Рефетека.ру / Математика

Дипломная работа: Топологическая определяемость верхних полурешёток

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии


Выпускная квалификационная работа

Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Малых Константин Леонидович

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных

Рецензент:

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов


Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. Кафедрой Е.М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина


Киров 2005

Оглавление.

Введение …………………………………………………………………стр. 3

Глава 1 ……………………………………………………………………стр. 4

Упорядоченные множества ………………………………………стр. 4

Решётки.……………………………………………………………стр. 5

Дистрибутивные решётки ………………………………………..стр. 8

Топологические пространства……………………………………стр.10

Глава 2…………………………………………………………………….стр.11

1. Верхние полурешётки…………………………………………….стр.11

2. Стоуново пространство …………………………………………..стр.15

Список литературы……………………………………………………….стр.21


Введение.

Дистрибутивная решётка является одним из основных алгебраических объектов. В данной работе рассматривается частично упорядоченное множество P(L) простых идеалов. Оно даёт нам много информации о дистрибутивной решётке L, но оно не может её полностью охарактеризовать. Поэтому, для того, чтобы множество P(L) характеризовало решётку L, необходимо наделить его более сложной структурой. Стоун [1937] задал на множестве P(L) топологию.

В этой работе рассматривается этот метод в несколько более общем виде.

Работа состоит из двух глав. В первой главе вводятся начальные понятия, необходимые для изучения данной темы. Во второй главе рассматриваются верхние полурешётки, а также множество простых идеалов с введенной на нём топологией.


Глава 1.

Упорядоченные множества.

Определение: Упорядоченным множеством Топологическая определяемость верхних полурешёток называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение Топологическая определяемость верхних полурешёток, удовлетворяющее для всех Топологическая определяемость верхних полурешёток следующим условиям:

1.Рефлексивность: Топологическая определяемость верхних полурешёток.

2.Антисимметричность: если Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток, то Топологическая определяемость верхних полурешёток.

3.Транзитивность: если Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток, то Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Если Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток, то говорят, что Топологическая определяемость верхних полурешёток меньше Топологическая определяемость верхних полурешёток или Топологическая определяемость верхних полурешёток больше Топологическая определяемость верхних полурешёток, и пишут Топологическая определяемость верхних полурешёток или Топологическая определяемость верхних полурешёток.


Примеры упорядоченных множеств:

Множество целых положительных чисел, а Топологическая определяемость верхних полурешёток означает, что Топологическая определяемость верхних полурешёток делит Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Множество всех действительных функций Топологическая определяемость верхних полурешёток на отрезке Топологическая определяемость верхних полурешёток и

Топологическая определяемость верхних полурешёток означает, что Топологическая определяемость верхних полурешёток для Топологическая определяемость верхних полурешёток.


Определение: Цепью называется упорядоченное множество, на котором для Топологическая определяемость верхних полурешёток имеет место Топологическая определяемость верхних полурешёток или Топологическая определяемость верхних полурешёток.


Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества Топологическая определяемость верхних полурешёток. Изобразим каждый элемент множества Топологическая определяемость верхних полурешёток в виде небольшого кружка, располагая Топологическая определяемость верхних полурешёток выше Топологическая определяемость верхних полурешёток, если Топологическая определяемость верхних полурешёток. Соединим Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток отрезком. Полученная фигура называется диаграммой упорядоченного множества Топологическая определяемость верхних полурешёток.


Примеры диаграмм упорядоченных множеств:

Топологическая определяемость верхних полурешёток


2. Решётки

Определение: Верхней гранью подмножества Топологическая определяемость верхних полурешёток в упорядоченном множестве Топологическая определяемость верхних полурешёток называется элемент Топологическая определяемость верхних полурешёток из Топологическая определяемость верхних полурешёток , больший или равный всех Топологическая определяемость верхних полурешёток из Топологическая определяемость верхних полурешёток.


