Рефетека.ру / Математика

Курсовая работа: Оператор сдвига

Введение

Тема для написания дипломной работы была выбрана не случайно. Теория линейных операторов – это интересная и важная область, которая позволяет не только активно применять уже имеющиеся знания по анализу, но и узнать много нового.

В данной работе рассматриваются линейные операторы одностороннего и двустороннего сдвига. Вводятся основные понятия: спектр, резольвента, спектральный радиус оператора. Рассматриваются задачи, в ходе решения которых выясняются некоторые свойства спектров операторов сдвига. Определяется класс взвешенных сдвигов, выводится соотношение для нормы и спектрального радиуса оператора взвешенного сдвига.

Известно, что если рассматривать поле действительных чисел при условии, что аксиома Архимеда не выполняется, то получим новое, расширенное поле, в котором существуют бесконечно большие и бесконечно малые элементы. На основании этого расширения можно построить весь математический анализ – нестандартный анализ.

Естественно, часть основных понятий и свойств линейных операторов было бы интересно определить и доказать и в нестандартном анализе, что и было сделано в работе.

В частности, был установлен следующий факт: хотя стандартный оператор сдвига не имеет собственных векторов, но его нестандартное расширение имеет «почти собственные» векторы, т. е. векторы, в определенном смысле бесконечно близкие к собственным.

Часть 1. Оператор сдвига в гильбертовом пространстве

§1. Основные понятия и факты теории линейных операторов

1. Определение и примеры линейных операторов

Пусть Е и Е1 – два линейных нормированных пространства над полем комплексных чисел. Линейным оператором, действующим из Е в Е1 называется отображение Оператор сдвига (Оператор сдвига удовлетворяющее условию

Оператор сдвига для всех Оператор сдвига.

Совокупность DA всех тех Оператор сдвига, для которых отображение А определено, называется областью определения оператора А; вообще говоря, не предполагается, что DA=E , однако мы всегда будем считать, что DA есть линейное многообразие, то есть, если х,уОператор сдвига DA , то и Оператор сдвига при любых Оператор сдвига.

Определение 1. Оператор Оператор сдвига называется непрерывным в точке х0 Оператор сдвигаDA , если для любой окрестности V точки у0=Ах0 существует такая окрестность U точки х0 , что АхОператор сдвигаV , как только хОператор сдвига. Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке хОператор сдвига DA.

Поскольку Е и Е1 – нормированные пространства, то это определение равносильно следующему: оператор А называется непрерывным, если выполняется следующее условие: Оператор сдвига(Оператор сдвига Оператор сдвигаОператор сдвига Оператор сдвига.

Примеры линейных операторов

Пусть А – линейный оператор, отображающий n-мерное пространство Rn c базисом е1, …, еn в m-мерное пространство Rm с базисом f1, …,fm . Если х – произвольный вектор из Rn , то Оператор сдвига и, в силу линейности оператора А Оператор сдвигаОператор сдвига.

Таким образом, оператор А задан, если известно, в какие элементы он переводит базисные векторы е1,…, еn . Рассмотрим разложение вектора Аеi по базису f1, …, fm . Имеем Оператор сдвига. Следовательно, оператор А определяется матрицей коэффициентов аij . Образ пространства Rn и Rm представляет собой линейное пространство, размерность которого равна, очевидно, рангу матрицы Оператор сдвига, т.е. во всяком случае не превосходит n (свойство ранга матрицы). Отметим, что в конечномерном пространстве всякий линейный оператор автоматически непрерывен.

Рассмотрим гильбертово пространство Н и в нем некоторое подпространство Н1 . Разложив Н в прямую сумму подпространства Н1 и его ортогонального дополнения, т.е. представив каждый элемент Оператор сдвига в виде Оператор сдвига (Оператор сдвига положим Рh=h1. Этот оператор Р естественно назвать оператором проектирования, проектирующим все пространство Н на Н1. Очевидно, что Р является линейным и непрерывным оператором.

Рассмотрим в пространстве Оператор сдвиганепрерывных функций на отрезке [a;b] с нормой Оператор сдвига оператор, определяемый формулой

Оператор сдвига, (1)

где k(s,t) – некоторая фиксированная непрерывная функция двух переменных. Функция Оператор сдвига непрерывна для любой непрерывной функции Оператор сдвига, так что оператор (1) действительно переводит пространство непрерывных функций в себя. Его линейность очевидна. Можно доказать также, что он непрерывен.

Тот же оператор можно рассмотреть на множестве непрерывных функций С2[a,b] с нормой Оператор сдвига, где он также непрерывен.

4. Один из важнейших для анализа примеров линейных операторов – оператор дифференцирования. Его можно рассматривать в пространстве C[a,b] : Df(t) = Оператор сдвига.Оператор сдвигаЭтот оператор D определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на линейном многообразии функций, имеющих непрерывную производную. Оператор D линеен, но не непрерывен. Это видно, например, из того, что последовательность Оператор сдвига сходится к 0 ( в метрике С[a,b]), а последовательность Оператор сдвига не сходится.

