§1.

(предварительные сведения)

Непрерывные отображения топологических

пространств

Пусть Х и Y топологические пространства.

Определение 1. Отображение f : Х→Y называется непрерывным, если у всякого множества О, открытого в пространстве Y, полный прообраз f –1(О) открыт в пространстве Х.

Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f: X→Y справедливо следующее равенство:

(1).

Теорема 1.1. Отображение f : X→Y  является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F) замкнут в Х.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y является непрерывным, т.е. для любого множества О, открытого в Y, прообраз f –1(O) открыт в Х, и пусть F произвольное замкнутое в Y множество. Тогда множество CF открыто в Y, и множество открыто в Х, в силу непрерывности отображения f и равенства (1). Следовательно, множество f –1(F) замкнуто в Х.

Достаточность. Пусть для любого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F) замкнут в Х. Рассмотрим произвольное открытое в Y множество О. Тогда множество CO будет замкнутым в Y. Поэтому замкнутое в Х множество. Следовательно, множество открыто в Х. Таким образом, для любого множества О, открытого в Y, полный прообраз открыт в Х и отображение f : X→Y непрерывное по определению. €

1.2. Связность топологических пространств

Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:

Х = О1 О2.

Определение 5. Пространство Х называется связным, если такого разбиения не существует.

Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О1 и О2, не имеющих общих точек, то О1 = CO2 и O2 = CO1. Поэтому можно дать другое определение связного пространства:

Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.

Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.

Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:

существуют непустые открытые множества О1 и О2, для которых О1 ∩ О2 = Ж и О1  О2 = Х;

существуют непустые замкнутые множества F1 и F2, для которых F1 ∩ F2 = Ж и F1  F2 = Х;

в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;

существует непрерывная сюръективная функция φ : Х ® {1, 2}.

Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть О1 и О2 непустые открытые множества, для которых О1 ∩ О2 = Ж и О1  О2 = Х. Рассмотрим множества F1 = СО1 и F2 = СО2. Они являются непустыми замкнутыми множествами, причём F1 ∩ F2 = Ж и F1  F2 = Х.

Из (2) следует (3). Пусть F1 и F2 непустые замкнутые множества, для которых F1 ∩ F2 = Ж и F1  F2 = Х. Рассмотрим множество G = F1 М Х. Множество F1 замкнутое по условию и открытое, как дополнение до замкнутого множества F2 (F1 = CF2). Поэтому множество G = F1 является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х.

Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х. Тогда множество Q = CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х.

Рассмотрим функцию φ : Х ® {1, 2}, при которой

φ(х) =

Функция φ является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q, открытым в Х.

Из (4) следует (1). Пусть φ : Х ® {1, 2} – непрерывная сюръективная функция и пусть множество M = {1, 2}, т.е. φ(Х) = М. Множества A  = {1} и B = {2} – непустые, непересекающиеся открытые в М и . Функция φ сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:

Х = φ –1(М) = φ –1(А  В) = φ –1(А)  φ –1(В),

причём φ –1(А) и φ –1(В) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция φ непрерывная, множества О1 = φ –1(А) и О2 = φ –1(В) непустые, непересекающиеся открытые в Х и Х = О1  О2 . €

Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F1 и F2 и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F1  F2. Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в объединение, т.е. либо в F1, либо в F2.

Доказательство. Пусть F1 и F2 дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М Н F1  F2. Тогда

М = (М ∩ F1)  (M ∩ F2).

Так как множества F1 и F2 замкнутые в Х, то множества М ∩ F1 и M ∩ F2 замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например M ∩ F2, пустое. Тогда

М = М ∩ F1 Н F1. €

Аналогично доказывается

Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О1 и О2 топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.

Теорема 1.5. Пусть f : Х→Y непрерывное отображение и f (X) = Y. Тогда если Х связно, то Y связно.

Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества

Y = O1  O2.

В силу того, что f непрерывное отображение и f (X) = Y, прообразы G1 = f –1(O1) и G2 = f –1(O2) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х, что противоречит его связности. €

1.3. Компактность топологических пространств

Определение 8. Топологическое пространство называется компактным, если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.

Определение 9. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.

Теорема 1.6. Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.

Теорема 1.7. Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.

Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия множества А открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х \ А и получим открытое покрытие всего пространства Х. В силу компактности пространства Х, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х \ А. Пусть, например,

.

Очевидно, что множества образуют искомое конечное подпокрытие множества А. €

Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.

Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.

Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f : Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х) компактно.

Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].

§2. Связность непрерывных отображений

2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства

Пусть f : Х→Y – непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки yОY прообраз f –1(U) называется трубкой (над U), а прообраз f –1(y) называется слоем (над точкой y).

Определение 11.. Непрерывное отображение f : Х→Y называется несвязным над точкой yОY, если существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Н Oy точки y.

