МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ім. А.С. МАКАРЕНКА

Кафедра математики

Дипломна робота

ОСОБЛИВОСТІ ВИВЧЕННЯ МАТЕМАТИКИ

В ПРОФІЛЬНИХ КЛАСАХ У СУЧАСНИХ УМОВАХ

Студентки 451 групи:

Шишенко Інни Володимирівни

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук

доцент кафедри математики

Петренко Світлана Віталіївна

Суми-2004

ВСТУП

Актуальність теми. За останні роки у соціальному житті суспільства відбулися значні зміни, що вимагають перегляду системи освіти. Її переорієнтовують у бік демократизації та гуманізації освіти, яка спрямована на виховання, перш за все, особистості, функціонально грамотної і методологічно компетентної, яка володіє інформаційними технологіями, здатна адаптуватися до навколишнього середовища, до аналізу і самоаналізу, до свідомого вибору і до відповідальності за нього. У зв’язку з цим з’явилися різні типи навчальних закладів, внесені зміни до навчальних програм та навчальних планів. Метою зміни системи освіти є, перш за все, її орієнтація на учнів, на задоволення їх індивідуальних освітніх потреб. Немає сумнівів у необхідності впровадження профільності навчання у старшій школі, але це ставить перед освітніми діячами цілу низку проблем, вирішення яких потребує нових теоретичних і практичних досліджень. Профільне навчання породжує проблеми викладання всіх предметів, зокрема, математики відповідно до профілю.

Актуальним для української школи є досвід російських колег з цього питання. З проблеми профільного навчання математики мається певний фонд наукових джерел [23]. Вітчизняні освітяни цій проблемі приділяють велику увагу, але повного розв’язання її ще немає. У ході інформаційного дослідження не вдалося виявити відповідні розробки методичних систем забезпечення профільного навчання математики в Україні.

Мета роботи. Метою роботи є показати, якими особливостями має бути обумовлений ефективний процес вивчення математики в умовах профільної школи.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є особливості вивчення математики у профільних класах.

Задачі дослідження.

Вивчити науково-методичну літературу з предмету дослідження.

Дослідити основні тенденції профілізації на сучасному етапі функціонування загальноосвітньої школи і представити характеристику цього процесу.

Охарактеризувати особливості вивчення математики у профільних класах і втілити їх у розробки уроків.

Згідно проведеного дослідження і виявлених проблем розробити відповідний проект, направлений на усунення недоліків у роботі з профільними групами учнів.

Методи дослідження. Теоретичні – системний аналіз психолого-педагогічної і навчально-методичної літератури з проблеми дослідження, моделювання педагогічних процесів.

Емпіричні – спостереження, бесіди з вчителями і викладачами, вивчення і узагальнення досвіду загальноосвітніх закладів щодо реалізації профільного навчання.

Наукова новизна і теоретичне значення роботи полягає в обґрунтуванні необхідності впровадження профільного навчання у старшій школі та виявленні особливостей вивчення математики у профільних класах.

Практична цінність. Робота може бути використана вчителями математики та студентами для проведення занять з математики у профільних класах, для дослідження особливостей вивчення математики у профільних класах, а також для реалізації проекту зі створення і апробації методичного комплексу для вчителів математики у профільних групах учнів.

Робота складається зі вступу, двох розділів, висновків, додатків та списку використаних джерел.

Перший розділ роботи, який називається „Профільне навчання в загальноосвітніх навчальних закладах”, починається зі сторінок історії, згадуються світові тенденції диференціації навчання, обґрунтовуються загальні засади профільної освіти.

Другий розділ „Особливості вивчення математики в профільних класах у сучасних умовах” містить факти про профільну диференціацію навчання математики. Цікавими і корисними для практичного застосування є розробки уроків, а також проект, створений за проблемою дослідження.

РОЗДІЛ 1

ПРОФІЛЬНЕ НАВЧАННЯ В ЗАГАЛЬНООСВІТНІХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДАХ

1.1. З ІСТОРІЇ ПРОФІЛІЗАЦІЇ ВІТЧИЗНЯНОЇ СТАРШОЇ ШКОЛИ

Система загальної середньої освіти України сьогодні на порозі нових суттєвих змін – впровадження профільності навчання у старшій школі. Профілізація навчання старшокласників є надзвичайно вагомим кроком у реформуванні освіти в цілому. Перехід до профільного навчання розпочнеться у 2007 році, але 2004 н.р. розпочався підготовчий період переходу до профільної старшої школи.

На території нашої держави відбувається вже десята спроба профілізації шкільної освіти. Першу спробу можна віднести до 1864 року, коли за ініціативою тодішнього міністра освіти Російської імперії О.В.Головніна було створено три типи середніх загальноосвітніх навчальних закладів: класичні з двома древніми мовами; класичні з латинською мовою; реальні училища. Вихованців двох перших готували до продовження навчання у вищих закладах освіти, а третіх – до вступу у спеціалізовані навчальні заклади.

Наступники О.В.Головніна кілька разів намагалися внести зміни до цієї моделі середньої школи Російської імперії, складовою якої була більша частина сучасної України, аж до того часу, поки у 1902 року після реформ, що проводилися Г.Е.Зенгером, утвердилися три основні типи середніх загальноосвітніх навчальних закладів – гімназії, реальні та комерційні училища. Ще одна спроба профілізації школи була здійснена в 1914 р. міністром народної освіти П.М.Ігнатьєвим, який запропонував створити єдину середню школу із 7-річним терміном навчання. Після 4 класу школи учні визначали один із трьох напрямків продовження навчання: старогуманітарний (посилене вивчення древніх мов); новогуманітарний (вивчення словесності, історії, мов); реальний (вивчення математики, природничих наук).

У 1917 – 1918 роках українські освітянські діячі також висловлювали думки щодо створення профільної школи. Ще на ІІ Всеукраїнському учительському з’їзді у грудні 1917 році було прийнято резолюцію про те, що загальноосвітньою школа може бути лише впродовж семи років навчання, а потім „курс останніх трьох років потрібно приладнати до вищих шкіл”. Ця ідея знайшла відображення в Проекті єдиної школи, що був затверджений уже еміграційним урядом України в Тарнові 17 червня 1921 року.

Після третього встановлення радянської влади на початку 20-х років ХХ ст. тодішній уряд України відмовився від російського шляху створення єдиної школи, який передбачав три напрями навчання для старших класів: гуманітарний, природничо-математичний і технічний. Натомість створювалася семирічна школа соціального виховання, випускники якої мали обов’язково закінчити дво- або трирічну професійну школу.

Після доби НЕПу семирічні школи в містах стали набирати так званого індустріального ухилу, перетворюючись на „фабрично-заводські семирічки”, а в селах – на агрономізовані семирічні школи (сільськогосподарський ухил). У 1929 році така профілізація була оголошена „ударною справою” і в 1931 році успішно „здійснена”. Підготовка до майбутньої трудової діяльності здійснювалась професійними школами різних типів, де навчались учні після закінчення семирічної трудової школи. Найпоширенішими були індустріально-технічні, сільськогосподарські, соціально-економічні, медичні, мистецькі, ремісничо-промислові, будівельні, транспортні школи [36; 7].

У другій половині 30-х років система освіти уніфікується, і профшколи реорганізують у середні спеціальні навчальні заклади. Відкриваються профільні школи – фабрично-заводського учнівства (ФЗУ) та школи сільської молоді (ШСМ) для підлітків. Пізніше, намагаючись максимально уніфікувати школу, більшовицька партія прийняла рішення про запровадження єдиних для всієї країни навчальних планів та програм. Про „профілі” в старшій школі не говорили аж до середини 50-х років, коли АПН РСФСР запропонували в старших класах загальноосвітніх шкіл три напрями навчання: фізико-математичний і технічний; біолого-агрономічний; соціально-економічний і гуманітарний.

У 1960 – 1980-х роках існували спеціалізовані загальноосвітні школи, класи та факультативи с поглибленим вивченням окремих предметів. Факультативні заняття організовувалися „за вибором учнів для поглиблення їхніх знань з основ наук та розвитку інтересів і здібностей”. Для факультативних занять розроблялися програми двох типів: „додаткові матеріали до систематичних курсів, які мають вивчатися паралельно із заняттями за основним навчальним планом” і „спеціальні курси, що розширюють і доповнюють систематичні курси основ наук, предмети естетичного виховання, трудові й політехнічні практикуми”. Ця діяльність із партійною наполегливістю була розгорнута в школах УРСР. Лише в Київській області в 1968/1969 навчальному році працювало близько 2 тисяч факультативних груп. Окрім цього, в тому ж навчальному році в Україні діяла 51 школа з поглибленим вивченням окремих предметів.

У той же період особлива увага приділялась діяльності навчально-виробничих комбінатів (НВК), які стали центрами трудового і професійного навчання. У 1985 році був розроблений і затверджений Тимчасовий перелік професій, за якими проводиться підготовка учнів у міжшкільних НВК. З 1987 року у школах для учнів 7-8 класів було введено навчальний предмет „Основи виробництва. Вибір професії”. Метою цього курсу була допомога учням у виборі профілю професійної підготовки. Наприкінці 80-х – початку 90-х років в Україні з’являються нові типи освітніх закладів (гімназії, ліцеї, коледжі), які зосереджують зусилля учнів на поглибленому вивченні окремих предметів, котрі потрібні їм для подальшого навчання у вищих навчальних закладах.

Освітою через профільне навчання у загальноосвітніх навчальних закладах у 2001/2002 навчальному році було охоплено 401286 учнів (6,3 відсотка від загальної кількості учнів), у 2003 році – 430569 учнів (відповідно – 6,9 відсотка). Найвищій показник вибору учнями профілю навчання в 2002/2003 навчальному році простежується на користь суспільно-гуманітарного, інформатики та обчислювальної техніки, філологічного. Поступово створюються сприятливі умови для поглибленого вивчення предметів у сільських школах [31; 12].

1.2. ЗАРУБІЖНИЙ ДОСВІД ОРГАНІЗАЦІЇ ПРОФІЛЬНОГО

НАВЧАННЯ У СТАРШІЙ ШКОЛІ

Розвиток світового і, зокрема, європейського освітнього простору об’єктивно потребує від української школи відповідної реакції на процеси реформування загальної середньої школи, що відбуваються у провідних країнах світу. Загальною тенденцією розвитку старшої профільної школи є її орієнтація на широку диференціацію, варіативність, багатопрофільність, інтеграцію загальної і допрофесійної освіти.

Диференціація – одна з ключових проблем організації сучасної школи. Вона є об’єктом гострої полеміки серед педагогів у багатьох країнах світу. Різні погляди на ідею диференційованого навчання відображають дві протилежні тенденції у розвитку сучасної освіти. Одна з них – інтеграція, яка зумовлена взаємозв’язком різних наукових дисциплін, що потребує від кваліфікованого працівника широкої загальної культури й обізнаності у багатьох суміжних галузях.

Водночас існує й інша тенденція. Важливою умовою досягнення успіху у будь-якій діяльності вважається спеціалізація працівника. Послідовники цієї тенденції справедливо вважають, що спеціалізація не тільки сприяє розвитку науки, культури, а й відповідає різноманітності задатків і здібностей людини, її індивідуальним нахилам до того чи іншого виду діяльності.

Більшість педагогів світу є прихильниками саме цієї тенденції, про що свідчить той факт, що диференціація навчання є одним із основних організаційних принципів середньої загальноосвітньої школи зарубіжжя впродовж багатьох десятиліть. У Франції вона існує півтора століття, нагромаджено величезний досвід впровадження її у шкільну практику [31; 19].

Початковий етап диференціації починається в старших класах неповної середньої школи, де вона має попередній, орієнтовний характер. На старшому ступені середньої школи у більшості країн світу здійснюється профільна диференціація навчання. Учні навчаються у спеціалізованих секціях, відділеннях і серіях, які можна вважати аналогами профілів. Вся їх багатоманітність зводиться до двох напрямів – академічного (загальноосвітнього) та практичного (технологічного, допрофесійного).

Кількість обов’язкових предметів на старшому ступені середньої школи набагато менша, ніж в основній. Профільна диференціація навчання здійснюється за рахунок поглибленого вивчення навчальних дисциплін певного профілю. Учні академічних потоків керуються вимогами вищих навчальних закладів, навчальний план яких складається з традиційних загальноосвітніх дисциплін, що не виключає вибір нових навчальних курсів. Учні, які не орієнтуються на вступ до вищих навчальних закладів, обирають переважно навчальні курси практичного циклу, що в багатьох випадках не обмежує можливості продовження навчання [18].

Організація профільного навчання призводить до певного перевантаження навчального плану школи. Так, у гімназіях Швеції існує 22 відділення (профілі). Спеціалізація навчання здійснюється як за рахунок відмінностей у рівні підготовки з традиційних шкільних дисциплін, так і шляхом введення в навчальний план спеціальних профілюючих предметів, кількість яких загалом сягає близько 80.

Незважаючи на велику кількість навчальних предметів і курсів, кількість основних напрямів профілізації незначна. За наявності стаціонарних відділень та секцій заняття будуються у досить суворій відповідності до навчальних планів і програм профілю навчання і є обов’язковими для всіх учнів. Факультативи й предмети за вибором відіграють допоміжну роль, і їх питома вага у загальному балансі навчального часу відносно незначна.

Прикладом такої системи є трирічний французький загальноосвітній і технологічний ліцей. У десятому класі діє загальний, обов’язковий для всіх учнів навчальний план, який складається з традиційних загальноосвітніх дисциплін. Крім того, кожному учню пропонується 15 курсів для поглибленого вивчення, серед яких він повинен обрати два.

Після закінчення десятого класу диференціація поглиблюється і набуває жорстких організаційних форм. Учні навчаються за двома напрямами: загальним і технологічним. Школярі можуть обрати з десяти серій диплом бакалавра про середню освіту, який дає право вступу на відповідні факультети університетів та інших вищих навчальних закладів. У загальноосвітньому напрямі виділяються три серії: літературна, наукова і соціальні та економічні науки. Технологічний напрям передбачає сім серій: медико-соціальні науки, науки та технології індустрії, експериментальні науки та технології, науки та технології сфери обслуговування, готельного господарства, музики і танцю, прикладного мистецтва. Стаціонарні відділення і секції з особливими навчальними планами і програмами є в старших класах середніх шкіл Німеччини, Італії, Іспанії, Нідерландів, Данії, Аргентини та інших країн.

У деяких країнах профільна диференціація здійснюється за іншим принципом. Учням пропонується широкий спектр елективних предметів, і фактично саме вони відіграють роль у здійсненні спеціалізованого навчання. Така система характерна для старшої школи США, Англії, Шотландії. В американській школі навчання здійснюється за такими трьома основними напрямами профілізації: академічний, загальний та виробничий. У зміст навчання входять як традиційні обов’язкові предмети, так і предмети за вибором, яких у школах США налічується кілька сотень. Останніми роками спостерігається тенденція до зменшення навчального часу на їх вивчення.

Вцілому, у старшій зарубіжній школі спостерігається стійка тенденція до скорочення кількості профілів і навчальних курсів за рахунок збільшення в навчальному плані обов’язкових предметів і курсів.

Концепцією профільного навчання у Росії визначено номенклатуру основних напрямів профілізації: природничо-математичний, соціально-економічний, гуманітарний, технологічний, універсальний. При цьому приблизне співвідношення обсягів базових загальноосвітніх, профільних загальноосвітніх предметів і елективних курсів у російській школі визначається пропорцією 50:30:20.

Осмислення продуктивних тенденцій вітчизняного і зарубіжного шляхів профілізації старшої школи свідчить про необхідність широкого врахування як суспільного контексту функціонування школи, так і індивідуальних потреб і здібностей учнів [31].

1.3. МЕТА, ЗАВДАННЯ І ПРИНЦИПИ ОРГАНІЗАЦІЇ

ПРОФІЛЬНОГО НАВЧАННЯ

Проблеми становлення і розвитку української школи як основи національної системи освіти хвилюють сьогодні не лише педагогічну науку, педагогів-практиків, а й широку громадськість України. У нашій країні існує широка мережа навчальних закладів усіх рівнів. У них сьогодні відбуваються складні процеси, йде перебудова методологічних, навчально-методичних і організаційних засад, що складалися впродовж багатьох попередніх років, засвоюються кращі зразки зарубіжного досвіду.

Нині гостро відчувається соціальна потреба у створенні моделі сучасної школи. Видатний педагог Софія Русова влучно висловилась: „Колись мертва, формальна, лицемірна школа мусить впасти, а на її руїнах має утворитися, народитися нова, живуча і життєва, правдива і весела школа праці, школа соціального виховання, збудована на пошані і розумінні громадських обов’язків кожною дитиною, кожним учнем нової школи” [37]. Школа минулого зорієнтована на уніфікацію навчального процесу, „усереднену” особистість як результат педагогічної дії. „Усереднена” школа не давала дітям усього спектру освітніх послуг і програм, не враховувала їхніх здібностей та інтересів.

Нова школа – це школа культури життєвого самовизначення. Нова школа навчає дитину, як скласти свою життєву програму, як пізнавати себе, як визначити своє життєве кредо, мету життя, самоаналізу, як планувати, як організовувати діяльність для досягнення визначених цілей. У новій школі мають бути створені максимально сприятливі умови для прояву та розвитку здібностей і таланту дитини, її повноцінного життя на кожному з вікових етапів, для її самовизначення. Нова, ненасильницька система виховання має ґрунтуватися на самодіяльності, ініціативі, вільному виборі напрямів.

Школа ХХІ століття – це школа, в якій повинні реалізовуватись нові ідеї щодо організації освіти. У реформуванні середньої освіти в Україні в даний момент найактуальнішою проблемою є впровадження профільного навчання. Нова школа має функціонувати як профільна. Це створюватиме сприятливі умови для врахування індивідуальних особливостей, інтересів і потреб учнів, для формування у школярів орієнтації на той чи інший вид майбутньої професійної діяльності. Профільна школа найповніше реалізує принцип особистісно орієнтованого навчання, що значно розширює можливості учня у створенні власної освітньої програми [37].

Профільне навчання – вид диференційованого навчання, який передбачає врахування освітніх потреб, нахилів та здібностей учнів і створення умов для навчання старшокласників відповідно до їхнього професійного самовизначення, що забезпечується за рахунок змін у цілях, змісті та структурі організації навчання [31].

Профільне навчання повинне забезпечувати загальноосвітню підготовку учнів, глибоку їх допрофесійну готовність із формуванням стійкої орієнтації на продовження навчання. Професійну ж підготовку отримує невелика кількість випускників шкіл, які навчаються за окремими спеціальностями у міжшкільному навчально - виробничому комбінаті, професійному ліцеї чи окремих школах.

Зміст профільної освіти і методи навчання обумовлені цілями, а цілі – якостями особистості випускника, його моделлю, яка в свою чергу детермінується змінами соціально-економічних умов життя суспільства. Отже, зміст профільної освіти прямо пов’язаний з формуванням стійкої системи соціально значущих якостей особистості [7].

Мета профільного навчання – забезпечення можливостей для рівного доступу учнівської молоді до здобуття загальноосвітньої профільної та початкової допрофесійної підготовки, неперервної освіти впродовж усього життя, виховання особистості, здатної до самореалізації, професійного зростання й мобільності в умовах реформування сучасного суспільства. Профільне навчання спрямоване на набуття старшокласниками навичок самостійної науково-практичної, дослідницько-пошукової діяльності, розвиток їхніх інтелектуальних, психічних, творчих, моральних, фізичних, соціальних якостей, прагнення до саморозвитку та самоосвіти [31].

Досить влучно звучать слова Жозефа де Местра1, що стосуються глибинних основ і самої суті одного з найважливіших напрямів сучасної реформи, а саме переходу до моделі профільної школи (профільного навчання у старших класах). Граф Жозеф де Местр писав міністру просвіти Росії О.К.Розумовському з приводу багатопредметної програми Царськосільського ліцею: „Зверніть увагу, п. граф, на мудрість наших предків. Оскільки всі повинні вміти добре мислити, добре говорити і добре писати, вони обмежили загальну освіту цими трьома пунктами. Потім кожний приймав своє рішення і віддавався тій окремій науці, котра була йому потрібна. Ніколи вони не думали, що треба було б знати хімію, щоб стати єпископом, чи математику, щоб бути адвокатом. Початкова освіта не виходила за рамки, котрі я зобразив. Так були виховані Копернік, Кеплер, Галілей, Декарт, Ньютон, Лейбніц, обидва Бернуллі, Фенелон, Боссюе та багато інших” [26]. Мотивування навряд чи втратило у своїй актуальності: „ Немає більш надійного методу привити назавжди відразу до науки нещасної молоді, у якої голова буде завжди завалена і, так би мовити, засмічена цією колосальною купою неперетравлених знань, чи, що ще гірше, наповнити її всіма пороками, які завжди тягнуть за собою верхоглядність, не врівноважуючи їх ані найменшими перевагами” [26].

Основними завданнями профільного навчання є:

створення умов для врахування й розвитку навчально-пізнавальних і професійних інтересів, нахилів, здібностей і потреб учнів старшої школи в процесі їхньої загальноосвітньої підготовки;

виховання в учнів любові до праці, забезпечення умов для їхнього життєвого і професійного самовизначення, формування готовності до свідомого вибору й оволодіння майбутньою професією;

формування соціальної, комунікативної, інформаційної, технічної, технологічної компетенції учнів на допрофільному рівні, спрямування підлітків щодо майбутньої професійної діяльності;

забезпечення наступно-перспективних зв’язків між загальною середньою і професійною освітою відповідно до обраного профілю [31].

У класах з профільним навчанням учні мають право і можливість обирати різні профілі навчання з урахуванням їх індивідуальних інтересів, нахилів і здібностей. Це дозволяє їм зосереджувати преважну увагу на поглибленому вивченні теоретичних основ обраного профілю у блоці відповідних дисциплін.

Крім того, профілізація освіти передбачає посилення підготовки старшокласників в області прикладних знань за обраним профілем, формування у них первинних елементів професіонально-важливих якостей.

Така форма освіти старшокласників дозволяє їм отримати за обраним профілем більш глибокі, різносторонні теоретичні і прикладні знання, уміння і міцні практичні навички дослідницького характеру, підготувати себе до успішного продовження освіти у середньому (вищому) професіональному навчальному закладі відповідного напряму чи до праці у сфері матеріального виробництва.

Цьому сприяє також і те, що профільна диференціація освіти учнів на старшому етапі являє собою логічне продовження рівневої диференціації освіти учнів, здійснюваної на середньому ступені, у V-ІХ класах, у формі професійної орієнтації та інших видів допрофільної підготовки [11].

З вищесказаного випливає, що профільна освіта за своїми цілями і змістом займає проміжне положення між загальною середньою та професійною освітою.

Профільне навчання ґрунтується на таких принципах:

фуркації (розподіл учнів за рівнем освітньої підготовки, інтересами, потребами, здібностями і нахилами);

варіативності й альтернативності (освітніх програм, технологій навчання і навчально-методичного забезпечення);

наступності та неперервності (між допрофільною підготовкою і профільним навчанням, професійною підготовкою);

гнучкості (змісту і форм організації профільного навчання, у тому числі дистанційного; забезпечення можливості зміни профілю);

діагностико-прогностичної реалізованості (виявлення здібностей учнів для їх обґрунтованої орієнтації на профіль навчання) [31; 12].

Здійснення профільного навчання потребує цілеспрямованого формування контингенту учнів, розробки відповідного навчально-методичного забезпечення за кожним напрямом навчання, використання специфічних форм і методів роботи з учнями, що мають підвищену мотивацію до навчання, вимагає відповідної перепідготовки і підвищення кваліфікації вчителя, модернізації матеріально-технічної бази.

1.4. СТРУКТУРА ПРОФІЛЬНОГО НАВЧАННЯ

Профіль навчання – це спосіб організації диференційованого навчання, який передбачає поглиблене і професійно зорієнтоване вивчення циклу споріднених предметів.

Профіль навчання визначається з урахуванням наступних чинників:

освітніх потреб замовників освіти;

кадрових, матеріально-технічних, інформаційних ресурсів школи ;

соціокультурної і виробничої інфраструктури району, регіону;

перспектив здобуття подальшої освіти і життєвих планів учнівської молоді.

Профільне навчання у 10-12 класах здійснюється за такими основними напрямами: суспільно-гуманітарний, природничо-математичний, технологічний, художньо-естетичний, спортивний.

Їх набір відповідає соціально-диференційованим видам діяльності, що зумовлені суспільним розподілом праці, і містить знання про природу, людину, суспільство, культуру, науку та виробництво. За основними напрямами профілізації визначаються різноманітні навчальні профілі. Їх орієнтовний перелік наведено у додатку А [31].

Профільність визначається як добором предметів, так і їх змістом.

Засвоєння змісту освіти в загальноосвітніх закладах з профільним навчанням має забезпечувати, по-перше, загальноосвітню підготовку учнів, а по-друге – спеціалізовану поглиблену підготовку до майбутньої професійної діяльності.

Профіль навчання охоплює таку сукупність предметів: базові загальноосвітні, профільні та курси за вибором.

Базові загальноосвітні предмети становлять інваріантну складову змісту середньої освіти і є обов’язковими для всіх профілів. Ці предмети реалізують цілі й завдання середньої загальної освіти. Зміст навчання і вимоги до підготовки старшокласників визначаються державним загальноосвітнім стандартом. Зміст базових навчальних предметів може інтегруватися, скорочуватися на користь профільних предметів, що регулюється типовим навчальним планом.

Профільні загальноосвітні предмети – це цикл предметів, які реалізують цілі, завдання і зміст кожного конкретного профілю. Вони обов’язкові для учнів, які обрали даний профіль навчання. Профільні предмети вивчаються поглиблено. Особливостями вивчення є:

більш глибоке і повне опанування понять, законів, теорій, передбачених стандартом освіти;

дотримання системного викладу навчального матеріалу, його логічного впорядкування;

широке використання знань із споріднених предметів;

застосування активних методів навчання, організація дослідницької, проектної діяльності учнів.

Поглиблене вивчення саме циклу предметів запобігає вузькій спеціалізації, яка здебільшого не відповідає реальним потребам, інтересам старшокласників, оскільки нерідко їх цікавить не один предмет, а група предметів, не одна професія, а кілька близьких професій. Профільні предмети забезпечують також прикладну спрямованість навчання за рахунок інтеграції знань і методів пізнання та застосування їх у різних сферах діяльності, у тому числі і професійній, яка визначається специфікою профілю навчання.

