Содержание

Введение

§1. Основные понятия и примеры

§2. Связь систем замыканий с операторами замыкания

§3. Алгебраические системы замыканий

§4. Соответствия Галуа

§ 5. Задачи

Библиографический список

Введение

Важную роль в математике играет множество подалгебр данной алгебры относительно отношения включения . Оно образует полную решётку с некоторыми характерными свойствами. Понятие замыкания также играет важную роль в алгебре и топологии. В данной дипломной работе рассматриваются основные свойства систем замыканий на множествах, взаимосвязь систем замыканий с операторами замыкания и соответствиями Галуа. Соответствия Галуа представляют собой достаточно интересный класс объектов. Они возникли и получили своё название из теории Галуа, но спустя некоторое время стали применяться не только в самой теории, но и во многих других областях математики. В данной работе соответствия Галуа будем рассматривать в качестве одного из наиболее важных примеров систем замыканий.

Целью квалификационной работы является изучение абстрактных систем замыканий на множестве.

Задачи:

1. рассмотреть понятие системы замыкания, проиллюстрировать это понятие на примерах;

2. сформулировать и доказать теорему о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания;

3. рассмотреть понятие алгебраических систем замыканий, сформулировать и доказать теорему об описании структуры алгебраических систем замыканий;

4. рассмотреть понятие соответствия Галуа, примеры соответствий Галуа. Установить связь соответствий Галуа с системами замыканий.

Исходя из цели и задач, дипломная работа состоит из пяти параграфов. В качестве первого шага введём необходимые определения и докажем ряд простых предложений. Этому отводится параграф 1.

В параграфе 2 докажем основную теорему об операторе замыканий, которая даёт прямой выход на соответствия Галуа.

В параграфе 3 сформулируем и докажем одну из наиболее важных теорем о структуре алгебраических систем замыканий.

Параграф 4 будет полностью посвящен соответствиям Галуа: определение, основные примеры и их связь с системами замыканий.

Последний параграф посвящен решению задач.

Основной литературой при написании квалификационной работы стали монографии Кона П. ([1]) и Куроша А. Г. ([2], [3]). Остальные источники ([4], [5], [6], [7]) использовались как дополнительная справочная литература.

Для удобства в данной работе использованы следующие обозначения:

∆ – начало доказательства;

▲ – конец доказательства.

В работе принята сквозная двойная нумерация примеров, где первое число – номер параграфа, а второе – номер примера в параграфе.

Основными результатами работы являются:

1. доказательство теоремы о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания: Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания  на A по правилу (X) = ∩{Y D | YX}. Обратно, каждый оператор замыкания  на A определяет систему замыканий D = {XA | (X) = X}.

2. доказательство теоремы о структуре алгебраических систем замыканий: Система S(A) подалгебр универсальной алгебры A является алгебраической системой замыканий. Обратно, если дана алгебраическая система замыканий D на множестве A, то для подходящего множества алгебраических операций Ω можно определить такую структуру универсальной алгебры на A, что S(A) = D.

3. установление связи соответствий Галуа с системами замыканий на конкретных примерах.

4. решение задач.

§1. Основные понятия и примеры

Понятие упорядоченного множества является фундаментальным для современной теоретико-множественной математики, поэтому первым делом ведём именно это понятие и понятия с ним связанные.

Определение 1. Пусть L – непустое множество с бинарным отношением , которое является рефлексивным, транзитивным и антисимметричным. Тогда введенное отношение – отношение порядка. Множество L – упорядоченное множество.

Определение 2. Упорядоченное множество, в котором два элемента сравнимы, называется линейно-упорядоченным множеством или цепью.

Определение 3. Решеткой называется упорядоченное множество, в котором любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани.

В качестве второго шага введём те определения и предложения, которые непосредственно связаны с темой дипломной работы и которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Определение 4. Пусть A – произвольное множество и B (A) – его булеан, то есть множество всех его подмножеств. Будем рассматривать некоторые подмножества булеана B (A), или системы подмножеств множества A. Система D   подмножеств множества A называется системой замыканий, если само множество A принадлежит D   и система D   замкнута относительно пересечений, то есть

∩Y D   для любой непустой подсистемы YD.

