Рефетека.ру / Педагогика

Реферат: Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

ПЕДАГОГІЧНА ПРАКТИКА

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики

на тему

"Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Зміст


Вступ

1. Постановка задачі наближеного інтегрування

2. Чисельні методи інтегрування

2.1 Метод прямокутників

2.2 Метод трапецій

2.3 Метод Симпсона

2.4 Практичне порівняння точності методів наближеного обчислення інтегралів 3-ма методами

3. Графічне інтегрування

Список використаної літератури


Вступ


Актуальність теми контрольної роботи полягає в тому, що при розв’язанні низки математичних, фізичних або технічних задач застосовуються визначені інтеграли від функцій, первісні функції яких не виражаються через елементарні функції. Крім того, в окремих задачах доводиться мати справу з визначеними інтегралами, у яких самі підінтегральні функції не являються елементарними. Це приводить до необхідності розробки наближених методів обчислення визначених інтегралів.

Об’єктом роботи є визначені інтеграли, які не можуть бути представлені у вигляді комплексу елементарних функцій.

Предметом роботи є методи наближеного обчислення визначених інтегралів, первісна яких не може бути представлена у вигляді комплексу елементарних функцій.

Метою роботи є аналіз умов використання та оцінки похибок обчислень при застосуванні найбільш уживаних методів наближеного обчислення визначених інтегралів:

метод прямокутників;

метод трапецій;

метод Симпсона або метод парабол;

методів графічного інтегрування.

Інформаційною базою досліджень контрольної роботи є математичні монографії та учбові посібники з вищої математики по курсу „Методи обчислень" з взяттям за основу курсу учбового посібника Бойко Л.Т. „Основи чисельних методів: навч. посібник." - Дніпропетровськ: Вид-во ДНУ, 2009.

1. Постановка задачі наближеного інтегрування


Під чисельним інтегруванням розуміють наближене обчислення визначених інтегралів.

Якщо для функції Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", визначеної на відрізку Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", можно знайти первісну функціюРозробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", то визначений інтеграл розраховується за формулою функціонального інтегрування (1.1) [6]:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.1)


Якщо підінтегральна функція Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" має складний аналітичний вираз, або задана таблично, то звичайні методи інтегрування, які вивчаються в математичному аналізі, непридатні, оскільки неможливо побудувати первісну. Тому доводиться обчислювати інтеграли наближено. Формули наближеного обчислення інтегралів називаються квадратурними формулами. Ці формули міняють оператор інтегрування на оператор сумування. Виникаюча при такій заміні похибка називається похибкою квадратурної формули.

Задача чисельного інтегрування функцій полягає в обчисленні визначеного інтеграла за значеннями інтегруємої функції в ряді точок відрізка інтегрування. Функцію Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" заміняємо інтерполюємою функцією Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", а потім приблизно припускаємо [4]:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.2)


Функція Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" повинна бути такою, щоб інтеграл Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" обчислювався безпосередньо. Якщо Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" задана аналітично, то ставимо питання про оцінку похибки формули (1.2).

В загальному вигляді задача чисельного інтегрування може бути викладена наступним чином [1]. Нехай інтеграл, який потрібно визначити, представлено у вигляді


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.3)


Підінтегральна функція в формулі (1.3) є такою, що не дозволяє в функціональному вигляді отримати первісну функцію.

Цей інтеграл обчислюємо за наближеною квадратурною формулою:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.4)


де: функція Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" - визначена і неперервна на інтервалі Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів";

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" - вагова функція, яка може мати якісь особливості на відрізку

інтегрування, наприклад, перетворюватись у нескінченість в

деяких точках цього відрізка.

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" - квадратурні коефіцієнти;

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" - квадратурні вузли (Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів");

n - довільне число інтервалів всередині відрізку [a,b].

Сума, що стоїть у правій частині наближеної рівності (1.4), називається квадратурною сумою.

Параметри Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів",Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" вибирають так, щоб або похибка квадратурної формули була по можливості мінімальною, або обчислення за формулою (1.4) були достатньо простими. Різні квадратурні формули відрізняються одна від одної способами вибору параметрів Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів",Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів".

