1. Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности

, , , (3.5)

с условием на прямой t=0

, . (3.6)

Требуется найти функцию , которая при  и  удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при выполняла бы условие (3.6).

Будем считать, что задача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение , непрерывное вместе со своими производными

, i=1, 2 и , k=1, 2, 3, 4.

Запишем задачу (3.5), (3.6) в виде . Для этого достаточно положить

Будем далее считать, что t изменяется в пределах . В рассматриваемом случае

,

Г − объединение прямых t=0 и t=T.

Выберем прямоугольную сетку и заменим область  сеточной областью . К области  отнесем совокупность узлов , где

, , ,

, , , .

Заменим задачу  разностной схемой вида . Обозначим через  точное значение решения задачи  в узле , а через  – соответствующее приближенное решение. Имеем

Для замены выражений и воспользуемся формулами численного дифференцирования. Имеем:

, (3.7)

, (3.8)

, (3.9)

(3.10)

Назовем некоторую совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи  в узле , разностной схемой  , шаблоном. Наиболее употребительные шаблоны изображены на рис. 3:

Рис. 3. Явный и неявный шаблоны

Рассмотрим явный двухслойный шаблон. Для него

(3.11)

Здесь мы воспользовались формулами (3.7) и (3.10) и обозначили

.

Введем обозначение

(3.12)

Теперь на основании формул (3.11), (3.12) можно записать разностную схему для задачи :

, (3.13)

где разностный оператор определяется по правилу

Аналогично, если использовать неявный двухслойный шаблон, можно получить такую разностную схему:

, (3.14)

где

На основании формул (3.11) и (3.13) можно записать

,

где

Аналогично, используя (3.11), (3.10), (3.14), получим

,

.

Выясним порядок аппроксимации разностных схем (3.13) и (3.14). В качестве возьмем линейное множество всех пар ограниченных функций

. 

Норму в  определим правилом

Пусть , где r и s – некоторые положительные числа.

Предположим, что для  и верны оценки

, .

Тогда легко получить

, (3.15)

. (3.16)

Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы (3.13) можно взять S=2, а в случае схемы (3.14) можно взять S=1.

Из формул (3.15), (3.16) следует, что разностные схемы (3.13), (3.14) аппроксимируют задачу  с погрешностью порядка S относительно h.

Разностная схема (3.13) позволяет по значениям решения на нулевом слое, то есть по значениям  вычислить значения на первом слое  . Для этого достаточно в (3.13) положить n = 0 и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом по значениям  можно аналогично при n = 1 вычислить значения  и т.д. В силу этого разностную схему (3.13) называют явной.

Разностная схема (3.14) такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3.14) положим n = 0, то в левой части полученной формулы будет линейная комбинация из значений , в правой части будут значения известной функции  и . Для вычисления значений на первом слое в этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой причине схему (3.14) называют неявной.

2. Устойчивость двухслойных разностных схем

Определим норму в пространстве по правилу

.

Рассмотрим явную разностную схему (3.13). Выясним, при каких значениях r, возможна устойчивость этой схемы.

Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых

, 

имеет место оценка ,

где М – постоянная, не зависящая от и и .

Разностная схема (3.13) – явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.

Перепишем формулу в виде

, , (3.17)

.

Пусть выполнено условие

или . (3.18)

Тогда из (3.17) получим:

,

или

. (3.19)

Неравенство (3.19) означает, что при ,  не превосходит , то есть не возрастает с увеличением n.

Это свойство однородной разностной схемы принято называть принципом максимума. Положим в (3.19) . Это даст

,

,

.

Заметим, что  есть число, независящее от m и n. Просуммировав последние неравенства и, учитывая, что , получим

(3.20)

где обозначено

На основании (3.20) можно записать

или .

Таким образом, разностная схема (3.13) при выполнении условия (3.18), налагаемого на  и h, устойчива. Условие (3.18) весьма жестко, ибо из него следует, что

. (3.21)

Это приводит к тому, что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме (3.13) шаг по времени  приходится выбирать очень малым.

Обратимся теперь к разностной схеме (3.14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,

Рис. 4. Неявный двухслойный шаблон

и перепишем ее в виде

(3.22)

Посмотрим, какие надо проделать вычисления, чтобы, используя формулы (3.22), можно было вычислить, например, значения  на первом временном слое со значениями  на нулевом временном слое. Положив в формулах (3.22) n=0, получим:

(3.23)

Формулы (3.23) представляют собой бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных  .

Решение таких систем является сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы (3.14) неудобны для задач Коши на бесконечных отрезках и применяется редко. Однако если отрезок оси x, на котором рассматривается задача Коши, конечен, то есть , а на прямых x=a и x=b дополнительно заданы некоторые ограничения на решение , то разностные схемы вида (3.14) оказываются весьма эффективными. В частности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, то есть устойчивыми при любых значениях .

Если, например, на отрезках прямых x=a и x=b, заданы условия , , то вид системы (3.23) существенно изменится:

(3.24)

Формулы (3.24) представляют собой систему M+1 алгебраических уравнений относительно . Матрица этой системы трехдиагональна и ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализация неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение . Если пользоваться явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется по рекурсионному правилу и связано с минимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения

 

число временных слоев в случае явных схем может быть существенно большим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.

Рассмотрим теперь вопрос о сходимости схемы (3.13). Эта схема аппроксимирует задачу (3.5), (3.6) с погрешностью порядка  и устойчива при . Поэтому схема (3.13), по теореме об аппроксимации и устойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для приближенного решения будет величиной порядка .