Так как система замыканий замкнута относительно произвольных пересечений, то из предложения 1 следует, что система замыканий является полной решеткой (относительно упорядоченности по включению). Но это не обязательно подрешетка в B (A), так как операция объединения в D, вообще говоря, отлична от этой операции в B (A).

Одним из примеров системы замыканий является следующий:

Пример 1.1: Система всех подгрупп группы G является системой замыканий, так как G является подгруппой в G и пересечение любого непустого семейства подгрупп группы G само будет подгруппой в G.

Введем ещё одно важное понятие – понятие оператора замыкания на множестве.

Определение 5. Оператором замыкания на множестве A называется отображение  множества B (A) в себя, которое подчиняется следующим трём аксиомам:

J. 1. X(X);

J. 2. Если , то (X)(Y);

J. 3. (X) = (X)

для всех X, YB (A).

Для каждой системы замыканий D на множестве A можно определить оператор замыкания  равенством

(X) = ∩{YD | YX} для всех XA.

Отметим, что группа аксиом J. 1 – J. 3 является независимой. Покажем это.

Приведём пример отображения, при котором выполняются аксиомы J. 2, J. 3, а аксиома J. 1 не выполняется. Каждому подмножеству X множества A поставим в соответствие пустое множество. Очевидно, что при таком задании оператора не выполняется лишь первая аксиома.

Отображение , при котором выполняются только аксиомы J. 1, J. 2, определим так. Пусть A = {a, b, c}, опишем оператор  следующим образом: каждому элементу поставим в соответствие множество, состоящее из самого этого элемента и элемента, находящегося рядом с ним. Пустое и само множество A при этом отображении переходят в себя:

, AA;

{a}{a, b}, {b}A, {c}{b, c};

{a, b}A, {a, c}A, {b, c}A.

Очевидно, что первая и вторая аксиомы выполняются, а третья не выполняется, так как (a) = A≠{a, b} = (a).

Пример отображения, при котором не выполняется только аксиома J. 2 следующий. Пусть A = {a, b, c}. Отображение  зададим так: пустое, все двухэлементные подмножества и само множество A переходят в себя, а всем одноэлементным подмножествам поставим в соответствие множество A:

, AA;

{a}A, {b}A, {c}A;

{a, b}{a, b}, {a, c}{a, c}, {b, c}{b, c}.

Очевидно, что аксиома J. 2 не выполняется, так как {a}{a, b}, но ({a}) = A{a, b} = ({a, b}).

Следовательно, мы показали, что система аксиом J. 1 – J. 3 будет независима.

Одним из видов операторов замыкания является алгебраический оператор замыкания. Дадим определение.

Определение 6. Оператор замыкания  на множестве A называется алгебраическим, если для любых XA и aA

а(X) влечет a(F)

для некоторого конечного подмножества F множества X.

С определением алгебраического оператора замыкания тесно связано понятие алгебраической системы замыканий.

Определение 7. Система замыканий D на множестве A называется алгебраической, если соответствующий оператор замыкания  является алгебраическим, то есть для любого XA

a{ D D : X D} влечёт a{ D D : F D}

для некоторого конечного FX.

Приведём один из наиболее важных примеров оператора замыкания, который широко применяется в топологии. Этот оператор ставит в соответствие каждому подмножеству X топологического пространства A его замыкание.

Пример 1.2: Пусть – топологическое пространство. Введем на множестве A отображение , заданное следующим образом: X[X], где [X] – замыкание множества XA. Покажем, что – оператор замыкания на множестве A.

Для этого проверим выполнимость свойств J. 1 – J. 3.

1. Если XY, то [X][Y].

Возьмем x₀[X]. Тогда любая окрестность точки x₀ содержит точки множества Xв любой окрестности точки x₀ содержатся точки множества Yx₀[Y].

2. X[X].

Каждая точка множества является его точкой прикосновения. Значит, каждая точка множества X лежит и в [X].

3. [[X]] = [X]. Докажем методом двойного включения.

   1. [X][[X]]. Доказано во втором пункте.

   2. x₀[[X]]Возьмем U (x₀), для неё y₀U (x₀)[X]y – точка прикосновения множества XU (y₀) найдутся точки множества X. Возьмем U (y₀)U (x₀), z₀U (y₀)X. Отсюда z₀U (x₀)X. Тогда x₀ – точка прикосновения множества Xx₀[X]. Таким образом, [[X]][X].

