Рефетека.ру / Химия

Дипломная работа: Теория симметрии молекул

Министерство общего и профессионального образования РФ


Дипломная работа

«Теория симметрии молекул»


Содержание


Введение

Глава 1 Элементы теории групп симметрии молекул

1.1 Операции симметрии молекул

1.2 Групповые постулаты

1.3 Классы смежности и классы сопряженных элементов

1.4 Факторизация групп

Глава 2 Введение в теорию представлений групп симметрии молекул

2.1 Векторные (линейные) пространства

2.2 Эвклидовы и унитарные пространства

2.3 Матрицы

2.4 Представления групп

2.5 Характеры представлений

2.6 Операторы проектирования

Заключение

Список использованной литературы


Введение


Понятие симметрии играет важную роль во всех естественных науках. Свойствами симметрии обладают структуры многих молекул, ионов, образуемых ими реагирующих систем.

Математической основой теории симметрии является теория групп. Понятие группы – предмет теории групп.

Множество G с бинарной операцией называется группой, если:

1. Операция ассоциативна, т. е. Теория симметрии молекул для любых a, b, c из G.

2. Операция гарантирует единицу, т. е. в G существует такой элемент е – он называется единицей, - что Теория симметрии молекул для любого а из G.

3. Операция гарантирует обратные элементы, т. е. для любого а из G существует в G такой элемент а-1 – он называется обратным к а, - что Теория симметрии молекул.

В теории молекулярной симметрии понятие представления группы играет центральную роль. Учитывая это, дадим определение представления группы, используя различные математические объекты, представляющие группу.

Представлением группы, действующим в n-мерном векторном пространстве V, называется гомоморфизм этой группы в группу невырожденных линейных операторов пространства V.

Задача настоящей работы состояла в самостоятельном изучении основных понятий и методов данной области и рассмотрении примеров по изучаемым темам.

В процессе написания были проработаны следующие разделы: операции симметрии молекул; классы смежности и факторизация групп; векторные, эвклидовы и унитарные пространства; представления групп и характеры представлений; операторы проектирования. Материал разбит на две главы, которые в свою очередь разбиваются на параграфы. На протяжении всего теоретического материала рассматриваются примеры, которые иллюстрируют применение изучаемых вопросов. Так большинство примеров показаны на множестве операций симметрии молекул аммиака NH3 – группе C3V.


Глава 1 Элементы теории групп симметрии молекул


1.1 Операции симметрии молекулы


1. Элементы и операции симметрии молекулы

Под геометрической конфигурацией молекулы или иона будем понимать пространственное расположение ядер атомов в молекуле или ионе относительно друг друга. Геометрическую конфигурация молекулы можно охарактеризовать, построив модель молекулы. Впервые модели молекул из шаров и стержней были построены в 1810 г. Джоном Дальтоном. Современные представления о структуре молекулы являются более точными благодаря применению точных экспериментальных методов определения этой структуры (оптические и дифракционные методы). Использовав эти методы, мы можем построить геометрическую модель молекулы в виде конечной фигуры.

Важной особенностью современных представлений о строении молекул является наличие симметрии молекул.

Определение 1. Отображением множества M на множество N называется правило f, которое каждому элементу m из множества M ставит в соответствие элемент n из множества N, называемый образом элемента m, при этом каждый элемент множества N является образом хотя бы одного элемента из множества M.

Если M=N, то говорят об отображении множества М на себя.

Определение 2. Операцией симметрии конечной фигуры называется ее изомерическое (т. е. сохраняющее расстояние между точками фигуры) отображение на себя.

Рассматривая эти примеры, приходим к заключению, что помимо геометрической модели, с молекулой аммиака необходимо связать геометрические образы – прямую C3 и плоскость Теория симметрии молекул, которые не принадлежат модели хотя бы потому, что они бесконечны

Операции симметрии пространственной фигуры, соответствующей молекуле, называются операциями симметрии молекулы.

Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулВ качестве примера рассмотрим молекулу аммиака NH3. Ее геометрическая конфигурация имеет форму правильной треугольной

Теория симметрии молекулРис. 1 пирамиды.


К числу операций симметрии правильной треугольной пирамиды относятся повороты, совмещающие ее с собой. Точки N и O определяют ось поворота, которую обозначим через С3. Повернем пирамиду вокруг этой оси на 120о против часовой стрелки. Указанный поворот обозначим через Теория симметрии молекул. На рис. 1, б изображена фигура (результат поворота), которая совмещается с исходной (рис. 1, а) при наложении. Рассмотрим отражение в плоскости Теория симметрии молекул, совмещающее фигуру с собой, и обозначим его Теория симметрии молекул. Очевидно, что Теория симметрии молекул, как и Теория симметрии молекул, является операцией симметрии молекулы аммиака, так как операции Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул не изменяют расстояний между точками фигуры NH3.

Рассматривая эти примеры, приходим к заключению, что помимо геометрической модели, с молекулой аммиака необходимо связать геометрические образы – прямую C3 и плоскость Теория симметрии молекул, которые не принадлежат модели хотя бы потому, что они бесконечны.

Определение 3. Элементом симметрии молекулы называется вспомогательный геометрический образ (точка, прямая, плоскость), характеризующий некоторое множество операций симметрии фигуры, изображающей молекулу.

Например, ось C3 характеризует множество операций симметрии, состоящее из рассмотренного нами поворота Теория симметрии молекул, а также поворотов Теория симметрии молекул на 240о и Теория симметрии молекул на 360о против часовой стрелки молекулы аммиака. Поворот Теория симметрии молекул называется тождественной операцией симметрии. При этой операции симметрии все точки геометрической модели молекулы отображаются в себя. Плоскость Теория симметрии молекул характеризует множество операций симметрии, состоящее из Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул.

Элементы симметрии не следует путать с операциями симметрии. Элементы симметрии будем обозначать буквами, а операции симметрии – буквами «со шляпками» над ними.

Рассмотрим множество, элементами которого являются всевозможные операции симметрии молекулы, для случая молекулы аммиака. Четыре элемента Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул этого множества мы уже нашли. Кроме плоскости Теория симметрии молекул (рис. 1, а), молекула аммиака имеет еще две плоскости симметрии Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул, содержащие прямые NH(2) и NH(3) соответственно. С плоскостями Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул связаны операции симметрии Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул. Множество операций симметрии молекулы аммиака может быть обозначено следующим образом:


Теория симметрии молекул.


2. Классификация элементов симметрии молекулы

1. Поворотная ось Cn порядка n. Поворотной осью симметрии n-го порядка называется ось Cn, при повороте вокруг которой на угол a=2p/n молекула совмещается сама с собой. Примеры: C3 – для случая молекулы аммиака; C2 (рис. 2, а) – для случая молекулы воды; C6 – для случая молекулы бензола (рис. 2, б).


Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекул


2. Поворотная ось бесконечного порядка CҐ. Это поворотная ось, при повороте вокруг которой на любой угол молекула совмещается с собой. Примером может служить любая линейная молекула, например, молекула ацетилена C2H2 (рис. 3).


Теория симметрии молекул

Рис. 2


Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекул

Рис. 3

Теория симметрии молекул3. Плоскость симметрии. Плоскостью симметрии молекулы называется плоскость, при отражении в которой молекула совмещается сама с собой. Пример молекулы с вертикальной плоскостью симметрии уже приведен (молекула аммиака). У бензола C6H6 (рис. 2, б) есть плоскость симметрии Теория симметрии молекул - плоскость, в которой лежат атомы этой молекулы. При этом следует иметь ввиду, что поворотная ось высшего порядка всегда условно принимается за вертикальную.

Диагональную плоскость симметрии имеет молекула метана (рис. 4). Геометрической моделью CH4 является тетраэдр, в вершине которого расположены атомы водорода. Диагональная плоскость симметрии sd заштрихована. При отражении в плоскости sd атомы водорода, находящиеся в плоскости, переходят в себя, а атомы, расположенные симметрично этой плоскости, переходят друг в друга.

4. Центр симметрии. Это точка i, при отражении в которой молекула совмещается сама с собой, например, молекула трансдихлорэтилена C2Cl2H2 (рис. 5).


Теория симметрии молекул

Рис. 5


Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекул5. Зеркально-поворотная ось n-го порядка Sn. Зеркально-поворотной осью n-го порядка называется ось, при повороте вокруг которой на угол a=2p/n с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной к этой оси, молекула совмещается сама с собой.

Теория симметрии молекулПримером молекул, обладающих такой осью, может служить молекула метана CH4.


Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул

Рис. 6


Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулНа рис. 6 показана зеркально-поворотная ось симметрии четвертого порядка S4. Из рис. 6 можно видеть, что при повороте на угол a=2p/4 вокруг оси S4 против часовой стрелки атомы H(i) переходят в места, указанные звездочками. Совершив затем отра-

Теория симметрии молекулжение в заштрихованной горизонтальной плоскости, получим, что все звездочки перейдут в соответствующие атомы, т. е. в результате зеркального поворота S4 атом H(1) перейдет в H(3), H(2) – в H(4), H(3) – в H(2), H(4) – в H(1).


1.2 Групповые постулаты


1. Алгебраические операции

Определение 1. Бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве М, называется правило, согласно которому каждые два элемента a и b множества М, взятые в определенном порядке, однозначно сопоставляются с элементом с из этого множества, называемым результатом выполнения операции.

Рассмотрим в качестве общего примера множество операций симметрии молекулы. Под произведением операций симметрии Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул будем понимать их последовательное выполнение. Первые два требования к алгебраической операции, очевидно, выполняются. Проверим выполнение третьего условия из определения алгебраической операции.

