Введение

Основоположником теории квадратичных форм является французский математик Лагранж. Им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта.

Начинается арифметическая теория квадратичных форм с утверждения Ферма о существовании простых чисел  суммой двух квадратов.

Теория квадратичных форм продолжала развиваться. Гаусс также вводит много новых понятий. Гауссу сумел получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел.

В данной работе исследуются предварительные общие сведения о бинарных квадратичных формах. Приведено элементарное доказательство известной оценки для числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Здесь рассмотрены периоды неопределенных квадратичных форм, также решены два вопроса о двусторонних формах. Также приведены доказательства, что диагональные формы одного и того же положительного дискриминанта не эквивалентны.

Предварительные сведения о бинарных квадратичных форм

Определим общие понятия и свойства, которые прямым образом касаются бинарных квадратичных форм.

Однородный многочлен второй степени от двух переменных называется бинарной квадратичной формой:

 (1)

где  —вещественные числа.

Соответственно используемые коэффициенты в данной формуле  — являются первым, вторым и третьим коэффициентами .

Для наглядности эту формулу будем обозначать через , получим:

В теории форм над кольцами и в первую очередь над кольцом  целых чисел более предпочтительной является запись вида (1).

В теории квадратичных форм над полями приведены формы, у которых второй коэффициент без множителя , т. е.:

Если в бинарной квадратичной форме (1) коэффициенты  являются целыми числами, тогда эту форму называют классической целой или целочисленной по Гауссу.

В данной работе классические квадратичные формы будем называть численными.

Если существует линейная подстановка переменных (2) с целыми коэффициентами  и определителем , переводящая форму  в форму , такая, что выполняется равенство

, (3),

тогда бинарные целочисленные квадратичные формы  и  называются собственно эквивалентными.

Иначе, если целочисленная подстановка (2) с определителем  переводит форму  в форму , бинарные квадратичные формы называются несобственно-эквивалентными.

Полученные эквивалентные формы обозначим следующим образом: ~

Из (2) и (3) вытекают соотношения, связывающие коэффициенты двух эквивалентных форм  и .

 (4)

Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант, т.е. число  бинарной квадратичной формы

Предположим, что  собственно или несобственно эквивалентна форме . Значит, опираясь на определение об эквивалентности, можно сказать, что есть такие целые числа  с определителем , при которых выполняются соотношения (4). Отсюда следует:

Эквивалентные бинарные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел.

Допустим, что формы  и  эквивалентны. Значит, есть унимодулярная целочисленная подстановка переменных:

,

тогда

Предположим , значит:

,

Таким образом, форма  — это есть число . В связи с тем, что отношение эквивалентности бинарных квадратичных форм имеет свойство симметричности, значит, любое число, которое выглядит, как  можно заменить на .

Свойствами рефлективности симметричности и транзитивности обладает отношение собственной эквивалентности бинарных квадратичных форм.

Следуя этому утверждению, можно сказать, что если для целого числа  при некоторых целых  и , а также для квадратичной формы  выполняется равенство , значит, квадратичная форма  представляет число .

Множество всех бинарных квадратичных форм эквивалентных форме  называют классом  форм.

В силу предложения 2 и определения 5 можно сказать, что множество бинарных квадратичных форм данного дискриминанта распадается на классы форм, собственно эквивалентных относительно унимодулярного целочисленного преобразования переменных (2).

Далее, в зависимости от знака дискриминанта , бинарные квадратичные формы делятся на определенные и неопределенные формы.

Определение 6. Квадратичная форма  дискриминанта  называется определенной, если  и неопределенной, если . Такое определение подсказано тем, что при  бинарная квадратичная форма принимает значения только одного знака (положительные при  и отрицательные при ), а при  она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм, и мы будем рассматривать в данной работе только неопределенные формы.

Рассмотрим теперь вкратце теорию приведения неопределенных бинарных квадратичных форм. Суть этой теории состоит в выделении в каждом классе так называемых приведенных форм — «стандартных» форм класса. Рассматривая квадратичные формы положительного дискриминанта, будем считать ее коэффициенты произвольными вещественными числами. Кроме того, будем предполагать, что крайние коэффициенты  и  формы  отличны от нуля и корни уравнения  вещественны, различны и иррациональны.

Назовем корень  этого уравнения первым, а — вторым корнем формы  (см. [1]), причем  есть дискриминант формы .