Пример 1.3: Каждому множеству X точек плоскости A = R² поставим в соответствие его выпуклую оболочку . Ясно, что X оператор замыкания на множестве A.

Предложение 1. Если A – такое упорядоченное множество с наибольшим элементом, в котором каждое подмножество обладает точной нижней гранью, то A является полной решеткой.

Доказательство:

∆ Заметим, что если каждое подмножество точной нижней гранью обладает, следовательно, ей обладает и пустое множество, то есть в A существует наибольший элемент.

Требуется доказать, что A – полная решетка, то есть любое непустое подмножество имеет наибольший и наименьший элемент.

Рассмотрим XA, Y – множество всех верхних граней множества X в A и положим y = inf Y. Тогда любой элемент из X будет нижней гранью множества Y и, следовательно, xy для любого xX; если также xz для любого xX, то zY и, следовательно, yz. Поэтому y = sup X. ▲

Определение 8. Упорядоченное множество (I,) называется направленным, если для любых i, jI существует такой элемент kI, что ik, jk, то есть для любого двухэлементного множества из I существует верхняя граница.

Предложение 2. Пусть A – упорядоченное множество; тогда следующие три условия эквивалентны:

1. Каждое непустое направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань.

2. Каждая непустая цепь множества A имеет точную верхнюю грань.

Доказательство:

∆ Каждая вполне упорядоченная цепь является цепью, и каждая цепь направлена, следовательно, (i)(ii); чтобы закончить доказательство, покажем, что (ii)(i). Возьмем максимальную цепь, в ней существует точная верхняя грань. Тогда по лемме Цорна и направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань. ▲

Предложение 3 (лемма Цорна). Непустое упорядоченное множество, в котором каждая цепь обладает верхней гранью, имеет максимальный элемент, точнее для любого элемента a из A существует элемент ba, являющийся максимальным в A.

Лемма Цорна была предложена в 1935 году. Она часто заменяет рассуждения, основанные на таких эквивалентных ей принципах, как принцип максимальности Хаусдорфа, аксиома выбора, теорема Цермело о вполне упорядоченности.

Можно показать эквивалентность этих утверждений лемме Цорна, но мы не будем этого делать, так как это не является целью дипломной работы. Лемма Цорна принимается нами в качестве аксиомы.

§2. Связь систем замыканий с операторами замыкания

В параграфе 1 были даны определения систем замыканий и операторов замыкания. Между ними существует взаимосвязь. Сформулируем эту взаимосвязь в качестве теоремы и докажем её.

Теорема 1. Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания  на A по правилу

(X) = ∩{Y D | YX}.

Обратно, каждый оператор замыкания  на A определяет систему замыканий

D = {XA | (X) = X}.

Доказательство:

∆ 1) Пусть дана система замыканий D   и оператор , определенный по правилу (X) = ∩{Y D | YX}. Докажем, что  – оператор замыкания. Для этого проверим выполнимость условий J. 1 – J. 3. Этот оператор удовлетворяет условиям J. 1 – 2 по определению. По условию, D – система замыканий. Тогда

(X) = XXD, (1)

так как (X) D, то отсюда вытекает J. 3.

2) Обратно, пусть задан оператор замыкания  (удовлетворяющий J. 1 – 3) и пусть

D = {XA | (X) = X}. (2)

Докажем, что D – система замыканий. Если (X_i)_iI – произвольное семейство в D   и ∩X_i = X, то XX_i; следовательно, по J. 1. (X)(X_i) = X_i для всех i, и поэтому

(X)∩X_i = X.

Вместе с условием J. 2 это показывает, что (X) = X, то есть XD. Таким образом, с помощью  мы построили систему замыканий D.

3) Покажем, что соответствие D  взаимно однозначно.

Во-первых, пусть D – произвольная система замыканий,  – оператор, определенный равенством (X) = ∩{YD | YX} для всех XA, и D ' – система замыканий, определенная оператором  по формуле (2). Тогда D ' = D в силу (1). Возьмем затем произвольный оператор замыкания , и пусть D – система замыканий, определенная оператором  по формуле (2), а  ' – оператор, определенный системой D по формуле (X) = ∩{YD | YX}. Как только что было показано, D тогда также определяется оператором  ', и, следовательно,

(X) = X '(X) = X. (3)

В силу J. 3, (X) = (X); поэтому из (3) вытекает, что  '(X) = (X). Но X(X) и, применяя  ' получаем  '(X) '(X) = (X), а обратное включение следует из соображений симметрии. ▲

Системы замыканий и операторы замыкания могут быть определены на любой полной решётке L и соотношения между ними, установленные в теореме 1, сохраняются.

