Рефетека.ру / Коммуникации и связь

Реферат: Устойчивость дискретных систем управления

Реферат

Предмет: Теория автоматического управления

Тема: Устойчивость дискретных систем управления

1. Основные понятия устойчивости дискретных систем


Основные определения устойчивости непрерывных систем справедливы и для дискретных систем с учетом некоторых особенностей.

Необходимым и достаточным условием устойчивости непрерывной линейной системы является расположение в левой полуплоскости всех корней ее характеристического уравнения. Сопоставим, как выглядят уравнения для непрерывных и для дискретных систем.

Для непрерывных систем передаточные функции представляют отношение дробно – рациональных функций и имеют вид


Устойчивость дискретных систем управления. (1)


Характеристическое уравнение Устойчивость дискретных систем управления представляет собой степенное уравнение, при этом число корней уравнения равно степени полинома - n .

Например, для передаточной функции


Устойчивость дискретных систем управления Устойчивость дискретных систем управления


Для дискретных систем передаточные функции имеют вид


Устойчивость дискретных систем управления.(2)


Характеристическое уравнение Устойчивость дискретных систем управления представляет собой трансцендентное уравнение, при этом число корней уравнения бесконечно, так как они имеют периодический характер.

Например, для передаточной функции


Устойчивость дискретных систем управления (3)


корни определяются из соотношений


Устойчивость дискретных систем управления.


Каждому из n корней в плоскости Р, соответствует бесконечное множество периодических корней в плоскости Р*, отстоящих друг от друга на расстоянии частоты квантования и расположенных по группам в каждой полосе. Для анализа свойств системы достаточно анализировать расположение корней в одной, так называемой основной полосе, в качестве которой обычно считают полосу частот Устойчивость дискретных систем управления.

Расположение корней этого уравнения в комплексной плоскости приведено на рис. 1.

Устойчивость дискретных систем управления


Рис. 1

Дискретная система автоматического управления устойчива, если все корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости в пределах основной полосы.

Пример 1. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией


Устойчивость дискретных систем управления.


Решение: Характеристическое уравнение системы имеет вид


Устойчивость дискретных систем управления


Определим корни характеристического уравнения


Устойчивость дискретных систем управления.


Система устойчива, так как все корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости в пределах основной полосы.

Пример 2. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией


Устойчивость дискретных систем управления


Характеристическое уравнение имеет вид


Устойчивость дискретных систем управления.


Определим корни характеристического уравнения заданной системы


Устойчивость дискретных систем управления.


Система на границе устойчивости, так как один корень расположен на мнимой оси, а второй устойчивый.


2. Определение устойчивости дискретных систем в форме z-преобразования


Использование z-преобразования позволяет преобразовать трансцендентный полином в степенной, что позволяет упростить процесс исследования дискретных систем управления.

Применение z-преобразования (рис. 2.3) отображает основную полосу на плоскость Z, отрезок мнимой оси Устойчивость дискретных систем управленияв окружность единичного радиуса, а левую часть полосы в круг единичного радиуса.

Следовательно, дискретная система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости в пределах основной полосы (т. е. условие устойчивости Устойчивость дискретных систем управления).

Пример 3. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией


Устойчивость дискретных систем управления.


Характеристическое уравнение имеет вид


Устойчивость дискретных систем управления.


Определим корни характеристического уравнения


Устойчивость дискретных систем управления


Определим модуль корней


Устойчивость дискретных систем управления.


Система не устойчива, так как модуль корней ее характеристического уравнения меньше единицы.

Пример 4. Определить устойчивость дискретной системы, структурная схема которой представлена на рис. 2.


-

Устойчивость дискретных систем управленияРис. 2


Решение: Передаточная функция разомкнутой дискретной системы


Устойчивость дискретных систем управления.


Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в форме z- преобразования


Устойчивость дискретных систем управления, где Устойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управления.


Передаточная функция замкнутой дискретной системы в форме z- преобразования


Устойчивость дискретных систем управления .


Характеристическое уравнение имеет вид Устойчивость дискретных систем управления.

Определим корни характеристического уравнения


Устойчивость дискретных систем управления


При этом модуль корня Устойчивость дискретных систем управленияпри любых допустимых T, следовательно, система устойчива.


3. Определение устойчивости дискретных систем в форме w- преобразования


Из теории функций комплексного переменного известно, что билинейное преобразование (w-преобразование, преобразование Мизеса) отображает круг единичного радиуса в плоскости Z во всю левую полуплоскость плоскости W , при использовании подстановки


Устойчивость дискретных систем управленияили Устойчивость дискретных систем управления. (4)


Установим связь между плоскостями Z и W (см. рис. 3).

Устойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управления

Устойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управления

Устойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управления

Устойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управления

Устойчивость дискретных систем управления

Устойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управления

Рис. 3


1. ПриЅzЅ = 1, Ѕw+1Ѕ = Ѕw-1Ѕ, что соответствует оси j.

2. ПриЅzЅ < 1, Ѕw+1Ѕ < Ѕw-1Ѕ - соответствует левой полуплоскости пл. W.

3. ПриЅzЅ > 1, Ѕw+1Ѕ > Ѕw-1Ѕ - соответствует правой полуплоскости.

Дискретная система автоматического управления устойчива, если все корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости плоскости W.

Следовательно, при использовании билинейного преобразования условия устойчивости непрерывных систем можно использовать для дискретных систем управления.

Пример 5. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией


Устойчивость дискретных систем управления.


Характеристическое уравнение имеет вид


Устойчивость дискретных систем управления.


Определим корни характеристического уравнения


Устойчивость дискретных систем управления


Система устойчива, так как корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости.

Пример 6. Определить устойчивость дискретной системы, структурная схема которой представлена на рис. 4.

Устойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управления


-

Устойчивость дискретных систем управленияРис. 4


Решение: Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в форме z– преобразования


Устойчивость дискретных систем управления, где Устойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управления.


Передаточная функция замкнутой дискретной системы


Устойчивость дискретных систем управления.


Характеристическое уравнение системы имеет вид


Устойчивость дискретных систем управления.


Выполнив билинейное преобразование, получим


Устойчивость дискретных систем управления


Условие устойчивости: 1 – b > 0, 1 + b +d > 0, где b = [k(1-d)-(1+d)].


4. Применение критериев устойчивости для дискретных систем


Все критерии устойчивости, которые используются для анализа устойчивости непрерывных систем, могут быть использованы для дискретных систем с учетом некоторых особенностей.

Критерий Гурвица

Критерий устойчивости Гурвица можно использовать при применении билинейного преобразования. Рассмотри алгоритм его использования.

Записываем характеристическое уравнение D(z) = 0


Устойчивость дискретных систем управления.(5)


2. Выполняем подстановку Устойчивость дискретных систем управления, при этом получим характеристическое уравнение D(w) = 0, т. е. в форме билинейного преобразования


Устойчивость дискретных систем управления. (6)


3. Составляем определитель Гурвица


Устойчивость дискретных систем управления. (7)


4. Определяем устойчивость также как и для непрерывных систем.

Линейная дискретная система устойчива, если при Устойчивость дискретных систем управления определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны.

Рассмотрим частные случаи.

При n = 1 характеристическое уравнение имеет вид


Устойчивость дискретных систем управления


Условие устойчивости: a0 > 0, a1 > 0, а также: a0 - a1 > 0.

При n = 2 характеристическое уравнение имеет вид


Устойчивость дискретных систем управления


Условие устойчивости: a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, а также:


a0 - a1 + a2 > 0, a0 - a2 > 0.


Пример Определить устойчивость дискретной системы, если передаточная функция разомкнутой системы в форме z – преобразования, имеет вид


Устойчивость дискретных систем управления.


Передаточная функция замкнутой дискретной системы в форме z – преобразования


Устойчивость дискретных систем управления.


Характеристическое уравнение имеет вид


Устойчивость дискретных систем управления.


Выполним билинейное преобразование


Устойчивость дискретных систем управления


Система не устойчива.

Критерий устойчивости Михайлова

Доказательство частотных критериев устойчивости базируется на следствии из принципа аргумента. Рассмотрим, как он формулируется для дискретных систем.

Пусть задано характеристическое уравнение замкнутой системы


Устойчивость дискретных систем управления. (8)


Рассмотрим комплексную плоскость Z (рис. 7), пусть z2 расположен внутри круга единичного радиуса, а z1 вне него.

При этом


Устойчивость дискретных систем управления(9)


Если замкнутая система устойчива, то все корни расположены в пределах окружности единичного радиуса, а значит


Устойчивость дискретных систем управления(10)


Замкнутая дискретная система устойчива, если характеристическая кривая D*(jw) при изменении частоты 0 Ј w Ј p/T последовательно проходит 2n квадрантов.

Порядок построения характеристической кривой: определяем D(z); выполняем подстановку Устойчивость дискретных систем управления; определяем выражение


Устойчивость дискретных систем управления;


изменяя 0 Ј w Ј p/T строим D*(jw) (рис. 5).


Устойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управления

Устойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управления


а) б)

Рис. 5

Пример 8. Определить устойчивость по критерию Михайлова системы, схема которой приведена на рис. 6, если T = 1 с, kv = 2 c-1.

Устойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управления

Устойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управления

Устойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управленияУстойчивость дискретных систем управления

Устойчивость дискретных систем управления-

Рис.6


Решение: Передаточная функция разомкнутой системы


Устойчивость дискретных систем управления.


Передаточная функция разомкнутой дискретной системы


Устойчивость дискретных систем управления.


Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в форме z– преобразования


Устойчивость дискретных систем управления


Передаточная функция замкнутой дискретной системы в форме z – преобразования


Устойчивость дискретных систем управления .


Характеристический полином имеет вид


Устойчивость дискретных систем управления.


Определяем выражение


Устойчивость дискретных систем управления


Изменяя частоту в пределах 0 Ј w Ј p (0 Ј w Ј p/T) строим годограф Михайлова (рис. 7).


Устойчивость дискретных систем управления

Таблица 1


Устойчивость дискретных систем управления\


w 0 p/4 p/2 p3/4 p
X*(w) 2 1+Ц2/2 1 1-Ц2/2 0
Y*(w) 0 Ц2/2 1 Ц2/2 0

Как видно из рисунка система находится на границе устойчивости.

Проверим по критерию Гурвица при


kvT = 2; z+1 = 0; z1 = -1; 1 z11=1.


Корень находится на окружности единичного радиуса, следовательно, система находится на границе устойчивости.

Критерий устойчивости Михайлова с использованием билинейного преобразования

При этом исходным является характеристический полином в форме z-преобразования. Выполним подстановку


z = (1+w)/(1-w) .

Устойчивость дискретных систем управления(11)


Пусть: w = jl, где l–фиктивная частота (0 Ј l Ј Ґ).

При этом критерий Михайлова для дискретных систем применяется в таком же виде, как и для непрерывных систем.

Пример 9. Определить условие устойчивости по критерию Михайлова дискретной системы, схема которой приведена на рис. 6.

Решение:

Характеристический полином имеет вид


Устойчивость дискретных систем управления.


Выполнив подстановку z = (1+w)/(1-w), в характеристический полином получим


Устойчивость дискретных систем управления.


Выполнив подстановку w = jl, в характеристический полином получим


Устойчивость дискретных систем управления


Строим график рис. 8. Система устойчива при kvT > 2. Критический коэффициент усиления равен kv кр = 2/T.


Рис. 8


Критерий устойчивости Найквиста

Рассмотрим функцию, которая связывает характеристики разомкнутых и замкнутых дискретных систем


Устойчивость дискретных систем управления (12)


где D*(p) – характеристический полином замкнутой системы;

A*(p) – характеристический полином разомкнутой системы.

В соответствии со следствием из принципа аргумента


Устойчивость дискретных систем управления(13)


Рассмотрим разные случаи.

Система, устойчивая в разомкнутом состоянии

Так как разомкнутая дискретная система устойчива, то она не содержит корней в правой полуплоскости (т. е. m = 0), для того чтобы и замкнутая дискретная система была устойчива, должно выполняться условие


Устойчивость дискретных систем управления (14)


Формулировка критерия Найквиста:

Замкнутая дискретная система устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой устойчивой системы не охватывает току с координатами (–1,j0).

Графически это обозначает, что годограф вектора W*(jw) не охватывает начала координат, а вектора K*(jw) -точку с координатами (-1, j0).

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии

Так как разомкнутая система неустойчива, то она содержит m корней в правой полуплоскости, для того чтобы замкнутая система была устойчива, должно выполняться условие:


Устойчивость дискретных систем управления


Графически это обозначает, что годограф вектора K(jw) охватывает точку с координатами (-1, j0) m –раз.

Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая дискретная система устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой неустойчивой системы, имеющей m корней в правой полуплоскости, охватывает току с координатами (–1 , j0) m раз.

Пример 10. Определить условия устойчивости и величину критического коэффициента усиления по критерию Найквиста дискретной системы, схема которой приведена на рис. 6.

Решение: Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в форме z– преобразования


Устойчивость дискретных систем управления


При этом выражение для частотной характеристики имеет вид


Устойчивость дискретных систем управления


Строим частотную характеристику дискретной системы в соответствии с таблицами 2 и 3 (рис. 9).

Характеристику строим на интервале частот 0 Ј w Ј p/T в дальнейшем характеристики повторяются, так как они носят периодический характер.

Условие устойчивости данной дискретной системы определяется соотношением kvT/2 = 1. 0 Ј w Ј p/T


Таблица 2

w 0 p/2T p/T
P*(w) -kvT/2 -kvT/2 -kvT/2
Q*(w) -kvT/2 0

Устойчивость дискретных систем управления


Таблица 3

a 0 30 45 60 90
ctga Ц3 1 1/Ц3 0

Критический коэффициент усиления системы равен kv кр = 2/Т.

Литература


Дорф Р., Бишоп Р. Автоматика. Современные системы управления. 2002г. – 832с.

Харазов В. Г. Интегрированные системы управления технологическими процессами: Справочник. Издательство: ПРОФЕССИЯ, ИЗДАТЕЛЬСТВО, 2009. – 550с.

Чебурахин И. Синтез дискретных управляющих систем и математическое моделирование: теория, алгоритмы, программы. Изд-во: НИЦ РХД, ФИЗМАТЛИТ®, 2004. – 248c.

Похожие работы:

  1. • Коррекция дискретных систем управления
  2. • Расчет переходных процессов в дискретных системах управления
  3. • Анализ качества дискретных систем управления
  4. • Дискретные системы радиоавтоматики
  5. • Системы стабилизации и ориентации
  6. • Характеристика дискретных систем автоматического управления
  7. • Системы стабилизации и ориентации
  8. • Передаточная функция дискретной системы
  9. •  ... устойчивости социально-экономической системы региона
  10. • Устойчивость систем автоматического управления
  11. • Устойчивость линейных систем автоматического управления
  12. •  ... к исследованиям устойчивости систем с логическими алгоритмами ...
  13. • Анализ устойчивости электротехнической системы
  14. • Прямое дискретное преобразование Лапласа
  15. • Прохождение случайного сигнала через дискретную и нелинейную ...
  16. •  ... входным сигналом. Математическое описание дискретных систем
  17. • Управление экономической устойчивостью ...
  18. • Нелинейные САУ
  19. • Критерии устойчивости систем
Рефетека ру refoteka@gmail.com