Министерство общего и профессионального образования РФ

Воронежский государственный университет

факультет ПММ кафедра Дифференциальных уравнении

Курсовая работа

“Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре”

Исполнитель : студент 4 курса 5 группы

Никулин Л.А.

Руководитель : старший преподаватель

Рыжков А.В.

Воронеж 1998г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ

Математическая модель - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона и для граничных условий раздела сред
Уравнение Пуассона - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - 5
Граничные условия раздела сред - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - 8

Общий алгоритм численого решения задачи
Метод установления - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - 10
Метод переменных направлений - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 13
Построение разностных схем - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - 16

ПРИЛОЖЕНИЕ - - - - - - - - - - - - - - - - -
- -
ЛИТЕРАТУРА - - - - - - - - - - - - - - - -
- - -

Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре

Математическая модель

Пусть j(x,y) - функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой структуре. В области оксла (СDEF) она удовлетворяет уравнению Лапласа:

d2j + d2j = 0 dx2 dy2 а в области полупроводника (прямоугольник ABGH) - уравнению Пуассона: d2j + d2j = 0 dx2 dy2 где q - элементарный заряд e; enn -диэлектрическая проницаемость кремния;
Nd(x,y) -распределение концентрации донорской примеси в подложке ;
Na(x,y) -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке; e0 -диэлектрическая постоянная

0 D

E

y

B

G

C

F

A

H

x

На контактах прибора задано условие Дирихле:

j| BC = Uu j| DE = Uз j| FG = Uc j| AH = Un

На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение однородного условия Неймана вытекающее из симметричности структуры относительно линий лежащих на отрезках AB и GH:

dj = 0 dj = 0 dy AB dy GH

На боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана означающее что в направлении оси OY отсутствует течение электрического тока:

dj = 0 dj = 0 dy DC dy EF

На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие сопряжения :

j| -0 = j| +0 eok Ex |-0 - enn Ex |+0 = - Qss

где Qss -плотность поверхностного заряда; eok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния; enn -диэлектрическая проницаемость полупроводника .
Под символом “+0” и”-0” понимают что значение функции берется бесконечно близко к границе CF со стороны либо полупроводника либо окисла кремния .
Здесь первое условие означает непрерывность потенциала при переходе границы раздела сред а второе - указывает соотношение связывающее величину разрыва вектора напряженности при переходе из одной среды в другую с величиной поверхностного заряда на границе раздела.

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона и для граничных условий раздела сред

Уравнение Пуассона

В области {(x,y) : 0 < x < Lx , 0 < y < Ly } вводится сетка

W={(x,y) : 0 < i < M1 , 0 < j < M2} x0 =0 , y0=0, xM1 = Lx , yM2 = Ly xi+1 = xi + hi+1 , yj+1 = yj+ rj+1 i = 0,...,M1-1 j = 0,...,M2-1

Потоковые точки: xi+ Ѕ = xi + hi+1 , i = 0,1,...,M1-1

2 yj+ Ѕ = yj + rj+1 , j = 0,1,...,M2-1

2
Обозначим :

U(xi,yj) = Uij

I(xi+Ѕ,yj) = Ii+Ѕ,j

I(xi,yj+Ѕ) = Ii,j+Ѕ

Проинтегрируем уравнение Пуассона:

Dj = - q (Nd + Na) e0en

Q(x,y) по области:

Vij = { (x,y) : xi- Ѕ < x < xi+ Ѕ , yj- Ѕ < y < yj+ Ѕ }

xi+ Ѕ yj+ Ѕ xi+ Ѕ yj+ Ѕ т т Dj dxdy = т т Q(x,y)dxdy xi- Ѕ yj- Ѕ xi- Ѕ yj- Ѕ
Отсюда: yj+Ѕ xi+Ѕ т(Ex(xi+Ѕ,y) - Ex(xi-Ѕ,y) )dx + т(Ey(x,yj+Ѕ) - Ey(x,yj-Ѕ))dy= yj-Ѕ xi-Ѕ

xi+ Ѕ yj+ Ѕ

= т т Q(x,y)dxdy xi- Ѕ yj- Ѕ
Здесь:

Ex(x,y) = - dj(x,y) dx

(*)