Определение 7. Неопределенная квадратичная форма

 с корнями  называется приведенной, если .

Покажем, что у приведенной формы  выполняются неравенства , , причем  и  заключаются между  и . В самом деле, из условия  получаем

,

, ,

Далее, , , т.е. выполняется указанное неравенство . Обратимся теперь к условиям:

 и . Из них следуют

,  (*)

Аналогично имеем

,  (**)

Покажем теперь, что . Допустим, что . Тогда из неравенств (*) и (**) следуют

 и

Но последние два неравенства не могут одновременно выполняться. Значит, наше допущение, что  неверно, и мы получаем неравенства . Наконец, покажем, что

 и

Т.к. , то из неравенств (*) и (**) получаем . С учетом этих неравенств и равенства , мы получим и неравенства для .

Обратно, система неравенств

 или

характеризует приведенность неопределенной формы . Поэтому определению приведенной формы можно придать следующий вид.

Определение 8. Бинарная квадратичная форма  дискриминанта  называется приведенной, если

или

Без доказательства приведем следующее свойство приведенных форм.

Предложение 4. Каждая форма дискриминанта  собственно эквивалентна некоторой приведенной форме.

Доказательство см. [1,2]. В [1] используется аппарат непрерывной дроби, а в [2] понятие соседней формы.

Определение 9. Целочисленная квадратичная форма  называется собственно примитивной, если наибольший общий делитель ее коэффициентов равен , т.е

НОД  и несобственно примитивной, если

НОД . В остальных случаях форма называется непримитивной.

Определение 10. Пусть — наибольший общий делитель чисел  для формы  определителя . Множество бинарных квадратичных форм с одними и теми же  и (при ) с одним и тем же знаком крайних коэффициентов  называется порядком форм.

Так как  и знаки получающихся коэффициентов  при  не меняются при переходе от данной формы к эквивалентной ей форме, то порядок состоит из нескольких классов.

При  формы и порядок называются собственно примитивными, а при  и  ( ) — несобственно примитивными. Собственно и классы форм называются собственно примитивными и несобственно примитивными.

Возникает вопрос: конечно или бесконечно число целочисленных приведенных неопределенных форм. Ответ дает следующее.

Предложение 5. Число всех целочисленных приведенных неопределенных форм с заданным дискриминантом конечно.

Доказательство см. [2,п.185]

О периодах неопределенных бинарных квадратичных уравнений

Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм наличием периодов приведенных форм. Гаусс первым обнаружил это явление и глубоко вник в природу приведенных форм с положительным неквадратным дискриминантом в связи с решением основных задач этой теории (см. [1,2]). В этом параграфе мы дадим основные свойства периодов неопределенных форм.

Нашему изложению мы сначала предпошлем те основные понятия из гауссовой теории квадратичных форм, которые нам понадобятся в дальнейшем (см. [1,2]).

Определение 1. формой соседней справа к целочисленной форме  называется форма , которая получается из формы  подстановкой , где  — некоторое целое число.

Заметим, что при такой подстановке форма  собственно эквивалентна форме . Зависимость между соседними формами  и  можно охарактеризовать так: во-первых, формы  и  имеют одинаковый дискриминант; во-вторых, последний коэффициент  формы  является вместе с тем первым коэффициентом формы ; в третьих, сумма их средних коэффициентов  делится на .

Аналогичным образом определяется соседняя слева форма  к форме .

Из определения соседних форм непосредственно следует предложение 1: соседние формы собственно эквивалентны.

С помощью процесса нахождения последовательных соседних форм мы придем к другому важному понятию периода приведенных форм. Именно, пусть — приведенная форма дискриминанта , и для нее  является соседней справа; для  форма  является соседней справа; для  форма  является соседней справа и т.д. Тогда все формы , , ,…, являются собственно эквивалентными между собой, так и форме .

Так как в силу предложения 5 §1 число всех целочисленных приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с заданным дискриминантом конечно, то в бесконечном ряду форм , , , ,… не все формы могут быть различными между собой. Если предположить, что  и  совпадают, то формы  и  будут приведенными соседними слева для одной и той же приведенной формы и потому будут совпадать. Поэтому  и  и т.д. будут совпадать. Следовательно, в ряду , , ,… обязательно повторится первая форма  и если — первая форма в этом ряду, совпадающая с , то все формы , , , ,…, различны между собой.

