Рефетека.ру / Коммуникации и связь

Реферат: Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

1. Передатні функції імпульсних автоматичних систем


Структурні зображення і передатні функції складають основу для інженерних розрахунків імпульсних автоматичних систем. Вони дозволяють у значній мірі полегшити рішення задач дослідження.

Для дослідження динамічних властивостей системи в першу чергу необхідно визначити її передатні функції, що, як відомо, установлюють залежність між вхідним впливом і реакцією системи (ланки). Звичайно в розгляд уводять, як і при дослідженні безупинних систем, такі передатні функції: передатну функцію розімкнутої імпульсної системи і передатну функцію помилки.

Передатною функцією розімкнутої імпульсної системи називається відношення зображень у смислі дискретного перетворення Лапласа вихідного і вхідного імпульсних сигналів при нульових початкових умовах:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


Аналогічно визначається ця передатна функція в смислі Z – перетворення:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості.


Основне завдання полягає в тому, щоб визначити передатну функцію W(z) по відомій передатній функції приведеної безупинної частини системи W(p). Цю задачу вирішують у такій послідовності:

1. По передатній функції W(p) у результаті застосування зворотного перетворення Лапласа знаходять функцію ваги ПНЧ:

Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


2. По функції ваги ПНЧ w(t) визначають аналітичне вираження для відповідної дискретної функції ваги w(n).

Шукану передатну функцію W(z) одержують як Z - перетворення дискретної функції ваги ПНЧ:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


Основна передатна функція замкнутої імпульсної системи дозволяє обчислити реакцію замкнутої системи хВИХ(пТ) на вплив, що задає, Хвх(пт). Її визначають, як і в безупинних системах, відповідно до рівняння замикання через дискретну передатну функцію розімкнутої системи:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості. (1)


Передатну функцію замкнутої системи завжди можна подати у вигляді відносини двох поліномів щодо перемінної z:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості. (2)


Запишемо цей вираз в розгорнутому вигляді:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості. (3)


Ліва частина цього рівняння (у дужках) є характеристичний поліном замкнутої імпульсної системи М(z).

У результаті переходу від зображень до оригіналів у формулі (3) легко одержати відповідне різницеве рівняння системи М(z).


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


Аналогічно можна одержати різницеве рівняння розімкнутої системи по передатній функції W(z).

Передатна функція помилки визначається через передатну функцію розімкнутої системи за формулою


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості. (4)


Знаючи вплив, що задається, і цю передатну функцію, можна оцінити динамічну точність імпульсної системи – знайти дискретну функцію помилки ε(nT).

Розглянемо конкретний приклад визначення передатних функцій імпульсної системи. Визначимо передатні функції системи, структурна схема якої зображена на рис. 1.


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

Рисунок 1 – Структурна схема імпульсної системи


Як видно з рисунка, у прямого ланцюзі системи є найпростіший імпульсний елемент (фіксатор) і безупинна частина (інтегруюча ланка).

Передатна функція приведеної безупинної частини:

Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості .


Дискретну передатну функцію розімкнутої системи знаходимо відповідно до методики, викладеної вище:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості. (5)


Різницеве рівняння розімкнутої системи визначаємо, у разі потреби, безпосередньо з (5):


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


Знаючи W (z), легко знайти основну передатну функцію замкнутої системи:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості. (6)


Динамічні процеси в замкнутій імпульсній системі описуються таким різницевим рівнянням, отриманим з (6) шляхом переходу до оригіналів:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості .


2. Оцінка стійкості імпульсної автоматичної системи


Необхідною умовою працездатності імпульсної системи є її стійкість. Відомі з попередніх лекцій основні визначення стійкості безупинних систем застосовні і до імпульсних систем, але з урахуванням ряду особливостей цих систем.

Звернемося до основного формулювання умови стійкості: імпульсна система стійка, якщо її власний рух з часом загасає.