Більшість квадратурних формул базується на заміні підінтегральної функції Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" алгебраїчними багаточленами різного степеня.

Означення: Кажуть, що квадратурна формула (1.4) має алгебраїчний степінь точності Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", якщо ця наближена формула стає точною на множині всіх алгебраїчних багаточленів не вище Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"-ого степеня.

Це означає, що якщо до наближеної формули (1.4) замість функції Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" підставити будь-який алгебраїчний багаточлен Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"-ого степеня, то наближена рівність (1.4) стає точною, тобто


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.5)


Але при цьому наближена рівність (1.4) не для всіх багаточленів степеня Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" буде точною.

Алгебраїчний степінь точності квадратурної формули є мірою точності цієї формули. Оскільки будь-яку неперервну функцію Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" можна як завгодно точно наблизити алгебраїчними багаточленами (за рахунок збільшення степеня багаточлена), то слід очікувати, що квадратурні формули, які мають високий алгебраїчний ступінь точності, будуть мати високу точність для будь-яких неперервних функцій Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів".

Параметри Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів",Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" можна вибрати так. щоб зробити алгебраїчний ступінь точності квадратурної формули якомога вищим. Такі формули називаються квадратурними формулами найвищого степеня точності. Вперше вони були розглянуті Гауссом і тому їх часто називають формулами гауссового типу.

Якщо вузли Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" вибрати з міркувань зручності (рівномірно розташованими Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів",), а коефіцієнти Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" - з міркувань точності, то у випадку Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" отримаємо квадратурні формули Ньютона - Котеса [2].

Якщо вузли Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" вибрати з міркувань точності, а коефіцієнти Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" - з міркувань зручності (всі коефіцієнти однакові), то добудемо квадратурні формули, що носять ім’я Чебишова [2].

Обгрунтування інтерполяційних квадратурних формул будується на наступних висновках [1].

Нехай на відрізку інтегрування якось зафіксовані різні між собою вузли Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", і будемо вибирати лише коефіцієнти Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів") так, щоб формула (1.4) була якомога точнішою. Припускаємо, Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", тобто функія Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" і всі її похідні до Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" порядку включно є неперервними на відрізку Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Візьмемо квадратурні вузли як вузли інтерполяції (оскільки вони всі з відрізку інтегрування та всі різні між собою), та побудуємо інтерполяційний багаточлен Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" для функції Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Будемо мати таку рівність


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.5)

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.6)

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.7)

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.8)


Розглянемо тепер інтеграл від функції Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.9)


підставимо (1.6), (1.7), (1,8) до формули (1.9)


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.10)


Якщо позначити


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.11)

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.12)


то інтеграл (1.10) можна переписати у вигляді


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.13)


Відкинувши у (1.13) похибку Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", добудемо наближену формулу (1.4).

Означення. Квадратурна формула (1.4) будемо називати інтерполяційною, якщо квадратурні коефіцієнти Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів",Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" визначаються формулами (1.11). Нагадаємо, що квадратурні вузли при цьому всі різні та всі розташовані на відрізку інтегрування, в усьому іншому вони довільні.

Формула (1.12) визначає похибку інтерполяційної квадратурної формули. З похибки видно, що алгебраїчний степінь точності інтерполяційної квадратурної формули дорівнює Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Збільшити степінь точності можна лише за рахунок вибору вузлів Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів".

Квадратурні формули при сталій ваговій функції та з рівновіддаленими вузлами називають формулами Ньютона-Котеса у пам’ять того, що вперше вони в достатньому загальному вигляді були розглянуті Ньютоном, коефіцієнти вперше були добуті Котесом Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" [4].

Кінечний відрізок інтегрування Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" ділимо на Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" рівних частин довжини Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", точки ділення беремо за вузли інтерполяційної формули. Спростимо вигляд квадратурних коефіцієнтів Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів",Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", які визначаються формулою (1.11), підставивши туди


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів",Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів".


