Рефетека.ру / Коммуникации и связь

Реферат: Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

Введение


При решении многих технических и прикладных задач радиотехники возникают вопросы: как объективно сравнить какой сигнал больше другого или как оценить "близость" двух сигналов.

Оказывается, что методы функционального анализа, создав стройную теорию сигналов, в основе которой лежит концепция сигнала как элемента специально сконструированного пространства, позволяют ответить на эти вопросы.

Введем обозначения. Если R – некоторое множество элементов, то f О R означает, что f является элементом R; Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства или f П R означает, что f не принадлежит R.

Множество элементов х О R, обладающих свойством А обозначается символом Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства например Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства - множество точек, принадлежащих полукругу х2 + y2 Ј 1, x і 0.

Если M и N – два множества, то прямое произведение M х N этих множеств определяется следующим образом


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


то есть представляет собой множество всех упорядоченных пар (x, y), где x О M, a y О N.


1. Линейные метрические пространства


Множество R называется линейным пространством, если

1) в R определена операция "сложения", которая подчиняется всем правилам сложения: если f О R, g О R, то f + g О R; в R имеется нулевой элемент 0 такой, что 0 +f = f для всех f О R;

2) в R определена операция умножения элемента f О R на числа a из множества К (a О К, f О R Ю a f О R). Чаще всего К – множество всех действительных или комплексных чисел.

В дальнейшем будем рассматривать только линейные пространства.

Рассмотрим отображение Т, которое каждому элементу f О R однозначно ставит в соответствие элемент h О R*, где R* является также линейным пространством. Если R* = R, то Т отображает R в самого себя. Отображение Т называется оператором и отображение R в R* записывается в виде уравнения


T f = h (f О R, h О R*).


В частном случае, когда R* - пространство комплексных чисел, Т носит название функционала.

Пусть уравнение


T f = h


имеет единственное решение и каждому элементу h О R* можно поставить в соответствие единственный элемент f О R. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным по отношению к Т и обозначается Т-1. Таким образом можно записать

f = T-1 h.


Пример. Пусть имеется система линейных уравнений


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Представим эту систему в матричном виде


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространстваЛинейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Если ввести пространство матриц – столбцов R, то Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства где


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


и Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства Здесь оператор А – матрица размера n x n


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Если матрица А невырождена, то обратная матрица и является обратным оператором:

Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Определение. Линейное пространство R называется метрическим, если каждой паре элементов х, y О R ставится в соответствие вещественное число r (x, y) – расстояние между x и y – удовлетворяющее условиям:


r (x, y) і 0, если r (x, y) = 0, то x = y;

r (x, y) = r (y, x);

r (x, y) Ј r (x, z) + r (z, y) (неравенство треугольника).


Если введением расстояния пространство R превращено в метрическое пространство, то говорят, что в пространстве R введена метрика.

В радиотехнике элементами пространства являются сигналы (токи или напряжения), математическими моделями которых являются функции времени x(t), y(t), ... . Рассмотрим следующее пространство сигналов.

1. С[a, b] - пространство непрерывных на промежутке [a, b] функций с метрикой:


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства y(t)

r(x,y)


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

2. L2(a, b) - пространство интегрируемых в квадрате функций (x(t) О L2(a, b), если Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства с метрикой


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Определение. Элементы линейного пространства R называются линейно независимыми, если из условия


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


следует, что


a1 = a2 = . . . = an = 0.


В противном случае элементы f1, f2, . . . , fn считаются линейно зависимыми.

Максимальное число линейно независимых элементов определяет размерность dim R пространства R и образуют базис этого пространства. Если m = dim R, то пространство обозначается Rm.


Линейные нормированные пространства


Определение. Линейное пространство R называется нормированным, если каждому элементу х О R ставится в соответствие вещественное число Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства ("длина" элемента х), называемое нормой х, которое удовлетворяет условиям:

Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства, тогда х = 0;

Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства (однородность нормы);

Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства (неравенство треугольника).

Положив для Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


превращаем нормированное пространство R в метрическое.

Можно и метрическое пространство R превратить в нормированное, если метрика удовлетворяет условиям:


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространстваЛинейные метрические, нормированные и унитарные пространства положив Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Рассмотренные ранее пространства сигналов С[a,b] и L2(a,b) становятся соответственно нормированными, если


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

и Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Если положить а = Ґ, b = Ґ, то квадрат этой нормы в теории сигналов носит название энергии сигнала.


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

так как такая энергия выделяется на резисторе с сопротивлением в 1 Ом при напряжении x(t) на его зажимах.

Пример. Имеется треугольный импульс длительности t:


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Вычислить энергию и норму сигнала.

Решение.


