.11. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного хаусдорфова пространства Х в хаусдорфово пространство Y является замкнуто параллельным пространству Х.
Доказательство.
Рассмотрим
послойное
произведение
h = = f ґ i :
T ® Y
отображений
f : X ® Y
и i : Y ® Y,
где i –
тождественное
отображение
и множество
Т = {(x; y): fprX = i
prY = prY}.
По лемме 2.4, множество
Т замкнуто
в X ґ Y.
Пусть (x1; y1) О T
– произвольная
фиксированная
точка. Тогда
prY (x1; y1) = y1 = f
prX (x1; y1).
Отсюда, для
точек (x1; y1),
(x2; y2) О Т
выполняется
неравенство
prX (x1; y1) № prX (x2; y2)
при х1 № х2.
Следовательно,
непрерывное
отображение
prX
: Т ® Х
биективно.
Но пространство
T компактно
как замкнутое
подможество
компактного
пространства
X ґ f (X) Н X ґ Y
(в силу теорем
1.7, 1.9 и леммы 2.5).
Поэтому отображение
g = prX :
T ® X
по следствию
2.1 является
гомеоморфизмом,
т.е. Т
Х,
и f = prY
.
Тогда в качестве
топологического
вложения можно
рассматривать
гомеоморфизм
d = g–1:
X ® T.
Таким образом,
множество
d(Х) = Т
замкнуто в
X ґ Y,
и f = prY
d.
Отождествим
множества Т
и Х с помощью
d.. Тогда
отображение
f замкнуто
параллельно
пространству
Х по определению.
Литература.
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: «Наука»,1977.
Александров П.С. Геометрия.
Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометрии. – М.: «Просвещение», 1985.
Мусаев Д.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. – Ташкент: издательство «Фан» Академии наук республики Узбекистан, 1994.
Рубанов И.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов пединститута. – Киров, 1990.
22