Крім того перейдемо до нової змінної інтегрування Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", де Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Для виконання всіх цих дій спочатку розглянемо добуток у формулі (1.11)


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.14)


Підставимо добуток (1.14) до формули (1.11) та перейдемо до нової змінної, будемо мати

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.15)


Де


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.16)


Квадратурна формула Ньютона-Котеса приймає вигляд


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (1.17)


Алгебраїчна степінь точності формули (1.17) дорівнює Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Коефіцієнти (1.16) називаються коефіцієнтами Котеса. Вони мають властивості:

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Дійсно, підставимо до формули (1.17) Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", тоді Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", при цьому наближена формула стає точною. Виконуємо інтегрування властивість доведена.

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", тобто рівновіддалені від кінців коефіцієнти формули Ньютона -Котеса є однаковими. Дійсно, маємо з формули (1.16)


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Зробимо заміну змінної інтегрування Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"тоді


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


В добутку перейдемо до нового індексу Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" і властивість доведена


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


3. Коефіцієнти Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" не залежать від довжини відрізка інтегрування та підінтегральної функціїРозробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", тому вони можуть бути обчислені раз і назавжди

В залежності від вибраного параметра n отримана загальна форма квадратурних рівнянь розподіляється на випадки [6]:

1) Коли Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", то застосовуєма форма квадратурних рівнянь називається - „квадратурна формула трапеції”;

2) Коли Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", то застосовуєма форма квадратурних рівнянь називається - „квадратурна формула Симпсона”;

3) Коли Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", формула (1.19) не застосовується, оскільки значення не визначені, тому застосовується особливий випадок „квадратурної формули прямокутників (ліві, праві, центральні) ".

2. Чисельні методи інтегрування


2.1 Метод прямокутників


Нехай є відрізок Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" і нам треба обчислити визначений інтеграл


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 1)


за попередньо представленою загальною квадратурною формулою Н’ютона - Котеса (1.4)


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 2)


де Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" - деякі фіксовані вузли

Найпростіший варіант інтерполяційної квадратурної формули (2.1 2) виникає, коли Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" [1]. У цьому випадку не можна скористатися формулою (1.20), бо коефіцієнт (1.19) при Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" невизначений. Тому, як і при побудові загальної інтерполяційної формули, замінимо підінтегральну функцію інтерполяційним багаточленом нульового степеня, що побудований за єдиним вузлом Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів".


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 3)


при заміні підінтегральної функції (2.1 2) інтерполяційним поліномом нульового степеня, що побудований по єдиному вузлуРозробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 3)


Знайдемо коефіціент Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 4)


Після інтегрування маємо квадратурну „формулу прямокутника”:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів",Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 5)


ПриРозробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" її називають формулою лівих прямокутників,

ПриРозробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" її називають формулою правих прямокутників,

ПриРозробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" - центральних (або середніх) прямокутників.

Геометричне тлумачення цієї формули показано на рис 2.1


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Рис.2.1 Геометричне зображення „формули прямокутників"


Оцінимо похибку Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" квадратурної формули (2.1 5) за умови, що Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". За означенням похибки квадратурної формули (2.1 5) маємо


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 6)


Функцію Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" запишемо у вигляді розвинення в ряд Тейлора в околі точки Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" [7]:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 7)


Проінтегруємо обидві частини рівності (2.1 7) по відрізку Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 8)


Тепер підставимо інтеграл (2.1 8) в (2.1 6)


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 9)


Тепер розглянемо конкретні варіанти вибору точки Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


При Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (праві прямокутники): Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 10)

При Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (ліві прямокутники): Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 11)

ПриРозробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" - (центральні прямокутники): Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 12)

З формул (2.1 10), (2.1 11), (2.1 12) видно, що алгебраїчний степінь точності формули центральних прямокутників на 1 вище ніж лівих або правих.

Якщо довжина відрізку Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" велика, то формули прямокутників мають невисоку точність. У цих випадках краще користуватися сумарними формулами прямокутників. Для цього розіб‘ємо відрізок на Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"рівних частин з кроком Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Інтеграл шукаємо як суму інтегралів по всіх цих відрізках, тобто


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 13)


На кожному відрізку Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"інтеграл обчислюємо, користуючись однією з квадратурних формул прямокутників. Розглянемо окремі випадки.