Оператор дифференцирования можно рассматривать как оператор, действующий из пространства D1 непрерывно дифференцируемых функций на [a,b] с нормой Оператор сдвига в пространство С[a,b]. В этом случае оператор D линеен и непрерывен и отображает все D1 на все С[a,b].

Рассмотрение оператора дифференцирования как оператора, действующего из D1 в С[a,b], не вполне удобно, так как, хотя при этом мы и получаем непрерывный оператор, определенный на всем пространстве, но не к любой функции из D1 можно применять этот оператор дважды. Удобнее рассматривать оператор дифференцирования в еще более узком пространстве, чем D1 , а именно в пространстве Оператор сдвига бесконечно дифференцируемых функций на отрезке [a; b], в котором топология задается счетной системой норм Оператор сдвига. Оператор дифференцирования переводит все это пространство в себя, и, как можно проверить, он непрерывен на этом пространстве.

2. Ограниченность и норма линейного оператора

Определение 2. Линейный оператор, действующий из Е в Е1, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное. Между непрерывностью и ограниченностью линейного оператора существует тесная связь, т.е. справедливы следующие утверждения:

Теорема 1. Для того, чтобы линейный оператор Оператор сдвига был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.

1. Пусть оператор А неограничен. Тогда существует МОператор сдвигаЕ – ограниченное множество, такое, что множество АМОператор сдвигаЕ1 не ограничено. Следовательно, в Е1 найдется такая окрестность нуля V, что ни одно из множеств Оператор сдвигаАМ не содержится в V. Но тогда существует такая последовательность хnОператор сдвигаM , что ни один из элементов Оператор сдвигаАхn не принадлежит V и получаем, что Оператор сдвигав Е, но Оператор сдвига не сходится к 0 в Е; это противоречит непрерывности оператора А.

2. Если оператор А не непрерывен в точке 0, то в Е1 существует такая последовательность Оператор сдвига, что Ахn не стремится к 0. При этом последовательность Оператор сдвига ограничена, а последовательность Оператор сдвига не ограничена. Итак, если оператор А не непрерывен, то А и не ограничен. Утверждение доказано.

Если Е и Е1 – нормированные пространства, то условие ограниченности оператора А, действующего из Е в Е1, можно сформулировать так: оператор А называется ограниченным, если он переводит любой шар в ограниченное множество.

В силу линейности оператора А это условие можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует С=const , что для любого Оператор сдвигаОператор сдвигаЕ : Оператор сдвига.

Определение 3. Наименьшее из чисел С, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается Оператор сдвига.

Теорема 2 [1]. Для любого ограниченного оператора А , действующего из нормированного пространства в нормированное Оператор сдвига.

3. Сумма и произведение линейных операторов. Пространство линейных непрерывных операторов

Определение 4. Пусть А и В – два линейных оператора, действующих из линейного топологического пространства Е в пространство Е1. Назовем их суммой А+В оператор С, ставящий в соответствие элементу Оператор сдвига элемент у=Ах+Вх, Оператор сдвига.

Можно проверить, что С=А+В – линейный оператор, непрерывный, если А и В непрерывны. Область определения DC оператора С есть пересечение Оператор сдвига областей определения операторов А и В.

Если Е и Е1 – нормированные пространства, а операторы А и В ограничены, то С тоже ограничен, причем

Оператор сдвига (2)

Действительно, для любых х Оператор сдвига, следовательно, выполняется неравенство (2).

Определение 5. Пусть А и В – линейные операторы, причем А действует из Е в Е1, а В действует из Е1 в Е2 . Произведением ВА операторов А и В называется оператор С, ставящий в соответствие элементу Оператор сдвига элемент Оператор сдвига из Е2.

Область определения DC оператора С=ВА состоит из тех хОператор сдвигаDA , для которых АхОператор сдвигаDB. Ясно , что оператор С линеен. Он непрерывен, если А и В непрерывны.

Если А и В – ограниченные операторы, действующие в нормированных пространствах, то и оператор С=ВА – ограничен, причем

Оператор сдвига (3)

Действительно, Оператор сдвига, следовательно, выполняется (3).

Сумма и произведение трех и более операторов определяются последовательно. Обе эти операции ассоциативны.

Произведение оператора А на число к (обозначается кА) определяется как оператор, который элементу х ставит в соответствие элемент кАх.

Совокупность Z(E,E1) всех непрерывных линейных операторов, определенных на всем Е и отображающих Е в Е1 ( где Е и Е1Оператор сдвига– фиксированные линейные нормированные пространства), образует, по отношению к введенным операциям сложения и умножения на число, линейное пространство. При этом Z(E, E1) – нормированное пространстово (с тем определением нормы оператора, которое было дано выше).

4. Обратный оператор

Пусть А – линейный оператор, действующий из Е в Е1 , и DA область определения, а RA – область значений этого оператора.

Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого уОператор сдвигаRA уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если А обратим, то любому элементу уОператор сдвигаRA можно поставить в соответствие единственный элемент хОператор сдвигаDA , являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к А и обозначается А-1.