Определение: Точная верхняя грань подмножества Топологическая определяемость верхних полурешёток упорядоченного множества Топологическая определяемость верхних полурешёток – это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом Топологическая определяемость верхних полурешёток и читается «супремум X».


Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.


Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается Топологическая определяемость верхних полурешёток и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань Топологическая определяемость верхних полурешёток существует, то она единственна.


Определение: Решёткой Топологическая определяемость верхних полурешёток называется упорядоченное множество Топологическая определяемость верхних полурешёток, в котором любые два элемента Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток имеют точную нижнюю грань, обозначаемую Топологическая определяемость верхних полурешёток, и точную верхнюю грань, обозначаемую Топологическая определяемость верхних полурешёток.


Примеры решёток:

1. Любая цепь является решёткой, т.к. Топологическая определяемость верхних полурешёток совпадает с меньшим, а Топологическая определяемость верхних полурешёток с большим из элементов Топологическая определяемость верхних полурешёток.

2.

Топологическая определяемость верхних полурешёток


Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают Топологическая определяемость верхних полурешёток, а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают Топологическая определяемость верхних полурешёток.

На решётке можно рассматривать две бинарные операции:


Топологическая определяемость верхних полурешёток - сложение и

Топологическая определяемость верхних полурешёток - произведение


Эти операции обладают следующими свойствами:


1. Топологическая определяемость верхних полурешёток, Топологическая определяемость верхних полурешёток идемпотентность

2. Топологическая определяемость верхних полурешёток, Топологическая определяемость верхних полурешёток коммутативность

3. Топологическая определяемость верхних полурешёток,

Топологическая определяемость верхних полурешёток ассоциативность

4. Топологическая определяемость верхних полурешёток,

Топологическая определяемость верхних полурешёток законы поглощения

Теорема. Пусть Топологическая определяемость верхних полурешёток - множество с двумя бинарными операциями Топологическая определяемость верхних полурешёток, обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение Топологическая определяемость верхних полурешёток (или Топологическая определяемость верхних полурешёток) является порядком на Топологическая определяемость верхних полурешёток, а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём:

Топологическая определяемость верхних полурешёток

Топологическая определяемость верхних полурешёток


Доказательство.

Рефлексивность отношения Топологическая определяемость верхних полурешёток вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):

Топологическая определяемость верхних полурешёток

Топологическая определяемость верхних полурешёток


Если Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток, то есть Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток, то в силу свойства (2), получим Топологическая определяемость верхних полурешёток. Это означает, что отношение Топологическая определяемость верхних полурешёток антисимметрично.


Если Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток, то применяя свойство (3), получим: Топологическая определяемость верхних полурешёток, что доказывает транзитивность отношения Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Применяя свойства (3), (1), (2), получим:

Топологическая определяемость верхних полурешёток,

Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Следовательно, Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток

Если Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток, то используя свойства (1) – (3), имеем:

Топологическая определяемость верхних полурешёток, т.е. Топологическая определяемость верхних полурешёток

По определению точней верхней грани убедимся, что

Топологическая определяемость верхних полурешёток

Из свойств (2), (4) вытекает, что Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток

Если Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток, то по свойствам (3), (4) получим:

Топологическая определяемость верхних полурешёток

Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что

Топологическая определяемость верхних полурешёток, т.е.

Таким образом, Топологическая определяемость верхних полурешёток. ■


Пусть Топологическая определяемость верхних полурешёток решётка, тогда её наибольший элемент Топологическая определяемость верхних полурешёток характеризуется одним из свойств:

1.Топологическая определяемость верхних полурешёток Топологическая определяемость верхних полурешёток

2.Топологическая определяемость верхних полурешёток Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Аналогично характеризуется наименьший элемент Топологическая определяемость верхних полурешёток:

1.Топологическая определяемость верхних полурешёток Топологическая определяемость верхних полурешёток

2.Топологическая определяемость верхних полурешёток Топологическая определяемость верхних полурешёток.


Дистрибутивные решётки.