Зміст профільних предметів реалізується як варіативна складова змісту загальної середньої освіти, а частково – як інваріативна складова.

У профільних загальноосвітніх закладах передбачається опанування змісту базових предметів на різних рівнях за такими програмами:

програма загальнокультурної підготовки – обов’язковий мінімум змісту навчального предмета, який не передбачає подальшого її вивчення (наприклад, математика на філологічному профілі; хімія та біологія у профілі інформатика або їх інтегрований варіант у цих профілях);

програма загальноосвітньої підготовки – обсяг змісту достатній для подальшого вивчення предмета у вищому навчальному закладі – застосовується, коли навчальний предмет не є профільним, але базовим або близьким до профільного (наприклад, загальноосвітні курси біології, хімії у фізико-технічному профілі або загальноосвітній курс фізики у хіміко-біологічному профілі);

програма профільної підготовки – обсяг змісту навчального предмета поглиблений, передбачає орієнтацію на майбутню професію (наприклад, курси фізики і математики у фізико-математичному профілі або курси біології та хімії у хіміко-біологічному профілі).

Їх орієнтовний перелік наведено у додатку А [31].

Профіль навчання може мати кілька модифікацій, залежно від базових предметів, обраних учнем як профільні. Їх має бути не більш як два-три з однієї або споріднених освітніх галузей (наприклад, фізика, інформатика і математика, хімія і технології, біологія і екологія, географія і економіка). Так, у профілях, де профільними обрано природничі предмети біологія і хімія, решта природознавчих предметів (фізика, географія) вивчається за програмою загальноосвітнього рівня. Зміст навчальних предметів природничо-математичної галузі в соціально-гуманітарному, технологічному і художньо-естетичному напрямах може бути інтегрований за програмою-мінімумом в єдиний курс природознавства.

Курси за вибором – це навчальні курси, які входять до складу профілю навчання. Основні їх функції полягають у поглибленні і розширенні змісту профільних предметів або забезпеченні профільної прикладної і початкової професійної спеціалізації навчання. Курси за вибором створюються за рахунок варіативного (шкільного та регіонального) компонента змісту освіти. Усі курси варіативного компонента можна поділити на три групи:

поглиблення знань з профілюючих предметів базового компонента;

розвиток інтересів та здібностей учнів з урахуванням спеціалізації профільних класів;

загальний розвиток учнів (інформатика, політологія, бібліографія, світова культура, історія релігій).

Орієнтовне співвідношення обсягу базових загальноосвітніх, профільних предметів і курсів за вибором визначається пропорцією 60:30:10. Загальне навантаження учнів визначено Законом України „Про загальну середню освіту” [31; 44].

Загальноосвітні школи створюють ті чи інші профілі навчання за рахунок комбінацій базових, профільних предметів і курсів за вибором. Цим самим забезпечується гнучка система профільного навчання, яка дає змогу обрати старшокласнику індивідуальну освітню програму.

1.5. ФОРМИ ОРГАНІЗАЦІЇ ПРОФІЛЬНОГО НАВЧАННЯ

Форми організації профільного навчання регламентують діяльність суб’єктів навчально-виховного процесу в системі профільних загальноосвітніх закладів і забезпечують умови для підготовки учнівської молоді до свідомого життєвого самовизначення, професійного вибору та професійної адаптації. За характером взаємодії суб’єктів профільного навчання виділяють такі форми його організації.

Внутрішньошкільні: профільні класи в загальноосвітніх навчальних закладах; профільні групи в багатопрофільних загальноосвітніх навчальних закладах; профільне навчання за індивідуальними навчальними планами і програмами загальноосвітніх навчальних закладів; динамічні профільні групи, в тому числі різновікові.

Зовнішні: міжшкільні профільні групи району, шкільного округу; профільна школа інтернатного типу; опорна старша школа з пришкільним інтернатом; навчально-виховний комплекс (НВК); міжшкільний навчально-виробничий комбінат (МНВК); загальноосвітні навчальні заклади на базі вищих навчальних закладів [31].

Профільне навчання організується через навчальні заняття (уроки, лекції, семінари тощо), факультативи, дистанційні курси, екстернат.

Профільне навчання може здійснюватися у загальноосвітніх навчальних закладах різного типу: однопрофільних і багатопрофільних школах; профільних школах інтернатного типу; ліцеях; гімназіях; колегіумах; навчально-виховних комплексах; міжшкільних навчально-виробничих комбінатах; опорних старших школах із пришкільним інтернатом, у тому числі в поєднанні з початковою професійною підготовкою; загальноосвітніх навчальних закладах на базі вищих навчальних закладів; профільних загальноосвітніх навчальних закладах із ресурсним центром для використання іншими закладами освіти мікрорайону, регіону, шкільного округу.

Загальноосвітній навчальний заклад може мати один або кілька профілів. В окремих випадках загальноосвітній навчальний заклад (клас) може бути не орієнтований на конкретний профіль навчання. Тоді задоволення освітніх запитів учнів здійснюється за рахунок введення курсів за вибором, які дають змогу поглибити або професійно спрямувати зміст споріднених базових предметів.

Також будуть існувати класи універсального профілю. Після закінчення такого класу випускник повинен індивідуально за рахунок самоосвіти корегувати свою підготовку відповідно до вимог ВНЗ, який він собі обрав, або навчатись дистанційно.

Профільні групи у багатопрофільних загальноосвітніх навчальних закладах передбачають профільну спеціалізацію груп учнів у класах певного напряму профілізації. Наприклад, у класі суспільно-гуманітарного напряму можуть бути організовані групи для навчання за філологічним та історико-правовим профілями. Профільне навчання за індивідуальними навчальними планами і програмами у загальноосвітніх навчальних закладах здійснюється для задоволення індивідуальних запитів обдарованих учнів.

Динамічні профільні групи створюються за бажанням учнів та їхніх батьків у профільних школах, що мають належне матеріально-технічне, професійно-педагогічне забезпечення. Вони можуть функціонувати у паралельних класах старшої школи (за наявності не менш як дванадцяти учнів у групі); у мало комплектних школах можуть організовуватись різновікові динамічні профільні групи. Протягом навчального року учні мають право переходити з однієї профільної групи в іншу. Це забезпечить умови для самостійного вибору учнями профільних навчальних курсів, випробування власних сил, реалізації їхніх освітніх, професійних інтересів [31].

У курсах за вибором (факультативи, практикуми, виробнича практика) учні, поглиблюючи теоретичну профільну підготовку, опановують більш широкі знання практичного і прикладного характеру за профілюючими предметами, підвищують рівень сформованості універсальних загальнонавчальних умінь, закріплюють навики володіння ключовими громадянськими компетенціями.

До навчальних планів профільного навчання недопустимо включати (за рахунок скорочення часу на вивчення профілюючих дисциплін) випадкові елективні міні-курси, що часто містять поверхневу інформацію, далеку від обраного профілю. Це розмиває зміст освіти, понижує якість профільної підготовки учнів [11].

Міжшкільні профільні групи організуються в міжшкільному навчально-виробничому комбінаті (МНВК), навчально-виховному комплексі (НВК), опорній старшій школі з пришкільним інтернатом, профільній школі інтернатного типу за рахунок кооперації ресурсів і коштів закладів освіти, приватних осіб тощо. Старшокласники мають можливість більш змістовно й організовано вивчати спецкурси, які забезпечать професійну підготовку та їх дійову професійну орієнтацію.

Профільна школа інтернатного типу здійснює загальну освіту і має на меті цільову професійну підготовку молоді з числа випускників основної школи (за умови наявності кадрових, фінансових, інформаційних ресурсів, сучасної навчально-матеріальної бази). Опорна старша школа з пришкільним інтернатом створюється переважно в сільських районах, де школи не мають паралельних класів для реалізації профільного навчання, для початкової професійної підготовки за наявності відповідного ресурсного забезпечення в районі і потреб замовників освіти.

Міжшкільний навчально-виробничий комбінат (МНВК) – це навчальний заклад, який здійснює трудову, профільну, початкову професійну, підприємницьку підготовку учнівської молоді від 14 років і забезпечує задоволення освітніх запитів з профільного і професійного навчання на підвищеному рівні та адаптацію молоді в умовах ринкової економіки поряд з отриманням загальноосвітньої підготовки у закладах освіти.

Навчально-виховний комплекс (НВК) – це заклад, в якому організація профільного навчання передбачає об’єднання освітніх, фінансових, інформаційних ресурсів основної та старшої ланки школи, міжшкільного навчально-виробничого комбінату, закладу початкової професійної освіти, позашкільних освітніх закладів. У НВК можуть функціонувати профільні класи і групи, де вивчаються профільно зорієнтовані курси початкової професійної підготовки. У сільській місцевості до організаційної структури НВК можуть входити дитячі дошкільні заклади, школи І-ІІІ ступенів, професійно-технічні училища, міжшкільні виробничі комбінати.

Загальноосвітні навчальні заклади на базі вищих навчальних закладів функціонують переважно на ІІІ ступені навчання і забезпечують загальноосвітню підготовку та профільну підготовку, яка відповідає професійній спеціалізації факультетів цих закладів і реалізується в основному його науково-педагогічними працівниками [31; 28].

Отже, можна виділити такі шляхи організації профільного навчання.

1. Оптимізація мережі закладів освіти – це, зокрема, створення гімназій, ліцеїв, колегіумів, спеціалізованих шкіл, шкіл з поглибленим вивченням окремих предметів, ліцеїзація професійно-технічних навчальних закладів. Здійснення профілізації через зміну мережі закладів освіти найбільш оптимальне для міст. У сільській місцевості доцільно створити опорні середні спеціалізовані навчально-виховні комплекси із пришкільними інтернатами для учнів старших класів. Важливо в цих цілях використовувати шкільні автобуси. У НВК поряд із загальноосвітніми класами відкривати класи з поглибленим вивченням предметів (суспільно-гуманітарні, філологічні, хіміко-біологічні, фізико-математичні, технологічні, художньо-естетичні, спортивного спрямування). Профільні класи можуть створюватися за пропозицією ради загальноосвітнього навчального закладу на підставі рішення педагогічної ради, за погодженням із місцевими органами державної виконавчої влади. Умовами для зарахування учнів до профільних класів є: бажання учнів, рекомендації психолога та конкурсної (педагогічної) комісії, яка створюється в загальноосвітньому навчальному закладі. Головою такої комісії може бути директор або його заступник. Комплектування профільних класів доцільно завершувати до 25 серпня.

2. Без зміни мережі закладів освіти – це використання бази професійно-технічних училищ, позашкільних навчальних закладів, міжшкільних навчально-виробничих комбінатів. Конституційне право громадянина України здобути повну освіту має бути забезпечене кожному. Будь-який старшокласник повинен мати можливість обирати ті предмети, вивчення яких він вважає потрібним для свого майбутнього. Інтелектуальне та соціальне зростання учнів відбуватиметься інтенсивніше, якщо винести його за межі власне шкільного навчального процесу, розширити освітній простір учнів. Це вимагає змін у структурі навчального дня і тижня навчального закладу, бо міжшкільні групи можна організовувати або в позаурочний час, або виділити в усіх школах, що створюють міжшкільні профільні групи, єдиний день для проведення занять з профільного навчання. Оскільки навчальна практика частково або повністю може проводитись під час навчального року, то при шестиденному режимі занять можна використовувати час, відведений для проведення практики. Навчання учня у спортивній, художній чи музичній школі теж вважається профільним [7].

Контроль за роботою профільних класів поєднує в собі і моніторинг якості освіти, і випереджальну організаційно-методичну допомогу, і аналіз результативності роботи.

Управління таким навчанням повинно мати на меті розвиток особистості, створення комфортних умов навчання, перегляд змісту освіти, досягнення високих кінцевих результатів. Для реалізації цих цілей доцільно в управлінській діяльності дотримуватись наступного алгоритму:

вивчення умов, необхідних для впровадження профільності навчання;

оцінювання потенційних можливостей педагогічного колективу;

формування змісту курсів варіативного компонента, які визначають профільність;

прогнозування кінцевого результату профільного навчання;

моніторинг стану викладання, результативності курсів варіативного компонента та його впливу на формування і розвиток творчої особистості.

Під час проектування профільної освіти слід враховувати:

наскільки пропонована профільна освіта затребувана суспільством та учнями певної статевовікової групи;

наскільки зміст профільної освіти може бути засвоєний учнями 10-11 класів з урахуванням рівня їхньої підготовленості, бюджету часу, психологічних та інтелектуальних ресурсів, рівня оптимальних навантажень;

наскільки завдання профільної освіти можуть бути реалізовані в умовах середньостатистичної школи, тобто врахування матеріальної бази, педагогічних кадрів, фінансових витрат тощо;

наскільки пропонована профільна освіта, з одного боку, є розвивальною й розширює світогляд, з іншого боку, наскільки вона сприяє розширенню вибору в професійному самовизначенні зростаючої особистості [6].

При введенні будь-якого профілю в школі слід усвідомлювати, що він передбачає певні технології навчання, спеціальну методику, що вимагає відповідної підготовки педагога. Мусить бути створена також належна матеріальна база і програмно-методичне забезпечення.

Існує інший підхід до організації профільного навчання, який ґрунтується на врахуванні дванадцятирічного терміну навчання. У концепції 12-річної школи сказано, що старша школа є профільною. Випускники школи мають бути готовими включитися у повноцінне суспільне життя – чи у сферу професійної діяльності, чи продовжити навчання у вищому навчальному закладі [32; 16].

Передбачається, що після закінчення середньої школи випускники можуть обирати один із чотирьох шляхів: трудову діяльність, навчання для отримання професії у спеціалізованій школі або на курсах навчання в 11-12 класах, у „післясередній” школі (доуніверситарії, коледжі) для підготовки до вступу до університету, власне вступ до університету.

Чим відрізняється 11-12 клас у цьому варіанті? Відмінностей кілька.

Навчання в 11-12 класах не обов’язкове для вступу до університету. Обов’язковим документом для вступу до університету є лише атестат про середню освіту. Учні, які досягли досить високого рівня підготовки для продовження освіти, мають можливість не втрачати двох років у школі й швидко просуватися своєю індивідуальною освітньою траєкторією.

11-12 класи доуніверситарію беруть на себе функції профорієнтації й підготовчого ступеня університетської освіти. Профорієнтаційну функцію доуніверситарії можуть виконувати в тому разі, якщо учень отримає можливість упродовж двох років навчання випробувати свої здібності в оволодінні знаннями і практичними вміннями в одній, двох або трьох обраних ним галузях знань. Вихід на галузі техніки і технології можна забезпечити організацією лабораторних практикумів із фізики, хімії, біології, інформатики, електроніки. Одночасно з випробуванням здібностей визначатимуть, чи правильно обрано майбутній фах і чи варто продовжувати навчання в обраній галузі.

Доуніверситарій перебирає на себе частину функцій 1-2 курсів університету, що дасть змогу або скоротити термін навчання в університеті, або досягти вищого рівня підготовки випускників університету. Функції можуть бути такими:

а) навчання іноземної мови;

б) ґрунтовне оволодіння комп’ютером з метою застосування в обраній галузі подальшого навчання;

в) початкова підготовка з профілю запланованого навчання в університеті.

Навчання в 11-12 класі доуніверситарію організується за бажанням, тобто учень на власний розсуд вибирає будь-які навчальні курси із запропонованих семи груп:

рідна мова та література;

іноземна мова;

математика;

природознавство;

людина і суспільство;

мистецтво;

кібернетика.

Упродовж двох років навчання учень має обов’язково вибрати не менше одного річного курсу з кожної групи. На кожен річний курс відведено п’ять годин на тиждень.

Вибір такої організації навчання на рівні 11-12 класів призведе до зближення з широко розповсюдженою в розвинутих країнах світу системою організації шкіл міжнародного бакалавріату, сприятиме інтеграції у світову спільноту.

Усі університети зобов’язані приймати випускників середньої школи без вимоги обов’язкового навчання в доуніверситарії. Для багатьох університетів у додатковому навчанні в 11-12 класах немає потреби. Проте університети, які готують фахівців вищої кваліфікації, можуть вимагати для вступу на перший курс підготовки в доуніверситарії з вибором певного набору предметів і досягнення успіхів в оволодінні ними. Для випускників сільських шкіл або невеликих міст, де немає доуніверситарію потрібного профілю, такі університети повинні мати річні або дворічні підготовчі курси або доуніверситарії (коледжі).

Зупинимося докладніше на профілях навчання в 11-12 класах. У двох із семи груп навчальних предметів, які ми розглядаємо, програми можуть бути спільними для всіх школярів. Це такі групи: рідна мова та світова література, іноземна мова. Кожен учень два роки вивчає рідну мову та світову літературу, і так само два роки – іноземну мову.

З решти груп предметів кожен учень може вивчити за два роки 1, 2 або 3 річних курси. Через те, що навчальних курсів 14, з яких обов’язковими є 7 (перший рік навчання) і 2 (другий рік навчання), то решта курсів другого року навчання (5) мають бути або курсами підвищеного рівня вже вибраних раніше навчальних предметів, або курсами нових предметів.

Навчальні курси з п’яти груп (крім першої та другої) можуть мати програми, орієнтовані на різні інтереси учнів. Наприклад, „Математика для математиків”, „Математика для бізнесу”, „Математика для практичного життя” або „Комп’ютер для фізика”, „Комп’ютер для інженера”, „Комп’ютер для музиканта”, „Комп’ютер для математика”, „Комп’ютер для лінгвініста”.

За існуючою в нашій країні традицією, всі учні середньої школи до останнього класу вивчають не менш як 3-4 предмета з групи природознавства. Попри важливість і необхідність продовження природознавчої освіти в доуніверситарії, вивчити 3 або 4 природознавчих предмета в 11-12 класах немає ані потреби, ані користі. Учням можна запропонувати вибрати будь-який з таких курсів, як „Фізика”, „Хімія”, „Біологія”. Вивчивши один із названих курсів у 11 класі на основному рівні, кожен учень може поглибити свої знання наступного року на підвищеному рівні, або вибрати другий курс з цієї ж групи.

Деякі курси мають складатися з теоретичної та практичної частин. Орієнтовний розподіл навчального часу – 3 год на тиждень на теоретичні заняття і 2 години – на практичні заняття в лабораторії.

Щоб доуніверситарій зміг реально виконувати функції попереднього ступеня університету, необхідно підібрати викладацькі кадри високої кваліфікації, забезпечити більш високий рівень оплати їхньої праці, обладнати лабораторії і кабінети для практичних занять. Доуніверситарій повинен мати тісний зв’язок з університетами і науково-дослідними установами, частково залучаючи до роботи зі школярами їхні кадри. Після такого переліку вимог до організації роботи доуніверситаріїв слід зробити висновок, що їх організація доцільна лише у великих містах і університетських центрах з конкретною орієнтацією на певні групи університетів і факультетів [25; 52].

На сучасному етапі розвитку загальної середньої освіти однією з головних проблем є підготовка дітей до подальшого навчання у вищому навчальному закладі за різними спеціальностями, які потребують глибоких ґрунтовних знань з математики. Це питання особливо актуальним стало при переході загальної середньої освіти на модель профільного навчання.

Розглянемо механізм організації профільного навчання математики у Обласному багатопрофільному ліцеї при Сумському державному педагогічному університеті ім. А. С. Макаренка. Обласний багатопрофільний ліцей, який був створений у 1999 році як багатопрофільний, має вже деякі напрацювання у цьому напрямі. Ініціативна група викладачів університету за підтримкою ректора університету і обласного управління освіти поставила перед собою нелегку мету – створити профільний заклад нового типу, головною особою якої є учень з високим рівнем знань, який у подальшому житті зможе спроектувати своє майбутнє, використовуючи ці знання.

Складаючи навчальний план багатопрофільного ліцею тут передусім звертають увагу на наявність відповідних кадрів, пам’ятаючи, що „творця” може виховати лише творча людина, причому за умови відповідного матеріального забезпечення навчального процесу. Організовуючи навчання, тут намагаються реалізувати наступні принципи:

проблемного підходу до змісту навчання, що забезпечує поступовий розвиток дослідницьких умінь учнів;

активізації діяльності ліцеїстів, стимулювання їх до самостійного набуття знань і умінь; забезпечення розвитку творчих здібностей учнів;

ускладнення змісту освіти, що передбачає опанування ліцеїстами змісту освіти згідно з обраним ними профілем;

запобігання перевантаження учнів;

збільшення вільного часу на культурне дозвілля.

Ліцей є гнучкою індивідуалізованою системою навчання творчої особистості. У профільні блоки навчального плану входять системотворчі щодо розвитку особистості предмети. Вони не просто закладають основи теоретичних знань, а допомагають систематизувати і засвоїти знання з інших наук, життєві спостереження і досвід, а також відомості, здобуті у позаурочній роботі, із засобів масової інформації. У цьому блоці обов'язковими є дисципліни, які розширюють відомості про відповідні галузі наукового знання і сприяють розвитку інтересів ліцеїстів, їх профорієнтації. Кожному профілю навчання притаманний свій зміст профільного і загальноосвітнього блоку, де складовою є математика.

Навчальний процес у ліцеї скоординовано так, що вивчення загального курсу математики за універсальним профілем закінчується в повному обсязі програми в 10 класі. В 11 класі здійснюється цілеспрямована підготовка ліцеїстів до навчання у вищому навчальному закладі за обраною спеціальністю. Це зумовлено такими факторами:

• суспільству потрібні фахівці різного профілю;

• суспільство зацікавлене в забезпеченні умов для розвитку особистості відповідно до її можливостей і потреб.

Повноцінна реалізація профільного навчання математики, що передбачає істотні зміни в змісті навчання і формах роботи з ліцеїстами, доцільна у старшій школі, особливо в 11 класі.

Профільне навчання математики в старших класах забезпечується:

1. Основним курсом математики (базова математична підготовка), який закінчується в 10 класі.

2. Системою курсів за вибором, що враховує інтереси і можливості ліцеїстів даного профілю, систематизує, поглиблює і розширяє основний курс відповідно до профілю навчання (додаткова математична підготовка);

3. Системою модульних завдань, спрямованих на розвиток професійних нахилів ліцеїстів, їхнього інтересу до застосування математики (індивідуальна робота з математики).

Такий підхід до вивчення математики у старшій школі дозволяє найповніше врахувати розходження в можливостях і потребах ліцеїстів, забезпечити єдність рівневої і профільної диференціації навчання математики.

З позиції математичної освіти можна визначити такі профілі навчання:

- гуманітарний;

-технічний, природничо-науковий та економічний;

- фізико-математичний.

Вивчення математики ліцеїстами за цими профілями має суттєві розбіжності. Це пов'язано з характером навчання і виражається у змісті навчання й рівні вимог.

Головною вимогою до змісту всіх курсів є системність, що передбачає виокремлення основного й додаткового змісту. Основний зміст для всіх курсів реалізується основним курсом математики (10 клас), а додатковий – курсами на вибір й індивідуальною роботою, яка проводиться в 11 класі.

Системність курсу математики передбачає створення інтегрованого курсу математики (10 клас) без поділу його на розділи „Алгебра і початки аналізу” і „Стереометрія", що сприятиме тіснішим зв'язкам між поняттями й фактами, раціональному використанню часу, виділеного на предмет. В 11 класі доцільно ввести „Узагальнюючий курс математики", основна мета якого:

систематизувати, узагальнити й поглибити знання ліцеїстів про множину дійсних чисел, розширити множину дійсних чисел до множини комплексних чисел;

відпрацювати навички виконання математичних розрахунків (дій з числам, поданими у різних формах, дій з відсотками, наближених обчислень тощо) і перетворень виразів;

поглибити знання про функцію як фундаментальну основу при математичному вивчення кількісних співвідношень реального світу, навчити використовувати поняття функції у задачах з фізики, економіки, природознавства;

удосконалювати техніку розв'язування рівнянь, нерівностей і їх систем;

удосконалювати вміння учнів зображувати й знаходити на малюнках геометричні фігури, виконувати геометричні побудови, установлювати властивості геометричних фігур та обчислювати, їх. кількісні характеристики (довжини, величини кутів, дуг, площі, об'єми);

розкрити поняття математичної моделі та математичного моделювання, сформувати уявлення про можливості прикладної математики.

Такими є головні особливості моделі профільного навчання математики у Обласному багато профільному ліцеї при Сумському державному педагогічному університеті ім. А. С. Макаренка.[41; 42; 17; 2; 38]

Зробивши своєчасно свідомий вибір відповідного профілю, учні старшої школи зможуть правильно зорієнтуватися у виборі навчального закладу для здобуття вищої освіти або галузі трудової діяльності. А це, в свою чергу, сприятиме професійній підготовці української молоді та дозволить їй у подальшому житті бути більш конкурентноспроможною на ринку праці.

1.6. ЕФЕКТИВНА ПРОФІЛІЗАЦІЯ ЯК ПЕРСПЕКТИВА РОЗВИТКУ ПРОФІЛЬНОГО НАВЧАННЯ

Профільне навчання – це засіб диференціації та індивідуалізації навчання, що дає змогу шляхом змін у структурі, змісті та організації освітнього процесу забезпечити повніше врахування інтересів, нахилів і здібностей учнів, створення умов для навчання старшокласників відповідно до їхніх професійних інтересів і намірів щодо продовження освіти, а профільна школа є лише інституційною формою досягнення цієї мети.

Особливість профільної школи полягає у тому, що вона допомагає в учбовій діяльності уявити себе майбутнім професіоналом. Але не професіоналом-всезнайкою в тій чи іншій області, а професіоналом, що знає межі свого незнання, що здатен сформувати запит на свій зміст освіти [45].

Розглянемо детальніше таку модель профільного навчання як мережене профілювання. Йдеться про те, що основними в профілізації в цьому випадку є зміни в мережі закладів освіти, створення так званих профільних закладів або класів у них. Існує думка, що в такий спосіб учня позбавлено можливості обрати профіль, а визначають його і, можна сказати, призначають, враховуючи не думку учня і його бажання, а інші чинники, що часто можуть бути суб’єктивно-вчительськими або суб’єктивно-директорськими. По суті, йдеться про профільну школу, а не про профільну освіту кожного учня. Чи зможемо ми, йдучи таким шляхом, забезпечити для школярів особистісно орієнтовану освіту, що максимально враховуватиме інтереси, запити, професійні наміри учнів? Напевне, ні.

