Кафедра высшей математики

Курсовая работа

по теории вероятностей и математической статистике

на тему:

« Зависимость потребления бензина от количества автомобилей »

Дубна, 2003

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ДИАГРАММА РАССЕИВАНИЯ

ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОЙ Y=AX+B, НАИМЕНЕЕ ОТКЛОНЯЮЩЕЙСЯ ОТ ТОЧЕК (XI;YI)В СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧНОМ

ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ Y=PX2+QX+R, НАИМЕНЕЕ ОТКЛОНЯЮЩЕЙСЯ ОТ ТОЧЕК (XI;YI) В СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧНОМ

АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ И ВЫВОД О ЗАВИСИМОСТИ XI И YI

ВЫВОД

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение

В данной работе исследуется зависимость потребления бензина в городе от количества автомобилей с помощью методов математической статистики.

Бензин – смесь легких углеводородов с t_кип 30-205 °C; прозрачная жидкость, плотность 0,70-0,78 г/см³. Получают главным образом перегонкой или крекингом нефти. Топливо для карбюраторных авто- и авиадвигателей; экстрагент и растворитель для жиров, смол, каучуков.

Автомобиль – транспортная безрельсовая машина главным образом на колесном ходу, приводимая в движение собственным двигателем (внутреннего сгорания, электрическим или паровым). Различают автомобили пассажирские (легковые и автобусы), грузовые, специальные (пожарные, санитарные и др.) и гоночные. Скорость легковых автомобилей до 300 км/ч, гоночных до 1020 км/ч (1993), грузоподъемность грузовых автомобилей до 180 т.

Обычно в любой области науки при изучении двух величин проводятся эксперименты, и задача состоит в том, чтобы на основании экспериментальных точек выявить функциональную зависимость.

Если мы рассматриваем слабо формализованные системы, которые трудно поддаются однозначным и точным описаниям, связь между величинами X и Y изначально корреляционная. Это связано, что Y зависит не только от X, но и от других параметров.

В этом случае, задача состоит в том, чтобы приближённо свести корреляционную связь к функциональной с помощью подбора такой функции, которая максимально возможным способом была бы близка к экспериментальным точкам. Такая функция называется функцией регрессии.

Обычно вид самой функции угадывается, но она зависит от некоторых параметров. Задача статистического и корреляционного анализа состоит в нахождении этих параметров. Для этого и используется метод наименьших квадратов.

Постановка задачи

Даны выборки

– количество автомобилей, – потребление бензина.

Задача состоит в изучении характера зависимости

1. Изобразить точки () на плоскости (на миллиметровой бумаге и в виде точечного графика на компьютере)

2. Методом наименьших квадратов определить числа такие, что прямая наименее уклоняется от точек () в среднем квадратичном.

3. Методом наименьших квадратов определить числа такие, что парабола наименее уклоняется от точек () в среднем квадратичном.

4. Сравнить между собой результаты пунктов 2. и 3.

5. С помощью сравнения статистик

где объем выборки, ответить на вопросы:

1) Подтвердилась ли гипотеза о том, что зависимость между и близка к линейной ?

2) Подтвердилась ли гипотеза о том, что зависимость между и

близка к квадратичной?

3) Какая из двух кривых - прямая или парабола - меньше отклоняется от точек выборки () ?

Диаграмма рассеивания

Даны выборки и , которые можно интерпретировать следующим образом: — потребление бензина, — количество автомобилей. Задача состоит в изучении характера зависимости между и . Исходные выборки представлены в таблице:

X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
8,64558	116,76	22,2483	112,8	35,3723	113,328	48,6586	125,396
9,30954	115,72	22,38	114,03	35,8685	119,397	49,2468	126,783
9,54538	109,996	22,743	114,952	36,0494	124,624	49,0515	125,652
9,91695	126,634	23,0127	117,027	36,5302	118,734	49,7645	119,88
10,3459	112,28	23,9216	110,664	36,7256	126,531	50,6983	129,604
11,1794	115,564	24,7213	120,474	37,2568	125,601	50,4538	125,877
12,0403	116,048	25,2151	120,749	38,6184	121,974	51,7368	124,935
12,4383	114,524	25,5633	125,365	38,669	123,196	52,3859	121,572
12,8887	114,716	26,5224	117,494	39,2617	119,925	52,932	127,416
13,3673	107,328	26,654	112,982	40,1783	122,293	53,1557	123,507
13,5643	114,422	26,7975	112,34	40,239	120,465	54,0261	128,29
14,4435	118,925	27,6272	127,172	41,1804	122,419	54,4972	136,727
14,4909	123,297	28,2653	121,229	40,8874	127,014	54,3892	125,732
15,3408	119,606	28,6799	119,246	42,0704	133,402	55,475	124,107
15,5866	116,443	28,9424	113,728	42,7372	136,142	55,7691	128,79
16,9966	119,384	29,8652	124,189	42,8423	123,36	55,912	139,417
17,4323	116,428	30,2303	131,775	43,6994	128,363	56,6281	127,151
17,2341	123,058	30,6092	113,164	44,4041	118,225	57,6097	130,697
17,7988	116,349	31,6162	122,517	45,0372	126,604	57,3441	142,839
18,5831	116,665	32,1788	117,256	45,1258	127,831	58,699	134,079
19,4722	118,844	32,7243	114,794	45,4427	122,39	59,0407	130,316
19,8208	123,205	32,7933	130,624	46,3461	129,182	59,3109	129,148
20,6594	109,789	33,1236	133,529	46,5863	127,344	59,8175	135,398
20,8651	118,634	34,0453	123,582	47,3429	124,694	60,3217	131,061
21,0348	110,347	34,9061	135,169	47,7225	117,103	61,2562	126,388