Определение: Решётка Топологическая определяемость верхних полурешёток называется дистрибутивной, если для Топологическая определяемость верхних полурешёток выполняется:

1. Топологическая определяемость верхних полурешёток

2. Топологическая определяемость верхних полурешёток

В любой решётке тождества (1) и (2) равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.


Теорема: Решётка Топологическая определяемость верхних полурешёток с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида

Топологическая определяемость верхних полурешёток

Доказательство этого факта можно найти в книге [2].


Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём Топологическая определяемость верхних полурешёток).


Определение: Непустое множество Топологическая определяемость верхних полурешёток называется идеалом в решётке Топологическая определяемость верхних полурешёток, если выполняются условия:

1. Топологическая определяемость верхних полурешёток

2. Топологическая определяемость верхних полурешёток


Определение: Идеал Топологическая определяемость верхних полурешёток в решётке Топологическая определяемость верхних полурешёток называется простым, если

Топологическая определяемость верхних полурешёток или Топологическая определяемость верхних полурешёток.


Идеал, порождённый множеством Н (т.е. наименьший идеал, содержащий H), будет обозначаться (Н]. Если Н = {a}, то вместо ({a}] будем писать (a] и называть (a] главным идеалом.


Обозначим через I(L) множество всех идеалов решётки L. I(L) будем называть решёткой идеалов.


Определение: Решётки Топологическая определяемость верхних полурешётокТопологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешётокТопологическая определяемость верхних полурешёток называются изоморфными (обозначение: Топологическая определяемость верхних полурешёток), если существует взаимно однозначное отображение Топологическая определяемость верхних полурешёток, называемое изоморфизмом, множества Топологическая определяемость верхних полурешёток на множество Топологическая определяемость верхних полурешёток, такое, что

Топологическая определяемость верхних полурешёток,

Топологическая определяемость верхних полурешёток.


4. Топологические пространства.


Определение: Топологическое пространство – это непустое множество Топологическая определяемость верхних полурешёток с некоторой системой Топологическая определяемость верхних полурешёток выделенных его подмножеств, которая удовлетворяет аксиомам:

Пустое множество и само пространство Топологическая определяемость верхних полурешёток принадлежит системе Топологическая определяемость верхних полурешёток: Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Пересечение любого конечного числа множеств из Топологическая определяемость верхних полурешёток принадлежит Топологическая определяемость верхних полурешёток, т.е. Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Объединение любого семейства множеств из Топологическая определяемость верхних полурешёток принадлежит Топологическая определяемость верхних полурешёток, т.е. Топологическая определяемость верхних полурешёток.


Таким образом, топологическое пространство – это пара <Топологическая определяемость верхних полурешёток, Топологическая определяемость верхних полурешёток>, где Топологическая определяемость верхних полурешёток - такое множество подмножеств в Топологическая определяемость верхних полурешёток, что Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток замкнуто относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Множества из Топологическая определяемость верхних полурешёток называют открытыми, а их дополнения в Топологическая определяемость верхних полурешёток замкнутыми.


Определение: Пространство называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.


Определение: Подмножество пространства называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.


Определение: Топологическое пространство называется Топологическая определяемость верхних полурешёток - пространством, если для любых двух различных его точек существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек.


Глава 2.


1. Верхние полурешётки.

Определение: Ч.у. множество называется верхней полурешёткой, если sup{a,b} существует для любых элементов a и b.


Определение: Непустое множество I верхней полурешётки L называется идеалом, если для любых Топологическая определяемость верхних полурешёток включение Топологическая определяемость верхних полурешёток имеет место тогда и только тогда, когда Топологическая определяемость верхних полурешёток.