Замечание 2. В данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности U Н Oy, т.к., если U = U1  U2, где U1, U2 – непустые дизъюнктные открытые в U (а значит и в Y ) множества, то

f  –1(U) = f  –1(U1)  f  –1(U2), f –1(U1) ∩ f  –1(U2) = Ж,

т.е. f –1(U) несвязно автоматически.

Определение 12. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным над точкой yОY, если оно не является несвязным над точкой y, т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная окрестность U Н Oy точки y, что трубка f  –1(U) связна.

Определение 13. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным, если оно связно над каждой точкой y О Y.

Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение f : Х→Y непрерывно и точка y О Y. Тогда следующие условия эквивалентны:

отображение f несвязно над точкой y О Y;

существует такая окрестность Oy точки y О Y, что каждая трубка f  –1(U) над окрестностью U Н Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;

существует такая окрестность Oy точки y О Y, что каждая трубка f –1(U) над окрестностью U Н Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;

существует такая окрестность Oy точки y О Y, что в каждой трубке f –1(U) над окрестностью U Н Oy точки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;

существует такая окрестность Oy точки y О Y, что для каждой трубки f  –1(U) над окрестностью U Н Oy точки у существует непрерывная сюръективная функция φ : f  –1(U) ® {1, 2}.

Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть непрерывное отображение f : Х→Y несвязное над точкой y О Y, т.е. существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Н Oy точки y. Таким образом, трубка f –1(U) над окрестностью U Н Oy распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества, т.е.

f  –1(U) = О1  О2, О1 ∩ О2 = Ж.

Из (2) следует (3). Пусть трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.

Из (3) следует (4). Пусть трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество.

Из (4) следует (5). Пусть в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, по теореме 1.2, для трубки f –1(U) существует непрерывная сюръективная функция φ : f  –1(U) ® {1, 2}.

Из (5) следует (1). Пусть существует такая окрестность Oy точки y О Y, что для трубки f –1(U) над некоторой окрестностью U Н Oy существует непрерывная сюръективная функция φ : f  –1(U) ® {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, что отображение f несвязно над точкой y О Y. €

Определение 14. Отображение f : Х→Y называется послойно связным, если каждый слой f  –1(y), где y О Y, этого отображения является связным множеством.

Теорема 2.2 (о сохранении связности). Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y непрерывные и существует непрерывное сюръективное отображение φ : X ® Z, при котором f = g  φ. Тогда, если отображение f связно над точкой y О Y (слой f –1(y) связен), то и отображение g связно над точкой y О Y (слой g –1(y) связен). В частности, если отображнение f связно (послойно связно), то и отображение g связно (послойно связно).

Доказательство. Пусть отображения f : X ®Y связное над точкой y О Y, тогда для любой окрестности Oy точки y существует связная окрестность U Н Oy точки y, трубка над которой f –1(U) связна. Отображение φ непрерывное, значит (по теореме 1.5) образ связного множества f –1(U) (связного слоя f –1(y)) связен, т.е. множество φ(f –1(U)) (множество φ( f –1(y))) – связное.

Предположим, что отображение g несвязно над точкой y О Y, т.е. существует такая связная окресность Oy точки y, что трубка g –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Н Oy точки y. (Предположим, что слой g –1(y) несвязен над точкой y О Y).

По условию, f = g  φ, следовательно,

f –1(U) = (g  φ) –1(U) = φ –1(g–1(U)).

Отсюда,

φ(f –1(U)) = φ(φ–1(g–1(U))) =g–1(U)

(для слоя φ( f –1(y)) = g–1(y)). Получили противоречие, т.к. множество φ( f –1(U)) связное (слой φ( f –1(y)) связен), а множество g–1(U) (слой g–1(y)) – нет.

Пусть отображнение f связно (послойно связное), тогда, по определению 10 (11), оно связно над каждой точкой y О Y (каждый слой f –1(y) связен). Возьмём произвольную точку y О Y. Если отображение f связно над этой точкой y О Y (слой f –1(y) связен), то и отображение g связно над этой же точкой (слой g–1(y) связен). В силу произвольности выбора точки y, заключаем, что отображение g связно над каждой точкой y О Y (послойно связно). €

2.2. Замкнутые отображения. Связь связности и послойной связности

Определение 15. Отображение f : X→Y называется замкнутым, если для каждого замкнутого множества F Н Х образ f (F) является замкнутым множеством в Y.

Определение 16. Отображение f : X→Y называется замкнутым над точкой yОY, если для всякой окрестности О слоя f –1(y) М Х найдётся окрестность Oy точки y, трубка над которой f –1(Oy) содержится в данной окрестности О слоя f –1(y):

f –1(y) Н f –1(Oy) Н О.