Определение 2. Совокупность различных последовательных соседних приведенных неопределенных форм , , ,…, называется периодом формы .

Приведем несколько общих замечаний об этих периодах, следующих из их определения (см. [2]).

Предложение 2. Если формы , , ,… представлены следующим образом

, , ,…, , , ,…, то все величины  будут иметь одинаковые знаки, причем  все будут положительны.

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 3. Количество квадратичных форм, из которых состоит период заданной формы , всегда четно.

Доказательство предложения 3 см. [1,2].

Заметим, что каждая форма , которая содержится в периоде формы , будет иметь тот же период, что и .Именно, этот период будет таков:

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 4. Все целочисленные неопределенные бинарные квадратичные формы с одинаковым дискриминантом могут быть разбиты на периоды.

Доказательство (см. [2] разд. V , п.187) основано на том их свойстве, что периоды либо совпадают, либо они попарно не пересекаются, и каждая форма попадет только в один из периодов.

Пример. Все приведенные неопределенные формы с дискриминантом  разбиваются на следующие шесть периодов:

I. ;

II. ;

III. ;

IV. ;

V. ;

VI .

Видим, что в каждом периоде содержится четное число приведенных форм: в периодах I и II по четыре формы, а в остальных периодах по шесть форм.

Особы интерес представляют так называемые обратные и двусторонние формы, показывающие наряду с гауссовой композицией форм глубокий смысл различия собственной и несобственной эквивалентностью целочисленных бинарных квадратичных форм.

Определение 3. Формы  и , и их классы называются обратными: если — один из этих классов, то другой класс  будет обратным к классу  в смысле композиции классов.

Замечание. Так как форма  переводится в форму  подстановкой  определителя , то каждая форма класса  несобственно эквивалентна каждой форме из обратного класса  , и обратно, при несобственной эквивалентности двух форм, их классы будут обратными. (При этом еще учитывается, что если форма  несобственно эквивалентна , а  собственно эквивалентна , то  несобственно эквивалентна ).

Определение 4. Класс бинарных квадратичных форм, совпадающий с обратным, называется двусторонним классом.

Из этого определения с учетом сделанного выше замечания получается предложение 5: каждая форма двустороннего класса несобственно эквивалентна самой себе.

Доказательство. Пусть — двусторонний класс и . Покажем, что  несобственно эквивалентна самой себе. Обозначим .

Тогда форма  , и пусть  переводится в  подстановкой  , и запишем это в следующем виде: . Т. к.  — двусторонний класс, т.е. , то . Но так как , то  и  собственно эквивалентны, то найдется подстановка  определителя , что . Тогда получаем , т. е. . Но так как , то форма  несобственно эквивалентна самой себе.

Предложение 5 доказано.

Определение 5. Форма , в которой  делится на , называется двусторонней.

Следующие два предложения дают некоторую информацию о строении двусторонних классов.

Предложение 6. В каждом двустороннем классе содержится по крайней мере одна двусторонняя форма .

Предложение 7. В каждом двустороннем классе положительного дискриминанта содержатся две и только две приведенные двусторонние формы.

Доказательство этих предложений имеются в [1,2].

Перейдем теперь к изложению основных результатов этого параграфа. Возникает еще вопрос: всегда ли двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу. Ответ дает следующая теорема.

Теорема 1. Каждая двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу.

Доказательство. Пусть  — двусторонняя форма, т.е.  ( делится на ), и обозначим ее класс через . Покажем, что — двусторонний класс. По определению, обратная к  форме . Так как , то форма  переводится в себя подстановкой . Далее имеем, что  переводится в  подстановкой

определителя 1, т.е.  и  собственно эквивалентны. Тогда они принадлежат одному и тому же классу, т.е.  , и значит, — двусторонний класс

Теорема 1 доказана.

В связи с предложением 7 возникает еще следующий вопрос: могут ли быть в периоде форм двустороннего класса приведенные двусторонние формы соседними друг другу? Следующее утверждение дает необходимое условие того, что двусторонние приведенные формы будут соседними.

Теорема 2. Для того чтобы двусторонние примитивные приведенные формы  и  из двустороннего класса дискриминанта  были соседними необходимо, чтобы , где  — целая часть числа .

