Рефетека.ру / Физика

Учебное пособие: Понятие устойчивости

Реферат

По физике


УСТОЙЧИВОСТЬ

Лекция 14.


Будем называть равновесное состояние устойчивым, если оно мало изменяется при малых возмущениях.

Приведём некоторые примеры.

Тяжелый шар на поверхности, имеющей вершины, впадины и горизонтальные участки.

Понятие устойчивости


В том случае, когда шарик находится на вершине, составляющая силы тяжести Т, возникающая при его отклонении, уводит его от первоначального состояния, для шарика, находящегося во впадине сила Т будет возвращать отклонённый шарик в первоначальное состояние и он будет колебаться в окрестности наиболее низкой точки впадины, т.е. при малых отклонениях состояние шарика будет также меняться мало. Случай шарика, находящегося на горизонтальной поверхности, будет случаем разграничивающим рассмотренные выше не устойчивые и устойчивые равновесные состояния. Такое состояние называется безразличным.

2. Хорошо знакомую картину разрушение образца при растяжении с образованием шейки можно трактовать, как потерю устойчивости цилиндрической формы образца.

По мере приближения состояния образца становится неустойчивой, образуется шейка и малым изменениям силы соответствуют значительные изменения конфигурации системы.

Понятие устойчивости

Рис. 98


Центрально сжатый гибкий стержень


Понятие устойчивости


Предполагается, что стержень идеально прямой, а сила прилаженная строго по оси (что, конечно, практически невозможно).

Для того, чтобы судить устойчиво ли данное равновесное состояние, надо приложить горизонтальную возмущающую силу, которая вызовет прогиб. Если сила Р невелика, то прогиб окажется малым, равновесное состояние (прямолинейное) фактически не изменится . Однако если сила Р превысит некоторое значение называется критическим (F кр ), то равновесное состояние становится неустойчивым, т. е. любые малые возмущения приведут к значительным прогибам. Зависимость между прогибом и силой показана действительное поведение стержня, которое можно обнаружить с помощью нелинейных решений, сплошной чертой показано грубое, линейное решение задачи.

Задача Эйлера


Рассмотрим центрально сжатый шарнирно закрепленный с обоих концов стержень. Эта задача была решена Л. Эйлером.

Существо задачи состоит в том, что задача об устойчивости по отношению к заданному возмущению подменяется задачей о возможности существования двух различных форм равновесия при одном и том же значении силы F. Очевидно, что прямолинейная равновесная форма возможна (y = 0). Допустим, что наряду с прямолинейной равновесной формой возможна и криволинейная равновесная форма, показанная на рисунке.


Понятие устойчивости


Кривизна стержня на основании закономерности известной из теории изгиба выразится Понятие устойчивости

Будем полагать, что угол поворота y’ – величина малая по сравнению с единицей и тем более мал квадрат этой величины по сравнению с единицей

Понятие устойчивости


Изгибающий момент в произвольном сечении с координатой Z: Понятие устойчивости (знак минус увязывает прогиба и кривизны).

Дифференциальное уравнение изогнутой оси выглядит


Понятие устойчивости или Понятие устойчивости Понятие устойчивости (1)


Решение этого дифференциального уравнения хорошо известно


Понятие устойчивости


Из граничных условий попробуем найти произвольные постоянные

C1 и С2

при Z=0: Понятие устойчивости

при Z=Понятие устойчивости: Понятие устойчивости

Возможны две ситуации

C1=0, откуда yПонятие устойчивости0, т. е. получаем прямолинейную равновесную форму,

Sin KПонятие устойчивости (nПонятие устойчивостиN) подставим в (1) выражение R2 = Понятие устойчивости

Понятие устойчивости откуда найдем значение силы, при которой помимо прямолинейной равновесной формы появляется смежная криволинейная равновесная форма


Понятие устойчивости


реальный смысл имеет наименьшее значение силы при n=1 эйлерова сила – критическая сила.


Fкр=Понятие устойчивостиПонятие устойчивости

Очевидно, что Ix – минимальный момент инерции.

Потери устойчивости будет происходить по синусоиде y = C1SinПонятие устойчивости

однако произвольную C1 мы так и не смогли найти.

Дело в том, что задача о потере устойчивости задача существенно нелинейно, а мы поступили непоследовательно. С одной стороны мы подошли к задаче как нелинейной, отойдя от принципа начальных размеров, и определив изгибающий момент с учетом изгиба стержня. С другой стороны, приняв приближенное выражение для кривизны, мы линеаризовали задачу. Для того, чтобы определить прогибы в закритической стадии надо исходить из нелинейного дифференциального уравнения.

Однако главная цель – определение критической силы для стержня нами достигнута.


Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы


Формула (2) даёт возможность определить критическую силу только в том случае шарнирного опирания обоих концов стержня. Обобщим полученный результат на некоторые другие часто встречающиеся случаи закрепления.

а). Стержень, закреплённый жёстко одним концом и свободный от закрепления на другом. Очевидно изгиб стержня в этом случае будет таким же, как и в случае шарнирно опертого стержня, но имеющего длину в 2 раза большую.

Понятие устойчивости


Критическая сила в этом случае будет равна критической силе шарнирно опёртого стержня, имеющего длину 2Понятие устойчивости.

Введём понятие коэффициента привидения длины - Понятие устойчивости , т. е. числа показывающего во сколько раз нужно увеличить длину шарнирно опёртого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной Понятие устойчивости при заданном закреплении.

Очевидно, что в нашем случае коэффициент Понятие устойчивости можно трактовать , как число показывающее сколько раз длина стержня укладывается в длине полуволны синусоиды, по которой происходит потеря устойчивости.

Обобщим формулу Эйлера


Понятие устойчивости (3)


Для некоторых других случаев закрепления коэффициент приведения длины равен:

Понятие устойчивости

Рис. 102

Пределы применимости формулы Эйлера


Формула Эйлера выведена в предположении, что материал линейно упруг, и, естественно, применила, в тех случаях пока справедлив закон Гука.

Придадим формуле (3) иной вид.

Введём понятие критического напряжения, т. е. напряжения соответствующего критической силе.


Понятие устойчивости; Понятие устойчивости (4)


но Понятие устойчивости где Понятие устойчивости - минимальный радиус инерции сечения.

Введём ещё одну величину – гибкость стержня.


Понятие устойчивости, тогда Понятие устойчивости

Тогда можно оказать, что формула Эйлера справедлива, если критические напряжения не превышают предела пропорциональности при сжатии.


Понятие устойчивости


Выясним при каких гибкостях можно использовать формулу Эйлера .

Приравняем в (4)


Понятие устойчивости =Понятие устойчивости


Если Понятие устойчивости, то можно использовать формулу (3)

Для малоуглеродистых сталей, особенно часто используемых для сжатых элементов: Понятие устойчивостиМПа, E = 2*105 МПа тогда,

Понятие устойчивости т.е. для малоуглеродистых сталей формулу Эйлера можно использовать при гибкостях больших 100.


Коэффициент запаса на устойчивость


Представляет собой отношение критической силы для стержня к силе, действующей на него.


Понятие устойчивости


Коэффициент запаса на устойчивость может выступать, некоторая заданная нормативная величина, тогда Понятие устойчивости ,где Понятие устойчивостиFadm – нагрузка допускаемая из условия устойчивости.

Пример.

Для заданного сжатого стержня определить допускаемую силу


Понятие устойчивости


Понятие устойчивости = 50 см; материал Ст. 3

E = 2 105 МПа; Понятие устойчивости = 210 МПа

ny= 2

Ix = Imin = 4 см2 ; A = 2*6 = 12 см2;

Понятие устойчивостиПонятие устойчивости = 2*50 = 100 см;


Fkp = Понятие устойчивости

Понятие устойчивостиМПа; Понятие устойчивостиkpПонятие устойчивостиМПаПонятие устойчивостиМПаПонятие устойчивостиpr


формула Эйлера применима


Fadm = Понятие устойчивости кН


Расчет сжатых стержней на устойчивость по коэффициенту снижения допускаемых напряжений


Приведенное выше решение пригодно только для сравнительно длинных и тонких стержней. В случае коротких и жестких стержней потеря устойчивости происходит при возникновении пластических деформаций и задача требует специального рассмотрения. Существует решения (Т. Карман, Энгессер) об устойчивости стержня за пределами упругости. Иногда прибегают к эмпирическим формулам типа формулы Ясинского.

Понятие устойчивости, где a и b-константы зависящие от свойств материала.

Изложим методику расчёта на устойчивость, предложенную русским инженером Ясинского в конце прошлого века. Суть этой методики состоит в том, что расчёт на устойчивость подменяется расчетом на обыкновенное сжатие, но допускаемые напряжения при этом полагаются переменными, зависящими от гибкости. Допускаемое напряжение на устойчивость полагается равным


Понятие устойчивости

Понятие устойчивости- допускаемое напряжение при сжатии;

Понятие устойчивости - коэффициент снижения допускаемых напряжений. Он может трактоваться, как следующее отношение.


Понятие устойчивости


Коэффициент снижение допускаемых напряжений зависит от гибкости Понятие устойчивости

С увеличением гибкости величины его уменьшается.