Связь между замкнутостью в точке и общей замкнутостью устанавливает следующая

Лемма 2.1. Непрерывное отображение f : X→Y замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой yОY.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y замкнуто. Возьмём произвольную точку y О Y и рассмотрим окрестность О множества f –1(y). Множество F = X \ О замкнуто в Х и F ∩ f –1(y) = Ж. Поэтому множество f (F) замкнуто в Y и точка y П f(F). Значит окрестность Oy = Y \ f (F) точки y обладает таким свойством f –1(Oy) ∩ F = Ж, следовательно, f –1(Oy) М О. Таким образом, отображение f замкнуто над каждой точкой yОY в силу того, что точка y взята произвольно.

Достаточность. Пусть непрерывное отображение f замкнуто над каждой точкой yОY. Предположим, что образ f (F) некоторого замкнутого в Х множества F не замкнут в Y. Пусть точка y О [f(F)] \ f(F), т.е. принадлежит границе множества f (F). Множество X \ F является окрестностью множества f –1(y). Следовательно, существует такая окресность Oy точки y, что f –1(Oy) М X \ F. Но тогда Oy ∩ f (F) = Ж и поэтому точка y П [f (F)].

Получили противоречие. Отсюда, отображение f замкнуто. €

Следующие утверждения указывают на некоторые важнейшие примеры замкнутых отображений.

Предложение 2.1. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X в хаусдорфово пространство Y является замкнутым.

Доказательство. Рассмотрим произвольное множество F, замкнутое в Х. Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный образ f (F) компактного множества F будет компактен в Y (по теореме 1.9). Пространство Y хаусдорфово, следовательно, множество f (F) – замкнуто (в силу теоремы 1.8). Таким образом, отображение f является замкнутым. 

Следствие 2.1. Биективное непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом.

Доказательство. Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество F компактного пространства X. В силу предложения 2.1, образ f (F) – замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f  –1 является непрерывным, следовательно, f – гомеоморфизм.я

Предложение 2.2. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y О Y и пусть множество Z замкнуто в X. Тогда подотображение g = f |Z : Z ® Y замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y О Y), то и отображение g замкнуто.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y О Y и рассмотрим окрестность U М Z слоя g–1(y). Тогда в Х найдётся открытое множество Uў такое, что U = Uў  Z. Множество O = Uў  (X \ Z) будет окрестностью слоя f –1(y) . Отображение f замкнутое над точкой y О Y, поэтому найдётся такая окрестность Oy точки y, что f –1(Oy) М O. Тогда g–1(Oy) М Z  O = Z  Uў = U.

В силу произвольности выбора точки y О Y, можно заключить, что если отображение f замкнутое над каждой точкой y О Y, то и отображение g замкнутое над каждой точкой y О Y. 

Предложение 2.3. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y О T Н Y, где T – произвольное множество в Y. Тогда под-отображение g = f | : f –1(T) ® T замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y О T), то и отображение g тоже замкнуто (над каждой точкой y О T).

Доказательство. Возьмём произвольную точку y О T Н Y и некоторую окрестность О слоя g–1(y) = f –1(y), такую что

O = O'  f –1(T),

где Оў – открытое в Х множество. Так как отображение f замкнутое над точкой y, найдётся такая окрестность O'y в Y точки y, что f –1(O'y) М О'. Тогда в Т существует такая окрестность Oy точки y, что Oy = Oy'  T, и f –1(Oy) = g–1(Oy) М O'  f –1(T) = О. Следовательно, отображение g будет замкнуто над y О Y.

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y, то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y. 

Установим теперь связь между связными и послойно связными замкнутыми отображениями.

Предложение 2.4. Пусть отображение f : X→Y замкнуто над точкой y О Y и слой f –1(y) является несвязным множеством. Тогда отображение f несвязное над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y О Y.

Доказательство. Поскольку слой f –1(y) является несвязным множеством, то найдутся такие непустые открытые в f –1(y) множества О1 и О2, что О1 ∩ О2 = Ж и О1  О2 = f  –1(y). Тогда в Х существуют открытые множества Q1 и Q2 такие, что

O1 = Q1 f  –1(y), O2 = Q2  f –1(y).

Рассмотрим замыкание этих множеств и в Х. Их пересечение есть замкнутое множество, и F  f  –1(y) = Ж (т.к. О1 и О2 замкнутые в f –1(y), как дополнения до открытых). Множество О = (Q1 Q2) \ F открыто в Х, причём f –1(y) М О. Для этой окрестности О (в силу замкнутости отображения f  ) найдётся такая окрестность Oy точки y, что f  –1(Oy) М О. Пусть G1 = f  –1(Oy)  Q1 и G2 = f  –1(Oy)  Q2 – открытые в f  –1(Oy) множества. Так как

 М Х \ f  –1(Oy),

то G1 ∩ G2 = Ж. Тогда f –1(Oy) = G1 G2. Следовательно, трубка f –1(Oy) несвязна.