Определение: Верхняя полурешётка Топологическая определяемость верхних полурешёток называется дистрибутивной, если неравенство Топологическая определяемость верхних полурешётокТопологическая определяемость верхних полурешёток Топологическая определяемость верхних полурешёток (Топологическая определяемость верхних полурешёток, Топологическая определяемость верхних полурешёток, Топологическая определяемость верхних полурешёток L) влечёт за собой существование элементов Топологическая определяемость верхних полурешёток, таких, что Топологическая определяемость верхних полурешёток, Топологическая определяемость верхних полурешёток, и Топологическая определяемость верхних полурешёток = Топологическая определяемость верхних полурешёток.(рис.1). Заметим, что элементы Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток не обязательно единственны.

Топологическая определяемость верхних полурешёток

Некоторые простейшие свойства дистрибутивной верхней полурешётки даёт:


Лемма 1:

(*). Если <Топологическая определяемость верхних полурешёток,Топологическая определяемость верхних полурешёток > - произвольная полурешётка, то верхняя полурешётка Топологическая определяемость верхних полурешёток дистрибутивна тогда и только тогда, когда решётка Топологическая определяемость верхних полурешёток дистрибутивна.

(**). Если верхняя полурешётка Топологическая определяемость верхних полурешёток дистрибутивна, то для любых Топологическая определяемость верхних полурешёток существует элемент Топологическая определяемость верхних полурешёток, такой, что Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток. Следовательно, множество Топологическая определяемость верхних полурешёток является решёткой.

(***). Верхняя полурешётка Топологическая определяемость верхних полурешёток дистрибутивна тогда и только тогда, когда множество Топологическая определяемость верхних полурешёток является дистрибутивной решёткой.


Доказательство.

(*). Топологическая определяемость верхних полурешёток <Топологическая определяемость верхних полурешёток,Топологическая определяемость верхних полурешёток > - дистрибутивна и Топологическая определяемость верхних полурешёток, то для элементов Топологическая определяемость верхних полурешёток, Топологическая определяемость верхних полурешёток, справедливо равенство Топологическая определяемость верхних полурешёток:

Топологическая определяемость верхних полурешёток

значит, полурешётка <Топологическая определяемость верхних полурешёток,Топологическая определяемость верхних полурешёток> - дистрибутивна.

Топологическая определяемость верхних полурешётокТопологическая определяемость верхних полурешёток<Топологическая определяемость верхних полурешёток,Топологическая определяемость верхних полурешёток> - дистрибутивна. Пусть решётка Топологическая определяемость верхних полурешёток содержит диамант или пентагон (рис.2).

Топологическая определяемость верхних полурешёток

1) Пусть решётка Топологическая определяемость верхних полурешёток содержит пентагон, Топологическая определяемость верхних полурешёток. Нужно найти такие элементы Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток, чтобы выполнялось равенство Топологическая определяемость верхних полурешёток. Но множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0,b,c} и их нижняя граница не даст a. Получили противоречие с тем, что <Топологическая определяемость верхних полурешёток,Топологическая определяемость верхних полурешёток> - дистрибутивна. Значит, наше предположение неверно и решётка Топологическая определяемость верхних полурешёток не содержит пентагона.


2) Пусть решётка Топологическая определяемость верхних полурешёток содержит диамант, Топологическая определяемость верхних полурешёток. Аналогично, множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0,b,c}, их нижняя граница не даст a. Значит, решётка Топологическая определяемость верхних полурешёток не содержит диаманта.

Можно сделать вывод, что решётка Топологическая определяемость верхних полурешёток дистрибутивна.


(**). Имеем Топологическая определяемость верхних полурешёток, поэтому Топологическая определяемость верхних полурешёток, где Топологическая определяемость верхних полурешёток(по определению дистрибутивной полурешётки). Кроме того, Топологическая определяемость верхних полурешёток является нижней границей элементов Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Рассмотрим идеалы, содержащие элемент Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток - Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток. Тогда Топологическая определяемость верхних полурешёток Ш ,т.к. Топологическая определяемость верхних полурешёток, нижняя граница элементов a и b, содержится там.

Покажем, что I(L) – решётка, т.е. существуют точные нижняя и верхняя грани для любых A и B.