1. „Ліві прямокутники"


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". (2.1 14)


В останній формулі (2.1 14) враховано не тільки наближені значення інтегралів за формулою (2.1 5), але й залишки за формулою (2.1 9). Тепер в правій частині цієї рівності запишемо окремо суму наближених значень інтегралів та суму залишків


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 15)


Приймемо до уваги неперервності функції Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" на Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Нехай


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


тоді існує така точка Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", що буде вірною рівність Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Тепер з формули (2.1 15) маємо остаточно узагальнену формулу „лівих прямокутників”:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 16)


та похибку цієї формули


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 17)


Геометричне зображення „формули лівих прямокутників" наведене на рисунку (2.2)


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Рис.2.2 Геометричне зображення „формули лівих прямокутників"


2. Аналогічно для квадратурної формули „правих прямокутників" отримуємо узагальнену формулу


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 18)


та похибку


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 19)


Геометричне зображення „формули правих прямокутників" наведене на рисунку (2.3).


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Рис.2.3 Геометричне зображення „формули правих прямокутників”


3. Узагальнена квадратурна формула „центральних прямокутників" запишеться у вигляді:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 20)


її залишок має вигляд


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.1 21)


Геометричне зображення „формули центральних прямокутників" наведене на рисунку (2.4).


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Рис.2.4 Геометричне зображення „формули центральних прямокутників"


2.2 Метод трапецій


Квадратурна „формула трапеції” - це виключний випадок формули Н’ютона - Котеса (1.20), коли Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" [1]. Квадратурна формула трапеції має вигляд:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.2.1)


Два коефіцієнти Котеса знаходимо, враховуючи їхні властивості


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Тоді формула трапеції має вигляд


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.2.2)


Геометричне тлумачення наведене на рис.2.5 Геометрично цю формулу отримаємо, якщо криву Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" замінити хордою, яка проходить через точки Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" та Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", тоді інтеграл знаходиться як площа трапеції Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів".


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Рис.2.5 Геометричне тлумачення „формули трапецій”


Формула (2.2.2) наближена. Визначимо похибку для квадратурної формули трапеції:

Похибка квадратурної формули (2.2.2) випливає з (1.12), якщо взяти Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" та Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.2.3)


До обчислення останнього інтеграла застосуємо теорему про середнє [5].

Теорема. Нехай Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" - інтегровані на проміжку Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" функції, причому Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"на всьому проміжку не змінює знак. Тоді


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" де Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Якщо Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" неперервна на Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", то ця формула може бути записана у вигляді


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" де Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Застосуємо цю теорему до інтеграла (2.2.3). За припущенням функція Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" є неперервною на Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", тому знайдеться така точка Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", що буде виконуватися рівність.


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Отже,


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.2.4)


Якщо відрізок Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" достатньо великий, то похибка (2.2.4) квадратурної формули трапеції, як правило, велика. Для збільшення точності розділимо відрізок інтегрування на Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" частин точками Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", тоді


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Якщо розбиття рівномірне, тобто Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", то


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Запишемо окремо узагальнену формулу трапеції і окремо її похибку:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.2.5)

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.2.6)


Величина Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"-середнє арифметичне значень другої похідної в Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"точках відрізку Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Очевидно, що Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", де Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"-найменше значення, а Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"-найбільше значення другої похідної Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Оскільки Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" неперервна на Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", то в якості своїх значень на Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" вона приймає всі проміжні числа між Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" і Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Отже, існує така точка Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", що Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", тобто


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.2.7)


На рис (2.6) показано геометричне зображення узагальненої формули трапеції (2.2.5).


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Рис.2.6 Геометричне зображення узагальненої формули трапецій


Точне значення інтеграла, тобто ліва частина наближеної рівності (2.2.5) це площа криволінійної трапеції, що обмежена зверху графіком функції Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Наближене значення інтеграла (права частина рівності (2.2.5) - це площа фігури, що зверху обмежена ламаною Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (рис.2.6).

З формули (2.2.7) видно, що чим більшим є число Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", тим меншою буде похибка квадратурної формули (2.2.5). Крім того, з (2.2.7) видно, що алгебраїчний степінь точності і квадратурної формули трапеції дорівнює одиниці (так же, як і формули центральних прямокутників).