Пусть U Н Oy – произвольная окрестность точки y. Тогда и – дизъюнктные множества, открытые в f –1(U), и непустые, т.к. О1 М  и О2 М . Следовательно, для любой окрестности U Н Oy трубка f –1(U) несвязна. Отображение f несвязно над точкой y по определению.

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y О Y и каждый его слой несвязн, тогда, для произвольной точки y, отображение f будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y О Y.

Из установленного предложения автоматически вытекает

Следствие 2.2. Пусть отображение f : X→Y замкнуто над точкой y О Y и связно над точкой y. Тогда слой f  –1(y) является связным множеством. В частности, если f замкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.

Предложение 2.5. Пусть отображение f : X→Y замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y О Y и предположим, что отображение f несвязно над точкой y. Тогда существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Н Oy точки y. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U, для которой выполняются следующие условия:

f –1(U) = О1  О2, О1 ∩ О2 = Ж,

где О1 и О2 – непустые открытые в  f –1(U) множества.

Слой f –1(y) связен и f –1(y) М f –1(U), отсюда, f –1(y) содержится либо в О1, либо в О2 (по теореме 1.4). Рассмотрим произвольную точку х1ОО1. Образ этой точки f (x1) = y1 М U. По условию, слой f –1(y1) связен и f –1(y1) М О1 О2 = f –1(U). Поскольку О1 ∩ О2 = Ж и х1ОО1, следовательно (по теореме 1.4), f –1(y1) М О1. (Другими словами, если одна точка слоя принадлежит множеству О1, то и весь слой принадлежит этому множеству.)

Отсюда, так как точка х1 произвольная, то О1 = f –1( f (O1)). Аналогично доказывается, что О2 = f –1(f (O2)).

Отображение f замкнутое, тогда, по теореме 2.3, подотображение g = f : f –1(Oy) ® Oy также замкнутое. Таким образом, множества f (O1) = g (O1) и f (O2) = g (O2) будут непересекающимися открыто-замкнутыми в U и U = f (O1)  f (O2), т.е. окрестность U несвязна. Это противоречит выбору окрестности U. 

Для замкнутых отображений итоговую взаимосвязь между послойной связностью и связностью теперь можно выразить в форме следующей теоремы:

Теорема 2.3. Замкнутое отображение f : X→Y связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.

(Вытекает из следствия 2.1 и предложения 2.5).

Из последней теоремы и предложений 2.2 – 2.3 получаются такие следствия:

Следствие 2.3. Пусть отображение f : X→Y замкнутое, Z Н X замкнуто в Х. Подотображение g = f |Z : Z ® Y является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Следствие 2.4. Пусть отображение f : X→Y замкнутое, T Н Y произвольное множество. Подотображение g = f | : f –1(T) ® T является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Рассмотренные здесь свойства будут использованы в следующих пунктах в качестве основы для построения примеров связных и несвязных отображений.

2.3. Связь между связностью пространств

и отображений

Пусть пространство Y = {*} – одноточечное. В этом случае отображение f : X→Y непрерывно и является связным (несвязным) тогда и только тогда, когда пространство Х связно (несвязно), т.к. трубки и слои над пространством Y совпадают со всем пространством Х.

Этот факт позволяет строить многочисленные примеры связных и несвязных отображений. Для этого достаточно взять связные и несвязные пространства и отображение их в одноточечные множества.

Пример. Рассмотрим отображение f : [-1;1] ® R, для которого f (х) = 0 при любом х О [-1;1]. Отображение f связно тогда и только тогда, когда слой f –1(y) над точкой y = 0 связен. Но f –1(0) = [-1;1] – связное множество. Причём, понятия трубки и слоя над точкой y = 0 совпадают, поэтому отображение f является связным и послойно связным.

Если отображение f : [-1;1]  [2;3] ® R задано условием f (х) = 0 для любого х О [-1;1]  [2;3], то оно несвязно (послойно несвязно) над точкой y = 0 в силу несвязности трубки (слоя) f –1(0) = [-1;1]   [2;3].

В рассмотренных примерах пространство Y является связным. Это условие и условие связности отображения f оказались необходимым и достаточным условием для связности пространства Х. Более того, имеет место

Теорема 2.4. Пусть сюръективное отображение f : X→Y непрерывно и связно. Пространство X является связным тогда и только тогда, когда пространство Y связное.

Доказательство. Необходимость. По теореме 1.5 (§1), если f : Х→Y непрерывное отображение, f (X) = Y и Х связно, то Y связно.