Теорема 3 [1]. Оператор А-1, обратный линейному оператору А, также линеен.

Доказательство.

Достаточно проверить выполнение равенства

Оператор сдвига.

Положим Ах1=у1 и Ах2=у2, в силу линейности А имеем

Оператор сдвига (*)

По определению обратного оператора А-1у1=х1 и А-1у2=х2, умножим оба равенства соответственно на Оператор сдвига и Оператор сдвига:

Оператор сдвига.

С другой стороны из равенства (*) следует Оператор сдвига, следовательно, Оператор сдвига.

Теорема доказана.

Теорема 4 [3]. (Теорема Банаха об обратном операторе)

Пусть А – линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Е1. Тогда обратный оператор А-1 ограничен.

Теорема 5 [3]. Пусть Е – банахово пространство, I – тождественный оператор в Е, а А – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что Оператор сдвига. Тогда оператор (I-A)-1 существует, ограничен и представляется в виде Оператор сдвига.

Доказательство.

Так как Оператор сдвига, то ряд Оператор сдвига сходится. А так как Оператор сдвига для всех Оператор сдвига, то ряд Оператор сдвига также сходится. Пространство Е полно, значит, из сходимости ряда Оператор сдвига вытекает, что сумма ряда Оператор сдвигапредставляет собой ограниченный линейный оператор. Для любого n имеем: Оператор сдвига, переходя к пределу и учитывая, что Оператор сдвига, получаем Оператор сдвига, следовательно Оператор сдвига.

Теорема доказана.

5. Спектр оператора. Резольвента.

Всюду, где речь идет о спектре оператора, считаем, что оператор действует в комплексном пространстве.

В теории операторов и ее применениях первостепенную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала применительно к операторам в конечномерном пространстве.

Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еn . Число Оператор сдвига называется собственным значением оператора А , если уравнениеОператор сдвига имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения Оператор сдвига – регулярными.

Иначе говоря, Оператор сдвига есть регулярная точка, если оператор Оператор сдвига обратим. При этом оператор Оператор сдвига-1 , как и любой оператор в конечномерном пространстве, ограничен, поэтому в конечномерном пространстве существует две возможности:

уравнение Оператор сдвига имеет ненулевое решение, т. е. Оператор сдвига есть собственное значение для А , оператор Оператор сдвига-1 при этом не существует;

существует ограниченный оператор Оператор сдвига-1, т.е. Оператор сдвига есть регулярная точка.

В бесконечномерном пространстве существует третья возможность:

оператор Оператор сдвига-1 существует, т.е. уравнение Оператор сдвига имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введем следующую терминологию. Число Оператор сдвига мы назовем регулярным для оператора А, действующего в (комплексном) линейном нормированном пространстве Е, если оператор Оператор сдвига-1 , называемый резольвентой оператора А , определен на всем Е и непрерывен. Совокупность всех остальных значений Оператор сдвига называется спектром оператора А . Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как если Оператор сдвигах=0 при некотором Оператор сдвига, то Оператор сдвига-1 не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, т.е. совокупность тех Оператор сдвига, для которых Оператор сдвига-1 существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, любое значение Оператор сдвига является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Теорема 6 [3]. Если А –ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве и Оператор сдвига, то Оператор сдвига– регулярная точка.

Доказательство.

Так как, очевидно Оператор сдвига, то Оператор сдвига Оператор сдвига. При Оператор сдвига этот ряд сходится (теорема 4), т.е. оператор Оператор сдвига имеет ограниченный обратный. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса Оператор сдвига с центром в нуле.

Теорема доказана.

Пример. В пространстве Оператор сдвига функций, непрерывных на отрезке Оператор сдвига, рассмотрим оператор А, определяемый формулой Аx(t)=M(t)x(t) , где M(t)– фиксированная непрерывная функция. Возьмем произвольное число Оператор сдвига, тогда Оператор сдвига, а Оператор сдвига.

Спектр рассматриваемого оператора состоит из всех Оператор сдвига, для которых Если функция M(t)- Оператор сдвигаобращается в нуль при некотором t, заключенном между 0 и 1, то оператор Оператор сдвига не определен на всем пространстве Оператор сдвига, так как функция Оператор сдвига уже не обязана быть непрерывной. Если же функция M(t)- Оператор сдвига не обращается в нуль на отрезке Оператор сдвига, то функция Оператор сдвига непрерывна на этом отрезке, а, следовательно, ограничена: для некоторого Оператор сдвига Оператор сдвига при всех Оператор сдвига. Следовательно, оператор Оператор сдвига ограничен, а число Оператор сдвига – регулярное для оператора А. Таким образом, спектр оператора А есть совокупность всех значений функции M(t) на отрезке [0;1], причем собственные значения отсутствуют, т.е. оператор умножения на t представляет собой пример оператора с чисто непрерывным спектром.

Замечания

Любой ограниченный линейный оператор, определенный в комплексном банаховом пространстве, имеющем хоты бы один отличный от нуля элемент, имеет непустой спектр. Существуют операторы, у которых спектр состоит из единственной точки (оператор умножения на число).