На самом деле теорема 1 является частным случаем соответствующей теоремы (при L = B (A)) для произвольной полной решётки L.

Элементы системы D называются замкнутыми множествами множества A, а (X) называется замыканием множества X в A ((X) на самом деле замкнуто в силу J. 3). Как было отмечено, D   является полной решеткой относительно . Точнее, если задано некоторое семейство (X_i)_iI в D, то множество ∩X_i будет наибольшим замкнутым множеством, содержащимся во всех множествах X_i, а ∩{YD | YX_i для всех iI} – наименьшим замкнутым множеством, содержащим все множества X_i.

§3. Алгебраические системы замыканий

Начнем с понятия алгебраической операции.

Пусть A – универсальная алгебра с множеством алгебраических операций Ω. Каждая операция ω из Ω имеет определённую арность n, nN{0}.

Для любого натурального n n-арная операция ω – это отображение из Aⁿ в A, то есть каждой упорядоченной n-ке {a₁; …; a_n}Aⁿ операция ω ставит в соответствие однозначно определённый элемент ω(a₁; …; a_n) из A.

В случае п = 1 это будет любое преобразование множества A (отображение A в себя).

Если n = 0, то a⁰ – это одноэлементное множество и 0-арная операция ω переводит элемент a⁰ в некоторый элемент ω(a⁰) = ω из A, то есть 0-арная операция ω фиксирует некоторый элемент в A: является некоторым выделенным элементом алгебры A.

Если дана универсальная алгебра A с множеством алгебраических операций Ω, то подмножество BA называется подалгеброй алгебры A, если оно замкнуто относительно всех операций из Ω. Иными словами, для любого ωΩ, n1, и любых а₁, а₂, …, а_пB должно быть

ω(а₁, а₂, …, а_п)B.

С другой стороны, элементы, отмечаемые в A всеми 0-арными операциями из Ω (если такие существуют), должны содержаться в подалгебре B.

Очевидно, что пересечение любой системы подалгебр универсальной алгебры A, если оно не пусто, будет подалгеброй этой алгебры.

Отсюда следует, что если X – непустое подмножество алгебры A, то в A существует наименьшая среди подалгебр, содержащих целиком множество X. То есть существует наименьшая подалгебра в A, содержащая X и она равна пересечению всех подалгебр алгебры A, содержащих X. Обозначим её через и назовём подалгеброй, порожденной множеством X.

Стоит отметить, что пересечение подалгебр может быть пустым, если множество алгебраических операций Ω алгебры не содержит 0-арных операций.

Заметим, что система S(А) всех подалгебр алгебры A является алгебраической системой замыканий, то есть соответствующий оператор замыкания X является алгебраическим.

Очевидно, что соответствие X является оператором замыкания. Проверим, является ли он алгебраическим.

Возьмём a, тогда a будет принадлежать и , где – конечное подмножество множества X, так как элемент a получается путём применения конечного числа конечноместных n-арных операций ωΩ.

Справедливо и обратное утверждение:

Если D – произвольная алгебраическая система замыканий на множестве A, то для подходящего набора алгебраических операций Ω и соответствующей структуры универсальной алгебры на A, имеем S(A) = D.

Для доказательства обозначим через (X) оператор замыкания для алгебраической системы замыканий D на множестве A. Зададим алгебраические операции на A следующим образом. Каждой n-ке a₁, …, a_nA, где nN, и произвольному элементу b({a₁, …, a_n}) поставим в соответствие свою n-арную операцию ω, определенную следующим правилом:

ω(x₁, …, x_n) = (4)

Это определяет структуру универсальной алгебры на A, где для каждого натурального числа n операции из Ω заданы формулой (4). Таким образом определено бесконечно много алгебраических операций на множестве A, если A бесконечно.

Пусть _Ω(X) =  – оператор замыкания, соответствующий системе S(A) подалгебр универсальной алгебры A. Проверим, что (X) = _Ω(X).

Пусть XA и предположим сначала, что X конечно, то есть X = {c₁, …, c_m}. Тогда (X)_Ω(X) по определению (4) алгебраических операций ω.