Достаточность. Пусть пространство Y связно. Предположим, что пространство Х несвязно. Тогда в Х найдутся такие непустые дизъюнктные открытые множества О1 и О2, что О1  О2 = Х. Допустим, что найдётся точка y О . Тогда в любой окрестности слоя f –1(y) содержаться как точки множества О1, так и точки множества О2. С другой стороны, f –1(y) М f –1(U), где трубка f –1(U) является связным множеством (в силу связности отображения f над точкой y) и должна содержаться либо в О1, либо в О2 (по теореме 1.4). Получили противоречие. Следовательно,

 = Ж,

т.е. и – непустые дизъюнктные замкнутые множества. Но f (О1)  f (О2) = Y, значит,

 = f (О1) и  = f (О2),

т.е. эти множества открыто-замкнутые. Это противоречит связности пространства Y.

Таким образом, предположение о несвязности топологического пространства Х неверно, а верно то, что требуется доказать. €

Другой связи между связностью пространств и связностью отображений может и не быть.

Примеры. Пусть отображение f : X→Y непрерывно. Если пространство Х связно, то и его образ f (X) связен, но отображение f не обязано быть связным. А именно, пусть f : R ® [0; + Ґ], и f (х) = х 2 для любого х О R (рис. 1). Расмотрим произвольную точку y О (0; + Ґ). Пусть окрестностью точки y является любой интервал U = (a; b) Н (0; + Ґ), содержащий эту точку. Тогда трубка

f –1(U) = 

распадается на два непустых непересекающихся открытых в R множества, т.е. f –1(U) – несвязное множество. Таким образом, отображение f несвязно по определению.

Можно привести ещё пример такого рода. Пусть Oxy – прямоугольная декартова система координат. Рассмотрим кольцо ω с центром в начале координат и радиусами r = a, R = b (рис. 2). Пусть prX : ω → [– b; b] – проекция этого кольца на ось Ox, где prX (x; y) = х О [– b; b] для любой точки (x; y) О ω. Возьмём произвольную точку х О (– a; a) М [– b; b]. Для любой окрестности U М (– a; a) точки х трубка является несвязной, т.к. состоит из двух частей A и B (рис. 2). Таким образом, проекция prX  – является несвязным отображением.

Может быть и наоборот, отображение f связное, а пространства X и Y – несвязные.

Пусть, например, отображение f : R \ {0} ® R \ {0} задано формулой f (х) =  для любого х О R \ {0} (рис. 3). Возьмём произвольную точку y О R \ {0}. Для любой окрестности Oy М R \ {0} точки y найдётся связная окрестность U Н (0; + Ґ) (или U Н (– Ґ; 0)), трубка f –1(U)  над которой связна (т.к. f –1(U) содержит часть ветви гиперболы или всю ветвь, которая связна и даже линейно связна).

Пусть Х = [0; 1], Y = [0; 1]  [2; 3]. Рассмотрим проекцию : X ґ Y ® Y (рис. 4), где prY (x; y) = y О Y для любой точки (x; y) О X ґ Y. Множества X ґ Y  и Y являются несвязными, но проекция – связное отображение (в силу теоремы 2.7, которая будет доказана в пункте 2.4).

Рассмотрим другие примеры связных отображений, связаные с непрерывными числовыми функциями.

Теорема 2.6. Непрерывная функция f : [a; b] → R является связной тогда и только тогда, когда она монотонна, т.е. когда для любых точек х, хў О [a; b], где х Ј хў, выполняется только одно из двух свойств: f (x) Ј f (xў ) либо f (x) і f (xў ).

Доказательство. Необходимость. Функция f является отображением компактного множества в хаусдорфово пространство, поэтому она замкнута (в силу предложения 2.1). Тогда, по теореме 2.3, функция f является послойно связной.

Предположим, что f – не монотонна. Тогда найдутся такие точки х1, х2, х3 О [a; b] и х1 <  х2 <  х3, для которых выполняется система неревенств:

.

Положим f (x1) = y1, f (x2) = y2, f (x3) = y3 и y3 і y1 (или y1 і y3). Тогда слой f –1(y3) является связным замкнутым подмножеством прямой y = y3 (рис. 5), т.е. отрезком. По теореме о промежуточном значении функции, существует точка хў О [x1; x2) и f (xў ) = y3. В силу связности слоя f –1(y3), отрезок [А ; В] (см. рис. 5) должен целиком лежать в слое f –1(y3). Но точка (x2; y2), где xў < x2 < x3, не принадлежит прямой y = y3, поэтому слой f –1(y3) распадается на два непустых непересекающихся замкнутых в f –1(y3) множества. Это противоречит послойной связности функции f. Следовательно, f – монотонна.