Операция симметрии Теория симметрии молекул совмещает геометрическую модель с собой, и если после выполнения операции Теория симметрии молекул мы выполнили операцию Теория симметрии молекул, модель снова совместится сама с собой. Проверим изометричность произведения Теория симметрии молекул. Пусть геометрическая модель молекулы изображена на рисунке в виде фигуры F. Операции симметрии этой фигуры являются операциями симметрии молекулы. Пусть x и y – любые две точки фигуры F и пусть при операции Теория симметрии молекул точки x и y переходят в точки xў и yў соответственно, что запишем в виде xў=xТеория симметрии молекул, yў=yТеория симметрии молекул. Аналогично, пусть xўў=xўТеория симметрии молекул, yўў=yўТеория симметрии молекул. Тогда при последовательном выполнении операций Теория симметрии молекули Теория симметрии молекул, т. е. в результате выполнения операции Теория симметрии молекул, получаем xўў=xТеория симметрии молекул, yўў=yТеория симметрии молекул. Так как Теория симметрии молекул изометрично, то r(x, y)=r(xў, yў), где r(x, y) обозначает расстояние между точками x и y, а r(xў, yў) – расстояние между точками xў, yў. Поскольку Теория симметрии молекултоже изметрично, то r(xў, yў)=r(xўў, yўў). Из полученных равенств следует, что r(x, y) =r(xўў, yўў), т. е. Теория симметрии молекул изометрично. Так как самосовмещение фигуры есть ее отображение на себя, то Теория симметрии молекул есть изометрическое отображение фигуры F на себя, т. е. операция симметрии фигуры. Поскольку Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекулможно считать любыми элементами множества операций симметрии молекулы, третье условие из определения алгебраической операции выполнено.

2. Таблица Кэли

Подобно тому, как существует таблица умножения натуральных чисел, можно составить таблицу умножения в множестве операций симметрии молекулы. Эта таблица называется таблицей Кэли (или квадратом Кэли). Для того, чтобы понять общий принцип составления таких таблиц, запишем таблицу Кэли для случая множества операций симметрии молекулы аммиака NH3 (табл. 1).

Таблица 1

Квадрат Кэли группы C3V

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул


3. Определение группы

Определение 2. Множество G называется группой, если в этом множестве определена бинарная алгебраическая операция, удовлетворяющая следующим аксиомам (в мультипликативной записи операций):

1. Для всех элементов a, b, c из множества G Теория симметрии молекул (аксиома ассоциативности).

2. Для всех элементов а из множества G существует элемент e из этого множества, такой, что Теория симметрии молекул (е называется единичным элементом группы).

3. Для каждого элемента а для множества G существует элемент а-1 из этого из этого множества, такой, что Теория симметрии молекул (а-1 называется обратным элементом к элементу а).

Рассмотрев таблицу Кэли для множества C3V, можно убедиться, что множество операций симметрии молекулы аммиака является группой относительно введенной нами операции умножения в этом множестве.

Определение 3. Подмножество H группы G называется подгруппой группы G, если H само является группой относительно операции, введенной в группе G.

Для проверки того, что H является подгруппой группы G, надо проверить два условия: произведение двух элементов из Н снова принадлежит Н и вместе с элементом h обратный к нему элемент из группы G (он должен существовать) также принадлежит Н. В самом деле, тогда Теория симметрии молекул; ассоциативность же умножения, будучи верной во всей группе G, будет иметь место и в подгруппе Н.

Теорема 1. Множество всех операций симметрии молекулы является группой. Эта группа является подгруппой симметрической группы перестановок фигуры, изображающей геометрическую модель молекулы.

Определение 4. Группой симметрии молекулы называется множество S всех операций симметрии молекулы, на котором введена структура группы относительно умножения операций симметрии молекулы.

4. Гомоморфизмы и изоморфизмы

Определение 5. Отображение множества М в множество N – это правило f, по которому каждому элементу m из множества M ставится в соответствие однозначно определенный элемент mf=n из множества N.

Определение 6. Гомоморфизмом группы G в группу Gў называется отображение j множества G в множество Gў такое, что


Теория симметрии молекул (1)


В качестве примера рассмотрим группу C3V и группу {-1}2, состоящую всего из двух элементов {-1}2={-1, 1}.

Построим отображение j группы C3V в группу {-1}2 (записываем это в виде j: C3V®{-1}2) по следующему правилу: элементам Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул сопоставим 1, а элементам Теория симметрии молекул,Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекулсопоставим -1. Отображение j построено, причем, как видим, у элемента 1 группы {-1}2 есть три прообраза, т. е. три элемента группы C3V, образом каждого из которых является 1: у элемента –1 также три прообраза – это не запрещено определением отображения.

Покажем теперь, что j есть гомоморфизм. Из таблицы Кэли группы C3V видно, что произведение любых двух элементов множества C3={Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул} принадлежит этому же множеству, в то же время Теория симметрии молекул. Из этой таблицы видно, что Теория симметрии молекул, i, j=1, 2, 3 принадлежит множеству C3, но с другой стороны, Теория симметрии молекул. Наконец, произведения Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул, i, j=1, 2, 3 принадлежат множеству Теория симметрии молекул, с другой стороны Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул. Таким образом для любых двух операций симметрии Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул из множества C3V получаем, что Теория симметрии молекул, где Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул есть 1 или –1, т. е. отображение j, действительно есть гомоморфизм.

Определение 7. Отображение f множества М в множество N называется взаимно однозначным отображением множества М на множество N, если каждый элемент множества N является образом в точности одного элемента множества M.

Определение 8. Две группы G и Gў называются изоморфными (обозначение G@Gў), если существует взаимно однозначное отображение q группы G на группу Gў такое, что


Теория симметрии молекул (2)


Свойства группы или других математических объектов, сохраняющиеся при изоморфизме, называются структурными свойствами. Приведем два примера структурных свойств групп, которым предшествуют два важных определения.

Определение 9. Если группа G содержит конечное число элементов, то число n элементов группы называется порядком группы и обозначается n=|G|.

Например, |C3V|=6; |{-1}2|=2.

Определение 10. Группа называется абелевой или коммутативной, если для всех элементов a и b этой группы выполняется равенство ab=ba.

Так, группа {-1}2 является абелевой, а группа C3V не абелева.

Теорема 2. Если две конечные группы G и Gў изоморфны, то их порядки равны.

Теорема 3. Если G – абелева группа и G@Gў, то и Gў - абелева группа.

Теорема 4. Каждая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок и некоторой группе матриц.

Приведем пример. Пронумеруем элементы группы C3V в виде Теория симметрии молекул=1; Теория симметрии молекул=2; Теория симметрии молекул=3; Теория симметрии молекул=4; Теория симметрии молекул=5; Теория симметрии молекул=6. Используя таблицу Кэли группы C3V, запишем


Теория симметрии молекул.


Далее, Теория симметрии молекул получим, используя правило умножения перестановок. Ясно, что

Теория симметрии молекул.


Аналогично получаем остальные четыре перестановки искомой группы: Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул. Мы получили другое выражение группы C3V: ее представление в виде группы перестановок.

1.3 Классы смежности и классы сопряженных элементов


Пусть G – группа, H – ее подгруппа.

Определение 1. Всякое множество Hg (т. е. совокупность всех элементов hg, где h пробегает H, g – фиксированный элемент группы G) называется правым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично определение левого смежного класса gH.

Каждый элемент смежного класса называется его представлением. Так, элемент g – представитель класса Hg, поскольку из-за наличия в группе Н единицы е группы G элемент g=egОHg.

Будем считать подгруппу H первым правым смежным классом. В результате группу G можно представить в виде объединения правых смежных классов:


Hg1+Hg2+…+Hgm=G (3)


Выражение (3) называется правосторонним разложением группы G по подгруппе H.

Рассмотрим пример. В группе C3V выберем подгруппу {Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}={Теория симметрии молекул}2, считая ее первым правым смежным классом. Возьмем элемент Теория симметрии молекул и по таблице Кэли группы C3V найдем второй правый смежный класс {Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}Теория симметрии молекул={Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}. Элемент Теория симметрии молекул не входит в оба класса, и с помощью его получаем третий правый смежный класс {Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}Теория симметрии молекул={Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}. Таким образом, правостороннее разложение группы C3V по подгруппе {Теория симметрии молекул}2 имеет вид


C3V={Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}+{Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}+{Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}. (4)

Аналогично левостороннее разложение группы C3V по подгруппе {Теория симметрии молекул}2 имеет вид


C3V={Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}+{Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}+{Теория симметрии молекул,Теория симметрии молекул}. (5)


Существенно, что левостороннее разложение (5) не совпадает с правосторонним разложением (4).

Теорема Лагранжа. Порядок подгруппы H конечной группы G является делителем порядка группы G.

Теорема Лагранжа облегчает нахождение подгруппы группы G. Надо искать подгруппы группы G не любых порядков, а порядков, равных делителям порядка группы G. Например, группа C3V имеет порядок 6, а у числа 6 делителями являются числа 1, 2, 3, 6. Мы уже нашли подгруппы группы C3V, имеющие приведенные порядки – это подгруппы {Теория симметрии молекул}, {Теория симметрии молекул}, {Теория симметрии молекул}3={Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул} и сама C3V. Подчеркнем, что если число m является делителем порядка группы G, то отсюда не следует, что в группе G есть подгруппа порядка m, т. е. теорема, обратная теореме Лагранжа, не имеет места.

Определение 2. Элементы а и b группы G называются сопряженными, если существует элемент х из группы G такой, что выполняется равенство


a=x-1bx (6)

Например, в группе C3V согласно таблице Кэли этой группы, имеем Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекул-1Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекул, поэтом элементы Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул сопряжены с помощью элемента Теория симметрии молекул.

С помощью понятия сопряженности можно дать классификацию элементов группы G. Обозначим через Kg1, Kg2, …, Kgt все классы сопряженных элементов. Всю группу G можно представить в виде

Kg1+ Kg2+ …+ Kgt=K1+K2+…+Kt=G, (7)


где Kgi=Ki; i=1, 2, …, t – непересекающиеся классы сопряженных элементов.

Найдем эти классы для группы C3V. Очевидно, что единица Теория симметрии молекул сама является классом сопряженных элементов, ибо всегда Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекул. Обозначим этот класс R1. Второй класс сопряженных элементов – это {Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}, поскольку Теория симметрии молекул не сопряжено с Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул, а других возможностей нет. С помощью таблицы Кэли проверяется, что третий класс сопряженных элементов есть {Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}, в итоге


C3V= K1+K2+K3={Теория симметрии молекул}+{Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}+{Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул} (8)


1.4 Факторизация групп


Пусть дана группа G и два подмножества M и N множества G.

Определение 1. Произведением подмножеств М и N группы G называется множество MN, состоящее из всевозможных произведений mn, где m пробегает множество M, а n – множество N.

Теорема 1. Произведение АВ двух подгрупп А и В группы G будет подгруппой группы G, если А и В перестановочны, т. е. если АВ=ВА.

Рассмотрим примеры. В группе C3V перемножим подгруппы {Теория симметрии молекул}3 и {Теория симметрии молекул}2. Используя таблицу Кэли для C3V, получаем, что C3V факторизуема: C3V={Теория симметрии молекул}3 {Теория симметрии молекул}2. По таблице Кэли группы C3V находим {Теория симметрии молекул}2{Теория симметрии молекул}2={Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}. Но это не подгруппа группы C3V. Следовательно, согласно теореме должно выполняться неравенство {Теория симметрии молекул}2{Теория симметрии молекул}2№{Теория симметрии молекул}2{Теория симметрии молекул}2. Действительно, перемножая, получим


{Теория симметрии молекул}2{Теория симметрии молекул}2={Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}.


Определение 2. Группа G называется прямым произведением подгруппы А и В, если элементы подгрупп А и В перестановочны: ab=ba, "aОA, "bОB и каждый элемент gОАВ однозначно представляется в виде произведения g=ab. Обозначается прямое произведение подгруппы как G=AґB.

Определение 3. Подгруппа Н группы G называется циклической, порожденной элементом h, если все ее элементы являются степенями элемента h. Если же сама группа G совпадает со своей циклической подгруппой, то она называется циклической группой.

Элементом симметрии называется вспомогательный геометрический образ, характеризующий циклическую группу преобразования симметрии.

Теорема 2. Каждая конечная абелева группа G является прямым произведением конечных циклических групп, порядки которых являются степенями простых чисел.

Определение 4. Множество элементов a, b, c… группы G называется системой образующих групп G, если каждый элемент группы может быть представлен в виде произведения степеней элементов указанного множества


akblcm…=g.


Например, для циклической группы {Теория симметрии молекул}3 образующим элементом или генератором группы является элемент Теория симметрии молекул. У группы C3V два образующих элемента: Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул, в чем можно убедиться, рассматривая факторизацию C3V={Теория симметрии молекул}3ґ{Теория симметрии молекул}2.

Определение 5. Соотношения вида


apbqcr…=e,


связывающие образующие элементы группы G, называются ее определяющими соотношениями.

Совокупность всех образующих элементов и определяющих соотношений, полностью описывающих группу, называется генетическим кодом группы.

Например, группа {Теория симметрии молекул}3 задается одним образующим элементом Теория симметрии молекул и одним определяющим соотношением Теория симметрии молекул=Теория симметрии молекул. Группа C3V задается двумя образующими Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул и определяющими соотношениями между ними вида


Теория симметрии молекул=Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул=Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекул (9)


Последнее соотношение после умножения его на Теория симметрии молекул можно записать в стандартном виде Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекул. Именно способом задания группы объясняется обозначение группы C3V, так как операции симметрии Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул при определенных соотношениях между ними определяют группу C3V. Чтобы получить таблицу Кэли группы C3V, надо было пользоваться геометрической моделью молекулы NH3. Зная же систему (9) определяющих соотношений, можно, например, найти, чему равно Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул, если известно произведение Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул. В самом деле, так как Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекул, то умножая справа на Теория симметрии молекул, имеем Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул. Факторизация группы также значительно облегчается при задании группы с помощью генетического кода. Например, в полупрямом произведении C3V={Теория симметрии молекул}3ґ{Теория симметрии молекул}2 соотношение Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекул задает автоморфизм группы {Теория симметрии молекул}3, так как Теория симметрии молекул является ее образующим элементом. Поэтому, пользуясь тем, что автоморфизм переводит произведение элементов в произведение их образов, получаем уже автоматически


Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекул.


Знание автоморфизма нормального делителя и элементов групп H и F определяет полупрямое произведение, т. е. факторизацию группы.


Глава 2 Введение в теорию представлений групп симметрии молекул


2.1 Векторные (линейные) пространства


1. Модуль и векторное пространство

Определение 1. Кольцом называется множество K, в котором определены операции сложения и умножения и выполняются аксиомы:

1. Относительно сложения кольцо является абелевой группой, т. е. в аддитивной записи операций имеют место условия (для всех a, b, c О K):


a+b=b+a – коммутативность (абелевость) сложения;

(a+b)+c=a+(b+c) – ассоциативность сложения;

a+0=0+a=a – существование нулевого элемента;

a+(-a)=(-a)+a=0 – существование противоположного элемента.


2. Умножение связано со сложением аксиомами дистрибутивности:


(a+b)c=ac+bc; c(a+b)=ca+cb.


3. Умножение ассоциативно:

(ab)c=a(bc).

Определение 2. Полем называем коммутативное по умножению кольцо, в котором каждый ненулевой элемент а имеет обратный элемент, т. е. такой элемент a-1, что Теория симметрии молекул, где е – единица кольца.

Определение 3. Левым модулем над кольцом K называется абелева группа по сложению М, для которой определены произведения kmОM для всех kОK и mОM, причем выполняются аксиомы:


k(m1+m2)=km1+km2;

(k1+k2)m=k1m+k2m;

(k1k2)m=k1(k2m)


для любых m, m1, m2ОM и k, k1, k2ОK.

Если в кольце K есть единицы (что мы предполагаем), то выполняется еще аксиома


em=m


для любого mОM.

Аналогично определяются правые модули, в которых произведение записывается в виде mk. Модуль одновременно левый и правый называется двусторонним модулем, будем называть его просто «модулем».

Определение 4. Модуль над полем P называется векторным, или линейным пространством над полем Р.

Определение 5. Подмножество M1 левого модуля М над кольцом K называется подмодулем модуля М, если (m1+m2)ОM1 для всех m1, m2ОM1 и kmОM1 для всех kОK и mОM1.

Определение 6. Подмодуль векторного пространства называется подпространством векторного пространства.

2. База (базис) и размерность векторного пространства

Пусть М – левый модуль над кольцом K. Выражение вида k1v1+k2v2+…+knvn, где kiОK, viОM, называется линейной комбинацией векторов v1, v2, …, vn. Если все ki=0, то линейная комбинация называется тривиальной. Если вектор v является линейной комбинацией векторов v1, v2, …, vn, то говорят, что он выражается через систему S=<v1, v2, …, vn>.

Определение 7. Конечная система векторов v1, v2, …, vn векторного пространства называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная нулю. Система, не являющаяся линейно зависимой, называется линейно независимой.

Бесконечная система векторов векторного пространства называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.

Определение 8. Векторное пространство V называется конечномерным, имеющим разность n, если в нем найдется n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов линейно зависимы. Если в векторном пространстве можно указать систему из n линейно независимых векторов для любого конечного числа n, то это пространство называется бесконечномерным.

Размерность пространства обозначается в виде dim V.

Определение 9. Базисом или базой, в n-мерном векторном пространстве V называется любая ее система из n линейно независимых векторов.

Если e1, e2, …, en – база пространства V и v=x1e1+x2e2+…+xnen, то числа x1, x2, …, xn определяются однозначно и называются координатами вектора v в базе e1, e2, …, en. Вектор v в этом случае можно записать в виде v=( x1, x2, …, xn).


2.2 Эвклидовы и унитарные пространства


1. Билинейные и квадратичные формы

Определение 1. Линейной функцией, или линейной формой, в векторном пространстве V над полем вещественных (комплексных) чисел Р называется отображение f векторного пространства V в поле Р, ставящее в соответствие каждому вектору вещественное (комплексное) число, если это отображение удовлетворяет следующим условиям:


f(x+y)=f(x)+f(y);

f(ax)=af(x),


где x, y - произвольные векторы из пространства V, а aОP.

Если dimV=n, e1, e2, …, en – базис пространства V и x= x1e1+x2e2+…+xnen – произвольный вектор из этого пространства, то

f(x)=f(x1e1+x2e2+…+xnen)= x1f(e1)+x2f(e2)+…+xnf(en) или

f(x)= a1x1+a2x2+…+anxn, где ai=f(ei), i=1, 2, …, n.


Таким образом, при фиксированном базисе линейная функция представляется линейной формой (формой называется однородный многочлен).

Определение 2. Полулинейной формой или линейной функцией второго рода называется функция f, удовлетворяющая следующим условиям:


1) f(x+y)=f(x)+f(y)

2) Теория симметрии молекул


где Теория симметрии молекул - число, комплексно-сопряженное с l.

Определение 3. Функция A(x, y) векторов x и y векторного пространства V над полем вещественных чисел называется билинейной функцией или билинейной формой, если при фиксированном x она является линейной функцией от y, а при фиксированном y – линейной функцией от x.

По аналогии с линейной функцией можно показать, что билинейная функция представляется билинейной формой, т. е. выражением вида


Теория симметрии молекул, где aik=A(ei, ek).


Поэтому билинейную функцию часто тоже называют билинейной формой.

Если A(x, y)=A(y, x) при любых x и y, билинейная форма A(x, y) называется симметрической.

Определение 4. Функция A(x, x), которая получена из симметрической билинейной формы, если наложить y=x, называется квадратичной формой.

Определение 5. Функция A(x, y) называется полуторалинейной формой векторов x и y комплексного пространства или билинейной формой в комплексном векторном пространстве, если при фиксированном y форма A(x, y) есть линейная форма от x, а при фиксированном x форма A(x, y) есть полученная форма от y.

В комплексном векторном пространстве полуторалинейную функцию можно представить в виде билинейной формы Теория симметрии молекул, где aik=A(ei, ek).

Определение 6. Билинейная форма в комплексном пространстве называется эрмитово-симметрической или эрмитовой, если A(x, y)=Теория симметрии молекул для всех векторов x и y из этого пространства.

Определение 7. Эрмитовой квадратичной формой называется функция, полученная из эрмитово-симметрической формы A(x, y), если положить в ней y=x. Так как A(x, x)=Теория симметрии молекул, то эрмитова квадратичная форма принимает только вещественные значения.

Определение 8. Квадратичной формой на пространстве V (вещественном или комплексном) называется такое отображение Теория симметрии молекул (Р – поле вещественных или комплексных чисел), для которого существует билинейная (полуторалинейная в случае Р=С) форма В(x, y) со свойством A(x)=B(x, x) для любого вектора xОV.

2. Эвклидовы и унитарные пространства

Определение 9. Симметрическая билинейная форма A(x, y) на вещественном пространстве (эрмитово-симметрическая форма на комплексном пространстве) называется положительно определенной, если A(x, x)>0 для любого, отличного от нуля вектора x из рассматриваемого пространства.

Определение 9ў. Квадратичная форма (эрмитова квадратичная форма) называется положительно определенной, если для любого вектора x№0 она принимает положительное значение.

Определение 10. n-мерным эвклидовым (унитарным) пространством называется n-мерное вещественное (комплексное) векторное пространство с положительно определенным симметрическим (эрмитовым) скалярным произведением.

Все вводимые далее понятия пригодны как для эвклидовых, так и для унитарных пространств.

Определение 11. База e1, e2, …, en эвклидова (унитарного) пространства называется ортогональной, если (ei, ej)=0, i№j, i, j=1, 2, …, n, и ортонормированной, если она ортогональна и длина всех векторов равны единице.

3. Изометрия эвклидовых и унитарных пространств

Определение 12. Взаимно однозначное отображение f модуля М на модуль Мў над одним и тем же кольцом K называется изоморфизмом, если выполняются следующие условия:


1. f(x, y)=f(x)+f(y)=xў+yў; xў=f(x); yў=f(y);

"x, yОM;

f(ax)=af(x)=axў; "xОK; "xОM; xў=f(x)ОMў.


Определение 13. Два векторных пространства W и Wў над полем Р называются изоморфными, если они изморфны как модули над кольцом, которым является поле Р.

Пусть теперь даны два векторных пространства W и Wў со скалярными произведениями A(x, y) и Aў(xў, yў) над полем Р.

Определение 14. Изометрией векторных пространств W и Wў называется любой их изморфизм, который сохраняет значения всех скалярных произведений, т. е.

A(x, y)= Aў(f(x), f(y))= Aў(xў, yў); "x, yОW;

f(x)=xў; f(y)=yў.


В эвклидовом пространстве из определения длины вектора и угла между двумя векторами следует, что при изометрии сохраняются длины векторов и углы между ними, т. е. сохраняются метрические соотношения, чем и объясняется название «изометрия». В унитарном пространстве при изометрии сохраняются длины векторов, ортогональные векторы переходят в ортогональные векторы.


2.3 Матрицы


1. Линейные отображения, операторы и матрицы

Определение 1. Отображение f: V®W векторного пространства V в векторное пространство W над полем Р называется линейное отображение, если для всех v, v1, v2ОV, aОP выполняются условия:


f(v1+v2)=f(v1)+f(v2);

f(av)=af(v).


Если V=W, то линейное отображение называется линейным оператором или линейным преобразованием пространства V.

Пусть e1, e2, …, en – базис пространства V, а e1ў, e2ў, …, enў - базис пространства W. Образы базисных векторов пространства V в базисе пространства W можно записать в виде


Теория симметрии молекул (i=1, 2, …, m) (1)


Коэффициенты в выражении (1) запишем в виде матрицы, которая называется матрицей линейного отображения f.


Теория симметрии молекул.


В случае линейных операторов, т. е. линейных отображений векторного пространства в себя, операторы удобно обозначать Теория симметрии молекул, а матрицу оператора Теория симметрии молекул в фиксированном базисе – в виде А.

2. Унитарные, ортогональные, эрмитовы операторы и матрицы

Определение 2. Линейные операторы эвклидова (унитарного) пространства, которые сохраняют скалярное произведение векторов этого пространства, называется ортогональными (унитарными) операторами.

Пусть e1, e2, …, en – ортонормированная база унитарного (эвклидова) пространства. Если Теория симметрии молекул - унитарный (ортогональный) оператор, то согласно его определению


(ei, ej)= (Теория симметрии молекулei, Теория симметрии молекулei)=1, i=1, 2, …, n;

(ei, ej)= (Теория симметрии молекулei, Теория симметрии молекулej)=0, i№y. (2)


Это означает, что система векторов Теория симметрии молекулe1, Теория симметрии молекулe2, …, Теория симметрии молекулen сама составляет ортонормированную базу в соответствующем пространстве.

Пусть А – матрица унитарного (ортогонального) оператора. Тогда можно записать Теория симметрии молекул. Из выражения (2) следует, что в матрице А скалярные произведения векторов-столбцов на себя равны единице, а скалярное произведение различных векторов-стобцов равно нулю. Такая матрица называется унитарной (ортогональной). Унитарность (ортогональность) матрицы А означает, что сумма произведений элементов, стоящих в любом столбце этой матрицы, на сопряженные (на те же самые) к ним элементы равны единице, а сумма произведений элементов любого столбца на сопряженные к ним (на соответственные к ним) элементы другого столбца равна нулю.

Определение 3. Матрица А* называется эрмитово сопряженной (или просто сопряженной) по отношению к матрице А, если А*=Теория симметрии молекул, т. е. для того, чтобы из матрицы А получить эрмитово сопряженную матрицу, ее надо транспонировать и заменить элементы транспонированной матрицы комплексно-сопряженными элементами.

Определение 4. Матрица А называется самосопряженной или эрмитовой матрицей, если A=A*; в том же случае, если элементы матрицы вещественны, A*=At=A и матрица А называется симметрической матрицей.

Определение 5. Матрица А называется унитарной (ортогональной) матрицей, если A*=A-1 (если At=A-1). Операторы, соответствующие эрмитовым матрицам, будем называть эрмитовыми.


2.4 Представления групп


1. Определение представлений

Определение 1. Представлением группы, действующим в n-мерном векторном пространстве V, называется гомоморфизм этой группы в группу невырожденных линейных операторов пространства V.

Невырожденным называется такой оператор Теория симметрии молекул, который имеет обратный оператор Теория симметрии молекул, дающий по определению в произведении с Теория симметрии молекул единичный оператор Теория симметрии молекул: Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекул.

Определение 2. Матричным представлением группы G называется гомоморфизм этой группы в группу невырожденных комплексных или действительных матриц размера nґn.

Определение 3. Подстановочным представлением группы G называется гомоморфизм этой группы в группу подстановок порядка n. Если гомоморфизм группы G в группу операторов, матриц или подстановок является изморфизмом, то он называется точным представлением.

Представление группы будем обозначать буквой Т. Пусть g1 и g2 – любые элементы группы G, а Т(g1) и Т(g2) – соответствующие этим элементам матрицы представления. Тогда согласно определению гомоморфизма группы


Т(g1, g2)= Т(g1) Т(g2). (4)


Определение 4. Два матричных представления Т1 и Т2 группы G в некоторую группу матриц называется эквивалентным, если существует невырожденная матрица F такая, что для всех матриц Т1(g), Т2(g) представления будет иметь место равенство


Т2(g)=Ф-1 Т1(g)Ф, "gОG (5)


Эквивалентные представления не различаются.

2. Приводимые и неприводимые представления

Воспользуемся языком линейных операторов. Пусть дано некоторое представление Т группы G, действующее в векторном пространстве V. Каждому вектору vОV оператор Теория симметрии молекул(g)єТеория симметрии молекул сопоставляет вектор Теория симметрии молекул(v)=v1 этого же пространства. Пусть W – подпространство пространства V.

Определение 5. Подпространство W пространства V называется инвариантным подпространством действия Теория симметрии молекул, если, каковы бы ни были элементы gОG и векторы wОW, T(w)=w1, где w1ОW.

Определение 6. Представление T группы G, действующее в векторном пространстве V над полем Р, называется приводимым представлением, если в этом пространстве существуют неприводимые инвариантные относительно этого действия подпространства. Представление Т называется неприводимым, если единственные его инвариантные подпространства – О и само пространство V.

Интерпретируем это определение на языке матриц. Пусть представление Т группы G приводимо. Значит, в пространстве V представления может быть найдено нетривиальное инвариантное подпространство W. Пусть e1, e2, …, ek – базис пространства W. Дополним его до базиса е1, е2, …, еk, ek+1, …, en всего пространства V. Так как W инвариантно, то Теория симметрии молекул(еi), где i=1, 2, …, k лежат в W. Поэтому

Теория симметрии молекул(еi)=a1ie1+a2ie2+…+akiek, i=1, 2, …, k.

Но так как эти векторы лежат и в пространстве V, то можно также написать


Теория симметрии молекул(еi)=a1ie1+a2ie2+…+akiek+0ek+1+…+0en, i=1, 2, …, k.


Что же касается отдельных базисных векторов ek+1, ek+2, …, en, то, поскольку они не принадлежат W, их образы выражаются через базис наиболее общим способом и получаем следующую картину:


Теория симметрии молекул(е1)=a11e1+a21e2+…+ak1ek+0ek+1+…+0en

Теория симметрии молекул(е2)=a12e1+a22e2+…+ak2ek+0ek+1+…+0en

Теория симметрии молекул(еk)=a1ke1+a2ke2+…+akkek+0ek+1+…+0en

Теория симметрии молекул(еk+1)=a1,k+1e1+a2,k+1e2+…+ak,k+1ek+ ak+1,k+1ek+1+…+an,k+1en

Теория симметрии молекул(еn)=a1ne1+a2ne2+…+aknek+ ak+1,nek+1+…+annen.


Отсюда видно, что матрицы всех элементов группы G в предствлении Т будут одновременно иметь следующий вид:

Теория симметрии молекул (6)


Поэтому на языке матриц матричное представление называется приводимым, если все матрицы его могут быть записаны при определенном выборе базиса в виде (6). Если же ни при каком выборе базиса матрицы представления нельзя записать в указанном виде, представления называются неприводимыми.

3. Представления групп и модули

Рассмотрим конструкцию, позволяющую, зная представления групп, построить модуль М над кольцом K, связанный с этим представлением. Пусть теория представлений групп сформулирована на языке матриц и линейных операторов. Все матрицы данного порядка (линейные операторы в n-мерном пространстве) образуют относительно операций сложения и умножения матриц (линейных операторов) кольцо. Матрицы (линейные операторы) образуют алгебру в смысле следующего определения.

Определение 7. Алгеброй А над полем Р называется множество, в котором введены операции сложения и умножения элементов, а также операция умножения lаОА, lОР, аОА элементов поля Р на элементы из А, причем: 1) относительно операций сложения и умножения А является кольцом; 2) относительно операций сложения и умножения на элементы поля Р алгебра является векторным пространством; 3) операции умножения элементов кольца и умножения на элементы из поля связаны аксиомой


l(ab)=(la)b=a(lb); lОP; a, bОA (7)

Матрицы, которые сопоставляются элементами группы в представлении Т, составляют лишь часть из множества всех матриц Мn, что следует хотя бы из того, что они невырождены. Однако, если Т(g1), Т(g2), …, T(gs), s=|G| - все матрицы представления группы G, то с ними можем связать алгебру, состоящую из всевозможных линейных комбинаций этих матриц вида


K=a1 Т(g1)+a2 Т(g2)+..+asT(gs); aiОR или С (8)


Пусть Р – поле комплексных или вещественных чисел. Рассмотрим формальные суммы вида

a=a1g1+a2g2+…+angn; aiОP; giОG; i=1, 2, …, n; n=|G| (9)


Подчеркнем, что так как в группе G есть только одна операция – умножение, левую часть нельзя рассчитывать как результат сложения элементов правой части. Назовем две суммы Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул равными, если ai=bi. Введем операцию сложения формальных сумм по правилу:


a+b=(a1+b1)g1+(a2+b2)g2+…+(an+bn)gn=Теория симметрии молекул; gi=ai+bi.


Видим, что на множестве формальных сумм определена операция сложения, так как в результате операции снова получилась формальная сумма вида (9). Введем далее операцию умножения формальных сумм. Получим кольцо, которое называется групповым кольцом группы G над полем Р и обозначается в виде PG. Это кольцо можно превратить в алгебру. Для этого надо определить умножение lОP на aОPG. Умножение задается по формуле

Теория симметрии молекул. (10)


Относительно сложения и умножения по этой формуле PG представляет собой векторное пространство (аксиома (7)). Построенная алгебра называется групповой алгеброй группы G и обозначается, как и групповое кольцо, в виде PG.

Если сопоставить каждому элементу gi в выражении (9) матрицу T(gi) этого элемента в представлении Т, то получим матрицу (8), которую обозначим буквой K, так как она является элементом группового кольца матриц K. Как следует из определения модуля, главное при построении модуля – ввести умножение векторов на элементы группового кольца. Пусть V – пространство представления Т группы G. Произвольный вектор v этого пространства зададим координатами. Если А – матрица линейного оператора Теория симметрии молекул, действующего в векторном пространстве, то можно получить вектор v1, в который переходит вектор v под действием оператора Теория симметрии молекул. Для этого надо просто умножить по правилу умножения матриц вектор v на матрицу А. Аналогично выполняется умножение вектора v на элемент a группового кольца (и алгебры) PG:


va=vk=v1, aОPG, v1ОV, kОK. (11)


Теперь, используя правило умножения (11) легко проверить условия определения модуля. Полученный модуль М называется модулем представления Т.

Если известен модуль М над групповой алгеброй PG, то можно получить представление, связанное с этим модулем. Так как группе G принадлежит единица I, то каждый элемент pОP можно записать в виде p=pI. Отсюда следует, что модуль М является векторным пространством над полем Р. Поэтому каждому элементу aОPG можно сопоставить оператор Теория симметрии молекул(a), действующий в векторном пространстве М по правилу


Теория симметрии молекул(a)(m)=ma (12)


В частности, любому элементу gОG можно сопоставить оператор Теория симметрии молекул(g), действующий по правилу Теория симметрии молекул(g)(m)=mg. Сопоставляя всем элементам группы G операторы (12), и получим представление Т, связанное с модулем М.

Учитывая отмеченное соответствие между модулями и представлениями, можно перевести на язык модулей основную терминологию теории представлений. Так, подмодулю М1 модуля М соответствует представление Т1, которое называется подпредставлением представления Т. Тривиальные подмодули модуля М – это сам модуль М и нулевой модмодуль О. Если все подмодули модуля М тривиальны, он называется неприводимым модулем, а соответствующее ему представление – неприводимым представлением. Если же модуль М имеет нетривиальный модмодуль, он называется приводимым модулем, ему соответствует приводимое представление.

4. Представление алгебр и модули

Обозначим через EndpV алгебру линейных операторов векторного пространства V над полем Р и пусть А – произвольная алгебра.

Определение 8. Представлением алгебры А называется сопоставление каждому элементу aОA линейного оператора Теория симметрии молекулО EndpV, причем должны выполняться следующие условия:


Теория симметрии молекул, где Теория симметрии молекул - единичный оператор;

pa®pТеория симметрии молекул; pОP; aОA;

a+b®Теория симметрии молекул+Теория симметрии молекул; a, bОA; Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекулО EndpV;

ab®Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул; a, bОA.

Определение 8 является иной формулировкой определения модуля над кольцом А, если кольцо является алгеброй над полем Р.

Определение 9. Модулем над алгеброй А называется абелева группа по сложению М, для которой определена операция умножения элементов из А на элементы из М: amОM, aОA, mОM и при этом выполняются следующие условия:


(a+aў)m=am+aўm;

(aaў)m=a(aўm);

em=m;

a(m+mў)=am+amў;

(aa)m=a(am)=a(am), aОP.


Здесь дано определение левого модуля.

Теорема 1. Всякий левый (правый) модуль М над кольцом А, которым является алгебра, представляет собой также векторное пространство над полем Р, причем для всех aОA, mОM, lОP справедливы равенства


l(ma)=(lm)a=m(la); l(am)=a(lm)=(la)m.


2.5 Характеры представлений


1. Определение и свойства характеров

Определение 1. След матрицы А=(аij) размера nґn есть сумма ее элементов, стоящих по главной диагонали:


TrA=a11+a22+…+ann (14)


Определение 2. След матрицы Т(g), представляющий элемент g в матричном представлении Т группы G, называется характеристикой элемента g в представлении Т и обозначается cT(g).

Определение 3. Совокупность характеристик всех элементов g группы G, составленных для данного представления Т, называется характером представления Т и записывается как cT. Если Т – матричное представление группы G над полем вещественных или комплексных чисел Р, то характеристика каждого элемента группы является вещественным или комплексным числом и, следовательно, характер есть отображение cT группы G в поле Р, определяемое следующим образом:


cT: G®P: cT(g)=TrT(g).


Свойство 1. Характеры эквивалентных представлений совпадают.

Свойство 2. Характер представления Т группы G постоянен на каждом классе сопряженных элементов: cT(g-1hg)= cT(h), g, hОG.

Определение 4. Вектор x№0 из векторного пространства V над числовым полем Р называется собственным вектором линейного оператора Теория симметрии молекул, действующего в этом пространстве, если он удовлетворяет соотношению Теория симметрии молекулx=lx, где l - число, которое называется собственным значением (характеристическим числом) линейного оператора.

Условие того, что вектор х – собственный вектор записывается в виде матричного уравнения


(А - lI)х = 0, (15)


где х – вектор-столбец с неизвестными координатами x1, x2, …, xn. Условием существования ненулевого решения системы (15) является равенство нулю его определителя:

|A - lI| = 0. (16)


Это уравнение степени n относительно l называется характеристическим или вековым уравнением матрицы А линейного оператора, а его корни называются собственными значениями матрицы А, они являются собственными значениями оператора Теория симметрии молекул.

Свойство 3. Если l1, l2, …, ln – собственные значения линейного оператора Теория симметрии молекул, то cT(g)=TrT(g)= l1+l2+ …+ln.

Так как здесь рассматриваем конечные группы, то имеет место следующее свойство.

Свойство 4. Если Т – представление группы G над полем Р, то для каждого элемента gОG значение cT(g) равно сумме корней из единицы степени, равной порядку элемента g.

Свойство 5. Если Т – представление группы G, то для каждого gОG справедливо равенство cT(g-1)= cT(g).

Свойство 6. Если Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул - характеры неприводимых представлений группы G, то


Теория симметрии молекул (17)


Равенство (17) называется соотношением ортогональности, для характеров, неприводимых представлений группы G.

Свойство 7. (второе соотношение ортогональности) Пусть T1, T2, …, Tm – все неэквивалентные представления группы G, K(a), K(b) – классы элементов группы G, сопряженных соответственно с a и b. Тогда

Теория симметрии молекул (18)


где |G| - число элементов в группе G; |K(b)| - число элементов в классе сопряженных элементов K(b); Теория симметрии молекул - характеры неприводимых представлений Ti, i=1, 2, …, m.

2. Таблицы характеров неприводимых представлений

Приведенные свойства характеров позволяют описать построение таблиц характеров неприводимых представлений. Строки таблицы будем нумеровать, как принято в теории представлений групп характерами, но одновременно будем указывать обозначения, принятые в молекулярной спектроскопии и кристаллографии: одномерные представления обозначаются A1, B1, A2, B2, …, двумерные – E1, E2, … и, наконец, трехмерные – F1, F2, … .

Так как по свойству 2 характеры постоянны на каждом классе сопряженных элементов, то столбцы таблицы нумеруются классами сопряженных элементов. Под обозначением класса сопряженных элементов указывается число элементов в классе – порядок класса. Рассмотрим в качестве примера группу C3V. Классы сопряженных элементов группы C3V имеют вид K1={I}, K2={C3, C32}, K3={Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}. Известно, что группа C3V имеет три неприводимых представления, характеры которых приведены в табл. 2.


Таблица 2.

Классы K1={I} K2={C3, C32}

K3={Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул}

Порядок класса 1 2 3

A1

A2

E

1

1

2

1

1

-1

1

-1

0

3. Разложение характеров по неприводимым представлениям

В соответствии с рассмотренными свойствами характер приводимого представления cT можно представить в виде разложения по характерам неприводимых представлений Теория симметрии молекул:


Теория симметрии молекул,


где ni – число, показывающее, сколько раз характер неприводимого представления Ti содержится в характере приводимого представления Т. На основании свойств ортогональности это число легко определяется, а именно:


Теория симметрии молекул. (19)


Формула (19) имеет важные применения в теории молекулярных спектров для определения числа состояний данного типа симметрии.

4. Определение характеров неприводимых представлений при применении групповых алгебр групп

Для достаточно широкого класса групп желательно иметь общий метод нахождения характеров неприводимых представлений.

Пусть дана группа G. Найдем классы сопряженных элементов Ki группы и обозначим Теория симметрии молекул сумму элементов группы, принадлежащих классу Ki. Здесь Сi являются элементами групповой алгебры PG группы G над полем Р. Проверим, перестановочны ли элементы Сi со всеми элементами алгебры PG. Для этого достаточно проверить, что для всех gОG справедливы равенства gСi=Сig или Сi=g-1Сig.

Действительно,

g-1 Сig=g-1(k1+k2+…)g=g-1k1g+g-1k2g+…


Так как в групповой алгебре выполним дистрибутивный закон, то очевидно, что правая часть содержит все элементы Сi и, следовательно, равна Сi.

Определение 5. Множество элементов алгебры, перестановочных со всеми элементами алгебры, называется центром алгебры.

Определение 6. Подмножество В алгебры называется подалгеброй алгебры А, если оно является подпространством векторного пространства А, и из того, что b1, b2ОB, следует, что Теория симметрии молекул.

Можно доказать, что элементы Ci образуют базис центра Z групповой алгебры PG:

Алгебру можно записать, задав таблицу умножения базисных элементов


Теория симметрии молекул. (20)


Элементы Cijk называются структурными константами алгебры. Для элементов Сi, образующих базис центра групповой алгебры, формула (20) принимает вид


Теория симметрии молекул. (21)


Теперь, на основании выражения (21), фиксируя индекс i (что обозначим, взяв этот индекс в скобки), получим матрицу C(i) коэффициентов Cijk. Эту матрицу можно рассматривать как матрицу линейного оператора Теория симметрии молекул, действующего в векторном пространстве, которым является центр алгебры Z. Действие его на базисные элементы Cj состоит в умножении Ci на Cj. Для того, чтобы записать матрицу C(i), надо рассмотреть столбец, в котором записаны произведения Ci на Cj. В результате получим матричное представление центра групповой алгебры. Матричное представление центра будет центром матричного представления всей алгебры. Иначе говоря, все матрицы C(i) коммутируют со всеми элементами матричного представления алгебры и между собой.

Мы приходим к задаче, аналогичной известной квантово-механической задаче: дана система коммутирующих между собой операторов, найти собственные значения и собственные векторы этих операторов. Оказывается, решение такой задачи имеет важное значение и для нахождения характеров неприводимых представлений.

Полученные выше матрицы Ci являются образующими элементами алгебры матриц, изоморфной алгебре Бозуа–Меснера, которая определяется следующим образом.

Назовем i-ой матрицей смежности Ai матрицу порядка, равного порядку группы G, строки и столбцы которой занумерованы элементами группы G, причем элементы матрицы Ai с номером (g, h), g, hОG определяются как


Теория симметрии молекул


Матрицы Ai состоят из нулей и единиц, поэтому их называют (0, 1) – матрицами.

Определение 7. Алгеброй Боуза – Меснера называется подалгебра алгебры матриц Mn(C), порожденная (0, 1) – матрицами Ai, i=1, 2, …, d, удовлетворяющими следующим условиям:


A1=E, где Е – единичная матрица;

A1+A2+…+Ad=J, где J – матрица, все элементы которой равны единице;

Теория симметрии молекул, iўО[1, 2, …, d], где Теория симметрии молекул - матрица, транспонированная с матрицей Ai;

Теория симметрии молекул;

Теория симметрии молекул.


Если построить матрицы смежности для группы G по указанному выше правилу, то они образуют базис алгебры Боуза–Меснера в соответствии с определением 7.

Если А – алгебра Боуза–Меснера, то из коэффициентов в соотношении Теория симметрии молекул можно образовать матрицы Теория симметрии молекул порядка d. Рассмотрим алгебру В, порожденную матрицами C1, C2, …, Cd, являющуюся подалгеброй алгебры dґd матриц Md(C). Эта алгебра изоморфна алгебре А Боуза–Меснера. В силу того, что в алгебре изоморфные объекты не различаются, будем называть ее также алгеброй Боуза–Меснера.

Если рассматривать А как векторное пространство, то в А имеется естественный базис, состоящий из матриц Ai, которые по условию 5 определения 7 попарно коммутируют. Кроме того, эти матрицы нормальны (т. е. Теория симметрии молекул, где Теория симметрии молекул - комплексно-сопряженная и транспонированная с А матрица). Все матрицы Ai можно одновременно диагонализировать с помощью унитарной матрицы S. Столбцы являются общими собственными векторами матриц Ai, образующими базис общих собственных подпространств, а ее диагональные элементы являются собственными значениями матриц Ai, соответствующими общим собственным векторам. Если

Теория симметрии молекул, (22)


где diag – диагональная матрица, вне главной диагонали которой стоят нули, то pi(1), pi(2), …, pi(d) – указанные собственные значения. Тогда можно записать


Теория симметрии молекул k, i=1, 2, …, d,


где E1+E2+…+Ed=E, Ei2=Ei, EiEj=EjEi=0, i№j.


Итак, в А появился второй базис, состоящий из идемпотентов Ei, i=1, 2, …, d, который связан с общими собственными векторами матриц Ai, из которых состоят линейно независимые столбцы матриц S.

Определение 8. Квадратная матрица Р порядка d, (j, i)-м элементом которой является pi(j), называется первой собственной матрицей алгебры Боуза–Меснера А. Матрица Q=(gi(j)) такая, что PQ=QP=|G|E, называется второй собственной матрицей Боуза–Меснера.

Возвращаясь к задаче определения характеров неприводимых представлений, сформулируем в приспособленном для наших целей виде теорему, позволяющую обосновать приводимый ниже алгоритм нахождения неприводимых характеров.

Теорема 1. Если G – конечная группа, а Т – ее таблица характеров, А – алгебра Боуза–Меснера классов сопряженных элементов, изоморфная алгебре пересечений В, P=(pi(j)) и Q=(qi(j)) – соответственно первая и вторая собственная матрицы этих алгебр, то таблица характеров определяется как произведение матриц в виде

Теория симметрии молекул


где k1, k2, …, kd – мощности классов сопряженных элементов, mi определяются по формуле mi=fi2, где fi – степени неприводимых представлений.

Теорема 2. Каждый столбец таблицы характеров является общим левым собственным вектором матрицы Ci, Cj, …, Cd, а каждая строка является общим правым собственным вектором этих матриц. И наоборот, каждый стандартный общий левый собственный вектор матриц Ci и, каждый стандартный общий правый собственный вектор этих матриц с точностью до расположения строк и столбцов является строкой и соответственно столбцом матрицы характеров.

Замечание. Собственный вектор матрицы называется стандартным, если его правая координата равна единице.

5. Алгоритм нахождения характеров неприводимых представлений

Алгоритм. Для нахождения характеров неприводимых представлений группы G, надо:

1. Найти классы сопряженных элементов группы G, т. е. классы K1, K2, …, Kd.

2. Построить групповую алгебру CG группы G над полем С и алгебру классов сопряженных элементов Ci, i=1, 2, …, d необходимо определить структурные константы Cijk алгебры классов сопряженных элементов.

3. Построить алгебру Боуза–Меснера, для чего необходимо найти матрицы Ci=Теория симметрии молекул.

4. Найти собственные числа матриц Ci и соответствующие им правые собственные векторы.

5. Найти всевозможные линейно независимые общие правые собственные векторы.

6. Построить первую и вторую собственные матрицы Р и Q алгебры Боуза–Меснера В.

7. Исходя из выражения для матрицы Q по формуле из теоремы 1 определить таблицу характеров неприводимых представлений группы G. Для этого необходимо найти числа Теория симметрии молекул, где f12+f22+…+fd2=|G|=m1+m2+…+md. Числа m1, m2, …, md можно также найти по формуле Биггса


Теория симметрии молекул,


где ui=(p1(i)/k1, p2(i)/k2, …, pd(i)/kd); vi=( p1(i), p2(i), …, pd(i)).

Эти векторы получаются стандартизацией i-го столбца матрицы, причем 1=k1, k2, …, kd – числа элементов в классах сопряженных элементов группы G порядка |G|.

Примеры

1. На примере группы C3V покажем некоторые приемы и соображения, с помощью которых можно составить таблицу характеров неприводимых представлений. Характер тождественного представления c1(А1) записывается сразу.

Для составления характера c2(А2) воспользуемся перестановочным представлением S3 группы C3V. Подстановки, соответствующие элементам Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул=1 – четные, остальные подстановки – нечетные. Так как произведение четных подстановок – четная подстановка, причем четные подстановки образуют подгруппу А3 группы S3, то четным подстановкам сопоставим число 1, а нечетным – число –1. Произведение нечетных подстановок – четная подстановка и (-1)(-1)=1, а произведение подстановок разной четности – нечетная подстановка и (-1)1=1(-1)=-1. Следовательно, мы получили одномерное представление группы C3V, в котором элементам 1, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул сопоставляется 1 (эти элементы представляются четными подстановками), а остальным элементам Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекулсопоставляется –1 (или соответствуют нечетные подстановки). Так как одномерные представления совпадают с характерами, то получаем вторую строку таблицы. Третья строка таблицы получается из следующих соображений. В теории представлений группы известно, что число неприводимых представлений группы равно числу классов сопряженных элементов. Поэтому группа C3V имеет три неприводимых представления. Известно также, что сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы. В рассматриваемом случае 12+12+Z2=6, т. е. Z=2. Следовательно, группа C3V имеет двумерное неприводимое представление, в котором


Теория симметрии молекул, т. е. c(1)=2 (см. табл. 2).


Остальные элементы строки c3 получаются из соотношений ортогональности для неприводимых представлений: Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул, где x, y – неизвестные числа из строки c3. Отсюда 2х+3y=-2, 2x-3y=-2, т. е. х=-1, y=0. Мы построили таблицу характеров неприводимых представлений, не зная двумерного неприводимого представления группы C3V.

2. Нахождение характеров неприводимых представлений группы S3.

Проиллюстрируем алгоритм нахождения характеров на примере групп S3.

Необходимо разложить все перестановки группы в произведении циклов. Элементы одинакового циклического строения образуют классы. Выпишем все перестановки группы S3:

Теория симметрии молекул; Теория симметрии молекул; Теория симметрии молекул; Теория симметрии молекул;

Теория симметрии молекул; Теория симметрии молекул.


При записи перестановок в циклах, если элемент i переходит в k, то k стоит не под i, а рядом с i; при этом цикле длины 1, кроме e=(1), не пишутся. Таким образом, в циклах e=(1); a=(1 2 3); a2=(1 3 2); b=(2 3); c=(1 3); d=(1 2).

В такой записи наглядно видно циклическое строение группы. Поэтому сразу находим все три класса сопряженных элементов группы S3:

K1={(1)}; K2={(1 2 3), (1 3 2)}; K3={(2 3), (1 2), (1 3)}.