По-перше, ми не маємо і найближчим часом не матимемо розвинутої освітньої інфраструктури, що могла б задовольнити запити кожної дитини. Навіть якщо у нас кожний четвертий загальноосвітній навчальний заклад буде ліцеєм, гімназією, колегіумом чи спеціалізованою школою, а кожне профтехучилище перетвориться на професійний ліцей, чого досягти неможливо через дефіцит матеріальних, фінансових та кадрових ресурсів, у них не вистачить місця для всіх учнів старших класів, які будуть зобов’язані чи захочуть навчатися у профільній школі. І чи не загрожуватиме цей процес перетворенню інших шкіл, які не втрапили до числа „закладів нового типу”, на своєрідні „відстійники” для тих учнів, які гірше навчаються, чи для тих, до кого вчителі не зуміли знайти підхід?

По-друге, спосіб організації профільного навчання шляхом удосконалення мережі закладів освіти є більш придатним для середніх і великих міст, а не для аграрної периферії. Така профілізація неминуче завдасть удару сільській освіті, сільським дітям, майбутньому села.

По-третє, профілізація мережі закладів освіти не створить умов для максимально повного задоволення освітніх запитів учнів. У цьому разі освіта буде зведена до обов’язкового вивчення всіма учнями профільного класу тих чи інших предметів, що входитимуть до нової інваріантної частини навчального плану. А що буде, коли учень, навчаючись в закладі гуманітарного профілю, захоче додатково поглиблено опанувати хімію чи математику або набути певних технічних навичок?

Перелік таких аргументів можна продовжувати, але мета профілізації – надати можливості кожному учню стати самим собою [36; 40].

Розглянемо далі детальніше механізм запровадження та переваги елективної профілізації. Загалом ця схема може виглядати так. Необхідно кожному учневі дати можливість незалежно від того, де він проживає, працювати в старших класах за навчальним планом, що складатиметься з двох частин: інваріантної та елективної. Інваріантна частина навчальних планів включатиме предмети, вивчення яких є обов’язковим для кожного учня. Ними можуть бути українська мова та література, вітчизняна історія, іноземна мова, математика, фізкультура. Цю частину також можна буде доповнити 2-3 предметами, що належатимуть до так званого шкільного компоненту навчального плану.

Друга частина навчального плану – елективні курси, тобто навчальні предмети, які учень зможе обирати незалежно від того, в якому закладі освіти він навчатиметься. У такому випадку буде профілюватися не заклад освіти, а предметна база. Профільною стане кожна школа, а ще правильніше – її старші класи, незалежно від назви, місцезнаходження чи матеріально-технічних умов. Не виключено, що предмети, які обиратимуть учні, будуть досить різні. Організувати таке профільне навчання можна різними шляхами: створити окрему групу (чи кілька) в тій школі, де навчається учень; організувати відвідування учнями профільних занять у сусідньому закладі освіти (професійно-технічному училищі, МНВК, вищому закладі освіти, ліцеї, гімназії, спеціалізованій школі); забезпечити дистанційне навчання, що особливо важливо для сільської школи; організувати міжшкільні профільні групи; запровадити індивідуальну підготовку.

Переваги такого шляху профілізації навчання у старшій школі полягають у тому, що:

такий шлях є більш гуманним, особистісно орієнтованим. Учень обирає предмети сам, а не вимушений пристосовуватися до того, що йому пропонують у закладі освіти, виходячи з профілю школи, обраного директором чи затвердженого відділом освіти. Краще задовольняються ситуативні інтереси старшокласника, в нього формується чітка мотивація навчання;

елективний шлях профілізації набагато дешевший, а ніж мережевий. Створення нових закладів освіти, реорганізація існуючих, будівництво інтернатів, придбання автобусів тощо в жодному разі не співмірне із затратами на можливе введення додаткових учительських ставок чи доплат за читання елективних курсів. Ці видатки можна реально забезпечити, зменшивши витрати на вивчення великої кількості предметів інваріантної частини навчального плану;

пропонований шлях профілізації старшої школи менш руйнівний для сільських шкіл, адже у переважній більшості останніх елективні курси зможуть викладати як місцеві вчителі, так і ті, які приїжджатимуть до учнів чи до яких їздитимуть школярі. Звичайно, що для цього потрібно буде відмовитися від традиційних підходів до організації навчального процесу в старшій школі;

запровадження елективної профілізації обов’язково вплине на роботу педагога, на усвідомлення ним потреби у підвищенні кваліфікації, активній роботі над собою [36].

Підготовка до запровадження профільного навчання вимагає розв’язання багатьох кадрових, матеріально-технічних, організаційних та інших проблем. Зупинимося на деяких із них.

Чинником, вирішальним для ефективного запровадження профільного навчання, є рівень професіоналізму педагогічних кадрів. На сьогодні педагогів, готових до роботи у профільній школі, обмаль. Ситуація ускладнюється тим, що підготовку таких спеціалістів ще не розпочав жоден педагогічний навчальний заклад. У той же час методи навчання, педагогічні технології в старшій профільній школі будуть суттєво відрізнятися від методик, що використовуються в основній школі.

Не менш важливим для здійснення ефективного профільного навчання є його матеріально-технічне забезпечення: література, періодика, навчально-наочні посібники, комп’ютери, програмні продукти, елементарні умови для організації навчального процесу за допомогою нових, частково „вузівських” педагогічних технологій. З огляду на це мають бути внесені суттєві зміни до чинного порядку визначення видатків на утримання закладів освіти. Видатки на профільне навчання мають обраховуватись за іншими формулами, і оплата праці педагогів, які будуть займатися профільним навчанням, має бути іншою, суттєво вищою.

Не менш важливими є й організаційні питання. За умови широкого запровадження елективних курсів урок перестане виконувати роль основної організаційної форми навчального процесу. На перший план вийдуть самостійна робота, індивідуальні заняття тощо. У зв’язку з тим, що в кожному регіоні з’являться предмети, які визначатиме незначна кількість учнів із різних закладів, доведеться запроваджувати, наприклад, при відділах освіти посади вчителів, які працюватимуть у кількох школах. Також доведеться створювати навчальні групи з учнів кількох закладів освіти, запроваджувати нагромаджувальну систему оцінювання навчальних досягнень тощо.

Слід врахувати і те, що ефективне запровадження профільного навчання можливе лише за умови створення належної нормативно-правової бази [7].

Однією з проблем можна вважати і те, що у сфері профільного навчання не розвиваються дистанційні технології. Адже тільки вони можуть надати достатню кількість профілів, що реально забезпечать потреби індивідуальних освітніх програм. Старші школярі досить здібні до самостійної освіти з використанням комп’ютерних засобів навчання, але цей аспект профільного навчання майже не враховується [39].

Ідея профільного навчання тісно пов’язана з прогнозуванням ринка праці, з тими реальними потребами виробництва, що з’являться в найближчі 5-7 років. А зараз практично відсутні громадянські інститути діалогу освіти та суспільства на загальному полі професійної діяльності. І ринок, і підприємства, що діють на ньому, усвідомлюють свій кадровий дефіцит, але не можуть ясно і конструктивно пред’явити його освіті. Врешті-решт підприємства не отримують якісно підготовлених спеціалістів.

Перелік чинників, що дадуть можливість ефективно організувати профільне навчання в старшій школі, можна продовжувати. Але суть у тому, що їх не можна не враховувати, запроваджуючи будь-яку модель профільного навчання [45].

1.7. ДОПРОФІЛЬНА ПІДГОТОВКА

До організаційних проблем запровадження профільного навчання слід зараховувати також здійснення передпрофільної підготовки в основній школі, що забезпечить свідомий вибір учнем профілю навчання.

Допрофільна освіта школярів має складні соціально-педагогічні завдання, які необхідно вирішувати, викладаючи шкільні предмети. По-перше, вона має висвітлити місце і роль шкільних предметів у структурі всіх професій. Більше того, вона має інтегрувати шкільні навчальні предмети в практичні знання, необхідні для ефективного профільного навчання.

По-друге, вона дає підліткам змогу виконати велику серію різних спроб у системах „людина-техніка”, „людина-природа”, „людина-знак”, „людина-образ”, „людина-людина” й отримати певні уявлення про свої можливості та вподобання.

По-третє, вона дозволяє, використовуючи спостереження, тести, інтерв’ю та інші способи, визначати динаміку росту функціональної грамотності, технологічної вмілості, інтелектуальної й вольової підготовленості до профільного навчання.

По-четверте, вона сприяє зацікавленню учнів проектуванням навчальних і профільних планів, ідеалів майбутньої професії та можливих моделей досягнення в ній високої кваліфікації [35].

Допрофільна підготовка здійснюється у 8-9 класах для професійної орієнтації учнів, сприяння у виборі ними напряму профільного навчання у старшій школі. В останній рік навчання в основній школі предмети допрофільної підготовки мають становити не менш, ніж 15 % аудиторного навантаження учнів.

До форм реалізації допрофільної підготовки учнів відносять введення курсів за вибором, поглиблене вивчення окремих предметів на диференційованій основі. Таким чином, основна функція курсів за вибором на цьому етапі – профорієнтаційна. Чинниками, вирішальними для ефективної організації вивчення курсів, є достатня їх кількість для визначення напряму профільного навчання; поступове введення за рахунок годин варіативного освітнього компонента; поділ класу на групи, однорідні за підготовленістю та інтересами учнів [22].

Що стосується поглибленого вивчення предметів, то, крім розширення і поглиблення змісту, воно має сприяти формуванню стійкого інтересу до предмету, розвитку відповідних здібностей і орієнтації на професійну діяльність, де використовуються одержані знання. Поглиблене вивчення здійснюється або за спеціальними програмами і підручниками, або за модульним принципом. В такому випадку програма загальноосвітньої школи доповнюється набором модулів, які поглиблюють відповідні теми.

Допрофільна підготовка має здійснюватися також через факультативи, предметні гуртки, наукові товариства учнів, Малу академію наук, предметні олімпіади. Ефективність допрофільного навчання потребує налагодження дійової діагностики рівня навчальних досягнень учнів основної школи, профконсультаційної психодіагностики з метою визначення професійних інтересів і якостей школярів для створення однорідних за підготовленістю і інтересами мікроколективів, класів, груп [31].

Здатність до професійного самовизначення характеризують:

стійкий інтерес до проблеми особистого професійного визначення;

відвідування днів відкритих дверей, виставок „Освіта і кар’єра”;

знайомство зі спеціальною літературою з профорієнтації, трудового права, соціології праці;

одержання додаткових консультацій викладачів, профорієнтаторів, психологів;

вагомі досягнення під час виконання проектів та інших творчих завдань, що демонструють сформованість інтересу до окремих видів діяльності [35].

1.8. ШКІЛЬНИЙ ПІДРУЧНИК І ПРОФІЛЬНА ОСВІТА

Іншою, не менш значущою проблемою, пов’язаною з організацією профільного навчання старшокласників, є шкільний підручник.

Відомо, що найбільшу поразку в період профілізації школи в 70-80-ті роки старша ступінь загальноосвітньої школи зазнала через незадовільність підручників, невідповідність їх змісту основним принципам дидактики, особливо принципам науковості і доступності навчання, авторитарного способу введення деяких підручників (алгебра і початки аналізу, геометрія, хімія, загальна біологія) тільки на основі експертних оцінок без експериментальної перевірки в масових школах закладених в них науково-методичних систем, перевантаження їх надмірно теоретизованим матеріалом.

За теперішнього часу створилась більш складна ситуація. За останні 10 років внаслідок недостатньо компетентного підходу до цієї проблеми було нагально створено близько 750 найменувань підручників та навчальних посібників для учнів. Практично жоден з новостворених підручників не пройшов експериментальної перевірки в масових школах. Більшість з них як за змістом, так і за об’ємом не відповідають вимогам дидактики. У результаті об’єм домашніх завдань в VIII-IX класах за п’ятиденного учбового тижня щоденно досягає 18-25 сторінок учбового, в тому числі математизованого, тексту [36].

Абсолютно неправильною є позиція, згідно з якою підручник не є власністю дитини. Ця обставина не на користь учня та пізнавального процесу. Учитель змушений вимагати від учня, щоб книжка була акуратною, і в результаті складається так, що не підручник для учня, а учень для підручника. Необхідно йти до того, щоб, врешті-решт, кожна дитина мала свої підручники. Тому треба робити так, щоб соціально незахищені верстви людей мали змогу користуватись ними безкоштовно.

У 2003 році в Україні було видано понад 14 мільйонів підручників. Ця цифра збільшується протягом останніх трьох років. Але треба більше видавати підручників, щоб вони були у вільному продажу. Водночас у поточному році МОН констатувало проблему забезпечення шкіл навчальною книжкою [33].

У зв’язку з введенням профільного навчання на старшому ступені навчання більша частина цих підручників підлягає оновленню чи повній переробці. Але оскільки з кожного предмету повинно бути розроблено та затверджено по 4-6 варіантів учбових програм, то забезпечити видання перероблених підручників та методичних посібників з кожної з них за обмежені строки технічно неможливо.

Тому з метою збереження єдиних вимог до рівня підготовки школярів доцільно доручити МОН підготувати і видати єдиний стрижневий комплект стабільних шкільних підручників з усіх предметів базового навчального плану, що мають містити теоретичний і практичний навчальний матеріал, об’єм і складність якого повністю відповідатиме вимогам до рівня загальноосвітньої підготовки школярів кожного класу.

Допрофільна орієнтація школярів у V-IX класах з урахуванням їх інтересів, здібностей і нахилів може здійснюватись у формі факультативних, гурткових, індивідуальних занять. Профільна освіта у Х-ХІ класах – за альтернативними підручниками або спеціальними посібниками, що мають видаватися як додаток до єдиного базисного комплекту з використанням модульного принципу конструювання змісту освіти з урахуванням індивідуальних та групових орієнтацій.

Важливо з усіх підручників виключити зайву інформацію, як один із видів дезінформації, яка розмиває чіткі границі змісту шкільної освіти.

Викладений вище стан справ зі шкільними підручниками у деякій мірі може бути пояснений і тим, що вже впродовж багатьох років не ведеться розробка теорії шкільного підручника. Тут можна виділити дві причини:

а) багаторічна спроба розробити єдину концепцію шкільного підручника виявилась безплідною. На цьому шляху розв’язання проблеми не знайдено, оскільки неможливо уявити, наприклад, єдину або тотожні концепції букваря та підручника алгебри, підручників російської мови та фізики чи іншої дисципліни з предметів природничих наук тощо. Але негативний результат у педагогічних дослідженнях, як і в інших областях науки, – теж результат. Тому дослідження цієї проблеми, що вимагає диференційованого підходу та врахування специфіки конкретної науки, слід продовжити;

б) помилковим також виявилось включення шкільних підручників до загального переліку типового шкільного обладнання внаслідок нерозуміння особливого інтегрального значення підручника у шкільній освіті. Це знизило його фактичний статус, його особливу значимість у структурі та змісті шкільної освіти, скинуло його в один ряд з найпростішими наочними засобами, тобто з нескінченно менш значущими компонентами учбового процесу.

У реальних умовах виявилась нежиттєздатною і ідея альтернативності шкільних підручників. Школи, купуючи підручники на 4-8 років, змушені впродовж цього і більш тривалого строку користуватися ними, а потім купувати підручники тих же авторів, оскільки придбання підручників, написаних іншими авторами і за іншими програмами, може порушити наступність навчання через розбіжності у послідовності і логіці викладення учбового матеріалу. Цим здебільшого пояснюється різниця у рівнях загальноосвітньої підготовки учнів.

З метою усунення істотних недоліків у забезпеченні учнів загальноосвітніх шкіл України якісними підручниками було б доцільно здійснити наступні заходи:

а) встановити відповідальність Міносвіти за визначення і розробку змісту шкільної освіти: учбових планів, програм, підручників і основних учбово-методичних посібників для вчителів загальноосвітніх шкіл;

б) організувати лабораторію теорії і методології конструювання шкільного підручника, навчальних посібників для класів з профільним навчанням з урахуванням специфіки змісту кожного учбового предмету і вікових психологічних особливостей школярів.

Додатково в функції лабораторії можна включити:

рецензування, науковий та психолого-педагогічний аналіз рукописів підручників, що призначені для використання їх у профільному навчанні;

аналіз і оцінка загального, інтегрального навантаження на учнів з кожного профілю, класу, з усіх предметів навчального плану.

Зауважимо, що вчителю надається право самостійно визначати підручники, за якими він бажає викладати, залежно від конкретних умов. За відсутності профільно орієнтованих посібників можна користуватися іншими, що містять відповідний програмовий матеріал [11].

У класах загальноосвітнього профілю доцільно орієнтуватись на використання підручників [13].

У класах економічного профілю доцільно орієнтуватися на використання підручників [53; 54; 5].

У класах фізико-математичного спрямування доцільно орієнтуватись на використання підручників [53; 54; 5; 1].

РОЗДІЛ 2

ОСОБЛИВОСТІ ВИВЧЕННЯ МАТЕМАТИКИ У ПРОФІЛЬНИХ КЛАСАХ В СУЧАСНИХ УМОВАХ

2.1. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ПРОФІЛЬНОЇ ДИФЕРЕНЦІАЦІЇ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ

Математика є універсальною мовою, яка широко застосовується в усіх сферах людської діяльності. На сучасному етапі різко зростає її значення у розвитку суспільства. Велике значення має математика і в розвитку особистості, в становленні її світогляду, розвитку мислення і інших якостей. Ці дві обставини і визначають роль математики в системі шкільної освіти, в підготовці кожного члена сучасного суспільства до повсякденного життя і трудової діяльності.

Поряд з розв'язанням цієї основної задачі навчання математиці в середніх навчальних закладах виникає необхідність забезпечити суспільство спеціалістами різного рівня і профілю, а також створити умови для розвитку особистості у відповідності до її можливостей і потреб. А для цього необхідна профільна диференціація навчання взагалі і математики зокрема [21].

Головною задачею вивчення математики є забезпечення міцного і свідомого оволодіння учнями системою математичних знань і вмінь, необхідних у повсякденному житті, а також достатніх для вивчення суміжних дисциплін і продовження освіти. Поряд з вирішенням головної задачі, оволодінням конкретними обов’язковими математичними знаннями, профільне навчання математики передбачає формування стійкого інтересу учнів до предмету, виявлення і розвиток їх математичних здібностей, підготовку до навчання у вищому учбовому закладі [30].

Профільне навчання породжує проблему викладання математики відповідно до профілю, але навчання математики повинно здійснюватися відповідно до основних положень і принципів концепції математичної освіти в Україні:

система математичної освіти є цілісною системою формування особистості на основі досягнень математики, психолого-педагогічної науки,

педагогічного досвіду у вітчизняних і закордонних закладах освіти різних типів;

система математичної освіти повинна бути безупинною і забезпечувати наступність в освіті між різними ланками системи освіти;

ця система базується на основах гуманізації навчально-виховного процесу і гуманітаризації змісту освіти;

система математичної освіти повинна реалізувати рівневу і профільну диференціацію на основі базового змісту;

навчання математики повинно мати розвиваючий характер і прикладну спрямованість;

у змісті навчання математики має бути виділена інваріантна базисна частина і варіативна;

пріоритетними в організації навчання математики повинні бути активні методи навчання і сучасні технології;

необхідним є застосування інформаційних технологій навчання.

Реалізація профільного навчання математики повинна здійснювати з урахуванням його мети, його особливостей змісту й форми у порівнянні з навчанням математики в загальноосвітніх класах.

Профільна диференціація навчання математики повинна:

забезпечити необхідний загальнокультурний рівень математичної підготовки молоді, який визначається замовленням суспільства й можливостями учнів даного віку;

задовольнити потреби профільної підготовки в розвитку пізнавальних і математичних видів діяльності учнів, що характерні для даного профілю;

формувати засобами математики професійні нахили учнів.

Профільна диференціація навчання математики передбачає:

створення умов для свідомого вибору учнями профілю;

наступність з допрофільним навчанням математики і навчанням математики у звичайних класах загальноосвітньої школи;

досягнення всіма учнями базового рівня навчання математики;

розробку державних стандартів з математики для різних профілів навчання;

реалізацію прикладної спрямованості навчання математики, орієнтованої на профіль навчання як одного з головних засобів формування профільних інтересів засобами математики;

відмінність змісту навчання математики в профільних класах і звичайних класах;

реалізацію рівневої диференціації, що підсилює диференціацію навчання математики для кожного профілю;

розмаїтість форм і видів класної та позакласної роботи;

поглиблене вивчення математики як одного з видів профільного навчання [42].

Провідним принципом, який визначає структуру профільного навчання математики, є принцип поступового моделювання у навчальному процесі математичної діяльності спеціалістів відповідного профілю. Цей принцип у певній мірі може бути реалізований такою структурою змісту профільного навчання:

адекватним профілю змістом основного курсу математики у відповідності до базового навчального плану (базова профільна математична підготовка);

системою курсів за вибором (за рахунок варіативного компоненту), які складаються з невеликих за змістом навчальних модулів, враховують різноманіття інтересів і можливостей учнів даного профілю, які поглиблюють та розширюють основний курс математики у відповідності до профілю навчання (варіативна математична підготовка);

організацією самостійної творчої роботи учнів, системою індивідуальних завдань, спрямованих на розвинення професійних схильностей учнів, їхнього інтересу до застосувань математики (особистісно-орієнтована математична підготовка).

Такі особливості профільного навчання математики найбільш повно враховують індивідуальні потреби, здібності та нахили учнів, така освіта передбачає наукове вивчення дитячої природи, раціональну організацію навчання дитини.

Формування базового змісту навчання математики здійснюється на засадах:

гуманізації та гуманітаризації;

профільної спрямованості;

забезпечення узагальнених видів діяльності [20].

Профільне навчання математиці повинно бути складною системою, що будується за принципами гуманності та відкритості.

Виділяються три етапи профільної диференціації в навчанні математиці.

Перший етап (5 – 7 класи) – це етап формування профільних інтересів. Тут формується свідомий вибір рівня учбової діяльності (базовий, основний, поглиблений, творчий), в процесі змагань, ігрової та учбової діяльності формуються пізнавальні інтереси та мотиви пізнання учнів. На цьому етапі важливу роль відіграють різноманітні форми позакласної роботи з предмету: гуртки, турніри, конкурси, олімпіади, вечори цікавої математики тощо.

Другий етап (8 – 9 класи) – це етап становлення профільних намірів. Тут реалізується різнорівневе вивчення курсу математики за стандартними навчальними планами; приділяється посилена увага позакласній роботі учнів, організується самостійна робота учнів, що відповідає їх індивідуальним прихильностям, проводиться цілеспрямована робота щодо професіональної орієнтації учнів.

Третій етап (10 – 11 класи) – це етап безпосередньої реалізації профільного навчання математиці. Він забезпечується адекватним профілю змістом основного курсу математики, системою курсів за вибором, організацією самостійної творчої роботи учнів [За Інтернет-виданням].

Подібна структура профільного навчання математиці дозволяє якнайповніше врахувати індивідуальні особливості учнів за допомогою колективних форм навчання, забезпечити єдність рівневої та профільної диференціації. Профільне навчання передбачає, перш за все, наповнення курсу математики різноманітними, цікавими та складними задачами. На першому та другому етапах до процесу навчання включаються цікаві задачі, відомості з історії математики. На третьому етапі більше уваги приділяється розв’язанню задач, що відповідають вимогам для вступників до вищих навчальних закладів. У зв’язку з тим, що до класів приходять школярі з різним рівнем підготовки, у процес навчання на кожному етапі обов’язково включається повторення та систематизація знань [30].

Різноманітні профілі навчання математики у межах базової профільної математичної підготовки можна об'єднати у такі напрямки: загальнокультурний, прикладний, теоретичний.

Профільна диференціація навчання математики у межах базового компоненту в старшій школі реалізується створенням трьох курсів математики:

для загальнокультурного напрямку (професійний, мовно-літературний, суспільно-історичний, спортивний та інші профілі) – курс А;

для прикладного напрямку (технічний, технологічний, природничий, економічний, екологічний та інші профілі) – курс В;

для теоретичного напрямку (математичний, фізичний, фізико-математичний, “інформативний”, комп’ютерний та інші профілі) – курс С.

При цьому всі специфічні особливості даного профілю і конкретного контингенту учнів реалізуються в курсах за вибором та шляхом організації самостійної, індивідуальної і позакласної роботи.

Всі зазначені курси математики, як і курс математики для звичайної школи:

забезпечують інваріантну складову математичної підготовки, що визначається стандартом;

мають яскраво виражену профільну спрямованість, що враховує профільні наміри та інтереси учнів.

Ці курси відрізняються не стільки об’ємом знаннь, якими мають опанувати учні, скільки рівнем обгрунтованості, абстрактності, загальності і т.п. Іншими словами, вони повинні бути орієнтованими на різні типи мислення (насамперед образного, прикладного, теоретичного), на розвиток різних видів діяльності.

Кожний із цих курсів, віддаючи перевагу розвитку учнів – зокрема розвитку їхнього мислення й інтуїції, – може робити це різними засобами. Такий підхід дозволить у максимальній мірі використовувати профільні інтереси і наміри в навчанні математики. Він сприятиме впровадженню діяльнісних, активних методів навчання.

Інваріантна частина математичної освіти в старшій школі може реалізовуватись як двома курсами “Алгебра та початки аналізу”, “Геометрія”, так і інтегрованим курсом “Математика”. Інтегрований курс доцільний, насамперед, для загальнокультурного напрямку.

Варіативний компонент навчального плану при організації профільного навчання математики використовується для:

розширення змісту математичної освіти;

поглиблення математичної підготовки учнів у відповідності до обраного профілю;

організації індивідуальної роботи з учнями.

Ефективна організація профільного навчання математики потребує узгодження, об’єднання діяльності вчителів математики навчального закладу, створення єдиної команди. Це дозволить забезпечити різноманітні потреби учнів і найбільш повно використати потенціал навчального закладу [20].