Як уже відзначалося, на практиці часто обмежуються визначенням дискретної функції XВИХ(n) на виході системи. Це рішення можна одержати, наприклад, з формули (4) у вигляді суми вільної і змушеної складової:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


Таким чином, умову стійкості системи варто записати так:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


Оцінку стійкості імпульсної системи, як і безупинної, звичайно роблять на підставі дослідження характеристичного рівняння замкнутої системи, яке одержують з (3):


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості (7)


Це алгебраїчне рівняння має m коренів zi на площині z. Але, оскільки перемінна z з'явилася в зв'язку з підстановкою Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості, то кожен корінь zi зв'язаний з коренями pi на площині p залежністю Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

Легко помітити, що нульовому кореню, наприклад, p1=0, відповідає корінь zi=1, а кореням pt з негативними дійсними частинами відповідають корені: Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

Тепер можна дати формулювання математичної умови стійкості: імпульсна автоматична система стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння (7) лежать усередині кола одиничного радіуса, побудованого на початку координат комплексної площини z (рис. 1, точки z1,, z2,,z3, z4, z5 ).

Якщо хоча б один з коренів лежить на колі з радіусом R = 1, то система знаходиться на межі стійкості (рис. 2, точка z6).

За наявності коренів Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якостісистема хитлива (рис. 1, точка z7).


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості
Рисунок 2 – Комплексна площина Z


Визначення коренів характеристичного рівняння (7) при m і 3 поєднано з відомими труднощами. Тому на практиці знаходять застосування непрямі оцінки — критерії якості, що дозволяють оцінювати стійкість імпульсних систем без визначення коренів.

До імпульсних систем можна застосувати кожен з відомих критеріїв стійкості безупинних систем. Однак для цього попередньо необхідно зробити білінійне перетворення полінома М(z) у поліном М(w) за формулою


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості. (8)


Таке перетворення дозволяє відобразити одиничне коло площини Z (рис. 2) у ліву частину комплексної площини p, аналогічну області стійкості безупинних систем на площині p.

До характеристичного рівняння М(w) = 0, що також має порядок т, застосовні алгебраїчні критерії стійкості І. А. Вишнєградского і Гурвіца. Оцінимо стійкість двох конкретних систем.

Приклад 1. Імпульсна система першого порядку має характеристичне рівнянняПередатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якостіПередатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості .


Після підстановки (8) одержимо


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


або


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


Система першого порядку стійка, якщо коефіцієнти її характеристичного рівняння позитивні:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості.


Досліджуємо стійкість імпульсної системи з передатною функцією (6) (рис.2).

Характеристичні рівняння цієї системи

Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


Звідси одержуємо дві умови стійкості:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості .


Друга умова розкриває важливу властивість досліджуваного класу систем: стійкість імпульсної системи залежить не тільки від загального коефіцієнта передачі в розімкнутому стані kv, як це має місце і у безупинних системах, але і від періоду дискретності Т: чим більше Т, тим складніше забезпечити стійкість системи, при незмінному kv..

Приклад 2. Характеристичне рівняння імпульсної системи другого порядку


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


Після переходу до перемінного w одержуємо


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


Система стійка, якщо коефіцієнти її характеристичного рівняння позитивні:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

Ці три нерівності дозволяють оцінити стійкість імпульсної системи.

Досліджують стійкість систем третього і вищих порядків за допомогою критерію Гурвіца.


3. Якість процесів у лінійних імпульсних системах


Основні показники якості процесів в імпульсних системах такі ж, як і в безупинних автоматичних системах: час регулювання tp, величина перерегулювання Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості і кількість перерегулювань n (показники якості перехідного процесу); точність роботи систем у сталих режимах.

У чому ж особливості дослідження якості імпульсних автоматичних систем?

Оцінюють показники якості перехідного процесу роблять за імпульсною перехідною функцією системи h(пТ) — реакції на одиничну східчасту дискретну функцію Хвх(пТ) — 1(пТ).