Разумеется, чтоПонятие устойчивости зависит не только от гибкости, но и от свойств материала. Для наиболее употребительных материалов он вычислен и приведён в таблицах. Приведем такую таблицу для ст. 3 материала наиболее часто применяемого для сжатых элементов.


Понятие устойчивости

Понятие устойчивости

Понятие устойчивости

Понятие устойчивости

0 1,00 110 0,52
10 0,99 120 0,45
20 0,96 130 0,40
30 0,94 140 0,36
40 0,92 150 0,32
50 0,89 160 0,29
60 0,86 170 0,26
70 0,81 180 0,23
80 0,75 190 0,21
90 0,69 200 0,19
100 0,60 --- ---

Для промежуточных значений Понятие устойчивости соответствующие значения определяются путем линейной интерполяции.

Примеры.

Если известно сечение сжатого элемента, то нагрузку которую может воспринять стержень из условия устойчивости определяется.

Nadm = Понятие устойчивостиПонятие устойчивости


Определить величину допускаемой нагрузки на ферму из условия устойчивости поясов АВ и ВД.

Материал – Ст. 3, Понятие устойчивости= 160МПа


Понятие устойчивости

Рис. 104


Площадь сечения А = 2АL = 2*4,8 = 9,6 см2 ;

Минимальный момент инерции сечения будет

Ix = 2ILx

Минимальный радиус инерции


Понятие устойчивости


По сортаменту определяем Понятие устойчивости=1,53см

Приведенная длина верхнего пояса


Понятие устойчивостиПонятие устойчивостисм


Гибкость Понятие устойчивости Понятие устойчивостипо таблице

Допускаемое усилие из условия устойчивости для стержня AB:


Понятие устойчивостиПонятие устойчивости


Свяжем между собой силу, действующую на ферму F и усилие NAB


Понятие устойчивости

Рис. 105


Допускаемая нагрузка на ферму

Fadm=48.5кн

Другим типом задачи является подбор размером сечения заданного типа. Можно записать


A=Понятие устойчивости


Однако Понятие устойчивости зависит от размеров и формы сечения, таким образом круг замыкается и задача может быть решена только методом попыток. По сути задача подбора сечения сводится к некоторой последовательности задач первого типа.

Подобрать размеры квадратного поперечного сечения для сжатого стержня. F=280кн. Материал Ст.3 Понятие устойчивости =160МПа: Понятие устойчивости=1м. Разберемся с геометрическими характеристиками


Понятие устойчивости

Рис. 106


A=a2 ; Ix=Понятие устойчивости ; Понятие устойчивости

1) Понятие устойчивости Понятие устойчивостисм

a=Понятие устойчивостисм; Понятие устойчивостисм2;


Нагрузка, которую может воспринять сечение при заданных размерах

Понятие устойчивости


Размеры сечения слишком велики

2)Понятие устойчивости Понятие устойчивостисм

a=Понятие устойчивостисм; A=24см2;

Понятие устойчивости


Размеры сечения слишком малы

Т. к. в обоих случаях мы оказались далеки от истины, то попробуем в качестве следующего значения Понятие устойчивости среднее арифметическое из первых двух


Понятие устойчивости Понятие устойчивости

Понятие устойчивостисм; a =Понятие устойчивостисм; A=36см2;

Понятие устойчивостикн


Обычно считается, что результат достигнут, если сила, которую воспринимает сечение отличается от действующей силы не более чем на 5% в ту или другую сторону т. е.

0,95F Понятие устойчивости

В нашем случае это условие выполнено.

Принимает размер сечения a = 6см


Лекция 15

Энергетический способ определения критических сил


В сколь-нибуть сложных случаях, получить критическую силу из решения дифференциального уравнения изогнутой оси сжатого стержня затруднительно.

Поэтому в подобной ситуации проще получить приближённое решение, например, энергетическим методом.

Рассмотрим стержень центрально сжатый силой F. Условно на рисунке стержень показан шарнирно опёртым, но вопрос о граничных условиях пока оставим открытым


Понятие устойчивости

Рис. 106


Пусть сила F меньше эйлеровой критической силы. Если приложить к стержню некоторую поперечную нагрузку Fп, то стержень изогнётся, но будет находиться в устойчивом равновесном состоянии. Сжимающая сила совершит при этом работу на перемещении ▲, которое можно найти следующим образом.