У своїй діяльності вчителі математики будь-якого навчального закладу мають керуватися такими положеннями:

зміст математичної освіти має бути чітко зорієнтований на розвиток особистості в цілому, а також тих видів діяльності, які є специфічними для даного профілю;

зміст профільної математичної освіти має забезпечувати потреби профільної підготовки до математики;

зміст математичної освіти для кожного профілю має забезпечувати визначену еквівалентність математичної підготовки учнів різних профілів. Це означає, зокрема, необхідність включення всіх основних традиційних змістових ліній шкільного курсу математики;

для підвищення ролі математики в процесі осмислення навколишнього світу необхідне доповнення традиційних змістових ліній курсу математики матеріалом, який сприяє формуванню імовірнісно-статистичних уявлень в учнів;

формування змісту математичної освіти сприятиме реалізації рівневої диференціації в навчанні математики. Насамперед, необхідно для кожного напряму виділити визначений стандарт математичної підготовки учнів;

варіативна частина змісту забезпечується в основному курсами на вибір. Завдання курсу на вибір - повторення, систематизація й поглиблення матеріалу, досліджуваного в основному курсі, створення передумов для самостійної роботи учнів. Перелік курсів залежить від мотивів учнів, підготовки викладачів і наявності необхідного методичного забезпечення.

Зміст курсу математики реалізується в комплексі навчальних засобів. Тому необхідною умовою організації доброякісного профільного навчання є створення адекватного навчально-методичного забезпечення, що відбиває колективний досвід роботи викладачів, методистів, учених.

Структура навчально-методичного забезпечення профільного навчання математики така ж, як і для будь-якого предмета. Вона складається з:

нормативного комплексу (програма і робоча програма);

навчального комплексу (підручник, дидактичні матеріали, набори навчальних тестів, збірники задач, наочні прилади);

загально-методичного комплекту (посібники для вчителів);

методичного комплекту (матеріали розроблені викладачем);

системи контролю (тексти тематичних, підсумкових контрольних робіт, набори контролюючих тестів).

Навчально-методичне забезпечення повинне містити матеріали для курсів на вибір і для організації індивідуальної роботи з учнями. Навчально-методичне забезпечення повинно бути для кожного напряму профільного навчання математики [42].

Профільне навчання математики потребує і робить можливим використання специфічних форм та методів навчання. Можливість їх використання зумовлена наявністю більш розвинених мотивів учнів профільних класів та шкіл до навчання порівняно із загальноосвітніми навчальним закладами. Невід’ємною складовою профільного навчання математики є виконання кожним учнем індивідуальної роботи творчого характеру. При їх виконанні поряд з реферуванням літературних джерел, теоретичним розв’язанням математичної задачі використовуються спостереження, проведення експериментів як фізичних, так і імітаційних за допомогою ПЕОМ [20].

2.2. КУРС МАТЕМАТИКИ ДЛЯ КЛАСІВ ЗАГАЛЬНОКУЛЬТУРНОГО НАПРЯМКУ

Перехід до профільного навчання у старших класах створив зовсім нову, багато в чому унікальну ситуацію для шкільної математики. Математична, як і будь-яка інша освіта, була універсальною, однаковою, стандартною. Навчання не орієнтувалося на учня, учень пристосовувався до „прокрустового ложа” програм. Математику тихо боялися і вимушено поважали.

Одночасно з падінням всієї минулої ідеології школа почала різко кренитися до гуманітарної сфери. Останні роки характеризуються згортанням на практиці реальної математичної освіти (паралельно розвалюванню економіки). Але перш за все Україні потрібні освічені люди, особистості, що засвоїли її культуру, її цінності. Адже математика – частина людської культури.

Був зроблений важливий для всієї школи крок уперед: введено профілювання програм у старших класах. Тепер учні і вчителі зможуть обирати свій рівень. Один – для тих, хто в майбутньому планує вивчати математику далі. Тут все більш-менш зрозуміло: цим учням – гамми задач і вправ для підготовки до математики вищого учбового закладу. А як же бути з іншими, з тими, у кого математика школою завершиться?

Природно припустити, якщо їм математика не буде потрібна, то і курс її у школі має бути скороченим. Внаслідок маємо дозвіл обмежити вивчення математики в таких класах всього 2-3 годинами на тиждень. Тоді давайте визнаємо, що для гуманітаріїв математика не потрібна зовсім. Якщо до цього зведеться ідея профільності у школі, то чи не отримаємо ми в результаті невиправний розрив між двома культурами – точною та гуманітарною, що здатен зруйнувати культуру взагалі?!

Що ж потрібно гуманітаріям?

Дослідники визнають існування безпосереднього, стихійного зв’язку між вмінням розв’язувати задачі з математики і можливістю бути вільною людиною. Мова може йти навіть про психотерапевтичну роль уроків математики, оскільки вони вчать самовихованню. Розумним дітям потрібні знання про власну психіку і вміння їх застосовувати на основі інтелектуальних схем та звичок, що закладаються при вивченні математичних дисциплін. Тоді вони становляться самі для себе і педагогами, і психотерапевтами. Психологи ігнорують складність реального життєвого мислення, яке проявляється у плануванні людиною свого життя, у прийнятті найважливіших рішень. Цьому можна і потрібно навчати у школі. І навчання мисленню, яке йде на уроках математики, у цьому процесі відіграє дуже важливу роль.

Говорячи про уроки математики, мова йде не про стандартні задачі з задачників – їх, можливо, у житті ніколи й не зустрінеться, але про перенесення навиків мислення на життєві проблеми. Найголовніше – нам потрібно вчити дітей бути більш інтелектуальними при підході до життєвих проблем. І тут математику не замінити нічим. У цьому сама суть особистісно-орієнтованого підходу до освіти.

Одна з найважливіших цілей при навчанні математиці – логічно грамотне володіння мовою. Не правописом, звичайно, а вміння точно виразити свою думку, точно зрозуміти, що сказано чи написано.

Що ж має визначати характер і зміст майбутніх програм „для неспеціалістів” (тобто загальнокультурного напрямку)?

Курс повинен бути не тренінгом, а вступом до краси математики. Задачі, звичайно, мають бути присутніми, але у мінімальній кількості і лише найкращі з існуючих.

Курс повинен вчити міркувати, доводити. Адже математика починається і закінчується доведеннями. „Суворість” у використанні мови необхідна – це важливий аспект загальноматематичної і в цілому загальної культури.

Математика у новому курсі могла б розглядатися у контексті світової наукової і художньої культури. Вона могла б бути значно більш філософською, ніж сьогоднішня „елементарна математика”. Курс повинен відобразити не тільки математику до ХVII століття (як сьогоднішній), але й досягнення останніх трьох століть її розвитку. У тому числі математичну логіку, канторову теорію множин, основи абстрактної алгебри тощо [За матеріалами мережі Інтернет].

Курс, призначений для профілів гуманітарного напрямку, повинен сприяти перш за все становленню гуманітарної культури людини, формувати уявлення про математику як форму опису та метод пізнання дійсності, про роль математики для прогресу суспільства. Він повинен будуватись на основі широкого використання можливостей образного мислення учнів [11].

У класах філологічного, суспільно-гуманітарного, технологічного, спортивного, художньо-естетичного профілів вивчається інтегрований курс „Математика” за програмою „Математика. 10-11 класи (для класів гуманітарного напряму)” (автори М. І. Бурда, Ю. І. Мальований) [15].

При вивченні математики за програмою інтегрованого курсу дещо знижено рівень строгості обґрунтування математичних тверджень у тра­диційному його розумінні. Значна частина з них вивчається без строгого доведення на основі використання конкретних прикладів, наочних ілюстрацій, життєвого досвіду учнів.

На наочно-інтуїтивній основі вводиться та­кож переважна більшість аксіом, понять, формул. Акцент зміщено на формування в учнів уявлень про сутність математичного знання, його логічну структуру, категорії й методи ма­тематики, усвідомлення того, яке твердження підлягає доведенню, а яке не підлягає. Це, однак, не означає, що в цих класах слід взагалі відмовитися від доведення тверджень. Цього до­пустити ніяк не можна, зважаючи на незаперечну педагогічну цінність доведень для усві­домлення методів математики, розвитку мис­лення школярів, формування їхньої логічної культури.

З метою забезпечення наступності навчання й уникнення безвихідних ситуацій при зміні учнем обраного профілю навчання зміст про­грами узгоджено з базовим змістом середньої освіти з математики шляхом дотримання одна­кових змістовно-методичних ліній та єдності у трактуванні математичних понять [24].

Розглянемо деякі методичні зауваження щодо процесу викладання математики у 10-11 класах загальнокультурного напрямку.

Однією з головних цілей вивчення теми “Функції, їх властивості та графіки” є розвиток графічної культури учнів. Мова йде, передусім, про читання графіків, тобто про встановлення властивостей функцій за їх графіками. Вміння читати графіки часто потрібне у практичних задачах. Наприклад, потрібно за графіком змінену величини вміти визначити моменти часу, в які ця величина набуває задане або найбільше, найменше значення, порівнювати з іншою величиною, передбачати поведінку величини “у майбутньому”, тощо. Вивчення теми повинно передбачати повторення і систематизацію знань учнів про дійсні числа, закріплення навичок розв’язання лінійних та квадратних рівнянь і нерівностей.

Всі основні поняття диференціального числення доцільно вводити, як узагальнення результатів розв’язання деяких прикладних задач. Це одразу виділяє головний прикладний зміст поняття, робить його більш природним та доступним для сприймання. Більше уваги слід приділити змістовній стороні ідей і понять, їх геометричній та фізичній трактовці. В основі системи вправ на формування навичок диференціювання повинні лежати функції, що описують реальні залежності величин. Не слід захоплюватись диференціюванням штучно ускладнених виразів. Розглядаючи застосування похідної, слід передусім приділити увагу розв’язанню прикладних задач, зокрема на найбільше та найменше значення.

Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути широке застосування геометричних образів, їх моделей і зображень. Учні повинні навчитися перш за все “бачити” розміщення прямих і площин, відповідні кути і відстані, а вже потім вміти обґрунтувати свої просторові уявлення, спираючись на означення, ознаки, властивості та інші твердження.

У темі „Тригонометричні функції” слід продовжити дослідження функцій елементарними засобами. При вивченні тригонометричних функцій, як і інших класів функцій, доцільно приділити увагу таким завданням:

а) побудові та читанню графіків, зокрема графіків гармонічних коливань, які одержують із графіків функцій y=sin(x) i y=cos(x) за допомогою геометричних перетворень;

б) обчисленню та порівнянню значень тригонометричних виразів за допомогою тотожних перетворень, обчислювальних засобів, властивостей функцій;

в) знаходженню значень аргументу, при яких тригонометрична функція приймає задане значення.

Не слід приділяти багато уваги громіздким перетворюванням тригонометричних виразів і спеціальним методам розв’язування тригонометричних рівнянь. Необхідно вчити учнів знаходити кількість розв’язків і самі розв’язки найпростіших тригонометричних рівнянь, які належать заданому проміжку. Обернені тригонометричні функції достатньо вивчати в обсягу, необхідному для запису розв’язків тригонометричних рівнянь.

Починати вивчення теми „Степенева, показникова та логарифмічна функції” доцільно з повторення степеня з раціональним показником та його властивостей. Слід дати учням уявлення про степінь з довільним дійсним показником. Акцент треба зробити на елементи моделювання реальних процесів за допомогою функцій, їх графіків та властивостей. В уявленні учнів характер реального процесу повинен асоціюватись із відповідною функцією, її графіком, властивостями. Наприклад, змінювання маси радіоактивної речовини в уявленні учнів повинна асоціюватись із функцією m=m0*ekt, k>0. Особливої уваги заслуговує показникова функція. Вона знаходить широке застосування при моделюванні процесів і явищ навколишнього світу. Логарифми як традиційний ефективний обчислювальний засіб свою роль втратили в зв’язку з широким впроваджуванням обчислювальної техніки. Однак вони необхідні при вивченні та застосуванні показникової функції, оскільки вони визначають функцію обернену до показникової. Тому логарифми дозволять виконувати розрахунки в прикладних задачах. Наприклад, при знаходженні моменту часу, в який маса радіоактивної речовини, що змінюється за законом m=m0*ekt, зменшиться у порівнянні з початковою в два рази. Крім цього, логарифмічна функція знаходить застосування для опису реального світу. Наприклад, словниковий склад мови змінюється з часом за логарифмічним законом. Ще яскравіше застосування логарифмічної функції пов’язане з математичним моделюванням музичної шкали.

У практичній діяльності людини дослідження багатьох явищ неможливе без вивчення та кількісного оцінювання впливу випадкового. В зв’язку з цим математична підготовка учня повинна включати формування ймовірно-статистичного мислення, навичок побудови найпростіших математичних моделей, що враховують вплив випадку. Поняття ймовірності доцільно формувати на статистичній основі. При цьому слід звернути увагу на умову статистичної стійкості дослідів, навести приклади виявлення статистичних закономірностей. При статистичному підході до введення ймовірності події класичну ймовірність можна одержати як наслідок властивості ймовірності суми подій. Слід сформувати в учнів розуміння того, що про ймовірності події ми говоримо у двох випадках:

а) при наявності великої кількості статистично стійких дослідів;

б) при наявності досліду з рівноможливими наслідками.

Для застосувань теорії ймовірностей дуже важливим є вивчення величин, що набувають різні значення в залежності від випадкових обставин, які не можна врахувати, тобто випадкові величини. Випадкову величину доцільно вводити як функцію від наслідків досліду. Слід сформувати в учнів розуміння змісту середніх показників. Вміння орієнтуватися в цих показниках допомагає людині приймати правильні рішення, адекватно сприймати інформацію, що надходить до нього. Статистичний характер навколишніх явищ не може бути розкритий без розуміння міри мінливості, тому виникає необхідність у кількісному оцінюванні розкиду статистичних даних.

У процесі вивчення теми „Об’єми та площі поверхонь геометричних фігур” повинні бути розглянуті різні методи обчислення об’ємів і площ поверхонь. Особливу увагу необхідно приділити методу розкладання, який має велике практичне значення. Його суть полягає в роздробленні тіла на частини, об’єми яких легко знайти або з них можна скласти тіло відомого об’єму. Використання аналогії між вимірюваннями площ плоских фігур і об’ємів сприятиме засвоєнню матеріалу учнями. В системі задач на обчислення об’ємів та площ поверхонь необхідно передбачити достатню кількість завдань, що потребують виконання вимірювань, а потім обчислення геометричних величин. Існують різні способи введення поняття площі поверхні тіла. Найбільш природним і придатним для всіх поверхонь, що розглядається в математиці і інтуїтивно зрозумілим для учнів, геометричне означення площі поверхні, що ґрунтується на понятті об’єму.

Перед початком вивчення теми „Інтеграл та його застосування” актуалізувати відповідні опорні знання: повторити поняття похідної, фізичний, геометричний зміст. Вивчення інтегрального числення зазвичай починається з розгляду сукупності первісних даної функції, які доцільно трактувати як розв’язок диференціального рівняння у′ = f(x). Бажано поряд з цим рівнянням розглянути диференціальне рівняння y′ = ky, яке широко використовується при опису багатьох процесів. Інтеграл можна вводити як приріст первісної на заданому відрізку чи як границю інтегральних сум. При будь-якому способі викладення матеріалу доцільно якомога раніше вводити формулу Ньютона – Лейбніца. Це дозволить:

обчислювати визначені інтеграли з початку вивчення теми;

доводити основні властивості інтеграла, не спираючись на інтегральні суми, що зекономить час та зусилля;

урізноманітнити вправи на застосування визначеного інтеграла.

Тема „Геометричні тіла і поверхні” надає великі можливості для розвитку у учнів геометричної інтуїції, просторових уявлень, формування навиків геометричного моделювання. При її вивченні не можна обмежуватись розглядом невеликого числа фігур і розв’язком в основному задач на обчислення. При введенні видів тіл доцільно використовувати конструктивні означення, тобто визначення, в яких означуваний об’єкт будується, а не виділяється із деякої сукупності за допомогою характерних ознак. Конструктивні означення тіл сприймаються учнями легше, природніше. Конструктивні означення дозволяють встановити спільність між призмами і циліндрами, пірамідами і конусами, що дає переваги при вивченні їх властивостей, при знаходженні об’ємів тіл та площ їх поверхонь. Особливої уваги заслуговують завдання на побудову перерізів тіл.

Курс математики, призначений для профілів гуманітарного напрямку

сприяє:

становленню загальної культури людини;

формуванню уявлень про математику як одну з універсальних мов, створених для опису і дослідження дійсності;

повинен:

враховувати роль образного мислення у процесі пізнання навколишнього світу;

формувати логічне мислення засобами математики [42].

Розглянемо орієнтовне тематичне планування основного курсу математики для 10 – 11 профільних класів гуманітарного напрямку [За матеріалами мережі Інтернет]. Його розраховано на 210 години учбового часу відповідно до навчального плану для класів цього профілю. При розробці робочої програми слід виходити з часу, що виділяється на предмет в даному навчальному закладі. Орієнтовний тематичний план узгоджено з навчальними засобами, що орієнтовані на профільне навчання. Цим планом передбачається сумісне вивчення геометрії та алгебри і початків аналізу. Такий підхід дозволяє якнайкраще розподілити час на вивчення окремих тем, забезпечити природні, внутрішні та міжпредметні зв’язки.

Для теми „Прямі і площини в просторі” формулюється загальна мета її вивчання, наводяться основні вимоги до рівня її вивчення, її зміст, короткі методичні рекомендації та розроблений конспект уроку, що подано у додатку Б [20; 46; 3].

Основні вимоги до рівня навчання задаються шляхом переліку навичок, якими повинні оволодіти учні. Ці вимоги визначають обов’язковий мінімальний рівень оволодіння темою і спрямовані на діяльнісний підхід в навчанні.

Методичні рекомендації нададуть певну допомогу викладачам щодо розуміння особливостей математичної підготовки для класів даного профілю, а також при виборі різних методичних шляхів і методів викладу матеріалу.

Орієнтовний тематичний план.

Клас	№	Назва теми	Орієнтовна кількість годин на вивчення матеріалу
1	2	3	4
10	1.	Функції, їх властивості та графіки	16
	2.	Похідна та її застосування	24
	3.	Прямі та площини у просторі	30
	4.	Тригонометричні функції	22
	Резерв часу та повторення		10
	Загальна кількість годин		102
11	5.	Степенева, показникова та логарифмічна функції	20
	6.	Елементи теорії ймовірностей	14
	7.	Інтеграл та його застосування	14
	8.	Геометричні тіла та поверхні	20
	9.	Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл	24
	Резерв часу та повторення		10
	Загальна кількість годин		102

2.3. КУРС МАТЕМАТИКИ ДЛЯ КЛАСІВ ПРИРОДНИЧОГО ПРОФІЛЮ

Вчитель математики у процесі викладання математики має максимально враховувати профіль навчання. Розглянемо, у чому полягають особливості курсу математики природничо-наукового профілю.

Даний курс орієнтовано на учнів з науковим стилем мислення, які обрали для себе хімічний, біологічний, географічний та інші напрямки. Для цих областей науки математика відіграє роль апарата, спеціального засобу для вивчення закономірностей навколишнього світу. Зауважимо, що математизація відповідних наук стосується лише окремих їх областей, в основному найбільш сучасних, тоді як інші області майже не використовують математичних знань. Тому даний курс має бути побудований з урахуванням того, що математика для учнів зазначеної категорії є хоча й необхідним, але не найважливішим предметом. Цей курс повинен забезпечувати оволодіння конкретними математичними знаннями, що дозволять, зокрема, виробити уявлення щодо застосування математики у профілюючій науці і достатніми для вивчення математики у вищому навчальному закладі відповідного напрямку.

Для природничих наук важливу роль відіграють у наш час кількісні характеристики реальних процесів і відповідні кількісні моделі, для дослідження яких необхідні традиційні розділи математики поряд з початками математичного аналізу і елементами теорії ймовірностей і математичної статистики [21].

Учням даного профілю рекомендовано особливу увагу приділяти формуванню обчислювальних навичок і вмінь, поєднувати вивчення алгебри і початків аналізу з обробкою даних, одержаних під час проведення лабораторних і практичних робіт на уроках фізики, хімії, біології. Цілком слушною є пропозиція приділити особливу увагу застосуванням похідної та інтеграла до розв’язування прикладних задач, більш широко ознайомити учнів з розв’язуванням диференціальних рівнянь показникового зростання та гармонічних коливань. Наголоси в шкільному курсі математики слід робити не на розв’язанні тих чи інших диференціальних рівнянь, а на моделюванні реальних процесів за допомогою диференціальних рівнянь, тобто складанні рівнянь [9].

Курс математики для 10-11 класів природничого напряму вивчається за „Програмою з математики для 10-11-х профільних класів природничого напряму”, авторами якої є Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенько А.К., Афанасьєва О.М., із розрахунку 5 годин на тиждень (в тому числі – алгебра та початки аналізу – 3 години, геометрія – 2 години на тиждень) [8].

Курс математики, призначений для профілів природничого напрямку, забезпечуючи гармонійний розвиток образного і логічного мислення, повинен особливу увагу приділяти з’ясуванню ролі математики в сферах її застосувань. Насамперед це означає, що учні повинні оволодіти простими навичками математичного моделювання. Саме такий вид діяльності має бути головним у навчанні майбутніх інженерів, техніків, технологів, конструкторів, механіків, природознавців тощо. Досягти цього можна за рахунок зваженого компромісу між строгістю і доступністю викладення матеріалу, а також його прикладною спрямованістю.

Вивчення геометрії у 10-11 класах природничого напряму передбачається за традиційною схемою. Усі відмінності спрямовані на забезпечення прикладної спрямованості навчання, розвинення просторових уявлень. Цими обставинами визначається і розгляд видів геометричних тіл та їх властивостей. Встановлення спорідненості між циліндрами і призмами, конусами і пірамідами дозволяє, з одного боку, заощадити час, а з іншого – розширити види фігур, з якими учні ознайомляться у курсі геометрії. Вчитель має орієнтуватися на розгляд найважливіших засобів конструювання тіл, розгляд їх різноманітних властивостей, зокрема симетрії, перерізів [24].

Розглянемо деякі методичні зауваження щодо процесу викладання математики у 10-11 класах природничого напрямку.

Враховуючи, що в основній школі вивчення наближених обчислень передбачається наприкінці 9-го класу, можна впевнено стверджувати, що відповідні навички, такі важливі для природничо-наукового профілю, ще не будуть сформовані в десятикласників. Тому не завадило б передбачити це в змісті матеріалу, що вивчається в 10 класі.

При вивченні теми „Функції, їх властивості та графіки” необхідно перш за все розвивати у учнів вміння читати графіки. Наприклад, необхідно за графіком зміни величини вміти визначати моменти часу, в які ця величина приймає задане, найбільше чи найменше значення, порівнювати з іншою величиною, прогнозувати поведінку величини „в майбутньому” тощо. Для формування таких навичок необхідно навчити учнів за графіком функції встановлювати її неперервність, точки розриву, проміжки зростання та спадання, знакосталості, найбільше та найменше значення. При цьому необхідно приділити увагу побудові графіків функцій за допомогою геометричних перетворень.

Поняття границі та неперервності функції формуються на основі наочно-інтуїтивних уявлень про них. Ці поняття слід пов’язувати з математичним описом фізичних процесів (неперервних та розривних). Обчислення границь слід розглядати лише у об’ємі, необхідному для формування поняття границі та неперервності. При вивченні властивостей неперервних функцій особливу увагу слід приділити властивості неперервної на відрізку функції, що приймає на його кінцях значення різних знаків (ілюструючи цю властивість на графіку). На цій властивості засновано метод інтервалів для розв’язання нерівностей.

При формуванні поняття границі, при вивченні властивостей границі, неперервності, для „відкриття” властивостей функції ефективно може бути застосований чисельний експеримент.

Всі основні поняття диференціального числення природно вводити як узагальнення результатів розв’язання деяких прикладних задач. Це одразу виділяє головний прикладний зміст поняття, робить його більш природним та доступним для сприймання. Дуже важливо, щоб отримані знання учні могли застосувати до характеристики реальних процесів, для введення нових, більш змістовних понять природничих та технічних наук (миттєвої сили струму, питомої теплоємності, лінійної густини тощо). При формуванні поняття похідної слід виробляти розуміння того, що похідна моделює не тільки швидкість механічного руху, але й швидкість змінювання багатьох процесів. Учні повинні вміти за допомогою похідної знаходити швидкість та прискорення нерівномірного руху, кутову швидкість обертання тіла, силу змінного струму, лінійну густину неоднорідного стержня тощо. В основі системи вправ на формування навичок диференціювання повинні лежати функції, що описують реальні залежності величин. Доцільно розвити навики побудови ескізу графіка похідної за графіком функції і навпаки. Використання теореми Лагранжа спрощує доведення ознак монотонності та екстремуму. Достатньо обмежитись її наглядною геометричною ілюстрацією. Розглядаючи застосування похідної, слід передусім приділити увагу розв’язанню прикладних задач, зокрема на найбільше та найменше значення.

Слід відзначити доцільність вивчення тем „Похідна”, „Застосування похідної” саме в 10 класі. Тим самим закладається фундамент для широкого використання похідної як у курсі математики, так і в природничих предметах.

При вивченні стереометрії постійно слід спиратися на зв’язок між планіметричними і стереометричними поняттями і фактами. З одного боку, слід максимально використовувати аналогію між ними, а з іншого, необхідно попередити необґрунтоване перенесення „плоских” результатів у простір.

При вивченні основних понять і фактів, пов’язаних зі взаємним розташуванням прямих і площин, слід віддати перевагу синтетичному, наочно-геометричному викладенню, а потім використати вектори і координати для поглиблення і розширення знань учнів при вивченні прямих і площин у просторі. Такий підхід зберігає логічні зв’язки між вказаними питаннями. Адже для вивчення поняття вектора у просторі і його властивостей використовується паралельність прямих і площин, для введення координат у просторі – перпендикулярність прямих і площин тощо.

Однією з головних труднощів викладання теми „Вектори і координати у просторі” є необхідність гармонійно поєднувати повторення матеріалу про вектори і координати на площині з його узагальненням на випадок простору. Це рекомендовано робити паралельно. З одного боку, це забезпечить природність повторення, а з другого створить сприятливі умови для розгляду нового матеріалу.

Курс математики, призначений для природничо-наукового напрямку,

сприяє:

гармонійному розвитку образного і логічного мислення;

формуванню чітких уявлень про роль математики в розвитку суспільства, сфери і характер її прикладних можливостей;

повинен:

забезпечити здобуття найпростіших навичок математичного моделювання [42].