Достаточность. Предположим, что функция f не является связной. Следовательно,  f не является послойно связной (по теореме 2.3). Тогда существует такая точка yў О R, что слой  f –1(yў) – несвязен, т.е. f –1(yў) = О1  О2, где О1 и О2 – непустые дизъюнктные замкнутые в f –1(yў) множества (рис. 6). Следовательно, найдутся такие точки x1 О О1, x2 О О2 и точка х, где x1 < x < x2 и x П О1, x П О2, что

.

Но это противоречит условию монотонности функции f. Значит, функция f является связной. я

Данная теорема утверждает, что связные функции, непрерывные на отрезке, – это либо невозрастающие, либо неубывающие функции.

Этот факт обобщается на случай интервала (a; b). Если связная функция f определена на R с конечным числом точек разрыва, то её монотонность в общем виде нарушается, но область определения можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция f будет монотонной.

2.4. Произведения пространств и проекции

Определение 17. Пусть Х и Y – топологические пространства с топологиями tХ и tY соответственно. Топологическим произведением этих пространств называется множество X ґ Y с топологией tХ ґ Y, образованной семейством всех множеств вида

U ґ V = ,

и их всевозможных объединений, где U О tХ, V О tY и : X ґ Y ® Х, : X ґ Y ® Y – это проекции, причём (x; y) = x и (x; y) = y. Множества вида U ґ V = называются элементарными (или базисными) открытыми множествами.

Определение 18. Отображение f : X→Y называется открытым, если для каждого открытого множества О Н Х образ f (О) является открытым множеством в Y.

Лемма 2.2. Проекции : X ґ Y ®Х и : X ґ Y ® Y являются непрерывными открытыми отображениями.

Доказательство. Возьмём произвольное открытое в Х множество G. Прообраз этого множества  = G ґ Y по определению топологии произведения открыт в X ґ Y. Тогда проекции и будут непрерывными отображениями.

Пусть точка z О X ґ Y; Oz – её произвольная окрестность (рис.7). Найдётся базисная окрестность

точки z, где U – окрестность точки , V – окрестность точки . Точка является внутренней точкой множества U, а значит и множества . Аналогично, точка – внутренняя точка множества . Следовательно, множества и открытые, и проекции и – открытые отображения. я

Лемма 2.3. Пусть пространство Х является компактным. Тогда проекция : X ґ Y ® Y является замкнутым отображением.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y О Y и рассмотрим слой  = {(x; y): x О X} = X ґ {y}. Он гомеоморфен множеству Х, поэтому является компактным множеством. Пусть О некоторая окрестность слоя . Рассмотрим произвольную точку z = (x; y) слоя  М X ґ Y и её элементарную окрестность

G ,

где Ox – окрестность точки x в X, Oy – окрестность точки y в Y. Так как точка z произвольная, следовательно, такими окрестностями можно покрыть всё множество . Пусть – это открытое покрытие множества . Тогда можно выделить конечное открытое подпокрытие , причём  М О, которое будем рассматривать как некоторую окрестность слоя . Пусть

U = ,

где Оi j = (Gi j). Тогда

 Н  М О,

т.е. проекция является замкнутым над точкой у, и, следовательно, замкнутым отображением. €

Теорема 2.7. Пусть Х связное топологическое пространство. Тогда проекция : X ґ Y ® Y является связным отображением.

Доказательство. Пусть х – произвольная фиксированная точка пространства Х. Рассмотрим слой  = = Y ґ {x}. Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому слой также связен. Предположим, что отображение несвязное над точкой х, т.е. существует такая окресность Ох точки х, что трубка является несвязной для всякой окрестности U Н Ox точки x. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U. Для неё найдутся непустые открытые в множества О1 и О2, что О1 ∩ О2 = Ж и О1  О2 = . Слой связен и , отсюда, по теореме 2.3, содержится либо в О1, либо в О2.

Рассмотрим произвольную точку w1 О О1. Образ этой точки = х1 М U. Слой М О1  О2 = , и точка w1 принадлежит множеству О1 и слою , поэтому М О1 (т.к. О1 ∩ О2 = Ж). Поскольку w1 – произвольная точка множества О1, то . Аналогично, .

Множества О1 и О2 дизъюнктные открытые в и – открытое отображение. Следовательно, (O1) и (O2) – непустые дизъюнктные открытые в U множества и (O1)  (O2) = U. Отсюда окрестность U несвязная, что противоречит выбору окрестности U. Таким образом, отображение связное над точкой х и точка х произвольная, поэтому проекция является связным отображением. €

Следствие 2.5. Если пространства Х и Y связные, то и их произведение X ґ Y является связным множеством.

Доказательство. Предположим обратное. Пусть множество X ґ Y несвязное, т.е. X ґ Y = О1  О2, где О1 и О2 – непустые дизъюнктные открытые в X ґ Y множества.