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Линейное унитарное пространство


Определение. Линейное нормированное пространство R называется унитарным, если в нем введено скалярное произведение, которое каждой паре элементов x, y О R ставит в соответствие действительное или комплексное число (x, y), удовлетворяющее условиям


1. (x, y) = (y, x)* ( * - знак комплексного сопряжения);

2. (a1 х1 + a2 х2, y) = a1(x1, y) + a2(x2, y) (a1, a2 О K);

3. (x, x) і 0, если (х, х) = 0, то х = 0.


В унитарном пространстве норма вводится следующим образом


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

Теорема 1. Для " х, y унитарного пространства R справедливо неравенство Шварца


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Равенство имеет место лишь для линейно зависимых элементов.

Теорема 2. Для " х, y унитарного пространства R имеет место неравенство


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Равенство имеет место, если один из элементов х или y равен нулю или, когда х = l y (l > 0).

Теорема 3. Для " х, y унитарного пространства R выполняется равенство параллелограмма


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Равенство имеет место, если один из элементов х или y равен нулю или, когда х = l y (l > 0).

Определение. Два элемента х, y О R (x № 0, y № 0) называются ортогональными, если (х, y) = 0.

Система элементов e1, e2, . . . , en, . . . унитарного пространства R называется ортонормированной, если


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

Пусть система элементов х1, х2, . . . , хn, . . . ортогональна ((xi, xj)=0, i № j), тогда ее можно нормировать, положив


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Из ортонормированности системы следует ее линейная независимость. Обратно – любую линейно независимую систему можно ортонормировать. Процесс ортонормированности следующий. Если система элементов y1, y2, . . . , yn, . . . –линейно независимая, то система e1, e2, . . . , en, . . ., где


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


становится ортонормированной.

Пусть теперь f – любой элемент унитарного пространства R, a e1, e2, ..., en,... – ортонормированная система этого пространства. Величина


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


носит название коэффициента Фурье, а ряд


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


носит название ряда Фурье. Ряд Фурье наилучшим образом аппроксимирует f (приближается к f). Это значит, если рассматривать норму разности элемента f и ряда Фурье

Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


то наименьшее значение норма примет при


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


Можно показать, что выполняется неравенство


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


которое называется неравенством Бесселя.

Примеры ортонормированных систем:

Система гармонических функций, записанных в комплексном виде


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


образуют ортонормированную систему в Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

Функции


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


образуют для m = 1, 2, 3, ...ортонормированную систему, состоящую из неотрицательных функций на отрезке [0,1].

3. Ортонормированная система функций Уолша wal(m, x) Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства заданная на интервале Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства широко используется при дискретной обработке сигналов. Аналитическое описание функций Уолша довольно сложно. Легко понять принцип построения этих функций из графиков


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


4. Важный класс ортонормированных систем можно получить при помощи ортогонализации функций 1, t, t2, ..., tn, ... в унитарном пространстве Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства со скалярным произведением


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


где р(t) – некоторая положительная, непрерывная на интервале [a, b] функция. Для отрезка [-1, 1] и p(t) = 1 получаем полиномы Лежандра; для отрезка [-1, 1] и Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства- полиномы Чебышева первого рода; для полупрямой [0, Ґ] и p(t) = е-t – полином Лягерра; для всей оси (-Ґ, Ґ) и p(t) = е-t – полином Эрмита и т.д.

Определение. Линейное метрическое пространство R называется полным, если оно содержит все предельные точки. Это значит, если r(хm+p, xn) ® 0 при m ® Ґ (xm О R), " p = Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства, то $ хо О R такое, что lim r(xm, xo) = 0.


m ®Ґ


Определение. Полное метрическое пространство называется пространством Банаха.

Полное унитарное пространство носит название пространства Гильберта.

Примеры.

1. Пространство L(a, b) – абсолютно интегрируемых на интервале (а, b) функций (x(t) О L(a, b), если Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства с метрикой


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


является пространством Банаха.

Пространство L2 (a, b), со скалярным произведением


Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства


является пространством Гильберта.

Похожие работы:

  1. • Нормированное пространство. Банахово пространство
  2. • Дифференцирование в линейных нормированных ...
  3. • Феноменологическое обоснование формы линейного ...
  4. • Теория симметрии молекул
  5. • Теоретические основы математических и инструментальных ...
  6. • Компактные операторы
  7. • Шпора 2 по мат анализу
  8. • Оператор сдвига
  9. • Геометрии Галилея и Минковского как описания ...
  10. • Аппроксимация непрерывных функций многочленами
  11. • Основные определения и теоремы к зачету по функциональному ...
  12. • Основные определения и теоремы к зачету по функциональному ...
  13. • Калибровочно-эволюционная интерпретация специальной и общей ...
  14. • Основные определения и теоремы к зачету по функциональному ...
  15. • Линейно-стадиальная интерпретация унитарно ...
  16. • Оценки спектральных радиусов
  17. • Современные качественные исследования устойчивости
  18. • Некоторые линейные операторы
  19. • Четвертая координата - козни лукавого
Рефетека ру refoteka@gmail.com