Розглянемо орієнтовне тематичне планування основного курсу математики для 10-11 профільних класів технічного та природничо-наукового напрямків [20]. Його розраховано на 340 годин навчального часу, що складає стандартний базисний навчальний план для класів цього профілю. При складанні робочої програми слід виходити з часу, що виділяється на предмет в даному учбовому закладі. Орієнтовний теоретичний план погоджено з навчальними засобами, орієнтованими на профільне навчання математики.

Цим планом передбачено спільне вивчення геометрії і алгебри та початків аналізу. Такий підхід має певні переваги. Він дозволяє оптимально розподіляти час на вивчення окремих тем, забезпечити природні внутрішньопредметні та міжпредметні зв’язки. Але він має і певні недоліки. Тому можливе паралельне вивчення геометрії і алгебри та початків аналізу в рамках окремих розділів. У цьому випадку порядок вивчення тем відповідних розділів може бути збережено.

З теми „Прямі та площини у просторі” формулюються загальні цілі її вивчення, приводяться вимоги до рівня вивчення теми, її змісту, короткі методичні рекомендації та розробку конспекту уроку, що подано у додатку Б [46].

Основні вимоги до рівня навчання визначають обов’язковий мінімальний рівень підготовки учнів.

Методичні рекомендації нададуть певну допомогу викладачам при з’ясуванні особливостей математичної підготовки для класів даного профілю, а також при виборі різних методичних шляхів і прийомів викладу матеріалу.

Орієнтовний тематичний план

Клас	№	Назва теми	Орієнтовна кількість годин на вивчення матеріалу
10	1.	Функції, їх властивості і графіки	30
	2.	Похідна та її застосування	35
	3.	Прямі та площини у просторі	40
	4.	Вектори та координати	20
	5.	Тригонометричні функції	35
	Резерв часу та повторення		10
	Загальна кількість годин		170
11	1.	Степенева, показникова та логарифмічна функції	30
	2.	Елементи теорії ймовірностей	20
	3.	Інтеграл та його застосування	25
	4.	Геометричні тіла і поверхні	30
	5.	Об’єми і площі поверхонь геометричних тіл 30
	Резерв часу і повторення		35
	Загальна кількість годин		170

2.4. КУРС МАТЕМАТИКИ ДЛЯ КЛАСІВ ЕКОНОМІЧНОГО ПРОФІЛЮ

Загальновизнано, що головним засобом забезпечення профільної спрямованості навчання математики є орієнтація основного курсу математики на цей профіль. Різниця має полягати в рівні вивчення тих чи інших питань, шляхах мотивування вивчення окремих питань, системі вправ, рівні обґрунтування фактів, прикладах застосування матеріалу тощо. Цього вимагає ідеологія диференціації і стандартизації освіти. А всі суттєві зміни в змісті навчання забезпечуються курсами на вибір.

З давніх-давен математика і економіка були тісно пов’язані між собою. Насамперед, зародження математики як науки про кількісні відношення і просторові форми реального світу було зумовлене практичними господарчими потребами людей. Перехід до землеробства, виникнення торгівлі і ремесел викликали потребу в проведенні різноманітних підрахунків та вимірювань. Бурхливий розвиток виробництва, мореплавства, астрономії в XVII-XVIII ст. висунув на перший план такі математичні проблеми, як вивчення рухів, процесів, обчислення площ та об’ємів тіл. Саме життя змусило шукати нові методи вивчення таких понять, як швидкість, прискорення. З появою ринкових відносин починається розквіт економічної науки, і відразу в цьому процесі спостерігається використання математики як інструменту економічних досліджень. Особливо активно математичні методи запроваджуються в економічних дослідженнях останні 30-40 років [34; 9].

Сучасна економічна наука досить суттєво використовує математичний апарат, і тому володіння ним давно стало стандартом західної економічної освіти. На даному етапі це стає також надбанням вітчизняної економічної науки. Отже, доцільність та актуальність ознайомлення з основами математичних методів економіки ще на початку процесу економічної освіти сприятиме підвищенню економічних знань, кращому розумінню прикладної значущості математики як науки, більш повному і свідомому оволодінню математичною культурою.

Відразу ж вкажемо на те, що мова йде не про вивчення, наприклад, бухгалтерської справи на уроках математики, а про відбір такого навчального матеріалу, який зміцнить фундамент математичної підготовки школяра, необхідної для успішного оволодіння тією чи іншою економічною професією. Наявність у шкільній математиці деяких прикладних задач, що будуть показувати, як математика може успішно працювати в економіці, сприятиме необхідній профільній орієнтації школяра, а також отриманню ним елементарної профільної грамотності.

У школах і класах економічного напряму передбачається закріплення у учнів початкового інтересу до діяльності, пов’язаною з економікою. Зокрема, засобами математики слід забезпечити формування правильних уявлень про математичне моделювання і навчити його застосуванню до розв’язання найпростіших економічних задач (лінійне програмування, мережене планування, матричний метод тощо).

Важливе значення має навчання використанню елементів обчислювальної математики, у тому числі і наближених методів, до розв’язання прикладних задач [29; 50].

Кожна тема має бути підкріплена прикладними задачами у сфері фінансів, підприємництва та економіки, методи розв’язання яких цілком укладаються саме в традиційну програму шкільного курсу математики. Розв’язування подібних задач з яскраво вираженим прикладним змістом допоможе учням:

закріпити пройдений матеріал класичного курсу математики;

сформувати навички у постановці, розв’язуванні й аналізі прикладних задач з математики в галузі економіки;

сформувати уявлення про етапи розв’язування задач з економічним змістом, про місце і можливості математики в цьому процесі, що, в свою чергу, буде сприяти подоланню скептицизму учнів щодо корисності математики як одного із засобів вирішення гостро актуальних проблем сучасності.

Доцільне широке використання в навчальному процесі наочних матеріалів (малюнки, таблиці, схеми, діаграми, графіки, демонстрація відеофільмів тощо), які служать для ілюстрації і ґрунтовного осмислення навчального матеріалу.

Розглянемо деякі методичні зауваження щодо процесу викладання математики у 10-11 класах економічного напрямку.

Перш за все, слід звернути увагу на актуалізацію наближених обчислень, відсоткових обчислень. Це доцільно зробити на початку десятого класу, щоб постійно протягом двох років навчання використовувати ці навички.

При вивченні теми „Функції, їх властивості та графіки” доцільно особливу увагу приділити таким прикладам функцій в економіці, як функції ціни та прибутку, а також функції попиту та пропозиції. Поняття границі та неперервності функції формуються на основі наочно-інтуїтивних уявлень про них. Ці поняття слід пов’язувати з математичним описом економічних процесів. Обчислення границь слід розглядати лише у об’ємі, необхідному для формування поняття границі та неперервності.

Дуже важливо, щоб отримані при вивченні теми „Похідна та її застосування” знання учні могли застосувати до характеристики реальних процесів, для введення нових, більш змістовних понять економічних наук: еластичність попиту і пропозиції, гранична ціна, доход та прибуток тощо. Учні повинні вміти за допомогою похідної знаходити величину витрат виробництва, граничну виручку, обсяг продукції тощо. В основі системи вправ на формування навичок диференціювання повинні лежати функції, що описують реальні залежності величин. Не слід захоплюватись диференціюванням штучно ускладнених виразів.

Формування просторових уявлень учнів є головним завданням теми „Елементи стереометрії”. Тому важливе місце треба відвести їх навчанню зображати просторові фігури на площині, а також виконувати нескладні побудови на зображеннях. Крім того, достатню увагу треба звернути на побудову перерізів куба, паралелепіпеда, тетраедра. Безумовно ці тіла повинні з’явитися якомога раніше, тому що на них зручно ілюструвати усі поняття і твердження.

При вивченні теми „Тригонометричні функції” важливо показати учням застосовування тригонометричних функцій та їх похідних до опису реальних процесів, а також їх властивостей до розв’язання прикладних задач цінового та маркетингового аналізу, що можна зробити шляхом спеціально підібраних вправ.

Доцільно вивчення теми „Елементи комбінаторики і теорії ймовірностей” побудувати на основі статистичного визначення ймовірності, що спирається на поняття стійкості частот. При введенні цього означення доцільно приділити увагу пропедевтиці понять вибірки, однорідності статистичного матеріалу, використанню цього означення для отримання практичних висновків (оцінка якості великої партії зерна за декількома мірками, що взяті з різних місць оцінюваної партії, створення економічних телеграфних кодів тощо). Важливо також сформувати розуміння змісту поняття математичного очікування випадкової величини, необхідності введення міри розсіяння випадкової величини. Корисним є паралельне вивчення математичного очікування і вибіркового середнього, дисперсію та вибіркову дисперсію, розкрити їх зв’язок і відмінності.

Курс математики, призначений для профілів економічного напрямку

сприяє:

гармонійному розвитку образного і логічного мислення;

формуванню чітких уявлень про роль математики в розвитку суспільства, сфери і характер її прикладних можливостей;

повинен:

забезпечити здобуття найпростіших навичок математичного моделювання [42; 55].

У класах економічного профілю вивчення математики відбувається за „Програмою з математики для класів економічного профілю” авторів М.А. Вайнтрауба, О.С. Стрельченко, І.Г. Стрельченко із розрахунку 6 годин на тиждень. Зауважимо, що геометрія в класах економічного профілю вивчається за традиційною схемою [50].

Відмітимо, що програму, окрім рекомендованих підручників, доцільно супроводжувати методичними посібниками для вчителів, збіркою прикладних задач (математика в економічній професії, „побутова” математика, податки та страхування, банківські вклади, оренда тощо), збірка додаткових математичних курсів, довідник. Кожний з навчально-методичних посібників слід супроводити пакетом прикладних комп’ютерних програм.

Програму для класів економічного профілю доповнює програма факультативного курсу „Економіка в задачах математики”. Вона структурована відповідно до тем, що входять до основної програми і насичена задачами зі сфери підприємництва, фінансів та економіки. Доцільно розширити номенклатуру цього курсу, включивши до нього елементи матричної алгебри, теорії графів, математичної логіки, наближені методи розв’язання рівнянь та деякі інші питання. Зрозуміло, що рівень висвітлення і стиль викладу цих питань повинні бути такими, щоб їх вивчення було доступним і цікавим школярам. Природно, що ряд традиційних питань шкільного курсу математики розумно опустити [24; 29].

Розглянемо орієнтовне тематичне планування основного курсу математики для 10-11 профільних класів економічного напрямку. Воно розраховане на 420 годин учбового часу відповідно до навчального плану для класів цього профілю. При розробці робочої програми слід виходити з часу, що виділяється на предмет в даному навчальному закладі. Орієнтовний тематичний план узгоджений з навчальними засобами, що орієнтовані на профільне навчання. Цим планом передбачається сумісне вивчення геометрії та алгебри і початків аналізу. Такий підхід дозволяє якнайкраще розподілити час на вивчення окремих тем, забезпечити природні, внутрішні та міжпредметні зв’язки.

Для теми „Елементи стереометрії” формулюється загальна мета її вивчання, наводяться основні вимоги до рівня її вивчання, її зміст, короткі методичні рекомендації та розробка конспекту уроку, що подано у додатку Б [46; 47; 48; 51; 43; 34; 27].

Основні вимоги до рівня задаються шляхом переліку навичок, якими повинні оволодіти учні. Ці вимоги визначають обов’язковий мінімальний рівень оволодіння темою і спрямовані на діяльнісний підхід в навчанні.

Методичні рекомендації нададуть певну допомогу викладачам щодо розуміння особливостей математичної підготовки для класів даного профілю, а також при виборі різних методичних шляхів і методів викладу матеріалу.

Орієнтовний тематичний план.

Клас	№	Назва теми	Орієнтовна кількість годин на вивчення матеріалу
10	1.	Вступ	16
	2.	Функції, їх властивості та графіки	34
	3.	Похідна та її застосування	36
	4.	Елементи стереометрії	48
	5.	Тригонометричні функції	32
	6.	Координати і вектори	16
	7.	Елементи прикладної математики в задачах з економічним змістом	15
	Резерв часу та повторення		12
	Загальна кількість годин		210
11	8.	Степенева, показникова та логарифмічна функції	32
	9.	Інтеграл та його застосування	32
	10.	Многогранники і тіла обертання	34
	11.	Рівняння, нерівності та їх системи	36
	12.	Елементи комбінаторики і теорії ймовірностей	36
	13.	Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл	24
	Резерв часу та повторення		30
	Загальна кількість годин		210

2.5. ПОГЛИБЛЕНЕ ВИВЧЕННЯ МАТЕМАТИКИ

Основним завданням навчання математики в середньому закладі освіти є забезпечення рівня математичної культури, необхідного для повноцінної участі в повсякденному житті, продовження освіти та трудової діяльності. Математика є унікальним засобом формування не лише освітнього, а й розливального та інтелектуального потенціалу особистості.

У процесі поглибленого навчання математики в профільних класах основні завдання суттєво доповнюються. Це обумовлено необхідністю виявлення та розвитку в учнів математичних здібностей, формування в них стійких інтересів до математики та професійної діяльності, підготовки учнів до навчання у вищому навчальному закладі освіти.

Викладання у фізико-математичних класах доцільно будувати у відповідності з наступними основними принципами. По-перше, вивчення математики у класах відповідного профілю повинно давати учням глибокі математичні знання і широкий математичний розвиток на базі основного курсу математики. При цьому повинні забезпечуватися такі умови, щоб питання діючої програми і корисні традиції викладання математики органічно перепліталися між собою і розглядались з сучасної точки зору.

По-друге, учні – випускники математичних класів – повинні володіти такими знаннями і вміннями, які повністю відповідали б вимогам, що пред’являються до математичної підготовки учнів звичайних шкіл, і разом з тим були б більш глибокими і міцними. При цьому отримуваний у процесі вивчення математичний розвиток учнів математичного класу повинен давати їм можливість здійснювати творчий підхід до процесу вивчення математики. Учні мають навчитися працювати самостійно з навчальною математичною літературою і мати до кінця навчання стійкий інтерес до предметів фізико-математичного циклу.

По-третє, у процесі викладання математики у цих класах перед вчителем відкриваються великі можливості у здійсненні оптимальної індивідуалізації навчання, у використанні школярами евристичного методу вивчення і проблемної форми навчання, тобто широкі можливості оптимальної активізації навчання. Широко має використовуватися розв’язування задач не стандартних, конкурсних, пропонованих на вступних іспитах до вищих учбових закладів і проблемних задач. Розв’язування задач теоретичного і прикладного характеру у відповідності з розділами програми має відбуватися впродовж усього року.

Нарешті, поглиблене вивчення математики у старшій школі має відповідати віковим можливостям і потребам школярів.

Навчання в старшій школі у профільному класі з поглибленим вивченням математики передбачає наявність стійкого усвідомленого інтересу до математики та схильності до вибору у майбутньому пов’язаної з нею професії [14; 26].

Результати навчання на цьому етапі мають забезпечувати підготовку старшокласників до продовження освіти у вищому навчальному закладі. Більшість класів з поглибленим вивченням математики створена з метою підготовки до продовження навчання за спеціальностями, які широко використовують математику. Тому головний принцип, який визначає математичну підготовку у класах фізико-математичного профілю, – принцип поступового моделювання професійної діяльності математика.

Основу математичної підготовки у 10-11 класах складають курси стереометрії та алгебри і початків аналізу, які відрізняються від загальноосвітніх не стільки обсягом і переліком тем, скільки спрямованістю на реалізацію головного принципу. Повніше реалізувати принцип моделювання професійної діяльності дозволяють курси за вибором та індивідуальні завдання.

Якими характерними професійними рисами відзначається фахівець-математик? Це насамперед особистість, широко освічена як у математиці, так і в суміжних галузях, готова постійно поповнювати свої знання, самостійно їх набувати. Професіонала-математика характеризує вміння отримувати нові результати у своїй галузі, а також використовувати математику як інструмент для розв’язання прикладних задач; чітко доповідати як про роботи своїх колег, так і про свої; навчати молодь. Іншими словами, він повинен виконувати різні ролі у своєму науковому колективі: і учня, і співробітника, і педагога, і керівника. Тому математична підготовка у фізико-математичному класі має органічно зливатись з університетською і навіть стимулювати вдосконалення останньої, а професійна спрямованість навчання – впливати на всі ланки, починаючи з базової математичної підготовки.

Основний курс математики має мало чим відрізнятися за номенклатурою навчальних питань від відповідного курсу в загальноосвітній школі. Відмінності в іншому: у глибині вивчення матеріалу, у формуванні критичного стилю мислення – необхідної риси професіонала-математика. Поглиблене вивчення математики не можна зводити до розширеного вивчення математики. Саме значне розширення матеріалу є головною характеристикою сучасної програми для класів фізико-математичного профілю з дворічним терміном поглибленого вивчення математики. Зміст може свідомо засвоїти лише незначна частина учнів спеціалізованих фізико-математичних шкіл. Ще меншій частині такий зміст потрібний. Багаторічний досвід функціонування в Україні класів із поглибленим вивченням математики переконує в тому, що недоцільно надмірно заповнювати програми додатковими питаннями. Це спричиняє перевантаження і, як наслідок, відсів учнів. Розвитку стійких пізнавальних математичних інтересів сприяють дібрані в системі різноманітні складні задачі з достатнім евристичним навантаженням, пов’язаний з темою історичний матеріал.

Підвищена увага має приділятися математичному моделюванню. Саме в цьому курсі створюються засади для формування у старшокласників здатності застосовувати математичні знання. Необхідно ставити за мету не пробігти поверхнево по багатьох розділах математики, а заглибитьсь у окремі її ланки. Безумовно, що всі змістові лінії традиційного шкільного курсу знаходять у ньому свою реалізацію [9; 10].

Порівняно із загальноосвітніми класами суттєво підвищується теоретичний рівень вивчення навчального матеріалу, зокрема при вивченні всіх видів рівнянь, нерівностей та їх систем послідовно акцентується увага на основних поняттях: корінь, розв’язок, рівносильність, наслідок, можливість втрати та появи сторонніх коренів, перевірка як важлива складова процесу розв’язування. Вводяться елементи теорії множин та математичної логіки. Зазначимо, проте, що ці теорії не є предметом вивчення в загальноосвітній школі. Їх елементи використовуються для збагачення та осучаснення математичної мови учнів, розширення їх математичної ерудиції та розвитку мислення.

Курс математики, призначений для профілів фізико-математичного напрямку

сприяє:

формуванню у учнів вмінь застосовувати математику при дослідженні реальних процесів і явищ;

повинен:

забезпечити високий рівень математичної культури [42; 14].

Для поступового впровадження нових організаційних форм роботи з учнями доцільно ширше використовувати варіативну складову навчального плану – курси за вибором, факультативи, спецкурси. Факультативне навчання математики має на меті поглиблювати знання учнів, здобуті при вивченні основного курсу, а також розвивати їх логічне мислення, допитливість і кмітливість.

Для учнів 10-11 класів з поглибленим вивченням математики пропонується спеціальний курс „Прикладна математика”, автором якого є О. Б. Рудик. Завданнями цього курсу є розвиток логічного мислення учнів та закріплення базових математичних понять на рівні практичного використання.

Справжня диференціація навчання математики можлива тільки за умови забезпечення учням можливості вибору змісту, форм навчання. Першу таку можливість вони мають отримати при розподілі класу на підгрупи для проведення практичних занять з алгебри та початків аналізу і з стереометрії. Кожен учень має обирати два спецкурси з чотирьох-п’яти, що йому пропонують. Важливо, щоб такий вибір здійснювався свідомо. Проведенню занять із спецкурсів має передувати підготовча робота, завданнями якої є надати певну інформацію, допомогти учням узгодити вибір із своїми можливостями та схильностями.

Курси за вибором продовжують моделювати професійну діяльність математиків. Вони мають різне цільове навантаження: розширення знань учнів у тій чи іншій галузі математики, поглиблення їх у традиційних розділах курсу, підготовку до виконання індивідуального завдання творчого характеру. Тобто йдеться про підвищення ерудиції учнів, про прищеплення їм навичок самостійно набувати знання, про перший етап виконання самостійної наукової роботи – ознайомлення з літературними джерелами.

Зміст факультативних занять має бути органічно пов’язаним з основним курсом математики. Так, наприклад, вивчення факультативної теми „Елементи теорії множин і математичної логіки” на початку десятого класу дає можливість більш міцного, а також більш швидкого (завдяки застосуванню символіки і більш високій логічній культурі) засвоєння учнями багатьох наступних розділів курсу і також можливість більш сучасного і наукового тлумачення найважливіших математичних понять (числа, функції, рівняння, фігури тощо) [14; 10; 20].

У класах фізико-математичного профілю навчання може відбуватися за програмою для 10-11 класів з поглибленим вивченням математики, укладачами якої є Бурда М.І., Жалдак М.І., Колесник Т.В., Хмара Т.М., Шкіль М.І., Ядренко М.Й., із розрахунку 8 годин на тиждень [14].

Дедалі більше комп'ютер стає універсальним помічником людини в цивілізованому світі. Ви­користання його в навчальному процесі поряд із допомогою у вирішенні дидактичних завдань активізує дію мотиваційних чинників у створенні позитивного ставлення до навчання.

Ефективність засвоєння знань учнями за умов широкого впровадження засобів нових інфор­маційних технологій навчання (НІТН) значною мірою залежить від педагогічних програмних засобів (ППЗ), що дають змогу поєднати високі моделюючі та обчислювальні можливості при дослідженні різноманітних математичних об'єктів з унаочненням результатів на всіх ета­пах процесу навчання.

На сьогодні розроблено значну кількість про­грамних засобів, орієнтованих на використання при вивченні математики. Це такі програми, як DERIVE, EUREKA, GRAN1, Maple, MathCAD, Mathematika, MathLab, Maxima, Numeri, Reduce та інші.

При вивченні у школі курсу алгебри та початків аналізу, а також деяких розділів геометрії для аналізу функціональних залежностей та ста­тистичних закономірностей доцільно викорис­товувати ППЗ GRAN1 та DERIVE.

Указані програмні засоби призначені перш за все для розв'язування широкого класу задач шляхом моделювання об'єктів, що фігурують в умові задачі.

У рамках змісту шкільної математичної осві­ти та найпоширеніших методичних систем на­вчання математики реалізація ідей комп'ютер­ної підтримки процесу навчання відбувається звичайно шляхом здійснення міжпредметних зв'язків курсів математики та інформатики у формі інтегрованих уроків при вивченні таких, наприклад, тем: графічне розв'язування нерівно­стей і систем нерівностей; розв'язування ліній­них і квадратних рівнянь, нерівностей та їх си­стем з однією та двома змінними, зокрема гра­фічним методом; дослідження властивостей функцій та побудова і читання їх графіків і по будова графіка функції y = Af(ax + b) + B за гра­фіком функції у = f(х); дослідження статистич­них вибірок; відсоткові розрахунки; наближене визначення коренів многочленів і розв'язуван­ня рівнянь та нерівностей вищих степенів; гра­ниця числових послідовностей та функцій; до­слідження функцій на неперервність; досліджен­ня тригонометричних та обернених тригономет­ричних функцій; графічне розв'язування три­гонометричних рівнянь і нерівностей; наближене обчислення значень функції; опрацювання ста­тистичних даних: побудова полігону частот. гістограм, обчислення відносних частот різних подій; визначення центра розсіювання віднос­них частот та величини розсіювання (дисперсії); обчислення визначених інтегралів; визначення площ криволінійних трапецій та об'ємів тіл обертання тощо [14].

Розглянемо деякі методичні зауваження щодо процесу викладання математики у 10-11 класах з математичним ухилом.

У процесі викладання курсу „Алгебра та початки аналізу” слід приділити особливу увагу функціональній спрямованості цього курсу. Питання дослідження функцій (пізніше – за допомогою похідної) у тій чи іншій формі слід ставити впродовж усього часу навчання, підкреслюючи при цьому єдність таких понять, як функція, рівняння, нерівність. Наприклад, від учнів необхідно вимагати ясного розуміння того, що розв’язання рівняння f(x) = 0 і нерівності f(x) > 0 є частинними випадками задачі дослідження функції y = f(x) (корені функції та проміжки знакосталості). Поняття функції корисно трактувати з теоретико-множинних позицій. Це дасть можливість більш чіткого визначення багатьох математичних понять, більш тісно пов’яже виучувані математичні властивості об’єктів з життєвою практикою.

Перший тиждень навчального року в 10 класі корисно повністю присвятити „Тригонометрії трикутника”. Завдяки цьому виникає можливість не тільки провести повторення основних питань геометрії дев’ятирічної школи, але й виявити рівень знань і математичного розвитку учнів. Основним змістом цих уроків є розв’язування комбінованих задач, більш складних, ніж традиційні.

Включаючи до програми 10 класу курс „Елементи векторного числення”, вчитель має можливість провести побудову всього курсу геометрії на векторній основі. Однак можна піти й іншим шляхом: дати учням можливість з іншої точки зору поглянути на вже вивчене, використати нові методи при розв’язуванні задач і доведенні теорем. Зокрема, у процесі вивчення геометрії учням корисно дозволяти приводити „векторні” доведення різних теорем, дозволяти не викреслювати креслень, якщо доказову теорему можна легко представити „в уяві”, заохочувати використання плоского креслення перерізу тіла, достатнього для розв’язання поставленої задачі. Тобто, взагалі кажучи, корисно надавати учням свободу у виборі найраціональніших засобів розв’язання поставленої перед ними математичної проблеми.

При вивченні об’ємів многогранників і тіл обертання в основному доцільно використовувати формулу Сімпсона. Однак це не виключає використання для цієї мети поняття інтегралу чи принципу Кавальєрі чи, нарешті, традиційного „методу границь”. Слід звернути увагу учнів на необхідність доведення формул об’єму призми і циліндру „методом границь” зважаючи на те, що виведення формули Сімпсона спирається на ці співвідношення. Багато питань курсу можна запропонувати учням для самостійного вивчення. Наприклад, основні поняття і означення, що відносяться до деякого класу фігур – круглі тіла, многогранники тощо, – учні цілком можуть вивчити самостійно.