Доказательство. Пусть формы  и  соседние. Тогда , где — некоторое целое число. Так как  и  — двусторонние формы, то  и , где последнюю делимость можно заменить следующим условием:  или что тоже самое , откуда . Тогда в силу взаимной простоты  и  (это следует из примитивности формы ) из условий делимости  и  следует, что . Но так как , то  или, что то же самое: . Из последнего условия делимости следует неравенство , откуда . Но так как форма  приведенная, то для числа  должны выполняться неравенства , из которых в свою очередь следует, что .

Теорема 2 доказана.

Пример. Для  следующие четыре периода по две соседние двусторонние формы.

,

,

,

,  

При этом эти формы удовлетворяют теореме 2, т.к. .

Замечание. Из полученной теоремы следует, что приведенные двусторонние формы будут соседними в очень малом числе случаев, и в большинстве случаев они не будут соседними. Вопрос о точном числе случаев, когда приведенные двусторонние формы будут соседними, по-видимому, является очень трудным, и мы его не рассматриваем.

Об оценке сверху числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм

О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм, так и о числе классов неопределенных квадратичных форм, известно очень мало. Для числа классов бинарных квадратичных форм имеется точная формула Дирихле. Другим важным результатом являются неравенства, принадлежащие немецкому математику Зигелю.

,

где  — число приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта ;  и  — положительные постоянные, зависящие от ; причем  — любое фиксированное положительное число. Наша цель состоит в том, чтобы элементарным способом доказать верхнюю оценку в неравенствах Зигеля для . Приводимое доказательство будет опираться на некоторые свойства функции числа положительных делителей натурального числа, и мы их приведем вначале.

Арифметическая функция  определяется как число положительных делителей натурального числа .

Предложение 1. Функция  мультипликативна, т.е. , если .

Из этого предложения 1 легко выводится следующее.

Предложение 2. Если — каноническое разложение натурального числа , то

Доказательства предложений 1 и 2 приводятся во всех учебниках по теории чисел (напр. см. [4,6]).

Предложение 3. Для числа  делителя натурального числа имеет место неравенство

Доказательство. Пусть  и — канонические разложения чисел  и , и пусть

, ,…, — все простые делители наибольшего общего делителя чисел  и . Тогда ясно, что

. (1)

Но так как справедливо неравенство

 , (2)

то неравенство (1) с учетом (2) и предложения 2 перейдет в следующие соотношения:

Предложение 3 доказано.

Предложение 4. Для  имеет место неравенство

,

где  —произвольное положительное число,  —постоянная, зависящая только от .

Доказательство. Мы следуем рассуждениям в [4,5] (доказательство имеется также в [3]). Пусть — каноническое разложение числа . Тогда имеем:

Рассмотрим отношение , в случаях  и .

Если , то , так как .

Если , то считая , получим:

Поэтому

Следовательно, полагая , получим неравенство

Предложение 4 доказано.

Следующее предложение характеризует среднее значение  в нужной для нас форме

Предложение 5. Для  имеет место следующая оценка сверху:

,

где — постоянная

Доказательство. Имеем:

Последняя сумма геометрически представляет собой число целых точек в первой четверти, лежащих на или под гиперболой , при этом целые точки, лежащие на осях координат, исключаются, так как для них . Поэтому исследуемую сумму можно записать в виде:

, где  — целая часть числа

Оцениваем теперь сумму:

,

где

Здесь мы воспользовались следующим соотношением из математического анализа

,

где

—

есть так называемая постоянная Эйлера.

Предложение 5 доказано.

Перейдем теперь к элементарному доказательству следующего результата.

Теорема (Зигель). Для числа  всех приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта  справедливо неравенство

,

где — произвольное положительное число,  — постоянная, зависящая только от .

Доказательство. Пусть  — неопределенная приведенная форма дискриминанта . Тогда ,

,

Оценим сверху число приведенных форм с  и . Тогда

Применяя к последней сумме предложения 3,4,5, получим:

, где

Теорема доказана.

О диагональных формах и оценка снизу числа классов в роде

В этом параграфе мы получим одну оценку снизу для числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм. Сначала введем соответствующие понятия.

Определение 1. Целое число , не делящееся на простое число , называется квадратичным вычетом по модулю простого числа, если число  сравнимо с квадратом некоторого целого числа по модулю , т.е.  — квадратичный вычет по модулю , если сравнение  имеет решение; в противном случае число  называется квадратичным невычетом по модулю . В теории квадратичных вычетов очень полезно использование так называемого символа Лежандра.

