ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
СОДЕРЖАНИЕ
1. Основные теоремы дифференциального исчисления
1.1 Локальные экстремумы функции
1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа
2. Исследование функций
2.1 Достаточные условия экстремума функции
2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба
2.3 Асимптоты графика функции
2.4 Общая схема построения графика функции
Литература
1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1.1 Локальные экстремумы функции
Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0 – внутренняя точка множества Х.
Обозначим через U(х0) окрестность точки х0. В точке х0 функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) £ f (х0).
Аналогично: функция f (х) имеет в точке х0 локальный минимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) ³ f (х0).
Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.
Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью.
Проиллюстрируем данные выше определения:
На рисунке точки х1, х3 – точки локального минимума, точки х2, х4 – точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума.
Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3 – точка соответственно глобального минимума.
1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа
Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма.
Пьер Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии – юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма – один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хn + yn = zn не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то а р-1 – 1 делится на р).
Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0 Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0 существует конечная производная f '(x0), то f '(x0) = 0.
Доказательство.
Пусть, для определенности, в точке х0 функция имеет локальный минимум, то есть f (х) ³ f (х0), х Î U(х0). Тогда в силу дифференцируемости
f (х) в точке х0 получим:
при х > х0:
при х < х0:
Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ферма: если х0 Î (а, b) является точкой минимума или максимума функции f (х) и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х0, f (х0)), параллельна оси Ох:
Заметим, что оба условия теоремы Ферма – интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны.
Пример 1. у = çх÷, х Î (–1; 1).
В точке х0 = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х0).
Пример 2. у = х3, х Î [–1; 1].
В точке х0 = 1 функция имеет краевой максимум. Теорема Ферма не выполняется, так как точка х0 = 1 Ï (–1; 1).
Мишель Ролль (1652–1719) – французский математик, член Парижской академии наук. Разработал метод отделения действительных корней алгебраических уравнений.
Теорема Ролля. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f (а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x, а < x < b, такая, что f '(x) = 0.
Доказательство:
1) если f (x) = const на [a, b], то f '(х) = 0, х Î (a, b);
2) если f (x) ¹ const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка
[a, b]. Следовательно, max f (x) или min f (x) обязательно достигается во внутренней точке x отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f '(x) = 0.
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику f (x) в точке (x, f (x)) ïï Ox (см. рисунок).
Заметим, что все условия теоремы существенны.
Пример 3. f (x) = çх÷, х Î [-1; 1]. f (-1) = f (1) = 1.
В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется – ни в одной точке отрезка [–1; 1] производная в нуль не обращается.
Пример 4.
Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала
(0; 1) производная не равна 0, так как теорема Ролля не выполняется – функция не является непрерывной на [0; 1].
Огюстен Коши (1789–1857) – французский математик, член Парижской академии наук, почетный член Петербургской и многих других академий. Труды Коши относятся к математическому анализу, дифференциальным уравнениям, алгебре, геометрии и другим математическим наукам.
Теорема Коши. Пусть функции f (х) и g(х) непрерывны на отрезке
[a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) ¹ 0, х Î (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что
. (1)
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию Функция F(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно, по теореме Ролля на (a, b) существует точка x, такая, что F'(x) = 0:
Следовательно:
.
Теорема доказана.
Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик и механик, почетный член Парижской и Петербургской академий. Ему принадлежат выдающиеся исследования по математическому анализу, по различным вопросам дифференциальных уравнений, по алгебре и теории чисел, механике, астрономии. Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные интегралы, предложил обозначения для производной (y', f '(x)).
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что
(2)
Доказательство.
Из формулы (1) при g(x) = x получаем формулу (2).
Теорема доказана.
Равенство (2) называют формулой конечных приращений или формулой Лагранжа о среднем.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику функции f (x) в точке (x, f (x)) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f (а)) и В (b, f(b)) (см. рисунок).
Рассмотрим следствия из теоремы Лагранжа:
1. (условие постоянства функции на отрезке). Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f '(x) = 0, х Î (a, b), то функция f (x) постоянна на [a, b].
2. Пусть функции f (x) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), f '(x) = g'(х), х Î (a, b). Тогда f (x) = g(х) + С, где С = const.
3. (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f '(x) > 0, х Î (a, b), то f (x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f '(x) < 0,
х Î (a, b), то f (x) строго монотонно убывает на (a, b).
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
2.1 Достаточные условия экстремума функции
В лекции 1 мы рассмотрели основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика.
По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f (x) в точке локального экстремума х0 следует, что f '(x0) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х0 – экстремум функции f (x) и в этой точке существует производная, то f '(x0) = 0. Точки х0, в которых f '(x0) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной
в точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке.
Пример 1. у = х3, у' = 3х2, у'(0) = 0, но
в точке х0 = 0 нет экстремума.
Точками, подозрительными на экстремум функции f (x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х0 = 0:
f '(0) = 0 f '(0) $ f '(0) = ¥
Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно – минимум или максимум?».
Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x0) точки х0 (проколотая окрестность означает, что сама точка х0 выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х0. Тогда:
1) если (1)
то в точке х0 – локальный максимум;
2) если (2)
то в точке х0 – локальный минимум.
Доказательство.
Из неравенств (1) и следствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х < х0 функция не убывает, а при х > х0 функция не возрастает, то есть
(3)
Следовательно, из (3) получаем, что в точке х0 функция имеет локальный максимум.
Аналогично можно рассмотреть неравенства (2) для локального минимума: