Рефетека.ру / Экономика

Контрольная работа: Общая теория статистики

Министерство образования и науки Украины


кафедра “Учет и аудит”


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА


Общая теория статистики


Харьков, 2008 г.

Имеются данные по заводам, изготавливающим одноименную продукцию (табл. 1)


Таблица 1.

Завод Объем производства, тыс. шт. Себестоимость единицы продукции, грн. Завод Объем производства, тыс. шт. Себестоимость единицы продукции, грн.
1 2 3 4 5 6
1 16 240 12 9 260
2 8 330 13 7 340
3 6 380 14 15 220
4 3 420 15 10 280
5 7 400 16 12 300
6 4 330 17 8 320
7 10 280 18 4 410
8 12 260 19 2 460
9 5 400 20 10 270
10 14 160 21 12 280
11 7 380 22 18 200

Для выявления зависимости между объемом производства продукции и ее себестоимостью сгруппируйте заводы по объему производства, образовав 4 группы с равными интервалами. По каждой группе и в целом по совокупности заводов подсчитайте:

число заводов;

средний объем производства;

средний уровень себестоимости единицы продукции.

Результаты представьте в виде таблицы. Сделайте выводы.

Решение:

Определим величину интервала.


i = (Xmax – Xmin) / n , где


Хmax – максимальный объем производства;

Xmin – минимальный объем производства;

n – количество групп;


i = (18 – 2) / 4 = 4;


По каждой группе необходимо подсчитать количество заводов и оформить результаты в виде таблицы.


Таблица 1.2. Количество заводов по группам

№ группы Группа заводов по объему производства, тыс. шт. Количество заводов, шт. Количество заводов к итогу, %
1 2 – 6 5 22,7 %
2 6 – 10 7 31,8 %
3 10 – 14 6 27,3 %
4 14 – 18 4 18,2 %
Итого
22 100 %

Вычислим процент к итогу для каждой группы и занесем результаты в таблицу 2.


Для 1-й группы 5 / 22 * 100 = 22,7 %

Для 2-й группы 7 / 22 * 100 = 31,8 %

Для 3-й группы 6 / 22 * 100 = 27,3 %

Для 4-й группы 4 / 22 * 100 = 18,2 %.

Вывод: результаты группировки показывают, что более половины заводов, т.е. 59% имеют объем производства от 6 до 14 тыс. шт. Низкий процент заводов имеет объем производства до 6 тыс. шт. – 22,7%, и свыше 14 тыс. шт. – 18,2%.

2. По данным таблицы 1 для изучения зависимости между объемом производства и себестоимостью единицы продукции произведем группировку заводов по объему производства, образовав 4 группы заводов с равными интервалами. Применяя метод группировок для взаимосвязи, необходимо прежде всего определить факторный признак, охватывающий влияние на взаимосвязанные с ним признаки. Таким факторным признаком является объем производства. По условию требуется выделить 4 группы заводов по объему производства с равными интервалами. В основание аналитической группировки возьмем те же группы.


Таблица 1.3. Сводная таблица данных по заводам

п/п

Группа заводов по объему производства № завода Объем производства, тыс. шт. Себестоимость единицы продукции, грн.
I 2 – 6

4

6

9

18

19

3

4

5

4

2

420

330

400

410

460

ИТОГО 5 18 2020
II 6 – 10

2

3

5

11

12

13

17

8

6

7

7

9

7

8

330

380

400

380

260

340

320

ИТОГО 7 52 2410
III 10 – 14

7

8

15

16

20

21

10

12

10

12

10

12

280

260

280

300

270

280

ИТОГО 6 66 1670
IV 14 – 18

1

10

14

22

16

14

15

18

240

160

220

200

ИТОГО 4 63 820
ВСЕГО 22 199 6920

Определим средний объем производства:


СОПI = 18 / 5 = 3,6 тыс. шт.;

СОПII = 52 / 7 = 7,4 тыс. шт.;

СОПIII = 66 / 6 = 11 тыс. шт.;

СОПIV = 63 / 4 = 15,75 тыс. шт.;

Общая теория статистикиСОП = 199 / 22 = 9 тыс. шт.;


Определим уровень себестоимости единицы продукции:


ССПI = 2020 / 5 = 404 грн.;

ССПII = 2410 / 7 = 344,3 грн.;

ССПIII = 1670 / 6 = 278,3 грн.;

ССПIV = 820 / 4 = 205 грн.;

Общая теория статистикиССП = 6920 / 22 = 314,5 грн.;


Групповые показатели заводов таблицы 1.3 и исчисленные на их основе средние показатели занесем в сводную аналитическую таблицу 1.4.