C другой стороны, так как (X) = (X), то для любой n-ки a₁, …, a_n(X) и для любой n-арной операции ωΩ ω(a₁, …, a_n)({a₁, …, a_n})(X) = (X). Поэтому (X) является подалгеброй алгебры и, значит, _Ω(X)(X).

Пусть теперь X – произвольное подмножество множества A, тогда, так как оба оператора замыкания (X) и _Ω(X) – алгебраические (первый по предположению, а второй в силу доказанного выше), имеем

(X) = (X ') = _Ω(X ') = _Ω(X),

где X ' пробегает конечные подмножества множества X.

Итак, доказан следующий результат:

Теорема 2. Система S(A) подалгебр универсальной алгебры A является алгебраической системой замыканий. Обратно, если дана алгебраическая система замыканий D на множестве A, то для подходящего множества алгебраических операций Ω можно определить такую структуру универсальной алгебры на A, что S(A) = D.

Полученный выше результат можно использовать при построении оператора замыкания_Ω(X), соответствующего системе S(A) подалгебр универсальной алгебры A.

Отметим, что примеры 1 и 3 дают алгебраические системы замыканий, а система замкнутых множеств топологического пространства (пример 2), как правило, не алгебраическая.

§4. Соответствия Галуа

Соответствия Галуа могут определятся разными взаимосвязями, имеющимися между различными понятиями. Нам будет наиболее интересен тот факт, что соответствия Галуа являются одним из наиболее важных примеров систем замыканий.

Для начала сформулируем понятие соответствия Галуа.

Пусть M и M ' упорядоченные множества, в которых отношение порядка обозначаются одинаково . И пусть указаны отображения
φ: MM ' и ψ: M 'M, удовлетворяющие (для любых a, bM, a ', b 'M ') следующим требованиям:

1. если ab, то aφbφ,

если a 'b ', то a 'ψb 'ψ,

2. aφψa, a 'ψφa '.

Тогда пара (φ, ψ) называется соответствием Галуа между упорядоченными множествами M и M '.

Данное определение наиболее общее и формальное.

Рассмотрим теперь более конкретное задание соответствия Галуа, переобозначив отображения φ и ψ одинаково – символом ^*. Но при этом будем иметь в виду, что эти отображения всё-таки разные.

Пусть A и B – некоторые множества и Ф – соответствие из A в B, то есть подмножество прямого произведения AB. Для любого подмножества X множества A определим подмножество X^* множества B равенством

X^* = {yB | (x, y) Ф для всех xX}

и аналогично для любого подмножества Y множества B определим подмножество Y^* множества A равенством

Y^* = {xA | (x, y) Ф для всех yY}.

Таким образом, имеем отображения

XX^*, YY^* (5)

множеств B (A), B (B) друг в друга, обладающие следующими свойствами:

если X₁X₂, то X₁^*X₂^*; (6)

если Y₁Y₂, то Y₁^*Y₂^*;

XX^**, YY^**; (7)

X^*** = X^*, Y^*** = Y^*. (8)

Условия (6) и (7) вытекают непосредственно из определений; если (6) применить к (7), получаем X^*X^***, в то время как (7), примененное к X^*, дает обратное неравенство. Таким образом, любые отображения (5), удовлетворяющие (6) и (7), удовлетворяют также (8).

Пара отображений (5) между булеанами B (A) и B (B) с отношением включения , или в более общем случае между любыми упорядоченными множествами, называется соответствием Галуа, если выполняются условия (6), (7) (и, следовательно, (8)).

Приведём наиболее интересные примеры соответствий Галуа.

Пример 4.1: Пусть R – коммутативное кольцо с единицей. Определим соответствие в R правилом xy. Это соответствие устанавливает, в частности, соответствие Галуа между простыми идеалами кольца R и некоторыми мультипликативно замкнутыми подмножествами кольца R.

Идеал P кольца R назовём простым, если для a, bR: a∙bPaP или bP.

Возьмем простой идеал P кольца R. Поставим ему в соответствие множество P^* = {yR: xy для всех xP} = R\P – замкнутое относительно умножения.

Возьмем мультипликативно замкнутое подмножество Y. Поставим ему в соответствие множество Y ^* = {xR: xy для всех y Y} = R\Y – простой идеал.