При вивченні теми „Елементи інтегрального числення” можна відштовхуватись від поняття визначеного інтегралу і тільки після його введення і моделювання у вигляді різних фізичних величин чи їх значень перейти до поняття визначеного інтегралу. Такий шлях виправдовує себе, оскільки знаходиться у деякій єдності зі схемою вивчення похідної:

задачі реального змісту, що приводять до цього поняття, і метод їх розв’язання;

деяка границя і різноманіття її реальних моделей;

обчислення цієї границі за її означенням і незручності цього способу обчислення;

вивчення властивостей цієї границі, виявлення зручних правил її обчислення і складання таблиць;

різні застосування при розв’язуванні задач.

Не слід приділяти особливу увагу відпрацюванню навику обчислення похідних та інтегралів, важливо, щоб учні свідомо оволоділи сутністю даних понять.

При постановці теми „Елементи геометрії Лобачевського” мається на увазі перш за все ознайомити учнів з методологічними основами побудови геометрії, дати поняття про аксіоматичний метод, проілюструвати цей метод на геометрії Лобачевского, виявити її відмінності від геометрії Евкліда. Тут же слід звернути увагу учнів на логічну структуру математичних понять, суджень та умовиводів (не означувані поняття і відношення, означувані поняття і відношення, аксіома, теорема, доведення, спростування, проблема існування математичного об’єкту).

Постановка елементів математичної логіки на початку навчання у 10 класі дозволить учням досить рано застосовувати логіко-математичну символіку при запису доведень теорем та розв’язань задач.

При введенні нової теми корисно використовувати методичний принцип: практика – теорія – практика. В силу цього принципу вивчення теми зазвичай починається з так званих „доцільних” задач практичного характеру, розв’язування яких приводить до необхідності чи принаймні доцільності вивчення відповідного розділу теорії. Цей методичний принцип можна застосовувати і в іншій формі: не за сходинками (практика – теорія – практика), а одночасно. Наприклад, при вивченні теми „Логарифми та логарифмічна функція” корисно, щоб учні вміли формулювати деякі властивості „трьома мовами” (мовою функцій, мовою логарифмів, мовою графіку):

логарифмічна функція f(x) = logax неперервна;

малій зміні числа відповідає така ж мала зміна його логарифма;

крива графіку – суцільна лінія;

властивість неперервності дає практичну можливість обмежитися при обчисленнях чотиризначними таблицями логарифмів:

lg 6,42567695 lg 6,426.

Корисно застосовувати у найрізноманітніших формах евристичний метод навчання. Наприклад, вивчення теми „Послідовності та прогресії” можна провести таким чином. Учням пропонується багато послідовностей, з яких треба вибрати серії особливих послідовностей (у них легко визначити наступний за останнім написаним член). Після класифікації даних послідовностей за серіями природно виникає питання про доцільність їх визначення, пошуку їх характеристичних властивостей і формул загального члена. Такий метод вивчення даної теми має сприяти досить успішному і ефективному її засвоєнню, викликаючи у учнів значний інтерес.

При проведенні уроків повторення слід звернути особливу увагу на систематизацію знань учнів за основними ідеями шкільного курсу математики („Вчення про число”, „Вчення про функцію”, „Обчислення площ та об’ємів” тощо). Повторення має охопити не тільки всі основні питання теорії, але й практики. Вправи, які при цьому розглядаються, повинні бути достатньо складними. Саме при повторенні доцільно розв’язувати задачі, що складають зміст конкурсних іспитів.

На закінчення відмітимо, що, окрім основної задачі (відбір, навчання та виховання молоді, що проявила до вивчення математики особливий інтерес та здібності), школи і класи фізико-математичного профілю розв’язують задачу пошуку перспективного змісту, форм і методів навчання математиці для масової школи, тобто є за сутністю своєрідними школами лабораторіями, що націлені у майбутнє [За Інтернет-виданням].

Розглянемо орієнтовне тематичне планування основного курсу математики для 10-11 профільних класів фізико-математичного напрямку. Воно розраховане на 480 годин учбового часу відповідно до навчального плану для класів цього профілю. При розробці робочої програми слід виходити з часу, що виділяється на предмет в даному навчальному закладі. Орієнтовний тематичний план узгоджений з навчальними засобами, що орієнтовані на профільне навчання. Цим планом передбачається сумісне вивчення геометрії та алгебри і початків аналізу. Такий підхід дозволяє якнайкраще розподілити час на вивчення окремих тем, забезпечити природні, внутрішні та міжпредметні зв’язки.

Для теми „Аксіоми стереометрії. Найпростіші геометричні тіла. Взаємне розташування прямих у просторі. Взаємне розташування прямих і площин у просторі” формулюється загальна мета її вивчання, наводяться основні вимоги до рівня її вивчання, її зміст, короткі методичні рекомендації та розробка уроку, що подано у додатку Б [46; 48; 49].

Основні вимоги до рівня навчання задаються шляхом переліку навичок, якими повинні оволодіти учні. Ці вимоги визначають обов’язковий мінімальний рівень оволодіння темою і спрямовані на діяльнісний підхід в навчанні.

Методичні рекомендації нададуть певну допомогу викладачам щодо розуміння особливостей математичної підготовки для класів даного профілю, а також при виборі різних методичних шляхів і методів викладу матеріалу.

Орієнтовний тематичний план.

Клас	№	Назва теми	Орієнтовна кількість годин на вивчення матеріалу
10	1.	Вступ. Повторення і поглиблення матеріалу 9-го класу	15
	2.	Тригонометричні та обернені тригонометричні функції	35
	3.	Многочлени від однієї змінної. Раціональні рівняння та нерівності	30
	4.	Аксіоми стереометрії. Найпростіші геометричні тіла	8
	5.	Взаємне розташування прямих у просторі	8
	6.	Координати і вектори у просторі	30
	7.	Числові функції. Границя і неперервність	32
	8.	Похідна та її застосування	35
	9.	Взаємне розташування прямих і площин у просторі	35
	Резерв часу та повторення		12
	Загальна кількість годин		240
11	10.	Показникова, логарифмічна та степенева функції	40
	11.	Тіла обертання та їх властивості	16
	12.	Многогранники	20
	13.	Інтеграл і диференціальні рівняння	40
	14.	Об’єми і площі поверхонь геометричних тіл	18
	15.	Многочлени від декількох змінних. Системи рівнянь і нерівностей	28
	16.	Комплексні числа	18
	17.	Елементи комбінаторики і теорії ймовірностей	40
	Резерв часу та повторення		22
	Загальна кількість годин		240

ВИСНОВКИ

У процесі дослідження і вивчення науково-методичної літератури, досвіду роботи закладів освіти, що запроваджують профільне навчання у старшій школі ми прийшли до висновків:

здійснення профільного навчання потребує цілеспрямованого формування контингенту учнів, розробки відповідного навчально-методичного забезпечення за кожним напрямом навчання, використання специфічних форм і методів роботи з учнями, що мають підвищену мотивацію до навчання, вимагає відповідної перепідготовки і підвищення кваліфікації вчителя, модернізації матеріально-технічної бази;

загальноосвітні школи мають створювати ті чи інші профілі навчання за рахунок комбінацій базових, профільних предметів і курсів за вибором. Цим самим забезпечується гнучка система профільного навчання, яка дає змогу обрати старшокласнику індивідуальну освітню програму;

курс математики, призначений для профілів гуманітарного напрямку, повинен сприяти, перш за все, становленню гуманітарної культури людини, формувати уявлення про математику як форму опису та метод пізнання дійсності, про роль математики для прогресу суспільства. Він повинен будуватись на основі широкого використання можливостей образного мислення учнів;

курс математики, призначений для профілів природничого напрямку, забезпечуючи гармонійний розвиток образного і логічного мислення, повинен особливу увагу приділяти з’ясуванню ролі математики в сферах її застосувань. Насамперед це означає, що учні повинні оволодіти простими навичками математичного моделювання. Саме такий вид діяльності має бути головним у навчанні майбутніх інженерів, техніків, технологів, конструкторів, механіків, природознавців тощо. Досягти цього можна за рахунок зваженого компромісу між строгістю і доступністю викладення матеріалу, а також його прикладною спрямованістю;

у школах і класах економічного напряму передбачається закріплення у учнів початкового інтересу до діяльності, пов’язаною з економікою. Для уроків математики доцільний відбір такого навчального матеріалу, який зміцнить фундамент математичної підготовки школяра, необхідної для успішного оволодіння тією чи іншою економічною професією. Наявність у шкільній математиці деяких прикладних задач, що будуть показувати, як математика може успішно працювати в економіці, сприятиме необхідній профільній орієнтації школяра, а також отриманню ним елементарної профільної грамотності;

навчання у профільному класі з поглибленим вивченням математики повинно давати учням глибокі математичні знання і широкий математичний розвиток на базі основного курсу математики. Головний принцип, який визначає математичну підготовку у класах цього профілю, – принцип поступового моделювання професійної діяльності математика. Окрім основної задачі (відбір, навчання та виховання молоді, що проявила до вивчення математики особливий інтерес та здібності), класи фізико-математичного профілю розв’язують задачу пошуку перспективного змісту, форм і методів навчання математиці для масової школи;

для реалізації вищезазначених особливостей вивчення математики у профільних класах необхідно детально розробляти методику викладання різних тем відповідно до профілю.

На закінчення хочеться відзначити, що дана тема є актуальною і корисною. Матеріал, який подано у роботі, може бути використаний вчителями математики та студентами для проведення занять з математики у профільних класах, а також для дослідження особливостей вивчення математики у профільних класах.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия: Для 10-11 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1992.

Алфімов В., Артемов М., Пономаренко В. Навчальний план ліцею // Рідна школа. – 2000. – Травень. – С. 68-71.

Бабенко О. В. Прямі і площини в просторі, 9-й клас / Математика. – 2004. – № 10. – С. 21-23.

Бевз В., Мерзляк А., Слєпкань З. Програма з математики для загальноосвітніх навчальних закладів, 5-11 класи // Математика в школі. – 2003. – № 6. – С. 1-14.

Бевз Г. П. та ін. Геометрія: Підруч. для 10-11 кл. з поглибл. вивч. матем. в загальноосвіт. серед. закладах. – К.: Освіта, 2000.

Білицький О. Управління процесом розвитку особистості засобами варіативного компоненту змісту освіти / Директор школи. – 2002. – № 8. – С. 2-3.

Біляк Б., Дуда О. Профільне навчання в загальноосвітніх навчальних закладах // Директор школи, ліцею, гімназії. – 2003. – № 4. – С. 44-47.

Бродський Я. С., Павлов О. Л., Сліпенко А. К., Афанасьєва О. М. Проект програми з математики для 10-11 класів технічного та природничого профілів / 1 вересня. – 2000. – № 48. – С. 11-16.

Бродський Я., Павлов О. Про нові програми з математики / Математика. – 2000. – № 25-26. – С. 2-4.

Бродський Я., Павлов О., Сліпенко А., Хаметова З. Готуємо майбутніх математиків // Рідна школа. – 2000. – Травень. – С. 59-62.

Броневщук С. Г. Профильное обучение и единый государственный экзамен / www.minobr.sakha.ru

Бугайов О. І., Дейкун Д. І. Диференціація навчання учнів у загальноосвітній школі. – К.: Освіта, 1992.

Бурда М. І., Дубинчук О. С., Мальований Ю. І. Математика, 10-11: Навчальний посібник для шкіл (класів) гуманітарного спрямування. – К.: Освіта, 2000.

Бурда М. І., Жалдак М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М., Шкіль М. І., Ядренко М. Й. Програма поглибленого вивчення математики в 10-11 профільних класах // Математика в школі. – 2003. – № 6. – С. 19-25.

Бурда М., Мальований Ю. Програма з математики для класів гуманітарного напряму, 10-11 класи // Математика в школі. – 2003. – № 6. – С. 14-17.

Буркова Л. Дванадцятирічна освіта: реалії і перспективи // Рідна школа. – 2000. – Листопад. – С. 3-6.

Васильєва Р. Навчальний план у багатопрофільному ліцеї / Директор школи. – 2003. – № 10. – С. 9.

Василюк А., Жук О. Основна школа в системі європейської середньої освіти // Директор школи. Україна. – 2002. – № 1. – С. 50-58.

Войтенко Т., Соколова М., Уланов В. Разноуровневое обучение: положительные результаты и негативные последствия // Директор школи. Україна. – 2001. – № 2. – С. 15-23.

Диференціація та стандартизація математичної освіти в загальноосвітніх навчально-виховних закладах та вищих навчальних закладах першого та другого рівнів акредитації: Звіт про НДР (заключний) / www.home.skif.net

Дорофеев Г. В., Кузнецова Л. В., Суворова С. Б., Фирсов В. В. Дифференциация в обучении математике // Математика в школе. – 1990. – № 4. – С. 18-21.

Дунець Л., Дунець О. Формування професійних інтересів у майбутніх фахівців // Рідна школа. – 2001. – Січень. – С. 48-49.

Жафяров А. Ж. Профильное обучение математике старшеклассников: Учебно-дидактический комплекс. – Новосибірск: «Сибирское университетское издательство», 2003. – 466 с.

Інструктивно-методичний лист про вивчення математики у 2003/2004 навчальному році // Математика в школі. – 2003. – № 6. – С. 2-7.

Кабардін О. Профільна школа / Завуч. – 2002. – № 16. – С. 2-3.

Каминская И. Кошелёк тут ни при чём / www.ug.ru

Квадріціус Л. В. Операції над множинами / Математика. – 2003. – № 5. – С. 5-8.

Кизенко В. Дидактичні засади організації шкільного факультативного навчання // Освіта і управління. – 2003. – Т. 6, № 2. – С. 117-124.

Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л., Фёдорова Н. Е. О создании курса математики для школ и классов экономического направления // Математика в школе. – 1993. – № 3. – С. 43-45.

Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. Профильная дифференциация обучения математике // Математика в школе. – 1990. – № 4. – С. 21-27.

Концепція профільного навчання в старшій школі / Освіта України. – 2003. – № 42-43. – С. 8-9.

Концепція розвитку загальної середньої освіти / Освіта України. – 2000. – № 3. – С. 8-11.

Кремень В. Старша школа має перейти на профільне навчання / Освіта України. – 2002. – № 49. – С. 3.

Лейфура В. М., Голодницький Г. І., Файст Й. І. Математика: Підручник для студентів екон. спеціальностей вищ. навч. закладів І-ІІ рівнів акредитації / За ред. В. М. Лейфури. – К.: Техніка, 2003. – 640 с.

Лернер П. Профільна освіта старшокласників: якою їй бути? / Завуч. – 2003. – № 14. – С. 6-7.

Лікарчук І. Проблема профілізації навчання в старшій школі та шляхи її розв’язання / Директор школи. – 2003. – № 20. – С. 9-10.

Матізин Т. Новій державі – нову школу // Рідна школа. – 2000. – № 2. – С. 65-66.

Некоз Г., Десятниченко Н. Профільне навчання в технічному ліцеї / Завуч. – 2002. – № 16. – С. 16-18.

Олійник В. Дистанційне навчання – не розкіш, а шлях до... відкритої освіти / Освіта України. – 2002. – № 49. – С. 4.

Осмоловская И. Нужны вариативность, гибкость и готовность удовлетворить потребности каждого ученика // Директор школи. Україна. – 2001. – № 2. – С. 41-46.

Петренко С. В., Барсук Н. О. Профільна освіта – вимога сучасності / Діяльність навчального закладу як умова розбудови освітнього простору регіону. Матеріали Всеукраїнської науково-практичної конференції. – Чернігів: РВВЧДПУ, 2004. – С. 61-63.

Петренко С. В., Мартиненко О. В. Особливості навчання математики в профільній школі / Діяльність навчального закладу як умова розбудови освітнього простору регіону. Матеріали Всеукраїнської науково-практичної конференції. – Чернігів: РВВЧДПУ, 2004. – С. 63-66.

Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1991. – 384 с.

Пустовая Є. Профорієнтація: проблеми, досвід, перспективи / Завуч. – 2003. – № 9. – С. 2-3.

Реморенко И. Моя профильная школа / Україна. Огляд. – 2003. – Травень. – С. 12.

Роганін О. М. Аксіоми стереометрії. Різнорівневі завдання, 10-й клас / Математика. – 2003. – № 33. – С. 11-16.

Роганін О. М., Тавшунська Т. П. Тестові завдання. Стереометрія, 10-й клас / Математика. – 2002. – № 34. – С. 20-24.

Савченко Л. В. Геометрія, 9-й клас, опорні конспекти / Математика. – 2003. – № 27-28. – С. 35.

Слєпкань З. І. Методика навчання математики: Підруч. для студ. мат. спеціальностей пед. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512 с.

Стрельченко О., Вайнтрауб М., Стрельченко І. Програма з математики для класів економічного профілю // Математика в школі. – 2003. – № 5. – С. 43-51.

Тимошенко Н. М. Початкові поняття стереометрії / Математика. – 2003. – № 48. – С. 6-8.

Чернер С. Досвід організації варіативного і профільного навчання / Завуч. – 2002. – № 16. – С. 5-6.

Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М. Алгебра і початки аналізу: Підр. для учнів 10 кл. з поглибл. вивч. матем. в загальноосвіт. серед. закладах. – К.: Освіта, 2000.

Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М. Алгебра і початки аналізу: Підр. для учнів 11 кл. з поглибл. вивч. матем. в загальноосвіт. серед. закладах. – К.: Освіта, 2000.

Шукевич Ю. Концепція неперервної економічної освіти / Завуч. – 2002. – № 16. – С. 9-10.

Додаток Б

Розробки уроків з математики відповідно до профілю

Для класів загальнокультурного напрямку

Тема. Прямі та площини у просторі

МЕТА

Мета теми – закласти основи для навчання учнів конструюванню геометричних тіл, дослідженню їх властивостей і вимірюванню геометричних величин; продовжити реалізацію ідеї моделювання реальних об’єктів і відношень між ними за допомогою геометричних фігур і відповідних математичних відношень; сприяти розвитку в учнів навичок логічного виведення.

ОСНОВНІ ВИМОГИ

В результаті вивчення теми учні повинні вміти:

встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин;

будувати зображення фігур і на зображеннях виконувати нескладні побудови;

обчислювати відстані і кути у просторі.

ЗМІСТ ТЕМИ

Основні поняття і фігури стереометрії. Взаємне розміщення прямих і площин у просторі. Зображення фігур у стереометрії. Перпендикулярність прямої і площини, двох площин. Вимірювання відстаней і кутів у просторі.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути широке застосування геометричних образів, їх моделей і зображень. Учні повинні навчитися перш за все “бачити” розміщення прямих і площин, відповідні кути і відстані, а вже потім вміти обґрунтувати свої просторові уявлення, спираючись на означення, ознаки, властивості та інші твердження.

Формування просторових уявлень учнів є головним завданням даної теми. Тому важливе місце треба відвести їх навчанню зображати просторові фігури на площині, а також виконувати нескладні побудови на зображеннях. Перш за все мається на увазі побудова різних елементів фігур (медіан, середніх ліній та ін.), точок перетину прямої і площини, двох площин. Крім того, достатню увагу треба звернути на побудову перерізів куба, паралелепіпеда, тетраедра. Безумовно ці тіла повинні з’явитися якомога раніше, тому що на них зручно ілюструвати усі поняття і твердження.

Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості викладання теми. Головним в цьому є формування чітких уявлень про взаємовідношення властивостей геометричних фігур і відношень між ними і предметами навколишнього середовища.

Конспект уроку

Тема уроку. Прямі і площини в просторі.

Мета уроку: сформувати уявлення про площину, прос­тір, нескінченність; ознайомити учнів зі способами задання площини, розміщення площин і прямих у просторі.

Освоївши матеріал уроку, учні повинні:

знати:

способи задання площин;

розміщення прямих і площин у просторі;

основні математичні позначення;

аксіоми стереометрії;

вміти:

зображати та знаходити на малюнках прямі і площини;

застосовувати аксіоми стереометрії до розв’язування задач.

Хід уроку

І. Виклад матеріалу.

Поняття простору і площини

Досі ви вивчали геометрію площини — планімет­рію. Сьогодні ми ознайомимося з геометрією про­стору — стереометрією. Так само, як і планіметрія, стереометрія оперує поняттями: точка, відрізок, промінь, пряма, та додається нове поняття — «пло­щина». Щоб створити образ цього поняття, уявімо рух точки, прямої і площини.

Точка рухається в одному напрямі, образом її руху є... (учні відповідають — пряма).

Горизонтальна пряма рухається, скажімо, верти­кально. Образом її руху стане... (площина, — відпові­дають учні).

Площина рухається і заповнює простір.

Зауважимо, що пряма, площина, простір не­скінченні. Розуміння нескінченності у математиці, фізиці, історії різне.

Математики мислять масштабно: нескінченність це дуже багато і далеко. Фізики можуть вважати не­скінченно великим навіть відрізок завдовжки в один сантиметр, залежно від того, чим вимірювати. Якщо, наприклад, атомами, електронами, протонами.

А якщо вимірювати час: сьогодні, завтра, учора, зараз, цієї хвилини, цієї секунди? Навіть найваж­ливіші події з часом стають історією. А коли? Ми спостерігаємо за подіями «із зовні», «з нескінчен­ності кроків». Велике бачиться на відстані, віч-на-віч обличчя не побачити. Але щоб оцінити важливість події, потрібно віддалитися від неї на нескінченно багато миттєвостей, пережити й набути досвіду. У кожного ці миттєвості свої, але світ єдиний, відрізня­ються лише точки зору на нього. Наочно уявити не­скінченність допоможе гравюра Ешера.

Ми живемо в просторі, в тривимірному світі. Площина допомагає людині сприймати світ, роз­глядати його. Планіметрія це завдання виконувала протягом багатьох століть. Площина потрібна для того, щоб зосередити думки, зупинити мить. Цим прийомом користуються і художники. Перед вами репродукція картини В.І.Сурикова „Бояриня Моро­зова”.

Картина розтягнута в ширину, ніби підкреслює масштабність події. На триптиху П.Д.Коріна «Олек­сандр Невський» постать у цен­тральній частині витягнута, зібрана, натягнута як струна. Відразу сприймаєш велич духу людини. Прикладів застосування математичних понять у різних галузях знань багато. Наприк­лад, уявлювані площини в хімії допомогли створити теорію ізомерів. А в природі кожен листок, перебуваючи у своїй площині, повертається до Сонця, і планета дихає.

Можна навести ще багато прикладів, але ви вже зрозумі­ли, що з площинами ми зустрі­чаємося щодня. Моделлю пло­щини може бути, скажімо, по­верхня учнівського стола.

Пригадаємо, як можуть розміщатися прямі на площині. (Учні відповідають.)

Правильно, прямі можуть перетинатися і не пе­ретинатися. Як же можна задати площину? (Учні відповідають.)

Підбиваємо підсумок. Площину можна задати: трьома точками, що не лежать на одній прямій, па­ралельними прямими, прямими, що перетинаються, прямою і точкою, що не лежить на цій прямій.

А зараз перевіримо ваше уміння бачити і спосте­рігати.

• Перед вами фотографія пам'ятника Петру І в Санкт-Петербурзі. Чому кінь не падає? Адже він стоїть на двох но­гах!?

• Коли три мухи, які летять, будуть в одній пло­щині?

• Чому табурет на трьох ніжках більш стійкий, ніж табурет на чотирьох ніжках?

Розміщення площин і прямих у просторі.

Площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. Запис: .

Площини перетинаються, якщо вони мають хоча б одну спільну точку. Площини перетинаються по прямій. Запис: .

Паралельні площини і площини, що перетина­ються, утворюють видимий об'єм наших приміщень. Ви не помічали, що площина стелі, пофарбована білим, робить кімнату вище? А якщо стіни зробити червоними, то в людини підвищується рівень адре­наліну в крові. А жовтий і зелений кольори заспо­коюють.

У просторі, так само, як і на площині, пряма за­дається двома точками. Прямі можуть бути паралель­ними або перетинатися, тоді вони лежать в одній площині.

Прямі в просторі, які лежать у різних площинах, та не паралельні і не перетинаються, називаються мимобіжними.

Розміщення прямої і площини.

Пряма і площина можуть перетинатися. Запис: .

Пряма може бути паралельною площині. Запис: . У цьому випадку пряма і площина спільних точок не мають.

Пряма, яка перетинає площину, перпендикуляр­на до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині, і прохо­дить через точку перетину. Запис: .

Відстанню від точки до площини називається дов­жина перпендикуляра, проведеного з цієї точки до площини.

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпен­дикулярна до прямої перетину даних площин, пере­тинає їх по перпендикулярних прямих.

II. Закріплення матеріалу.

Задачі на розглядання

Задача 1. Назвіть (рис. 1):

точку перетину прямої АD і площини DD1C;

лінію перетину площин АDD1 і DD1С;

в яких площинах лежить точка В;

три прямі, що проходять через точку D, пере­тинають четверту в точках А, В, С.

Рис. 1 Рис. 2

Доведіть, що точки А, В, С і D лежать в одній площині.

Задача 2 (рис. 2). Назвіть:

точку перетину прямої BD і площини АВС;

лінію перетину площини АВD і СВD;

в якій площині не лежить точка С.

Прямі АВ і АС перетинаються з деякою прямою в точках К і М відповідно. Доведіть, що М, К, С, і В лежать в одній площині.

Задача 3. Назвіть (рис. 3):

точку перетину прямої МС і площини ВВ1С;

лінію перетину площин МС1С і ВСВ1;

в яких площинах лежить пряма МD.

Доведіть, що точки А, В, С і D лежать в одній площині.

Задача 4. Побудуйте лінію перетину (рис. 4):

площини АВС і прямої МК;

площини МКВ і АВ.

Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5

Задача 5. Чи лежить точка К в площині паралелограма АВСD, якщо N належить прямій AD, а М належить прямій ВС (рис. 5)?

Задачі на уяву

1. Чи можуть дві різні площини мати три спільні точки, що не лежать на одній прямій?

2. Чи можуть дві різні площини перетинатися по двом прямим?

3. Прямі а, b, c не належать одній площині, але проходять через одну точку. Скільки різних площин можна провести через ці прямі, взяті по дві?

4. Площини перетинаються по прямій а. Пряма b, що лежить у площині, перетинає площину в точці А. Де лежить точка А?

5. Точка А і В та пряма СD не лежать в одній площині. Яке взаємне розміщення прямих CD i AB?

Завдання на розуміння мови математичних символів

Дано вирази

Серед цих виразів знайдіть помилкові.