Укорочение малого элемента длиной dz будет равно


Понятие устойчивости▲= Понятие устойчивости


учтём, что Понятие устойчивости= y'

Тогда ▲=Понятие устойчивости

Потенциальная энергия деформации изогнутого стержня


U=Понятие устойчивости


Здесь учтено, что M = EIxy”

Изменение полной энергии при малом изгибе будет


Понятие устойчивости

Если Понятие устойчивости, то стержень устойчив, если же Понятие устойчивости , т.е. FПонятие устойчивости производит работу большую, чем может на копиться в стержне в виде энергии упругой деформации, избыточная работа идёт на сообщение кинетической энергии, стержень приходит в движение и прогибается дальше. Т.е. он не устойчив. Очевидно, что когда сила достигает критического значения, то FкрПонятие устойчивостиили


Понятие устойчивости откуда

Понятие устойчивости


Для получения значения критической силы необходимо задаться формой изогнутой оси. Функцию y = y(z) надо подбирать таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям.


Примеры


Вначале попробуем решить рассмотренную ранее задачу о критической силе для шарнирно опёртого по обоим концам стержня. Точное решение известно.

Fkp = Понятие устойчивости


Форма изогнутой оси в этом случае известна


y = CSinПонятие устойчивости


но предположим, что это нам не известно и аппроксимируем изогнутую ось полиномом четвёртой степени


Понятие устойчивости


Граничные условия следующие

А) при Z = 0: y=0 (1) ; y”=0 (2) прогиб равен нулю и момент равен нулю,

Б) при Z = Понятие устойчивости: y = 0 (3) ;y”=0 (4)

Возьмём производные

y’ = 4Az3+3Bz2+2Cz+D;

y” = 12 Az2+6Bz+2C

Из (1) E = 0 ; bp (2) C = 0 Используем (3) Понятие устойчивости; из (4) следует

12 AПонятие устойчивости подставляя в (3): AПонятие устойчивости

D=AПонятие устойчивости y’=A(4z3-6Понятие устойчивости; y”=12A(z2-Понятие устойчивости

Подставим эти выражения в формулу (1)


Понятие устойчивости

Как видим, приближённое решение практически не отличается от точного.

2)Рассмотрим более сложную задачу.

Определить критическую силу для стержня , показанного на рисунке.

Аналогично предыдущему случаю, аппроксимируем изогнутую ось полиномом

y = Az4+Bz3 +Cz2 +Dz+E

Запишем граничные условия

1) при z = 0 y = 0 (1)

y’ = 0 (2)

2) при z =3Понятие устойчивости: y” = 0 (свободный конец и момент отсутствует) (4)

Найдем производные

y' = 4Az3+3Bz2+2Cz+D

y” = 12Az2+6Bz+2C;

Используем граничные условия

Из (1) E = 0 ; из (2) D = 0

Из (3) A16Понятие устойчивости4+B8Понятие устойчивости3+C4Понятие устойчивости=0

4Понятие устойчивости2A+2Понятие устойчивостиB+C=0 (3а)

Из (4) 12A*9Понятие устойчивости2+6B*3Понятие устойчивости+2C=0

54Понятие устойчивости2A+9Понятие устойчивостиB+C=0 (4а)

Решим совместно (3а) и (4а)

_9Понятие устойчивостиB+C=-54Понятие устойчивости2A

2Понятие устойчивостиB+C=-4Понятие устойчивости2A

------------------------

7Понятие устойчивостиB=-50Понятие устойчивости2A B=Понятие устойчивости;

C=-4Понятие устойчивости2-2Понятие устойчивости( Понятие устойчивости)=Понятие устойчивости

Подставим найденные значения коэффициентов полинома в выражения для

y’=2A(2z3-Понятие устойчивости Понятие устойчивостиz2+Понятие устойчивости)

y” = 12A(z2-Понятие устойчивостиПонятие устойчивостиz+Понятие устойчивости.


Подставим в (1)


Понятие устойчивости


Вычисляя интеграл, получаем


FkpПонятие устойчивости

Похожие работы:

  1. • Анализ финансовой устойчивости организации (на ...
  2. •  ... обеспечение институциональной устойчивости социально- ...
  3. • Теория устойчивости
  4. • Финансовая устойчивость предприятия ОАО ...
  5. • Показатели и оценка финансовой устойчивости ...
  6. • Устойчивость систем автоматического управления
  7. • Планетарные геосферы
  8. • Устойчивость сотрудников ...
  9. • Устойчивость линейных систем автоматического управления
  10. • Экономическая устойчивость предприятия и пути ее ...
  11. • Устойчивость бюджета
  12. •  ... управления институциональной устойчивостью в сфере ...
  13. • Оценка потенциальной устойчивости и изменчивости ...
  14. • Феноменология анализа финансовой устойчивости коммерческого ...
  15. • Устойчивость систем дифференциальных уравнений
  16. • Устойчивость дискретных систем управления
  17. • Устойчивость систем дифференциальных уравнений
  18. • Анализ и оценка финансовой устойчивости предприятия
  19. • Законы диалектики
Рефетека ру refoteka@gmail.com