Покажем выполнимость свойств.

Если P₁P₂, то R\P₁R\P₂ − очевидно, так как R\P₁ является дополнением к P₁, а R\P₂ – дополнением к P₂. Аналогично для Y ₁Y ₂.

Возьмем подмножество P из множества простых идеалов R. Поставим ему в соответствие множество P^* = R\P, а P^* поставим в соответствие P^** = R\(R\P) = PPP^**.

Аналогично доказываются эти свойства для Y ₁Y ₂.

Таким образом, построенное соответствие есть соответствие Галуа.

Пример 4.2: В кольце A каждому его подмножеству X отвечает (левый) аннулятор, состоящий из тех элементов aA, для которых a∙x= 0 для каждого x из X:

Ann Х = {aA|xX a∙x = 0}.

Для подмножества X множества A определим подмножество X^* множества A равенством

X^* = {aA | a∙x = 0 для всех xX} = Ann Х

и аналогично для любого идеала I кольца A определим подмножество I^* множества A равенством

I^* = {xA | a∙x = 0 для всех aI} = Ann I.

Заметим, что в этом примере Ф = {(a, b)A² | a∙b = 0}.

Таким образом, построены отображения XX^* = Ann Х, II^* = Ann I. Проверим, является ли построенное соответствие соответствием Галуа.

1. Пусть X₁X₂. Тогда X₁Ann Х₁ = {aA | a∙x = 0 для всех xX₁} и X₂Ann Х₂ = {aA | a∙x = 0 для всех xX₂}. Пусть aAnn Х₂, aХ₂ = 0, X₁X₂aХ₁ = 0aAnn Х₁. Следовательно, AnnХ₁AnnХ₂ или X₁^*X₂^*. Для I₁I₂ аналогично получаем I ^*₁I ^*₂.

2. Поставим множеству X в соответствие множество X^* = Ann Х = I, а X^* поставим в соответствие I^* = Ann I = Ann(Ann Х). Если xХ, тогда a∙x = 0 для aAnn Х xAnn(Ann Х). Следовательно, XX^**.

Аналогично получаем II^**, если поставить множеству I в соответствие множество I^* = Ann I = X, а I ^* поставить в соответствие X^* = Ann X = Ann(Ann I).

Таким образом, построенное соответствие есть соответствие Галуа.

Пример 4.3: В группе G каждому подмножеству A соответствует централизатор C, который состоит из всех элементов c, коммутирующих с каждым элементом a из A:

C = {cG: для всех aA a · c = c · a}.

Пример 4.4: В евклидовом пространстве V каждому подмножеству A множества V отвечает множество, состоящее из всех векторов, ортогональным векторам из A:

A = {aA: для всех xV xa},

так что определена связь Галуа для подмножеств V. Здесь xa означает равенство 0 скалярного произведения (x, a).

Последние два примера обосновываются аналогично примеру 4.2.

Чтобы установить связь соответствий Галуа с системами замыканий, заметим, что при любом соответствии Галуа отображение XX^** будет оператором замыкания в A, а YY^** оператором замыкания в B (в силу (7) – (9)). При этом отображения XX^*, YY^* определяют взаимно однозначное соответствие между двумя этими системами замыканий.

Чтобы иметь более непосредственное описание алгебраических систем замыканий, нам необходимо еще одно определение.

Определение 8. Непустая система D подмножеств множества A называется индуктивной, если каждая цепь в D обладает точной верхней гранью в D.

В силу предложения 2 (примененного к B (A)) слово «цепь» здесь можно заменить словами «направленное множество».

Таким образом, мы получили следующую характеризацию алгебраических систем замыканий:

Теорема 3. Система замыканий является алгебраической тогда и только тогда, когда она индуктивна.

Доказательство:

∆ Пусть D − алгебраическая система замыканий на некотором множестве, K − цепь в D и K = sup K. Для доказательства включения KD нужно только проверить, что (H)K для каждого конечного подмножества H множества K. Пусть H={x₁, …, x_n}; тогда каждое x_i принадлежит некоторому члену цепи K, а так как K − цепь, то можно найти член LK, содержащий все x_i. Тогда H LK и LD; следовательно, (H)(L) = LK, то есть (H)K, что мы и хотели показать.

Обратно, пусть D – индуктивная система замыканий на A и  – соответствующий оператор замыкания. Нужно показать, что для любого XA

(X) = sup {(F) | FX, F конечно}.