2.3 Метод Симпсона


Якщо в квадратурній формулі Ньютона-Котеса (2.12) взяти Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" то здобудемо таку формулу [1]


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.3.1)


За формулою (2.11) знаходимо Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Врахувавши властивості коефіцієнтів Котеса, знаходимо Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів".

Після підстановок знайдених коефіцієнтів Котеса в формулу (2.3.1), отримуємо квадратурну формулу, яка називається „формулою Симпсона” або „формулою парабол”:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.3.2)


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Рис.2.7 Геометричне тлумачення „формули парабол"


Назва квадратурної формули (2.3.2) як „формула парабол" випливає з геометричного тлумачення інтеграла, якщо криву Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" замінити параболою, що проходить через три точки Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (на рис.2.7 парабола показана пунктиром) і наближене значення інтеграла обчислювати як площу криволінійної трапеції, яка зверху обмежена графіком цієї параболи.

Знайдемо залишковий член квадратурної формули Симпсона. Для цього з наближеної рівності (2.3.2) запишемо формулу для похибки


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.3.3)


Розкладемо функцію Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" у ряд Тейлора в околі точки Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", припускаючи функцію Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" такою, що розкладання можливе [7]:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Знайдемо точне значення інтеграла:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.3.4)

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Тепер знаходимо


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.3.5)


Підставимо (2.3.3) і (2.3.5) у праву частину рівності (2.3.4):


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Отже похибка квадратурної формули Симпсона може бути записана у вигляді


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.3.6)


З формули (2.3.6) видно, що алгебраїчний степінь точності квадратурної формули Симпсона дорівнює трьом, тобто ця формула має підвищений степінь точності.

Формулу Симпсона також можна застосовувати не до всього відрізка інтегрування, а до окремих його частин. Для цього поділимо відрізок Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" на Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" частин рівної довжини Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" кожний, як показано на рисунку (2.8)


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Рис.2.8 Геометричне тлумачення формули Симпсона


Візьмемо Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"-й подвоєний відрізок, функцію Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" проінтегруємо на цьому відрізку, використовуючи квадратурну формулу (2.3.1) з похибкою (2.3.5)


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів".


Просумувавши інтеграли за всіма подвоєними відрізками, добудемо узагальнену формулу Сімпсона


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Якщо прийняти умову, що відстань між будь-якими двома сусідніми вузлами однакові і дорівнює Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", то останню формулу можна переписати в більш простому вигляді


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Тепер запишемо окремо узагальнену формулу Сімпсона та її похибку


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.3.7)

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (2.3.8)


Геометричне зображення формули (2.3.7) показане на рисунку (2.8).

Наближене значення інтеграла (права частина наближеної рівності (2.3.7) - це площа криволінійної трапеції, яка зверху обмежена кусками парабол Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (крива показана пунктиром).

На кожному подвоєному відрізку графік функції Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" наближається своєю параболою.

З формули (2.3.7) видно, що з ростом Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" похибка дуже швидко зменшується.


2.4 Практичне порівняння точності методів наближеного обчислення інтегралів 3-ма методами


Застосовуючи ці три метода наведемо приклад:

Обчислимо наближене значення інтеграла


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів",


використовуючи квадратурні формули прямокутників, трапеції та Сімпсона. Для цього підготуємо таблицю значень підінтегральної функції Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" у точках відрізка Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Значення підінтегральної функції у вузлах
i xi f (xi)
0 0 0,00000000
1 0,1 0,10049875
2 0,2 0, 20396078
3 0,3 0,31320918
4 0,4 0,43081316
5 0,5 0,55901695
6 0,6 0,69971418
7 0,7 0,85445885
8 0,8 1,0244998
9 0,9 1,2108262
10 1 1,4142135

Квадратурні формули прямокутників (лівих, правих, центральних) дать такі результати:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


У цьому прикладі інтеграл такий, що його точне значення можна обчислити, воно дорівнює (з точністю до сьомого розряду після коми)


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Зауважимо, що хоча формула центральних прямокутників у цьому прикладі використана з вдвічі більшим кроком, ніж формули лівих та правих прямокутників, але результат вийшов ближчим до точного, ніж у двох інших методів.