Изобразим эти точки в виде точечного графика с соответствующими координатами (, ); для этого надо найти размах выборки по X и Y и выбрать соответствующий масштаб. Сначала находим и , затем размах выборки по X, которая вычисляется по формуле и в результате равна 52,61062. Аналогично и , а размах выборки поY получим равный 35,511. Глядя на размах выборок по X и по Y, выбираем масштаб диаграммы рассеивания и строим её.

рис.1. Диаграмма рассеивания

По формуле где

можно найти коэффициент корреляции:

Он не равен нулю, следовательно, зависимость между X и Y существует.

Построение прямой y=ax+b, наименее отклоняющейся от точек (X_i;Y_i)в среднем квадратичном

Для построения прямой y = ax + b, наименее отклоняющейся от точек в среднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа a, b такие, что функция двух переменных принимает минимальное значение. Данная функция имеет вид:

.

Зная, что необходимым условием минимума функции является равенство нулю ее первых частных производных, имеем следующую систему для нахождения значений :

,

Данная система может быть представлена в виде:

,

где

В результате получим что:

Докажем теперь, что в точке функция имеет минимум. Достаточным условием существования экстремума функции двух переменных является следующее неравенство:

.

Для доказательства введем следующие обозначения:

Составим дискриминант . Тогда, если , то функция имеет в точке экстремум, а именно минимум при А>0 (или С>0). Из системы видно, что эти условия выполняются: = , С=200>0.

То есть точка действительно является точкой минимума.

Следовательно, функция при данных значениях имеет следующий график:

рис.2. График уравнения линейной регрессии

Построение кривой y=px²+qx+r, наименее отклоняющейся от точек (X_i;Y_i) в среднем квадратичном

Для построения кривой , наименее отклоняющейся от точек в среднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа , и такие, что функция трех переменных принимает минимальное значение. Данная функция имеет вид:

Аналогично нахождению значений для прямой составляем систему трех линейных уравнений, которая является необходимым условием минимума функции:

Данная система является системой линейных однородных уравнений. Решая эту систему методом Крамера и зная, что:

составляем определители, состоящие из коэффициентов при и столбца свободных членов.

Значения находим делением соответствующих определителей.

= = =

Докажем теперь, что в точке функция имеет минимум. Достаточным условием существования минимума функции трех переменных является следующее неравенство:

d.

Получаем следующее уравнение:

Воспользуемся критерием Сильвестра, т.е. найдем миноры 1-ого, 2-ого и 3-ого порядков и докажем, что они положительные.

==

Найдем миноры первого, второго и третьего порядков для этого определителя:

Так как все миноры положительны, то по критерию Сильвестра d, и функция имеет минимум в точке .

Таким образом, парабола имеет следующий график:

рис.3. График уравнения параболической регрессии

Анализ полученных результатов и вывод о зависимости X_i и Y_i

рис.4. Сравнение линейной и параболической регрессий

Для сравнения полученных результатов построения кривых и определим значения статистик:

Поскольку и , можно говорить о том, что зависимость между и близка и к линейной, и к квадратичной. При этом парабола меньше отклоняется от точек и , чем прямая

Вывод

Зависимость потребления бензина от количества автомобилей близка к линейной и к квадратичной. Однако видно, что разница между значениями статистик небольшая. Следовательно, с практической точки зрения удобнее приближать точки выборки и к прямой . Выявление зависимости между потреблением бензина и количеством автомобилей пригодится для понимания ситуации, которая складывается у нас на дорогах и влияет на природу, поскольку потребление бензина всегда сопровождается вредными выбросами.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа 1998.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике — М.: Высшая школа 1998.

3. Ивашев-Мусатов О. С. Теория вероятностей и математическая статистика — М.: Наука 1979.

4. Мазный Г.Л., Прогулова Т.Б. Методическое пособие к курсовому проектированию по ВМ и информатике. — Дубна: Кафедра ВМ и САУ, 1996.