Пусть K = {(F) | FX, F конечно} для фиксированного XA; тогда нужно показать, что sup K D. Отсюда будет следовать, что sup K = (X), поскольку sup K   является наименьшим замкнутым множеством, содержащим все элементы множества X. Теперь для любых Y, ZA имеем

(Y)(Z)(Y Z),

и если Y, Z – конечные подмножества множества X, то Y Z также конечно. Это показывает, что K направлено, и, следовательно, sup K D, что и утверждалось. ▲

Используя предложение 2, получаем

Следствие 1. Если D – алгебраическая система замыканий на A и K – направленная подсистема системы D, то sup K D.

Доказательство:

∆ Из леммы Цорна вытекает, что каждая непустая индуктивная система подмножеств множества A содержит максимальное подмножество.

Это приводит к следствию 2 из теоремы 2, в котором содержатся наиболее важные применения леммы Цорна к алгебре.

Следствие 2. Пусть D – алгебраическая система замыканий в A, и пусть A₀, A₁, B – такие подмножества множества A, что BD и BA₁ = A₀. Тогда D   содержит элемент C, который является максимальным в D относительно свойств CB, CA₁ = A₀.

Доказательство:

∆ Для доказательства этого утверждения возьмём систему D  ' всех таких множеств XD, что XB и XA₁ = A₀, и покажем, что D  ' обладает максимальным элементом. Во-первых, D  ' ≠ , так как BD  '. Пусть теперь (X_i) – некоторая цепь в D  ' и положим X = sup X_i. Тогда XD, так как система D   индуктивна. Далее XB и XA₁ = A₀; поэтому XD  '. Таким образом, система D  ' индуктивна, и по лемме Цорна D  ' обладает максимальным элементом. ▲

§ 5. Задачи

Задача 1. Установить, что при соответствии Галуа XX^*, YY^* выполняется тождество (X_i)^* = X_i^*, для произвольных семейств подмножеств (X_i)_iI.

Решение:

Без ограничения общности возьмём два множества X₁ и X₂ и покажем, что (X₁X₂)^* = X₁^*X₂^*.

Множеству X₁ поставим в соответствие множество X₁^*:

X₁^* = {y₁B|(x₁, y₁)Ф для всех x₁X₁}.

Аналогично для множества X₂:

X₂^* = {y₂B|(x₂, y₂)Ф для всех x₂X₂}.

Пусть X₃ = X₁X₂. Тогда (X₁X₂)^* или X₃^* будет иметь следующую структуру: X₃^* = {y₃B|(x₃, y₃)Ф для всех x₃X₃} или другими словами это такие y₃ из B, что пары (x₁, y₃) и (x₂, y₃) должны принадлежать соответствию Ф одновременно для всех x₁ и x₂ из X₁X₂. То есть множество элементов y₃ из B это множество, состоящее из элементов y₁X₁^* и y₂X₂^*, которые одновременно должны удовлетворять соотношениям (x₁, y₁)Ф, (x₁, y₂)Ф, (x₂, y₁)Ф, (x₂, y₂)Ф. То есть элементы y₃ принадлежат пересечению множеств X₁^* и X₂^*, что и требовалось показать.

Задача 2. Пусть XH(X) – произвольное отображение множества B (A) в себя. Показать, что (X) = H(X)X определяет оператор замыкания тогда и только тогда, когда X(Y) влечёт (X)(Y).

Решение:

1. докажем прямое утверждение: если (X) = H(X)X определяет оператор замыкания тогда X(Y) влечёт (X)(Y).

Пусть X(Y), то есть XH(Y)Y. Так как по условию (Y) = H(Y)Y – оператор замыкания, то для него выполняются аксиомы J. 1 – J. 3. Применим аксиому J. 1 к XH(Y)Y и аксиому J. 3 к ((Y)):

XH(Y)Y H(X)XH(H(Y)Y)(H(Y)Y)H(X)XH(Y)Y. То есть (X)(Y).

2. докажем обратное утверждение: если X(Y) влечёт (X)(Y) тогда (X) = H(X)X определяет оператор замыкания.

Для доказательства обратного утверждения, необходимо проверить выполнимость аксиом J. 1 – J. 3 оператора замыкания.

