Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Курсовая работа

"Семейства решений с постоянной четной частью"

Гомель, 2005

Реферат

В данной курсовой работе 17 листов. Работа состоит из пяти разделов. Ключевые слова: ДУ, решение, система, общее решение, четность, функция.

В работе содержится исследование семейства решений линейной системы. Выясняется связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Устанавливаются условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.

Библиография – 5 названий.

Содержание

Введение

1. Определение и свойства отражающей функции

2. Простейшая система

3. Система чет-нечет

4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть

5. Семейства решений с постоянной четной частью

Заключение

Литература

Введение

Основным инструментом нашего исследования является понятие «отражающей функции».

При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

В данной работе мы будем изучать семейства решений с постоянной четной частью, когда четная часть будет представлена в виде константы.

Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.

1. Определение и свойства отражающей функции

Рассмотрим систему

, (1.1)

считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через обозначим интервал существования решения

Пусть

.

Определение: Отражающей функцией системы (1.1) назовем дифференцируемую функцию , определяемую формулой (*) или формулами .

Для отражающей функции справедливы свойства:

1). Для любого решения , системы верно тождество

; (1.2)

2). Для отображающей функции любой системы выполнены тождества:

; (1.3)

3). Дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (1.1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных

(1.4)

и начальному условию

. (1.5)

Уравнение (1.4) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.

► Свойство 1) следует непосредственно из определения (*). Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения системы (1) верны тождества . Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку проходит некоторое решение системы (1.1), и следуют тождества (1.3).

Приступим к доказательству свойства 3). Пусть – отражающая функция системы (1.1). Тогда для неё верно тождество (1.2). Продифференцируем это тождество по и воспользуемся тем, что – решение системы (1.1), и самим тождеством (1.2). Получим тождество

из которого в силу произвольности решения следует, что – решение системы (1.4). Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.

Пусть некоторая функция удовлетворяет системе (1.4) и условию (1.5). Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи (1.4) – (1.5) функция должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.

Основная лемма. Пусть правая часть системы (1.1) – периодична по , непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным . Тогда отображение за период для системы (1.1) можно найти по формуле

,

и поэтому решение системы (1.1) будет – периодическим тогда и только тогда, когда есть решение недифференциальной системы

(1.6)

В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение. Пусть непрерывно дифференцируемая функция – периодична и нечетна по , т. е. и . Тогда всякое продолжение на отрезок решение системы (1.1) будет – периодическим и четным по .

Для доказательства достаточно заметить, что функция удовлетворяет уравнению (1.4) и условию (1.5). Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение (1.6) в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое , для которого определено значение . Согласно основной лемме любое продолжимое на решение системы (1.1) будет – периодическим. Четность произвольного решения системы (1.1) следует из тождеств , справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.

2. Простейшая система

Простейшей называют систему вида

(2.1),

где – отражающая функция этой системы.

Теорема: Пусть (2.2) простейшая система, тогда , где - отражающая функция системы (2.2).

Если система простейшая,

;

.

Замечание. Доказанная теорема позволяет нам определять, является данная нам система (2.2.) простейшей или нет. Для этого следует по системе (2.2.) записать соотношение (2.3.), из него определить функцию , обладающую свойством и для неё проверить все соотношения. Если соотношения выполнены, то система простейшая.

3. Система чет-нечет

Рассмотрим систему

(3.1)

Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:

а.) Функция непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы (3.1) имеет единственное решение;

б.) Правая часть системы (3.1) – периодична по .

Лемма. Пусть система (3.1) удовлетворяет условиям а). и б). Тогда продолжимое на отрезок решение этой системы будет – периодическим тогда и только тогда, когда

,

где – есть нечетная часть решения .

Пусть – – периодическое решение системы (3.1). Тогда . Необходимость доказана.

Пусть – решение системы (3.1), для которого . Тогда , и поэтому . Таким образом, точка есть неподвижная точка отображения за период, а решение – – периодическое.

Доказанная лемма вопрос о периодичности решения , сводит к вычислению одного из значений нечетной части. Иногда относительно можно сказать больше, чем о самом решении . Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида (3.1). Дифференцируемые функции ; , удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:

(3.2)

Так как решение системы (3.1). Заменяя в тождестве (3.2) на и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество

(3.3)

Из тождеств (3.2) и (3.3) найдем производные:

;

.

Таким образом, вектор-функция

(3.4)

Удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка

: ;

При этом . Систему (3.5) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (3.1) решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.

4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть

1.

Найдем решение:

;

;

Таким образом:

Сделаем проверку:

;

Четная часть общего решения:

2.

Найдем решение:

Таким образом:

Сделаем проверку: ;

;, четная часть общего решения

3.

Найдем решение:

.

Сделаем проверку:

Таким образом: Четная часть общего решения

Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:

где и – нечетные функции, а четная часть представлена константой.

(4.1)

Системы вида (4.1) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью.

5. Семейства решений с постоянной четной частью

Рассмотрим систему

(5.1)

Надо выяснить, когда и при каких условиях семейства решений этой системы будут иметь постоянную четную часть . Иначе говоря, когда не будет зависеть от .

Рассмотрим уравнение . Его решение

.

Возьмем отражающую функцию системы (5.1), тогда, используя (1.2) можем записать четную часть следующим образом:

(5.2)

Если четная часть будет представлена константой, то

. (5.3)

Продифференцируем (5.2) и прировняем к (5.3). Получаем: . Учитывая (5.1), имеем:

.

Воспользуемся соотношением (1.4)

(5.4)

Таким образом, приходим к теореме:

Теорема: Если система вида (5.1) имеет семейства решений с постоянной четной частью, то выполнено тождество

(5.4)

Заключение

Мы исследовали понятие «отражающей функции».

Для периодических решений дифференциальных систем и уравнений были использованы свойства симметричности (четность, нечетность и т.д.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

Были изучены семейства решений с постоянной четной частью.

На примерах мы убедились, что для различных систем, семейства решений которых имеет постоянную четную часть, была получена одинаковая четная часть общего решения.

Таким образом, в работе мы исследовали семейства решений линейной системы. Выяснили связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Установили условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.

Литература

Арнольд В.И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1971–240 с.

Бибиков Ю.Н. «Общий курс дифференциальных уравнений», изд. Ленинградского университета, 1981–232 с.

Еругин Н.П. «Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание», М. изд. Наука и Техника, 1979–744 с.

Мироненко В.И. «Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений», г. Минск: изд. «Университетское», 1986–76 с.

Понтрягин Л.С. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1970–331 с.