Таблица 1.4. Результаты расчетов

Группа Группа заводов по объему производства Число заводов Объем производства, тыс. шт. Себестоимость единицы продукции, грн.





I 2 – 6 5 3,6 404
II 6 – 10 7 7,4 344,3
III 10 – 14 6 11 278,3
IV 14 – 18 4 15,75 205
ИТОГО 22 9 314,5

Вывод: из таблицы 1.4, мы видим, что с увеличением объема производства себестоимость единицы продукции снижается, следовательно, можно предположить, что между изучаемыми признаками существует обратная зависимость.


Задача № 2


Данные об издержках производства и себестоимости изделия «В», выпускаемого однородными предприятиями, за I и II кварталы представлены в таблице 2.


Таблица 2

Номер предприятия I квартал II квартал

Издержки производства, тыс. грн. Себестоимость единицы продукции, гр. Количество продукции, тыс. шт. Себестоимость единицы продукции, грн.
1 25857,0 50,7 550,0 49,5
2 4073,5 48,3 10,8 45,3
3 5450,0 49,0 120,0 48,1
4 10612,0 47,9 235,0 47,5

Определить среднюю себестоимость изделия «В» по всем заводам. Дать краткое обоснование применения соответствующих формул средних величин. Сделать краткие выводы.

Решение:

Определим среднюю себестоимость изделия «В» за I квартал. За I квартал статистическая информация содержит Хi – признак, fi – его частоту. Следовательно вычисления ведем, используя формулу среднеарифметической взвешенной.


Общая теория статистикиХ = е хi * f i / е f i ,


где хi – себестоимость единицы продукции, гр.;

f i – издержки производства, тыс. гр.

Каждое значение признака называют вариантой (хi). Имеем ряд распределения, в котором одинаковые варианты объединены в группы и определены их частотой (f i), то есть числами, показывающими сколько раз встречается данная варианта в совокупности.


Х = (25857 * 50,7 + 4073,5 * 48,3 + 5450 * 49 + 10612 * 47,9) / (25857 + 4073,5 + 5450 + 10612) = 2283064,75 / 45992,5 = 49,6 гр.;


Определим среднюю себестоимость изделия «В» за II квартал. Статистическая информация не содержит частоты, а содержит (Хi * fi). Следовательно, вычисления ведем, используя формулу среднегармонической взвешенной.


Общая теория статистикиХ = еМi / е(М i / Хi) , где М i = Х i * f i


Х i – себестоимость единицы продукции, гр.;

М i – в данном случае количество продукции, тыс. шт..

Х = (550 + 10,8 + 120 + 235) / ((550 / 49,5) + (10,8 / 45,3) + (120 / 48,1) + (235 / 47,5)) = 915,8 / 18,79 = 48,7 гр.


Вывод: средняя себестоимость изделия «В» за II квартал ниже, чем средняя себестоимость изделия «В» за I квартал.


Задача №3.


Для изучения качества пряжи была проведена 2%-я механическая выборка, в результате которой обследовано 100 одинаковых по весу образцов пряжи и получены следующие результаты (таблица 3).


Таблица 3

Крепость нити, г 140-160 160-180 180-200 200-220 220-240 240-260
Число образцов 2 7 24 40 20 7

На основе полученных данных вычислите: 1) по способу моментов: а) среднюю прочность нити; б) дисперсию и среднее квадратичное отклонение;

2) коэффициент вариации; 3) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и пределы, в которых можно ожидать среднюю крепость нити по всей партии пряжи.

Решение:

1. Для определения средней прочности нити по способу моментов воспользуемся следующей формулой:


Общая теория статистикиХ = m1 * i + A, где


m1 – момент первого порядка;

Х – варианта;

i – величина интервала;

f – частота;

А – постоянная величина, на которую уменьшаются все значения признака;


m1 = (е((X – A) / i)) * f) / еf;

X = ((е((X – A) / i)) * f) / еf) * i + A;

i = 20;

В вариационных рядах с равными интервалами в качестве А принимается варианта ряда с наибольшей частотой: А = 210;


Таблица 3.1

Крепость нити, г Число образцов Х’ Х – А = Х’ – 210 ((Х – А) / i ) ((Х – А) / i ) * f
140-160 2 150 -60 -3 -6
160-180 7 170 -40 -2 -14
180-200 24 190 -20 -1 -24
200-220 40 210 0 0 0
220-240 20 230 20 1 20
240-260 7 250 40 2 14

е = 100 е = -10

m1 = (е((X – A) / i)) * f) / еf = -10 / 100 = -0,1;

Общая теория статистикиХ = m1 * i + A = -0,1 * 20 + 210 = 208 г.