Теорема 5 может быть уточнена следующим образом. Пусть Оператор сдвига (можно доказать, что этот предел существует для любого ограниченного оператора А), тогда спектр оператора А целиком лежит внутри круга радиуса r с центром в нуле. Величина r называется спектральным радиусом оператора А.

Резольвентные операторы Оператор сдвига и Оператор сдвига, отвечающие точкам Оператор сдвига и Оператор сдвига, перестановочны между собой и удовлетворяют соотношению Оператор сдвига, которое легко проверить, умножив обе части этого равенства на Оператор сдвига. Отсюда вытекает, что если Оператор сдвига – регулярная точка для А, то производная от Оператор сдвига по Оператор сдвига при Оператор сдвига=Оператор сдвига, т.е. Оператор сдвига, существует (в смысле сходимости по операторной норме) и равна Оператор сдвига.

§2. Унитарные операторы. Оператор сдвига

В этом разделе будем рассматривать пространство Н со скалярным произведением, которое является частным случаем нормированного пространства.

6. Оператор сдвига. Спектр оператора сдвига

Определение 7. Ограниченный линейный оператор U в пространстве Н называется изометрическим, если он не изменяет величины скалярного произведения: Оператор сдвига для любых Оператор сдвига.

В этом случае, если х=у, то Оператор сдвига, или Оператор сдвига. Значит, изометрический оператор сохраняет норму элемента, а норма самого такого оператора, как следует из определения нормы, равна 1 (Оператор сдвига).

Понятие изометрического оператора можно ввести также для операторов, действующих в нормированном пространстве.

Определение 8. Ограниченный линейный оператор U в нормированном пространстве Е называется изометрическим, если он не изменяет величины нормы: Оператор сдвига для любых Оператор сдвига.

Лемма 1. Для того, чтобы линейный оператор U в пространстве Н был изометрическим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: Оператор сдвига для любых Оператор сдвига.

Доказательство. Нужно доказать только достаточность. Для этого используем тождество Оператор сдвигаОператор сдвигаОператор сдвигаОператор сдвигаОператор сдвига. Его легко проверить, если представить левую часть в виде скалярных произведений: Оператор сдвигаОператор сдвигаОператор сдвигаОператор сдвига Оператор сдвига. Так как левая часть не изменится при замене векторов Оператор сдвига на векторы Оператор сдвига, то правая тоже не изменится, т. е. Оператор сдвига.

Определение 9. Оператор U называется унитарным, если он изометрический и имеет обратный оператор, определенный на всем пространстве Н.

Теорема 7. Спектр унитарного оператора – это множество, лежащее на единичной окружности.

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа:

Докажем, что спектр унитарного оператора U содержится в единичном круге.

Рассмотрим обратный оператор и покажем, что он тоже унитарный. Докажем, что, если Оператор сдвига принадлежит спектру оператора U, то Оператор сдвига принадлежит спектру обратного оператора и наоборот.

Для доказательства I этапа применим теорему 4: если А – ограниченный линейный оператор в нормированном пространстве и Оператор сдвига, то Оператор сдвига– регулярная точка. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса Оператор сдвига с центром в нуле. А норма унитарного оператора U, как было показано, равна 1 (Оператор сдвига). Следовательно, спектр унитарного оператора содержится в единичном круге.

Перейдем ко II этапу. Докажем, что оператор, обратный к унитарному оператору, также унитарный оператор. Покажем, что он удовлетворяет условию изометрии: Оператор сдвига для всех Оператор сдвига. Положим Ux=y, тогда Оператор сдвига, и Оператор сдвига, т. е. Оператор сдвига для всех Оператор сдвига.

Докажем, что, если точка Оператор сдвига является регулярной для оператора U, то точка Оператор сдвига является регулярной для обратного оператора U-1. Точка Оператор сдвига, является регулярной для оператора U, если выполняется условие:

Оператор сдвига (*).

Оператор U-1 является обратным для оператора U, значит, для них верно U-1U=I=UU-1 . Используя это, равенство (*) можно переписать:

Оператор сдвига, или

Оператор сдвига.

Используем свойство обратных операторов: оператор, обратный произведению операторов, равен произведению обратных операторов к данным, взятых в противоположном порядке, т.е. для двух операторов А и В имеем Оператор сдвига. Тогда равенство можно переписать в виде:

Оператор сдвига.

Вычислим отдельно произведение:

Оператор сдвига.

В итоге Оператор сдвига, т.е. Оператор сдвига является регулярной для обратного оператора U-1.

Возьмем множество точек Оператор сдвига. Тогда точки вида Оператор сдвига лежат вне единичного круга и все являются для оператора Оператор сдвига регулярными, так как он унитарный и его норма равна 1. Но поскольку оператор Оператор сдвига - обратный к оператору Оператор сдвига , то точки, входящие в Оператор сдвига, по предыдущему рассуждению являются для него регулярными. Следовательно, спектр оператора U – это множество, лежащее на единичной окружности.

Важным примером изометрического оператора является оператор сдвига.

Определение 10. Оператор Оператор сдвига, заданный в пространстве последовательностей, называется оператором сдвига, если он каждую последовательность вида (х1,х2,…, хn…) переводит в последовательность вида (0, х1, х2, …, хn…), т.е. выполняется равенство: Оператор сдвига(х1,х2,…, хn…)=(0, х1, х2, …, хn…).

Можно также рассматривать оператор сдвига, который действует в пространстве последовательностей, бесконечных в обе стороны. Элемент этого пространства можно представить в таком виде: (…х-2, х-1, х0, х1, х2, …).

Определение 11. Оператор Оператор сдвига называется оператором двухстороннего сдвига, если он каждую последовательность, бесконечную в обе стороны, сдвигает вправо, т.е. выполняется равенство: Оператор сдвига.

Уточним, о каких пространствах последовательностей будет идти речь:

1) l2 – пространство односторонних последовательностей комплексных чисел с натуральной нумерацией, для которых ряд Оператор сдвига- сходящийся. Скалярное произведение в этом пространстве определяется формулой Оператор сдвига.

2) l2(-∞;∞) – пространство двусторонних последовательностей комплексных чисел с нумерацией целыми числами, для которых соответственно ряд Оператор сдвига– сходящийся. Скалярное произведение в этом пространстве определяется формулой Оператор сдвига.

Рассмотрим оператор одностороннего сдвига U(x1, x2, …, xn, …)=(0, x1, x2, …). Покажем, что этот оператор является изометрическим. Действительно, для любых Оператор сдвига Оператор сдвига. А, значит, этот оператор по лемме 1 является изометрическим. Указанный оператор U не является унитарным, так как его образ – это не все пространство l2; векторы, имеющие ненулевую первую координату (например векторы вида (1, х1, х2, …)) не имеют прообраза. Значит, обратного оператора он не имеет.

Теорема 8. Оператор двухстороннего сдвига является унитарным оператором

Доказательство. Рассмотрим оператор двустороннего сдвига

U(…, x-1, x00, x1, …)=(…, x-2, x-10, x0, x1, …).

Очевидно, что этот оператор сохраняет норму, т.е. является изометрическим: Оператор сдвига. Покажем, что он имеет обратный оператор – это оператор, который любую последовательность сдвигает влево.

В пространстве последовательностей, как и в любом метрическом пространстве, любой вектор представляется как линейная комбинация элементов базиса. В этом пространстве имеется канонический базис – это последовательности вида

………………………

l-1=(.., 0, 1-1, 0, …)

l0=(…, 0, 10, 0, …)

l1=(…, 0, 11, 0, …)

………………………

Подействуем оператором U на произвольный элемент базиса:

Ulk=U(…, 0, 1k, 0,…)=(…, 0, 1k+1, 0)=lk+1.

Т.е. каждый элемент базиса оператор U переводит в последующий элемент. Чтобы осуществлялось обратное действие, мы должны каждый элемент базиса перевести в предыдущий элемент, т.е. U-1lk=lk-1.

Каждый вектор пространства l2 х=(…, х-1, х0, х1, …) может быть представлен в виде: Оператор сдвига. А так как оператор U-1 элементы базиса переводит в предыдущие, то, действуя на последовательность Оператор сдвига, сдвинет ее влево.

Итак, мы получили, что оператор двухстороннего сдвига U имеет обратный оператор и является изометрическим, следовательно, он является унитарным. Спектр этого оператора лежит на единичной окружности.

7.Взвешенные сдвиги

Определение 12. Оператором взвешенного сдвига называется произведение оператора сдвига (одностороннего или двустороннего) на диагональный (в этом же базисе) оператор.

Более подробно: пусть Оператор сдвига– ортонормированный базис (n = 0, 1, 2, … или n = 0, Оператор сдвига1, Оператор сдвига2, …) и пусть Оператор сдвига – ограниченная последовательность комплексных чисел (n пробегает те же значения, что и выше). Оператором взвешенного сдвига называется оператор вида SP, где S– оператор сдвига (Sln= ln+1) ,а Р – диагональный оператор с диагональю Оператор сдвига(Pln = Оператор сдвигаln ).

Найдем выражение для нормы и спектрального радиуса оператора взвешенного сдвига через его веса.

Вспомним, что сдвиг S1 – изометрический оператор, значит, не изменяет нормы элемента: Оператор сдвига для любого Оператор сдвига.Поэтому норма оператора А равна норме соответствующего диагонального оператора: для любого Оператор сдвига Оператор сдвига и Оператор сдвига . Найдем норму диагонального оператора Pln = Оператор сдвигаОператор сдвига, где Оператор сдвига– некоторая ограниченная последовательность комплексных чисел. Рассмотрим произвольную последовательность Оператор сдвига с единичной нормой: Оператор сдвига. При этом в базисе Оператор сдвига элемент Оператор сдвига имеет разложение Оператор сдвига. Подействуем на элемент х оператором Р: Оператор сдвигаОператор сдвига. При этом Оператор сдвига Оператор сдвигаОператор сдвигаОператор сдвигаОператор сдвига. Отсюда следует, что Оператор сдвига Оператор сдвига. Покажем, что выполняется также и обратное неравенство. Если для последовательности Оператор сдвига Оператор сдвига достигается, т.е. Оператор сдвига при некотором Оператор сдвига, то возьмем элемент Оператор сдвига: Оператор сдвигаОператор сдвига, Оператор сдвигаОператор сдвига. Если же Оператор сдвига не достигается, то можно взять подпоследовательность Оператор сдвига Оператор сдвига, тогда Оператор сдвигаОператор сдвига. Это говорит о том, что не может быть Оператор сдвигаОператор сдвига. Итак, Оператор сдвига Оператор сдвига и Оператор сдвига Оператор сдвига. Мы получили, что норма оператора взвешенного сдвига равна точной верхней грани модулей его весов.

Чтобы найти спектральный радиус оператора взвешенного сдвига, найдем нормы его степеней. Вычислим степени оператора А: Aln = Оператор сдвига, A2ln = Оператор сдвига,A3ln = Оператор сдвига, и так далее. Следовательно, Ак можно представить в виде произведения изометрии (к-й степени оператора сдвига) и диагонального оператора, у которого n-й диагональный член равен произведению к последовательных чисел Оператор сдвига, начиная с Оператор сдвига. Значит, Оператор сдвига, отсюда, Оператор сдвига.

8. Операторы сдвига в пространстве функции на единичной окружности

Рассмотрим единичную окружность на комплексной плоскости, т. е. всевозможные комплексные числа Оператор сдвига, по модулю равные 1. Рассмотрим комплексную последовательность Оператор сдвига и составим ряд Оператор сдвига. Если он сходится для всех Оператор сдвига, таких, что Оператор сдвига, то Оператор сдвига– функция от переменной Оператор сдвига, определенная на единичной окружности. Заметим, что для последовательностей из пространства Оператор сдвига, таких, что ряд Оператор сдвигасходящийся, ряд Оператор сдвигасходится для всех Оператор сдвига, таких, что Оператор сдвига. Итак, существует взаимно однозначное соответствие Оператор сдвига между пространством Оператор сдвига и множеством A функций на единичной окружности, представимых в виде суммы обобщенного степенного ряда с абсолютно сходящимся рядом коэффициентов. Рассмотрим, в какой оператор переходит при этом оператор сдвига U. Обозначим этот оператор Оператор сдвига. Пусть Оператор сдвига и Оператор сдвигаОператор сдвига – соответствующая функция. Тогда Оператор сдвига Оператор сдвига Оператор сдвига. Итак, в пространстве А оператору сдвига соответствует оператор умножения на функцию Оператор сдвига.

Рассмотрим теперь оператор Оператор сдвига взвешенного сдвига с весами Оператор сдвига. Его область определения – не все пространство Оператор сдвига, а только те последовательности Оператор сдвига, для которых сходится ряд Оператор сдвига. При этом

Оператор сдвигаОператор сдвига. Таким образом, в пространстве А оператору сдвига Оператор сдвига соответствует оператор дифференцирования.

Часть 2. Нестандартное расширение оператора сдвига

1. Нестандартное расширение поля действительных чисел

Поле R действительных чисел является расширением поля рациональных чисел с помощью определенной конструкции. Например, можно рассматривать действительные числа как классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Существует некоторая конструкция и для расширения поля R. При этом получается новое поле с линейным порядком, но без выполнения аксиомы Архимеда: Оператор сдвига. В новом поле существуют положительные элементы, меньшие любой дроби Оператор сдвига, где Оператор сдвига. Такие элементы называются бесконечно малыми. Также существуют положительные элементы, большие любого Оператор сдвига, они называются бесконечно большими. Это поле называется нестандартным расширением поля действительных чисел и обозначается *R.

Та же конструкция (которую мы не будем здесь описывать), дает расширение любого множества, построенного на основании поля действительных чисел, например, булеана Оператор сдвига, или прямого произведения Оператор сдвига. Поскольку отображение Оператор сдвига можно рассматривать как подмножество Оператор сдвига, то получаем также расширения всех числовых отображений. Всю полученную совокупность множеств называют нестандартным универсумом. На основании нестандартного универсума можно построить теорию, аналогичную математическому анализу, или нестандартный математический анализ.

Мы перечислим без доказательства некоторые необходимые в дальнейшем утверждения нестандартного анализа.

Принцип переноса

Если в стандартной теории верно некоторое утверждение, записанное логической формулой с конечным числом логических символов, то аналогичное утверждение верно и в нестандартном универсуме и наоборот.

Пусть дано бинарное отношение Оператор сдвига. Отношение называется направленным, если для любого конечного набора элементов Оператор сдвига существует элемент Оператор сдвига, который находится в отношении Оператор сдвига со всеми элементами данного набора.Оператор сдвига

Принцип направленности. Пусть дано направленное отношение Оператор сдвига . Тогда во множестве *В существует элемент Оператор сдвига, находящийся в отношении Оператор сдвига со всеми элементами множества А: Оператор сдвига

Пример. Выведем из принципа направленности существование бесконечно большого числа в *R. Возьмем прямое произведение Оператор сдвига и на нем обычное отношение порядка: элементы x и y находятся в отношении Оператор сдвига, если Оператор сдвига. По принципу направленности: Оператор сдвига, что и означает, что в расширении Оператор сдвига существует элемент, который больше любого стандартного действительного числа, т. е. бесконечно большое число.

Теорема 10 [2]. Пусть Оператор сдвига - стандартная последовательность. Тогда Оператор сдвига. То есть число Оператор сдвига является пределом стандартной последовательности тогда и только тогда, когда для расширенной последовательности все члены с гипернатуральными номерами бесконечно близки к b.

(Соотношение Оператор сдвига, Оператор сдвига , означает, что Оператор сдвига – бесконечно малое число).

Доказательство.

1) Пусть Оператор сдвига, тогда по определению предела стандартной последовательности выполняется условие Оператор сдвига. Применим принцип переноса: Оператор сдвига. Но все бесконечно большие номера будут больше n0 , поэтому при любом стандартном положительном Оператор сдвига для любого бесконечного номера выполняется неравенство Оператор сдвига , что и означает Оператор сдвига.

Пусть Оператор сдвига. Возьмем стандартное ε>0 , тогда верно утверждение: Оператор сдвига. По принципу переноса такое же утверждение верно и в стандартном универсуме, следовательно, Оператор сдвига, что и требовалось доказать.

Множества, входящие в нестандартный универсум, называются внутренними. Это множества, которые являются элементами расширения булеана какого-то стандартного множества. Рассмотрим множества, являющиеся элементами Оператор сдвига, где Оператор сдвига – булеан Оператор сдвига. Для всех множеств Оператор сдвига из Оператор сдвига выполняется утверждение: если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань (аксиома непрерывности). И определение ограниченности сверху, и определение точной нижней грани можно записать формулой с конечным числом символов, поэтому к данному утверждению применим принцип переноса. Значит, если множество Оператор сдвига ограничено сверху некоторым гипердействительным числом, то оно имеет точную верхнюю грань в Оператор сдвига, которую также будем обозначать Оператор сдвига.

Теорема 11. Пусть имеется внутреннее множество АОператор сдвига*R, причем Оператор сдвига. Тогда Оператор сдвига.

Доказательство. Очевидно, данное множество ограничено сверху, например, числом Оператор сдвига. Пусть М=sup А. Предположим от противного: пусть условие Оператор сдвига не выполняется, значит, положительное число Оператор сдвига не бесконечно малое. Значит, существует такое стандартное положительное число Оператор сдвига, что Оператор сдвига. Отсюда следует, что Оператор сдвига. А так как для любого Оператор сдвига число Оператор сдвига бесконечно малое, то Оператор сдвига, следовательно, М не является точной верхней гранью множества А, и предположение не верно.

2. Расширение пространств Оператор сдвига и Оператор сдвига

Рассмотрим следующие пространства:

1) l2 – пространство односторонних последовательностей комплексных чисел с натуральной нумерацией, для которых ряд Оператор сдвига- сходящийся.

2) l2(-∞;∞) – пространство двусторонних последовательностей комплексных чисел с нумерацией целыми числами, для которых соответственно ряд Оператор сдвига- сходящийся.

Соответственно, обозначим через *l2 нестандартное расширение пространства l2, которое также является линейным пространством над полем Оператор сдвига, наделенным скалярным произведением.

Определим, какие последовательности гиперкомплексных чисел будет содержать пространство *l2.

Так как по определению l2 ={{xi}/Оператор сдвига CОператор сдвигаR, Оператор сдвигаnОператор сдвигаN: Оператор сдвига≤ C}, то по принципу переноса

*l2={{xi}iОператор сдвига*N / Оператор сдвига СОператор сдвига*R, Оператор сдвигаνОператор сдвига*N: Оператор сдвига≤С} (*)

Т.е. в l2 входят гиперкомплексные последовательности с гипернатуральной нумерацией, удовлетворяющие условию (*). Аналогично, в *l2(-Оператор сдвига,Оператор сдвига) будут последовательности с гиперцелой нумерацией, члены которых также Оператор сдвига*С, удовлетворяющие аналогичному (*) условию

*Оператор сдвига-Оператор сдвига,Оператор сдвига)={{xi }/ Оператор сдвига СОператор сдвига*R, Оператор сдвигаνОператор сдвигаОператор сдвига: Оператор сдвига≤С}.

Естественным образом в *l2 можно ввести норму: Оператор сдвига, но в отличие от нормы в l2, в *l2 норма может принимать также и бесконечные значения.

Докажем, что для расширений стандартных последовательностей Оператор сдвига.

Возьмем стандартную последовательность {xi}=x в пространстве l2 с нормой Оператор сдвига и любое стандартное Оператор сдвига. Воспользуемся теоремой 1: Оператор сдвига . Из этого утверждения следует, что верно следующее утверждение: Оператор сдвига, т.е. для любого стандартного Оператор сдвига число Оператор сдвига является верхней границей для множества всех сумм вида Оператор сдвига (1).

Обозначим МОператор сдвига=Оператор сдвига (2)

Из предыдущего следует, что Оператор сдвига. С другой стороны, так как МОператор сдвига , то Оператор сдвига Оператор сдвига]. Но Оператор сдвигаОператор сдвига, значит, для любого стандартного Оператор сдвига Оператор сдвига, следовательно, МОператор сдвига , или Оператор сдвига, что и требовалось доказать.

3. Операторы сдвига в нестандартном расширении пространства последовательностей

В дальнейшем Н – гильбертово пространство, Оператор сдвига – пространство всех линейных ограниченных операторов в Н.

Для линейных операторов в нестандартных пространствах можно ввести аналоги основных понятий теории операторов: ограниченности, нормы, спектра. При этом можно рассматривать различные пространства операторов: например, Оператор сдвига – множество всех расширений операторов из пространства Оператор сдвига; Оператор сдвига – множество всех линейных операторов Оператор сдвига, имеющих конечную норму, т. е. удовлетворяющих условию Оператор сдвига; *(L(H)) – расширение пространства всех линейных ограниченных операторов в Н.

Мы будем рассматривать операторы из пространства *(L(H)). Для операторов из этого пространства можно ввести норму как расширение нормы на пространстве *(L(H)). Но в отличие от стандартной нормы она может быть также и бесконечна. Назовем оператор из *(L(H)) ограниченным, если его норма конечна

Определение 13. Спектром оператора АОператор сдвига*(L(H)) называется множество точек λОператор сдвига, для которых оператор А– λI не имеет ограниченного обратного в *(L(H)).

Теорема 12. Если существует элемент Оператор сдвига с не бесконечно малой нормой, такой, что Оператор сдвига для некоторого λОператор сдвига, то число Оператор сдвига принадлежит спектру оператора А.

Доказательство. Предположим, что обратный оператор Оператор сдвига существует. Обозначим Оператор сдвига. Тогда Оператор сдвига Оператор сдвига, а Оператор сдвига. Норма элемента Оператор сдвига равна 1, а норма элемента Оператор сдвига бесконечно большая. Отсюда следует, что оператор Оператор сдвига не ограничен.

Определение 14. Элемент Оператор сдвига с не бесконечно малой нормой, такой, что Оператор сдвига для некоторого λОператор сдвига, называется почти собственным вектором оператора А, а число Оператор сдвига – точкой почти собственного спектра оператора А.

Рассмотрим оператор сдвига U в пространстве Оператор сдвига, т. е. оператор, каждую последовательность вида Оператор сдвига переводящий в последовательность вида Оператор сдвига

Также будем рассматривать оператор двустороннего сдвига Оператор сдвигаОператор сдвига, он каждую последовательность вида Оператор сдвига Оператор сдвига сдвигает вправо, т.е. переводит в последовательность Оператор сдвигаОператор сдвига.

Рассмотрим следующую задачу. В пространстве *Оператор сдвига возьмем следующую последовательность: Оператор сдвига, где Оператор сдвига – бесконечно большой номер. Найдем норму этого элемента: Оператор сдвига. Если же качестве Оператор сдвига возьмем Оператор сдвига, то получим Оператор сдвига. Покажем, что данный элемент является почти собственным вектором оператора сдвига с почти собственным числом Оператор сдвига, т. е. Оператор сдвига. Действительно, Оператор сдвига=Оператор сдвига, следовательно, Оператор сдвига .

Можно доказать также более общий факт.

Теорема 13. Любая точка единичной окружности является почти собственным числом оператора двухстороннего сдвига, соответствующим некоторому почти собственному вектору.

Доказательство. В пространстве *l2(-Оператор сдвига,Оператор сдвига) рассмотрим следующую последовательность: Оператор сдвига=Оператор сдвига, где Оператор сдвига=Оператор сдвига и Оператор сдвига– некоторый бесконечно большой номер. Найдем норму этого элемента: Оператор сдвигаОператор сдвига. Возьмем Оператор сдвига и рассмотрим разность Оператор сдвига. Так как

Ux=Оператор сдвига, Оператор сдвига,

то Оператор сдвига. Найдем норму этой разности: Оператор сдвига, т. е. Оператор сдвига.

Заключение

В работе показано, что нестандартное расширение оператора сдвига сохраняет многие свойства стандартного сдвига, в частности, свойство ограниченности и норму. Но также имеются и отличия, например, существование у нестандартного оператора сдвига почти собственных векторов.

Список литературы

Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.–М.: Мир, 1964.

Девис Д. Прикладной нестандартный анализ.

Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]./ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Просвещение, 1968.

Халмош П. Гильбертово пространство в задачах [Текст]. – М.: Просвещение, 1972.

Рефетека ру refoteka@gmail.com