Покажем, что Топологическая определяемость верхних полурешёток совпадает с пересечением идеалов A и B. Во-первых, Топологическая определяемость верхних полурешёток - идеал. Действительно, Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток Во-вторых, пусть идеал Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток. Тогда Топологическая определяемость верхних полурешёток, т.е. Топологическая определяемость верхних полурешёток - точная нижняя грань идеалов A и B, т.е. Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Теперь покажем, что Топологическая определяемость верхних полурешёток совпадает с пересечением всех идеалов Топологическая определяемость верхних полурешёток, содержащих A и B. Обозначим Топологическая определяемость верхних полурешёток. Поскольку Топологическая определяемость верхних полурешёток для Топологическая определяемость верхних полурешёток Топологическая определяемость верхних полурешёток для Топологическая определяемость верхних полурешёток Топологическая определяемость верхних полурешёток, то C идеал. По определению C он будет наименьшим идеалом, содержащим A и B.


(***). Топологическая определяемость верхних полурешёток Пусть Топологическая определяемость верхних полурешёток – верхняя дистрибутивная полурешётка. Покажем, что

Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Пусть Топологическая определяемость верхних полурешёток, т.е. Топологическая определяемость верхних полурешёток (рис.3), для некоторых Топологическая определяемость верхних полурешёток

Топологическая определяемость верхних полурешёток

Понятно, что Топологическая определяемость верхних полурешёток. По дистрибутивности, существуют Топологическая определяемость верхних полурешёток такие, что Топологическая определяемость верхних полурешёток. Т.к. A – идеал, то Топологическая определяемость верхних полурешёток, потому что Топологическая определяемость верхних полурешёток. Аналогично, Топологическая определяемость верхних полурешёток. Т.е. Топологическая определяемость верхних полурешёток. Точно также, Топологическая определяемость верхних полурешёток. Если Топологическая определяемость верхних полурешёток, то легко показать, что Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Доказали, что Топологическая определяемость верхних полурешёток - идеал. Очевидно, он является верхней гранью идеалов A и B. Если C содержит A и B, то C будет содержать элементы Топологическая определяемость верхних полурешёток для любых Топологическая определяемость верхних полурешёток, т.е. Топологическая определяемость верхних полурешёток Поэтому Топологическая определяемость верхних полурешёток, поскольку Топологическая определяемость верхних полурешёток является верхней гранью идеалов A и B и содержится в любой верхней грани.

Теперь покажем, что выполняется равенство:

Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Топологическая определяемость верхних полурешёток. Пусть Топологическая определяемость верхних полурешёток, где Топологическая определяемость верхних полурешёток,Топологическая определяемость верхних полурешёток. Т.к. Топологическая определяемость верхних полурешёток , то Топологическая определяемость верхних полурешёток, откуда Топологическая определяемость верхних полурешёток и следовательно Топологическая определяемость верхних полурешёток. Аналогично, Топологическая определяемость верхних полурешёток, значит, Топологическая определяемость верхних полурешёток

Топологическая определяемость верхних полурешёток. Пусть Топологическая определяемость верхних полурешёток,где Топологическая определяемость верхних полурешёток Топологическая определяемость верхних полурешёток Топологическая определяемость верхних полурешёток Топологическая определяемость верхних полурешётокТопологическая определяемость верхних полурешёток.

Отсюда следует дистрибутивность решётки Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Топологическая определяемость верхних полурешёток Топологическая определяемость верхних полурешёток – дистрибутивная решётка, Топологическая определяемость верхних полурешёток. Теперь рассмотрим идеалы, образованные этими элементами:

Топологическая определяемость верхних полурешёток

(Топологическая определяемость верхних полурешёток,будет нижней границей для Топологическая определяемость верхних полурешёток). Поэтому Топологическая определяемость верхних полурешёток, что и доказывает дистрибутивность полурешётки Топологическая определяемость верхних полурешёток. ■


2. Стоуново пространство.