Определим дисперсию способом моментов:


s2 = i2 * (m2 – m12);

m1 = (е((X – A) / i)) * f) / еf;

m2 = (е((X – A) / i)2) * f) / еf;

m1 = -0.1;

m2 = 118 / 100 = 1.18;

s2 = 202 * (1,18 – (-0,1)2) = 468;

Определим среднее квадратичное отклонение:


s = √s2 = 21,6;


3. Отношение среднего квадратичного отклонения к средней называют квадратичным коэффициентом вариации:

V = (s / X ) * 100 %;

V = (21,6 / 208) * 100% = 10,38%;


4. Предельная ошибка выборки средней вычисляется по формуле:


Dх = t * Цs2 / n ,


где n – объем выбранной совокупности, n = 100;

s2 – дисперсия;

t – коэффициент доверия (табличное значение для вероятности 0,997 соответствует t = 3);


DХ = 3 * Ц468 / 100 = 6,49 г.

тогда: 208 – 6,49 < Х < 208 + 6,49

201,51 < Х < 214,49


Для бесповторной выборки :


D = t * Ц(s2 / n ) * (1 – (n / N)) ,


где n = 100; N = 5000;

D = 3 * Ц468 / 100 * (1 – (100 / 5000)) = 3 * Ц4,68 * 0,98 = 6,42 г.

тогда : 208 – 6,42 < Х < 208 + 6,42

201,58 < Х < 214,42


Задача №4


Имеются данные об урожайности нового сорта пшеницы из ферм области (таблица 4).


Таблица 4.

Год 1999 2004 2005 2006 2007
Урожайность, ц\га 35 40 39 40 42

Для анализа динамики урожайности пшеницы вычислите:

Абсолютный прирост, темпы роста и прироста по годам и к 2004 году; абсолютное содержание 1% прироста (полученные данные представьте в виде таблицы);

Среднегодовой темп роста и прироста урожайности:

а) с 1999 по 2005 гг.;

б) с 2004 по 2007 гг.;

в) с 1999 по 2007 гг.

Постройте график динамики урожайности пшеницы. Сделайте выводы.

Решение:

Абсолютный прирост (Di) определяется как разность между двумя уровнями ряда и показывает насколько данный уровень превосходит уровень, принятый за базу.

Базисный прирост: D = у i – у б

где у б = 40 ц\га; примем за базисный год – 2004 г.


D 90 = 35 – 40 = -5 ц\га

D 97 = 39 – 40 = -1 ц\га

D 98 = 40 – 40 = 0 ц\га

D 99 = 42 – 40 = 2 ц\га


Цепной прирост: D = у i – у i-1


D 96 = 40 – 35 = 5 ц\га

D 97 = 39 – 40 = -1 ц\га

D 98 = 40 – 39 = 1 ц\га

D 99 = 42 – 40 = 2 ц\га


Темп роста определяется делением сравниваемого уровня на предыдущий уровень или базовый, определяется в %.

Цепной:


Т = (уi / уi-1 ) * 100 %;

Т96 = (40 / 35) * 100% = 114,3%;

Т97 = (39 / 40) * 100% = 97,5 %;

Т98 = (40 / 39) * 100% = 102,6%;

Т99 = (42 / 40) * 100% = 105%;


Базисный


Т = (у i / у б ) * 100 %;

Т90 = (35 / 40) * 100% = 87,5%;

Т97 = (39 / 40) * 100% = 97,5%;

Т98 = (40 / 40) * 100% = 100%;

Т99 = (42 / 40) * 100% = 105%;


Темпы прироста: DТпр = Тпр - 100%;


Цепной:

Тпр96 = 114,3 – 100 = 14,3%

Тпр97 = 97,5 – 100 = -2,5%

Тпр98 = 102,6 – 100 = 2,6%

Тпр99 = 105 – 100 = 5%


Базисный:


Тпр90 = 87,5 – 100 = -12,5%

Тпр97 = 97,5 – 100 = -2,5%

Тпр98 = 100 – 100 = 0%

Тпр99 = 105 – 100 = 5%


Для того, чтобы правильно оценить значение полученного темпа роста его рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста.

Результат выражают показателем, который называется абсолютным значением 1% прироста:


Аi = Di / DТпрi или Аi = 0,01 * уi-1

А96 = 35 * 0,01 = 0,35;

А97 = 40 * 0,01 = 0,4;

А98 = 39 * 0,01= 0,39;

А99 = 40 * 0,01 = 0,4;


Расчетные данные представим в виде таблицы 4.1.

Год Урожайность, ц\га Абсолютный прирост, Di

Темп роста,

Тр %

Темп прироста,

Тпр %

Абс. Знач. 1% прироста, Аi


Базисный цепной базисный цепной базисный цепной
1999 35 -5 - 87,5 - -12,5 - -
2004 40 Б 5 Б 114,3 - 14,3 0,35
2005 39 -1 -1 97,5 97,5 -2,5 -2,5 0,4
2006 40 0 1 100 10,26 0 2,6 0,39
2007 42 2 2 105 105 5 5 0,4

Среднегодовые темпы роста и прироста урожайности:

с 1999 по 2005 гг.;

с 2004 по 2007 гг.;

с 1999 по 2007 гг.;


Т = n-1Ц уn / уi ,


где n – количество значений

с 1999 по 2005 (n = 8)


Т = 8-1Ц 39 / 35 = 7Ц 39 / 35 = 1,02;


c 2004 по 2007 (n = 4)


Т = 4-1Ц 42 / 40 = 3Ц 42 / 40 = 1,02;


c 1999 по 2007 (n = 10)


Т = 10-1Ц 42 / 35 = 9Ц 42 / 35 = 1,02;

Темп прироста: Тпр = Тр – 1 (%) ,

1999 – 2005 гг. Тпр = (1,02 – 1) * 100 = 2%;

1969 – 2007 гг. Тпр = (1,02 – 1) * 100 = 2%;

Общая теория статистики1999 – 2007 гг. Тпр = (1,02 – 1) * 100 = 2%;


Вывод: график динамики урожайности имеет тенденцию к росту. Объем бытовых услуг в 2007 г. по сравнению с 1999 г. повысился на 42 – 35 = 7 ц\га.


Задача №5


В таблице 5 представлены данные о выработке тканей на ткацкой фабрике.


Таблица 5.

Ткань Базисный период Отчетный период

Количество, тыс. м (q0) Оптовая цена за 1 м, грн. (z0) Количество, тыс. м (q1) Оптовая цена за 1 м, грн. (z1)
Сатин 5000 15,0 5400 14,0
Репс 3800 24,0 4200 20,0

Определить на основе индексного метода абсолютное изменение стоимости продукции, в том числе за счет изменения оптовых цен и количества произведенных тканей.

Решение:

Общий индекс стоимости рассчитывается по формуле:


Iz = еq1 * z1 / еq1 * z0 ,

где q1, q0 – количество продукции данного вида соответственно в отчетном и базисном периоде;

z1, z0 – стоимости единицы продукции соответственно в отчетном и базисном периоде.


Iz = (5400 * 14 + 4200 * 20) / (5400 * 15 + 4200 * 24) = 159600 / 181800 = 0,878;

Iz = 0,878 * 100 = 87,8%;

Общая стоимость продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным уменьшилась на 12,2%.

Разность между числителем и знаменателем агрегатных индексов характеризует в абсолютном выражении изменение сложного показателя:

еq1 * z1 - еq1 * z0 = 159600 – 181800 = -22200 гр.


Общая стоимость продукции снизилась на 22200 гр.

Для выявления влияния факторов на изменение стоимости продукции строится общий индекс физического объема (количества) продукции.

Рассчитаем общий индекс физического объема продукции:


Iq = е q1 * z0 / е q 0 * z0

Iq = (5400 * 15 + 4200 * 24) / (5000 * 15 + 3800 * 24) = 181800 / 166200 = 1,094 ~ 109,4 %


Физический объем продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличился на 9,4% или на 15600 гр.


еq1 * z1 - еq0 * z0 = 181800 – 166200 = 15600 гр.


Задача №6


Имеются следующие данные по заводам города (таблица 6)


Таблица 6

Номер завода Базисный период Отчетный период

Валовая продукция в сопоставимых ценах, тыс. грн. Промышленно-производственный персонал, чел. Валовая продукция в сопоставимых ценах, тыс. гр. Промышленно-производственный персонал, чел.
I 50800 7600 58000 9000
II 40500 8000 42600 8200

Определить:

индексы производительности труда по каждому предприятию;

общие индексы производительности труда переменного и фиксированного состава по 2 предприятиям вместе;

через взаимосвязь индексов – индекс структурных сдвигов.

Решение

Рассчитаем индексы производительности труда по каждому предприятию


iq = q1 / q0 ,

iq = 58000 / 50800 = 1,14;

iq = 42600 / 40500 = 1,05;


Рассчитаем общие индексы производительности труда переменного и фиксированного состава по двум предприятиям вместе


Общая теория статистикиОбщая теория статистикиIz пер. состава = (е(z1 * q1) / еq1) / (е(z0 * q0) / еq0);

Iz пер. состава = (((9000*58000)+(8200*42600)) / (9000+8200)) / (((7600*50800)+(8000*40500)) / (7600+8000)) = 50658,1 / 45518 = 1,11;

Iz пост. состава = (е(z1 * q1) / еq1) / (е(z0 * q1) / еq1);

Iz пост. состава = (((9000*58000)+(8200*42600)) / (9000+8200)) / (((9000*50800)+(8200*40500)) / (9000+8200)) = 50658,1 / 45889,5 = 1,10;


Рассчитаем индекс структурных сдвигов через взаимосвязь индексов


Общая теория статистикиIz = Iz * Iстр. сдвигов ,

Общая теория статистикиIстр. сдвигов = Iz / Iz ,

Iстр. сдвигов = 1,11 / 1,10 = 1,009;


Задача №7


По исходным данным задачи 1 для изучения тесноты связи между себестоимостью продукции и объемом производства вычислить коэффициент корреляции.

Решение:

Используя данные задачи №1, примем объем производства за «у», а себестоимость единицы продукции за – «х».

Тогда для оценки параметров линейного уравнения регрессии создают систему нормальных уравнений, которая имеет вид:


Общая теория статистикие у = n * b0 + b1 * е x

е уx = b0 е x + b1 * е x2


Расчетные данные для решения системы нормальных уравнений приведены в таблице 1.

Подставив значения переменных из таблицы, получим систему уравнений:


Общая теория статистики199 = 22 * b0 + b1 * 6920

56160 = 6920* b0 + b1 * 2305600


После решения системы уравнений имеем:


у = 24,8 – 0,05х


Таблица 7

№ п/п у х x2 у2 i
1 16 240 3840 57600 256 12,8
2 8 330 2640 108900 64 8,3
3 6 380 2280 144400 36 5,8
4 3 420 1260 176400 9 3,8
5 7 400 2800 160000 49 4,8
6 4 330 1320 108900 16 8,3
7 10 280 2800 78400 100 10,8
8 12 260 3120 67600 144 11,8
9 5 400 2000 160000 25 4,8
10 14 160 2240 25600 196 16,8
11 7 380 2660 144400 49 5,8
12 9 260 2340 67600 81 11,8
13 7 340 2380 115600 49 7,8
14 15 220 3300 48400 225 13,8
15 10 280 2800 78400 100 10,8
16 12 300 3600 90000 144 9,8
17 8 320 2560 102400 64 8,8
18 4 410 1640 168100 16 4,3
19 2 460 920 211600 4 1,8
20 10 270 2700 72900 100 11,3
21 12 280 3360 78400 144 10,8
22 18 200 3600 40000 324 14,8

199 6920 56160 2305600 2195

При увеличении объема производства, себестоимость единицы продукции снижается в среднем на 0,05 гр. На основании уравнения регрессии вычисляем теоретическое значение «у» для всех элементов совокупности.

Например:


у1 = 24,8 – 0,05 * 240 = 12,8;


Коэффициент корреляции определяем по формуле:


Общая теория статистикиr = (n * е уx - е x * е у) / Ц(n * ех2 – (е x)2 ) * (n * еу2 – (е у)2 )


где х – факторный признак;

у – результативный признак;

n – 22 шт.

Подставим значения из таблицы 7 получим, что коэффициент корреляции :


r = (22 * 56160 - 6920 * 199) / Ц(22 * 2305600 – 47886400) * (22 * 2195 – 39601) = -0,9;


Значение коэффициента корреляции отрицательное (-0,9), следовательно, зависимость – обратно пропорциональная.

Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем теснее корреляционная зависимость.


-1 < r < 1


В нашем случае r = -0,9 – это свидетельствует о достаточно тесной зависимости факторного и результативного признаков.

Литература


Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 1995. – 310 с.

Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 280 с.

Практика по теории статистики. Под ред. Проф. Шмойловой Л.А. М.: Финансы и статистика, 2007.

Рефетека ру refoteka@gmail.com