Возьмём произвольную точку z О О1. Образ этой точки (z) = x. Слой  М О1  О2 связен, и точка х О О1, следовательно,  М О1 (так как О1  О2 = Ж). В силу того, что точка z – произвольная, получим . Аналогично, . Множества О1 и О2 – непустые дизъюнктные открытые в X ґ Y, и отображение – открытое, следовательно, множества и – непустые дизъюнктные открытые в Y и  = Y. Это противоречит связности Y.

Доказательство можно получить проще. Так как пространство Х связное, то проекция : X ґ Y ® Y является связным и непрерывным отображением (по теореме 2.7 и лемме 2.2). Пространство Y связное. Тогда, по теореме 2.4, X ґ Y – связное множество. 

Определение 19. Отображение f : X ® Y называется (замкнуто, открыто) параллельно пространству F, если существует такое топологическое вложение i : X ® Y ґ F пространства Х в топологическое произведение Y ґ F, что (множество i(X) соответственно замкнуто, открыто в Y ґ F и)

f = prY  i,

где prY : Y ґ F® Y – проекция на сомножитель Y.

Теорема 2.8. Пусть отображение f : X ® Y послойно связное и параллельно пространству F. Тогда отображение f связное.

Доказательство. Отождествим Х с i(X). Тогда f можно отождествить с подотображением проекции prY : Y ґ F® Y. Пусть y О Y – фиксированная точка и Oy – её произвольная окрестность. Предположим, что для любой связной окрестности U Н Oy точки у трубка f –1(U) несвязна. Положим f –1(U) = О1  О2, где О1, О2 – непустые дизъюнктные открытые в f –1(U) множества и U Н Oy – некоторая фиксированная связная окрестность точки y.

Пусть х О f –1(y). Тогда х О О1 или х О О2. Допустим х О О1. Найдётся такое открытое в Y ґ F множество G1, что О1 =  G1  X. По определению топологии, в Y ґ F найдутся окрестность Vx Н U точки y и открытое в F множество W такие, что

х О = Vx ґ W Н G1.

Так как множество f –1(y) – связное по условию, то х О f –1(y) Н О1.

Пусть хў – произвольная точка из (Vx ґ W)  Х. Тогда хў О О1 и

f –1(f (xў )) Н О1.

Следовательно, О1 содержит всякий слой f –1(yў ), где yў О Vx (в силу послойной связности f ).

Таким образом, для каждой точки х О О1 найдётся окрестность Vx Н U точки f (x), что х О f –1(Vx ) Н О1. Поэтому

.

Следовательно, множество является окрестностью точки y и O1 = f –1(V1). Аналогично устанавливается, что O2 = f –1(V2), где V2 непустое открытое в Y множество. Откуда, U = V1  V2, что противоречит связности U. Значит, отображение f связное над точкой y. €

Пример. Если отображение f : X ® Y связное над точкой y, то слой f –1(y) необязательно является связным множеством. Например, пусть f = prY : X ґ Y ® Y – проекция на Y, где Х = Y = [0; 1] (рис. 8). Рассмотрим точку y =  О Y и слой f –1(y) над точкой y. Пусть точка z = (x; y) О X ґ Y, где х = , y = . Тогда слой f –1(y) \ {z} – несвязное множество. Отображение f = prY при этом останется связным, поскольку для любой связной окрестности U точки y трубка f –1(U) – линейно связна, следовательно, трубка f –1(U) – связна.

2.5. Послойное произведение отображений

Определение 20. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – непрерывные отображения. Послойным произведением f ґ g этих отображений называется отображение h : Т ® Y, где

и

.

Из данного определения вытекает смысл названия такого определения:

для любой точки y О Y.

Таким образом, в силу следствия 2.5, становится очевидной следующая теорема:

Теорема 2.9. Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y послойно связные. Тогда произведение h = f ґ g также является послойно связным отображением.

Лемма 2.4. Пусть f, g : X ® Y непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y. Тогда множество Т = {x О X : f (x) = g(x)} является замкнутым в Х.

Доказательство. Докажем, что множество Х \ Т открытое, т.е. для любой точки x О X найдётся такая окрестность Ох точки х, что Ох М Х \ Т.

Возьмём произвольную точку x О X \ Т. Тогда f (x) = y1 О Y, g(x) = y2 О Y. Так как пространство Y хаусдорфово, то существуют окрестности Оy1 точки y1 и Оy2 точки y2 такие, что

Оy1  Оy2 = Ж. {*}

Отображения f и g – непрерывные, поэтому множества f –1(Oy1), g–1(Oy2) – открытые в Y и x О f –1(Oy1), x О g–1(Oy2). Рассмотрим окрестность Ох = f –1(Oy1)  g–1(Oy2) точки х. Предположим, что Ох  Т ≠ Ж, т.е. существует такая точка х1 О Ох, что f (x1) = g (x1) = y. Но точка y должна принадлежать как окрестности Oy1, так и окрестности Oy2, что противоречит условию {*}. я

Лемма 2.5. Если пространства Х и Y компактные, то и их произведение X ґ Y является компактным множеством.