Определение: Подмножество Топологическая определяемость верхних полурешёток верхней полурешётки Топологическая определяемость верхних полурешёток называется коидеалом, если Топологическая определяемость верхних полурешёток из неравенства Топологическая определяемость верхних полурешёток следует Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток существует нижняя граница Топологическая определяемость верхних полурешётокмножества Топологическая определяемость верхних полурешёток, такая, что Топологическая определяемость верхних полурешёток.


Определение: Идеал Топологическая определяемость верхних полурешёток полурешётки Топологическая определяемость верхних полурешёток называется простым, если Топологическая определяемость верхних полурешёток и множество Топологическая определяемость верхних полурешёток является коидеалом.


В дальнейшем нам потребуется лемма Цорна, являющаяся эквивалентным утверждением аксиоме выбора.


Лемма Цорна. Пусть A – множество и X – непустое подмножество множества P(A). Предположим, что X обладает следующим свойством: если C – цепь в <Топологическая определяемость верхних полурешёток>, то Топологическая определяемость верхних полурешёток. Тогда X обладает максимальным элементом.


Лемма 2: Пусть Топологическая определяемость верхних полурешёток – произвольный идеал и Топологическая определяемость верхних полурешёток – непустой коидеал дистрибутивной верхней полурешётки Топологическая определяемость верхних полурешёток. Если Топологическая определяемость верхних полурешёток, то в полурешётке Топологическая определяемость верхних полурешёток существует простой идеал Топологическая определяемость верхних полурешёток такой, что Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток.


Доказательство.

Пусть X – множество всех идеалов в L,содержащих I и не пересекающихся с D. Покажем, что X удовлетворяет лемме Цорна.

Пусть C – произвольная цепь в X и Топологическая определяемость верхних полурешёток Если Топологическая определяемость верхних полурешёток, то Топологическая определяемость верхних полурешёток для некоторых Топологическая определяемость верхних полурешёток Пусть для определённости Топологическая определяемость верхних полурешёток. Тогда Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток, т.к. Топологическая определяемость верхних полурешёток - идеал. Поэтому Топологическая определяемость верхних полурешёток. Обратно, пусть Топологическая определяемость верхних полурешёток, тогда Топологическая определяемость верхних полурешёток, для некоторого Топологическая определяемость верхних полурешёток Получаем Топологическая определяемость верхних полурешёток, откуда Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Доказали, что M – идеал, очевидно, содержащий I и не пересекающийся с D, т.е. Топологическая определяемость верхних полурешёток. По лемме Цорна X обладает максимальным элементом, т.е. максимальным идеалом P среди содержащих I и не пересекающихся с D.

Покажем, что P – простой. Для этого достаточно доказать, что L\P является коидеалом. Пусть Топологическая определяемость верхних полурешётокL\P и Топологическая определяемость верхних полурешёток. Поскольку Топологическая определяемость верхних полурешёток, то Топологическая определяемость верхних полурешёток, иначе в противном случае Топологическая определяемость верхних полурешёток по определению идеала. Следовательно, Топологическая определяемость верхних полурешёток. Если Топологическая определяемость верхних полурешёток, то Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток пересекающихся с D в силу максимальности P. Получаем Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток для некоторых элементов Топологическая определяемость верхних полурешёток. Существует элемент Топологическая определяемость верхних полурешёток такой, что Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток, по определению коидеала, следовательно Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток для некоторых Топологическая определяемость верхних полурешёток Заметим, что Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток не лежат в P, т.к. в противном случае Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Далее, Топологическая определяемость верхних полурешёток, поэтому Топологическая определяемость верхних полурешёток для некоторых Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток. Как и прежде Топологическая определяемость верхних полурешёток. Кроме того Топологическая определяемость верхних полурешёток, поэтому Топологическая определяемость верхних полурешёток - нижняя грань элементов a и b, не лежащая в P. ■


В дальнейшем, через Топологическая определяемость верхних полурешёток будем обозначать дистрибутивную верхнюю полурешётку с нулём, через Топологическая определяемость верхних полурешётокмножество всех простых идеалов полурешётки Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Множества вида Топологическая определяемость верхних полурешёток представляют элементы полурешётки Топологическая определяемость верхних полурешёток в ч.у. множестве Топологическая определяемость верхних полурешёток (т.е. Топологическая определяемость верхних полурешёток). Сделаем все такие множества открытыми в некоторой топологии.