Який із записів відповідає висловленню:

а) площини перетинаються по прямій а;

б) точка А є точкою перетину площини і прямої а?

2. Як можуть розміщатися прямі а та АВ у площинах і ? Запишіть мовою символів.

ІІІ. Домашнє завдання.

Вивчити опорний конспект, розв’язати задачі.

Запишіть висловлення мовою символів:

точка А перетинає площину в точці В;

прямі КА і КВ перетинаються в точці К;

пряма КН перпендикулярна до прямої МС. На перетині прямих лежить точка К.

Тестові завдання

а) Дано куб АВСДА1В1С1Д1. яка з точок не лежить у площині квадрата АВСД?

1) М; 2) К; 3) N; 4) Р.

б) Дано тетраедр АВСS. Яка з точок не лежить у площині трикутника АВС?

1) А; 2) Z; 3) Y; 4) X.

2. а) Якій із вказаних площин куба не належить точка А?

1) ВСД; 2) А1С1С; 3) ВВ1А1; 4) ВСС1.

б) Якій із вказаних площин тетраедра належить точка У?

1) ASB; 2) ASC; 3) BSC; 4) ZBC.

3. У просторі дано прямі а та в, які перетинають­ся в точці С. Скільки різних площин можна провес­ти через ці прямі?

1) дві; 2) безліч; 3) одну; 4) жодної.

4. а) Площини тетраедра АSС і АSВ перетинаються по прямій:

1) AS; 2) AB; 3) AC; 4) SC.

б) Площини куба АВС і В1ВД перетинаються по прямій:

1) ВС; 2) ВД; 3) АВ; 4) ВВ1.

а) Площину ABS тетраедра можна задати прямими:

1) АВ і АS; 2) АВ і АС; 3) АС і ВС.

б) Площину грані АА1Д1Д куба АВСДА1В1С1Д1 можна задати прямими:

1) Д1Д і ДС; 2) АД і АВ; 3) АА1 і АД; 4) А1Д1 і Д1С1.

Для класів природничого профілю

Тема. Прямі та площини у просторі

МЕТА

Мета теми – закласти основи для навчання учнів конструюванню геометричних тіл, дослідженню їх властивостей і вимірюванню геометричних величин, що пов’язані з ними; продовжити реалізацію ідеї моделювання реальних об’єктів і відношень між ними за допомогою найпростіших просторових геометричних фігур і відповідних математичних відношень; сприяти розвитку в учнів навичок логічного виведення, уявлень про аксіоматичний метод.

ОСНОВНІ ВИМОГИ

В результаті вивчення теми учні повинні вміти:

встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зокрема паралельність і перпендикулярність прямих, прямої і площини, двох площин;

будувати зображення фігур і на зображеннях виконувати нескладні побудови (елементів фігур, точок перетину прямої та площини, двох площин, переріз куба, тетраедра тощо);

обчислювати відстані і кути у просторі;

застосовувати відношення паралельності і перпендикулярності, а також вимірювання відстаней і кутів у просторі для опису об’єктів фізичного простору.

ЗМІСТ ТЕМИ

Аксіоми стереометрії та найпростіші наслідки з них.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі. Паралельність прямої та площини. Паралельність площин. Паралельне проектування та його властивості. Зображення фігур у стереометрії.

Перпендикулярність прямої і площини. Перпендикулярність площин. Ортогональне проектування. Вимірювання відстаней у просторі. Вимірювання кутів у просторі.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути розумне поєднання наочно-геометричного та логічного у викладі. При вивченні основних понять і фактів, пов’язаних зі взаємним розміщенням прямих і площин, слід віддати перевагу синтетичному, наочно-геометричному викладенню, а потім використовувати вектори та координати для поглиблення та розширення знань учнів при вивченні прямих і площин у просторі. Такий підхід зберігає логічні зв’язки між зазначеними питаннями. Адже для вивчення поняття вектора у просторі і його властивостей використовується паралельність прямих і площин, для введення координат у просторі – перпендикулярність прямої і площини, перпендикулярність площин тощо.

Формування просторових уявлень учнів є головним завданням даної теми. Тому важливе місце треба відвести їх навчанню зображати просторові фігури на площині і застосуванню цих зображень до розв’язування задач. І зробити це доцільно якомога раніше.

Для ілюстрації розглядуваних понять і теорем доцільно використовувати найпростіші тіла, зокрема куб і тетраедр.

У більшості навчальних посібників з геометрії відношення паралельності прямих і площин розглядається раніше перпендикулярності. Цей підхід дозволяє більш чітко і повно подати ідеї аксіоматичної побудови геометрії, сконцентрувати увагу учнів на задачах на доведення і побудову, зокрема на проекційному кресленні.

Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості викладання теми. Головним в цьому є формування чітких уявлень про взаємовідношення властивостей геометричних об’єктів (прямих, площин) і відношень між ними і предметами навколишнього середовища.

При вивченні стереометрії постійно доводиться спиратися на зв’язок між планіметричними та стереометричними поняттями та фактами. З одного боку, необхідно максимально використовувати аналогію між ними у ряді випадків. А з іншого боку, необхідно попередити необґрунтоване перенесення „плоских” результатів у простір.

Конспект уроку

Тема уроку. Основні поняття стереометрії. Просторові тіла. Аксіоми стереометрії.

Мета уроку: ознайомити учнів з основними поняттями стереометрії, сприяти формуванню в учнів уявлень про найпростіші просторові тіла, про аксіоматичний метод, розвитку навичок логічного виведення, а також застосування аксіом стереометрії та наслідків з них до розв’язування задач.

Освоївши матеріал уроку учні повинні:

знати:

що вивчає стереометрія;

що є найпростішими фігурами простору;

аксіоми стереометрії;

теореми про існування та єдність площини, що проходить:

через пряму та точку, яка їй не належить;

через три точки, що не лежать на прямій.

вміти:

зображати та знаходити на малюнках прямі і площини;

застосовувати аксіоми стереометрії та наслідки з них до розв’язування задач;

зображати та знаходити на малюнках паралельні, мимобіжні прямі та прямі, що перетинаються.

Хід уроку

І. Вступ

У 10 класі ви починаєте вивчати новий розділ геометрії – стереометрію. У молодших класах ви вивчали такий розділ, як планіметрія, тобто всі фігури (точка, пряма, трикутник, трапеція тощо) ви вивчали на площині. Саму ж площину як фігуру не розглядали.

ІІ. Пояснення нового матеріалу

Основні поняття стереометрії

Стереометрія – це розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі. Найпростішими фігурами простору є:

точка: А, В, С,...

пряма: а, в, с,...

площина: ,..., (АВС).

Площину ми уявляємо собі як рівну поверхню кришки столу і тому будемо зображати її у вигляді паралелограму.

площина (АВС)

Взагалі площини позначаються грецькими літерами: . Площина, як і пряма, нескінченна. На малюнку ми позначаємо тільки частину площини, але уявляємо її необмежено продовженою у всі сторони.

площина

Введемо основні позначення:

АВ – пряма;

[АВ] – відрізок;

[АВ) – промінь з початком в точці А;

|АВ| – довжина відрізку;

А є а належить

– точка А прямій а;

А а не належить

(АВС) – площина;

А є належить

– точка площині ;

А не належить

АВ належить

– пряма АВ площині ;

АВ не належить

{А; а} – точка А та пряма а належать площині ; точка А та пряма а визначають площину ;

а ∩ в = К – прямі а і в перетинаються в точці К;

а ∩ = N – пряма а і площина перетинаються в точці N;

= АВ – площини і перетинаються по прямій АВ.

Аксіоми стереометрії

Властивості геометричних фігур в стереометрії ми будемо встановлювати шляхом доведення теорем. Але щоб доводити теореми, нам необхідно спиратися на деякі вихідні твердження. Такі твердження називають аксіомами. Оскільки на цих твердженнях ґрунтується доведення теорем стереометрії, то вони отримали назву – група аксіом С.

С1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать цій площині.

С2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

}

С3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і притому тільки одну.

а ∩ в| {а, в},

– єдина.

Таким чином, група аксіом С, а також ті аксіоми, що ви вивчали у молодших класах у розділі планіметрія, і складають систему аксіом стереометрії.

Зауважимо, що не всі аксіоми планіметрії механічно переносяться до системи аксіом стереометрії. Прикладом тому є аксіома ІV: пряма розбиває площину на дві півплощини. Проілюструємо її на рисунку.

Як бачимо, аксіому ІV слід формулювати тепер таким чином: пряма, що належить площині, розбиває її на дві півплощини.

Також нагадаємо аксіому І планіметрії, оскільки вона знадобиться нам для доведення теорем.

І. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать цій прямій. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і притому тільки одну.

Наслідки з аксіом

Теорема 1. Через пряму і точку, що належить даній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

Дано: пряма АВ, точка С АВ.

Довести: 1) існує {АВ, С};

2) єдина.

Доведення

1) Проведемо пряму АС (аксіома І). АС і АВ різні, оскільки С АВ. За аксіомою С3: АВ і АС визначають площину .

2) Доведемо єдність (методом від супротивного).

Нехай існує ще одна площина , що проходить через АВ і точку С. За аксіомою С2: точки А, В і С повинні лежати на одній прямій. Це суперечить умові, що С  АВ. Припущення не вірне.

Маємо дві точки А і С, яку аксіому планіметрії можна використати?

Погляньте на малюнок: маємо дві прямі, що перетинаються. Яка аксіома тут працює?

Яким методом в геометрії доводиться єдність чого-небудь?

З якою умовою задачі ми отримали протиріччя?

Теорему доведено.

Теорема 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

А |

.

В |

Опорна задача. Якщо дві площини мають дві спільні точки, то вони перетинаються по прямій, що містить ці точки.

Наслідок. Пряма і площина

не перетинаються

(немає спільних точок) перетинаються

(мають одну спільну точку)

(принаймні дві

спільні точки)

Теорема 3. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

Дано: а.

Довести: 1) існує ;

2) – єдина.

Доведення.

1) Проведемо прямі АВ і АС (аксіома І), вони різні, оскільки а. За аксіомою С3: через прямі АВ і АС можна провести площину .

2) Доведемо єдність.

За теоремою 2: . За аксіомою С3 така площина єдина.

Теорему доведено.

Побудова перерізів просторових фігур

Перерізом многогранника називається многокутник, що утворюється при перетині многогранника з площиною.

Щоб будувати прості перерізи, слід вміти будувати:

1) лінію перетину двох площин	Для цього знаходять дві точки шуканої прямої і через них проводять пряму
2) точку перетину прямої і площини	Для цього знаходять у даній площині пряму, що перетинає дану пряму; точка перетину цих прямих є шуканою. Ці прямі повинні лежати в одній площині

ІІІ. Практичне закріплення нового матеріалу

Задача 1. Дано зображення піраміди SABC. Побудувати переріз піраміди площиною , що проходить через ребро АВ і точку К.

Розв’язання

При розв’язуванні використаємо опорну задачу.

1) К є (SCB),

K є ,

В є (SCB),

B ,

2) К є (SCA),

K ,

А є (SCA),

A ,

3) ΔКАВ – шуканий переріз.

Задача 2. Точка М – середина ребра АА1 куба АВСДА1В1С1Д1. побудувати точку перетину прямої Д1М з площиною (АВС).

Розв’язання

1) МД1 (АА1Д1),

АД (АА1Д1),

АД (АА1Д1),

2) АД ∩ МД1 = К,

3) точка К – шукана.

ІV. Домашнє завдання. Підсумки уроку

Коментарій домашнього завдання: вивчити конспект, № 1, № 7 (за підручником Погорєлова А. В. Геометрія 7-11 кл., Просвещение, 1989), розв’язати задачу.

Задача. Побудувати переріз куба АВСДА1В1С1Д1 площиною, що проходить через точку М – середину ребра АА1 та діагональ В1Д1. Обчислити периметр перерізу, якщо ребро дорівнює 10 см.

Тестові завдання

1. а) Які з наведених фігур можуть бути тільки плоскими, а які — тільки просторовими?

1) круг; 2) куля; 3) квадрат; 4) куб; 5) прямокут­ний паралелепіпед; 6) ромб; 7) піраміда; 8) циліндр.

б) Наведіть приклади плоских та просторових фігур з навколишнього оточення.

2. Назвіть вершини, ребра та грані многогранників, зображених на малюнках.

а) б)

3. Дано зображення куба АВСДА1В1С1Д1. Вкажіть:

а) точки, що не належать грані АА1ДД1;

б) точки, що належать грані ВВ1С1С.

4. Дано зображення куба АВСДА1В1С1Д1. Вкажіть:

а) пряму перетину грані АА1Д1Д і нижньої основи;

б) пряму перетину грані ВВ1С1С і нижньої основи.

5. а) Столяр за допомогою двох ниток перевіряє, чи буде стійким на рівній підлозі виготовлений стілець, що має чотири ніжки. Як для цього треба натягнути нитки? На яке теоретичне положення спи­рається така перевірка?

6) Щоб поверхня розпилу чотирикутної балки була плоскою, тесля робить так: позначає на ребрі балки точку А та проводить від неї у потрібному на­прямі дві прямі АВ і АС у суміжних площинах по­верхні балки; потім скеровує пилку по намічених прямих. Поясніть, чому у такий спосіб одержимо плоску поверхню розпилу.

6. Дано зображення куба АВСДА1В1С1Д1. Доведіть, що можна провести площину:

а) через прямі АС і СС1;

б) через прямі ВД і ДД1.

7. Зобразіть:

а) площину , яка проходить через точки А і В та не проходить через точку С;

б) площини і , які перетинаються по прямій а.

8. а) Чи можуть дві площини мати тільки одну спільну точку?

б) Чи можуть три площини мати тільки одну спільну точку?

9. Користуючись малюнком, назвіть:

а) точки, що лежать у площинах АДВ і ДВС; АВС і ДСВ;

б) прямі перетину площин АВС і СДА; АВС і ДСВ.

Для класів економічного профілю

Тема. Елементи стереометрії

МЕТА

Мета теми – закласти основи для навчання учнів конструюванню геометричних тіл, дослідженню їх властивостей і вимірюванню геометричних величин, що пов’язані з ними; продовжити реалізацію ідеї моделювання реальних об’єктів і відношень між ними за допомогою найпростіших просторових геометричних фігур і відповідних математичних відношень; сприяти розвитку в учнів навичок логічного виведення, уявлень про аксіоматичний метод.

ОСНОВНІ ВИМОГИ

В результаті вивчення теми учні повинні вміти:

встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зокрема паралельність і перпендикулярність прямих, прямої і площини, двох площин;

будувати зображення фігур і на зображеннях виконувати нескладні побудови (елементів фігур, точок перетину прямої та площини, двох площин, переріз куба, тетраедра тощо);

обчислювати відстані і кути у просторі;

застосовувати відношення паралельності і перпендикулярності, а також вимірювання відстаней і кутів у просторі для опису об’єктів фізичного простору.

ЗМІСТ ТЕМИ

Основні поняття і аксіоми стереометрії. Паралельність прямих і площин. Паралельне проектування та його властивості. Перпендикулярність прямих і площин. Перпендикуляр і похила до площини. Перпендикулярні площини. Ортогональне проектування. Двогранні та многогранні кути.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути широке застосування геометричних образів, їх моделей і зображень. Учні повинні навчитися перш за все “бачити” розміщення прямих і площин, відповідні кути і відстані, а вже потім вміти обґрунтувати свої просторові уявлення, спираючись на означення, ознаки, властивості та інші твердження.

Після введення аксіом та наслідків з них обов’язково ознайомити учнів з технікою виконання найпростіших стереометричних креслень та побудовою перерізів. При розгляді взаємного розташування прямих у просторі доцільно довести теореми про транзитивність паралельності прямих у просторі, про рівність двох кутів із спів напрямленими сторонами, дати учням уявлення про напрям у просторі, про кути між мимобіжними прямими. Корисним буде розв’язування задач на побудову у просторі: проведення через точку прямої, паралельної до даної, прямої, що перетинає дану під заданим кутом, прямої, мимобіжної до даної, проведення через точку прямої, паралельної до даної площини і площини, паралельної даній прямій. Доцільно обговорити з учнями число розв’язків задач на побудову.

Після теореми про відрізки паралельних прямих, що містяться між двома паралельними площинами слід розглянути просторову теорему Фалеса. Що стосується відстаней у просторі, то, окрім відстаней між різними геометричними об’єктами (точки, прямі, площини, фігури, мимобіжні прямі), слід розглянути геометричні місця точок простору, пов’язані з відстанями, способи знаходження відстаней між фігурами у просторі.

Формування просторових уявлень учнів є головним завданням даної теми. Тому важливе місце треба відвести їх навчанню зображати просторові фігури на площині, а також виконувати побудови на зображеннях. Перш за все мається на увазі побудова різних елементів фігур (медіан, середніх ліній та ін.), точок перетину прямої і площини, двох площин. Крім того, достатню увагу треба звернути на побудову перерізів куба, паралелепіпеда, тетраедра. Безумовно ці тіла повинні з’явитися якомога раніше, тому що на них зручно ілюструвати усі поняття і твердження.

Конспект уроку

Тема уроку. Основні поняття стереометрії. Просторові тіла. Аксіоми стереометрії.

Мета уроку: розширити і систематизувати відомості про методи побудови курсу геометрії, про властивості основних геометричних фігур на площині та в просторі; розвивати кмітливість, творчу уяву, інтерес до геометрії.

Освоївши матеріал уроку учні повинні:

знати:

аксіоми стереометрії та наслідки з них;

вміти:

застосовувати аксіоми та теореми-наслідки з них до розв’язування задач.

Хід уроку

І. Вступне слово вчителя

Геометрія – одна з найдавніших наук, яка вимагає вміння логічно мислити, застосовувати теоретичні знання на практиці. До сьогоднішнього дня ви вивчили планіметрію. У цьому році ви починаєте новий розділ геометрії – стереометрію. Сьогодні ми з вами трохи пограємось на уроці. Усі знають, що найкращий спосіб вивчити що-небудь – це відкрити самому. Тому бажаю вам сьогодні якнайбільше відкриттів у знаннях та здобуття найвищих досягнень.

ІІ. Пояснення нового матеріалу

Запишіть у зошиті тему уроку. Розділ геометрії, в якому вивчають фігури у просторі, називається стереометрією. Поняття точки, прямої і площини в стереометрії пер­вісні, не означувані. У геометрії площину уявляють необмеженою, ідеально рівною і гладенькою, що не має ніякої товщини. В планіметрії розглядають тільки одну площину. В стереометрії доводиться розрізняти багато площин.

Зображають площини у вигляді паралелограмів або кусків площини, обмежених довільними замкненими лініями. Позначають їх звичайно грецькими буквами тощо.

У стереометрії вивчаються властивості як плоских геометричних фігур, так і неплоских. Фігура називається неплоскою (просторовою), якщо не всі її точки лежать в одній площині. Приклади неплоских фігур: куб, конус, куля.

Сформулюємо аксіоми, що виражають основні властивості точок, прямих і площин у просторі.

Через будь-які три точки простору, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку.

Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і притому тільки одну.

С1 С2 С3

}

(Учні в зошитах креслять схему).

Введемо основні позначення.

Прямі	Пряма і площина	Площини

ІІІ. Закріплення нового матеріалу.

Гра „Лото”

Учням роздаються картки лото, на яких є відповіді на запитання. Учні називають у довільному порядку числа від 1 до 15. Біля правильної відповіді проставляється номер запитання. За кодами першого рядка створюються команди.

Запитання для карток лото

Розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі, називається...

Якими буквами позначаються площини?

Основними фігурами у просторі є...

Знайдіть знак належності точки до прямої чи площини.

Знайдіть знак належності прямої до площини.

Задано площину. Чи існують точки, що не належать їй?

Скільки площин можна провести через дві різні прямі, що мають спільну точку?

Знайдіть знак перетину площин і по прямій а.

Яка фігура є перетином двох різних площин, що мають спільну точку?

Знайдіть позначення мимобіжних прямих.

Система аксіом стереометрії складається з просторових аксіом С1-С3 та ...

Площину зображають у вигляді...

Чи можна провести площину через дві різні прямі, що мають спільну точку?

Вставте слово: яка б не була площина існують ..., що належать цій площині, і ..., що їй не належать.

Як називається фігура, яку задано так: (АВС)?

Картки лото

	одна		паралелограм	стереометрія
точка, пряма, площина	можна	площина	існують
аксіоми стереометрії І-ІХ	пряма, що проходить через цю точку		грецькі	точки

одна			стереометрія	паралелограм
аксіоми планіметрії І-ІХ	пряма, що проходить через цю точку		точки	грецькі
площина	точка, пряма, площина	існують	можна

	можна	існують	точка, пряма, площина	площина
аксіоми планіметрії І-ІХ	точки	грецькі		пряма, що проходить через цю точку
одна	паралелограм		стереометрія

можна	існують		точка, пряма, площина	площина
одна		паралелограм	стереометрія
аксіоми планіметрії І-ІХ	точки	пряма, що проходить через цю точку		грецькі

точки		грецькі	пряма, що проходить через цю точку	аксіоми планіметрії І-ІХ
можна	точка, пряма, площина		площина	існують
паралелограм		одна		стереометрія

грецькі	точки		аксіоми планіметрії І-ІХ	пряма, що проходить через цю точку
	одна	паралелограм	стереометрія
точка, пряма, площина	можна	існують		площина

Клас поділяється на команди – дилери великого виробничого підприємства, фундатором якого є вчитель. У кожній команді призначається директор (капітан команди), розподіляються обов’язки головного бухгалтера, менеджера з реклами тощо.

– Зараз ми викликаємо директорів представництв та головних бухгалтерів на семінар-тренінг. Тут вони мають виконати завдання, які перевірять їх кваліфікацію. Найкращі повезуть до своїх філіалів великі премії (додаткові бали чи оцінки).

Одночасно для трьох капітанів пропонуються малюнки до аксіом. Завдання полягає в тому, щоб встановити, до якої аксіоми є ілюстрацією запропонований малюнок, помітити, який елемент там відсутній. Цей елемент необхідно домалювати, а потім сформулювати відповідну аксіому.

Завдання для першої команди

1) 2) 3)

Завдання для другої команди

1) 2) 3)

Завдання для третьої команди

1) 2) 3)

IV. Теоретичні завдання

Кожна команда отримує картки, на яких пропонується доведення одного з наслідків чи теоретичний матеріал про многогранники. Учні вивчають завдання, після чого один з учнів доповідає за допомогою вчителя та інших членів команди біля дошки.

– А зараз наше виробниче підприємство надасть своїм дилерам завдання провести презентацію нового продукту. Ви маєте його розглянути, а менеджери з питань реклами його представлять. Ті, хто найкраще це зробить, переможуть у грі.

Картка № 1

Теорема. Через пряму і точку, що належить даній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

Дано: пряма АВ, точка С АВ.

Довести: 1) існує {АВ, С};

2) єдина.

Доведення

1) Проведемо пряму АС (аксіома І). АС і АВ різні, оскільки С АВ. За аксіомою С3: АВ і АС визначають площину .

2) Доведемо єдиність (методом від супротивного).

Нехай існує ще одна площина , що проходить через АВ і точку С. За аксіомою С2: точки А, В і С повинні лежати на одній прямій. Це суперечить умові, що С  АВ. Припущення не вірне.

Теорему доведено.

Картка № 2

Теорема. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

Дано: а.

Довести: 1) існує ;

2) – єдина.

Доведення.

1) Проведемо прямі АВ і АС, вони різні, оскільки а. За аксіомою С3: через прямі АВ і АС можна провести площину .

2) Доведемо єдиність.

За теоремою 2 (якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині): . За аксіомою С3 така площина єдина.

Теорему доведено.

Картка № 3

Теорема. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

А |

.

В |

Опорна задача. Якщо дві площини мають дві спільні точки, то вони перетинаються по прямій, що містить ці точки.

Наслідок. Пряма і площина

не перетинаються

(немає спільних точок) перетинаються

(мають одну спільну точку)

(принаймні дві

спільні точки)

Розглянуті способи задання площини часто використовують під час побудови перерізів многогранників. Найпростішими з многогранників є куб, паралелепіпед (усі грані – паралелограми), тетраедр або трикутна піраміда (усі грані – трикутники). Якщо всі грані паралелепіпеда – прямо­кутники, його називають прямокутним паралелепіпедом. Якщо всі ребра тетраедра рівні, його називають правильним тетраедром.

Якщо жодна з двох точок не належить площині, а відрізок, що їх сполучає, має з цією площиною спільну точку, то говорять, що дані точки лежать по різні боки від площини. А якщо принаймні дві точки многогранника лежать по різні боки від площини, говорять, що площина пере­тинає многогранник. У цьому разі її називають січною площиною. Фігура, яка складається з усіх точок, спільних для многогранника і січної пло­щини, називається перерізом многогранника даною площиною (учні демонструють моделі).

V. Висновки до уроку

Домашнє завдання.

Тестові завдання

а) Які з наведених фігур можуть бути тільки плоскими, а які і просторовими?

1) трикутник; 2) чотирикутник;

3) п'ятикутник; 4) шестикутник.

б) Наведіть приклади фігур, які можуть бути як плоскими, так і просторовими.

а) Доведіть, що вершини паралелограма АВСД лежать в одній площині.

б) Дано замкнену ламану АВСДА. Відомо, що відрізки АС і ВД перетинаються. Доведіть, що вер­шини ламаної лежать в одній площині.

а) Дано дві прямі а і в, через які не можна прове­сти площину. Доведіть, що ці прямі не перетинаються.

б) Доведіть, що дві прямі у просторі не можуть перетинатися більше, ніж в одній точці.

а) Через точку проведено три прямі, які не ле­жать в одній площині. Скільки різних площин можна провести через ці прямі, якщо брати їх попарно?

б) Через точку проведено чотири прямі, кожні три з яких не лежать в одній площині. Скільки різних пло­щин можна провести через ці прямі, якщо брати їх попарно?

Точки А, В, С, Д не лежать в одній площині. Доведіть, що:

а) прямі АВ і СД не перетинаються;

б) прямі АС і ВД не перетинаються.

а) Три площини перетинаються попарно. Скільки утвориться ліній перетину?

б) Три прямі, що не лежать в одній площині, про­ходять через одну точку. Через кожні дві з них про­ведено площину. Скільки всього проведено площин?