Доказательство. Пусть х – произвольная фиксированная точка пространства Х, и пусть Ω = – открытое покрытие пространства X ґ Y. Рассмотрим слой

 = Y ґ {x}.

Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому – компактное множество. Тогда из открытого покрытия

Ω(х) =  Н Ω,

(где Ua(x) множество, содержащее некоторые точки слоя над точкой x) слоя можно выбрать конечное открытое подпокрытие ω(х) = . Объединение

U(x) = (x) (**)

есть открытое множество, содержащее слой , и prX – замкнутое отображение (в силу компактности пространства Y и леммы 2.3). Следовательно, существует такая окрестность Ох точки х, что  Н U(x). Семейство {Оx: x О X} образует открытое покрытие пространства X. В силу компактности X, найдется конечное подпокрытие {Oxi : i = 1,.., k}. Тогда семейство ω =  образует конечное подпокрытие пространства X ґ Y. я

Теорема 2.10. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – связные отображения компактных пространств X и Z в хаусдорфово пространство Y. Тогда произведение h = f ґ g также является связным отображением компактного пространства Т.

Доказательство. По определению послойного произведения, (, – непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y ) и . Тогда, по лемме 2.4, множество Т является замкнутым в пространстве Х ґ Z, которое, по лемме 2.5, является компактным. Следовательно, множество Т компактно (по теореме 1.7), и его образ h(T) при непрерывном отображении h замкнут в Y (в силу теорем 1.9 и 1.8). Отсюда, отображение h является замкнутым.

Таким образом, в силу теорем 2.9 и 2.3, отображение h = f ґ g является связным. €

Следующая теорема указывает, в каком случае отображения могут быть параллельными пространству Х. Для её доказательства понадобится

Лемма 2.6. Если пространства Х и Y хаусдорфовы, то и их произведение X ґ Y является хаусдорфовым множеством.

Доказательство. Пусть z1 и z2 – произвольные фиксированные точки пространства X ґ Y. Рассмотрим точки x1 = prX (z1), x2 = prX (z2) и y1 = prY (z1), y2 = prY (z2) пространств X и Y соответственно. Точки z1 и z2 различны, следовательно, x1 № x2 или y1 № y2. Пусть y1 № y2. Тогда, по определению хаусдорфова пространства, в Y существуют такие окрестности Oy1 и Oy2 точек y1 и y2 соответственно, что Oy1  Oy2 = Ж. Проекция prY является непрерывным отображением, поэтому множества и – открытые в X ґ Y и непересекающиеся. Причём, z1 О и z2 О . Следовательно, пространство X ґ Y – хаусдорфово по определению. 

Теорема 2.11. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного хаусдорфова пространства Х в хаусдорфово пространство Y является замкнуто параллельным пространству Х.

Доказательство. Рассмотрим послойное произведение h = = f ґ i : T ® Y отображений f : X ® Y и i : Y ® Y, где i – тождественное отображение и множество Т = {(x; y): fprX = iprY = prY}. По лемме 2.4, множество Т замкнуто в X ґ Y. Пусть (x1; y1) О T – произвольная фиксированная точка. Тогда prY (x1; y1) = y1 = fprX (x1; y1). Отсюда, для точек (x1; y1), (x2; y2) О Т выполняется неравенство prX (x1; y1) № prX (x2; y2) при х1 № х2. Следовательно, непрерывное отображение prX : Т ® Х биективно. Но пространство T компактно как замкнутое подможество компактного пространства X ґ f (X) Н X ґ Y (в силу теорем 1.7, 1.9 и леммы 2.5). Поэтому отображение g = prX : T ® X по следствию 2.1 является гомеоморфизмом, т.е. Т  Х, и f = prY. Тогда в качестве топологического вложения можно рассматривать гомеоморфизм d = g–1: X ® T. Таким образом, множество d(Х) = Т замкнуто в X ґ Y, и f = prYd. Отождествим множества Т и Х с помощью d.. Тогда отображение f замкнуто параллельно пространству Х по определению. 

Литература.

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: «Наука»,1977.

Александров П.С. Геометрия.

Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометрии. – М.: «Просвещение», 1985.

Мусаев Д.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. – Ташкент: издательство «Фан» Академии наук республики Узбекистан, 1994.

Рубанов И.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов пединститута. – Киров, 1990.

22