Обозначим через Топологическая определяемость верхних полурешёток топологическое пространство, определённое на множестве Топологическая определяемость верхних полурешёток. Пространство SpecL будем называть стоуновым пространством полурешётки L.


Лемма 3: Для любого идеала I полурешётки L положим:

Топологическая определяемость верхних полурешёток

Тогда множества вида Топологическая определяемость верхних полурешёток исчерпывают все открытые множества в стоуновом пространстве SpecL.


Доказательство.

Нужно проверить выполнение аксиом топологического пространства.

1) Рассмотрим идеал, образованный 0. Тогда

Топологическая определяемость верхних полурешёток,

но 0 лежит в любом идеале, а значит Топологическая определяемость верхних полурешёток.

2) Возьмём произвольные идеалы Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток полурешётки Топологическая определяемость верхних полурешёток и рассмотрим

Топологическая определяемость верхних полурешётокТопологическая определяемость верхних полурешёток

Пусть Топологическая определяемость верхних полурешёток. Тогда существуют элементы aТопологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток Отсюда следует, что Топологическая определяемость верхних полурешёток, где L\P – коидеал. По определению коидеала существует элемент dТопологическая определяемость верхних полурешёток такой, что Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток, значит,Топологическая определяемость верхних полурешёток. Т.к. Топологическая определяемость верхних полурешёток, следовательно, Топологическая определяемость верхних полурешёток. Получаем, что Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Обратное включение очевидно.

2) Пусть Топологическая определяемость верхних полурешёток - произвольное семейство идеалов. Через Топологическая определяемость верхних полурешёток обозначим множество всех точных верхних граней конечного числа элементов, являющихся представителями семейства Топологическая определяемость верхних полурешёток. Покажем, что Топологическая определяемость верхних полурешёток - идеал. Пусть Топологическая определяемость верхних полурешёток, тогда Топологическая определяемость верхних полурешёток, где Топологическая определяемость верхних полурешёток для некоторого идеала Топологическая определяемость верхних полурешёток. Тогда Топологическая определяемость верхних полурешёток лежит в идеале Топологическая определяемость верхних полурешёток, следовательно, Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток, т.е. Топологическая определяемость верхних полурешёток. Обратно очевидно.

Доказали, что Топологическая определяемость верхних полурешёток - идеал. Теперь рассмотрим произвольное объединение.

Топологическая определяемость верхних полурешёток


Лемма 4: Подмножества вида Топологическая определяемость верхних полурешёток пространства Топологическая определяемость верхних полурешёток можно охарактеризовать как компактные открытые множества.


Доказательство.

Топологическая определяемость верхних полурешёток Действительно, если семейство Топологическая определяемость верхних полурешёток открытых множеств покрывает множество Топологическая определяемость верхних полурешёток, т.е. Топологическая определяемость верхних полурешёток Топологическая определяемость верхних полурешёток, то Топологическая определяемость верхних полурешёток Отсюда следует, что Топологическая определяемость верхних полурешётокдля некоторого конечного подмножества Топологическая определяемость верхних полурешёток, поэтому Топологическая определяемость верхних полурешёток Топологическая определяемость верхних полурешёток. Таким образом, множество Топологическая определяемость верхних полурешёток компактно.