Определение 2. Символом Лежандра  числа  по простому модулю , которое определяется следующим соотношением:

Приведем некоторые основные свойства символа Лежандра, которые нам понадобятся.

Свойство 1 . , если

Свойство 2 . Если , то  (свойство периодичности)

Свойство 3 .  (свойство мультипликативности)

Свойство 4 . , если

Определим теперь понятие рода квадратичных форм, впервые введенное Гауссом. Совокупность классов собственно примитивного порядка данного дискриминанта  Гаусс в своей арифметической теории квадратичных форм разделяет на ряды, относя в один и тот же род все те классы, формы которых имеют и тот же «характер». Под характером примитивной формы или примитивного класса форм Гаусс понимает следующее.

Пусть — простой делитель дискриминанта , и пусть число всех этих различных модулей  равно . Можно показать, что если  — один из этих  модулей, то для всех чисел , представимых данной собственно примитивной формой дискриминанта  и взаимно простых с , символы Лежандра  имеют одно и то же значение. В самом деле, пусть

 — собственно примитивная форма дискриминанта  и  — любой нечетный простой делитель числа , и ,  — два числа, представляемых формой  и не делящихся на . Подстановка  определителя  переводит  в форму  (см. соотношения (3) §1), причем , откуда , т.е. в силу определения символа Лежандра имеем . Из этого равенства в очередь на основании свойств 3 и 4следует, что .

Символ Лежандра  имеет одно и то же значение для всех чисел , представляемых формой . Выпишем эти символы Лежандра, которые все равны  или  для всех  указанных модулей , взятых в определенном выбранном порядке.

Тогда для данной квадратичной формы получается некоторая определенная последовательность  чисел, равных . Эта последовательность чисел, равных  , и называется характером рассматриваемой собственно примитивной бинарной квадратичной формы дискриминанта  или характером класса этой формы.

Так как число всех различных последовательностей, составленных из  членов, равных  или  равно , то число различных характеров форм данного дискриминанта, а следовательно, и число родов не больше, чем . Чтобы решить вопрос о точном числе родов, Гаусс вводит в рассмотрение операции композиции классов и композиции родов квадратичных форм.

Не вдаваясь в эту сложную теорию Гаусса, мы приведем его результаты о числе родов и о числе классов в каждом роде.

Каждый род собственно примитивного порядка содержит одно и то же число классов,

, где — число родов, — число всех классов, — число классов в каждом роде.

Если для каждого квадратного делителя  дискриминанта  выполнены условия:

НОД ,   простого ,

то для числа  классов неопределенных квадратичных форм дискриминанта  в каждом роде собственно примитивного порядка выполняется неравенство

Примем  за собственно примитивную форму дискриминанта .

НОД .Она является целым числом , т.е.  при некоторых целых  и . , где — целое число. Значит, символ Лежандра числа  равен

При любом  получаем

Это говорит о том, что форма  принадлежит главному роду. Число форма приравнивается числу квадратных делителей  дискриминанта  с условием НОД

Тогда получаем:

 с условием

Такая оценка справедлива также для числа классов всех остальных родов

 — диагональная форма дискриминанта . Эта форма не эквивалентна никакой другой диагональной форме того же дискриминанта.

Предположим, что

 (1)

дискриминанта  собственно эквивалентна другой диагональной форме.

 (2)

того же дискриминанта .

Определим целочисленную унимодулярную подстановку .

Эта подстановка заменяет форму  в форму .

Получаем:

 , (3)

где

 (4)

Преобразуя данные выражения находим

Однако необходимо форму   (5) привести к диагональной. Для это перепишем форму :

. (6)

В связи с тем, что имеет тот же дискриминант, что и получим:

, (7)

и аналогично

;

;

 (8)

Принимая во внимание условие, указанное выше форма (8) будет иметь вид:

, что противоречит условию (4).

Число родов бинарных квадратичных форм в данном собственно примитивном порядке дискриминанта  равно , где  определяется следующими условиями:

 при ,

 при ,

 при ,

при этом  — число различных простых делителей числа .

Данное высказывание используется в оценке снизу числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм собственно примитивного порядка.

Список литературы

Бухштаб А. А. Теория чисел. М., 1966.

Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Изд-во АН СССР, М., 1959.

Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М-Л., 1937.

Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М., «Наука», 1980.

Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М., Мир. 1974.

Виноградов И. М. Основы теории чисел. М., Наука. 1972 с. 267