Зображення реакції системи в смислі Z-перетворення знаходять за (1)


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


Оскільки зображення одиничної дискретної функції


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


то зображення дискретної перехідної функції імпульсної системи


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

Як видно з цієї формули, зображення можна подати в загальному випадку у вигляді відношення двох поліномів.

Отже, для того, щоб знайти Н(z), досить знати передатну функцію замкнутої системи Ф(z).

Далі, необхідно по зображенню знайти оригінал h (nТ), тобто здійснити операцію зворотного Z-перетворення. Цю задачу часто вирішують методом розкладання функції в степеневий ряд по негативних ступенях z (діленням полінома чисельника на поліном знаменника). Коефіцієнти отриманого ступеневого ряду дорівнюють дискретним значенням імпульсної перехідної функції в моменти часу t — пТ. Інший метод вимагає розкладання Н (z) на прості дроби.

Розглянемо на прикладі методику оцінки показників якості перехідних процесів імпульсної системи, зображеної на рис. 1, при різних значеннях її параметрів кv і Т. Зображення перехідної функції системи з урахуванням (8)


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості .


При kv=1,5 зображення перехідної функції системи


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


У результаті ділення чисельника на знаменник знаходимо:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості.


Коефіцієнти ступеневого ряду визначають такі значення дискретної перехідної функції-оригіналу:

Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості і т.д.


Графік перехідної функції для цього випадку зображений на рис. 3, а. Аналіз графіка дозволяє визначити показники якості перехідного процесу: tp = 5Т сек; s= 50%; п = 4.

Очевидно, що для зменшення величини перерегулювання необхідно зменшувати добуток kv.


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

Рисунок 3 – Перехідні функції імпульсної системи


2. При к v T =1 зображення перехідної функції системи


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості.


Дискрети перехідної функції:


h(0)=0; h(t)=1; h(2T)=1.


З графіка перехідної функції, поданого на рис. 1.б, видно, що при kv T = 1 у системі має місце оптимальний по швидкодії перехідний процес, оскільки він завершується за один період дискретності Т без перерегулювання.

3. При kv T =0,5 маємо:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості.


Звідси знаходимо:


Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості


Графік цієї функції, зображений на рис. 1, в, близький до експоненти. Час регулювання в цьому випадку tp = 5Тсек.

Проведений аналіз дозволяє зробити важливий висновок про те, що показники якості перехідного процесу імпульсної системи істотно залежать від величини добутку коефіцієнта передачі ку на період дискретності T.

Точність імпульсної системи оцінюється величиною помилки в сталих режимах. Для розрахунку помилки необхідно знати зображення впливу, що задається, і передатну функцію помилки Фf (z). Методика обчислення дискретної функції е (пТ) аналогічна викладеної вище.

Похожие работы:

  1. • Система автоматичного регулювання асинхронного ...
  2. • Регулювання тиску пара в казані
  3. • Дослідження перехідних характеристик цифрових САК
  4. • Одноосьовий гіроскопічний стабілізатор
  5. • Система прямого регулювання тиску газу з І ...
  6. • Дистанційна слідкуюча система на сельсинах
  7. •  ... конструкцій на пружній основі при імпульсних навантаженнях
  8. • Дослідження розбавлювача димових газів по каналу ...
  9. • Інформаційно-вимірювальна система для пасажирських ...
  10. • Науково-технічний прогрес - рушійна сила розвитку ...
  11. • Експлуатація електроприводу крана
  12. • Визначення динамічних похибок вимірювань
  13. • Типові вхідні сигнали
  14. • Обслуговування комп"ютерних та інтелектуальних ...
  15. • Одновісний гіроскопічний стабілізатор
  16. • Система передавання неперервних повідомлень із ...
  17. • Методичні засади контролю пізнавальної діяльності студентів ...
  18. • Аналіз програмного забезпечення підприємства
  19. • Принцип роботи ядерного реактора
  20. • Захист від атмосферних перенапружень
Рефетека ру refoteka@gmail.com