Групповая алгебра CS3 группы S3 состоит из элементов


a=a1e+a2a+a3a2+a4b+a5c+a6d, (23)


где aiОC; e, a, a2, b, c, d – шесть перестановок, образующих группу S3. Учитывая обозначения перестановок, запишем элементы групповой алгебры, являющиеся суммами элементов классов:


C1=e1; C2=a+a2; C3=b+c+d.


При построении таблицы Кэли группы S3 воспользуемся таблицей группового умножения группы C3V и запишем


Теория симметрии молекул=е; Теория симметрии молекул=а; Теория симметрии молекул=a2; Теория симметрии молекул=b; Теория симметрии молекул=c; Теория симметрии молекул=d.


Тогда таблица примет следующий вид.

Таблица 3

Квадрат Кэли группы S3

S3 e a a2 b c d
e e a a2 b c d
a a a2 e d b c
a2 a2 e a c d b
b b c d e a2 e
c c d b a e a2
d d b c a2 a e

Таблица Кэли группы S3 определяет групповую алгебру CS3, в частности, позволяет умножать элементы a из выражения (23).

Переходя к составлению таблицы умножения базисных элементов центра Z групповой алгебры CS3, заметим, что элемент C1 является ее единицей, так что Теория симметрии молекул, i=1, 2, 3.

Найдем элемент Теория симметрии молекул:


Теория симметрии молекул=(а+а2)(а+а2)=а2+а3+а4=а2+2е+а=2е+а+а2=2С1+С2.


Далее находим Теория симметрии молекул:


Теория симметрии молекул=(b+c+d)(b+c+d)=b2+c2+d2+bc+bd+cb+cd+db+dc=3e+3a+3a2=3C1+3C2.


При этом мы воспользовались табл. 3. Заметим, что в силу принадлежности Ci центру алгебры Теория симметрии молекул, так что таблица будет симметричной относительно главной диагонали. Поэтому нам осталось найти C2C3:


C2C3=(a+a2)(b+c+d)=ab+a2b+ac+a2c+ad+a2d=d+c+b+d+c+b=2C3.


Используя полученные результаты, запишем таблицу умножения базисных элементов центра групповой алгебры группы S3 (см. табл. 4).


Таблица 4

Таблица умножения базисных элементов центра алгебры CS3.

Z C1 C2 C3
C1 C1 C2 C3
C2 C2 2C1+ C2 2C3
C3 C3 2 C3 3 C1+3C2

Запишем матрицы C(i):

Теория симметрии молекул; Теория симметрии молекул; Теория симметрии молекул. (24)

Эти матрицы получаются так. Например, действие элемента С(2) на остальные элементы можно представить следующим образом:


Теория симметрии молекул;

Теория симметрии молекул;

Теория симметрии молекул.


Записывая коэффициенты правой части в столбец, получаем С(2).

Мы построили матричное представление базисных элементов центра Z алгебры CS3, что позволяет получить и матричное представление центра этой алгебры.

Запишем характеристические уравнения для определения собственных чисел и собственных векторов матриц Ci в следующем виде (рассматриваем сначала общий случай d матриц Ci):


Теория симметрии молекул. (25)

Возвращаясь к случаю группы S3 получаем d=3, а коэффициенты Теория симметрии молекул можно найти из табл. 4 на основании выражения (24). При этом сначала зафиксируем индекс j, а индексы i и k будем менять, что позволяет разбить систему (25) на три подсистемы, соответствующие значениям j=1, 2, 3. Выпишем сначала 27 значений Cijk, разбитых на три группы, по 9 значений в каждой:

С111=1; С112=0; С113=0;

С211=0; С212=1; С213=0;

С311=0; С312=0; С313=1;

С121=0; С122=1; С123=0;

С221=2; С222=1; С223=0; (26)

С321=0; С322=0; С323=2;

С131=0; С132=0; С133=1;

С231=0; С232=0; С233=2;

С331=3; С332=3; С333=0;

Тогда находим следующие системы уравнений:


Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул (27)

Теория симметрии молекул


Подставляя в найденные системы уравнений (27) значения из выражений (26), получим

(1-х1) х1=0; - х2 х1+ х2=0; - х3 х1+ х3=0;

(1-х1) х2=0; (I) 2х1+(1-х2) х2=0; (II) - х2 х3+2х3=0; (III) (28)

(1-х1) х3=0; (1-х2) х3=0; 3х1+3х2-x32=0.


Обратим внимание на два обстоятельства.

1. Во всех трех системах находятся одни и те же неизвестные, стоящие вторыми сомножителями, т. е. вектор x=(x1, x2, x3) является общим собственным вектором всех матриц С(1), С(2), С(3).

2. Указанные системы можно получить, взяв матрицы (24), транспонировать их, рассмотреть разности C(1)-X1E, C(2)-X2E, C(3)-X3E и затем умножить полученные матрицы на столбец (x1, x2, x3)Т (знак Т обозначает транспонирование).

Заметим, что выше уже записаны уравнения для нахождения собственных векторов матриц C(i), однако в этих уравнениях фигурируют собственные значения этих матриц, которые необходимо найти. Для матрицы С(1) получаем трехкратное собственное значение, равное единице, поэтому находим собственные значения матриц С(2) и С(3). Запишем для них вековые уравнения:


Теория симметрии молекул; Теория симметрии молекул. (29)


Раскрывая определить третьего порядка, получаем


(l2-l-2)(2-l)=0; l1=l2=2; l3=-1; -l3-9l=0; l1=0; l2=3; l3=-3.


4. Находим теперь собственные векторы для рассматриваемых матриц. Для матрицы С(1) – это произвольный вектор x1(1)= (x1, x2, x3). Для собственного значения l=2 матрицы С(2) имеем

Теория симметрии молекул,


где x3 – любое. Сам вектор можно записать в виде x2(2)= (x1, x2, x3). Поскольку l=2 – двукратное собственное значение, то матрица С(2) имеет два линейно независимых собственных вектора с собственными значениями, равными 2, например, (1 1 0) и (0 0 1) (фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений).

Для l=-1 в случае той же матрицы находим


x2(-1)=(-2x2, x2, 0)=(2x2ў, -x2ў, 0); x2ў=-x2.


Для собственного значения l=0 матрицы С(3) получаем х3(0)=х2(-1), т. е. мы уже нашли общий собственный вектор матриц С(1), С(2), С(3).

Для l=3 в случае матрицы С(3) запишем x3(3)= (x1, x1, x1).

Для l=-3 той же матрицы С(3) получим x3(-3)= (x1, x1, -x1).

Таким образом, выполнили пункт 4 алгоритма для нахождения характеров неприводимых представлений конечных групп. Чтобы выполнить пункт 5, необходимо найти общие собственные векторы для всех матриц C(i), i=1, 2, 3. Один из них уже найден – это вектор x3(3)=(x1, x1, x1) приравнивается вектору x2(2)= (x1, x1, x3), откуда следует, что x3=x1. Получим второй общий собственный вектор. Соответствующие собственные значения для этого вектора запишем в виде (1, 2, 3).

Приравняем теперь векторы x3(-3)= (x1, x1, -x1) и x2(2)= (x1, x1, x3). Это дает x3=-x1, т. е. третьим общим собственным вектором рассматриваемых матриц будет вектор (x1, x1, -x1). Поскольку матрица С(3) имеет все различные собственные значения, то соответствующие собственные подпространства одномерны. Но так как у матриц С(2) и С(3) должны быть общие собственные векторы, это накладывает ограничения x3=-x1 для собственных векторов матриц С(2) вида x2(2), которые образуют двумерное собственное подпространство. Чтобы получить характеры неприводимых представлений, необходимо нормировать полученные общие собственные векторы, учитывая, что порядок группы S3 равен 6 и что числа элементов в классах сопряженных элементов образуют вектор (1, 2, 3). Умножив скалярно вектор x3(3)= (x1, x1, x1) на вектор (1, 2, 3) и разделив на 6, получим


Теория симметрии молекул; x1+2x1+3x1=6,


т. е. х1=1.

Таким образом, получаем первый характер х1=(1, 1, 1). Для вектора (x1, x1, -x1), умножая его скалярно на (1, 2, -3) и деля на 6, также получаем x1=1, что дает характер х2=(1, 1, -1). Наконец, для вектора (2х2ў, -х2ў, 0) получаем


Теория симметрии молекул, (30)


откуда х2ў=1.

Заметим, что скалярный квадрат вектора (2х2ў, -х2ў, 0) равен 4x2ў2+2x2ў2=6x2ў2, так как имеется два элемента в классе сопряженных

элементов K2={(1 2 3), (1 3 2)} – этим и вызвано появление множителя 2 в выражении (30). С другой стороны, этот множитель равен размерности неприводимого представления группы S3, так что x3=(2, -1, 0) есть характер двумерного неприводимого представления группы S3. Полученные результаты удобно записать в виде следующей таблицы.


Таблица 5

Характеры неприводимых представлений группы S3=C3V


1 2 (1 2 3) 3 (1 2)

c1

c2

c3

1

1

2

1

1

-1

1

-1

0





l(1)

l(2)

l(3)

1

1

1

2

2

-1

3

-3

0


Таблица 5 – это известная таблица характеров неприводимых представлений группы S3 (см. табл. 2), только в нижней части ее указаны собственные значения матриц C(1), C(2), C(3), которые дают общие собственные векторы этих матриц.

Составив табл. 5, одновременно нашли первую и вторую собственную матрицу P и Q. Матрица, стоящая внизу в таблице, - это первая собственная матрица. Вторую собственную матрицу Q можно получить из соотношения PQ=QP=|G|E или найти с использованием общих правых собственных векторов-матриц Ci. Матрица Q имеет вид (рядом указана транспонированная матрица)

Теория симметрии молекул; Теория симметрии молекул.

В соответствии с теоремой 1 таблица характеров неприводимых представлений группы S3 находится по формуле


Теория симметрии молекул.


Здесь m1=1; m2=1; m3=4, поэтому

Теория симметрии молекул,


где в правой части находится таблица неприводимых характеров группы S3, приведенная в верхней части табл. 5.