Топологическая определяемость верхних полурешёток Пусть открытое множество r(I) компактно, тогда Топологическая определяемость верхних полурешёток и можно выделить конечное подпокрытие Топологическая определяемость верхних полурешёток для некоторых Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Покажем, что I порождается элементом Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Предположим, что это не так, и в идеале I найдётся элемент b не лежащий в Топологическая определяемость верхних полурешёток. Тогда [b) – коидеал, не пересекающийся с Топологическая определяемость верхних полурешёток. По лемме 2 найдётся простой идеал P содержащий Топологическая определяемость верхних полурешёток и не пересекающийся с [b). Получаем, Топологическая определяемость верхних полурешёток, т.к. Топологическая определяемость верхних полурешёток (т.е. Топологическая определяемость верхних полурешёток), но Топологическая определяемость верхних полурешёток, т.к. Топологическая определяемость верхних полурешётокТопологическая определяемость верхних полурешёток, противоречие. Следовательно, компактным открытым множеством r(I) будет только в случае, если Топологическая определяемость верхних полурешёток - главный идеал.■


Предложение 5: Пространство Топологическая определяемость верхних полурешёток является Топологическая определяемость верхних полурешёток- пространством.


Доказательство.

Рассмотрим два различных простых идеала Топологическая определяемость верхних полурешёток и Q. Хотя бы один не содержится в другом. Допустим для определённости, что Топологическая определяемость верхних полурешёток. Тогда r(P) содержит Q, но не содержит P, т.е. SpecL является Топологическая определяемость верхних полурешёток- пространством. ■


Теорема 6: Стоуново пространство Топологическая определяемость верхних полурешёток определяет полурешётку Топологическая определяемость верхних полурешёток с точностью до изоморфизма.


Доказательство.

Нужно показать, что две полурешётки Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток изоморфны тогда и только тогда, когда пространства Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток гомеоморфны.

Топологическая определяемость верхних полурешёток Очевидно, если решётки изоморфны, то пространства, образованные этими полурешётками будут совпадать.

Топологическая определяемость верхних полурешёток Пусть Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток гомеоморфны (Топологическая определяемость верхних полурешёток) и Топологическая определяемость верхних полурешёток. Тогда a определяет компактное открытое множество r(a)Топологическая определяемость верхних полурешёток. Множеству r(a) соответствует компактное открытое множество Топологическая определяемость верхних полурешёток, с однозначно определённым элементом Топологическая определяемость верхних полурешёток по лемме 4. Таким образом получаем отображение Топологическая определяемость верхних полурешёток: Топологическая определяемость верхних полурешёток, при котором Топологическая определяемость верхних полурешёток. Покажем, что Топологическая определяемость верхних полурешёток - изоморфизм решёток. Если a,b – различные элементы из Топологическая определяемость верхних полурешёток, то Топологическая определяемость верхних полурешёток, следовательно, Топологическая определяемость верхних полурешёток, поэтому Топологическая определяемость верхних полурешёток и Топологическая определяемость верхних полурешёток - инъекция.

Для произвольного Топологическая определяемость верхних полурешёток открытому множеству Топологическая определяемость верхних полурешёток соответствует Топологическая определяемость верхних полурешёток и очевидно Топологическая определяемость верхних полурешёток, что показывает сюръективность Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Пусть a,b – произвольные элементы из Топологическая определяемость верхних полурешёток. Заметим, что Топологическая определяемость верхних полурешёток. Открытому множеству Топологическая определяемость верхних полурешёток при гомеоморфизме Топологическая определяемость верхних полурешёток соответствует открытое множество Топологическая определяемость верхних полурешёток, а Топологическая определяемость верхних полурешёток соответствует Топологическая определяемость верхних полурешёток. Следовательно, Топологическая определяемость верхних полурешёток=Топологическая определяемость верхних полурешёток. Поскольку Топологическая определяемость верхних полурешёток=Топологическая определяемость верхних полурешёток, то Топологическая определяемость верхних полурешёток, т.е. Топологическая определяемость верхних полурешёток


Литература.

Биргкоф Г. Теория решёток. – М.:Наука, 1984.

Гретцер Г. Общая теория решёток. – М.: Мир, 1982.

Чермных В.В. Полукольца. – Киров.: ВГПУ, 1997.


23


Рефетека ру refoteka@gmail.com