За квадратурними формулами трапецій та Симпсона маємо такі результати:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Отже після обчислень за різними квадратурними формулами маємо такі наближені значення інтеграла:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"; Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"; Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


З використаних формул більш точною є формула Симпсона, оскільки її алгебраїчний степінь точності на дві одиниці більший ніж у формули трапеції. Тому, користуючись апостеріорним методом оцінки похибки, в результаті, добутому за формулою Симпсона можна вважати три розряди після коми правильними, а четвертий розряд округленим тобто


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"


Але, якщо порівняти з точним значенням інтеграла, то видно, що насправді результат, добутий за формулою Симпсона, має п’ять правильних розрядів після коми, шостий розряд округлений.

3. Графічне інтегрування


Задача графічного інтегрування полягає в наступному: за графіком неперервної функції Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" потрібно побудувати графік її первісної функції.


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (3.1)


Іншими словами, потрібно побудувати таку криву Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", ордината в кожній точці якої чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції з основою Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", обмеженою даною кривою Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів".

Для наближеної побудови графіка первісної функції Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" розбиваємо площу відповідної криволінійної трапеції, обмеженої кривій Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", на вузькі вертикальні смужки за допомогою ординат, проведених у точках Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (рис.3.1) [2].


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Рис.3.1 Графічне інтегрування функції f (x) з отриманням первісної функції F (x) [2]


Кожну з таких смужок заміняємо, використовуючи теорему про середнє, рівновеликим (по можливості) прямокутником з тією ж основою і висотою, рівною Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів",Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"де деяка проміжна точка Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"-го по порядку відрізка Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", тобто думаємо:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (3.2)


Де


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (3.3)


Значення первісної функції


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (3.4)


у точках Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" можна підрахувати методом нагромадження:


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (3.5)


Нехай Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"- відповідні точки кривої Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Проектуючи їх на вісь Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" одержимо точкиРозробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (рис.3.1).

Виберемо тепер полюс Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" із відстанню Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" й проведемо промені Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Розраховуєму первісну функцію - лініюРозробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" приблизно можна замінити ламаною Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" з вершинами Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Послідовні ланки цієї ламаної будуть паралельні відповідним променям, а саме: Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів". Справді, кутовий коефіцієнт ланки Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"на підставі формули (1) дорівнює


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (3.6)


У силу ж побудови кутовий коефіцієнт променів Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" якщо


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (3.7)


Отже


Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (3.8)


Таким чином, технічно побудова графіка функції Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" може бути здійснена так:

ізРозробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" точки проводимо прямуРозробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" паралельну променю Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", до перетину в точці Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"з вертикаллюРозробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів";

із точки Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"проводимо прямуРозробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" паралельну променю Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів", до перетину в точціРозробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" з вертикаллю Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" й так далі.

Слід зазначити, що при застосуванні даного методу графічного інтегрування точки Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"не обов'язково брати рівновіддаленими. Для збільшення точності побудови рекомендуються характерні точки графіка інтегрувальної функції (нулі, точки екстремуму, точки перегину) обов'язково включати до складу точок Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів".

Висновок: Графічне інтегрування володіє, взагалі говорячи, малою точністю. Тому цей прийом корисно використовувати тоді, коли потрібно мати загальне подання про інтеграл функції або коли підінтегральна функція задана графічно і її аналітичне вираження нам невідомо.

Список використаної літератури


1. Бойко Л.Т. Основи чисельних методів: навч. посібник. - Д.: Вид-во ДНУ, 2009. - 244 с.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Изд-во „Наука” - „Физматлит", 1979. - 664 с.

3. Канторович А. В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. - М.: Изд. Физико-математической литературы, 1962. - 708 с.

4. Крылов В.И. Вычислительные методы: учебное пособие / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. - М.: „Наука”, 1976. - Т.1. - 304 с.

5. Крылов В.И. Вычислительные методы: учебное пособие / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. - М.: „Наука”, 1977. - Т.2. - 399 с.

6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Схемы, таблицы. - М.: " Наука", 1977. - 456 с.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: „Наука”, 1970. - Т.2. - 800 с.

Рефетека ру refoteka@gmail.com