Ey(x,y) = - dj(x,y) dy

x у-компоненты вектора напряженности электрического поля Е.
Предположим при

yj-Ѕ < y < yj- Ѕ Ex(xi + Ѕ,yj) = Ei+ Ѕ ,j = const yj-Ѕ < y < yj- Ѕ Ex(xi - Ѕ ,yj) = Ei- Ѕ ,j
= const (**) xi-Ѕ < x < xi+ Ѕ Ey(xi, yj + Ѕ) = Ei,j+ Ѕ = const xi-Ѕ < x < xi+ Ѕ Ey(xi, yj -Ѕ ) = Ei,j - Ѕ = const xi- Ѕ < x < xi+ Ѕ yj- Ѕ < y < yj+ Ѕ - Q(x,y) = Qij = const

Тогда

(Ex)i+ Ѕ ,j - (Ex)i -Ѕ ,j r*j + (Ey)ij+ Ѕ - (Ey)ij- Ѕ h*i =

Qijh*i r*j

где h*i = hi - hi+1 , r*j = rj - rj+1

2 2
Теперь Еi+ Ѕ ,j выражаем через значение j(x,y) в узлах сетки: xi+1 тEx(x,yj)dx = - ji+1,j - jij xi из (**) при y=yj:

(Ex)i+ Ѕ ,j = - ji+1j - jij hi+1

Анологично :

(Ey)i,j+ Ѕ= - jij+1 - jij rj+1

Отсюда:

(Dj)ij = 1 j i+1,j - j ij - j i j - j i-1,j + 1 j i j+1 - j ij - j ij - j ij-1 = h*i hi+1 hi r*j rj+1 rj

= Ndij + Naij

Граничные условия раздела сред

SiO2 e1

Si y en

x

Для области V0j yj+ Ѕ x Ѕ ene0 т(Ex(x Ѕ ,y) - E+x(0,y))dy + ene0 т (Ey(x,yj+ Ѕ) - Ey(x,j- Ѕ ))dx = yj- Ѕ

0

x Ѕ yj+Ѕ

= q т т (Nd + Na)dxdy

0 yj-Ѕ
Для области V`0j yj+ Ѕ x Ѕ ene0 т(E-x(0,y) - Ex(x -Ѕ,y))dy + ene0 т (Ey(x,yj+Ѕ) - Ey(x,j-Ѕ))dx = 0 yj- Ѕ

0

где E+x(0,y) и E-x(0,y) -предельные значения х компоненты вектора
Е со стороны кремния и окисла.Складывая равенства и учитывая условия:

ene0 dj + - e1e0 dj - = -Qss dx dx

имеем yj+Ѕ xЅ т (ene0Ex(xЅ,y) - e1e0Ex(x-Ѕ,y) - Qss(y))dy + ene0т (Ey(x,yj+Ѕ) +

Ey(x,yj-Ѕ))dx + yj-Ѕ

0

0 xЅ yj+Ѕ

+ e1e0 т (Ey(x,yj+Ѕ) - Ey(x,yj-Ѕ))dx = q т т (Nd + Na)dxdy x-Ѕ 0 yj-Ѕ

Сделав относительно Ex и Ey предположения анологичные (**) положив Qss(y)
= Qss = const при yj-Ѕ < y < yj+Ѕ и учитывая условия :

j+ = j- dj + = dj - dy dy
“+”- со стороны кремния
“-“ - со стороны окисла
Получим :

ene0(Ex)Ѕ,j - e1e0(Ex)-Ѕ,j - Qss r*j + ene0h1 + e1e0h-1 .

(Ey)0,j+Ѕ - (Ey)0,j-Ѕ =

2 2

= q (Nd0j - Na0j) h1r*j

2 что можно записать :

1 ene0 jij -j0j - e1e0 j0j - jij + ene0h1 + e1e0h-1 j0,j+1 - j0j

- j0j - j0,j-1 = h* h1 h-1 2h*r*j rj+1 rj

= - q ( Nd0j - Na0j ) . h1 - Qss

2 h* h*

где h* = h1 + h-1

2

Общий алгоритм численого решения задачи

Метод установления

Для вычисленя решений многих решений многих многих стационарных задач математической физики, описывающих равновесные состояния, рассматриватривают последнии как результат установленияразвивающегося во времени процесса, расчёт которых оказывается проще, чем прямой расчёт равновесного состояния.

Рассмотрим применение метода установления на примере алгоритма для вычисления решения задачи Дирихле:

LxxUmn + LyyUmn = j(xm,yn)

(1)

Umn|г = Y(smn) m,n =
1,2,...,M-1

аппроксимирующий дифференциальную задачу Дирихле:

d2U + d2U = j(x,y) 0