Для класів з поглибленим вивченням математики

Тема. Аксіоми стереометрії, найпростіші геометричні тіла.

Взаємне розташування прямих у просторі.

Взаємне розташування прямих і площин у просторі

МЕТА

Мета теми – розширити і систематизувати відомості про властивості основних геометричних фігур на площині і в просторі. Дати систематизовані знання про паралельність і перпендикулярність прямих і площин у просторі, сформувати вміння застосовувати відповідні властивості й ознаки до розв’язування задач.

ОСНОВНІ ВИМОГИ

У результаті вивчення теми учні повинні вміти:

застосовувати аксіоми та наслідки з них до розв’язування геометричних і практичних задач;

доводити властивості й ознаки паралельності прямих і площин та застосовувати їх до розв’язування задач;

будувати зображення фігур і на зображеннях виконувати нескладні побудови (елементів фігур, точок перетину прямої та площини, двох площин, переріз куба, тетраедра тощо);

обчислювати відстані і кути у просторі.

ЗМІСТ ТЕМИ

Основні поняття і аксіоми стереометрії. Техніка виконання найпростіших стереометричних креслень. Паралельні, мимобіжні прямі та прямі, що перетинаються. Напрям у просторі. Визначення кута між мимобіжними прямими.

Паралельність прямих і площин. Паралельне проектування та його властивості. Паралельність площин. Просторова теорема Фалеса.

Перпендикулярність прямих і площин. Перпендикуляр і похила до площини. Перпендикулярні площини. Ортогональне проектування. Відстані у просторі. Кут між прямою і площиною. Двогранні та многогранні кути.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Однією з основних цілей вивчення стереометрії є усвідомлення учнями структури логічної побудови стереометрії. Обов’язковим завданням є розвиток логічного мислення, просторової уяви, абстрактного мислення, а також ілюстрація зв’язку з реальним життям.

Курс стереометрії по відношенню до курсу планіметрії є систематизуючим і узагальнюючим. Багато тем зі стереометрії розглядається за аналогією з відповідними темами з планіметрії (вектори, координати).

У 10 класі відбувається складний процес переорієнтації в свідомості учнів: раніше всі фігури розглядалися на одній площині, тепер і сама площина стає об’єктом, самостійною фігурою і водночас носієм всіх плоских фігур з їх численними властивостями.

Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути широке застосування геометричних образів, їх моделей і зображень, залучення учнів до їх виготовлення. Учні повинні навчитися перш за все “бачити” розміщення прямих і площин, відповідні кути і відстані, а вже потім вміти обґрунтувати свої просторові уявлення, спираючись на означення, ознаки, властивості та інші твердження.

Іншим ефективним засобом формування просторових уявлень учнів є використання системи усних вправ. Вони сприяють введенню нових понять і закріпленню вже відомих. Важливе місце треба відвести навчанню зображати просторові фігури на площині, а також виконувати нескладні побудови на зображеннях. Перш за все мається на увазі побудова різних елементів фігур (медіан, середніх ліній та ін.), точок перетину прямої і площини, двох площин. Крім того, достатню увагу треба звернути на побудову перерізів куба, паралелепіпеда, тетраедра, використанню креслень і малюнків у без клітинному зошиті з використанням різних кольорів. Безумовно ці тіла повинні з’явитися якомога раніше, тому що на них зручно ілюструвати усі поняття і твердження.

Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості викладання теми. Головним в цьому є формування чітких уявлень про взаємовідношення властивостей геометричних фігур і відношень між ними і предметами навколишнього середовища.

Корисним є вироблення необхідності обґрунтовувати всі положення і розвиток інтуїції. Постійно необхідно пропонувати учням самостійно працювати на уроці і вдома, в тому числі самостійне вивчення питання з наступним виступом біля дошки.

Труднощі перших уроків стереометрії полягають в тому, що учням необхідно оперувати тільки такими геометричними фігурами, як площина, точка, пряма. Усунення цих труднощів є можливим за рахунок введення многогранників. Підсумкові уроки можна проводити як у формі конференції, так і у формі узагальнюючої лекції.

Конспект уроку

Тема уроку. Виникнення і розвиток стереометрії. Аксіоми та наслідки з них.

Мета уроку: розширити і систематизувати відомості учнів про властивості основних геометричних фігур на площині і в просторі.

Освоївши матеріал уроку учні повинні:

знати:

аксіоми стереометрії та наслідки з них;

аксіоматичну побудову геометрії;

вміти:

застосовувати аксіоми та наслідки з них до розв’язування геометричних і практичних задач.

Хід уроку

І. Вступ

Логічна побудова геометрії

Кожна наука і кожний навчальний предмет у школі оперують певним колом понять, вивчають їх властивості і відношення між ними. Наприклад, фізика вивчає такі поняття, як рух, швидкість, маса, теплота, струм тощо. Граматика оперує поняттями: речен­ня, прикметник, дієслово тощо. Геометрія – це наука про власти­вості геометричних фігур, і вона має справу з такими поняттями, як геометрична фігура.

– Які ви знаєте види фігур?

Наприклад, трикутник, круг, куб.

– Які відношення між фігурами вивчає геометрія?

Такі відношення між фігурами, як рівність, по­дібність, паралельність, перпендикулярність.

– Назвіть розглядувані пе­ретворення фігур.

Наприклад, симетрія, поворот, подібність.

– З якими геометричними величинами має справу?

Це довжини відрізка, кола, градусна міра кута, площа, об'єм.

На відміну від інших наук геометрія має специфіку в своїй побудові. Вона побудована дедуктивно.

– Що це означає?

Дедукція (від лат. deduction – виведення) у широкому розумінні – це така форма мислення, коли нова думка виводиться суто логічно з деяких даних думок-посилань. У вужчому розумінні дедукція – це такий умовивід, внаслідок якого одержуються нові знання про предмети або групи предметів на основі вже наявних знань про досліджувані предмети.

– Що вивчає планіметрія? Які її найпростіші фігури?

У планіметрії вивчаються фігури на площині. Найпростішими фігурами в планіметрії є точка і пряма.

Ці два поняття належать до первісних понять, яким умовились не давати означень і використовувати їх при означенні інших по­нять. Наприклад, серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, яка перпендикулярна до цього відрізка і проходить через його середину. Тут серединний перпендикуляр означається через первісне поняття «пряма».

Потреба в первісних поняттях і їх роль в геометрії саме і пов'язані з дедуктивним характером її побудови. Справді, в гео­метрії кожне нове поняття, крім первісних, означається або на основі первісних, або на основі раніше означених понять. Розглянемо ще один приклад.

– Що називають квадратом?

Як відомо, квадратом називають пря­мокутник, у якого всі сторони рівні.

– Через яку фігуру означається прямокутник?

Прямокутник означається че­рез паралелограм, у якого всі кути прямі.

– Дайте означення паралелограма.

Паралелограм означаєть­ся через чотирикутник.

Маємо ланцюжок понять, який не може бути нескінченним. Тому виникає потреба невели­ку кількість понять прийняти без означення (первісні поняття), а через них означати інші.

квадрат

прямокутник

паралелограм

первісні поняття

Крім точки і прямої, первісними поняттями планіметрії є по­няття „належати” для точок і прямих, „лежати між” – для трьох точок прямої, „довжина відрізка”, „градусна міра кута”. Первісні поняття, як і біль­шість означуваних, походять від об'єктів, що існують реально, і є абстракцією від них. Наприклад, поняття „площина” походить від реальної поверхні кришки стола або поверхні озера. Однак площину ми уявляємо необмежене продовженою, вона не має товщини.

– Від якого реального об’єкта абстрагують пряму?

Пряма образ туго натягнутої нитки або дроту. Проте пряма в геометрії не має кінців і уявляється необмежене продов­женою, вона не має товщини.

Крім первісних і означуваних понять геометрія оперує твер­дженнями, що виражають властивості понять. Вони бувають двох видів: аксіоми і теореми. Твердження, що виражають властивості найпростіших фігур (первісних понять) і приймаються без дове­дення, називаються аксіомами. Твердження, що виражають влас­тивості геометричних фігур і доводяться, мають назву теорем. Потреба і роль аксіом теж спричинені дедуктивним характером побудови геометрії. Тут ми маємо аналогічну схему, бо кожне нове твердження доводиться на основі раніше відомого, вже доведеного твердження і т. д. Оскільки ланцюжок тверджень не може бути нескінченним, виникає потреба невелику їх кіль­кість умовитись прийняти без доведення і використовувати при доведенні інших.

Пригадаємо аксіоми планіметрії, скориставшись для цього таблицею.

– Проаналізуємо означення „Суміжні кути” з по­гляду того, через які раніше відомі поняття воно формулюється. Пригадаємо його.

Два кути називаються суміжними, якщо одна їх сторона спільна, а інші сторони цих кутів є додатковими півпрямими.

– Через які поняття воно означається?

Воно означається через поняття сторона кута та півпряма.

– Виділимо основні поняття, відношення та величини.

Основні поняття: точка і пряма, основні відношення: лежати між, лежати на, основні величини: градусна міра кута.

– Як висновок, розглянемо наступну схему побудови геометрії.

Перелічуються первісні (неозначувані) поняття.

Формулюються аксіоми про властивості первісних понять.

За допомогою первісних та раніше означених понять фор­мулюються означення нових понять.

На основі аксіом, доведених раніше тверджень і означень доводяться нові твердження.

ІІ. Вивчення аксіом стереометрії та наслідків з них.

Стереометрія – це розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі. Найпростішими фігурами простору є:

точка: А, В, С,...

пряма: а, в, с,...

площина: ,..., (АВС).

Термін „стереометрія” походить від гр. – об'ємний, просторовий і – вимірюю. Оскільки пло­щина – нова найпростіша фігура, то треба сформулювати аксіо­ми, що виражають властивості площини. Розглянемо три аксіоми стереометрії, зведені в одну таблицю.

Оскільки точка і пряма також є основними фігурами простору, то всі аксіоми планіметрії переходять у стереометрію і систе­ма аксіом стереометрії складається з дев'яти аксіом планімет­рії і трьох аксіом групи С.

У планіметрії ми мали одну площину, на якій розташовувались всі розглядувані нами фігури. У стереометрії нескінченно багато площин. У зв’язку з цим формулювання деяких аксіом планіметрії в якості аксіом стереометрії вимагають уточнення. Це стосується аксіом IV, VII, VIII, IX.

IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.

VII. Від півпрямої на площині, що її містить, у задану півплощину можна відкласти кут з заданою градусною мірою, меншою 180○, і лише один.

VIII. Який би не був трикутник, існує рівний йому трикутник у даній площині у заданому розташуванні відносно даної півпрямої у цій площині.

ІХ. На площині через дану точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній.

Наслідки з аксіом

Теорема 1. Через пряму і точку, що належить даній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

Дано: пряма а, точка В а.

Довести: 1) існує {а, В};

2) єдина.

Доведення

1) Виберемо на прямій а довільну точку А. Проведемо пряму в  {А;В} (аксіома І). а і в різні, оскільки В а. За аксіомою С3: а і в визначають площину .

У ході доведення вчитель разом з учнями шляхом системи запитань складає таблицю.

– Яка аксіома стереометрії обґрунтовує можливість проведення площини?

– На яку додаткову побудову наштовхує нас ця аксіома?

– Яка аксіома обґрунтовує можливість проведення прямої?

– Через які точки проведемо ще одну пряму?

– Яка аксіома обґрунтовує можливість вибору точки А?

Твердження	Обґрунтування
Виберемо на прямій а довільну точку А Через А і В можна провести пряму в Прямі а і в різні Через прямі а і в можна провести площину Площина проходить через пряму а і точку В	1. За аксіомою про існування точок, які належать прямій 2. За аксіомою про можливість проведення прямої через дві точки 3. Оскільки точка В не належить прямій а 4. За аксіомою про можливість проведення площини через дві прямі, які мають спільну точку 5. Тому що проходить через а за побудовою, а через В, тому що В належить в; проходить через в за побудовою

2) Доведемо єдиність (методом від супротивного).

Нехай існує ще одна площина , що проходить через а і точкуВ. За аксіомою С2: точка В належить прямій а. Це суперечить умові, що В  а. Припущення не вірне.

Теорему доведено.

Теорема 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

А |

.

В |

Наслідок. Пряма і площина

не перетинаються

(немає спільних точок) перетинаються

(мають одну спільну точку)

(принаймні дві

спільні точки)

(Цю теорему учні доводять зі складанням таблиці і оформлюють вдома самостійно).

Теорема 3. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

Дано: а.

Довести: 1) існує ;

2) – єдина.

Учитель разом з учнями складає таблицю – колективний пошук доведення, оформлюють доведення учні вдома самостійно.

Твердження	Обґрунтування
Проведемо прямі АВ і АС Прямі АВ і АС різні Через прямі АВ і АС можна провести площину Точки А, В, С належать площині	За аксіомою про можливість проведення прямої через дві точки Точки А, В і С не лежать на одній прямій За аксіомою про можливість проведення площини через дві прямі, які мають спільну точку Точки А, В і С належать до прямих АВ і АС, а вони належать площині за побудовою

Доведення.

1) Проведемо прямі АВ і АС, вони різні, оскільки а. За аксіомою С3: через прямі АВ і АС можна провести площину .

2) Доведемо єдиність.

За теоремою 2 (якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині): . За аксіомою С3 така площина єдина.

Теорему доведено.

ІІІ. Задачі на доведення

Задача 1. Точки А, В, С і Д не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АВ і СД не перетинаються.

Доведення.

Скористаємось методом від супротивного.

Яке можемо зробити припущення?

Маємо дві прямі, що перетинаються. Яке з щойно вивчених тверджень можемо застосувати?

Якщо прямі АВ і СД визначають площину , то який висновок можемо зробити щодо точок?

У чому полягає отримане протиріччя?

Нехай прямі АВ і СД перетинаються, тоді за аксіомою С3: , а це означає, що точки А, В, С і Д лежать в одній площині. Отримали протиріччя з умовою задачі. Значить прямі АВ і СД не перетинаються.

Задача 2. Чотири точки не лежать в одній площині. Чи можуть будь-які три з них лежати на одній прямій.

Доведення.

Яке можна висунути припущення?

Яке відоме вам твердження можна застосувати?

З якою умовою ми отримали протиріччя?

Нехай три точки лежать на одній прямій, а четверта не належить цій прямій. Тоді за теоремою-наслідком 1 можна провести єдину площину, якій належить дані пряма і точка. Це означає, що задані умовою чотири точки належать одній площині. За умовою задачі це не можливо. Значить будь-які три з цих точок не можуть лежати на одній прямій.

IV. Підсумок уроку

Сьогоднішній урок ми присвятили ідеї дедуктивної побудови геометрії, походженню та ролі первісних понять і аксіом, пригадали аксіоми планіметрії, ознайомилися з аксіомами стереометрії та наслідками з них. Завершити урок хочеться прикладами використання аксіом та їх наслідків у виробничій діяльності людини.

Тесляр перевіряє, чи розміщуються кінці ніжок стола в одній площині, від чого залежить стійкість стола. Він натягує нитки на кінці ніжок і перевіряє, чи перетинаються вони (аксіома С3).

Тесляр перевіряє якість поверхні стола, що виготовляється, прикладаючи до кришки в різних напрямках лінійку. Якщо між лінійкою і кришкою стола немає просвітів, то стіл виготовлено якісно (теорема 2).

На теоремі 3 ґрунтується будова штативів для фотоапаратів і різних геодезичних приладів. Кінці ніжок штативів належать одній площині, внаслідок чого прилад займає стійке положення.

Тестові завдання

На малюнку зображено куб АВСДА1В1С1Д1. Знайдіть кути трикутника В1Д1С.

Як розмістити три прямі так, щоб вони утворили 12 прямих кутів?

Чи вірно, що пряма, яка має з колом тільки одну спільну точку, є дотичною до кола в цій точці:

1) на площині; 2) у просторі?

4. Довести, що через дві довільні точки можна провести хоча б одну площину.

5. Чи можна стверджувати, що всі точки кола належать площині, якщо це коло має з даною площиною:

1) дві спільні точки; 2) три спільні точки.

6. Через три точки можна провести дві різні площини. Як розташовані ці точки?

Додаток В

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ. А. С. МАКАРЕНКА

СТВОРЕННЯ І АПРОБАЦІЯ

МЕТОДИЧНОГО КОМПЛЕКСУ ДЛЯ ВЧИТЕЛІВ

МАТЕМАТИКИ

У ПРОФІЛЬНИХ ГРУПАХ УЧНІВ

Автор проекту: студентка

СДПУ ім. А. С. Макаренка

V курсу

фізико-математичного факультету

Шишенко І. В.

СУМИ 2004

Мета проекту

Створення методичного комплексу для роботи вчителів математики з профільними групами учнів, а саме: навчальні посібники, дидактичні та діагностичні матеріали, технології, проекти, дослідницькі праці, методичні розробки.

Апробація комплексу шляхом створення такої системи навчання на експериментальному майданчику, що дозволить реалізувати основні принципи профільного навчання математики.

Задачами проекту є розробка системи уроків, методичних і навчальних посібників, після чого – організувати вивчення математики за чотирма напрямками: загальнокультурним, природничим, економічним та фізико-математичним. Кожен учень має обрати свій напрямок вивчення математики і разом з педагогами впродовж двох років (10-11 класи) реалізувати освітню програму, створену на базі попередньо розробленого методичного комплексу.

Завдання проекту

Створення творчої команди для написання методичних розробок.

Дослідження анналів світової профільної освіти.

Створення методичного комплексу для викладання математики у профільних групах учнів.

Розробка системи моніторингу і оперативної оцінки експерименту.

Укладення договору з міським управлінням освіти Сумської обласної Ради про відкриття експериментальних майданчиків..

Проведення педагогічного експерименту (апробація створеного методичного комплексу).

Підведення підсумків експерименту.

Корегування та розвиток методичних розробок.

Видання та розповсюдження розробок методичного комплексу.

Оцінка ефективності проекту.

Обґрунтування необхідності проекту

Система загальної середньої освіти України сьогодні на порозі нових суттєвих змін – впровадження профільності навчання у старшій школі. Перехід до профільного навчання розпочнеться у 2007 році, але у 2004 н.р. розпочався підготовчий період переходу до профільної старшої школи. Багато загальноосвітніх закладів впроваджують і випробовують різні механізми здійснення профільного навчання. Але аналіз сучасної педагогічної літератури показує, що однією з головних проблем при організації ефективного профільного навчання залишається брак його навчально-методичного забезпечення: література, періодика, навчально-наочні посібники, програмні продукти, педагогічні технології, методичні розробки.

У зв’язку з введенням профільного навчання на старшому ступені школи більша частина підручників, методичних та дидактичних розробок підлягає оновленню чи повній переробці. Також кожний новостворений методичний засіб, підручник, окрім отримання експертної оцінки, має пройти експериментальну перевірку в масових школах на відповідність їх змісту основним принципам дидактики.

Усунення вказаних проблем і недоліків ми передбачаємо через реалізацію відповідного проекту.

Новизна

Використовуючи можливості профільного навчання, буде здійснена спроба розробити та реалізувати методичний комплекс для роботи з профільними групами учнів.

У ході інформаційного дослідження не вдалося виявити відповідні розробки методичних систем забезпечення профільного навчання в Україні.

Новизна проекту полягає в тому, що він дає можливість забезпечити компетентний підхід до розв’язання однієї з найбільш значущих проблем, пов’язаних з організацією профільного навчання старшокласників, – проблеми забезпечення учнів і вчителів якісною літературою.

Даний курс передбачає, що з учнями працюватимуть два вчителя одночасно, передусім використовуючи діалогічні методи навчання. Це надасть можливість кожній дитині отримати компетентні відповіді на всі запитання. З іншого боку, два вчителя зможуть забезпечити інтенсивність навчання, про що свідчить досвід тренінгів "Нова Доба". Крім того, з невеликими групами учнів передбачається проведення додаткових занять, а в якості наукових керівників дослідницької роботи учнів залучатимуться викладачі вищих навчальних закладів.

Цільова аудиторія

вчителі математики;

учні 10-11 класів загальноосвітніх та профільних навчальних закладів;

адміністратори освіти.

Життєздатність

Проект може мати реальне продовження, а саме:

розробка та опис програмного забезпечення уроків математики у профільній школі;

започаткування періодичного видання, що має забезпечити потреби профільної освіти математики;

подальші розробки аналогічних методичних комплексів для інших наук.

Показники успіху

Проект можна вважати успішно реалізованим за умови:

позитивних відгуків та рецензій спеціалістів на методичний комплекс для викладання математики у профільних групах учнів;

підвищення зацікавленості та досягнень учнів, що беруть участь у проекті, при вивченні математики, що визначать тести, контрольні роботи тощо;

видання та розповсюдження розробок методичного комплексу;

дотримання строків та бюджету проекту.

Термін виконання проекту - 36 місяців.

План дій

У перший рік реалізації проекту планується створити творчу команду, дослідити аналоги світової практики у сфері профілювання освіти, створити методичний комплекс і необхідні додатки до нього, отримати дозвіл відповідних структур для відкриття експериментальних майданчиків у школах міста.

На другому та третьому роках проекту планується апробувати створені розробки в ході педагогічного експерименту, скорегувати і вдосконалити їх за результатами підсумків експерименту. Завершити проект планується оцінкою його ефективності.

Ассессмент

Кількісну оцінку ефективності проекту можна провести наступними методами:

психологічне тестування учнів для оцінки мікроклімату колективу, самопочуття дитини;

проведення контрольних робіт для оцінки якості набутих учнями знань, умінь і навиків;

анкетування учасників проекту на предмет доцільності розробки методичного комплексу;

бесіди з учнями та вчителями експериментальних майданчиків;

спостереження за роботою контрольних та експериментальних класів;

психолого-педагогічна характеристика учнів;

кількісний та якісний аналіз експериментальних даних, отриманих у ході апробації;

відгуки та рецензії спеціалістів на роботу творчої команди проекту.

Прогнозовані результати проекту

Створення творчої команди із 7 спеціалістів для написання і апробації методичного комплексу для викладання математики у профільних групах учнів.

Створення вищезазначеного комплексу для учнів 10-11 класів.

Позитивна динаміка у досягненнях з математики більшості учнів, що беруть участь у проекті.

Система діагностики результатів експерименту.

Система психологічних тестів для оцінки мікроклімату колективу, самопочуття дитини (по 2 методики на кожну категорію);

Комплексні завдання для оцінки якості набутих учнями знань, умінь і навиків (для кожної теми).

Презентаційні матеріали методичного комплексу для адміністраторів освіти.

Дозвіл міського управління освіти Сумської обласної Ради для відкриття 2-х експериментальних майданчиків на базі шкіл міста (2 експериментальних і 2 контрольних класів, приблизно 120 учнів).

Експериментальні дані, отримані у ході апробації, аналіз цих даних, а також пропозиції щодо вдосконалення розробленого методичного комплексу.

Видання та розповсюдження розробок методичного комплексу.

Додатковий досвід роботи вчителів з інноваційними педагогічними розробками.

Очікуваний зовнішній ефект

Досягнення всіма учнями обов’язкових результатів навчання, а для деяких груп учнів – оволодіння методологічними знаннями, загально навчальними вміннями і загальнонауковими методами пізнання, що дозволять розв’язувати задачі творчого характеру, вести дослідницьку роботу.

Підвищення зацікавленості у вивченні предметів.

Покращення мікроклімату в колективі.

Впровадження методичних розробок у школах України.

Формування у учнів уявлень про майбутній профіль діяльності.

Оцінка ресурсів

Людські ресурси

необхідні	доступні
менеджер	менеджер
вчитель математики (спеціаліст)	вчитель математики (спеціаліст)
вчитель математики (спеціаліст)	вчитель математики (спеціаліст)
вчитель математики (методист, ВК)	-
вчитель математики (методист, ВК)	-
науковий керівник	-
психолог	-

Матеріальні ресурси

необхідні	доступні
приміщення	приміщення
література	література
видаткові матеріали	-
комп'ютер	комп'ютер
принтер	принтер
програмне забезпечення	програмне забезпечення
обладнання для проведення уроків	обладнання для проведення уроків

Грошові ресурси

необхідні	доступні
прямі	-
оплата праці задіяним спеціалістам	-
сплата податків	-
придбання видаткових матеріалів	-
видання методичних розробок	-
непрямі
оренда обладнання	-
подорожі (відрядження)	-
оплата Інтернету	-
оплата послуг бібліотеки	-

Аналіз проекту

Сильні сторони відсутність вітчизняних аналогів до розробки методичного комплексу – актуальність розробки; напрацьована теорія профілювання освіти; наявність певного педагогічного досвіду; підтримка проекту з боку досвідчених колег, в тому числі і з боку адміністраторів освіти; стартовий пакет знань щодо технології проектування; розвинуті контакти з молодими талановитими педагогами.	Слабкі сторони відсутність вітчизняних аналогів до розробки методичного комплексу – недостатньо напрацьована теоретична база; відсутність власного досвіду у написанні і управлінні проектами; відсутність команди; відсутність експериментальних майданчиків.
Можливості можливості подальшої співпраці команди; можливість використання отриманого досвіду у подальшій роботі; можливість продовження проекту у подальших розробках; можливість впровадження методичного комплексу в школах України; можливість розвитку основ профільної освіти.	Небезпеки відсутність необхідних спеціалістів і (або) недостатній рівень залучених спеціалістів; неузгодженість у команді; неадекватність бюджету.

БЮДЖЕТ ПРОЕКТУ
СТАТТІ ЗАТРАТ	СУМА ВИТРАТ
Заробітна плата:
менеджер	6 963.52
вчитель математики (методист, ВК)	13 653.81
вчитель математики (методист, ВК)	13 653.81
вчитель математики (спеціаліст)	10 302.55
вчитель математики (спеціаліст)	10 302.55
науковий керівник	12 923.15
психолог	4 744.02
ергономіст	3 235.92
Поїздки:
до м. Київ
проїзд	280
добові	72
по м. Суми	120
Видаткові матеріали:
канцелярські товари	200
оренда Інтернету	400
обслуговування бібліотеки	200
Загальна сума	77 051.33
Інші витрати	15 410.27
Всього	92 461.6

1 Жозеф Марі де Местр (1753-1821) – граф, французький публіцист, філософ, релігійний та політичний діяч.