Для начала докажем вспомогательное утверждение о том, что YX^* тогда и только тогда, когда XY^*.

Доказательство:

∆ Докажем прямое утверждение.

Пусть YX^*. Тогда, применив к нему свойство (7), получим Y^*X^**. По свойству (7) имеем включение XX^**. Следовательно, получаем XX^**Y^* или XY^*.

Докажем обратное утверждение.

Пусть XY^*. Тогда X^*Y^**Y ▲

J. 1: пусть XY и Y(X), тогда по доказанному выше утверждению включение Y(X) равносильным образом можно заменить на X(Y). Получим, что XX(Y) или X(Y). Тогда по условию пункта b) задачи X(Y) влечёт (X)(Y). Следовательно, если XY, то (X)(Y).

J. 2: пусть XY и Y(X) по утверждению, значит, X(X).

J. 3: по J. 2 X(X). Применим к нему свойство (7), получим (X)(X). Применим это же свойство к X(Y)(X)(Y), получим (X)(Y)(X)(Y). Далее по утверждению Y(X)(Y)(X). Получили (Y)(X)(Y). При этом (Y)(X) (по утверждению). Следовательно, мы получаем обратное включение (X)(X). Тем самым получили, что (X) = (X).

Следовательно, (X) = H(X)X – оператор замыкания.

Задача 3. Показать, что множество всех предупорядоченностей ρ на множестве A является алгебраической системой замыканий. Верно ли это для множества всех упорядоченностей?

Решение:

Непустое множество назовём предупорядоченным, если введенное на нём бинарное отношение ρ рефлексивно и транзитивно. Такое отношение ρ называется отношением предпорядка на A.

Пусть XAA, или XB (AA). Обозначим через J(X) пересечение всех предпорядков на A, содержащих X:

J(X) = {ρ – предпорядок на A: Xρ}.

Так как при пересечении бинарных отношений на множестве свойства рефлексивности и транзитивности сохраняются, то J(X) – наименьший предпорядок на A, содержащий X. Ясно, что AA является предпорядком на A. Поэтому система всех предпорядков на A является системой замыканий на этом множестве.

Остаётся проверить, будет ли система предпорядков алгебраической. Для этого возьмём произвольную пару (a, b)J(X), где XAA. Предпорядок J(X) получается из множества пар X добавлением пар вида (c, c), где cA, и его расширением по транзитивности: если уже получены пары (d, e) и (e, f), то добавляем и пару (d, f). При этом пара (a, b) в результате последовательного применения расширений по рефлексивности и транзитивности принадлежит конечному множеству пар FX. Следовательно, (a, b)J(F).

Для множества всех упорядоченностей верно лишь в том случае, когда множество A содержит один элемент. Иначе, не выполняется свойство антисимметричности.

Задача4. Показать, что совокупность всех алгебраических систем замыканий на данном множестве A является системой замыканий на B (A). Всегда ли эта система замыканий будет алгебраической?

Решение:

Очевидно, что множество всех алгебраических систем замыкания на данном множестве A является системой замыкания на булеане B (A). Чтобы показать, является ли эта система алгебраической, воспользуемся теоремой 2.

Будем считать, что имеется семейство алгебр , iI. Каждой из них поставлена система подалгебр S(). Пересечению соответствующих систем замыканий соответствует алгебра , при Ω=. Для произвольного подмножества X в A рассмотрим подалгебру алгебры . И возьмём элемент a из . Элемент a выражается через конечное множество элементов из с помощью последовательного применения конечного числа операций из Ω. Следовательно, a принадлежит замыканию .

Библиографический список

1. Кон П. Универсальная алгебра – М.: Мир, 1968. – 352 с.

2. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре – М.: Наука, 1973. – 400 с.

3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры – СПб.: Лань, 2006. – 432 с.

4. Оре О. Теория графов – М.: Наука, 1968. – 336 с.

5. Общая алгебра. Т. 1 / под общ. ред. Л. А. Скорнякова – М.: Наука, 1990. – 592 с.

6. Постников М. М. Теория Галуа – М.: Издательство физико-математической литературы, 1963. – 220 с.

7. Риге Ж., Бинарные отношения, замыкания, соответствия Галуа // Кибернетический сборник / под ред. А. А. Ляпунова, О. Б. Лупанова. – вып. 7. – М.: Издательство иностранной литературы, 1963. – С. 129-185.