2.6 Операторы проектирования


1. Операторы проектирования и идемпотенты кольца

Пусть векторное пространство V равно прямой сумме подпространств W и L: Теория симметрии молекул. По определению прямой суммы это означает, что каждый вектор vОV однозначно представим в виде v=w+l, wОW. lОL.

Определение 1. Если Теория симметрии молекул, так что v=w+l, то отображение Теория симметрии молекул, сопоставляющая каждому вектору vОV его компоненту (проекцию) wОW, называется проектором пространства V на пространство W. Теория симметрии молекул называют также оператором проектирования, или проекционным оператором.

Очевидно, если wОW, то Теория симметрии молекул(w)=w. Отсюда следует, что Теория симметрии молекулобладает следующим замечательным свойством Теория симметрии молекул2=Р.

Определение 2. Элемент е кольца K называется идемпотентом (т. е. подобным единице), если е2=е.

В кольце целых чисел есть всего два идемпотента: 1 и 0. Иное дело в кольце матриц. Например, матрицы Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул,Теория симметрии молекул - идемпотенты. Матрицы операторов проектирования также идемпотенты. Соответствующие им операторы называются идемпотентными операторами.

Рассмотрим теперь прямую сумму n подпространств пространства V:

Теория симметрии молекул.


Тогда аналогично случаю прямой суммы двух подпространств можем получить n операторов проектирования Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, …, Теория симметрии молекул. Они обладают свойством Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул=Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул=0 при i№j.

Определение 3. Идемпотенты ei и ej (i№j) называются ортогональными, если ei ej= ej ei=0. Следовательно, Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул - ортогональные идемпотенты.

Из того, что IV=V, и из правила сложения линейных операторов следует, что


Теория симметрии молекул.


Это разложение называется разложением единицы в сумму идемпотентов.

Определение 4. Идемпотент е называется минимальным, если его нельзя представить в виде суммы идемпотентов, отличных от е и 0.

2. Каноническое разложение представления

Определение 5. Каноническим разложением представления Т(g) называется его разложение вида Т(g)=n1T1(g)+ n2T2(g)+…+ ntTt(g), в котором эквивалентные неприводимые представления Тi(g) объединены вместе, причем ni – кратность вхождения неприводимого представления Ti(g) в разложение T(g).

Теорема 1. Каноническое разложение представления определяется с помощью проекционного оператора вида


Теория симметрии молекул, i=1, 2, …, t, (31)

где |G| - порядок группы G; mi – степени представлений Ti(g), где i=1, 2, …, t; ci(g), i=1, 2, …, t – характеры неприводимых представлений Ti(g). При этом mi определяется по формуле


Теория симметрии молекул. (32)


3. Проекционные операторы, связанные с матрицами неприводимых представлений групп

С помощью формул (31) можно получить только каноническое разложение представления. В общем случае, надо воспользоваться матрицами неприводимых представлений, которые позволяют построить соответствующие операторы проектирования.

Теорема 2. Пусть Теория симметрии молекул - матричные элементы неприводимого представления Tr(g) группы G. Оператор вида


Теория симметрии молекул (33)


является оператором проектирования и называется оператором Вигнера. В выражении (33) mr – размерность представления Tr(g).

4. Разложение представления в прямую сумму неприводимых представлений с помощью оператора Вигнера

Обозначим через М модуль, связанный с представлением Т. Пусть неприводимым представлениям Т1, Т2, …, Тt из канонического разложения представления согласно методу, описанному ранее (см. § 4), соответствуют неприводимые подмодули М1, М2, …, Мt. Разложение модуля М вида


Теория симметрии молекул (34)

называется каноническим разложением модуля М. Обозначим niMi=Li, так, что


Теория симметрии молекул. (35)


Неприводимые подмодули модулей Li обозначим


Теория симметрии молекул; i=1, 2, …, t. (36)


Эти модули нам необходимо найти.

Предположим, что задача решена. Следовательно, в каждом из модмодулей Mi(s) (s=1, 2, …, ni) найдена ортонормированная база Теория симметрии молекул, в которой оператор Теория симметрии молекул представлен матрицей Тi(g) неприводимого представления Т, полученного в результате действия (по правилу из § 3) оператора Теория симметрии молекул на базу по формуле


Теория симметрии молекул, j=1, 2, …, mi. (37)


В этом выражении можно считать, что mi – размерность неприводимого представления Ti (i=1, 2, …, t), причем Теория симметрии молекул - элементы базы с номером g из неприводимого подмодуля Mi. Разместим теперь элементы базы Li при фиксированном i следующим образом:


Теория симметрии молекул (38)

Справа в выражении (38) расположены базы модулей Mi(1), Mi(2), …, Теория симметрии молекул. Если же i изменять от 1 до t, то получим искомую базу всего модуля М, состоящего из m1n1+ m2n2+…+ mtnt элементов.

Рассмотрим теперь оператор


Теория симметрии молекул, (39)


действующий в модуле М (j фиксировано). Согласно теореме 2, Теория симметрии молекул - оператор проектирования. Поэтому этот оператор оставляет без изменения все базисные элементы Теория симметрии молекул (s=1, 2, …, ni), расположенные в j-м столбце выражения (38), и обращает в нуль все остальные векторы базы. Обозначим через Mij векторное пространство, натянутое на ортогональную систему векторов Теория симметрии молекул, стоящие в j-м столбце выражения (38). Тогда можно сказать, что Теория симметрии молекул является оператором проектирования на пространство Mij. Оператор Теория симметрии молекул известен, так как известны диагональные элементы матриц неприводимых представлений групп, а также оператор T(g).

Теперь можно решить нашу задачу.

Выберем ni произвольных базисных векторов в M: Теория симметрии молекул и подействуем на них оператором проектирования Теория симметрии молекул. Полученные векторы лежат в пространстве Mij и являются линейно независимыми. Они не обязательно ортогональны и нормированы. Ортонормируем полученную систему векторов согласно правилу из § 2. Полученную систему векторов обозначим eij(s) в соответствии с обозначениями, принятыми в предположении, что задача решена. Как уже обозначалось, здесь j фиксировано, а s=1, 2, …, ni. Обозначим eif(s) (f=1, 2, …, j-1, j+1, …, mi), остальные элементы базы модуля Mi размерности nimi. Обозначим через Теория симметрии молекул следующий оператор:

Теория симметрии молекул. (40)


Из соотношений ортогональности для матриц неприводимых представлений следует, что этот оператор дает возможность получить eigs по формуле


Теория симметрии молекул, i=1, 2, …, t. (41)


Все сказанное можно выразить в виде следующего алгоритма.

Для того, чтобы найти базу модуля М из элементов, преобразующихся по неприводимым представлениям Тi, содержащихся в представлении Т, связанном с модулем М, необходимо:

По формуле (32) найти размерности подпространств Мij, соответствующих j-компоненте неприводимого представления Ti.

Найти с помощью оператора проектирования (39) все подпространства Mij.

В каждом подпространстве Mij выбрать произвольную ортонормированную базу.

Используя формулу (41), найти все элементы базы, преобразующихся по остальным компонентам неприводимого представления Тi.


Заключение


Группы – один из основных типов алгебраических систем, а теория групп – один из основных разделов современной алгебры. Понадобилась работа нескольких поколений математиков прежде чем идея групп выкристаллизовалась с ее сегодняшней ясностью. От Лагранжа через работы Руффини и Абеля к Эваристу Галуа, в работах которого уже достаточно сознательно используется идея группы (им же впервые введен и сам термин), - вот путь, по которому развивалась эта идея в рамках теории алгебраических уравнений. В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения в как в самой математике, так и за ее пределами – в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания. Конечной целью собственно теории групп является описание всех групповых композиций.

Понятие группы позволяет в точных терминах охарактеризовать симметричность той или иной геометрической фигуры. Именно с таких позиций Е.С. Федоров решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии.

Независимо и по другим причинам идея группы возникла в геометрии, когда в середине XIX в. на смену единой античной геометрии пришли многочисленные «геометрии» и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход был указан «Эрлангенской программой» Клейна, положившей в основу классификации геометрий понятие группы преобразований.

Лежащее в фундаменте современной математики понятие группы является весьма разносторонним орудием самой математики. Вместе с тем группы – это мощный инструмент познания одной из наиболее глубоких закономерностей реального мира – симметрии.

Список использованной литературы


Морозов В.П., Дышлис А.А. Лекции по теории симметрии молекулы: Учеб. пособие. – Днепропетровск: Изд-во ДГУ, 1991. – 180 с.

Александров П.С. Введение в теорию групп. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической лит-ры, 1980 – 144 с.

Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп – 4-е изд., перераб. – М.: Наука. Физматлит, 1996 – 288 с.

Минкин В.И., Симкин Б.Я., Миняев Р.М. Теория строения молекул./ Серия «Учебники и учебные пособия». Ростов-на-Дону: «Феникс», 1997 – 560 с.

Дей К., Селби Д. Теоретическая неорганическая химия. Пер. с англ.; под ред. д-ра хим. наук К.В. Астахова. Изд. 3-е, испр. и доп. М., «Химия», 1976 – 568 с.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. – М.: Наука, 1965 – 588 с.

Глинка Н.Л. Общая химия: Учеб. пособие для ВУЗов, - 23-е изд., испр./ Под ред. В.А. Рабиновича. – Л.: Химия, 1983 – 704 с.

Курош А.Г. Курс высшей алгебры – М.: Наука, 1971 – 432 с.

Похожие работы:

  1. • Методы молекулярной спектрометрии в анализе объектов ...
  2. • Кинетика затухания сенсибилизированной фосфоресценции ...
  3. • Соответствие между молекулами и группами симметрии
  4. • Симметрия и принципы инвариантности в физике
  5. • Симметрия в неживой природе
  6. • Роль симметрии и асимметрии в научном познании
  7. • Прогнозирование энтропии образования органических веществ
  8. • Симметрия молекул и кристаллов
  9. • Симметрия
  10. • Проявление симметрии в различных формах материи
  11. • Спонтанное нарушение симметрии
  12. • Спонтанное нарушение симметрии
  13. • Пространственная симметрия у живых организмов
  14. • Проявление симметрии в различных формах материи
  15. • Принципы симметрии
  16. • Симметрия, Вселенная, Мироздание
  17. • Симметрия - символ красоты, гармонии и совершенства
  18. • Симметрия и асимметрия
  19. • Симметрия природы и законы сохранения
Рефетека ру refoteka@gmail.com